43 de thi tuyen sinh lop 10

Mét ®êng th¼ng d chia tam gi¸c ABC cho tríc thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau vµ chu vi b»ng nhau... Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC..[r]

§Ị thi tun sinh

*Trêng THPT Nguyễn TrÃi

( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho lớp chuyên tự nhiên)

Thời gian: 150 phút

Bài (3 điểm) Cho biểu thức A =

(√x+2−4√x −2+√x+2+4√x −2)

√x42−

4

x+1

1) Rót gän biĨu thøc A

2) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên Bài 2.( điểm)

1) Gäi x 1 x 2 hai nghiệm phơng tr×nh x2 -(2m-3)x +1-m = 0

Tìm giá trị m để: x ❑1 2+ x ❑

2 +3 x ❑1 x ❑2 (x ¿ ¿ ¿❑

+ x ❑2 )

đạt giá tr ln nht

2) Cho a,b số hữu tỉ thoả mÃn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chứng minh phơng trình: x2 +2x+ab = có hai nghiệm hữu tỉ. Bài ( điểm)

1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800 TÝnh tØ sè BC AB

2) Cho hình quạt tròn giới hạn cung tròn hai bán kính OA,OB vuông góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đ -ờng thẳng song song víi OB c¾t cung ë C TÝnh gãc ACD

Bài ( điểm)

Chng minh bất đẳng thức: | √a2

+b2−√a2+c2 | | b-c| với a, b,c số thực

*Trờng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150 )

Bài 1 ( ®iĨm) cho biĨu thøc: P(x) = 2x −√x

2

−1 3x2−4x+1

Bài 2 ( điểm)

1) cho phơng trình: x

2−2

(2m+1)x+3m2+6m

x −2 =0 (1)

a) Giải phơng trình m =

3

b) Tìm tất giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x ❑1 x ❑2 thoả mãn x

❑1 +2 x 2 =16

2) Giải phơng trình: 2x 1+x+√

1 2+

1 2x=2

Bµi 3 (2 điểm)

1) Cho x,y hai số thực tho¶ m·n x2+4y2 = 1

Chøng minh r»ng: |x-y| √5

2

2) Cho ph©n sè : A= n

2 +4

n+5

Hái cã số tự nhiên thoả mÃn n 2004 cho A phân số cha tối giản

Bi 4( điểm) Cho hai đờng tròn (0 ❑1 ) (0 ❑2 ) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P hai đờng tròn tiếp xúc với (0 ❑1 ) A, tiếp xúc với (0 ❑2 ) B Tiếp tuyến (0 ❑1 ) P cắt (0 ❑2 ) điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD R Hãy chứng minh rằng:

1)Bốn điểm A, B, Q,R thuộc đờng tròn 2)Tam giỏc BPR cõn

3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiÕp xóc víi PB vµ RB

Bài 5 (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E cho DB = BC = CE Chứng minh khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đờng trũn ngoi tip tam giỏc ADE

Trờng Trần Đại Nghĩa - TP HCM

(năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút )

Câu Cho phơng trình x2 +px +1 = cã hai nghiƯm ph©n biƯt a

1 , a phơng trình x2 +qx +1 = cã hai nghiƯm ph©n biƯt b ❑

1 ,b ❑2 Chøng minh: (a

❑1 - b ❑1 )( a ❑2 - b ❑1 )( a ❑1 + b ❑1 b ❑2 +b ❑2 ) = q2 - p2 C©u 2: cho số a, b, c, x, y, z thoả m·n

x = by +cz y = ax +cz

Chøng minh: 1+a+

1 1+b+

1 1+c=2

Câu 3: a) Tìm x; y thoả mÃn 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= 0 b) Cho số dơng x;y;z thoả mÃn x3+y3+z3 =1

Chứng minh: x

2

√1− x2+

y2 √1− y2+

z2 √1− z2≥2

C©u Chøng minh r»ng có số nguyên x,y thoả mÃn phơng trình: x3-y3 = 1993.

Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định (năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150) Câu 1(1đ):

tính giá trị biểu thức A=

a+1+

b+1 víi a=

2+√3 b= 2+3 Câu 2(1.5đ):

Giải pt: x2

4x+4+x=8 Câu 3(3đ):

Cho hm s y=x2 cú đồ thị (P) hai điểm A,B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1

a) Viết phơng trình đờng thẳng AB

b) Vẽ đồ thị (P) tìm toạ độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giác MAB cú din tớch max

Câu4(3,5đ):

a) đờng thẳng OM qu trung điểm N BC b) góc KAM MAO

c) AH=2NO Câu (1đ): tính tổng:

S= 1.2 +2.3 + 3.4 + …+n(n+1)

§Ị thi häc sinh giỏi quận tân phú TP.HCM năm học 2003-2004

Đề thi toán (thời gian 90 phút)

Bài (5,5 điểm)

1) Cho biểu thức A = −5

n−2

a) Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số b) Tìm số nguyên n để biểu thức A số nguyên 2) Tìm x biết:

a) x chia hÕt cho 12; x chia hÕt cho 25; x chia hÕt cho 30; 0≤ x ≤500 b) (3x - 24)73 =2.74

c)|x-5| =16+2(-3)

3) Bạn Đức đánh số trang sách số tự nhiên từ đến 145 Hỏi bạn Đức sử dụng chữ số? Trong chữ số sử dụng có chữ số 0?

Bài ( điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M, trên tia đối tia BA lấy điểm N cho AM = BN So sánh độ dài đoạn thẳng BM AN

Bµi 3( 2,5 điểm) Cho góc XOY = 1000 Vẽ tia phân gi¸c Oz cđa gãc XOY; VÏ tia Ot n»m gãc XOY cho YOT = 250

3) Chứng tỏ OT tia phân giác góc ZOY

Môn toán (thời gian làm 90 phút) Bài ( điểm)

a) TÝnh 2003+ 2004− 2005 2003+ 2004− 2005 − 2002+ 2003 − 2004 2002+ 2003 − 2004

b) BiÕt 13+ 23+… +103 = 3025 TÝnh S = 23+43+63+….+203 c) Cho A = x

3

−3x2+0,25 xy24

x2 +y

Tính giá trị A biết x = 1/2, y số nguyên âm lớn Bài (1 điểm) Tìm x biết : 3x+3x+1+3x+2 = 117

Bài ( điểm) Một thỏ chạy đờng mà hai phần ba đờng băng qua đồng cỏ đoạn đờng lại qua đầm lầy Thời gian thỏ đồng cỏ nửa thời gian đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ chạy đoạn đờng qua đầm lầy hay vận tốc thỏ chạy đoạn đờng qua đồng cỏ lớn lớn lần?

Bài 4.( điểm) Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC các tam giác ABD ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng:

a) ΔABE=ΔADC b) Gãc BMC = 1200

Bài ( điểm) Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đờng thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm

a) Tam giác ABC l tam giác gì? Chứng minh điều đó.à

§Ị thi häc sinh giái thÜ x· Hà Đông ( 2003-2004) Toán (120)

Bài 1( điểm) Cho đa thức: f(x) = 2x5 - 4x3 +x2 -2x +2 g(x) = x5 - 2x4 +x2 - 5x +3

h(x) = x4 +4x3 +3x2 -8x + 4 16 a)TÝnh M(x) = f(x) -2 g(x) + h(x)

b) Tính giá trị M(x) x = −√0,25 c) Có giá trị x để M(x) = 0? Bài (4 điểm)

a) Tìm số a,b,c biết: 3a=2b,5b=7c, 3a +5c-7b=60 b) T×m x biÕt |2x-3|-x=|2-x|

Bài (4) Tìm giá trị nguyên m n để biểu thức a)P =

6 m có giá trị lớn nhÊt

b) Q ¿8− n

n−3 cã gi¸ trị nguyên nhỏ

Bi 4.(5) Cho tam giỏc ABC có AB<AC,AB=c,AC=b Qua M trung điểm của BC ngời ta kẻ đờng vng góc với đờng phân giác góc A đờng cắt đờng thẳng AB, AC lần lợt D,E

a) Chøng minh BD=CE b) TÝnh AD vµ BD theo b,c

Bµi (3) Cho tam giác ABC cân A, góc A= 1000.D điểm thuộc miền tam gi¸c ABC cho gãc DBC =100, gãc DCB =200 Tính góc ADB?

Toán (150) Bài 1(5) Cho A=(x+2

3x +

2

x+1−3) :

2−4x x+1 −

3x+1− x2 3x

b) Tìm A để x= 6013 c) Tìm x để A <0 d) Tìm x để A nguyên

Bµi 2.(3) Cho A=(x+y+z)3 -x3-y3-z3 a) Rót gän A

b) Chøng minh A chia hÕt cho víi mäi x,y,z nguyªn

Bài 3.( 4) Sau loạt bắn đạn thật chiến sĩ Hùng, Dũng, Cờng ( ng-ời bắn viên), ngng-ời báo bia cho biết có ba điểm khác 8,9,10 thông báo:

a) Hùng đạt điểm 10

b) Dũng không đạt điểm 10 c) Cờng không đạt điểm

Đồng thời cho biết thông báo có thơng báo đúng, cho biết kết điểm bắn ngời

Bµi 4(5) Cho tam giác ABC vuông A, AB= c,AC=b Lần lợt dựng AB, AC bên tam giác ABC tam giác vuông cân ABD D, ACE E

a) Chứng minh điểm E, A, D thẳng hàng

b) Gọi trung điểm BC I, chứng minh tam giác DIE vuông c) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c BDEC

d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB K Tính tỉ số sau theo b,c Bài 5(3) Cho tứ giác ABCD,M điểm CD( khác C, D)

Chøng minh MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn giá trị CA+CB;DA+DB)

Đề thi học sinh giỏi quận hoàn kiếm (2003-2004)

Toán (120) Bài 1( 4) Giải phơng trình

315 x

101 +

313− x

103 +

311− x

105 +

309− x

107 +4=0

Bài 2(4) Cho số nguyên dơng x,y,z Chøng minh r»ng: 1< x

x+y+

y y+z+

z z+x<2

Bài 4(3) Ba bạn A,B,C chơi cỗ gồm quân Trên quân có viết số tự nhiên( số khác khác 0) Mỗi ngời đợc phát quân đ-ợc nhận số kẹo số viết quân Sau quân đđ-ợc thu lại, xáo trộn phát lại Sau lần chơi, A nhận đợc 20 kẹo, B nhận đợc 10 kẹo, C nhận đợc kẹo Hỏi số ghi quân bài? Biết số lớn đ ợc viết quân lớn

Bµi 5(5) Cho tam giác ABC cân A, góc A= góc C= 800 Từ B C kẻ đ-ờng thẳng cắt cạnh tơng ứng Dvà E cho gãc CBD = 600 vµ gãc BCE =500 Tính góc BDE

Toán 8( 120 phút) Bài 1(4)

Giải phơng trình:

(1 1011 +

2 102+ +

10 110)x= 1 11+

1

2 12+ + 100 110 Bµi 2(4)

Tìm x để hàm số y= x/(x+2004)2 có giá trị ln nht Bi 3( 4)

Cho phơng trình

a+3

x+1− 5−3a

x −2 = ax+3

x2 x 2

Với giá trị a phơng trình có nghiệm không nhỏ 1? Bµi 4(4)

Từ điểm O thuộc miền hình thang cân ABCD( AB=CD) nối đỉnh hình thang đợc đoạn thẳng OA,OB,OC,OD Chứng minh từ đoạn thẳng nhận đợc, dựng đợc tứ giác nội tiếp hình thang này( đỉnh tứ giác nằm cạnh hình thang cân)

Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b Gọi I ❑b ,I ❑c theo thứ tự độ

dài cảu đờng phân giác góc B góc C Chứng minh b>c I ❑b

<I ❑c

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)

thời gian: 150 Bài 1(3) Giải phơng trình:

1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27

2)

x −1¿2 ¿ ¿

x(x −2)−

Bài 2(1) Cho số thực dơng a,b,c vµ ab>c; a3+b3=c3+1 Chøng minh r»ng a+b> c+1

Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y số thực thoả mãn đẳng thức sau: x+y=a, x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ a,b,c khơng phụ thuộc x,y.

Bµi 4(1,5) Chứng minh phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm số hữu tỉ với số nguyên n

Bi 5(2,5) Cho đờng trịn tâm O dây AB( AB khơng qua O) M điểm đờng tròn cho tam giác AMB tam giác nhọn, đờng phân giác góc MAB góc MBA cắt đờng trịn tâm O lần lợt P Q Gọi I giao điểm AP BQ

1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ

*Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu (2004-2005)

thời gian:150 phút

Bài 1:

1/iải phơng trình: 5√x+

2√x=2x+

1 2x+4

2/chøng minh không tồn số nguyên x,y,z thoả mÃn: x3+y3+z3 =x +y+z+2005

Bài 2:

Cho hệ phơng tr×nh:

x2 +xy = a(y – 1) y2 +xy = a(x-1) 1/ gi¶i hƯ a= -1

2/ tìm giá trị a để hệ có nghiệm Bài 3:

1/ cho x,y,z số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1 Tìm giá trị nhỏ A =2xy +yz+ zx

2/ Tìm tất giá trị m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0

Bµi 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) , D điểm cung BC không chứa đỉnh A Gọi I,K H lần lợt hình chiếu cuả D đờng thẳng BC,AB,và AC Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng tròn N ( N# D); AN cắt BC M Chứng minh:

1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM 2/ BC

DI = AB DK +

*Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút) Bài (3đ):

1 Giải pt: x+13x=2x 1

2 Trong hệ trục toạ độ Oxy tìm đờng thẳng y= 2x +1 điểm M(x;y) thoả mãn điều kiện: y2 – 5y

√x +6x = Bài 2(2,5đ):

1 Cho pt: (m+1)x2 (m-1)x +m+3 = (m lµ tham sè)

tìm tất giá trị m dể pt có nghiệm số nguyên

2 Cho ba số x,y,z Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz Chứng minh phơng trình sau có nghiệm:

t2 + 2at +3b =0; at2 2bt + 3c =0 Bài 3(3đ)

Cho tam gi¸c ABC

1 Gọi M trung điểm AC Cho biết BM = AC Gọi D điểm đối xứng B qua A, E điểm đối xứng M qua C chứng minh: DM vng góc với BE

2 LÊy mét ®iĨm O bÊt kú nằm tam giác ABC Các tia AO,BO,CO cắt cạnh BC,CA,AB theo thứ tự điểm D,E,F chứng minh:

a) OD AD +

OE BE+

OF

CF =1

b) (1+AD OD)(1+

BE OE)(1+

CF OF)64 Bài 4(0.75đ)

xét đa thøc P(x)= x3+ ax2 +bx +c Q(x)=x2 +x + 2005

Biết phơng trình P(x)=0 có nghiệm phân biệt, pt P(Q(x)) =0 vô nghiệm Chứng minh P(2005)>1/64

Bài (0,75đ)

Cú hay khụng 2005 điểm phân biệt mặt phẳng mà ba điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù

§Ị thi tun sinh líp 10 tỉnh Hải Dơng (2004-2005)

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*) 1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm:

a) A(-1;3), b) B( √2 ; -1), c) C(1/2; 5)

2/ thay m=0 Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ thị hàm số y= x+1 Bài 2: (3)

Cho hệ phơng trình:

(m-1)x + y = m x + (m-1)y =2

gọi nghiệm hệ phơng trình (x;y)

1/ Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m 2/ Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 -7y =1

3/ Tìm giá trị m để biểu thức 2x −3y

x+y nhận giá trị nguyên Bài (3đ)

Cho tam gi¸c ABC ( ^A=900 ) Tõ B dùng đoạn thẳng BD phía tam giác ABC cho BC=BD vµ AB C^ =CB D^ ; gäi I trung điểm CD; AI cắt BC E Chøng minh:

1 C^A I=DB I^

2 ABE tam giác cân AB.CD = BC.AE Bài 4: (1đ)

tính giá trị biểu thức A= x

−4x3−3x+9

x4❑

❑+3x

2

+11 víi

x x2

+x+1=

*Trêng Chu Văn An HN AMSTERDAM(2005 2006)

(dành cho chuyên Toán chuyên Tin; thời gian :150)

Bài 1: (2đ)

Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c số nguyên Chứng minh a +b +c chia hÕt cho th× P chia hết cho

Bài 2(2đ)

Cho hệ phơng tr×nh:

(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m

1 Gi hƯ víi m= -10

2 Chứng minh không tồn giá trị tham số m để hệ có nghiệm nhất./

Bài 3 (2đ):

Ba số dơng x, y,z thoả m·n hÖ thøc

x+

2

y+

3

z=6 , xÐt biÓu thøc P = x + y2+ z3

1 Chøng minh P x+2y+3z-3

2.Tìm giá trị nhỏ P

Bài 4 (3đ):

Cho tam giác ABC, lấy điểm D,E,F theo thứ tự cạnh BC,CA,AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy ®iĨm P (D n»m gi÷a A&P) cho DA.DP = DB.DC

1 chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp tam giác DEF, PCB đồng dạng

2 gọi S S lần lợt diện tích hai tam gi¸c ABC & DEF, chøng minh: s '

s ≤(

EF AD)

2

Bài 5(1đ)

Cho hỡnh vuụng ABCD v 2005 ng thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

 Mỗi đờng thẳng cắt hai cạnh đối hình vng

 Mỗi đờng thẳng chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích 0.5 Chứng minh 2005 đờng thẳng có 502 đờng thẳng đồng quy

§Ị thi HS giái TP Hải Phòng (2004-2005) (toán bảng B thêi gian: 150’) Bµi 1

a) Rót gän biĨu thøc:

P=

x − y¿2 ¿ ¿

x y2

b)Giải phơng tr×nh:

5−2√6 (¿)

¿ ¿x

¿ 5+2√6

(¿) ¿ ¿x

¿ ¿ ¿

√¿ Bµi 2

a) Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phơng trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 Hãy xác định giá trị m để số đo đờng cao ứng với cạnh huyền tam gíac

√5

b) T×m Max & Min cđa biĨu thøc y= 4x+3

x2 +1 Bµi 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn tâm O, có góc C=450 Đuờng trịn đờng kính AB cắt cạnh AC & BC lần lợt M& N

a> chøng minh MN vu«ng gãc víi OC b> chøng minh √2 MN = AB

Bµi 4:

Cho hình thoi ABCD có góc B= 600 Một đờng thẳng qua D khơng cắt hình thoi, nhng cắt đờng thẳng AB,BC lần lợt E&F Gọi M giao AF & CE Chứng minh đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDF

*Trờng Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006) (dành cho i tng , thi gian: 150)

Bài 1(2đ): Cho biÓu thøc P= x√x −1

x −√x −

x√x+1

x+√x + x+1

√x

2 Tìm x biết P= 9/2

Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m tham sè). Gi¶i bpt víi m= 1- √2

2 Tìm m để bpt nhận giá trị x >1 nghiệm Bài 3(2đ):

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = parabol (P):y= ax2 (a tham số dơng).

1 Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A&B Chứng minh A&B nằm bên phải trục tung

2 Gọi xA&xB hồnh độ A&B, tìm giá trị Min biểu thức T=

xA+xB+

xA+xB Bài 4(3đ):

ng trũn tõm O cú dõy cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đờng thẳng MI H cắt tia BM C

1 Chøng minh c¸c tam gi¸c AIB & AMC tam gíac cân

2 Khi im M di động, chứng minh điểm C di chuyển cung trịn cố định

3 Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMC đạt Max Bi 5(1):

Cho tam giác ABC vuông A cã AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB = α

,gãc AMB = β Chøng minh r»ng: (sin α +cos α )2= 1+ sin β

Hồ Chí Minh năm học 2004-2005, lớp (thời gian:90 ) Bài 1(3đ): Tính:

a) [6.(1 )

3

−3.(−1

3 )+1]−(

−1 −1) b) (63+3.62 + 33) :13

c) 10 − 90− 72− 56− 42− 30 − 20 − 12− 6− Bài 2(3đ):

a) Cho a

b= b c=

c

b) Chøng minh r»ng tõ tû lÖ thøc

a+b

a− b= c+d

c −d

1

ta cã tû lÖ thøc a

b= c d

Bài 3(4đ):

di ba cnh ca tam giỏc tỉ lệ vớ 2;3;4 Ba chiểu cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào?

bài 4(3đ):

V th cỏc hm s: 2x với x y = x với x<0 Bài 5(3đ):

Chøng tá r»ng: A = 75(42004 + 42003 + +42 +4 +1) +25 lµ sè chia hết cho 100. Bài 6(4đ):

Cho tam giỏc ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh ID = IE

Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (Toán bảng A- thời gian:150) Bài 1:

a Rót gän biĨu thøc: P = √x2y2 xy +√

(x − y)2

x − y (√ x2 x

y2 y )

b Giải phơng tr×nh: 2+√x

√2+√2+√x+

2−√x

√2−√2−√x=√2

Bµi 2:

a ( đề nh bảng B)

b Vẽ đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 hệ trục toạ độ Chứng minh hình chữ nhật giới hạn bơỉ đờng thẳng khơng có điểm ngun thuộc đờng thẳng 3x + 5y =

Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD cắt BC E & AB cắt CD F, Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2.

Bµi 4:

Cho tam giác ABC cân A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE Đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC F

a chứng minh BF tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ECF b Gọi M giao điểm BF với (O) Chứng minh: BMOC tứ giác nội tiếp

Thi häc sinh giái tØnh H D¬ng (2004-2005) ( líp 9, thời gian: 150)

Bài 1(3,5đ):

1 Gọi x1, x2 la nghiệm phơng trình x2 + 2004x + = vµ x3, x4 lµ nghiƯm cđa phơng trình x2 + 2005 x +1 =0 Tính giá trÞ cđa biĨu thøc: ( x

1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2 -x4)

2 Cho a,b,c số thực a2 + b2 < Chứng minh:phơng trình (a2+b2-1)x2 -2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 có nghiệm.

Bài (1,5đ):

Cho hai số tự nhiên m n tho¶ m·n m+1

n +

n+1

m số nguyên chứng minh rằng:

ớc chung lớn m n không lớn m=n Bài (3đ):

Cho hai ng trũn (O1), (O2) cắt A & B Tiếp tuyến chung gần B hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) C & D Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD, lần lợt cắt (O1), (O2) M & N Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng MN P & Q; đòng thẳng CM, DN cắt E Chứng minh:

a Đờng thẳng AE vng góc với đờng thẳng CD b Tam giác EPQ tam giác cân

Giải hệ phơng trình: x+y = x5 + y5 =11

Thi häc sinh giỏi toán (thời gian 90) Bài 1(4đ):

Tính giá trị biểu thức:

a A= + (-2) + + (-4) + ….+2003 +(-2004) + 2005 b B = -7 + 13 – 19 + 25 – 31 +… (B cã 2005 sè h¹ng) Bài (4đ):

a chứng minh: C = (2004+20042+20043 ++200410) chia hết cho 2005 Bài 3(4đ):

Tỡm s tự nhiên nhỏ biết số chia cho d 1; chia cho d 2; chia cho d 3; chia cho d chia ht cho 13

Bài4(2đ):

Tìm hai sè a, b biÕt hiƯu cđa chóng b»ng vµ BCNN a b 140 Bài (2đ):

Tìm x số nguyên biết: x-5 + x = Bài (4đ):

Cho đoạn thẳng AB = 7cm; điểm C nằm A & B cho AC = 2cm; điểm D,E theo thứ tự trung điểm AC CB Gọi I trung diểm DE Tính độ dài DE, CI

§Ị thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004) Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút )

Câu 1: (3đ) Cho hệ pt víi tham sè a: x+4∨y∨¿∨x∨¿ ¿y∨+¿x − a∨¿1

a gi¶i hƯ pt a=-2

b tìm giá trị tham số a để hệ pt có hai nghiệm Câu 2(2đ):

a cho x,y,z số thực không âm thoả mÃn x=y=z = Tìm giá trị max biểu thức: A= -z2+z(y+1) +xy

b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có độ dài) nội tiếp đờng trịn bán kính Chứng minh: tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng trịn bán kính r r √2

2 Câu 3(2đ):

Tim tất số nguyên dơng n cho phơng trình: 499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.

Câu (3đ):

Cho tam giác ABC vng C đờng trịn (O) đờng kính CD cắt AC & BC E & F( D hình chiếu vng góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đ ờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng AC, MF cắt tạiK, giao điểm đờng thẳng EF BK P

a chứng minh bốn điểm B,M,F,P thuc mt ng trũn

b giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng tính số đo góc tam giác ABC

c giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O trung điểm đoạn CD Chứng minh CM vng góc với đờng thẳng nối tâm đơng tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP

 TØnh HaØ D ơng (150 phút) Bài 1(2.5đ):

Giải pt: |xy x − y+a|+|x2y2+x2y+xy2+xy−4b|=0 víi a= (√57+3√6+√38+6) (√57−3√6−√38+6)

b= √17−12√2+√3−2√2+√3+2√2 Bµi 2(2.5đ)

Tính giá trị biểu thức (2004a)/ (b +c) Bài 3(3đ):

Cho hai ng trũn tâm O1, O2 cắt A,B Đờng thẳng O1A cắt (O2) D, đ-ờng thẳng O2A cắt (O1) C

Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD căt (O1) M (O2) N Chứng minh rằng:

1 Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm ng trũn BC+BD = MN

Bài 4(2đ)

Tìm số thực x, y thoả mÃn x2 +y2 = x+y số nguyên.

Tỉnh Bình Thuận (150 phút) Bài 1(6đ):

1 Chứng minh rằng: A = 23+513+48

6+2 số nguyên Tìm tất số tự nhiên có chữ sè abc cho: abc = n2 – 1

cba =(n-2)2 Baì 2(6đ)

1 Giải pt: x3 + 2x2 + 2

√2 x +2 √2 =0

2 Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2. a) Vẽ (P), (d) hệ trục toạ độ Oxy

b) Gäi A,B giao điểm (P),(d) Tìm điểm M cung AB cđa (P) cho diƯn tÝch tam gi¸c MAB max

1 Cho đờng tròn tâm O dây cung BC không qua O Một điểm A chuyển động đờng tròn (A#B,C) gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đờng vng góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB Chứng tỏ H nằm đờng tròn cố định

2 Cho đờng tròn (O,R) (O’,R’) (R>R’), cắt A,B Tia OA căt (O) D; tia BD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài đoạn BC & BE

* Tỉnh Phú Thọ (150 phút) Bài 1(2đ):

a) chứng minh p số nguyên tố lớn (p-1)(p+1) chia hết cho 24

b) tìm nghiệm nguyên dơng pt: xy 2x 3y +1= Bài 2(2đ):

Cho cỏc số a,b,c khác đôi khác nhau, thoả mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 3abc Tính: (b −c

a +

c − a

b +

a − b c )(

a b − c+

b c − a+

c a b)

Bài 3(2đ)

a) tìm a để pt: |x| +2ax = 3a -1 có nghiệm

b) cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2 +bx+ c thoả mÃn điều kiện |f

(x)| víi mäi x [−1;1] T×m max biểu thức 4a2 +3b2.

Bài (1,5đ)

Cho góc xOy hai điểm A,B lần lợt nằm hai tia Ox,Oy thoả mãn OA- OB = m (m độ dài cho trớc) Chứng minh:đờng thẳng qua trọng tâm G tam giác ABO vuông góc với AB ln qua điểm cố định

Bài 5(2.5đ):

Cho tam giỏc nhn ABC Gi ha,hb,hc lần lợt đờng cao ma,mb,mc đờng trung tuyến cạnh BC,CA,AB; R&r lần lợt bán kính đờng trịn ngoại tiếp & nội tiếp tam gíac ABC Chứng minh ma

ha +mb

hb +mc

hc

≤R+r

§Ị sè 1:

Bài cho số a1,a2,a3,a2003 Biết: ak = 3k

2

+3k+1

(k2+k)3 víi mäi k = 1,2,3….2003 TÝnh tỉng:a1 + a2 + a3+ +a2003

Bµi Cho A = 1- +13 -19 +25 -31 + a) Biết A có 40 số hạng Tính giá trị A b) Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n

Bi Cho tam giác ABC cân A, góc BAC = 400, đờng cao AH Các điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho góc EBA = góc FBC = 300 Chứng minh AE = AF

Bài Cho sáu số tự nhiên a ❑1 , a ❑2 , a ❑3 , a ❑4 , a ❑5 , a ❑6 tho¶ m·n:

2003 = a ❑1 <a ❑2 <a ❑3 <a ❑4 <a ❑5 <a ❑6 1) Nếu tính tổng hai số thực đợc tổng?

2) Biết tất tổng khác Chứng minh a ❑6 2012 Bài Hãy khôi phục lại chữ số bị xoá( để lại vết tích chữ số dấu * ) để phép toán đúng.

***

Đề số 2: Bài

Giải hệ phơng trình

xy+2x+y=0 yz+2z+3y=0 xz+3x+z=0

{ { Bài

Tìm tất số nguyên dơng a,b cho ab = 3(b-a)

Bài Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : S = (2-x)(2-y)

Bµi 4.

Cho tam giác cân ABC( AC =AB) với góc ACB = 800 Trong tam giác ABC có điểm M cho gãc MAB = 100 vµ gãc MBA = 300 TÝnh gãc BMC

Bµi

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) AC cắt BD I (O ❑1 ),(O ❑2 )

theo thứ tự đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABI, CDI Một đờng thẳng qua I cắt (O) X Y cắt(O ❑1 ),(O ❑2 ) theo thứ tự Z, T ( Z và

T kh¸c I) Chøng minh r»ng XZ = YT

Bài Cho số phơng A, B, C.

Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12 Bµi Chøng minh r»ng :

3 √3

√2−1=√3 9−

3

√2 9+

3

√4

Bµi Cho a ≠ −b , a ≠ c ,b ≠ − c Chøng minh r»ng:

b2− c2

(a+b)(a+c)+

c2− a2

(b+c)(b+a)+

a2− b2

(c+a)(c+b)=

b − c b+c+

c − a c+a+

a − b a+b

Bài Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, a+b+c = 9; x,y,z lần lợt độ dài phân giác góc A,B,C Chứng minh rằng:

1

x+

1

y+

1

z >1

Bµi Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng:

HB HC AB AC+

HC HA BC BA +

HA HB CA CB =1

Đề số 4: Bài 1.

Biết A=654ì999 997 100 chữsố

+1965

Cho số thực dơng cho tổng tất tích cặp hai số chúng Chứng minh tồn bốn năm số có tổng nh hn

Bài

Tồn hay không số nguyên a,b,c thoả mÃn: a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1

Bài 4.

Giải phơng trình x4+16x+8=0 Bài

Một đờng thẳng d chia tam giác ABC cho trớc thành hai phần có diện tích chu vi Chứng minh tâm đờng tròn nội tiếp tam

giácABC nằm đờng thng d

Đề số 5 Bài 1

Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng hai số tự nhiên lớn xét tích hai số Trong cách phân tích nói trên, hÃy cách mà tích số có giá trị nhỏ

Bài 2.

Cho số không âm a,b,x,y thoả mÃn điều kiện

a2005+b20051; x2005+y20051 Chøng minh r»ng: a1975.x30

+b1975.y30≤1 Bµi

√10+√24+√40+√60=2005(2x −1)+√2+√3+√5 Bµi

Víi sè nguyên dơng n, kí hiệu 1 n

.n

+n+1

n ! an=¿

TÝnh tæng

a1+a2+ +a2005 Trong n! kí hiệu tích n số nguyên dơng liên tiếp đầu tiờn

Đề số 6: Bài 1:

Chứng minh r»ng sè 20052 +22005 nguyªn tè cïng víi số 2005. Bài 2:

Cho ba số dơng a,b,c chøng minh r»ng:

a3

b + b3

c + c3

a ≥ a√ac+b√ba+c√cb

Bài 3:

giải phơng trình: x4 + x3+ x2+x + =0 Bµi 4:

Giả sử O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC AD,BE,CF đờng cao tam giác Đờng thẳng EF cắt (O) P,Q Gọi M trung điểm BC Chứng minh AP2 = AQ2= 2AD.OM

Bµi 5:

Đề số 7:

Bài 1: Giải phơng tr×nh: x3 - x - = x3 + x + 1 Bài 2:

tìm Max biểu thøc √x − x3

+√x+x3 víi x Bài 3:

Giải hệ phơng trình:

¿

√x2+xy+y2=√3 (x+y) ¿

x2004+y2004 = 22005 Bµi 4:

cho tam giác ABC có đờng cao kẻ từ đỉnh A, đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh B đ-ờng phân giác kẻ từ đỉnh C đồng quy Gọi a,b,c lần lợt độ dài ba cạnh BC,CA,AB Chứng minh: (a+b)(a2+b2- c2)= 2a2b

Bµi 5:

Cho tam giác ABC Điểm O nằm tam giác BO cắt AC taị M, CO cắt AB N Dựng hình bình hành OMEN OBFC Chứng minh: A,E,F thẳng hµng vµ

AE AE=

AM AN AB AC =

§Ị sè 8

Bµi 1:

Cho số 155*701*4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay đổi dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ ý số ln chia hết cho 396

Bµi 2:

Giải hệ phơng trình:

x2 xy +y2 =3 z2 +yz +1 =0 Bµi 3:

T×m Max cđa biĨu thøc: A= 2004x

2

+6006x+6√x3−2x2+x −2−8003

x2+3x −4

Bµi 4:

Cho a,b,c cạnh tam giác, chứng minh:

√a+b − c+√3b+c − a+√3c+a − b 3a+3b+3c Bài 5:

Đề số 9: Bµi 1:

Giả sử (a1;a2;a3;…a37),(b1;b2;b3;…b37),(c1;c2;c3;….c37) ba số nguyên Chứng minh tồn số k,l,n thuộc tập hợp số {1;2;…37} để số a= 1/3(ak +al + an); b=1/3(bk + bl+ bn); c= 1/3(ck +cl + cn); đồng thời số nguyên

Bµi 2:

Tìm a để phơng trình (ẩn x) sau có nghiệm: x=(a-x)/ √x2−1 Bài 3:

Tìm m để phơng trình sau có bốn nghiệm nguyên:

m2|x+m|+m3+|m2x+1|=1 Bµi 4:

Cho tam giác ABC, H điểm cạnh BC AD đờng phân giác tam giác Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC) Chứng minh: BH.CH/(BL.CL)=HD2/LD2

Bµi 5:

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;1) Một đờng thẳng qua O cắt hai cạnh AB AC lần lợt M&N Ký hiệu SAMN diện tích tam giác AMN

Chøng minh r»ng: √3

3 ≤ SAMN≤ 3√3

8

Cho p lµ sè nguyªn tè >3

Chøng minh r»ng pt: x2 + y2 + z2 = 4p2 +1 lu«n cã nghiƯm dơng (x

0;y0;z0) Bài 2:

Cho ba số dơng a,b,c thoả mÃn a+b+c =3 Chứng minh rằng:

a

1+b2+

b

1+c2+

c

1+a2 Bài 3:

Giải pt: 3x2

−7x+3−√x2−2=√3x2−5x −1−√x2−3x+4 Bµi 4:

Cho tam giấcBC (AB<AC) P điểm nằm tam giác cho góc ^PBA=^PCA Gọi H & K chân đờng vuông góc hạ từ P xuống AB & AC; I trung điểm BC Chứng minh: ^HIB <^KIC

Bµi 5:

Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp (O) gọi D,E,F tiếp điểm (O) với cạnh BC,CA,AB Gọi M giao điểm đờng thẳng AO,DE; Nlà giao điểm đờng thẳng BO,EF; P giao điẻm Co DF Chứng minh tam giác NAB,MAC,PBC có diện tích

Đề số 11:

Bài 1: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:

P= a/(a+b) +b/(b+c) + c/(c+a) a,b,c số thực thoả mãn điều kiện a>=b>=c>0

Bµi 2:

Đặt: A=

2 3+

3 4+ + 2003 2004+

1 2005 2006

B=

1004 2006+

1005 2005+ + 2006 1004 Chøng minh r»ng A/B số nguyên Bài 4:

Cho tam giác ABC có điểm M thuộc BC Gọi E&F hình chiếu vng góc M AB&AC; O trung diểm EF; Q hình chiếu vng góc A đơng thẳng OM Chúng minh M chuyển động BC Q ln thuộc đơng thẳng cố định

Bµi 5:

Cho lục giác nội tiếp đờng trịn ABCDEF có AB = AF; DC= DE Chứng minh: AD> (1/2)(BC+EF)

§Ị sè 12: Bµi 1:

Cho Sn= √

3+Sn−1 1−√3 Sn 1

với n số tự nhiên không nhỏ Biết S1 = 1, tính S = S1 + S2 + S3 +… + S2004 + S2005

Bài 2:

Giải hệ phơng trình: x

√y+ y

√x=xy

x2008 + y2008 =8(xy)

❑

2005

Tổng số bi đỏ số bi xanh bốn hộp: A,B,C,D 48 Biết rằng: số bi đỏ số bi xanh hộp A nhau; số bi đỏ hộp B gấp hai lần số bi xanh hộp B; số bi đỏ hộp C gấp ba lần số bi xanh hộp C; số bi đỏ hộp D gấp sáu lần số bi xanh hộp D; bốn hộp có hộp chứa hịn bi xanh, hộp chứa bi xanh,một hộp chứa bi xanh, hộp chứa hịn bi xanh Tìm số bi đỏ số bi xanh hộp

Bµi 4:

Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c (b+c)a

2003

2 +

(c+a)b2003

2 +

(a+b)c2003

2 víi a,b,c số dơng

Đề số 13: Bài 1:

Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 đặt trớc số dấu “trừ” dấu “cộng” thực phép tính đợc tổng A tìm giá trị khơng âm nhỏ mà A nhận đợc

Bµi 2:

Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1 xác định dấu ca h s a

Bài 3:

Giải pt: (x – 2005)6 + (x- 2006)8 = 1 Bµi 4:

Cho a1=1/2; an+1= (2n −1

2n=2) an víi n = 1,2,3,… ,2004 Chøng minh r»ng: a1 + a2 + a3 +…+ a2005 <

Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC đờng trịn đờng kính AM BC cắt N ( N # B), gọi L giao điểm BN & CD Chứng minh: ML vng góc với AC

Đề số 14: Bài 1:

Chứng minh pt x2 2y = 2005 nghiệm nguyên. Bài 2:

Giải pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2 Bài 3:

Giải hệ pt: 3x – y -5z -2yz = x- 5y –z – 2z2 =0 x +9y -3z + 2xz = Bài 4:

Cho tam giác ABC cân A ^A= 360 Chứng minh: BA/BC số vô tỉ Bài 5:

Đề số 15: Bài 1:

Biết x, y số tự nhiên có 2005 chữ số.Số x viết chữ số số y viết chữ số HÃy so sánh tổng chữ tích xy tổng chữ số x2.

Bµi 2:

Hãy xác định a để hệ pt sau có nghiệm nhất: 4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3 x2 + y2 + z2 +x –y = a

Bµi 3:

Cho (x+√x2+1)(y+√y2+1)=1 tÝnh M = x √y2+1+y√x2+1 Bµi 4:

Cho tam giác ABC, AB < AC Các điểm M,N lần lợt thuộc cạnh AB, AC cho BM = CN Gọi giao điểm BN CM O Đờng thẳng qua O, song song vơí phân giác ^BAC cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự X, Y

Đề số 16: Bài 1:

Tìm tất số nguyen dơng n cho 2n + 153 bình phơng số nguyên

Bài 2:

Cho a,b,c số thực dơng thoả mÃn abc =1 H·y tÝnh Min cđa biĨu thøc: P =

a2+b2−c2

c +

b2+c2−a2

a +

c2+a2− b2

b

Bµi 3:

Chøng minh số hai số sau: p -1; p +1 số phơng với p tích 2005 số nguyên tố

Bµi 4:

Cho AB & CD hai đờng kính vng góc với đờng trịn (O,R).M điểm (O) Tìm Max P = MA.MB.MC.MD

Bài 5:

Đề số 17: Bµi 1:

Chøng minh r»ng sè d phép chia số nguyên tố cho 30 số nguyên tố

Bài 2:

Tìm tất số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng tr×nh: x+ y + z =6

x+

1

y+

1

z=2−

4 xyz Bµi 3:

Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3 Chøng minh : f ( 2006

2005 ) < f( 2005 2004 ) Bài 4:

Cho tam giác ABC, điểm O nằm tam giác BO,CO theo thứ tự cắt AC,AB M,N Dựng hình bình hành OMEN,OBFC Chứng minh A,E,F thẳng hàng AE

AF=

AM AN AB AC =

OM ON OB OC Bµi 5:

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R Tìm nửa đờng trịn (không kể hai đầu mút A,B) tất ba điểm C1, C2, C3 cho BC1 + AC2 = BC2 + AC3 = BC3 + AC1 = d, d độ dài đoạn thẳng cho trớc Biện luận

Bµi 1:

Cho số nguyên n > 2005 số thùc x tho¶ m·n 2006n + 2005n =xn Hái x là số nguyên không?

Bài 2:

Biết rằng: x2 + y2 = x =y Tìm giá trÞ Max & Min cđa F = x –y Bµi 3:

Rót gän:

T = ( 14+1

4)(3

+1

4) (2005

+1 4)

(24 +1

4)(4

+1

4) .(2006

+1 4) Bµi 4:

Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE cạnh lại thoả mãn điều kiện: BC + FD = EF + CA Chứng minh: hai tam giác

Bµi 5: