HÖ bÊt biÕn ®èi víi phÐp ho¸n vÞ vßng quanh, nªn cã thÓ coi r»ng x lµ sè lín nhÊt.[r]
(1)Câu I.1) Gọi a hoành độ M, M có tung độ a2- Do OM2= a2+ (a2- 1)2= a4- a2+ = = a -
2 + 34
2
ổ ố ỗỗ
ỗ ửứữữữữ ,suy OM ngắn khia2= 12ịa =
2 2) Vớia =
2 đỷờng thẳng OM có hệ sè gãc k = y
x = - 12
M M
Tại M, tiếp tuyến (P) có hệ số góc y’M= 2xM= 2; tiếp tuyến vng góc vớiOM Câu II.1) Hàm y đỷợc xác định với x, có đạo hàm
y’ = cosx + 6cos2x = 12cos2x + cosx - 6. Ta cãy’ = 0Ûcosx =
3, cosx = - 34
Vì y có đạo hàm với x, nên y đạt giá trị lớn điểm đóy’ = a)Vớicosx =
3, sinx =±
3 Þ y = sinx + 6sinxcosx = = sinx (1 + 6cosx) = ± 5
3 b) Víicosx = -
4, sinx =±
4 ; y = sinx(1 + 6cosx) =± 7
8 Suy y đạt giá trị lớn ymax= 5
3 cosx = 23, sinx = 53
2) Vì TA = R = 1, nên để đỷờng thẳng d cắt đỷờng tròn B C, ta phải có 0< a < p
Với kí hiệu hình ve, ta tính đỷợc góc tam giác ABC:B =a+ C, A =p- (B + C) =p- (a +2C) áp dụng định lí hàm sin cho tam giác (R = 1) đỷợc a = 2sin(a+ 2C), c = 2sinC
Gọi S diện tích tam giác ABC, ta có S =
2BC.TA.sina= sin(a+ 2C)sina Mặt khác áp dụng định lí hàm sin cho tam giác ATB:
www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng
(2)C
sin =
AT sin^ ABT
2sinC
sin =
1 sin( + C)
a Û a a Þsina= 2sinCsin(a+ C) = cosa- cos(a+ 2C)Þ
cos(a+ 2C) = cosa- sina
V× vËy S2= sin2asin2(a+ 2C) = sin2a[1 - (cosa- sina)2] =2sin3acosa hay S4= 4sin6acos2a= 4sin6a(1 - sin2a)= 4
3sin
2a.sin2a.sin2a.(3 - 3sin2a)£
£
3
sin + sin + sin + - 3sin
4 = 2764
2a 2a 2a 2a
ổ ố ỗỗ
ỗỗ ữữữữữ
Dấu = xảy sin2a= - 3sin2aÞsina=
2 Þ a=
p
3
Câu III.1) Viết phỷơng trình cho dỷới dạng a(|x + 2| + |x - 1|) = b Xét hàm
y = |x + 2| + |x - 1| =
2
3
3
2 1
x khix khi x x khi x
- £
£ £
+ £
ì í ïï ïï ïï ỵ ïï ïï
ïï
Vẽ đồ thị hàm y xét giao điểm đồ thị với đỷờng thẳngy = b
a (aạ0),suy kết nhỷsau : a) a = 0, bạ0 : phỷơng trình vô nghiệm Với a = 0, b = phỷơng trình có nghiệm x tùy ý
b) Víi a¹
i) nÕu b/a > : phỷơng trình có hai nghiệm x = -
b a +
æ ố ỗỗ
ỗ ửứữữữữ, x = 12 ab - ổ ố ỗỗ
ỗ ửứữữữữ;
ii) b/a = : phỷơng trình có nghiệm :-2ÊxÊ1; iii) b/a < : phỷơng trình vô nghiệm
2) Để ý chẳng hạnx = yịx2= y2ịy = z,và ta đỷợc nghiệm
www.khoabang.com.vn Luyện thi m¹ng
(3)x = y = z =1 -
2 , x = y = z =
1 +
2
Ta hÃy chứng tỏ hệ nghiệm kh¸c
Quả giả sử (x, y, z) nghiệm x, y, z khác đơi Hệ bất biến phép hốn vị vịng quanh, nên coi x số lớn Vì cần xét hai khả : x > y > z x > z > y
a) x>y>z.So s¸nh c¸c vÕ tr¸i cđa hệ, ta đỷợcz2>x2>y2.Vậy phải cóx>0(nếuxÊ0 thì0x>y>zịx2<y2
<z2)vz<0 (nuz0 thỡ x>y>z³0ịx2>y2>z2).Từx>0ịz2= x + 1>1ịz<-1. Nhỷngkhiđóy2= z + 1<0 :mâu thuẫn
b) x > z > y Nhû trªn, ta đỷợc z2 > y2> x2, phải cóx>0, y<0 Vì x>0Þz2>1 Do z + = y2>0
ịz>-1,vậyz>1ịy2= z + 1>2, mày<0nêny<- Khi đóx2= y + 1<0 :mâu thun
www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng
(4)www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng
C©u IVa
x x
1
dt 1
I(x) dt
t(t 1) t t
= = − =
+ +
∫ ∫ x x
1
1 t [ln | t | ln | t 1|] ln
t
= − + = =
+
x 2x
ln ln ln
x x
= − =
+ + (x < 1)
VËy :
x x
x
2x 2x
lim I(x) lim ln ln lim ln2
x x
→∞ →∞ →∞ = = = + + C©u Va
1) Gọi (x ,y )o o tọa độ giao điểm (D )1 (D )2 Khi o
o
x 2t 3t' y 3t 6t'
= − = +
= − = +
Từ ta có hệ 2t 3t'
3t 6t' 3,
− − =
− − =
suy t = (t' = −1)
Vậy (D )1 (D )2 cắt A ( - 2, - 3)
Ghi chó : Có thể giải cách đa phơng trình tổng qu¸t
3
y x
2
= cho (D )1 ,
y 2x 1= + cho (D )2
2) (D )1 cã vect¬ chØ ph−¬ngvJJG1= − −( 2; 3), (D )2 cã vect¬ chØ ph−¬ng vJJG2=(3;6) Gọi góc nhọn hợp (D )1 vµ (D )2 JJG JJGv v1 2=| v |.| v | cos(v ,v )JJG1 JJG2 JJG JJG1 2
⇒ − −6 18= 13 45 cos(v ,v )JJG JJG1 2 ⇒ cos(v ,v )1 2 24 24
13.45 13.5.9 65
= − = − = −
JJG JJG
⇒ cos | cos(v ,v ) |1 2 65
α = JJG JJG =
Chó ý : cosα≥ v× α góc nhọn
Câu IVb
1) Ta h·y chøng tá r»ng B', C'
nhìn AD' d−ới góc vng, từ suy AB'C'D' tứ giác nội tiếp
Qu¶ vËy CD ⊥ SA, CD ⊥ CA ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AC' Vì AC' mặt phẳng (P), nên AC' SD Suy
AC' ⊥ (SCD) ⇒ AC' ⊥ C'D' T−¬ng tù AB' ⊥ B'C'
2) Từ AC' (SCD) AC' SC, tơng tù AB' ⊥ SB Suy
2
SA =SB.SB' SC.SC' SD.SD'= =
Ta cã : VS.AB'C'D'=VS.AB'C'+VS.AC'D',
4 S.AB'C'
2 2
S.ABC
V SB' SC' SB.SB' SC.SC' SA
(5)
www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng
4 S.AC'D'
2 2
S.ACD
V SC' SD' SC.SC' SD.SD' SA
V = SC SD = SC SD =SC SD
§Ĩ ý r»ng
2 2 2
SB =SA +AB =h +a ,
2 2 2
SC =SA +AC =h +3a ,
2 2 2
SD =SA +AD =h +4a ,
S.ABC S.ABCD
V V
3
= , VS.ACD 2VS.ABCD
3
= ,
2 S.ABCD a h V
4
= suy
2 2 S.AB'C'D' 2 23a h (h2 22a )2 2 V
4(h a )(h 3a )(h 4a )
+ =
+ + +
3)
2
2
SA h
SD'
SD h 4a
= =
+ ,
vËy
2 2 S.AB'C'D'
2 2 2
3V 3a h (h 2a )
dt(AB'C'D')
SD' 4(h a )(h 3a ) h 4a
+
= =