[r]
(1)
C©u I
1)
2
2
(x 1) (1 m ) y'
(x 1)
+ − −
=
+
Để hàm số có cực trị ph−ơng trình y' = phải có hai nghiệm phân biệt (x ,x1 2 ≠ −1) Từ đ−ợc −1 < m <
2) Giả sử có hai điểm A(x ,y )1 1 B(x ,y )2 2 đối xứng với qua gốc tọa độ (thuộc đồ thị) Khi ta có ;
x1= −x (x ,x2 1 2≠ −0, 1) y1= −y2
2
1
1
1 m y x 2m
x
−
= + − +
+
2
2
2
1 m y x 2m
x
−
= + − +
+
Từ có :
2
2
1
1
1 m m
x 2m x 2m
x x
− −
+ − + = − − + − +
+ − +
hay (2m2−1)x21=m2 Do x< 12≠1 nªn
2
m
0
2m
< ≠
− ⇔
2 m
2
> hc m 2(m 1)
2
−
< ≠ ± 3) Bạn hÃy tự giảI nhé!
Câu II
1) a) Xét tr−ờng hợp a = −1 Khi ph−ơng trình có dạng : 7x − = có nghiệm x
= ∈ (0 ; ) VËy a = thích hợp
b) Xét a Đặt vế trái f(x) Ta có : f(0).f(1)= 6a2
Vậy : a ≠ - ; có nghiệm thuộc (0 ; 1), a = ph−ơng trình có dạng x2− =x 0, có hai nghiệm x1=0 ; x2=1 (khơng thích hợp)
KÕt luËn : ∀a ≠
2) Bất đẳng thức cho t−ơng đ−ơng với
1
(a b c)lg(a.b.c) a lga b lg b clg c
3 + + ≤ + +
⇔ 3(alga + blgb + clgc) − (a + b + c)(lga + lgb + lgc) ≥
⇔ (a -b) (lga − lgb) + (a − c)(lga − lgc) + (b − c)(lgb − lgc) ≥ Vì hàm lgx đồng biến nên a ≥ b > lga ≥ lgb Do (a − b)(lga − lgb) ≥ Từ ta thấy bất đẳng thức cuối
C©u III
1) Đặt 3cosx + 4sinx = t Nếu đặt cos
5
ϕ = , sin
5
ϕ = th× cã
t = 5cos(x −ϕ) ⇒ - ≤ t ≤ Khi ta có ph−ơng trình : t 6 t
+ =
+
(2)Gi¶i tiếp đợc hai họ nghiệm : x1 k
2
= ϕ + + π, x2=ϕ+2mπ 2) Biến đổi T nh− sau :
2T = − cos2A + − cos2B + − cos2C = − [coss 2A + cos2B] − cos 2C = = − 2cos(A + B) cos (A − B) − cos 2C =3 2cosCcos(A B) [2cos C 1]+ − − − = = + 2cosC[cos (A − B) − cosC ] = + 2cosC[cos (A − B) + cos(A + B)] = = 4[1 + cosAcosBcosC]
VËy T = + 2cosA cosB cosC
(3)CâuIVa.1)Đỷờng tròn (C) có tâm C(a ; m
2 )và bán kínhCA =m
2 , có phỷơng trình (x - a)2+ y - m 2
2 = m2
2 2 ổ ố ỗỗ ỗỗ ứ ữữữ ữ
Đỷờng thẳng AB có phỷơng trình y = -x + a Hồnh độ giao điểm đỷờng trịn (C) đỷờng thẳng AB nghiệm phỷơng trình
(x - a)2+ổ + -ố ỗỗ ỗỗ ứ ÷÷÷ ÷ = Û
x a m m
2
2 2
(x - a)[2(x - a) + m ] = suy x = a (hoành độ A),
x = a - m
2 (hoành độ P)ịP =P a
m m -ổ ố ỗỗ ỗỗ ø ÷÷÷ ÷ 2 2 ,
2) Gọi C R tâm bán kính ®ûêng trßn (C’) Cã thĨ thÊy
xC’= xP=a - m
2 , yC’= yB= a, R’ =x a m
C' = - 22,
do (C) có phỷơng trình ổx a- + m (y a) a m
ố ỗỗ ỗỗ ứ ữữữ ữ + - = -ổ ố ỗỗ ỗỗ ứ ÷÷÷ ÷ 2 2 2
3) P, Q giao điểm đỷờng tròn có tâm C C, vậyPQ^CC.Đỷờng thẳng CC có hÖ sè gãc
k = y - y
x - x =
m - 2a m
C' C
C' C
Từ suy phỷơng trình đỷờng thẳngPQ
y = m
a m x a
m m m
a m x
2 2 2 2 2 - - + æ ố ỗỗ ỗỗ ứ ữữữ ữ+ = -
Luyện thi mạng
(4)Vy PQ qua gốc tọa độ O (dĩ nhiên cần giả thiết
m 2¹2a)
Câu IVb.1) Để cho tiện ta tịnh tiến hình nón cho chân đỷờng cao H hình nón trùng với tiếp điểm hình cầu với mặt phẳng (P) Xét thiết diện qua đỉnh S chân đỷờng cao H hình nón Khi mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt hình nón hình cầu theo cỏc thit din l cỏc
đỷờng tròn bán kính IB IB (Hình 82)
Theo giả thiết ta cãIH = x ;SH = h ; KH = 2HA = 2R
a) Xét trỷờng hợpx<2R ; x<h.Từ tam giác vuông đồng dạng SIB SHA ta có:
IB
HA = SISH hayIBR =
SH - IH
h =
h - x h ,nªn IB = R
h (h - x)
Xét tam giác vuông HBK, ta có hệ thức:
IB’2= IK.IH = (KH - IH).IH = (2R - x)x.
Gọi y tổng diện tích thiết diƯn, th× ta cã:
y =pIB2+pIB’2=p R ( )
h h x R x x
2
2
2
- +
-é ë ê ê
ù û ú ú
( ) (1)
b) Trong trỷờng hợph<x<2R(Hình 83), chứng minh tỷơng tự nhỷtrên ta đỷợc:
IB = R
h (x - h) ; IB’
2= (2R - x)x.
Vì biểu thức (1) thích hợp
2) Bây ta chuyển sang khảo sát biến thiên vẽ đồ thị tổng diện tích x biến thiên:
0£x<2R, 0£x<h
(5)y =p R ( )
h h x R x x
2 2 - + -é ë ê ê ù û ú ú
( ) =p R
h x R
R
h x R
2
2 -1 2
é ë ê ê ù ỷ ỳ ỳ + - + ổ ố ỗỗ ỗ ö ø ÷÷÷ +
Đây hàm số bậc hai x, đỷờng biểu diễn y parabol Tọa độ đỉnh:
xP=- =
-é ë ê ê ù û ú ú b a
R R h R h
2
2 22 p
p
( / ) = R
R h +
= Rh
R + h;
yP= - D' a R R h R h = -æ è çç ç ø ÷÷÷ -ỉ è çç ç ø ÷÷÷ ÷ 1 2 2 p p
= RR h +
= R h R + h
2
p p
a) R
h - >
2
2 , tøc lµ
R
h > 1hay R>h
Đỷờng biểu diễn hàm số y parabol quay bề lõm phía trên, tung độ đỉnh giá trị nhỏ nhất:
ymin= yP= R h R + h
2 p x Rh R h P = + ổ ố ỗỗ ỗ ứ
ữữữTa có đồ thị nhỷsau (Hình vẽ)
b) R
h - <
2
2 ,tøc lµ
R
h < 1hay R<h
Luyện thi mạng
(6)ng biu diễn hàm số y parabol quay bề lõm phía dỷới, tung độ đỉnh giá trị lớn nhất:
ymax= yP= R h R + h
2
p x = Rh
R + h
P ổ ố ỗỗ ỗỗ
ử ứ ÷÷÷ ÷
Ta có đồ thị nhỷsau (Hình vẽ)