Applications of delay diffrential equations in the HIV transmission model

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HỒ THANH NHÂN ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM TRONG MƠ HÌNH LAN TRUYỀN HIV APPLICATIONS OF DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE HIV TRANSMISSION MODEL Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã ngành: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP.HỒ CHÍ MINH, tháng 01 năm 2020 CƠNG TRÌNH NÀY ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM Cán hướng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN ĐẠI (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký ) Cán chấm phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký ) Cán chấm phản biện 2: TS NGUYỄN MINH TÙNG (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký ) Luận văn Thạc sĩ bảo vệ trường Đại học Bách Khoa, ĐH Quốc Gia Tp.HCM ngày 12 tháng 01 năm 2020 Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ ) PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TS NGUYỄN TIẾN DŨNG TS NGUYỄN BÁ THI TS CAO THANH TÌNH TS NGHUYỄN MINH TÙNG Xác nhận chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn chỉnh sửa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA Đại Học Quốc Gia TP.HCM Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại Học Bách Khoa Độc lập - Tự - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: HỒ THANH NHÂN MSHV: 1670241 Ngày, tháng, năm sinh: 03 03 1979 Nơi sinh: Long An Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM TRONG MƠ HÌNH LAN TRUYỀN HIV NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG - Kiến thức chuẩn bị - Giới thiệu phương trình vi phân có chậm phương pháp giải phương trình - Ứng dụng phương trình vi phân có châm mơ hình lan truyền HIV II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 12/08/2018 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 12/06/2019 IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS LÊ XUÂN ĐẠI Tp Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 01 năm 2020 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO TRƯỞNG KHOA LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc thầy TS Lê Xuân Đại, người nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập khoảng thời gian thực hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến tất quý Thầy - Cô mơn tốn ứng dụng, q Thầy - Cơ Trường Đại Học Bách Khoa, Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, người hết lịng giảng dạy giúp lãnh hội kiến thức khoa học cách dễ dàng Xin cảm ơn quý Thầy-Cô truyền đạt kiến thức hay giúp tơi hồn thành mơn học giúp tơi có tảng kiến thức khoa học để tơi thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn đến tất bạn học viên lớp cao học Toán Ứng Dụng khóa 2016, có nhiều hỗ trợ, giúp đỡ tơi suốt q trình học q trình thực hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn tất người thân gia đình tơi, ln ln đồng hành, động viên, chia sẻ khó khăn tạo cho tơi điều kiện tốt để học tập, làm việc hồn thành tốt luận văn Trong q trình làm luận văn, kiến thức kinh nghiệm thực tiễn cịn nhiều hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong tiếp nhận ý kiến đóng góp q Thầy-Cơ, bạn học viện đồng nghiệp, để có thêm kiến thức nhằm bổ sung hồn thiện luận văn Cuối tơi xin kính chúc q Thầy-Cơ dồi sức khoẻ thành công nghiệp cao quý thành công lĩnh vực nghiên cứu Rất trân trọng xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, 01 2020 Người thực Luận văn Hồ Thanh Nhân i TÓM TẮT LUẬN VĂN Nội dung luận văn nghiên cứu mơ hình lan truyền trực tiếp từ tế bào đến tế bào virut HIV Thời gian ủ bệnh nội bào mơ hình hố hàm phân phối Gamma mơ hình hệ thống gồm phương trình vi phân thường phương trình vi phân có chậm Các mơ hình nghiên cứu là: mơ hình tổng qt, mơ hình phương trình vi phân thường, phương trình vi phân có chậm phân phối Cấu trúc luận văn gồm có ba chương Chương I: Trình bày kiến thức phương trình vi phân có chậm Chương II: Phương pháp giải phương trình vi phân có chậm kiến thức bổ sung để nghiên cứu mô hình lan truyền virut HIV tế bào Chương III: Nghiên cứu ứng dụng phương trình vi phân có chậm mơ hình lan truyền HIV Đây nội dung luận văn cuối kết luận vấn đề khảo sát, từ đề xuất hướng phát triển số ứng dụng lĩnh vực toán học ứng dụng ii ABSTRACT The main content of this dissertation is to study the model of spreading directly from cells to cells of HIV virus The intracellular incubation period is modelled by the gamma distribution function and the model is a system of one ordinary differential equation and one with delay differential equations.The models studied are: General model, ordinary differential equation model, differential equation with distributed delay The structure of the dissertation consists of three chapters Chapter I: Presenting basic knowledge of delay differential equations Chapter II: Methods of solving delay differential equations and additional knowledge for studying the model of HIV transmission in cells Chapter III: Studying the application of delay differential equation in HIV transmission model This is the main content of the dissertation and finally conclusion on the issues surveyed is presented, based on which some propositions for the improvement in some applications of mathematics are discussed iii LỜI CAM ĐOAN Luận văn cơng trình nghiên cứu cá nhân tôi, thực hướng dẫn khoa học TS Lê Xuân Đại Các số liệu kết luận nghiên cứu trình bày luận văn hồn tồn trung thực Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm lời cam đoan Học viên HỒ THANH NHÂN iv Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ODEs DDEs HIV Ordinary Differential Equations: Phương trình vi phân thường Delay Differential Equations: Phương trình vi phân có chậm Human Immunodeficiency Virus infection : Hội chứng suy giảm miễn dịch mắc phải người Φ(0, x) 0+ (x) Semiflow map : Ánh xạ nửa dòng chảy The Forward Orbit of a state x: Quỹ đạo chuyển tiếp trạng thái x The Omega Limit Set: tập giới hạn omega Tập số tự nhiên Tập số thực Tập hợp số phức Tập hợp số thực không âm Không gian vectơ thực m-chiều K = R K = C Bao đóng tập X ω(x) N R C R+ Rm K X Hồ Thanh Nhân v Khóa 2016-2018 Mục lục LỜI CẢM ƠN i TÓM TẮT LUẬN VĂN iii LỜI CAM ĐOAN iv DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU v LỜI MỞ ĐẦU xii Chương Giới thiệu kiến thức phân có chậm 1.1 Phương trình vi phân có chậm rời rạc 1.1.1 Bài tốn pha trộn chất lỏng 1.1.2 Bài toán tăng trưởng dân số 1.2 Phương trình vi phân có chậm liên tục phương trình vi Chương Một số phương pháp giải phương trình vi phân có chậm 2.1 Một số phương pháp giải phương trình vi phân có chậm 2.1.1 Phương pháp giải bước phương trình vi phân có chậm rời rạc 2.1.2 Phương pháp giải phương trình vi phân có chậm rời rạc sử dụng MatLab 2.2 Phương trình vi phân có chậm vơ hạn dạng Gamma 2.2.1 Phương trình đặc trưng ổn định 2.3 Chuỗi thuật toán tuyến tính 2.4 Hàm Liapunov 2.4.1 Nửa dòng tập hợp giới hạn Omega 1 6 11 12 16 18 18 Chương Mơ hình tốn lan truyền HIV 22 3.1 Mơ hình tổng qt 22 3.2 Mơ hình ODE 25 vi Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng 3.3 Mơ hình có chậm phân phối 28 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN LUẬN VĂN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Hồ Thanh Nhân vii Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng mạnh r trừ tỉ lệ chết tế bào khỏe mạnh µC (rC = r − µC ) • CM lưu lượng hiệu hệ thống (the effective carrying capacity of the system) • kI đại diện cho lây nhiễm tế bào khoẻ mạnh tế bào nhiễm bệnh (the infection of healthy cells by the infected cells) hệ thống hổn hợp tốt (well-mixed system) • kI gọi tỉ lệ sống sót tế bào khoẻ mạnh sau khoảng thời gian ủ kI bệnh (the fraction of cells surviving the incubation period) ã àI tỉ lệ chết tế bào nhiễm bệnh Sự tương tác biến tham số giá trị tham số cho bảng Điều kiện ban đầu hệ (3.1) C(s) = Φ(s) ≥ , I(s) = Ψ(s) ≥ , s ∈ (−∞; 0] Φ Ψ hàm liên tục nửa đoạn (−∞; 0] Chúng ta giả sử rằng, tế bào u tạo lây nhiễm cho tế bào khác thời điểm t bị lây nhiễm khoảng thời gian trước u phân phối theo hàm phân phối xác suất F (u) gọi hạt nhân có chậm (delay kernel) Trong phần chúng tơi kí hiệu hạt nhân có chậm có dạng quen thuộc αn+1 un −αu F (u) = e n! α > số n ≥ số nguyên Theo MacDonald [14] n gọi bậc hạt nhân có chậm có chậm trung bình định nghĩa công thức ∞ n+1 α Trong luận văn này, hạt nhân có chậm F (u) quy ước với n = τ= uF (u)du = n = tương ứng F (u) = αe−αu F (u) = α2 ue−αu gọi hạt nhân yếu hạt nhân mạnh Chúng thường sử dụng mơ hình sinh học Những hạt nhân thường sử dụng mơ hình tốn học lây nhiễm HIV Mittler [23] Hồ Thanh Nhân 23 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Tốn Ứng dụng Hệ (3.1) có ba điểm cân bằng: điểm cân tầm thường E0 (0; 0), điểm cân không bệnh E1 = (CM ; 0), điểm cân nhiễm bệnh E = (C; I), C= µI rC (kI Cm − µI ) , I= kI > µI /CM kI kI (KI Cm + rC ) Chú ý hệ (3.1) có vài trường hợp đặc biệt sau: Nếu F (u) = δ(u) hệ gồm phương trình vi phân thường (ODE) C(t) + I(t) dC = rC C(t) − dt CM dI = kI I(t)C(t) − µI I(t) dt − kI I(t)C(t) (3.2) với điều kiện ban đầu là: C(0) = C0 = , I(0) = I0 = C0 I0 số Bảng 1: Biến tham số lan truyền virut từ tế bào đến tế bào Trích Biến tham số Giá trị C nồng độ tế bào khoẻ mạnh 5.105 /mL [9] I nồng độ tế bào khoẻ mạnh 500/mL [9] 2.106 /mL [10] CM lưu lượng hiệu tế bào khoẻ mạnh kI r số tốc độ lan truyền từ tế bào đến tế bào dẫn 2.10−6 /mL/ngày [9] 0.7/ngày [6] µc tỉ lệ chết tế bào khỏe mạnh 0.02/ngày [12] µI tỉ lệ chết tế bào nhiễm bệnh 0.3/ngày [13] rC kI tỉ lệ sinh sản tế bào khoẻ mạnh = r − µc tỉ lệ sinh sản hiệu tế bào 0.68/ngày khoẻ mạnh k I tỉ lệ tế bào sống sót tế bào kI thay đổi khỏe mạnh sau khoảng thời gian ủ bệnh Hồ Thanh Nhân 24 [9] Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng Khi hạt nhân F (u) = δ(u − τ ) với số τ > 0, hệ (3.1) trở thành hệ gồm phương trình vi phân thường phương trình vi phân có chậm rời rạc C(t) + I(t) dC = rC C(t) − − kI I(t)C(t) dt CM dI = kI I(t − τ )C(t − τ ) − µI I(t) dt (3.3) Với điều kiện ban đầu C(s) = φ(s) = , I(s) = ψ = , s ∈ [−τ ; 0] φ(s) ψ(s) hàm liên tục đoạn [−τ ; 0] Và mơ hình ODE (3.2) trường hợp đặc biệt mô hình DDEs (3.3) với τ = 3.2 Mơ hình ODE R Culshaw, S Ruan, G Webb [3], trang 430, nghiên cứu mơ hình ODE sau C(t) + I(t) dC = rC C(t) − dt CM dI = kI I(t)C(t) − µI I(t) dt − kI I(t)C(t) (3.2) Chú ý hệ (3.2) có ba điểm cân giống hệ (3.1) là: Điểm cân tầm thường E(0; 0), điểm cân không bệnh E(CM ; 0) điểm cân có bệnh E(C; I) Phân tích ổn định ba trạng thái cân cho thấy có hai tình xảy ra: µI ( khoảng tham số đưa ra) nghĩa số lượng tế bào kI khoẻ mạnh chiếm ưu số lượng tế bào nhiễm bệnh chết theo a) Khi CM < cấp độ hàm số mũ Trong trường hợp E0 không ổn định, E1 ổn định tiệm cận E không ổn định Trong điều kiện để E1 ổn định kI < 1.5.10−7 7.5% tế bào bào nhiễm bệnh sống sót q trình ủ bệnh trở thành tế bào bị nhiễm bênh Trong trường hợp E1 ổn định tiệm cân Tuy nhiên, lưu ý rằng, Hồ Thanh Nhân 25 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng thực tế khơng có khả có q tế bào sống sót sau q trình ủ bệnh mà trường hợp sau khả xảy nhiều rC µI < CM < , tế bào khoẻ mạnh tế bào nhiễm bệnh kI CM tồn Điều tương ứng với trường hợp mơ hình đại b) Khi diện cho lan truyền virut khơng có tế bào, có trạng thái ổn định nhiễm bệnh cuối Điều có nghĩa nhiễm bệnh xảy khơng vượt qua giới hạn mức độ tế bào khoẻ mạnh giảm xuống giá trị không Trong trường hợp E0 cịn khơng ổn định, E1 khơng ổn định E trở nên ổn định tiệm cận Một phân nhánh xuyên giới hạn (a transcritical bifurcation) xảy µI CM > tương ứng với kI = 1.5.10−7 Với giá trị tham số kI cho bảng Mô số trạng thái cân dương E ổn định tiệm cận (hình 3.1) Trong mặt phẳng C, I có quỹ đạo xoắn ốc điểm cân (hình 3.2) Điểm cân E thực tế điểm cân toàn cục (globally stable) µI rC trường hợp < CM < Chúng ta nhìn thấy điều kI CM cách áp dụng định lý Liapunov Chúng ta chọn hàm Liapunov sau: V (C, I) = c1 −C log C +C −C C + c2 −I log I +I −I I (3.4) Hàm Liapunov dương chọn c1 , c2 số dương E = E Ta có dC/dt dI/dt dV = c1 C − C + c2 I −I dt C I = c1 Giả sử CM < rC C −C CM + c2 kI − c1 rC − kI CM CM C −C I −I rC rC − kI CM chọn c1 = kI , c2 = > Ta có: kI CM dV k rC =− I C −C dt CM Hồ Thanh Nhân 26 µI Bất đẳng thức ngụ ý ổn định trạng thái cân khơng bệnh Nhưng khơng sắc bén bỏ qua nghiệm phức Giả sử phương trình có nghiệm phức có phần thực khơng âm đó: ap CM kI = (a + λ)p (λ + µI ) = |(a + λ)p (λ + µI )| = |a + λ|p |λ + µI | ≥ ap µ I Bất đẳng thức cuối có vì: |a + λ| ≥ a |λ + µI | ≥ µI với ∀λ ≥ ⇒ CM kI ≥ µI Điều dẫn đến tất nghiệm có phần thực âm CM kI < µI Do đó, trạng thái cân khơng bệnh ổn định CM kI < µI khơng ổn định bất đẳng thức xảy chiều ngược lại Tóm lại, CM kI < µI trạng thái cân không bệnh trạng thái cân ổn định tiệm cận (asymptotically stable) Hồ Thanh Nhân 29 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Tốn Ứng dụng Khi CM kI > µI trạng thái cân không bệnh không ổn định trạng thái cân có bệnh tồn Hệ tuyến tính cân có bệnh (C, I) cho công thức u (t) = − αu(t) − βv(t) ∞ µI v(t − s) + kI Iu(t − s) gap (s)ds − µI v(t) v (t) = rµI r , β = kI + kI CM CM T λt T Phương trình có nghiệm (u, v) = e (c, d) α= ∞ −α − λ −β c kI If µ I f − λ − µI d = µI kI 0 ap = f = (a + λ)p Việc giải phương trình đặc trưng cho ta kết ap ap = (λ + β) λ + µI − µI + βkI I (a + λ)p (a + λ)p e−λu gap du (3.7) Nhận thấy phía bên phải phương trình ln dương ∀λ ≥ giá trị riêng có phần thực khơng âm phải có phần ảo khơng tầm thường Culshaw p = 1, trạng thái cân không bệnh ổn định tiệm cận giá trị nhỏ a kết việc phân tích phân nhánh Hopf giá trị tới hạn a Sự mô trường hợp p = xác nhận cho khẳng định Trong trường hợp đặc biệt, mô số mơ hình ODE có liên quan cho thấy tồn quỹ đạo ổn định tiệm cận nghiêm tuần hồn tham số có giá trị phù hợp Theo bổ đề 2.2.1 nghiệm tuần hoàn ODE nghiệm phương trình (3.5) Hệ ODE quen thuộc với p = 1, 2, nhận từ (3.5) chuỗi thủ thuật tuyến tính t yj (t) = −∞ I(u)C(u)gaj (t − u)du , j = 1, 2, , p cho C (t) = rC(t) − Hồ Thanh Nhân C(t) + I(t) CM 30 − kI I(t)C(t) Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng y1 (t) = a [I(t)C(t) − y1 (t)] (3.8) yj (t) = a [yj−1 (t) − yj (t)] , ≤ j ≤ p I (t) = kI yp (t) − µI I(t) chứng cho tồn nghiệm tuần hoàn (3.8) với p = a = cung cấp mô phương pháp số mơ tả in hình 3.3 Phương trình (3.8) xác định tỉ lệ cho mô cách đặt C= C I yi , I= , yi = CM CM CM tham số sử dụng hình 3.3 kI CM = , kI CM = 3.5 , r = 0, 68 , µI = 0.3 Hình 3.3 mơ (3.8) với p = a = Hồ Thanh Nhân 31 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chun ngành Tốn Ứng dụng KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Kết luận a) Về phương pháp nghiên cứu: Luận văn giới thiệu cách phương trình vi phân có chậm Từ hình thành nên phương pháp giải bước phương pháp giải phương trình vi phân có chậm sử dụng phần mềm MatLab Đặc biệt, luận văn giới thiệu cách trọn vẹn ứng dụng quan trọng y học mơ hình lan truyền HIV Chúng ta biết lan truyền trực tiếp từ tế bào đến tế bào hiệu so với lan truyền khơng có tế bào virut Vì virion HIV có khả truyền nhiễm thường có khoảng thời gian chậm để ủ bệnh Spouge [20] khẳng định, chủng loại virut lấy khoảng 10 để làm cho khơng hoạt động Vì gia tăng số lượng tế bào làm gia tăng tần số tiếp xúc tế bào làm gia tăng tỉ lệ lây nhiễm Luận văn giới thiệu mơ hình hình ODE cho lan truyền HIV mô bạch huyết đề suất Spouge cách kết hợp có chậm thời gian phân phối để mơ hình hố thời gian ủ bệnh Khi có chậm τ = có mơ hình ODE ban đầu có trạng thái cân có bệnh trạng thái ổn định tồn cục Khi τ > ta có mơ hình DDEs trường hợp trạng thái cân không bệnh trạng thái ổn định tiệm cận b) Về nội dung nghiên cứu: Nội dung nghiên cứu luận văn giới thiệu mơ hình lan truyền HIV dùng phương pháp số để kiểm chứng kết đạt từ mơ hình Các mơ số chứng minh tỉ lệ tế bào nhiễm bệnh khác có chậm vượt qua giá trị tới hạn, phân nhánh xảy Do trạng thái cân tính ổn định dao động trì liên tục thành phần xin lưu ý tế bào nhiễm bệnh sống sót nhiều chu kỳ biên độ dao động lớn Các kết mơ với trường hợp có chậm phân phối, có chậm trung bình vượt qua giới hạn nghiệm tuần hồn phát sinh thơng qua phân nhánh Hopf Vì kết luận Hồ Thanh Nhân 32 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chun ngành Tốn Ứng dụng tuỳ thuộc vào tế bào nhiễm bệnh sống sót thời gian tiềm ẩn tế bào trạng thái cân nhiễm bệnh ổn định có chậm trung bình nhỏ Mặc dù luận văn trình bày mơ hình đơn giản kết đạt thú vị Trong thực tế điều chỉnh giá trị I C hàm khác kết hợp với hiệu ứng khuếch tán mơ hình DDEs Hướng phát triển luận văn Hướng phát triển luận văn ứng dụng cách tiếp cận mơ hình giới thiệu luận văn để nghiên cứu số mơ hình có liên quan đến lan truyền tế bào ứng khác sinh học Chạy mô số máy tính số mơ hình Áp dụng kết đạt từ mơ hình để đưa phương pháp hữu hiệu việc ngăn chặn lan truyền virut tế bào Hồ Thanh Nhân 33 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng Tài liệu tham khảo [1] R.D Driver (1977), Book Ordinary and Delay Differential Equations, Springer-Verlag New York [2] Hal Smith (2002) An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences Springer New York Dordrecht Heidelberg London [3] R Culshaw, S Ruan, G Webb (2003), A mathematical model of cell-tocell spread of HIV-1 that includes a time delay, Springer-Verlag 2003 [4] Kenneth L Cooke (1982), Discrete Delay, Distributed Delay and Stability Switches.Department of Mathematics Pomona College Claremont California [5] Rebeca V.Culshaw, Shiqui Ruan, (2000), A delay equation model of HIV infection of CD4+ T − cells [6] Majid Bani-Yaghoub,(2017) Analysis and Applications of Delay Differential Equations [7] G Hutchinson (1948), Circular causal systems in ecology, Ann N.Y.Acad Sci [8] Ruan.S : Absolute stability conditional stability and bifurcation in Kolmogorov-type predator-prey systems with discrete delays Quart Appl Math (2001) [9] Spouge, J.L., Shrager, R.I, Dimitrov, D.S : HIV-1 infection kinetics in tissue cultures.Math Biosci (1996) Hồ Thanh Nhân 34 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng [10] Layne, S.P., Merges, M.J., Dembo, M., Spouge, J.L : HIV requires multiple gp120 molecules for CD4-mediated infection Nature 346, (1990) [11] Dimitrov, D.S., Willey, R.L., Sato, H., Chang, L.-J., Blumenthal, R., Martin, M.A.: Quantitation of human immunodeficiency virus type infection kinetics J Virol 67, (1993) [12] Perelson, A.S., Kirschner, D.E., De Boer, R : Dynamics of HIV infection of CD4+ T cells: Math Biosci (1993) [13] Leonard.R, Zagury, D., Desports, I., Bernard, J., Zagury, J.-F.: Cytopathic effect of human immunodeficiency virus in T4 cells is linked to the last stage of virus infection Proc Natl Acad Sci USA (1988) [14] MacDonald N: Time Delays in Biological Models Spring-Verlag, Heidelberg, (1978) [15] Rosenberg Y, Janossy G: The importance of lymphocyte trafficking in regulating blood lymphocyte levels during HIV and SIV infections Seminars in Immunol (1999) [16] Callaway.D.S, Perelson.A.S : HIV-1 infection and low steady state viral loads Bull Math Biol 64, 29–64 (2002) [17] McLean.A.R, Kirkwood.T.B.L: A model of human immunodeficiency virus infection in T helper cell clones (1990) [18] Dimitrov.D.S, Willey R.L, Sato H, Chang.L.J, Blumenthal R, Martin.M.A: Quantitation of human immunodeficiency virus type infection kinetics J Virol 67, 2182–2190 (1993) [19] Sato.H, Orenstein.J, Dimitrov.D.S, Martin.M.A:: Cell-to-cell spread of HIV-1 occurs with minutes and may not involve the participation of virus particles Virology 186, 712–724 (1992) [20] Gummuluru.S, Kinsey.C.M, Emerman.M: An in vitro rapid-turnover assay for human immunodeficiency virus type replication selects for cellto-cell spread of virua J Virol 74, 10882–10891 (2000) Hồ Thanh Nhân 35 Khóa 2016-2018 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng [21] Culshaw.R.V, Ruan S :A delay-differential equation model of HIV infection of CD4+ T cells Math Biosci 165, 27–39 (2000) [22] Tam.J : Delay effect in a model for virus replication IMA J Math Appl Med Biol.16, 29–37 (1999) [23] Ittler.J.E, Sulzer.B, Neumann.A.U, Perelson.A.S :M Influence of delayed viral production on viral dynamics in HIV-1 infected patients Math Biosci 152, 143–163 (1998) [24] Grossman.Z, Feinberg.M, Kuznetsov.V, Dimitrov.D : HIV infection: how effective is drug combination treatment (1998) [25] Lloy.A.L : The dependence of viral parameter estimates on the assumed viral life cycle: limitations of studies of viral load data Proc R Soc Lond B 268, 847–854 (2001) [26] Nelson.P.W, Mittler.J.E, Perelson.A.S : Effect of drug efficacy and eclipse phase of the viral life cycle on estimates of HIV viral dynamic parameters JAIDS 26, 405–412 (2001) [27] J.K.Hale and S.M Verduyn Lunel : Introduction to Functional Differential Equations, Springer, New York, 1993 [28] J.K Hale : Ordinary Differential Equations, Krieger , Malabar FL, 1980 Hồ Thanh Nhân 36 Khóa 2016-2018 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG Họ tên học viên: HỒ THANH NHÂN Ngày, tháng, năm sinh: 03.03.1979 MSHV: 1670241 Nơi sinh: Tỉnh Long An Địa chỉ: 704 chung cư Gò Dầu phường tân quý quận Tân Phú TP HCM Địện thoại liên lạc: 0983.160.140 I QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO - Từ năm 1998 đến 2002, sinh viên Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM - Từ năm 2016 đến 2020, học viên Cao học ngành Toán ứng dụng trường Đại Học Bách Khoa TP HCM II Q TRÌNH CƠNG TÁC - Từ năm 2002 đến 2004, giáo viên toán trường trung học phổ thơng tư thục Nguyễn Khuyến quận Tân Bình TP.HCM - Từ năm 2005 đến 2014, giáo viên tốn trường trung học phổ thơng tư thục Vạn Hạnh quận 10 TP.HCM - Từ năm 2015 nay, giáo viên tốn trường trung học phổ thơng tư thục Thành Nhân Quận Tân Phú TP.HCM ... studying the model of HIV transmission in cells Chapter III: Studying the application of delay differential equation in HIV transmission model This is the main content of the dissertation and finally... ii ABSTRACT The main content of this dissertation is to study the model of spreading directly from cells to cells of HIV virus The intracellular incubation period is modelled by the gamma distribution... distributed delay The structure of the dissertation consists of three chapters Chapter I: Presenting basic knowledge of delay differential equations Chapter II: Methods of solving delay differential equations