[r]
(1)www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng
C©u I XÐt y=(x 1) (x 1)+ − 2=(x2−1)2 =x4−2x2+1
1) Hàm số xác định với x y' = 4x3 − 4x, y ' = x = ; ;
Bảng biến thiên :
x −∞ −1 +∞
y' − + − +
y
+∞
CT
C§
CT
+∞
y'' = 4(3x2 − 1) ; y'' = x
3
= ±
x
3
−
3
y'' + − +
y uèn uèn
1 u
1 x
3
= − ,
1 u
4 y
9
= ,
2 u
1 x
3
= ,
2 u
4 y
9
= ,
Vẽ đồ thị :
x −2 3/2 −3/2 y 9 25/16 25/16 2) XÐt (x2−1)2−2m 0+ = ⇔ (x2−1)2 = 2m − (1)
Xét đ−ờng thẳng y = k = 2m − 1, đồ thị ta thấy :
a) k < ⇒ m <
2 : (1) v« nghiƯm ;
b) k = ⇒ m =
2 : (1) cã nghiÖm kÐp x1= −1, x2=1 ;
c) < k < ⇒
2 < m < : (1) cã nghiÖm ;
d) k = ⇒ m = : (1) có nghiệm đơn nghiệm kép x = ; e) k > ⇒ m > : (1) có nghiệm
3) Hoành độ tiếp điểm parabol y = 2x2 + b với đồ thị hàm số y=(x 1) (x 1)+ − nghiệm hệ
+ − =
− =
2 2
3
(x 1) (x 1) 2x (1)
4x 4x 4x (2)
(2) ⇔ 4x(x2 − 2) = ⇔ x = 0, x= ± Thế vào (2) ta đ−ợc b = 1, b = −3 Từ ta có ph−ơng trình tiếp tuyến chung
b = : y = (hoành độ tiếp điểm x = 0)
(2)www.khoabang.com.vn LuyƯn thi trªn m¹ng
y = −4 2x − (hoành độ tiếp điểm x = 2)
Câu II
1) Giải
1 x x x
2
0
2
− − +
≤
, điều kiện x Đặt x t t = >
ta cã
t t
0 t(t 1)
− − =
− (t > 0, t ≠ 1) ⇔ (t 1)(t 2)
t(t 1)
+ − ≥
− (t > 0, t ≠ 1) ⇔ t ∈ (0 ; 1) hc t ∈ [2 ; +∞) ⇒ x < hc x
2) Điều kiện cần. Ta có y = ⇒ x = −1, víi ®iỊu kiƯn mẫu không chia hết cho tử, a Đồng thêi
2 x y x a + = = + ⇒
x − x + (a − 1) = ⇒∆ = − 4a ≥ ⇒ a ≤
4 Thµnh thö a ≤
4, a ≠−1
Điều kiện đủ. Ng−ợc lại, giả sử a ≤
4, a ≠−1
x y
x a
+ =
+ ⇒ y
x − x + ay − = (1)
Ta phải chứng tỏ ph−ơng trình có nghiệm với y ∈ (0 ; 1) (các giá trị y = 0, y = đ−ợc xét), tức (1) có biệt số ∆ = − 4ay2 + 4y + ≥ (2)
Víi a ≤ (a ≠−1), vµ víi y ∈ (0 ; 1) hiển nhiên (2) đợc nghiệm Với a > (a 5)
≤ xÐt hµm sè
f(y) = −4ay + 4y +
Hàm số có đồ thị parabol với bề lõm quay xuống d−ới,
y [0 ; 1]
min
∈ f(y) = min{f(0) ; f(1)} = min{1 ; − 4a} ≥
Thành thử (2) đ−ợc nghiệm với điều kiện đặt cho a cho y Vậy đáp số : a
4
≤ , a ≠−1
C©u III
1) Phơng trình x2mx+m2 =3 phải có nghiÖm : ∆ = 12 − 3m2 ≥ ⇒ | m |2
Đồng thời phải có
1 2 2
x , x
x x
>
+ =
⇒
S, P
S 2P
> − = ⇒ 2 m
m
m > − > =
⇒ v« nghiƯm
2) sin 2x 3cos x
2
π π
+ − −
= + 2sinx ⇔ cos2x + 3sinx = + 2sinx ⇔ 2sinx sin x
2
−
= ⇒ x1 = kπ ; x2 2n
6
π
= + π ; x3 2m
π
= + π XÐt ®iỊu kiƯn x ∈ ;
2
π π
(3)Câu IVa.1) Các đỷờng thẳngD1,D2lần lỷợt có vect¬ chØ phû¬ng r
u1= (-1 ; ; -1), r
u2 = (2 ; -1 ; 1)
Rõ ràngru1 không song song không trực giao vớiru2 Ta phải chứng minh thêm rằngD1vàD2không cắt nhau, chúng cắt phải tồn giá trị t, t cho
1 - t = 2t’
t = - t’ - t = t
nhỷng hệ vô nghiệm 2) Ta tìm vectơn
đĂ
vuụng gúc ng thời vớiru vm u1 r2, đỷợcn
®¡
= (0 ; ; 1) Vậy mặt phẳng (P), (Q) có vectơ pháp tuyến làđĂn= (0 ; ; 1), suy phỷơng trình chúng có d¹ng y + z + d =
øng với t = ta đỷợc điểm M1(1 , , 0) thuéc D1; øng víi t’ = ta ®ûỵc ®iĨm M2(0 , , 0) thc D2 (P) ®i qua M1, nªn + + d = 0ịd = 0, (P) có phỷơng trình y + z = (Q) qua M2, nên + + d = 0Þd = -1, vËy (Q) cã phỷơng trình y + z - =
3) Khoảng cách D1và D2cũng khoảng cách (P) (Q) 2 Câu IVb.1) XÐt hai trûêng hỵp
a) k = : BM = CNịBMNC hình bình hànhịMN//BCị Giao tuyến (ABC) (AMN) đỷờng thẳng qua A song song với BCịGiao tuyến cố định
b) kạ1 : Khi đỷờng thẳng MN cắt đỷờng thẳng BC I Theo định lí Talét : IB
IC = BMCN = kịIB = kIC
Mặt khác:|IB - IC|= aị |kIC - IC|= aịIC = a
|k - 1| ịIcố định
Vậy đỷờng thẳng AI cố định giao tuyến (AMN) (ABC)
www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng
(4)2) Gọi K điểm giữaBCịPK//Bx//CyịBK^(ABC)ịBKlà hình chiếu PB (ABC), AK hình chiếu PA (ABC)
Mặt khác:
BK = a
2 < a 32 = AKÞPA > PB
Nhûng :MBN
^
nhänÞPB > PM, vËy PM < PA Theo hƯ thức lỷợng tam giác thỷờng ta có:
2PA2= AM2+ AN2- MN
2
2
=MN2+2AM.ANcosA-MN
2
2
= 2AM.ANcosA + MN
2
=2AM.ANcosA + 2PM2
Þ2(PA2- PM2) = = 2AM.ANcosA>0ÞcosA >0ÞAnhän
3) k = 0,5, CN = a : TacãBM = CN
2 = a 22 ÞIB =BC = a = ABÞMI = MN = MA = MC = a + a2 = a 62
2 .
HạKJ^MN,theo định lí ba đỷờng vng góc suy :AJ^MN Vậy:j=KJA^ góc phẳng nhị diện (AMN; CBMN) Tính:j
Ta cã: KJ.IN = 2SDIKN = NC.IK ÞKJ = NC.IK
IN =
a 3a
2a + 4a2 = 3a 22a 6 = 3a2 3 = a 32
Do đóKJ = a
2 = AKị DAKJvuông cân ởKị j= 45
o.
www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng