TONG HOP 25 DE THI HSG TOAN 7 CO DAP AN

Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y.. BiÕt sè c©y trång ®îc cña 3 líp b»ng nhau?[r]

(1)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Năm học 2010-2011 Đề số 1

Thêi gian làm bài: 120 phút

Câu1: (2 điểm)

Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

a b c d

           

  

Tìm giá trị biểu thức: M=

a b b c c d d a

c d d a a b b c

   

  

   

C©u2: (1 ®iĨm)

Cho S = abc bca cab 

Chøng minh r»ng S số phơng Câu3: (2 điểm)

Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, lúc xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h Biết khoảng cách AB 540 km M trung điểm AB Hỏi sau khởi hành ơtơ cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M

C©u4: (2 điểm)

Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác a Chứng minh rằng: BOC  A ABO ACO  b BiÕt

  900 

2 A ABO ACO  

tia BO tia phân giác góc B Chứng minh rằng: Tia CO tia phân giác góc C

Câu 5: (1,5điểm)

Cho đờng thẳng khơng có đờng thẳng song song CMR

có đờng thẳng mà góc nhọn chúng khơng nh hn 200.

Câu 6: (1,5điểm)

Khi chơi cá ngựa, thay gieo súc sắc, ta gieo hai súc sắc lúc

thì điểm thấp 2, cao 12 điểm khác 3; 4; ;6 11 HÃy lập bảng tần

s v kh nng xuất loại điểm nói trên? Tính tần xuất loại điểm - Hết

-Đề số 2.

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: Tìm số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b

Câu 2: Tìm số nguyên x tho¶ m·n:

a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3

(2)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Năm học 2010-2011

C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385 TÝnh tỉng : S= 22+ 42+ +202

C©u :

Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC t¹i D

a Chøng minh AC=3 AD b Chøng minh ID =1/4BD

- HÕt

-§Ị sè 3

Thêi gian lµm bµi: 120

Câu ( 2đ) Cho: a

b= b c=

c

d Chøng minh: (

a+b+c b+c+d)

3

=a d

Câu (1đ) Tìm A biết rằng: A = a

b+c= c a+b=

b c+a

Câu (2đ) Tìm x∈Z để A Z tìm giá trị

a) A = x+3

x −2 b) A =

1−2x x+3

Câu (2đ) Tìm x, biết:

a) |x −3| = b) ( x+ 2) 2 = 81 c) 5 x + 5 x+ 2 = 650

Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E  BC, BH AE, CK

 AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân

- HÕt

-§Ị sè 4

Thêi gian làm : 120 phút

Câu : ( ®iĨm)

1 Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ?

2 Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a

b= c

d ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy đợc

c¸c tØ lƯ thøc:

a) a

a− b= c

c −d b)

a+b b =

c+d d

Câu 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) <

0

(3)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn Năm học 2010-2011

C©u 4: ( điểm) Cho hình vẽ

a, Biết Ax // Cy so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C b, gãc ABC = gãc A + gãc C Chøng minh Ax // Cy

C©u 5: (2 ®iÓm)

Tõ ®iÓm O tïy ý tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lợt vuông góc với cạnh BC, CA, Ab Chứng minh r»ng:

AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2

HÕt

-Đề số 5

Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(2đ):

a) Tính: A = + 100

3 100

2 2  2

b) T×m n Z cho : 2n -  n + 1

Câu (2đ):

a) Tìm x biết: 3x - 2x1 =

b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50

Câu 3(2đ): Ba phân số có tổng b»ng

213

70 , c¸c tư cđa chóng tØ lƯ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cđa

chúng tỉ lệ với 5; 1; Tìm ba phân số

Câu 4(3đ): Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng

C©u 5(1đ): Tìm x, y thuộc Z biết: 2x +

1 7 =

1 y

-Hết -Đề số 6

Thời gian làm bài: 120’ C©u 1: TÝnh :

a) A =

1 2+ 3+

1

3 4+ + 99 100

A x

B y

(4)

b) B = 1+

2(1+2)+

3(1+2+3)+

4(1+2+3+4)+ +

20(1+2+3+ .+20)

Câu 2:

a) So sánh: √17+√26+1 vµ √99

b) Chøng minh r»ng:

√1+ √2+

1

√3+ +

√100>10

C©u 3:

Tìm số có chữ số biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1:2:3 Câu

Cho tam giác ABC có góc B góc C nhỏ 900 Vẽ phía tam giác c¸c

tam giác vng cân ABD ACE ( góc ABD góc ACE 900 ), vẽ DI

và EK vng góc với đờng thẳng BC Chứng minh rằng: a BI=CK; EK = HC; b BC = DI + EK

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thøc : A = |x −2001|+|x −1|

- hết

-Đề số 7

Câu 1: (1,5 đ) Tìm x biÕt:

a, x+2

327 + x+3 326 +

x+4 325 +

x+5 324 +

x+349

5 =0

b, |5x −3|

C©u2:(3 ®iĨm)

a, TÝnh tỉng: S=(−1

7)

0

+(−1 7)

1

+(−1 7)

2

+ +(−1 7)

2007

b, CMR:

2!+ 3!+

3

4!+ + 99 100!<1

c, Chøng minh r»ng số nguyên dơng n thì: 3n+2 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho

10

C©u3: (2 điểm) Độ dài ba cạnh tam giác tØ lƯ víi 2;3;4 Hái ba chiỊu cao t¬ng

ứng ba cạnh tỉ lệ với số nào?

Câu 4: (2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc B=600 hai đờng phân giác AP CQ

tam giác cắt I a, Tính góc AIC b, CM : IP = IQ

Câu5: (1 điểm) Cho

n −1¿2+3 2¿

B=1

¿

Tìm số ngun n để B có giá trị lớn

(5)

-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Năm học 2010-2011

Đề số 8

Thời gian : 120 Câu : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biết :

a) (x −1)5 = - 243

b) x+2

11 + x+2 12 +

x+2 13 =

x+2 14 +

x+2 15

c) x - √x = (x )

C©u : (3đ)

a, Tìm số nguyên x y biÕt :

x+ y 4=

1

b, Tìm số ngun x để A có giá trị số nguyên biết : A = √x+1

√x −3 (x

)

C©u : (1đ) Tìm x biết : |5x 3| - 2x = 14

Câu : (3đ)

a, Cho Δ ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lƯ víi 7; 5; C¸c gãc tơng ứng tỉ lệ

với số

b, Cho ABC cân A Â < 900 Kẻ BD vuông góc với AC Trên cạnh AB

lấy điểm E cho : AE = AD Chøng minh : 1) DE // BC

2) CE vu«ng gãc víi AB

-HÕt -§Ị sè 9

Bài1( điểm)

a, TÝnh: A =

91−0,25

¿

60 11 −1

¿ ¿

101 3(26

1 3−

176 )−

12 11 (

10

3 −1,75)

¿

(6)

Bài 2: ( 2điểm) Tìm số nguyên dơng cho tổng nghịch đảo chúng Bài 3: (2 điểm) Cần chữ số để đánh số trang sách dày 234 trang

Bài 4: ( điểm) Cho Δ ABC vuông B, đờng cao BE Tìm số đo góc nhọn

tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB

- hÕt

-Đề số 10

Thời gian làm 120 phút

Bài 1(2 điểm). Cho A x 2  x

a.Viết biểu thức A dới dạng khơng có dấu giá trị tuyệt đối b.Tìm giá trị nhỏ A

Bµi ( ®iÓm)

a.Chøng minh r»ng : 2 2

1 1 1

65 6 7  100 4 .

b.Tìm số nguyên a để :

2 17

3 3

a a a

 



số nguyên.

Bài 3(2,5 điểm) Tìm n số tự nhiên để : An5 n6 n

Bài 4(2 điểm) Cho góc xOy cố định Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N cho OM + ON = m không đổi Chứng minh : Đờng trung trực MN i qua mt im c nh

Bài 5(1,5 điểm). Tìm đa thức bậc hai cho : f x  f x 1 x

¸p dơng tÝnh tæng : S = + + + … + n

HÕt

-Đề số 11

Câu 1: (2đ) Rút gọn A=

2 20 x x

x x

  

Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc u nh

Câu 3: (1,5đ) Chứng minh r»ng

2006

10 53

9 

là số tự nhiên

Cõu 4 : (3) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B

Ax vẽ đờng thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC

Chøng minh r»ng:

a, K trung điểm AC

b, BH =

AC

(7)

Câu 5 (1,5 đ)Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới nửa sai nửa:

a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải

Em xác định thứ tự giải cho bạn

- HÕt

-§Ị sè 12

Thêi gian làm 120 phút

Câu 1: (2đ) Tìm x, biÕt:

a) |3x −2|− x=7 b) |2x −3|>5 c) |3x −1|≤7 d)

7

3x x Câu 2: (2đ)

a) Tính tæng S = 1+52+ 54+ + 5200

b) So sánh 230 + 330 + 430 3.2410

Câu 3: (2đ) Cho tam giác ABC có góc B 600 Hai tia phân giác AM CN

tam giác ABC cắt I a) Tính gãc AIC

b) Chøng minh IM = IN

Câu 4: (3đ) Cho M,N lần lợt trung điểm cạnh AB Ac tam giác ABC Các đờng phân giác phân giác tam giác kẻ từ B cắt đờng thẳng MN lần lợt D E tia AD AE cắt đờng thẳng BC theo thứ tự P Q Chứng minh:

a) BD AP;BE⊥AQ;

b) B lµ trung điểm PQ c) AB = DE

Câu 5: (1đ)

Với giá trị nguyên cđa x th× biĨu thøc A= 14− x

4− x Có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị

đó

- HÕt

-§Ị sè 13

Thêi gian : 120’

C©u 1: ( 1,5 ®iĨm) T×m x, biÕt:

a 4x3 - x = 15 b 3x - x > c 2x3 5.

Câu2: ( điểm)

a TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 Chøng minh r»ng: A chia

hÕt cho 43

b Chứng minh điều kiện cần đủđể m2 + m.n + n2 chia hết cho là: m, n

(8)

C©u 3: ( 23,5 điểm) Độ dài cạnh tam giác tØ lƯ víi nh thÕ nµo,biÕt

nếu cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tổng tỷ lệ theo 3:4:5

Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A D điểm nằm tam gi¸c, biÕt



ADB> ADC Chøng minh r»ng: DB < DC.

C©u 5: ( ®iĨm ) T×m GTLN cđa biĨu thøc: A = x1004 - x1003

- HÕt

-Đề số 14

Thời gian : 120

Câu (2 điểm): Tìm x, biết :

a 3x 2 +5x = 4x-10 b 3+ 2x 5  > 13

Câu 2: (3 điểm )

a Tỡm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỷ lệ với 1, 2,

b Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n N)

Câu : (1điểm )cho h×nh vÏ , biÕt α + β + γ = 1800 chøng minh Ax// By.

A α x

C β

γ

B y

Câu (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có ABC=1000 Kẻ phân giác góc

CAB cắt AB D Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u (1 ®iĨm )

TÝnh tỉng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + + (-3)2004

HÕt

-Đề số 15

Thời gian làm bài: 120 phú

Bài 1: (2,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí:

1 1 1 1 1

90 72 56 42 30 20 12

  

Bài 2: (2,5đ) Tính giá trị nhỏ biểu thức: A = |x −2|+|5− x|

Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC Gọi H, G,O lần lợt trực tâm , trọng tâm giao điểm đờng trung trực tam giác Chứng minh rằng:

a AH lần khoảng cách từ O đến BC b Ba điểm H,G,O thẳng hàng GH = GO

Bài 4: (1 đ) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007

(9)

Thêi gian làm bài: 120 phút

Câu 1(3đ): Chứng minh

A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102

Câu 2(3đ): Tìm x, biết:

a x x 3   ; b 3x x 2  

Câu 3(3đ): Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Các đờng trung trực tam giác gặp tai Các đờng cao AD, BE, CF gặp H Gọi I, K, R theo thứ tự trung điểm HA, HB, HC

a) C/m H0 IM cắt Q trung điểm đoạn b) C/m QI = QM = QD = 0A/2

c) HÃy suy kết tơng tự nh kết câu b

Cõu 4(1): Tìm giá trị x để biểu thức A = 10 - 3|x-5| đạt giá trị lớn Hết

-§Ị 17

Thêi gian: 120

Bài 1: (2đ) Cho biểu thức A = x 5

x+3

a) Tính giá trị A t¹i x =

4

b) Tìm giá trị x để A = -

c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài (3đ)

a) T×m x biÕt: √7− x=x −1

b) TÝnh tæng M = + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006

c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + – 4x3 Chứng tỏ

đa thức nghiệm

Bài 3.(1đ) Hỏi tam giác ABC tam giác biết góc tam giác tỉ lệ với 1, 2,

Bài 4.(3đ) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600 Hai tia phân giác AM CN tam

giác ABC cắt I a) Tính góc AIC

b) Chứng minh IM = IN

Bài (1đ) Cho biÓu thøc A = 2006− x

6− x Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá

trị lớn Tìm giá trị lớn

HÕt

-§Ị 18

Thêi gian: 120

C©u 1:

(10)

a (1

2)

15

.(1 )

20

b (1

9)

25

:(1 )

30

2 Rót gän: A =

5

94−2 69 210.38+68.20

3 BiĨu diƠn sè thËp phân dới dạng phân số ngợc lại:

a

33 b

7

22 c 0, (21) d 0,5(16)

Câu 2: Trong đợt lao động, ba khối 7, 8, chuyên chở đợc 912 m3 đất Trung

bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm đợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất Số học sinh

khèi 7, tØ lƯ víi vµ Khèi vµ tØ lƯ víi vµ Tính số học sinh khối Câu 3:

a.Tìm giá trị lớn biểu thức: A =

x+22+4

3

b.Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1

C©u 4: Cho tam giác ABC cân (CA = CB) C = 800 Trong tam gi¸c cho



MBA 30 và MAB100 Tính MAC .

Câu 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = th× (a2,a+b) = 1.

- HÕt

-Đề19

Thời gian: 120 phút

Câu I: (2đ)

1) Cho a−1

2 = b+3

4 = c −5

6 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c

2) Cho tØ lÖ thøc : a

b= c

d Chøng minh :

2a2−3 ab

+5b2 2b2

+3 ab =

2c2−3 cd

+5d2 2d2

+3 cd Víi

điều kiện mẫu thức xác định Câu II : Tính : (2đ)

1) A =

3 5+

5 7+ + 97 99

2) B = −1

3+ 32−

1

33+ + 350−

1 351

Câu III : (1,5 đ) Đổi thành phân số số thập phân sau :

a 0,2(3) ; b 1,12(32)

Câu IV : (1.5đ) Xác định đa thức bậc biết : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = ; p(3) =

Câu V : (3đ) Cho tam giác ABC có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác vng cân đỉnh A ABD ACE Gọi M;N;P lần lợt trung điểm BC; BD;CE

a Chøng minh : BE = CD vµ BE  víi CD

b Chøng minh tam giác MNP vuông cân

(11)

Bài (1,5đ): Thực phép tính:

a) A =

3

0, 375 0,

1, 0, 75

11 12

5 5

0, 265 0, 2, 1, 25

11 12

  

  

     

b) B = + 22 + 24 + + 2100

Bài (1,5đ):

a) So sánh: 230 + 330 + 430 3.2410

b) So sánh: + 33 29+ 14

Bài (2đ): Ba máy xay xay đợc 359 thóc Số ngày làm việc máy tỉ lệ với 3:4:5, số làm việc máy tỉ lệ với 6, 7, 8, công suất máy tỉ lệ nghịc với 5,4,3 Hỏi máy xay đợc bao nhiờu tn thúc

Bài (1đ): Tìm x, y biÕt:

a) 3x  b)

1 1

1.2 2.3 99.100 x

 

    

 

 

Bài ( 3đ): Cho ABC có góc nhỏ 1200 Vẽ phía tam giác ABC c¸c

tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng: a) BMC1200

b) AMB 1200

Bài (1đ): Cho hàm số f(x) xác định với x thuộc R Biết với x ta

cã:

2

1 ( ) ( )

f x f x

x

 

TÝnh f(2)

- HÕt

-Đề 21

Câu (2đ) Tìm x, y, z Z, biÕt

a x  x = - x

b x

6− y=

1

c 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 Câu (2đ)

a Cho A = (1

22−1).(

1 32−1).(

1

42−1) (

1

1002 −1) H·y so s¸nh A víi −

1

b Cho B = √x+1

√x −3 Tìm x Z để B có giá trị số nguyên dơng

(12)

Một ngời từ A đến B với vận tốc 4km/h dự định đến B lúc 11 45 phút Sau

khi đợc

5 qng đờng ngời với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 tra

Tính quãng đờngAB ngời khởi hành lúc giờ?

Câu (3đ) Cho ΔABC có ˆA > 900 Gọi I trung điểm cạnh AC Trên tia đối

cđa tia IB lÊy ®iĨm D cho IB = ID Nèi c víi D

a Chøng minh ΔAIB=ΔCID

b Gäi M lµ trung ®iĨm cđa BC; N lµ trung ®iĨm cđa CD Chøng minh I trung điểm MN

c Chøng minh AIB AIB BIC

d Tìm điều kiện ca ABC ACCD

Câu (1đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 14 x

4− x ;⟨x∈Z⟩ Khi x nhận giỏ

trị nguyên nào?

- Hết

-Đề 22

Bài 1: (2,5đ)

a Tìm x biết : |2x −6| +5x =

b Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90) ( 12.34 – 6.68) : (1

3+ 4+

1 5+

1 6) ;

c So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 vµ B = 2101

Bài :(1,5đ) Tìm tỉ lệ ba cạnh tam giác biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tỉ lệ kết :5 : :

Bài :(2đ) Cho biÓu thøc A = √x+1

√x −1

a Tính giá trị A x = 16

9 vµ x =

25

b Tìm giá trị x để A =5

Bài :(3đ) Cho tam giác ABC vuông C Từ A, B kẻ hai phân giác cắt AC ë E, c¾t

BC D Từ D, E hạ đờng vng góc xuống AB cắt AB M N Tính góc MCN ?

Bµi : (1đ) Với giá trị x biÓu thøc : P = -x2 – 8x +5 Có giá trị lớn

Tỡm giỏ trị lớn ?

- HÕt

-Đề 23

Câu 1: (3®)

a TÝnh A =  

2

1

0, 25

4

            

(13)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Năm hc 2010-2011

b Tìm số nguyên n, biết: 2-1.2n + 4.2n = 9.25

c Chøng minh víi mäi n nguyên dơng thì: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hết cho 10

Câu 2: ((3đ)

a 130 hc sinh thuc lớp 7A, 7B, 7C trờng tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc 2cây, cây, Hỏi lớp có học sinh tham gia trồng cây? Biết số trồng đợc lớp

b Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) số nguyên

Câu 3: (4đ ) Cho tam giác cân ABC, AB=AC Trên cạnh BC lấy điểm D Trên Tia tia BC lấy điểm E cho BD=BE Các đờng thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC lần lợt M N Chứng minh:

a DM= ED

b Đờng thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN

c Đờng thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi BC

- HÕt

-Đề 24

Câu 1: (2 ®iĨm) Rót gän biĨu thøc a a a

b a a

c 3x1 x

Câu 2: Tìm x biết:

a 5x - x = b 2x3 - 4x <

Câu 3: (2đ) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số

cđa nã tû lƯ víi số 1; 2;

Câu 4: (3,5đ) Cho ABC, cạnh AB lấy điểm D E Sao cho AD = BE

Qua D E vẽ đờng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh DM + EN = BC

- HÕt

-§Ị 25

Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )

Bài 1:(1điểm) HÃy so sánh A B, biết: A=

2006 2007

2007 2008

10 10

; B =

10 10

 

.

Bài 2:(2điểm) Thực phép tÝnh:

A=

1 1

1

1 2 3 2006

     

  

     

      

(14)

Tuyển chọn đề thi học sinh gii toỏn Nm hc 2010-2011

Bài 3:(2điểm) Tìm số x, y nguyên biết rằng:

x 1

8 y

Bài 4:(2 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chøng minh r»ng:

2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.

Bài 5:(3 điểm) Cho tam giác ABC cóB=C=50 Gọi K điểm tam gi¸c

sao cho KBC = 10 KCB = 30  a Chøng minh BA = BK b TÝnh sè ®o gãc BAK

- HÕt

-§Ị thi 26

Câu Với số tự nhiên n hÃy so s¸nh:

a A=

22+ 32+

1

42+ +

n2 víi

b B =

22+

1 42+

1 62+ +

1

(2n)2 với 1/2

Câu 2: Tìm phần nguyên , víi α=√2+√3

2+

4

√43+ + n+1

√n+1

n

Câu 3: Tìm tỉ lệ cạnh tam giác, biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao

của tam giác tỉ lệ kết 5: :

Câu 4: Cho góc xoy , hai cạnh ox oy lần lợt lấy điểm A B AB

có độ dài nhỏ

C©u 5: Chøng minh a, b, c a+b+c số hữu tỉ

-Phần 2: H ớng dÉn gi¶i

Hớng dẫn giải đề số Câu 1:

Mỗi tỉ số cho bớt ta đợc:

2

1

a b c d a b c d

a b

     

  

=

2

1

a b c d a b c d

c d

     

  

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

           

  

(15)

A M B

+, NÕu a+b+c+d = th× a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b);

d+a = -(b+c), lúc M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4

C©u 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c)

Vì < a+b+c27 nên a+b+c 37 Mặt khác( 3; 37) =1 nên 3(a+b+c) 37 => S không

thể số phơng Câu 3:

Quóng đờng AB dài 540 Km; nửa quảng dờng AB dài 270 Km Gọi quãng đờng ô tô xe máy S1, S2 Trong thời gian quãng đờng tỉ lệ thuận với vận tốc

đó

1 2

S S t

V V  (t chÝnh lµ thêi gian cần

tìm) t=

270 270 540 270 (540 ) (270 ) 270

;

65 40 130 40 130 40 90

a a a a a a

t

      

     



Vậy sau khởi hành tơ cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M

Câu 4:

a, Tia CO cắt AB D

+, Xét BOD có BOC góc nên BOC = B1D

+, Xét ADC có góc D1 góc nên



1

D  A C

VËy BOC =A C1+B1

b, NÕu

  900 

2 A ABO ACO  

th× BOC =

 900  900 

2

A A

A   

XÐt BOC cã:

     

    

0 0

2

0

2

180 180 90

2 180

90 90

2 2

A B

C O B

A B C C

C

 

        

 

 

    

 tia CO tia phân giác góc C

Câu 5:

Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ đờng thẳng lần lợt song song với đờng thẳng cho đ-ờng thẳng qua O tạo thành 18 góc khơng có điểm chung, góc tơng ứng góc hai đờng thẳng số đơng thẳng cho Tổng số đo 18 góc đỉnh

A

B

C

D

(16)

O 3600 có góc khơng nhỏ 3600 : 18 = 200, từ suy

có hai đờng thẳng mà góc nhọn chúng khơng nhỏ 200.

C©u 6:

Tỉng số điểm ghi hai mặt hai súc sắc là: = 1+1

3 = 1+2 = 2+1

4 = 1+3 =2 +2 = 3+1 = 1+4 =2+3=3+2=4+1 6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1

7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1 8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2

9=3+6=4+5=5+4=6+3 10=4+6=5+5=6+4 11=5+6=6+5 12=6+6

Nh vËy tổng số điểm có khả xảy tíi 16,7%

-Đáp án đề số 2

Câu1: Nhân vế bất đẳng thức ta đợc : (abc)2=36abc

+, Nếu số a,b,c số cịn lại +,Nếu 3số a,b,c khác chia vế cho abc ta đợc abc=36

+, Từ abc =36 ab=c ta đợc c2=36 nên c=6;c=-6

+, Từ abc =36 bc=4a ta đợc 4a2=36 nên a=3; a=-3

+, Từ abc =36 ab=9b ta đợc 9b2=36 nên b=2; b=-2

-, NÕu c = avà b dấu nên a=3, b=2 a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 avà b trái dấu nên a=3 b=-2 a=-3 b=2 Tóm lại có số (a,b,c) thoÃ mÃn toán

(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu (3đ)

a.(1đ) 5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5đ)

 …  1/5<x<1 (0,5®)

b.(1®) 3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ) *Nếu 3x+1>4=> x>1

*Nếu 3x+1<-4 => x<-5/3

Vậy x>1 x<-5/3 (0,5đ)

c (1®) 4-x+2x=3 (1)

* 4-x0 => x4 (0,25®)

(17)

(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu3 (1đ) áp dụng a+ba+bTa cã

A=x+8-xx+8-x=8 MinA =8 <=> x(8-x) 0 (0,25®)

*

¿

x ≥0 8− x ≥0

¿{

¿

=>0x8 (0,25®)

*

¿

x ≤0 8− x ≤0

¿{

¿

=>

¿

x ≤0 x ≥8

{

không thoÃ mÃn(0,25đ)

Vậy minA=8 0x8(0,25đ)

Câu4 Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102

=22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ)

Câu5.(3đ)

Chứng minh: a (1,5®)

Gọi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đờng trung bình => ME//BD(0,25)

Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D trung điểm AE => AD=DE (1)(0,5đ)

Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ)

Trong tam giác MAE ,ID đờng trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME Đờng trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ)

So s¸nh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25đ)

C©u Ta cã a

b b c

c d=

a

d (1) Ta l¹i cã a b=

b c=

c d=

a+b+c

b+c+a (2)

Tõ (1) vµ(2) => (a+b+c

b+c+d)

3

=a d

C©u A = a

b+c= c a+b=

b c+a =

a+b+c 2(a+b+c)

NÕu a+b+c  => A =

2

NÕu a+b+c = => A = -1

A

B M

C D

(18)

C©u a) A = +

x −2 để A  Z x- ớc

=> x – = ( 1; 5)

* x = => A = * x = => A = * x = => A = - * x = -3 => A =

b) A =

x+3 - để A  Z x+ ớc

=> x + = ( 1; 7)

* x = -2 => A = * x = => A = -1 * x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3 Câu a) x = -

b) x = hc - 11 c) x =

C©u ( Tự vẽ hình)

MHK cân M

ThËt vËy:  ACK =  BAH (gcg) => AK = BH

 AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH

VËy: MHK cân M

Câu 1: Gọi x, y, z độ dài cạnh tơng ứng với đờng cao 4, 12, a Ta có: 4x = 12y = az = 2S

 x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 điẻm) Do x-y < z< x+y nªn

S 2−

S 6<

2S a <

S 2+

S 6⇒

2 6<

2 a<

2

3 (0,5 ®iĨm)

 3, a , Do a N nên a=4 a= (0,5 ®iÓm)

2 a Tõ a

b= c d 

a c=

b d=

a− b c −d⇒

a c=

a −b c − d⇔

a a −b=

c

c −d (0,75 ®iĨm)

b a

b= c

d  a c=

b d=

a+b c+d⇒

b d=

a+b c+d⇔

a+b b =

c+d

d (0,75 điểm)

Câu 2: V× tÝch cđa sè : x2 – ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 lµ số âm nên phải có số

âm số âm

Ta có : x2 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – Xét trờng hợp:

+ Có số âm: x2 – 10 < x2 –  x2 – 10 < < x2 – 7  7< x2 < 10  x2 =9 ( x  Z )  x =  ( 0,5 ®iĨm)

+ có số âm; số dơng

x2 – 4< 0< x2 –  < x2 < 4

do x Z nên không tồn x VËy x =  (0,5 ®iĨm)

(19)

= [| x-a| + | x-d|] + [|x-c| + | x-b|]

Ta cã : Min [| x-a| + | x-d|] =d-a axd

Min [|x-c| + | x-b|] = c – b b x  c ( 0,5 ®iĨm) VËy A = d-a + c – b b x  c ( 0, điểm) Câu 4: ( điểm)

A, VÏ Bm // Ax cho Bm n»m gãc ABC  Bm // Cy (0, ®iĨm)

Do góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC

 ABm + CBm = A + C tøc lµ ABC = A + C ( 0, ®iĨm)

b VÏ tia Bm cho ABm vµ A lµ gãc so le vµ ABM = A  Ax// Bm (1)

CBm = C  Cy // Bm(2)

Tõ (1) vµ (2)  Ax // By

Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA NOC ta có:

AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, điểm)

Tơng tự ta có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0,

điểm)

Từ (1); (2) (3) ta cã: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, ®iĨm).

-H

ớng dẫn chấm đề số 5:

Câu 1(2đ):

a) A = - 99 100 100

1 100 102

2

2    (1® )

b) 2n 3n 1 5n1 (0,5® )

n + -1 -5

n -2 -6

 6; 2;0; 4

n

   

(0,5đ ) Câu 2(2đ):

a) Nếu x

1 

th× : 3x - 2x - = => x = ( thảo mÃn ) (0,5đ)

Nếu x <

1 

th× : 3x + 2x + = => x = 1/5 ( lo¹i ) (0,5®)

VËy: x =

b) =>

1

2

x y z

 

vµ 2x + 3y - z = 50 (0,5®)

=> x = 11, y = 17, z = 23 (0,5đ)

Câu 3(2đ): Các phân số phải tìm là: a, b, c ta cã : a + b + c =

213 70

vµ a : b : c =

3

: : : 40 : 25

5  (1®) =>

9 12 15

, ,

35 14

a b c

(20)

KỴ DF // AC ( F thc BC ) (0,5® )

=> DF = BD = CE (0,5® ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1® )

=> gãc DIF = gãc EIC => F, I, C thẳng hàng => B, I, C

thẳng hàng (1đ) Câu 5(1đ):

=>

7.2 1

(14 1) 7 x y x y     

=> (x ; y ) cần tìm ( ; )

-Đáp án đề số 6:

C©u 1: a) Ta cã:

1 2= 1−

1 ;

1 3=

1 2−

1 ;

1 4=

1 3−

1

4 ; …; 99 100=

1 99−

1 100

VËy A = 1+ (−1

2 + 2)+(

−1 +

1

3)+ +( −1 99 +

1 99)−

1 100=1−

1 100=

99 100

b) A = 1+

2(

2 )+ 3(

3 )+

1 4(

4

2 )+ + 20(

20 21 ) =

= 1+

2+ 2+ .+

21 =

1

2(2+3+4+ +21)=¿

=

2( 21 22

2 −1) = 115

Câu 2: a) Ta có: 17>4 ; 26>5 nên 17+26+1>4+5+1 hay √17+√26+1>10

Cịn √99 < 10 Do đó: √17+√26+1>√99

b)

√1> 10 ;

1 √2>

1 10 ;

1 √3>

1

10 ; … ; √100=

1 10

VËy:

√1+ √2+

1

√3+ +

√100>100 10=10

Câu 3: Gọi a,b,của chữ số số có ba chữ số cần tìm Vì chữ số a,b,của không vợt ba chữ số a,b,của khơng thể đồng thời , ta khơng đ-ợc số có ba chữ số nên: a+b+c 27

Mặt khác số phải tìm bội 18 nên a+b+c =9 a+b+c = 18 a+b+c=17

Theo giả thiết, ta có: a

1= b 2=

c 3=

a+b+c

6 Do đó: ( a+b+c) chia hết cho

Nªn : a+b+c =18  a

1= b 2= c 3= 18

6 =3  a=3; b=6 ; cđa =9

Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy số phải tìm là: 396; 936

C©u 4:

a) VÏ AH  BC; ( H BC) cña ABC

(21)

BD= AB (gt)

Gãc A1= gãc B1( cïng phơ víi gãc B2)

AHB= BID ( c¹nh hun, gãc nhän)

AH BI (1) vµ DI= BH

+ Xét hai tam giác vuông AHC CKE có: Gãc A2= gãc C1( cïng phơ víi gãc C2)

AC=CE(gt)

AHC= CKB ( c¹nh hun, gãc nhän) AH= CK (2)

tõ (1) vµ (2)  BI= CK vµ EK = HC

b) Ta cã: DI=BH ( Chứng minh trên) tơng tự: EK = HC

T BC= BH +Hc= DI + EK Câu 5: Ta có:

A = |x −2001|+|x −1| = |x −2001|+|1− x|≥|x −2001+1− x|=2000

Vậy biểu thức cho đạt giá trị nhỏ 2000 x-2001 1-x dấu, tức :  x  2001

biểu điểm :

Câu 1: điểm a điểm b điểm Câu 2: ®iÓm : a ®iÓm b ®iĨm C©u : 1,5 ®iĨm

C©u 4: ®iĨm : a ®iĨm ; b ®iĨm Câu : 1,5 điểm

C©u1:

a, (1) ⇔x+2 327 +1+

x+3 326 +1+

x+4 325 +1+

x+5 324 +1+

x+349

5 −4=0 (0,5 ® )

⇔(x+329)( 327 +

1 326+

1 325+

1 324+

1 5)=0

x+329=0x=329 (0,5đ )

b, a.Tìm x, biÕt: 5x - 3 - x =  5x  x 7 (1) (0,25 ®)

ĐK: x -7 (0,25 đ)

 

5

1

5

x x

   

 

  

 … (0,25 ®)

VËy cã hai giá trị x thỏa mÃn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®)

C©u 2:

a, S=1−1

7+ 72−

1 73+

1

74+ −

1

72007 ; 7S=7−1+

1 7−

1 72+

1

73− .−

1

72006 (0.5®)

8S=7−

72007

7 7 2007 

 S

(22)

b,

2!+ 3!+

3

4!+ .+ 99 100!=

2−1 2! +

3−1

3! + +

100−1

100! (0,5®)

¿1−

100!<1 (0,5®)

c, Ta cã 3n+2− 2n+2

+3n−2n=3n+2+3n−(2n+2−2n) (0,5®)

3n.10−2n 5

=3n 10−2n −2 10=10(3n−2n −2)⋮10 (0,5®)

Câu 3: Gọi độ dài cạnh a , b, c, chiều cao tơng ứng x, y, z, diện tích S ( 0,5đ )

a=2S

x b= 2S

y c= 2S

z (0,5®) ⇒

a 2= b 3= c 4⇒ 2S 2x=

2S 3y=

2S

4z (0,5®) ⇒2x=3y=4z⇒x

6= y 4=

z

3 vËy x, y, z tØ lƯ víi ; ; (0,5®)

Câu4: GT; KL; Hình vẽ (0,5đ)

a, Góc AIC = 1200 (1 ® )

b, LÊy H∈AC : AH = AQ ⇒IQ=IH=IP (1 ® )

C©u5: B ; LN B ;LN⇔2(n −1)2+3 NN

Vì (n −1)2≥0⇒2(n −1)2+3≥3 đạt NN (0,5đ)

DÊu b»ng x¶y n −1=0⇔n=1

vËy B ; LN B=1

3 n=1 (0,5đ)

Câu : điểm Mỗi câu điểm

a) (x-1) ❑5 = (-3)

❑5 ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2

b) (x+2)(

11+ 12+ 13− 14 −

15 ) =

1 11+ 12+ 13− 14 −

15 ⇒ x+2 = ⇔ x =

c) x - √x = ⇔ ( √x ) ❑2 - 2 √x = ⇔ √x ( √x - 2) = ⇒ √x =

0 ⇒ x =

hc √x - = ⇔ √x = ⇔ x =

C©u : điểm Mỗi câu 1,5 điểm

a)

x+ y 4= , x+ 2y = ,

5 x=

1−2y

x(1 - 2y) = 40 ⇒ 1-2y lµ ớc lẻ 40 Ước lẻ 40 : ;

Đáp số : x = 40 ; y = x = -40 ; y = x = ; y = -2 x = -8 ; y =

b) Tìm x z để A Z A= √x+1

√x −3=1+ √x −3

A nguyªn

(23)

C¸c gi¸ trị x : ; 4; 16 ; 25 ; 49 Câu : điểm

2 |5x −3| - 2x = 14 ⇔ |5x −3| = x + (1)

§K: x  -7 (0,25 ®)

 

5

1

5

x x

   

 

  

 … (0,25 đ)

Vậy có hai giá trị x thỏa mÃn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ)

Câu4 (1.5 điểm)

C¸c gãc A, B , C tØ lƯ víi 7, 5,

A 7=

B 5=

C 3=

A+B+C

15 =

1800 15 =12

⇒ A= 840 ⇒ góc ngồi đỉnh A 960

B = 600 ⇒ góc ngồi đỉnh B 1200

C = 360 ⇒ góc ngồi đỉnh C 1440

Các góc tơng ứng tỉ lệ víi ; ;

b)

1) AE = AD ⇒ Δ ADE c©n

⇒ E D E  1 EDA



1

E =



0

180

A 

(1) Δ ABC c©n ⇒ B C 



1

AB C=



0

180

A 

(2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒ E1 ABC

⇒ ED // BC

a) XÐt Δ EBC vµ Δ DCB cã BC chung (3)

 

EBC DCB (4)

BE = CD (5)

Tõ (3), (4), (5) ⇒ Δ EBC = Δ DCB (c.g.c)

⇒ BEC CDB

= 900 ⇒ CE  AB

………

Đáp ỏn s 9

Bài 1: điểm

a, TÝnh: A =

10 −

175 100

¿

31 (

183 −

176 )−

12 11 ¿

(24)

=

31 −

19 11 1056 1001−

1001 1001

=

341−57 33

55 1001

=284 33

1001 55 =

284284 1815

b, 1,5 ®iĨm Ta cã:

+) + +7 +……+ 100 = ( 1+100) + ( + 97) +…….+ ( 49+ 52) = 101 34 = 1434

34 cỈp +) 1434 – 410 = 1024

+) ( 18 123 + 436 + 5310 ) = 18 ( 123 + 436 + 5310 )

= 18 5869 = 105642

VËy A = 105642 : 1024 103,17

Bài 2: Điểm

Giọi số cần tìm x, y, z Số nhỏ x , sè lín nhÊt lµ z Ta cã: x y z (1)

Theo gi¶ thiÕt:

x+ y+

1

z=2 (2) Do (1) nªn z =

1 x+

1 y+

1 z≤

3 x

Vậy: x = Thay vào (2) , đợc:

y+ z=1≤

2 y

Vậy y = Từ z = Ba số cần tìm 1; 2;

Bài 3: Điểm

Cú trang có chữ số Số trang có chữ số từ 10 đến 99 nên có tất 90 trang Trang có chữ số sách từ 100 đến 234, có tất 135 trang Suy số chữ số tất trang là:

9 + 90 + 135 = + 180 + 405 = 594 Bµi : Điểm

Trên tia EC lấy điểm D cho ED = EA

Hai tam giác vuông Δ ABE = Δ DBE ( EA = ED, BE chung)

Suy BD = BA ; BAD BDA  .

Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B

VËy EC – ED = AB Hay CD = AB (2)

Tõ (1) vµ (2) Suy ra: DC = BD

Vẽ tia ID phân gi¸c cđa gãc CBD ( I BC )

Hai tam giác: CID BID có :

ID cạnh chung,

CD = BD ( Chứng minh trên)

CID=IDB ( DI phân giác góc CDB )

Vậy CID = Δ BID ( c g c) ⇒ C = IBD   Gäi C lµ α ⇒

  

BDA = C + IBD = ⇒ C

= α ( gãc ngoµi cđa Δ BCD)

mµ A = D   ( Chøng minh trªn) nªn A = α ⇒2α+α = 900 ⇒ α = 300

Do ; C = 300 A = 600

-H

(25)

Bài 1.a Xét trờng hợp : * x5 ta đợc : A=7 *x5 ta đợc : A = -2x-3.

b XÐt x5  2x10 2x 10 3  hay A > VËy : Amin = x5

Bµi 2. a §Ỉt : A = 2 2

1 1

6 7  100

Ta cã :

* A <

1 1

4.5 5.6 6.7   99.100 =

1 1 1

4 5 6    99 100 =

1 1

4 100 4

* A >

1 1 1 1

5.6 6.7  99.100 100.101 101 6    .

b Ta cã :

2 17

3 3

a a a

 

 

   =

4 26 a a

  =

=

4 12 14 4( 3) 14 14

4

3 3

a a

a a a

   

  

   lµ sè nguyªn

Khi (a + 3) ớc 14 mà Ư(14) =    1; 2; 7; 14 Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; ; - 10; 11 ; -17

Bài 3. Biến đổi :

 

12 30

A n n n  

§Ó A n6  n n 130 6 n

*n n 1n 30n n  ¦(30) hay n {1, , 3, , , 10 , 15 , 30}.

*30 6  n n 1 6  n n 1 3 +n3 n3,6,15,30 

+n1 3  n1,10 

 n {1 , , , 10 , 15 , 30}.

-Thử trờng hợp ta đợc : n = 1, 3, 10, 30 thỗ mãn tốn

Bµi 4.

-Trªn Oy lÊy M’ cho OM’ = m Ta có : N nằm O, M MN = OM

-Dùng d lµ trung trùc cđa OM’ Oz phân giác góc xOy chúng cắt t¹i D -ODM M DN c g c' ( ) MD ND

 D thuéc trung trùc cña MN.

-Rõ ràng : D cố định Vậy đờng trung trực MN qua D cố nh

Bài 5. -Dạng tổng quát đa thức bËc hai lµ :  

2

f x ax bx c

(a0).

- Ta cã :      

2

1 1

f x a x b x c

x

z

d d m

n i m' y

(26)

- f x  f x 1 2ax a b x  

2 a b a        2 a b        

VËy ®a thức cần tìm :

2

1

2

f x  x x c

(c số) áp dơng :

+ Víi x = ta cã : 1f  1  f  0 + Víi x = ta cã : 1f  2  f  1

………

+ Víi x = n ta cã : nf n  f n 1 

 S = 1+2+3+…+n = f n  f  0 =

 

2 1

2 2

n n n n

c c 

   

L

u ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình khơng chấm điểm.

Câu1 (làm đợc điểm)

Ta cã:

2 20 x x

x x



  =

2

2 10 20

x x

x x x



   =

2 ( 2)( 10)

x x

x x



  (0,25đ)

Điều kiện (x-2)(x+10) x 2; x -10 (0,5đ)

Mặt khác x = x-2 nÕu x>2 -x + nÕu x< (0,25đ)

* Nếu x>

2 ( 2)( 10)

x x

x x



  =

( 2) ( 2)( 10)

x x

x x



  = 10

x

x (0,5đ)

* Nếu x <2

2 ( 2)( 10)

x x

x x



  =

( 2) ( 2)( 10)

x x

x x

 

  = 10

x x



 (điều kiện x  -10) (0,5đ) Câu 2 (làm đợc 2)

Gọi số học sinh trồng Líp 7A,7B, 7C theo thø tù lµ x, y, z (x> 0; y >0 ; z >0)

Theo đề ta có

 94(1)

3 (2)

x y z x y z

  

 

(27)

Tõ (2) 

3 60

x

=

4 60

y

=

5 60

z

hay 20

x

=15

y

=12

z

(0,5đ) áp dụng tính chất dÃy tỷ số ta cã :

20 x

=15

y

=12

z

= 20 15 12

x y z    =

94

47=2 (0,5đ) x= 40, y=30 z =24 (0,5®)

Số học sinh trồng lớp 7A, 7B, 7C lần lợt 40, 30, 24 Câu (làm cho 1,5đ)

§Ĩ

2006

10 53

9 

số tự nhiên 102006 + 53 (0,5đ)

Để 102006 + 53 102006 + 53 có tổng chữ số chia hết cho 9

mµ 102006 + 53 = 1+ +0 + + + 5+3 = 9 9

 102006 + 53  hay

2006

10 53

9 

lµ sè tù nhiên (1đ)

Câu 4 (3đ)

- V c hình, ghi GT, KL đợc 0,25đ

a, ABC cã àA1ảA2 (Az tia phân giác củaảA )

µ µ

1

A C (Ay // BC, so le trong)

ảA2 Cà1VABC cân t¹i B

mà BK  AC  BK đờng cao  cân ABC

 BK còng trung tuyến cân ABC (0,75đ)

hay K trung điểm AC

b, Xét cân ABH vuông BAK

Có AB cạng huyền (cạnh chung)

ả

2 1( 30 )

A B 

Vì

ả

2

0 0

30 90 60 30

A A B

 

  

 vu«ng ABH =  vu«ng BAK BH = AK mµ AK = 2

AC AC

BH

 

(1®)

c, AMC vuông M có AK = KC = AC/2 (1) MK trung tuyến thuộc cạnh huyÒn

 KM = AC/2 (2)

Tõ (10 (2) KM = KC KMC cân

Mặt khác AMC có Mả 90 A=300 MKC· 900 300 600

 AMC (1đ)

Câu 5 Làm câu đợc 1,5đ Xây dựng sơ đồ giải toán

Đáp án : Tây đạt giải nhất, Nam giải nhì, Đơng giải 3, Bắc giải

(28)

Câu 1: (2đ)

a) Xét khoảng x ≥2

3 đợc x = 4,5 phù hợp 0,25 đ

XÐt kho¶ng x<2

3 đợc x =

-5

4 phù hợp 0,25 đ

b) Xét khoảng x 3

2 Đợc x > 0,2đ

Xét khoảng x<3

2 Đợc x < -1 0,2đ

Vậy x > x < -1 0,1đ

c) Xét kho¶ng x ≥

1

3 Ta cã 3x -

8   x

Ta đợc

1 3≤ x ≤

8

XÐt kho¶ng x<1

3 Ta cã -3x + ⇒x ≥ −2

Ta đợc −2≤ x ≤1

3

Vậy giá trị x thoã mãn đề −2≤ x ≤8 Câu 2:

a) S = 1+25 + 252 + + 25100 0,3®

⇒25S=25+252+ +25101

⇒24S=25S − S=25101−1 0,3®

VËy S = 25101−1

24 0,1®

b) 430= 230.230 = (23)10.(22)15 >810.315> (810.310)3 = 2410.3 0,8®

VËy 230+330+430> 3.224 0,2®

Câu 3: a) Hình a

AB//EF có hai gãc cïng phÝa bï EF//CD v× cã hai gãc cïng phÝa bï VËy AB//CD

b) Hình b

AB//EF Vì có cặp góc so le 0,4đ CD//EF có cặp gãc cïng phÝa bï 0,4® VËy AB//CD 0,2đ

Câu 4: (3đ)

a) MN//BC MD//BD ⇒ D trung ®iĨm AP 0,3 ®

BP vừa phân giác vừa trung tuyến nên đờng cao BD AP 0,2đ

Tơng tự ta chứng minh đợc BE AQ 0,5 đ b) AD = DP

ΔDBP=ΔBDE (g.c.g) ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD

0,5 ®

(29)

BP = 2MD = 2ME = BQ

Vậy B trung điểm PQ 0,2đ c) BDE vuông B, BM trung tuyến nên BM = ME 0,4đ

ADB vuông D có DM trung tuyến nên DM = MA 0,4® DE = DM + ME = MA + MB 0,2đ

Câu 5: 1đ

A = 1+10

4− x A lín nhÊt  10

4− x lín nhÊt 0,3®

XÐt x > th× 10

4− x <

XÐt < x th× 10

4− x > a lín nhÊt  - x nhá nhÊt ⇒ x =

0,6®

C©u 1: ( ý 0,5 điểm )

a/ 4x3- x = 15 b/ 3x - x >

 4x3 = x + 15  3x > x + 1

* Trêng hỵp 1: x  -3

4 , ta cã: * Trêng hỵp 1: x 

2

3, ta cã:

4x + = x + 15 3x - > x +

 x = ( TM§K).  x >

3

2 ( TM§K).

* Trêng hỵp 2: x <

-3

4 , ta cã: * Trêng hỵp 2: x <

2

3, ta cã:

4x + = - ( x + 15) 3x – < - ( x + 1)

 x = - 18

5 ( TM§K).  x <

1

4 ( TM§K)

VËy: x = hc x = -

18

5 . VËy: x >

3

2 hc x < 4.

c/ 2x3    5 2x 3  4 x

C©u 2:

a/.Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 ( )

(- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + … + (- 7)2007 + (- 7)2008 ( 2)

 8A = (- 7) – (-7)2008

Suy ra: A =

1

8.[(- 7) – (-7)2008 ] = -

1

8( 72008 + )

(30)

A

D

Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 , cã 2007 sè h¹ng Nhãm sè liªn tiÕp

thành nhóm (đợc 669 nhóm), ta đợc:

A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + … + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007]

= (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + … + (- 7)2005 [1 + (- 7) + (- 7)2]

= (- 7) 43 + … + (- 7)2005 43

= 43.[(- 7) + … + (- 7)2005]  43

VËy : A  43

b/ * Điều kiện đủ:

Nếu m  n  m2  3, mn  n2  3, đó: m2+ mn + n2 9.

* §iỊu kiƯn cÇn:

Ta cã: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn (*)

Nếu m2+ mn + n2 m2+ mn + n2 3, từ (*),suy ra: ( m - n)2  ,do ( m -

n)  ( m - n)2 3mn  nên mn  ,do hai số m n chia

hết cho mà ( m - n)  nên số m,n chia hết cho 3.

C©u 3:

Gọi độ dài cạnh tam giác a, b, c ; đờng cao tơng ứng với cạnh , hb ,

hc

Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( + hc ) = : :

Hay:

1

3(ha +hb) =

4( hb + hc ) =

5( ha + hc ) = k ,( víi k  0).

Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( + hc ) = 5k

Céng biểu thức trên, ta có: + hb + hc = 6k

Từ ta có: = 2k ; hb =k ; hc = 3k

MỈt khác, gọi S diện tích ABC , ta có:

a.ha = b.hb =c.hc

 a.2k = b.k = c.3k

 a

=

b

=

c

Câu 4:

Giả sử DC không lớn DB hay DC  DB.

* Nếu DC = DB BDC cân D nên DBC = BCD.Suy ra:ABD = ACD.Khi ta có: ADB

 = ADC (c_g_c) Do đó: ADB = ADC ( trái với giả thiết) .

* NÕu DC < DB BDC, ta có DBC < BCD mà ABC = ACB suy ra:



ABD >ACD ( )

XÐt ADB vµ ACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC < DB.



(31)

Tõ (1) (2) ADB ACD ta lại có ADB < ADC , điều trái với giả thiết.

VËy: DC > DB C©u 5: ( ®iÓm)

áp dụng bất đẳng thức: x y  x - y , ta có:

A = x1004 - x1003  (x1004) ( x1003) = 2007

VËy GTLN cđa A lµ: 2007

DÊu “ = ” x¶y khi: x  -1003.

-H

ớng dẫn chấm đề 13

Câu 1-a (1 điểm ) Xét trờng hợp 3x-2 3x -2 <0

=> kÕt luËn : Không có giá trị x thoả mÃn

b-(1 điểm ) Xét trờng hợp 2x +5 2x+5<0

Giải bất phơng trình => kết luận

Câu 2-a(2 điểm ) Gọi số cần tìm abc

abc 18=> abc VËy (a+b+c) ⋮ (1)

Ta cã : a+b+c 27 (2)

Tõ (1) (2) suy a+b+c =9 18 27 (3)

Theo bµi a

1 = b =

c =

a+b+c

6 (4)

Tõ (3) vµ (4) => a+b+c=18

vµ tõ (4) => a, b, c mµ abc => số cần tìm : 396, 936 b-(1 ®iÓm )

A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n-3+ 74n-2+74n-1+74n).

= (7 +72+73+74) (1+74+78+ +74n-4).

Trong : +72+73+74=7.400 chia hết cho 400 Nên A 400

Câu 3-a (1 điểm ) Tõ C kỴ Cz//By cã :

 

2

C + CBy = 2v (gãc cïng phÝa) (1)

 

1

C + CAx = 2v

 V× theo gi¶ thiÕt C

1+C2 +

α

+ γ = 4v =3600.

VËy Cz//Ax (2)

Từ (1) (2) => Ax//By

Câu 4-(3 điểm) ABC cân, ACB =1000=> CAB = CBA =400.

Trên AB lấy AE =AD Cần chứng minh AE+DC=AB (hoặc EB=DC) AED cân, DAE = 400: 2=200.

=> ADE =AED = 800 =400+EDB (gãc ngoµi cđa Δ EDB)

=> EDB =400 => EB=ED (1)

Trªn AB lÊy C’ cho AC’ = AC C

Δ CAD = Δ C’AD ( c.g.c) D

(32)

VËy Δ DC’E c©n => DC’ =ED (2)

Tõ (1) vµ (2) cã EB=DC’ A C E B

Mà DC =DC Vậy AD +DC =AB Câu (1 ®iÓm)

S=(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2004.

-3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2004]

= (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2005]

-3S-S=[(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2005]-(3)0-(-3)1- -(-3)2005.

-4S = (-3)2005 -1 S =

−3¿2005−1 ¿ ¿ ¿

= 32005+1

4

-Đáp án đề 13

Bµi 1: Ta cã : -

90 − 72 −

1 56 −

1 42−

1 30 −

1 20 −

1 12 −

1 6−

1

= - (

1 2+ 3+

1 4+

1 5+

1 6+

1 7+

1 8+

1 9+

1

9 10 ) 1®

= - (

1− 2+

1 2−

1 3+

1 3−

1

4+ + 8−

1 9+

1 9−

1

10 ) 1®

= - (

1−

10 ) =

9

10 0,5đ

Bài 2: A = |x −2|+|5− x|

Víi x<2 th× A = - x+ 2+ – x = -2x + >3 0,5đ

Với x A = x-2 x+5 = 0,5đ

Với x>5 A = x-2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5®

So sánh giá trị A khoảng ta thấy giá trị nhỏ A =

<=> x 1®

Bài 3: a Trên tia đối tia OC lấy điểm N cho ON = OC Gọi M trung điểm BC nên OM đờng trung bình tam giác BNC

Do OM //BN, OM =

2 BN

Do OM vu«ng gãc BC => NB vuông góc BC Mà AH vuông góc với BC thÕ NB // AH (1®)

A

C B

(33)

T¬ng tù AN//BH

Do NB = AH Suy AH = 2OM (1đ)

b Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AG HG IK đờng trung bình tam giác AGH nên IK// AH

IK =

2 AH => IK // OM vµ IK = OM ;

∠ KIG = ∠ OMG (so le trong)

Δ IGK = Δ MGO nên GK = OG IGK = MGO

Ba điểm H, G, O thẳng hàng 1đ

Do GK = OG mµ GK =

2 HG nªn HG = 2GO

Đờng thẳng qua điểm H, G, O đợc gọi đờng thẳng le 1đ

Bài 4: Tổng hệ số đa thức P(x) giá trị đa thức x=1 Vậy tổng hệ số đa thức:

0,5®

P(x) = (3-4x+x2)2006 (3+4x + x2)2007

B»ng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5®

C©u 1: Ta cã:

220  (mod2) nªn 22011969  (mod2)

119  1(mod2) nªn 11969220 1(mod2)

69  -1 (mod2) nªn 69220119  -1 (mod2)

VËy A  (mod2) hay A (1đ)

Tơng tự: A (1®)

A  17 (1®)

Vì 2, 3, 17 số nguyên tố

A 2.3.17 = 102

Câu 2: Tìm x

a) (1,5®) Víi x < -2  x = -5/2 (0,5®)

Víi -2 x giá trị x thoả mÃn (0,5đ) Với x > x = ẵ (0,5®)

b) (1,5®) Víi x < -2  Không có giá trị x thoả mÃn (0,5đ) Với -2 x 5/3 Không có giá trị x thoả mÃn (0,5đ)

Với x > 5/3 x = 3,5 (0,5đ) Bài 3:

a) Dễ dàng chứng minh đợc IH = 0M A

IH // 0M  0MN =  HIK (g.c.g) I E

Do đó: IHQ =  M0Q (g.c.g)

 QH = Q0 F H N

QI = QM P

b)  DIM vng có DQ đờng trung K Q O

(34)

QD = QI = QM B D M C

Nhng QI đờng trung bình  0HA nên

c) T¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2

Bài 4(1đ): Vì 3|x-5| x  R

Do A = 10 - 3|x-5| 10

Vậy A có giá trị lớn 10  |x-5| =  x =

-Đáp án đề 15.

Bµi

Điều kiện x (0,25đ)

a) A = -

7 (0,5®)

b) √x+3 >  A = -1  √x −5=−√x −3  x = (0,5®)

c) Ta cã: A = -

x+3 (0,25đ)

Để A Z x+3 ớc

x = {1; 25} A = {- 1; 0} (0,5đ)

Bµi

a) Ta cã: √7− x=x −1 

x −1≥0 x −1¿2

¿

⇔

¿ ¿x ≥1

¿ ¿

x=3; x=−2 7− x=¿

(1®)

b) Ta cã: 2M = – 22 + 23 – 24 + …- 22006 + 22007 (0,25®)

 3M = + 22007 (0,25®)  M =

2007

+1

3 (0,5®)

c) Ta cã: A = x4 + 2x2 +1  víi x ĐPCM (1đ)

Bài Ta cã:

0

ˆ ˆ ˆ 180

30

1

A B C

    Aˆ 30 ;0 Bˆ 60 ;0 Cˆ 900

    (0,5đ)

Vậy tam giác ABC tam giác vuông C (0,5đ) Bài GT, KL (0,5®)

a) Gãc AIC = 1200 (1®)

b) LÊy H  AC cho AH = AN (0,5®)

Từ chứng minh IH = IN = IM (1đ) Bài

A = + 2000

6− x (0,5®) AMax  – x > vµ nhá nhÊt

 – x =  x = Vậy x = thỗ mãn điều kiện tốn A Max= 2001 (0,5đ)

(35)

-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Năm học 2010-2011 ỏp ỏn 15

Câu 1: (2.5đ)

a a1 (1

2)

15

.(1 4)

20

=(1 2)

15

.(1 2)

40

=(1 2)

55

(0.5®)

a2 (1

9)

25

:(1 )

30

= (1

3)

50

:(1 )

30

= (❑3 )20 (0.5®)

b A =

5

94−2 69 210.38+68.20=

210 38.(1−3) 210.38(1+5) =

1

3 (0.5®)

c c1

33 = 0.(21) c2

7

22 = 0,3(18) (0.5®)

c3 0,(21) = 21

99=

33 ; c4 5,1(6) =

1

6 (0.5đ)

Câu 2: (2đ)

Gọi khối lợng khối 7, 8, lần lợt a, b, c (m3)

⇒ a + b + c = 912 m3 (0.5®)

⇒ Sè häc sinh cđa khèi lµ : a

1,2 ; b 1,4 ;

c 1,6

Theo đề ta có: b

3 4,1= a

1,2 vµ b 1,4=

c

5 1,6 (0.5®)

⇒ a

4 1,2= b 12 1,4=

c

15 1,6=20 (0.5®)

VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3.

Nªn sè HS khối 7, 8, lần lợt là: 80 hs, 240 hs, 300 hs (0.5đ)

Câu 3: ( 1.5đ): a.Tìm max A

Ta có: (x + 2)2 ⇒ (x = 2)2 + ⇒ A

max=

4 x = -2 (0.75đ)

b.Tìm B

Do (x – 1)2 ; (y + 3)2 0 ⇒ B 1

VËy Bmin= x = y = -3 (0.75đ)

Câu 4: (2.5đ) Kẻ CH cắt MB E Ta có EAB cân

tại E EAB =300

⇒ EAM = 200 ⇒ CEA = MAE = 200

(0.5®)

Do ACB = 800 ⇒ ACE = 400 ⇒ AEC =

1200 ( ) (0.5đ)

Mặt khác: EBC = 200 EBC = 400 ⇒ CEB =

1200 ( ) (0.5đ)

Từ ( ) ( ) ⇒ AEM = 1200

Do EAC = EAM (g.c.g) AC = AM MAC cân A (0.5đ)

Và CAM = 400 AMC = 700. (0.5đ)

Câu 5: (1.5đ)

E

300 100

M C

B

(36)

Giả sử a2 a + b không nguyên tố a2 a + b

Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: ⇒ a2 chia hÕt cho d ⇒ a chia hÕt

cho d vµ a + b chia hÕt cho d ⇒ b chia hÕta cho d (0.5®)

(a,b) = d trái với giả thiết

VËy (a2,a + b) =1. (0.5®)

-Đáp án (toán 7)

Câu I :

1) Xác định a, b ,c a−1

2 = b+3

4 = c −5

6 =

5(a −1)

10 =

−3(b+3) −12 =

−4(c −5) −24 =

5a −3b −4c −5−9+20

10−12−24 =−2

=> a = -3 ; b = -11; c = -7

C¸ch : a−1

2 = b+3

4 = c −5

6 = t ; sau rút a, b ,c thay vào tìm t =- tìm a,b,c

2) Chøng minh

Đặt a

b= c

d = k => a= kb ; c = kd Thay vào biÓu thøc :

2a2−3 ab+5b2 2b2+3 ab −

2c2−3 cd+5d2 2d2+3 cd =

k2−3k+5 2+3k −

k23k+5

2+3k =0 => đpcm

Câu II: Tính:

1) Ta cã :2A= 2(

3 5+

5 7+ +

97 99 ) = 3− 5+ 5−

7+ + 97− 99= 3− 99= 32 99 =>A = 16 99

2) B = = −13+ 32−

1

33+ + 350−

1 351 =

1

(−3)+

1

(−32)+

1

(−33)+ +

1

(−350)+

1

(−351) −3¿4

¿ ¿

1 (−32)+

1 (−33)+

1

¿

=>

−3B=¿

1

−3−

1

(−352) =

−351−1

352 => B =

(−351−1) 351

C©u III

Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) =

10+¿

10 0,(1).3 =

2 10+

3 10

1 =

7 30

0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+

1000 0,(32)= 0,12+

1

1000 0,(01).32 =

12 100+ 32 1000 99 = 1489 12375

C©u IV :

(37)

P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5

P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a =

2

Vậy đa thức cần tìm : P(x) =

2x(x −1)(x −2)−5x(x −1)+2(x −3)+16

=> P(x) =

2x

3

- 25

2 x

2

+12x+10

C©u V:

a) DÔ thÊy Δ ADC = Δ ABE ( c-g-c) => DC =BE

V× AE  AC; AD AB

mặt khác góc ADC = góc ABE => DC  Víi BE

b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN  MP

MN =

2 DC =

1

2 BE =MP;

VËy Δ MNP vu«ng cân M

-ỏp ỏn 20

Bµi 1:

a) A =

3 3 3 3

8 10 11 12

5 5 5 5

8 10 11 12

    



     

(0,25®)

A =

1 1 1 1

3

8 10 11 12

1 1 1 1

5

8 10 11 12

   

    

   

   



   

         

    (0,25®)

A =

3



+

3

5 = 0 (0,25®)

b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25®) 3B = 2102 – 1; B =

102

2

3

(0,25đ) Bài 2:

a) Ta cã 430 = 230.415 (0,25®)

3.2410 = 230.311 (0,25®)

mµ 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®)

b) = 36 > 29

33 > 14 (0,25®)

(38)

Bµi 3:

Gäi x1, x2 x3 lần lợt số ngày làm việc cđa m¸y



1

3

x x x

 

(1) (0,25đ)

Gọi y1, y2, y3 lần lợt số làm việc máy



1

6

y y y

 

(2) (0,25®)

Gọi z1, z2, z3 lần lợt công suất cđa m¸y

 5z1 = 4z2 = 3z3 

1

1 1

5

z z z

 

(3) (0,25đ)

Mà x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®)

Tõ (1) (2) (3) 

1 1 2 3 395 15

18 40 395

5 15

x y z x y z x y z

   

(0,5®)

 x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25®)

Vậy số thóc đội lần lợt 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4:

a) EAB = CAD (c.g.c)   (0,5®)

 ABMADM (1) (0,25®)

Ta cã

  

 

BMC MBD BDM (góc tam giác) (0,25đ)

 BMCMBA 600 BDM ADM BDM 600 1200 (0,25®)

b) Trªn DM lÊy F cho MF = MB (0,5®)

 FBM đều (0,25đ)

 DFB AMB (c.g.c) (0,25đ)

DFB AMB 1200 (0,5đ)

Bài 6: Ta cã

1

2 (2) ( )

2 x  f  f 

(0,25®)

1 1

( ) (2)

2

x  f  f 

(0,25®)



47 (2)

32

f 

(0,5®)

-đ

ỏp ỏn 21

Câu

M A

B C

D

E

(39)

NÕu < suy x = -3 (tho· m·n)

b y= x 6− 2= x −3 ⇒ y=1

x −3=6

¿{

; hc

¿

y=−1 x −3=−6

¿{ ¿ ;hc 3 y x     

 hc

3 y x     

 ;hc

6 y x     

 ; hc

6 y x     

 hc 3 y x     

 ; hc

3 y x      

Từ ta có cặp số (x,y) (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6)

c Từ 2x = 3y 5x = 7z biến đổi

3 7 30

2 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15

x y z x y z x y z

       

 



a A tích 99 số âm

2 2 2

1 1 1.3 2.4 5.3 99.101

1 1

4 16 100 100

1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2 A A                                       

b B =

1 4

1

3 3

x x

x x x

  

  

   B nguyªn  4

4

ˆ

3nguen x

x 

   

 

4; 25;16;1;49

x

 

C©u

Thời gian thực tế nhiều thời gian dự định

Gọi vận tốc dự định từ C đến B v1 == 4km/h

Vận tốc thực tế từ C đến B V2 = 3km/h

Ta cã:

1 1

2 2

4

3

V t V

va

V  t V 

(t1 thời gian AB với V1; t2 thời gian ®i CB víi V2)

tõ

1 2

2

3 15

15

4 4

t t t t t

t



     

  t

2 = 15 = 60 = giê

Vậy quãng đờng CB 3km, AB = 15km

Ngời xuất phát từ 11 45 phút – (15:4) = Câu

a Tam giác AIB = tam giác CID có (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC)

b Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c)



(40)



Gãc I3 = gãc I4 M, I, N th¼ng hµng vµ IM = IN

Do vËy: I lµ trung điểm MN

c Tam giác AIB có gãc BAI > 900  gãc AIB < 900  gãc BIC > 900

d NÕu AC vu«ng gãc với DC AB vuông góc với AC tam giác ABC vuông

tại A Câu

P =

4 10 10

1

4

x

x x

 

 

  P lín nhÊt

10

4 x lín nhÊt

XÐt x > th×

10 4 x < 0

XÐt x< th×

10 4 x > 0



10

4 x lớn x số nguyên dơng nhá nhÊt



– x =  x =

10

4 x = 10  Plín nhÊt = 11.

-H

ớng dẫn chấm đề 22

Bài : a) Tìm x Ta cã |2x −6| + 5x =9

|2x −6| = 9-5x

* 2x –6  ⇔ x  2x –6 = 9-5x ⇒ x = 15

7 kh«ng tho· m·n

(0,5)

* 2x – < ⇔ x< – 2x = 9-5x ⇒ x= thoã mãn (0,5)

VËy x =

b) TÝnh (1+2+3+ +90).( 12.34 – 6.68) : (1

3+ 4+

1 5+

1

6) = (0,5)

( v× 12.34 – 6.68 = 0)

c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1 (0,5)

Nh vËy 2101 –1 < 2101 VËy A<B (0,5)

Bài : Gọi cạnh tam giác ABC a, b, c đờng cao tơng ứng ha, hb, hc Theo

đề ta có (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ) = :7 :8 hay + hb =5k ; hb + hc=7k

hc + = 8k ; + hb +hc =10k (k lµ hƯ sè tØ lÖ ) (0,5)

Suy hc =( + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k

T¬ng tù : =3k , hb= 2k A

DiƯn tÝch tam gi¸c :

2 a =

(41)

Suy a

b= hb ha

=2k 3k=

2

3 T¬ng tù : a c=

5 3;

b c=

5

2; (0,5)

a.ha = b.hb =c.hc ⇒

a ha

= b hb

= c hc

B C

⇒ a:b:c = h1

a

: hb:

1 hc=

1 3:

1 2:

1

5 Hay a:b:c = 10: 15 :6 (0,5)

Bµi : a) T¹i x = 16

9 ta cã : A = √

16 +1

√169 −1

=7 ; t¹i x = 25

9 ta cã : A = √

25 +1

√259 −1

=4 ;

(1)

b) Víi x >1 Để A = tức x+1

√x −1=5⇔√x= 2⇔x=

9

4 (1)

Bài : E thuộc phân giác ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy :

tam giác NEC cân ENC = ECN (1) D thuộc phân giác góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy tam giác MDC cân

và DMC =DCM ,(2) Ta lại có MDB = DCM +DMC (gãc ngoµi cđa CDM ) = 2DCM

Tơng tự ta lại có AEN = 2ECN Mà AEN = ABC (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn)

MDB = CAB (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn ) Tam giác vuông ABC cã

ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD )

suy ECN + MCD = 450 VËy MCN = 900 –450 =450 (1,5)

Bµi :

Ta cã P = -x2 –8x + = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21;

(0,75)

Do –( x+ 4)2 0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 21 víi mäi x DÊu (=) x¶y x

= -4

Khi P có giá trị lớn 21

-h

ng dn 23

Câu 1: (3đ)

b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25

suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5®

suy 2n (1/2 +4) = 25

(42)

c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5đ

vì 3n.10 10 vµ 2n.5 = 2n-1.10 10 suy 3n.10-2n.5 10 0,5đ

Bài 2:

2x=3y = 4z x+y+z =130 0,5đ

hay x/12 = y/8 = z/6 mµ x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30

-7(4343-1717)

b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10

Ta cã: 4343 = 4340.433= (434)10.433 434 tận 433 tận suy 4343

tËn cïng bëi

1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng lµ suy (174)4 cã tËn cïng lµ suy 1717

= 1716.17 tËn cïng bëi 0,5®

suy 4343 1717 có tận nên 4343-1717 có tận suy 4343-1717

chia hết cho 10 0,5đ suy -0,7(4343-1717) số nguyên.

Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình)

a/ MDB= NEC suy DN=EN 0,5đ ∆

b/ MDI= NEI suy IM=IN suy BC cắt MN điểm I trung điểm MN ∆ ∆

0,5®

c/ Gọi H chân đờng cao vng góc kẻ từ A xuống BC ta có AHB= AHC suy ∆ ∆

HAB=HAC 0,5®

gọi O giao AH với đờng thẳng vng góc với MN kẻ từ I

∆ OAB= OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA∆ (1) 0,5®

∆ OIM= OIN suy OM=ON 0,5®∆

suy OBN= OCN (c.c.c) OBM=OCM∆ ∆ (2) 0,5đ

Từ (1) (2) suy OCA=OCN=900 suy OC ┴ AC 0,5®

Vậy điểm O cố định

Câu 1: (2đ)

a a + a = 2a víi a  (0,25®) Víi a < a + a = (0,25đ) b a - a

-Víi a th× a - a = a – a = -Víi a< th× a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3

-Víi x +   x  -

Ta cã: 3(x – 1) – x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3)

= 3x – – 2x –

= x – (0,5®) -Víi x + <  x< -

(43)

= 5x + (0,5đ) Câu 2: Tìm x (2đ)

a.Tìm x, biết: 5x - - x =  5x  x 7 (1) (0,25 đ)

ĐK: x -7 (0,25 ®)

 

5

1

5

x x

   

 

  

 … (0,25 đ)

Vậy có hai giá trị x thỏa mÃn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®)

b 2x + 3 - 4x < (1,5®) 2x + 3 < + 4x (1)

§K: 4x +9   x  

(1)  4x9 2x x9 2x 3 (t/mĐK) (0,5đ).

Câu 3:

Gọi chữ số số cần tìm a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18  số phải chia hết cho

9

VËy (a + b + c ) chia hÕt cho (1) (0,5®) Tacã:  a + b + c  27 (2) V×  a  ; b  ;  c 

Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhận giá trị 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5®)

Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho  chữ số hàng đơn vị

ph¶i số chẵn

Vy ss cn tỡm l: 396 ; 963 (0,5đ) -Vẽ hình viết giả thiết, kết luận (0,5đ)

-Qua N kỴ NK // AB ta cã

EN // BK  NK = EB

EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt)

 AD = NK (1)

-Häc sinh chøng minh  ADM =  NKC (gcg) (1®)

 DM = KC (1®)

Bµi 1: Ta cã: 10A =

2007

2007 2007

10 10

= 1 +

10 10



  (1)

T¬ng tù: 10B =

2008

2008 2008

10 10

= 1 +

10 10



  (2)

Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 2007 2008

9

10 1 10 1  10A > 10B A > B

(44)

A =

1 1

1

(1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006

2 2

     

     

  

        

     

     

=

2 2007.2006 10 18 2007.2006

3 10 2006.2007 12 20 2006.2007

 



(1) Mµ: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008

= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã:

A =

4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004

2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007)2006.3 3009

Bài 3:(2điểm) Từ:

x 1 x

8 y  4 y 8

Quy đồng mẫu vế phải ta có :

1 x - 2

y  Do : y(x-2) =8.

§Ĩ x, y nguyên y x-2 phải ớc Ta có số nguyên tơng ứng cần tìm b¶ng sau:

Y -1 -2 -4 -8

x-2 -8 -4 -2 -1

X 10 -6 -2

Bài 4:(2 điểm)

Trong tam giỏc tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có: b + c > a

T¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2 (2)

a.c + c.b > c2 (3).

Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta đợc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.

Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đờng thẳng CK I

Ta có: IBC cân nên IB = IC

BIA

 = CIA (ccc) nên BIA CIA 120  Do đó:

BIA

 =BIK (gcg)  BA=BK

b) Tõ chøng minh trªn ta cã:



BAK 70

-C K

A I

(45)

Câu 1: ( điểm )

a Do

n2<

1

n2−1 víi mäi n nên ( 0,2 điểm )

A< C =

22−1+

1 32−1+

1

42−1+ +

1

n2−1 ( 0,2 điểm )

Mặt khác: C = 1 31 +

2 4+

3 5+ +

1

(n −1).(n+1) ( 0,2 ®iĨm)

=

2( 1− 3+ 2− 4+ 3− 5+ +

1 n −1−

1

n+1) ( 0,2 ®iĨm)

= ❑

❑(1+

1 2−

1 n−

1 n+1)<

1

3 2=

3

4<1 (0,2 ®iĨm )

VËy A <

b ( ®iĨm ) B =

22+

1 42+

1 62+ +

1

(2n)2 ( 0,25 ®iĨm )

=

22(1+ 22+

1 32+

1

42+ +

n2) ( 0,25 ®iÓm )

=

22(1+A) ( 0,25 ®iÓm )

Suy P <

22(1+1)=

2 ;Hay P <

2 (0,25 ®iĨm )

√k+1

k >1 víi k = 1,2……… n ( 0,25 ®iĨm )

áp dụng bất đẳng thức Cơ Si cho k +1 số ta có:

k+1

√k+1 k =

k+1

√1 .1 k k+1

k <

1+1+ +1+k+1 k k+1 =

k k+1+

1 k=1+

1 k(k+1)

(0,5 ®iĨm )

Suy < k+1

√k+1 k <1+(

1 k−

1

k+1) ( 0,5 ®iÓm )

Lần lợt cho k = 1,2, 3,……… n cộng lại ta đợc

n < √2+√3

2+ + n+1

√n+1

n <n+1−

1

n<n+1 ( 0,5 ®iĨm)

=> []=n

Câu (2 điểm )

Gi , hb ,hc lần lợt độ dài đờng cao tam giác Theo đề ta có:

ha+hb

5 =

hb+hc

7 =

hc+ha =

2(ha+hb+hc)

20 =

ha+hb+hc

10 ( 0,4 ®iĨm )

=> hc

5= hb

2= ha

(46)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Nm hc 2010-2011

Mặt khác S =

2a.ha=

1 2bhb=

1

2chc ( 0,4 ®iĨm )

=>

a ha

= b hb

= c hc

(0 , ®iĨm )

=> a :b : c = h1

a

: hb:

1 hc=

1 3:

1 2:

1

5=10:15 :6 (0 ,4 ®iĨm )

Trên tia Ox lấy A' , trªn tia Oy lÊy B' cho O A' = O B' = a ( 0,25 ®iĨm )

Ta cã: O A' + O B' = OA + OB = 2a => A A' = B B' ( 0,25 ®iĨm )

Gäi H K lần lợt hình chiếu

Ca A B đờng thẳng A' B'

Tam gi¸c HA A' = tam gi¸c KB

B'

( c¹nh hun, gãc nhän ) ( 0,5

®iĨm ) => H A'

=K B', HK = A'B' (0,25

®iĨm)

Ta chứng minh đợc

HK AB (DÊu “ = “  A trïng A' B trïng B' (0,25 ®iĨm)

do A'B'≤AB ( 0,2 điểm )

VËy AB nhá nhÊt  OA = OB = a (0,25®iĨm )

Câu ( điểm )

Giả sư √a+√b+√c=d∈Q ( 0,2 ®iĨm )

=> √a+√b=d −√a

=> b +b +2 √bc=d2+a+2d√a ( 0,2 ®iĨm)

=> √bc=(d2+a− b −c)−2d√a ( ) ( 0,2 ®iÓm)

=> 4bc = (d2+a − b− c) + d2a – 4b (d2+a − b− c) √a ( 0,2 ®iĨm) => d (d2

+a − b− c) √a = (d2

+a − b− c) + 4d 2a – bc ( 0,2 ®iĨm)

* NÕu d (d2+a − b− c) # th×:

d2+a −b − c¿2+4d2a −4 ab ¿

a=

là số hữu tỉ (0,2 5điểm )

** NÕu d (d2

+a − b c) = thì: d =0 d 2+ a-b – c = ( 0,25 ®iĨm )

+ d = ta cã : √a+√b+√c=0

=> √a=√b=√c=0∈Q (0,25 ®iĨm )

+ d 2+ a-b – c = th× tõ (1 ) =>

√bc=− d√a

V× a, b, c, d nên a=0Q ( 0,25 điểm )

Vậy a số hữu tỉ

(47)