Phuong trinh mu va logarit dung cho HS gioi

[r]

Tháng 11/2012 GV: Đinh Quang Đạo

Chủ đề 3: phơng trình, bất phơng trình mũ lơgarit

1.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số: Ví dụ 1:Giải phơng trình: log3 x

2

+x+1

2x2−2x+3=x

2−3x

+2

H

íng dÉn : Ta cã log3(x

2

+x+1)−log3(2x2−2x+3)=x2−3x+2

⇔(x2+x+1)+log3(x

+x+1)=(2x2−2x+3)+log3(2x

−2x+3)

XÐt hµm sè f(t)=t+log3t , víi t>0 , ta cã f '(t)=1+tln31 >0 Suy hµm sè f(t)

đồng biến khoảng (0;+∞)

Suy f (x2+x+1)=f(2x2−2x+3) ⇔(x2+x+1)=(2x2−2x+3) ⇔x2−3x+2=0

⇔ x=1

¿

x=2

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình sau: 2x+1

+2 x −1

x ≥5

H

íng dÉn : Ta cã : 2x+1

+2 x −1

x ≥5 ⇔2x+1

+2 x −1

x −5≥0

XÐt hµm sè f(x)=2x+1

+2 x−1

x −5 , víi x ≠0

f '(x)=2x+1ln 2+

x22

x−1

x ln 2

>0 ; f(1)=f(1)=0

Bảng biến thiên:

0

1 -1

+

-3 +

-3

+ +

+

0 -

f(x) f'(x)

x

Suy

f(x)≥0⇔

−1≤ x<0

¿

x ≥1 ¿

⇔x∈¿∪¿ ¿ ¿ ¿

VËy nghiƯm cđa bÊt ph¬ng trình x

2.Phơng pháp chuyển thành hệ:

Ví dụ 2: Giải phơng trình: a) 20102x

+

√

2010x+12=12 (HSG TØnh NA 2010-2011)

b) 22x

−

√

2x+6=6 ; c) 3x=2 log3(2x+1)+1 ;

H

ướ ng dẫ n :

Suy

¿

u2+v=12

v2−u

=12 ⇔ ¿{ ¿ ¿ u2

+v=12 (u+v)(u − v+1)=0

⇔

¿{

¿

¿

u2+v=12

u − v+1=0

⇔

¿{

¿

¿

u2

+u −11=0

v=u+1

¿{

¿

⇔ u=3√5−1

2 v=3√5+1

2

¿{

Suy

2010x=3√5−1

2 ⇔x=log2010

3√5−1

2

VËy nghiệm phơng trình x=log2010351

2

c)Đặt t log (23 x1) ta có hệ phơng trình:

3

3 3

3

x

x u x

u

u

x u u x x

x                  

XÐt hµm sè f x( ) 3 x 2x1, ta cã: f x'( ) ln 2; ''( ) (ln 3) x  f x  x 0,x mµ f '(0) ln 0; '(1) 3ln 0   f    ;

suy f x'( ) 0 cã nghiÖm nhÊt x0(0;1). Ví dụ 3.Giải phơng trình: log5(3+

3x+1)=log4(3x+1)

H

ớng dẫn :

Đặt t=log5(3+

3x+1)t=log4(3x+1) ,

và

¿

3+√3x+1=5t

3x+1=4t

¿{

¿

⇔

3+2t=5t

3x+1=4t

¿{

⇔

3

(

1 5

)

t +

(

2

5

)

t

−1=0

3x+1=4t

¿{

XÐt hµm sè f(t)=3

(

1

5

)

t +

(

2

5

)

t

−1 , f(1)=0

4.Phng phỏp i bin s:

Ví dụ 5:Giải phơng tr×nh: (√10+1)log3x−

(√10−1)log3x

=2x

3 Híng dÉn:

Ta cã : (√10+1)log3x

−(√10−1)log3x

=2x

3 ⇔(√10+1)

log3x

−(√10−1)log3x

=2

3.3

log3x

⇔

(

√10+1

3

)

log3x

−

(

√10−1

3

)

log3x

=2

3 Đặt t=

(

10+1

3

)

log3x

, với t>0 , ta đợc:

t −1 t=

2 3⇔3t

2

−2t −3=0⇔t=1+√10

3

Víi t=1+√10

3 ⇒

(

√10+1

3

)

log3x

=√10+1

3 ⇔x=1

Bài tập:

Câu 1.Giải phơng trình: a) log3 x

2

+x+1

2x2−2x+3=x

2

3x+2 ; b)3x6x 2x;

Câu 2.Giải phơng trình sau: a) 3x

=2x+1 ; b) 2003x+2005x=4006x+2 (HSG TØnh NA 2004) ;

c) log2(√x+3

2)+2

x+√x−3

4

=2 (HSG TØnh NA 2005)

a) 4x−(5+x).2x+4(x+1)=0 ;

b) 4x 1

(5+log2x).2x 1+4(log2x+1)=0 Câu 4 Giải phơng tr×nh:

a) logx+1(√8− x −2x+7)=1

2 ;

b) log2(√x+2+2)−3 log2x=x3−2√x+2−5 ;

c) log22 x+1

2x −3+(4− x)log2 x+1

2x −3+1=0

Câu Tìm m để phơng trình a) ex+cosx=m+x −x

2

2 cã hai nghiƯm thùc ph©n biƯt b)

√

log22x −2 log2x −3=m(log2x −3) cã nghiÖm x∈¿

Câu 7.Tìm m để bất phơng trình : a) 4x−m.2x

+m+3≤0 cã nghiÖm

b) log2(x2−2x+m)+8

√

log4(x2−2x+m)−10≤0 nghiệm với x∈[0;2] c) m 92x2− x−(2m+1) 62x2− x+m 42x2− x0 nghiệm với x∈¿∪¿

d) log5(x

+4x+m)−log5(x

+1)<1 nghiệm với x∈(2;3) ;

Câu 8.Tìm m để phơng trình sau có ba nghiệm thực 4−|x− m|log√2(x

2

−2x+3)+2− x

2

+2x

log1

(2|x m|+2)=0 .

Câu 9.Giải phơng trình:

a)

log

2

log (x x) log x

 (Đặt tlog3x); b) xlog711

+3log7x

=2x .

c) log (73 2) log (65 19)

x x

   ;

Híng dÉn:

XÐt hµm sè ( ) log (73 2) log (65 19)

x x

f x     , ta cã :

3 5

7

'( ) log log log log

7 19 19

x x x x

x x x x

f x    

   

5

7

'( ) ( ) log 0,

7 19

x x

x x

f x x

     

  ; f(1) .

Suy x1 nghiệm dơng phơng trình.

Với x0 ta có : log (73 2)

x

  vµ log (65 x19) log 19 1 5  Suy phơng trình

nghiệm với x0

Câu 10.Giải phơng trình: a) 22x

−

√

2x+6=6 b) log22x+

√

log2x+1=1

c)

3 2ln 2ln( 2ln ) 0

3

x  x x x x

(Đặt t3 x2lnx)

Câu 11.Giải phơng trình: a) 2x+5x=2x

3+44 log2(2+

131x

3 −5

x

) ; b) 3x=2 log3(2x+1)+1 Câu 12.Giải phơng trình: log2(x+2+2)3 log2x=x32x+25 Câu 13.Giải phơng trình:

a) 32 log2x2x1+log238x2

=0 ; b) 2log3x+

(

1

2

)

logx3

=5

2 ;

5.Phơng pháp đổi biến không hon ton:

Câu 14 Giải phơng trình: a) 4x

(5+x).2x+4(x+1)=0 ; d) 25x −2+(3x −10) 5x−2+3− x=0 ;

b) 4x −1−(5+log2x).2

x −1

c) log2 x+1

2x −3+(4− x)log2 x+1

2x 3+1=0 ; g) (x+2)log32(x+1)+4(x+1)log3(x+1)16=0 6.Phơng pháp đa số:

Câu 15 Giải phơng tr×nh: a) logx+1(√8− x −2x+7)=1

2 ; b) log2(8− x

2

)+log1

(√x+1+√1− x)=2 ;

c)

x −1¿8=log24x

1

2log√2(x+3)+

1 log4¿

; d) 2x −1¿

2

=4

log2x−1(2x2+x −1)+logx+1¿

7.Ph¬ng pháp phân tích thành nhân tử:

Câu 16.Giải phơng tr×nh: a) 42x+√x+2+2x3

=42+√x+2+2x3+4x −4

; b) 2x2

+x

−4 2x2− x−22x+4=0 ;

c)

x+1¿2 ¿ ¿ 4x2+x

+21− x2=2¿

;

Câu 17.Giải phơng trình: a) 3x

+3 2x=24+6x ; b) 12 3x+3 15x−5x+1=20