[r]
(1)Tháng 11/2012 GV: Đinh Quang Đạo
Chủ đề 3: phơng trình, bất phơng trình mũ lơgarit
1.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số: Ví dụ 1:Giải phơng trình: log3 x
2
+x+1
2x2−2x+3=x
2−3x
+2
H
íng dÉn : Ta cã log3(x
2
+x+1)−log3(2x2−2x+3)=x2−3x+2
⇔(x2+x+1)+log3(x
+x+1)=(2x2−2x+3)+log3(2x
−2x+3)
XÐt hµm sè f(t)=t+log3t , víi t>0 , ta cã f '(t)=1+tln31 >0 Suy hµm sè f(t)
đồng biến khoảng (0;+∞)
Suy f (x2+x+1)=f(2x2−2x+3) ⇔(x2+x+1)=(2x2−2x+3) ⇔x2−3x+2=0
⇔ x=1
¿
x=2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Ví dụ 2: Giải bất phơng trình sau: 2x+1
+2 x −1
x ≥5
H
íng dÉn : Ta cã : 2x+1
+2 x −1
x ≥5 ⇔2x+1
+2 x −1
x −5≥0
XÐt hµm sè f(x)=2x+1
+2 x−1
x −5 , víi x ≠0
f '(x)=2x+1ln 2+
x22
x−1
x ln 2
>0 ; f(1)=f(1)=0
Bảng biến thiên:
0
1 -1
+
-3 +
-3
+ +
+
0 -
f(x) f'(x)
x
Suy
f(x)≥0⇔
−1≤ x<0
¿
x ≥1 ¿
⇔x∈¿∪¿ ¿ ¿ ¿
VËy nghiƯm cđa bÊt ph¬ng trình x
2.Phơng pháp chuyển thành hệ:
Ví dụ 2: Giải phơng trình: a) 20102x
+√2010x+12=12 (HSG TØnh NA 2010-2011)
b) 22x
−√2x+6=6 ; c) 3x=2 log3(2x+1)+1 ;
H
ướ ng dẫ n :
(2)Suy
¿
u2+v=12
v2−u
=12 ⇔ ¿{ ¿ ¿ u2
+v=12 (u+v)(u − v+1)=0
⇔
¿{
¿
¿
u2+v=12
u − v+1=0
⇔
¿{
¿
¿
u2
+u −11=0
v=u+1
¿{
¿
⇔ u=3√5−1
2 v=3√5+1
2
¿{
Suy
2010x=3√5−1
2 ⇔x=log2010
3√5−1
2
VËy nghiệm phơng trình x=log2010351
2
c)Đặt t log (23 x1) ta có hệ phơng trình:
3
3 3
3
x
x u x
u
u
x u u x x
x
XÐt hµm sè f x( ) 3 x 2x1, ta cã: f x'( ) ln 2; ''( ) (ln 3) x f x x 0,x mµ f '(0) ln 0; '(1) 3ln 0 f ;
suy f x'( ) 0 cã nghiÖm nhÊt x0(0;1). Ví dụ 3.Giải phơng trình: log5(3+3x+1)=log4(3x+1)
H
ớng dẫn :
Đặt t=log5(3+3x+1)t=log4(3x+1) ,
và
¿
3+√3x+1=5t
3x+1=4t
¿{
¿
⇔
3+2t=5t
3x+1=4t
¿{
⇔
3 (1 5)
t +(2
5)
t
−1=0
3x+1=4t
¿{
XÐt hµm sè f(t)=3 (1
5)
t +(2
5)
t
−1 , f(1)=0
4.Phng phỏp i bin s:
Ví dụ 5:Giải phơng tr×nh: (√10+1)log3x−
(√10−1)log3x
=2x
3 Híng dÉn:
Ta cã : (√10+1)log3x
−(√10−1)log3x
=2x
3 ⇔(√10+1)
log3x
−(√10−1)log3x
=2
3.3
log3x
⇔(√10+1
3 )
log3x
−(√10−1
3 )
log3x
=2
3 Đặt t=(10+1
3 )
log3x
, với t>0 , ta đợc:
t −1 t=
2 3⇔3t
2
−2t −3=0⇔t=1+√10
3
Víi t=1+√10
3 ⇒(
√10+1
3 )
log3x
=√10+1
3 ⇔x=1
Bài tập:
Câu 1.Giải phơng trình: a) log3 x
2
+x+1
2x2−2x+3=x
2
3x+2 ; b)3x6x 2x;
Câu 2.Giải phơng trình sau: a) 3x
=2x+1 ; b) 2003x+2005x=4006x+2 (HSG TØnh NA 2004) ;
c) log2(√x+3
2)+2
x+√x−3
4
=2 (HSG TØnh NA 2005)
(3)a) 4x−(5+x).2x+4(x+1)=0 ;
b) 4x 1
(5+log2x).2x 1+4(log2x+1)=0 Câu 4 Giải phơng tr×nh:
a) logx+1(√8− x −2x+7)=1
2 ;
b) log2(√x+2+2)−3 log2x=x3−2√x+2−5 ;
c) log22 x+1
2x −3+(4− x)log2 x+1
2x −3+1=0
Câu Tìm m để phơng trình a) ex+cosx=m+x −x
2
2 cã hai nghiƯm thùc ph©n biƯt b) √log22x −2 log2x −3=m(log2x −3) cã nghiÖm x∈¿
Câu 7.Tìm m để bất phơng trình : a) 4x−m.2x
+m+3≤0 cã nghiÖm
b) log2(x2−2x+m)+8√log4(x2−2x+m)−10≤0 nghiệm với x∈[0;2] c) m 92x2− x−(2m+1) 62x2− x+m 42x2− x0 nghiệm với x∈¿∪¿
d) log5(x
+4x+m)−log5(x
+1)<1 nghiệm với x∈(2;3) ;
Câu 8.Tìm m để phơng trình sau có ba nghiệm thực 4−|x− m|log√2(x
2
−2x+3)+2− x
2
+2x
log1
(2|x m|+2)=0 .
Câu 9.Giải phơng trình:
a)
log
2
log (x x) log x
(Đặt tlog3x); b) xlog711
+3log7x
=2x .
c) log (73 2) log (65 19)
x x
;
Híng dÉn:
XÐt hµm sè ( ) log (73 2) log (65 19)
x x
f x , ta cã :
3 5
7
'( ) log log log log
7 19 19
x x x x
x x x x
f x
5
7
'( ) ( ) log 0,
7 19
x x
x x
f x x
; f(1) .
Suy x1 nghiệm dơng phơng trình.
Với x0 ta có : log (73 2)
x
vµ log (65 x19) log 19 1 5 Suy phơng trình
nghiệm với x0
Câu 10.Giải phơng trình: a) 22x
−√2x+6=6 b) log22x+√log2x+1=1
c)
3 2ln 2ln( 2ln ) 0
3
x x x x x
(Đặt t3 x2lnx)
Câu 11.Giải phơng trình: a) 2x+5x=2x
3+44 log2(2+
131x
3 −5
x
) ; b) 3x=2 log3(2x+1)+1 Câu 12.Giải phơng trình: log2(x+2+2)3 log2x=x32x+25 Câu 13.Giải phơng trình:
a) 32 log2x2x1+log238x2
=0 ; b) 2log3x+(1
2)
logx3
=5
2 ;
5.Phơng pháp đổi biến không hon ton:
Câu 14 Giải phơng trình: a) 4x
(5+x).2x+4(x+1)=0 ; d) 25x −2+(3x −10) 5x−2+3− x=0 ;
b) 4x −1−(5+log2x).2
x −1
(4)c) log2 x+1
2x −3+(4− x)log2 x+1
2x 3+1=0 ; g) (x+2)log32(x+1)+4(x+1)log3(x+1)16=0 6.Phơng pháp đa số:
Câu 15 Giải phơng tr×nh: a) logx+1(√8− x −2x+7)=1
2 ; b) log2(8− x
2
)+log1
(√x+1+√1− x)=2 ;
c)
x −1¿8=log24x
1
2log√2(x+3)+
1 log4¿
; d) 2x −1¿
2
=4
log2x−1(2x2+x −1)+logx+1¿
7.Ph¬ng pháp phân tích thành nhân tử:
Câu 16.Giải phơng tr×nh: a) 42x+√x+2+2x3
=42+√x+2+2x3+4x −4
; b) 2x2
+x
−4 2x2− x−22x+4=0 ;
c)
x+1¿2 ¿ ¿ 4x2+x
+21− x2=2¿
;
Câu 17.Giải phơng trình: a) 3x
+3 2x=24+6x ; b) 12 3x+3 15x−5x+1=20