Đề_DA Thi HK1_Toan12(rất hay)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LÔMÔNÔXÔP Năm học 2010-2011 ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN-LỚP 12 Thời gian 90 phút ĐỀ sè 1 Bài 1: Cho hàm số 2 1 2 x y x − = − (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) . b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; -1). c. Tìm m để đường thẳng y = (2m+1)x+3 cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (C). Bài 2: a. Giải phương trình sau: 27 9 log 3.log 9 log 3 x x x = b. Giải hệ phương trình sau: 1 2 1 4 4 3.4 2 3 2 log 3 x y y x y + − − + =   + = −  Bài 3: Cho hình nón n đỉnh O có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón n . b. Tính diện tích thiết diện của hình nón n cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và tạo với đáy hình nón một góc 60 0 . c. Gọi (S) là hình cầu ngoại tiếp hình nón n. Tính tỉ số thể tích của khối nón n và thể tích của khối cầu (S) . Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của : 2 2 x y P y x = + + + Trên miền {(x;y)/ x,y 0;x+y =2}D = ≥ ********* (Thang điểm: Bài 1: 4 điểm, bài2: 2 điểm, bài 3: 3 điểm, bài 4:1điểm) 1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LÔMÔNÔXÔP Năm học 2010-2011 ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN-LỚP 12 Thời gian 90 phút ĐỀ sè 2 Bài 1: Cho hàm số 3 1 2x 2 x y − = + (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm 1 1; 2 A    ÷   . c. Tìm m để đường thẳng y = mx+2m+2 cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (C). Bài 2: a. Giải phương trình sau: 2 8 log 2log 2 3 x x x + = b. Giải hệ phương trình sau: 1 2 1 3 3 2.3 2 3 log 2 2 0 y x x x y − − − − + =   − − + =  Bài 3: Cho hình nón n đỉnh I, góc ở đỉnh bằng 120 0 , bán kính đáy bằng a. a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón n . b. Tính diện tích thiết diện của hình nón n cắt bởi mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của hình nón và tạo với đáy hình nón một góc 60 0 . c. Gọi (S) là hình cầu ngoại tiếp hình nón n. Tính tỉ số thể tích của khối nón n và thể tích của khối cầu (S) . Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của : 2 2 1 1 x y P y x + + = + + + Trên miền {(x;y)/ x,y 0;x+y = 1}D = ≥ ********* (Thang điểm: Bài 1: 4 điểm, bài2: 2 điểm, bài 3: 3 điểm, bài 4:1điểm) 2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 12 - 2010 ĐỀ 1 1. a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 2đ 1. Tập xác định { } \ 2D = ¡ 2. Sự biến thiên: a. Giới hạn và tiệm cận: • Ta có 2 lim x y − → = −∞ và 2 lim x y + → = +∞ Nên đường thẳng 2x = là tiệm cận đứng của đồ thị (C). • lim lim 2 x x y y →+∞ →−∞ = = ⇒ đường thẳng 2y = là tiệm cận ngang của đồ thị (C). b. Bảng biến thiên: Ta có: 2 3 ' 0 ( 2) y x − = < − x D∀ ∈ Nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ;2−∞ và ( ) 2;+∞ x −∞ 2 +∞ 'y − + y 2 +∞ −∞ 2 3. Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm 1 ;0 2    ÷   Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm 1 0; 2    ÷   Bảng giá trị: x 1− 0 1 2 1 y 1 1 2 0 1− -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -4 -2 2 4 6 8 x y Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm (2;2)I của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 1.b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; -1). 1đ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại 0 0 0 ( ; )M x y có 3 dạng: 0 0 '( )( )y f x x x y= − + . Ta có: 2 2 3 3 '( ) '(1) 3 ( 2) (1 2) f x f x − − = ⇒ = = − − − ⇒ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; 1)A − là: 3( 1) 1 x 23y x y= − − − = − +⇔ 0,25 0,25 0,5 1.c Tìm m để đường y = (2m+1)x+3 cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (C). 1đ Hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (2 1) 3y m x= + + là nghiệm của phương trình: 2 1 (2 1) 3 2 x m x x − = + + − (1) Đăt 2 2t x x t= − ⇒ = + . Phương trình trở thành: 2( 2) 1 (2 1)( 2) 3 t m t t + − = + + + 2 (2 1) (4 3) 1 0m t m t⇔ + + + + = (2) (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) ⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn: 1 2 2x x< < ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn: 1 2 1 0 (2 1)1 0 2 t t m m< < ⇔ + < ⇔ < − 0,25 0,25 0,25 0,25 2.a Giải phương trình: 27 9 3. 9 log 3 x x x log log = (1) 1đ Điều kiện: 0; 1; 1; 1 27 9 x x x x> ≠ ≠ ≠ 3 3 3 9 log 9 1 1 . log log 3 log 27 x x x ⇔ = 3 3 3 1 2 1 . log 3 2log x x log x ⇔ = − − Đặt 3 logt x= . Phương trình trở thành: 1 2 1 . 3 2t t t = − − 2 5 4 0t t⇔ − + = 1 4 t t =  ⇔  =  + Với 3 1 log 1 3t x x= ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn). + Với 4 3 4 log 4 3 81t x x x= ⇔ = ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn). 0,25 0,25 0,25 0,25 2.b b. Giải hệ phương trình sau: 1 2 1 4 4 3.4 2 (1) 3 2 log 3 (2) x y y x y + − − + =   + = −  1đ 4 (2) 3 2 log 3x y⇔ = − + − Thế vào (1) ta được: 4 2 1 2 1 log 3 2 1 2 1 4 4 3.4 2 3.4 2 3 y y y y − + − + − − − + = ⇔ + = Đặt 2 1 4 ( 0) y t t − = > PT trở thành: ( ) 2 1 1 3 2 3 1 0 ( ) 3 3 t t t tm t + = ⇔ − = ⇔ = 2 1 4 4 4 1 log 3 1 log 31 1 4 2 1 log 3 3 2 2 y y y x − − + ⇒ = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = . Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm: 4 4 1 log 3 1 log 3 ; 2 2 + −    ÷   . 0,25 0,25 0,25 0,25 3.a Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón n . 1đ Gọi OAB∆ là thiết diện qua trục của hình nón, I là tâm đáy ⇒ bán kính của hình nón là 2 2 2 AB a r = = . Và đường cao của hình nón là 2 2 a OI = 0,5 4 Diện tính xung quanh của hình nón là: 2 2 . 2 . . . . 2 2 xq a a S R l a π π π = = = (đvdt) Thể tính của khối nón: 2 3 2 1 1 2 2 2 . 3 3 2 2 12 a a a V R h π π π   = = =  ÷  ÷   (đvtt) 0,25 0,25 3.b Tính diện tích thiết diện của hình nón n cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và tạo với đáy hình nón một góc 60 0 . 1đ Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng(P) là OMN ∆ . Lấy H là trung điểm của MN ⇔ ,OH MN IH MN⊥ ⊥ ⇒ Góc giữa mp(P) và đáy của hình nón là góc: · 60OHI = o Xét OHI∆ vuông tại I ta có: · 0 2 2 sin sin 60 3 3 2. 2 OI OI a a OHI OH OH = ⇔ = = = Xét OHM∆ vuông tại H: 2 2 2 2 2 3 3 a a MH OM OH a= − = − = 2 2 3 a MN MH⇒ = = ⇒ 2 1 1 2 2 2 . . . . 2 2 3 3 3 OMN a a a S MN OH ∆ = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 3.c Gọi (S) là hình cầu ngoại tiếp hình nón n. Tính tỉ số thể tích của khối nón n và thể tích của khối cầu (S) . 1đ Mp(OAB) cắt mặt nón ( )S theo thiết diện là một đường tròn lớn của mặt nón ( )S . Đường tròn đó chính là đường tròn ngoại tiếp OAB ∆ . Gọi 'R là bán kính của ( )S . · 0 2 2 ' sin 45 2 sin OA a a R OBA ⇒ = = = ' 2 a R⇒ = . Gọi 'V là thể tích của khối cầu ( )S . 3 3 4 2 ' 3 3 2 a V R π π ′ = = 1 ' 4 V V ⇒ = . 0,25 0.25 0,5 4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của : 2 2 x y P y x = + + + trên miền {(x;y)/ x,y 0;x+y =2}D = ≥ 1đ 5 2 2 2 2( ) ( ) 2 2( ) 2( ) 4 2( ) 4 x x y y x y xy x y P xy x y xy x y + + + + − + + = = + + + + + + Do 2x y+ = nên: 8 2 8 xy P xy − = + . Đặt t xy = . Do , 0x y ≥ nên 0t ≥ . Theo bất đẳng thức Cauchy: 2 1x y xy xy+ ≥ ⇒ ≤ Xét hàm số 8 2 ( ) 8 t P t t − = + trên đoạn [ ] 0;1 . 2 24 '( ) 0 ( 8) P t t − = < + với [ ] ;1 .0t∀ ∈ Suy ra: Hàm số ( )P t nghịch biến trên đoạn [ ] 0;1 . Nên (0) 1MaxP P= = xảy ra 0t ⇔ = hay 0 0, 2xy x y= ⇔ = = hoặc 0; 2.y x= = 2 (1) 3 MinP P= = xảy ra 1t ⇔ = hay 1 1 2 xy x y x y =  ⇔ = =  + =  . 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ 2 1. a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 3 1 2x 2 x y − = + 1đ 1. Tập xác định { } \ 1 D = −¡ 2. Sự biến thiên: a. Giới hạn và tiệm cận: • Ta có ( 1) lim x y − → − = +∞ và ( 1) lim x y + → − = −∞ Nên đường thẳng 1x = − là tiệm cận đứng của đồ thị (C). • 3 lim lim 2 x x y y →+∞ →−∞ = = ⇒ đường thẳng 3 2 y = là tiệm cận ngang của đồ thị (C). b. Bảng biến thiên: Ta có: 2 ' 0 (2 2) 8 y x = > + x D∀ ∈ Nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;− +∞ x −∞ -1 +∞ 'y − + y +∞ 3 2 3 2 −∞ c. Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm 1 3 ;0    ÷   Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm 1 0; 2   −  ÷   0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 6 f(x)=(3x-1)/(2x+2) f(x)=3/2 -4 -3 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 5 x y Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm 1 3 ( ; ) 2 2 I − của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 0,5 1.b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm 1 (1; ) 2 A . 1đ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại 0 0 0 ( ; )M x y có dạng: 0 0 '( )( )y f x x x y= − + . Ta có: 2 1 '( ) '(1) (2 2 8 ) 2 f x f x = ⇒ = + ⇒ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại 1 (1; ) 2 A là: 1 1 1 ( 1) 1 2 2 2 y x y x= − − ⇔ = − 0,25 0,25 0,5 1.c Tìm m để đường thẳng y = mx+2m+2 cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (C). Hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng 2 2y mx m= + + là nghiệm của phương trình: 3 1 2 2 2 2 x mx m x − = + + + (1) Đăt 2 2 2 2 t t x x − = + ⇒ = . Phương trình trở thành: 2 (2 1) 8 0mt m t+ + + = (2) (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) ⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn: 1 2 1x x< − < ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn: 1 2 0 .8 0 0t t m m< < ⇔ < ⇔ < 0,25 0,25 0,25 0,25 2.a Giải phương trình: 2 8 log 2log 2 3 x x x + = (1) 1đ Điều kiện: 0; 1;2 1;x x x> ≠ ≠ 2 2 222 2 log 3 log 3 3 log log 1 log 8 2 og 2 2 l x x xx x x − ⇔ + = ⇔ + = + Đặt 2 logt x= . Phương trình trở thành: 0,25 0,25 7 2 1 2 3 4 2 2 1 2 3 0 1 t t t t t t t =   + = ⇔ − − = ⇔  + − = −  + Với 2 1 log 1 2t x x= ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn). + Với 1 2 2 1 1 1 log 2 2 2 2 t x x x − = − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn). 0,25 0,25 2.b Giải hệ phương trình sau: 1 2 1 3 3 2.3 2 (1) 3 log 2 2 0 (2) y x x x y − − − − + =   − − + =  1đ 3 (2) 3 2 log 2y x⇔ = + − Thế vào (1) ta được: 3 2 1 2 1 log 2 2 1 2 1 3 3 2.3 2 2.3 2 2 x x x x + + − − − − − + = ⇔ + = Đặt 2 1 3 ( 0) x t t + = > PT trở thành: ( ) 2 2 2 2 0 2 ( ) 2 t t t tm t + = ⇔ − = ⇔ = 2 1 3 3 3 log 2 1 log 2 1 3 2 2 1 log 2 2 2 x x x y + − + ⇒ = ⇔ + = ⇔ = ⇒ = . Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm: 3 3 log 2 1 log 2 1 ; 2 2 − +    ÷   . 0,25 0,25 0,25 0,25 3.a Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón n . 1đ Gọi IAB∆ là thiết diện qua trục của hình nón, O là tâm đáy ⇒ bán kính của hình nón là R a = . Và đường cao của hình nón là 3 a OI = , đường sinh 2 3 a IA = Diện tính xung quanh của hình nón là: 2 2 2 . . . . 3 3 xq a a S R l a π π π = = = (đvdt) Thể tính của khối nón: 3 2 2 1 1 3 3 3 3 3 a a V R h a π π π = = = (đvtt) 0,5 0,25 0,25 3.b Tính diện tích thiết diện của hình nón n cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và tạo với đáy hình nón một góc 60 0 . 1đ Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng (Q) là IMN∆ . Lấy H là trung điểm của MN ⇔ ,IH MN OH MN⊥ ⊥ ⇒ Góc giữa mp(P) và đáy của hình nón là góc: · 60OHI = o Xét OHI ∆ vuông tại I ta có: · 0 2 sin sin 60 3 2 3 3 OI a a IHO IH I H O I = ⇔ = = = Xét OHM ∆ vuông tại H: 2 2 2 2 a4 4 2 2 3 9 3 a a MH IM IH= − = − = 4 2 2 3 a MN MH⇒ = = ⇒ 2 1 1 4 2 2 4 2 . . . . 2 2 3 93 IMN a a a S MN IH ∆ = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 8 3.c Gọi (S) là hình cầu ngoại tiếp hình nón n. Tính tỉ số thể tích của khối nón n và thể tích của khối cầu (S) . 1đ Mp(IAB) cắt mặt nón ( )S theo thiết diện là một đường tròn lớn của mặt nón ( )S . Đường tròn đó chính là đường tròn ngoại tiếp IAB∆ . Gọi 'R là bán kính của ( )S . · 0 2 4 2 ' sin120 s n 3 i AB a a R AIB ⇒ = = = 3 2 ' a R⇒ = . Gọi 'V là thể tích của khối cầu ( )S . 3 3 4 32 ' 3 9 3 a V R π π ′ = = 3 32' V V ⇒ = . 0,25 0,25 0,5 4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của : 2 2 1 1 x y P y x + + = + + + Trên miền {(x;y)/ x,y 0;x+y = 1}D = ≥ 1đ 2 2 2 3( ) 4 ( ) 2 3( ) 4 1 1 x y x y x y xy x y P xy x y xy x y + + + + + − + + + = = + + + + + + Do 1x y+ = nên: 8 2 2 xy P xy − = + . Đặt t xy= . Do , 0x y ≥ nên 0t ≥ . Theo bất đẳng thức Cauchy: 1 2 4 x y xy xy+ ≥ ⇒ ≤ Xét hàm số 8 2 ( ) 2 t P t t − = + trên đoạn 1 0; 4       . 2 12 '( ) 0 ( 2) P t t − = < + với 1 4 .0;t   ∀ ∈     Suy ra: Hàm số ( )P t nghịch biến trên đoạn 1 0; 4       . Nên (0) 4MaxP P= = xảy ra 0t⇔ = hay 0 0, 1xy x y= ⇔ = = hoặc 0; 1.y x= = 1 10 4 3 MinP P   = =  ÷   xảy ra 1 4 t⇔ = hay 1 1 4 2 1 xy x y x y  =  ⇔ = =   + =  . 0,25 0,25 0,25 0,25 9 . 4:1điểm) 2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 12 - 2010 ĐỀ 1 1. a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị 2đ 1. Tập xác định { } 2D = ¡ 2. Sự biến thi n: a. Giới. Năm học 2010-2011 ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN-LỚP 12 Thời gian 90 phút ĐỀ sè 2 Bài 1: Cho hàm số 3 1 2x 2 x y − = + (C) a. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị