Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai :. a.[r]
(1)1 Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai:
a Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai:
- Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai với hệ số phương trình dạng:
AXn+2 + BXn+1 + CXn = , n= 0, 1, 2, (1.1)
Trong A ≠ 0, B C số Nghiệm tổng quát:
- Nếu C=0 phương trình (1.1) có dạng
AXn+2 + BXn+1 = (1.2)
Phương trình phương trình tuyến tính bậc Nó có nghiệm tổng quát Xn+1 = λ nXn, λ = −
B
A , n=1, 2,
- Nếu B=0 phương trình (1.1) có dạng (khuyết B)
AXn+2 + BXn = (1.3)
Phương trình hình thức tương tự phương trình tuyến tính bậc
Nó viết dạng Xn+2 = −CA Xn = qXn
Như ta có cơng thức nghiệm:
X2k = qk.Xo X2k+1 = qk.X1
- Nếu phương trình (1.1) có hệ số khác ta có phương trình đặc trưng phương trình sai phân (1.1) :
A λ + B λ + C =
Phương trình có hai nghiệm λ λ
Để tìm nghiệm tổng quát phương trình sai phân (1.1) ta dựa vào mệnh đề sau:
Mệnh đề 1:
Giả sử phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt ( λ ≠ λ 2)
khi phương trình (1.1) có nghiệm
Xn = C1 λ 1n + C2 λ 2n
Trong C1 C2 số xác định xác định
theo điều kiện ban đầu X0 X1
Ví dụ 1:
Tìm cơng thức tổng qt dãy số sau (tương đương với tìm nghiệm phương trình sai phân)
(2)U0 = 7; U1 = -6; Un+2 = 3Un+1 +28Un
Giải:
Ta có: Un+2 = 3Un+1 + 28Un
Suy Un+2 – 3Un+1 – 28Un =
Nên ta có phương trình đặc trưng sau: λ 2 - 3 λ – 28 = 0.
Phương trình có hai nghiệm λ = λ = -4
Suy công thức tổng quát dãy số cho là:
Un = C1 λ 1n + C2 λ 2n hay Un = C1.7n + C2.(-4)n (*)
Với n=0 U0 = C1 + C2 = (1)
Với n=1 U1 = 7C1 – 4C2 = -6 (2)
Từ (1) (2) suy C1 = C2 = (3)
Thay (3) vào (*) ta công thức tổng quát dãy số là: Un = 2.7n + 5.(-4)n
Mệnh đề 2:
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ = λ = λ = −B
A nghiệm tổng quát phương trình (1.1)
Xn = C1 λ 1n + C2.n λ 2n = (C1 + n.C2) λ n
Trong C1 C2 số xác định theo điều kiện ban
đầu X0 X1
Ví dụ 2:
Tìm nghiệm phương trình sai phân:
U0 = -1; U1 = 2; Un+2 = 10Un+1 – 25Un
Giải:
Ta có : Un+2 = 10Un+1 – 25Un suy Un+2 – 10Un+1 + 25Un
Do ta có phương trình đặc trưng sau: λ 2 - 10 λ + 25 = 0
Phương trình có nghiệm kép λ = λ = λ =
Nên phương trình sai phân cho có nghiệm tổng quát có dạng: Un = λ n.(C1 + n.C2) (*)
Với n = U0 = C1 + C2 = -1 (1)
Với n = U1 = 51(C1 + 1.C2) = (2)
Từ (1) (2) ta C1 = -1 C2 = 1,4 (3)
Thay (3) vào (*) ta công thức nghiệm tổng quát phương trình sai phân : Un = 5n.(-1 + 1,4.n)
Mệnh đề 3:
(3)b Phương trình sai phân tuyến tính khơng bậc hai:
- Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính khơng bậc hai phương trình dạng : AXn+2 + BXn+1 + CXn = Dn , n = 0, 1, 2, (1.2)
Trong A ≠ 0,B C số;Dn hàm số biến số tự nhiên n
- Nghiệm tổng quát:
Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính khơng bậc hai (1.2) tổng nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính (1.1) nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính khơng (1.2) Xn = ͂xn +x*n
Với ͂xn nghiệm phương trình sai phân tuyến tính
(1.1) x*
n nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính khơng
thuần (1.2)
Ta tính ͂xn theo mệnh đề
Cịn tính x*
n theo cách sau:
- Nếu A + B + C ≠ x*
n = A D
+B+C
- Nếu A + B + C = 2A + B ≠ x*
n = 2nA.D
+B
- Nếu A + B + C = 2A + B = x*
n = n(n−1)2DA
Ví dụ 3: (Thi Olympic Tốn Singapore, 2001)
Cho a1 = 2000 ; a2 = 2001 an+2 = 2an+1 – an +3 với n = 1, 2, 3,
Hãy tìm giá trị a100
Giải:
Phương trình đặc trưng phương trình cho : λ ² = λ -1 có nghiệm kép λ = λ = λ = A+ B + C = 1- + = 0; 2A + B
= 2.1 - =0
Suy nghiệm tổng quát phương trình sai phân cho là: an = 1n.(C1 + n.C2) + n(n−1)
D
2A hay an = C1 + n.C2 + n(n-1).1,5 (*)
Với n = a1 = C1 + C2 = 2000 (1)
Với n = a2 = C1 + 2.C2 + = 2001 (2)
Từ (1) (2) ta C1 = 2002 C2= -2 (3)
Thay (3) vào (*) ta
an = 1,5.n(n-1) - 2n + 2002 = 1,5.n2 – 3,5.n + 2002 (**)