DeDap an mon TOAN khoi A DH 2009

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:.[r]

Bộ giáo dục đào tạo Đề thức

Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009

Mơn thi: tốn

;

Khối A

(Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát đề)

Phần chung cho tất thí sinh (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y= x+2

2x+3 (1)

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

2/ Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung lần lợt hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Cõu II (2,0 im)

1 Giải phơng trình: (12sinx)cosx

(1+2 sinx)(1sinx)=

3 Giải phơng trình: 2

33x 2+3

65x 8=0 Câu III (1,0 điểm)

Tính tích phân

I=

∫

π

2

(

cos3x −1

)

cos2xdx Câu IV (1,0 điểm)

Cho hỡnh chúp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = AD = 2a, CD =a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a

Câu V (1,0 điểm)

Chứng minh với số thực dơng x, y, z thoả mÃn x(x + y + z)=3yz, ta cã: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)3

Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh đợc làm hai phần (phần A hoc phn B)

A. Theo chơng trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mt phng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đờng chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đờng thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đờng thẳng : x+y −5=0 Viết phơng trình đờng thẳng AB

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x −2y − z −4=0 mặt cầu (S): x2

+y2+z2−2x −4y −6z −11=0 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đờng tròn Xác định toạ độ tâm bán kính đờng trịn

C©u VII.a (1,0 điểm)

Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phơng trình z2

A=

|

z1

|

2+

|

z2

|

2

B. Theo chơng trình Nâng cao

Câu VI.b (2 ®iĨm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): x2++y2+4x+4 y+6=0 đờng thẳng : x+my−2m+3=0 , với m tham số thực Gọi I tâm đờng trịn (C) Tìm m để  cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x −2y+2z −1=0 hai

đ-ờng thẳng 1: x+1 =

y

1=

z+9

6 , 2:

x −1 =

y −3 =

z+1

−2 Xác định toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phng (P) bng

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phơng trình

log2

(

x2

+x2

)

=1+log2(xy) 3x2

−xy+y3 =81

¿{

¿

(x, y R)

HÕt

-Huíng dÉn chÊm thi

Câu Đáp án Điểm

Phần chung cho tất thí sinh 7

điểm Câu I a) Khảo sát hàm số y= x+2

2x+3 1.00

a/ Tập xác định:

¿ ¿D=R{−3

2

¿

0.25 b/ Sù biến thiên hàm số

Gii hn vụ cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận

3

2

lim , lim

x x

y y

 

 

 

  

, nên đờng thẳng x=−

2 tiệm cận đứng

lim

x →+∞y=

1

2 , x →− ∞lim y=

1

2 , nên đờng thẳng y=

2 tiệm cận ngang

Bảng biÕn thiªn : y '= −1

(2x+3)2<0;∀x ≠ −

0.25

Hàm số nghịch biến khoảng

(

;3

2

)

(

3

2;+

)

c/ Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung điểm

(

0;2

3

)

Cắt trục hoành điểm (2;0)

Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I=

(

3 2;

1

2

)

hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng

-4 -3 -2 -1

-4 -2

x y

0.25

b) Viết phơng trình tiếp tuyến 1.00 * Tam giác OAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai

đường thẳng y = x y = -x Mµ y’ < 0, nªn:

1

1 (2x 3)





 

0

0

x y x y

  



   



0.50

* 1 : y – = -1(x + 1)  y = -x (loại) 0.25 * 2 : y – = -1(x + 2)  y = -x – 0.25

C©u II 2.00

a) Giải phơng trình 1.00

* K:

1 sin

2 x

, sinx ≠







 







1 2sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin 2sin cos sin sin2 cos

    

    

   

Pt x x x x

x x x x x

x x x x

0.50

*

cos cos

3 x x

 

   

       

   

2  x  k 

(loại)

2 18  

x  k 

, k  Z (tho¶ mÃn)

b)

Giải phơng trình 3x 5x 03   1.00 * Đặt u=

33x 2, v=

65x với v ≥0

Ta đợc 5u3

+3v2=8 0.25

* Phơng trình cho tơng đơng với Hpt

{

2u+3v=8 5u3

+2v2=8

v ≥0

0.25

* Giải hệ phơng trình ta đợc

{

u=−2

v=4 0.25

* Do

{

√

3x 22

65x=4x=2 Vậy phơng trình có nghiệm nhÊt x = -2

0.25

C©u 3 TÝnh tÝch ph©n 1.00

* Ta cã I=

∫

π

2

(cos3x −1)cos2xdx=

∫

π

2

cos5xdx−

∫

0

π

2

cos2xdx=I1− I2 0.25

* TÝnh

I1=

∫

π

2

cos5xdx =

∫

0

π

2

(

1−sin2x

)

2d

(sinx)=sinx¿0

π

2−2 3sin

3x

¿0

π

2 +1

5sin 5x

¿0

π

2 =

15

0.25

* TÝnh I 2=

∫

0

π

2

cos2xdx=1

2

∫

0

π

2

(1+cos2x)dx=1

2x¿0

π

2 +1

2

2sin 2x¿0

π

2 =π

4 0.25

* VËy I=I1− I2= 15 −

π

4 0.25

Câu 4 Tính thể tích hình chóp

A B

D

C S

I

H J

* Vì mp(SBI) mp(SCI) cùnh vng góc với mp(ABCD), nên SI đờng cao hình chóp

Gọi H hình chiếu I BC góc SHI góc mp(SBC) mp(ABCD) Hay góc SHI = 600

0.25 * Đáy ABCD có diƯn tÝch lµ: Sd=1

2(AB+CD) AD=3a

0.25 * Tam gi¸c IBC cã diƯn tÝch SIBC=Sd− SIAB− SICD=3a

2

Suy ra: IH BC=2SIBCIH=3a

5 với trung điểm M AB tam giác MBC vuông cân ,nên BC=a

5

* Xét tam giác vuông SIH : SI=IH tan 600=3a

√

15

5 Vëy thĨ tÝch cđa h×nh chãp lµ : V=1

3 SI Sd=

3a3

√

15

0.25

Câu 5 Chứng minh bất đẳng thức 1.00

* Vì x,y,z >0 nên x(x+y+z) = 3yz

y z y z

x x x x

   

Đặt 0, 0,

y z

u v t u v

x x

      

.Tađợc:



 



2 2

1 3 3 4 2

2



 

               

 

u v t

t uv t t t t t

0.25

* Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về



1u



3



1v



33 1



u

 

1v u v

 





5



u v



3 0.25

*







 





 





 









 













 



3 2 3

3 3

3 3 3 2

2 1 1 1

2 1 6(1 )

1

2 6 2

3

           

            



 

              

 

t u v u v u v t t

t u v t t u v uv t

t

t t t t t t t t t

0.50

* Lại t ≥2 ,nên bất đẳng thức ỳng Vy ta cú PCM

Phần riêng cho chơng trình 3.00

Phn thi theo chng trỡnh chuẩn Câu

VI.a

Phơng pháp toạ độ mặt phẳng không gian

2.00 a) Viết phơng trình đờng thẳng 1.00

* Vì E∈(Δ) nên toạ độ E có dạng E(m; – m); Gọi F trung điểm AB F (12 – m; m – 1) Do E,F đối xứng qua điểm I(6;2)

0.25 * Theo giả thiết IE⊥FM⇔⃗IE ⃗FM=0⇔(11−m) (m−6)+(m−6) (3−m)=0 0.25 * Với m = AB có VTPT là: ⃗IE=(0;−3) , suy pt AB y = 5 0.25 * Với m = VTPT ⃗IE=(1;−4) , suy pt AB x – 4y + 19 = 0 0.25 b) Mặt cầu, đờng tròn giao tuyến 1.00

* PT m.c viÕt thành (x 1)2+(y 2)2+(z 3)2=25 , nên tâm I(1;2;3)

R=5 0.25

* Khoảng cách d từ tâm I đến mp(P) là: d=|2 1−2 2−3−4|

√

4+4+1 =3<5=R Vậy mp(P) cắt mc(I) theo giao tuyến đờng trịn tâm J, bán kính r

0.25 * Bán kính đường trịn r = R2 IJ2  25 0.25 * Phơng trình JI x=1+2t,y=2-2t,z=3-t, nên J=(1+2t;2-2t;3-t) vµ

J∈(P) , suy tâm đờng tròn J(3 ;0 ;2) 0.25 Câu

VII.a Sè phức 1.00

* Phơng trình z2

+2z+10=0 có nghiệm phức z= -1+3i z = -1- 3i 0.50 * Do A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 0.50

C©u VI.b

Phơng pháp toạ độ không gian

2.00

a) T×m tham sè m 1.00

* (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = có tâm I (-2; -2); R =

Điều kiện để  cắt (C) hai điểm phõn biệt A, B d(I , Δ)<

√

2 (1) 0.25

* Kẻ đường cao IH IAB, ta có: SABC =



IA.IB.sin AIB

2 = sinAIB Do SABC lớn sinAIB =  AIB vuông I

0.25

* Ta đợc IH = IA

1

2  (thỏa IH < R)  4m

1 m



 

 – 8m + 16m2 = m2 +  15m2 – 8m =  m = hay m = 15

0.50

b) Tìm điểm M 1.00

* Toạ độ M có dạng: M (-1 + t; t; -9 + 6t) 1 2 qua A (1; 3; -1) cú vộctơ phương a

⃗

= (2; 1; -2) 0.25

* Vect¬ AM



= (t – 2; t – 3; 6t – 8)  AM a   = (14 – 8t; 14t – 20; – t) 0.25 * Ta có : d (M, 2) = d (M, (P)) 

2

261t  792t 612 11t 20  35t2 - 88t + 53 =  t = hay t =

53 35

0.25

* Do đó, có điểm M thoả mãn : M (0; 1; -3) M

18 53 ; ; 35 35 35

 

 

  0.25

Câu

VII.b GiảI hệ phơng trình 1.00

* Điều kiện xy > 0.25

* HƯ ph¬ng tr×nh ⇔

2

2 2

2

log (x y ) log log (xy) log (2xy)

x xy y

    

 

  

 

2

2

x y 2xy x xy y

   



   

0.25

* GiảI hpt ta đợc 2nghiệm là: x y   

  vµ

x y

  



 0.50