[r]
(1)Kỳ thi IMO lần thứ 19 - 1977
1 Dựng phía bên hình vng ABCD tam giác ABK, BCL, CDM, DAN Hãy trung điểm KL, LM, MN, NK trung điểm AK, BK, BL, CL, CM, DM, DM, AN tạo thành đa giác có 12 cạnh
2 Trong dãy hữu hạn số thực, tổng số hạng liên tiếp âm, tổng 11 số hạng liên tiếp dương Xác định số lớn số hạng dãy
3 Cho số nguyên n > Giả sử Vn tập số nguyên dạng + kn, k số
nguyên dương Số m thuộc Vnđược gọi khơng phân tích khơng thể biểu diễn
đưới dạng tích hai số thuộc Vn Chứng minh rằng: có số thuộc Vn mà biểu diễn đưới dạng tích số khơng phân tích thuộc Vn nhiều cách
4 Cho f(x) = - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x, a, b, A, B số
thực Giả sử rằng: f(x) ≥ với số thực x Chứng minh rằng: a2 + b2 A2 + B2 1.
5 Cho a, b số nguyên dương Khi (a2 + b2) chia cho (a + b) được thương số q số dư r
Tìm tất cặp số a b thoả mãn: q2 + r = 1997.
6 Cho hàm f : Z+ Z+, Z+- tập số nguyên dương. Cho f(n + 1) > f(f(n)) với n
Chứng minh rằng: f(n) = n với n