PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Câu Va (2 điểm).. Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản[r]
(1)THI THỬ ĐẠI HỌC MƠN TỐN
Đề thi số 2
Thời gian làm bài: 180 phút A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=x3−3x2+2 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Biện luận số nghiệm phương trình x2−2x −2= m
|x −1| theo tham số m Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình 4 sin22x2cos x2 2 sin x b) Giải phương trình
2
16
2
14 40
x x x
log x log x log x .
Câu III ( điểm)
a) Tính tích phân
2
x sin x
I dx.
cos x
b) Cho hàm số f(x)=ex−sinx+x
2 −3 Tìm giá trị nhỏ f(x) chứng minh f(x)=0 có hai nghiệm
Câu IV (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x −1 =
y 1=
z+2
−3 mặt phẳng (P):2x+y+z −1=0
a) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A vng góc với d nằm (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d cho khoảng cách từ điểm I(1,0,0) tới (Q)
√3
B PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Câu Va (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình bản
a) Trong mặt phẳng Oxy cho ΔABC có A ; 0 5 Các đường phân giác trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình d : x y1 1 0,d : x2 2y0. Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC
(2)Câu Vb (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao
a) Giải phương trình 4x+1
x+2
=6 4x−1
x+1
b) Cho chóp tứ giác SABCD có cạnh bên a mặt chéo SAC tam giác Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P) hình chóp
ĐÁP ÁN
Câu I 2 điểm
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x3 3x2 2.
Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.
Sự biến thiên:
2
3
y' x x. Ta có
0
2
x y'
x
0,25
yCD y 0 2; yCT y 2 2. 0,25
B ng bi n thiên: ả ế
x 0 2
y' 0 0
y
2
0,25
Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25
b)
Biện luận số nghiệm phương trình x2−2x −2= m
|x −1| theo tham số m Ta có
2 2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
Do số nghiệm
của phương trình số giao điểm
2 2 2 1
y x x x , C'
đường thẳng y m,x 1.
0,25
Vì
2 2 2 1
1
f x x
y x x x
f x x
nên C' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x1.
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x1 qua Ox.
0,25
Học sinh tự vẽ hình 0,25
Dựa vào đồ thị ta có:
+ m 2: Phương trình vơ nghiệm;
(3)+ m2: Phương trình có nghiệm kép;
+ 2m0: Phương trình có nghiệm phân biệt; + m0: Phương trình có nghiệm phân biệt.
0,25 Câu II 2 điểm
a)
Giải phương trình 4 sin22x2cos x2 2 sin x
Biến đổi phương trình dạng 2sin x3 2 sin x1 2sin x1 0 0,75 Do nghiệm phương trình
7
2
6 18 18
k k
x k ; x k ; x ; x
0,25
b)
Giải phương trình
2
16
2
14 40
x x x
log x log x log x .
Điều kiện:
1
0
4 16
x ; x ; x ; x .
Dễ thấy x = nghiệm pt cho
0,25
Với x1 Đặt t log x2 biến đổi phương trình dạng
2 42 20
0 1 t 4t1 2 t1
0,5
Giải ta
1
2
2
t ;t x ; x .
Vậy pt có nghiệm x =1;
4
2
x ; x .
0,25
Câu III a)
Tính tích phân
2
x sin x
I dx.
cos x
Sử dụng cơng thức tích phân phần ta có
3 3
3
3
1
3
x dx
I xd J ,
cosx cosx cosx
với
3
dx J
cosx
0,25
Để tính J ta đặt t sin x. Khi
3 3
3 2
2
3
2
3
1
1 2
dx dt t
J ln ln .
cosx t t
0,5
Vậy
4
3
I ln .
(4)b)
Cho hàm số f(x)=ex−sinx+x
2 −3 Tìm giá trị nhỏ f(x) chứng minh f(x)=0 có hai nghiệm
Ta có
x
f ( x ) e x cos x. Do f ' x 0 ex x cos x. 0,25
Hàm số
x
y e hàm đồng biến; hàm số yx cosx hàm nghịch biến
vì y' 1 sin x 0, x Mặt khác x=0 nghiệm phương trình
x
e x cos x nên nghiệm nhất.
0,25
Lập bảng biến thiên hàm số yf x (học sinh tự làm) ta đến kết luận phương trình f (x)=0 có hai nghiệm
Từ bảng biến thiên ta có min f x 2 x0.
0,5
Câu IV
a) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A vng góc với d nằm (P)
Tìm giao điểm d (P) ta
1
2
2
A ; ;
0,25
Ta có ud 2 3; ; ,nP 2 1; ; u u ;nd p 1 0; ;
uur uur uur uur uur 0,5
Vậy phương trình đường thẳng Δ
1
2
2
: x t; y t; z .
0,25
b) Viết (Q) chứa d cho khoảng cách từ điểm I(1,0,0) tới (Q)
√3
Chuyển d dạng tổng quát
2
3
x y
d :
y z
0,25
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng
2 1 3 2 0 2 0 m x y n y z ,m n
2
mx m n y nz m n
0,25
1 2
2
1
3
d I ; Q Q : x y z , Q : x y z . 0,5
Câu VIa a)
Trong mặt phẳng Oxy cho ΔABC có A ; 0 5 Các đường phân giác trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình
1 2
d : x y ,d : x y . Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC.
(5) Gọi A' đối xứng với A qua d1 H2 3; , A' ; 4 1 0,25
Ta có A' BC BC : x 3y1 0 . 0,25
Tìm C28 9; AC : x 7y35 0 . 0,25 b)
Có số hữu tỉ khai triển 60 2 .
Ta có
60 60
60
3
60
2 3
k k k k
C .
0,5
Để số hữu tỷ
60 2
6
k k
k k
Mặt khác 0 k 60 nên có 11 số
0,5
Câu Vb a)
Giải phương trình 4x+1
x+2
=6 4x−1
x+1
Biến đổi phương trình cho dạng
2 2
3 27
4
x x x x
. . . . 0,5
Từ ta thu
3
3 2
2 39 39
x
x log
0,5
b) Cho chóp tứ giác SABCD có cạnh bên a mặt chéo SAC tam giác Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P) hình chóp
Học sinh tự vẽ hình 0,25
Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. Gọi I AC' SO. 0,25 Kẻ B' D' // BD. Ta có
2
1 3
2
AD' C' B'
a a
S B' D' AC' BD. . 0,5