Chuyên đề số phức của Nguyễn Chín Em

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng?. A..[r]

(1)

CHƯƠNG SỐ PHỨC

1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

2 Hai số phức

3 Biểu diễn hình học số phức

4 Biểu diễn hình học số phức

5 Mô-đun số phức

6 Số phức liên hợp

7 Cộng, trừ, nhân, chia số phức

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

Dạng Bài toán quy giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực

1 Các ví dụ minh họa

2 Bài tập áp dụng

Dạng Xác định yếu tố số phức qua phép toán 10

1 Các ví dụ minh họa 10

2 Bài tập áp dụng 11

Dạng Tính giá trị biểu thức 12

Dạng Bài toán sử dụng bất đẳng thức số phức 14

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 20

(2)

3 THÔNG HIỂU 52

4 ĐÁP ÁN 63

5 VẬN DỤNG THẤP 63

6 ĐÁP ÁN 70

7 VẬN DỤNG CAO 70

8 ĐÁP ÁN 71

2 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 72

A Kiến thức 72

B Bài tập vận dụng 72

Dạng Tập hợp điểm số phức đường thẳng toán liên quan 78 Dạng Tập hợp điểm số phức đường trịn, hình trịn, hình vành khăn 81

Dạng Tập hợp điểm số phức elíp 89

C Bài tập vận dụng 89

Dạng Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 90

D Bài tập vận dụng 91

Dạng Sử dụng bình phương vơ hướng 98

Dạng Sử dụng hình chiếu tương giao 102

E CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 108

1 NHẬN BIẾT 108

2 ĐÁP ÁN 117

3 THÔNG HIỂU 117

4 ĐÁP ÁN 156

(3)

5 VẬN DỤNG THẤP 157

6 ĐÁP ÁN 191

8 ĐÁP ÁN 203

3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC 204

A Kiến thức 204

1 Căn bậc hai số phức 204

4 Các dạng tốn 206

Dạng Phương trình bậc hai với hệ số phực 206

Dạng Tìm thuộc tính số phức thỏa mãn điều kiện K 210

1 Các ví dụ 210

Dạng Biểu diễn hình học số phức toán liên quan 226 Dạng Phương trình bậc hai bậc cao số phức 239

1 Các ví dụ 239

Dạng Phương trình quy bậc hai 245

Dạng Dạng lượng giác số phức 248

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 253

1 NHẬN BIẾT 253

2 ĐÁP ÁN 257

3 THÔNG HIỂU 257

(4)

6 ĐÁP ÁN 298

(5)

4 SỐ PHỨC

BÀI 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TỐN

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa Mỗi biểu thức dạnga+bi, đóa, b∈R,i2=−1 gọi mộtsố phức Đối với số phức z =a+bi, ta nói alà phần thực, b phần ảo z, i gọi đơn vị ảo Tập số phứcC={a+bi|a, b∈R, i2 =−1} Tập số thực R⊂C

Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức: z= 2019 + 2020i

-Lời giải

Phần thực:a= 2019

Phần ảo:b= 2020

Đặc biệt:

1 Khi phần ảob= 0⇔z=a∈R⇔z số thực 2 Khi phần thựca= 0⇔z=bi⇔z số ảo 3 Số = + 0ivừa số thực, vừa số ảo

2 HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU

Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng a+bi=c+di⇔

® a=c

b=d, vớia, b, c, d∈R

Ví dụ Tìm số thựcx,y biết rằng(2x+ 1) + (3y−2)i= (x+ 2) + (y+ 4)i

-Lời giải

Từ định nghĩa ta có ®

2x+ =x+ 3y−2 =y+ ⇔

® x=

y=

3 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

(6)

Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta có

1 ĐiểmA biểu diễn cho số phức:z= + 2i 2 ĐiểmB biểu diễn cho số phức:z= 2−3i 3 ĐiểmC biểu diễn cho số phức:z=−3−2i 4 ĐiểmD biểu diễn cho số phức:z= 3i

x y

3

A

2

B

−3

C −2

3 D

O

4 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

ĐiểmM(a;b) hệ trục tọa độ vuông góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z=a+bi

5 MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC

Giả sử số phứcz=a+biđược biểu diễn điểmM(a;b) mặt phẳng tọa độ 1 Độ dài véc-tơOM# »được gọi mô-đun số phức zvà ký

hiệu là|z| Khi đó,|z|=

# » OM

=|a+bi|= √

a2+b2.

2 Kết quả, với số phứcz ta có |z| ≥0 và|z|= 0⇔z=

z·z¯=|z|2

|z|=|¯z|

|z1·z2|=|z1| · |z2|

z1

z2

= |z1| |z2|

x y

a M b

O

Ví dụ Tìm mơ-đun số phức sau z= 3−2i

1 2 z= +i√3

-Lời giải

Ta có

|z|=|3−2i|=p32+ (−2)2 =√13.

1 2 |z|=|1 +i√3|=»12+ (√3)2 = 2.

6 SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Định nghĩa Cho số phứcz =a+bi, (a, b∈R) Ta gọia−bi số phức liên hợp z ký hiệu làz¯=a−bi

Ví dụ Tìm số phức liên hợp số phức sau: z=−3−2i

1 2 z¯= + 3i

-Lời giải

Choz=−3−2i⇒z¯=−3 + 2i

1 2 Cho z¯= + 3i⇒z= 4−3i

(7)

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễnzvàz¯đối xứng với qua trục Ox

Từ định nghĩa ta có kết sau ¯

¯

z=z;|¯z|=|z|

1 2 z1±z2 = ¯z1±z¯2

z1·z2= ¯z1·z¯2

3

Å z1

z2

ã = z¯1

¯ z2

4

zlà số thực ⇔z= ¯z

5 6 zlà số ảo⇔z=−¯z

x y

a

z=a+bi b

¯

z=a−bi

−b O

7 CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC Cho hai số phức z1 =a+bivàz2 =c+di

Phép cộng phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức 1 Phép cộng:z1+z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

2 Phép trừ: z1−z2 = (a+bi)−(c+di) = (a−c) + (b−d)i

3 Số phức đối của số phức:z=a+bilà−z=−a−bi Do đó, z+ (−z) = (−z) +z= 4 Phép nhân số phức thực theo quy tắc nhân đa thức, thay i2 =−1 kết

nhận Cụ thể,z1·z2 = (ac−bd) + (ad+bc)i

5 Phép chia: z1 z2

= z1·z¯2 z2z¯2

= z1·z¯2 |z2|2

= ac+bd c2+d2 +

bc−ad

c2+d2 ·i,(z2 6= 0)

6 Số phức nghịch đảo z =a+bi6= là: z =

¯ z |z|2 =

¯ z a2+b2 =

a−bi a2+b2

Ví dụ Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = + 7i Tìm phần thực, phần ảo mơ-đun số

phứcw=z1+z2 số phứcw0 =z2−z1

-Lời giải

Ta ców= (5 + 2i) + (3 + 7i) = + 9ivà w0 = (3 + 7i)−(5 + 2i) =−2 + 5i Như

• wcó phần thực 8, phần ảo 9và mô-đun |w|=√82+ 92 =√145,

• w0 có phần thực −2, phần ảo 5và mô-đun |w0|=p(−2)2+ 52 =√29.

Ví dụ Cho hai số phức z1 = + 2ivà z2 = + 3i Hãy tính

w=z1·z2=

1 2 z1·z¯2= r=

z1

z2

3

-Lời giải

Ta có

1 w=z1·z2= (5 + 2i)(4 + 3i) = 14 + 23i

2 z1·z¯2= (5 + 2i)(4−3i) = 26−7i= 26 + 7i

3 r= z1 z2

= + 2i + 3i =

(5 + 2i)(4−3i) (4 + 3i)(4−3i) =

26−7i 25 =

26 25 −

7 25 ·i

(8)

B DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP

Dạng Bài tốn quy giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực Phương pháp giải:

Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng

a+bi=c+di⇔ ®

a=c

b=d, với a, b, c, d∈R

Biểu diễn số phức cần tìmz =a+bi với a, b∈R Biến đổi thu gọn phương trình tốn dạng A+Bi=C+Di

Giải hệ phương trình

® A=C B =D 1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ Tìm số thựcx y thỏa điều kiện sau 2x+ + (1−2y)i= 2(2−i) +yi−x

1 2 (1−2i)x+ (1 + 2y)i= +i

-Lời giải

1 Ta có2x+ + (1−2y)i= 2(2−i) +yi−x⇔2x+ + (1−2y)i= 4−x+ (y−2)i ⇔

®

2x+ = 4−x 1−2y=y−2 ⇔

® x= y = Vậyx= 1, y=

2 Ta có (1−2i)x+ (1 + 2y)i= +i⇔x+ (−2x+ + 2y)i= +i⇔ ®

x=

−2x+ + 2y= ⇔ ®

x= y= Vậyx= 1, y=

Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện bên Từ xác định phần thực, phần ảo, số phức liên hợp mô-đun củaz

(2 + 3i)z−(1 + 2i)z= 7−i

1 2 |z−(2 +i)|=√10và z·z= 25

-Lời giải

1 Gọiz=a+bi⇒z=a−bi,(a, b∈R) Ta có

(2 + 3i) (a+bi)−(1 + 2i) (a−bi) = 7−i

⇔ 2a+ 2bi+ 3ai+ 3bi2−a+bi−2ai+ 2bi2 = 7−i ⇔ (a−5b) + (a+ 3b)i= 7−i

⇔ ®

a−5b= a+ 3b=−1 ⇔

® a= b=−1 Suy raz= 2−i⇒ |z|=|2−i|=»22+ (−1)2=√5.

Vậy phần thực số phức zlà 2, phần ảo bằng−1, số phức liên hợp z= +i

Nhận xét Khi toán u cầu tìm thuộc tính số phức (phần thực, phần ảo, mô-đun số phức liên hợp) mà đề cho giả thiết chứa hai thành phần ba thành phầnz, z,|z|

(9)

2 Gọiz=a+bi,(a, b∈R) Ta có

|a+bi−2−i|=√10⇔»(a−2)2+ (b−1)2 =√10⇔(a−2)2+ (b−1)2 = 10 (1) Lại cóa2+b2= 25⇔(a−2)2+ (b−1)2+ 4a+ 2b= 30 (2) Thế(1) vào(2) ta đượcb= 10−2a Khi a2+ (10−2a)2 = 25⇔5a2−40a+ 75 = 0⇒

ñ a= a= Vớia= 3⇒b=

Vớia= 5⇒b=

Vậy có số phứcz thỏa mãn đề z= + 4ivà z=

Ví dụ Có số phứcz thỏa mãn |z+ 2−i|= 2√2và (z−1)2 số ảo?

-Lời giải

Gọiz=a+bi, (a, b∈R)

Ta có

(z−1)2=z2−2z+ = (a+bi)2−2 (a+bi) +

⇒ (z−1)2=a2+ 2abi+b2i2−2a−2bi+ = a2−b2−2a+

+ (2ab−2b)i

Vì(z−1)2là số ảo nên phần thực 0, nghĩa cóa2−b2−2a+1 = 0⇔(a−2)2−b2= 0.(1)

Ta có|z+ 2−i|= 2√2⇔ |a+bi+ 2−i|= 2√2⇔ |(a+ 2) + (b−1)i|= 2√2⇔(a+ 2)2+(b−1)2= 8.(2) Từ(1)và (2)ta có hệ phương trình

®

b2 = (a−1)2

(a+ 2)2+ (b−1)2= ⇔ 

    

®

b=a−1

(a+ 2)2+ (b−1)2 = ®

b= 1−a

(a+ 2)2+ (b−1)2 = ⇔



    

®

b=a−1 2a2 = ®

b= 1−a a2+ 2a−2 =

⇔ 

          

® a= b=−1 (

a=−1 +√3 b= 2−√3 (

a=−1−√3 b= +√3 Vậy có ba số phức thỏa mãn yêu cầu toán làz=−i, z=−1+√3+Ä2−√3äi, z=−1−√3+Ä2 +√3äi

Nhận xét Số phức z= a+bi gọi số phức ảo ⇔ phần thực a= z số thực ⇔

phần ảo b=

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài Tìm số thựcxvà y thỏa điều kiện sau (nhóm sử dụng hai số phức nhau) 3x+ 2iy−ix+ 5y= + 5i

1 x+yi

1−i = + 2i

2 x−3

3 +i + y−3 3−i =i 3

-Lời giải

1 Ta có3x+ 2iy−ix+ 5y= + 5i⇔3x+ 5y+ (−x+ 2y)i= + 5i⇔ ®

3x+ 5y= −x+ 2y = ⇔

®

x=−1 y= Vậyx=−1, y =

2 Ta có x+yi

1−i = + 2i⇔x+yi= (3 + 2i)(1−i)⇔x+yi= 5−i⇔ ®

x= y =−1 Vậyx= 5, y=−1

3 Ta cóx−3 +i +

y−3

3−i =i⇔(x−3)(3−i) + (y−3)(3 +i) = (3 +i)(3−i)i⇔3x+ 3y−18 + (−x+y)i= 10i ⇔

®

3x+ 3y−18 = −x+y= 10 ⇔

®

(10)

Bài Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp mô-đun củaz

2z−iz = + 5i

1 2 z+ (2 +i)z= + 5i

2z+ (1−i)z= 1−9i

3 4 (3z−z) (1 +i)−5z= 8i−1

(2−3i)z+ (4 +i)z=−(1 + 3i)2

5 6 (3−2i)z+ (1 +i)z= + 5i

(3 +i)z+ (1 + 2i)z= 3−4i

7 8 (1 + 2i)2z+z= 4i−20

z2+|z|= 0.

9 10 |z|+ (z−3)i=

z+z= 10và |z|= 13

11 12 |z+ 1−2i|=|z−2−i| |z−1|=√5

|z|2+ 2z·z+|z|2 = vàz+z=

13 14 w=z+iz+z2 với z+ (2−i)z= +i w=z+ 2z với(1−i)z+ 2iz = + 3i

15

-Lời giải

2 (a+bi)−i(a−bi) = + 5i ⇔ 2a+ 2bi−ia+bi2 = + 5i ⇔ (2a−b) + (2b−a)i= + 5i ⇔

®

2a−b= −a+ 2b= ⇔

® a= b= Suy raz= + 4i

Vậy số phứczcó phần thực là3, phần ảo bằng4, số phức liên hợp làz= 3−4i, mơ-đun bằng|z|= 2 Gọiz=a+bi⇒z=a−bi,(a, b∈R) Ta có

a+bi+ (2 +i) (a−bi) = + 5i ⇔ a+bi+ 2a−2bi+ai−bi2= + 5i ⇔ (3a+b) + (a−b)i= + 5i

⇔ ®

3a+b= a−b= ⇔

® a= b=−3 Suy raz= 2−3i

Vậy số phứczcó phần thực là2, phần ảo bằng−3, số phức liên hợpz= 2+3i, mô-đun bằng|z|=√13 3 Gọiz=a+bi⇒z=a−bi,(a, b∈R) Ta có

2 (a+bi) + (1−i) (a−bi) = 1−9i ⇔ 2a+ 2bi+ 3a−3bi−3ai+ 3bi2 = 1−9i ⇔ (5a−3b)−(3a+b)i= 1−9i

⇔ ®

5a−3b= 3a+b= ⇔

Vậy phần thực số phứczlà2, phần ảo bằng3, số phức liên hợpz= 2−3i, mô-đun bằng|z|=√13 4 Gọiz=a+bi⇒z=a−bi,(a, b∈R) Ta có

[3 (a+bi)−(a−bi)] (1 +i)−5 (a+bi) = 8i−1 ⇔ (2a+ 4bi) (1 +i)−5 (a+bi) = 8i−1

⇔ 2a+ 2ai+ 4bi+ 4bi2−5a−5bi= 8i−1 ⇔ (−3a−4b) + (2a−b)i= 8i−1

⇔ ®

−3a−4b=−1 2a−b= ⇔

(11)

Suy raz= 3−2i

Vậy phần thực số phức z 3, phần ảo −2, số phức liên hợp z = + 2i, mô-đun |z|=√13

(2−3i) (a+bi) + (4 +i) (a−bi) = 8−6i

⇔ 2a+ 2bi−3ai−3bi2+ 4a−4bi+ai−bi2 = 8−6i ⇔ (6a+ 4b)−2 (a+b)i= 8−6i

⇔ ®

6a+ 4b= 2a+ 2b= ⇔

®

a=−2 b= Suy raz=−2 + 5i

Vậy phần thực số phứczlà−2, phần ảo bằng5, số phức liên hợp z=−2−5i, mơ-đun|z|=√29 6 Gọiz=a+bi⇒z=a−bi,(a, b∈R) Ta có

(3−2i) (a+bi) + (1 +i) (a−bi) = + 5i

⇔ 3a+ 3bi−2ai−2bi2+ 5a−5bi+ 5ai−5bi2 = + 5i ⇔ (8a+ 7b) + (3a−2b)i= + 5i

⇔ ®

8a+ 7b= 3a−2b= ⇔

® a= b=−1 Suy raz= 1−i

Vậy phần thực số phức zlà 1, phần ảo bằng−1, số phức liên hợp z= +ivà mô-đun|z|=√2 7 Gọiz=a+bi⇒z=a−bi,(a, b∈R) Ta có

(3 +i) (a−bi) + (1 + 2i) (a+bi) = 3−4i ⇔ 3a−3bi+ai−bi2+a+bi+ 2ai+ 2bi2= 3−4i ⇔ (4a−b) + (3a−2b)i= 3−4i

⇔ ®

4a−b= 3a−2b=−4 ⇔

Vậy phần thực số phứczlà2, phần ảo 5, số phức liên hợpz= 2−5i, mơ-đun|z|=√29 8 Gọiz=a+bi⇒z=a−bi,(a, b∈R) Ta có

(1 + 2i)2(a+bi) +a−bi= 4i−20 ⇔ (−3 + 4i) (a+bi) +a−bi= 4i−20 ⇔ −3a−3bi+ 4ai+ 4bi2+a−bi= 4i−20 ⇔ (−2a−4b) + (4a−4b)i= 4i−20

⇔ ®

−2a−4b=−20 4a−4b= ⇔

® a=

b= ⇒z= + 3i

Vậy phần thực số phức zlà 4, phần ảo bằng3, số phức liên hợpz= 4−3i, mô-đun|z|= 9 Gọiz=a+bi⇒z=a−bi,(a, b∈R) Ta có

(a+bi)2+pa2+b2 = 0⇔a2−b2+p

a2+b2+ 2abi= 0⇔

®

a2−b2+pa2+b2 = 0

2ab=

⇔   

 

a2−b2+pa2+b2 = 0

ñ a= b=

⇔ 

    

®a= 0 −b2+

√ b2 = 0

®b= 0 a2+

√ a2= 0

⇔ 

      

  

 

a= ñ

b= b=±1 ®

(12)

Suy ñ

z= z=±i

Vậy có số phức thỏa mãn đề làz= 0, z=±i 10 Gọiz=a+bi⇒z=a−bi,(a, b∈R) Ta có

p

a2+b2+ (a−bi−3)i= 1⇔pa2+b2−bi2+ (a−3)i= 1⇔Äp

a2+b2+bä+ (a−3)i= 1

⇔ ®p

a2+b2+b= 1

a−3 = ⇔ (

a= p

b2+ = 1−b ⇔

® a=

b=−4 ⇒z= 3−4i

Vậy phần thực số phức zlà 3, phần ảo bằng−4, số phức liên hợp z= + 4i 11 Gọiz=a+bi,(a, b∈R) Ta có2a= 10⇔a= 5⇒√b2+ 25 = 13⇒b=±12.

Vậy có số phứcz thỏa mãn đề z= 5±12i 12 Gọiz=a+bi,(a, b∈R)⇒z=a−bi Ta có

|z+ 1−2i|=|z−2−i| ⇔ |a+bi+ 1−2i|=|a−bi−2−i| ⇔(a+ 1)2+ (b−2)2 = (a−2)2+ (b+ 1)2⇔a=b

Lại có|z−1|=√5⇔(a−1)2+b2 = Thay a=bvào ta được(b−1)2+b2 = 5⇔

ñ b= b=−1 Vậy có số phứcz thỏa mãn đề z= + 2ivà z=−1−i

13 Gọiz=a+bi,(a, b∈R) ⇒z=a−bi Ta cóz+z= 2⇒2a= 2⇒a= Lại có|z|2+ 2z·z+|z|2= 8⇒4 a2+b2

= 8⇔a2+b2 = 2⇒b2= 1⇒

ñ b= b=−1 Vậy có số phứcz thỏa mãn đề z= +ivàz= 1−i

14 Gọiz=a+bi,(a, b∈R) ⇒z=a−bi Ta có

z+ (2−i)z= +i

⇔ a+bi+ (2−i) (a−bi) = +i ⇔

®

3a−b= −a−b= ⇔

® a= b=−2

⇒ w= +i(1−2i) + (1−2i)2 ⇔w=−3i Vậy số phứcw cần tìm làw=−3i

15 Gọiz=a+bi,(a, b∈R) ⇒z=a−bi Ta có

(1−i)z+ 2iz = + 3i

⇔ (1−i) (a+bi) + 2i(a−bi) = + 3i ⇔ a+bi−ai−bi2+ 2ai−2bi2 = + 3i ⇔ (a+ 3b) + (a+b)i= + 3i

⇔ ®

a+ 3b= a+b= ⇔

® a= b=

⇒ z= +i⇒w= +i+ (2−i) = 6−i Vậy số phứcw cần tìm làw= 6−i

Bài Tìm số phứcz thỏa mãn biểu thức số phức số thực, số ảo

|z|=√5và phần thực lần phần ảo

1 2 |z|=√2 vàz2 là số ảo.

|z−i|=√2 và(z−1) (z+i) số thực

3 4 |2z−z|=√13và (1 + 2i)z số ảo |z−1|=√5và (z−1) (z+ 2i) số thực

5 6 z+z= z2+ 2z−8ilà số thực

|z−3i|=|1−iz|và z+9

(13)

-Lời giải

Gọiz=a+bi,(a, b∈R)

Ta có phần thực lần phần ảo nêna= 2b Mặt khác|z|=√5⇔a2+b2=

Ta có hệ phương trình ®

a= 2b

a2+b2= ⇔ ®

a= 2b

(2b)2+b2 = ⇔ ®

a= 2b b2 = ⇔

      ® a= b= ®

a=−2 b=−1

⇒ ñ

z= +i z=−2−i

Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu toán làz= +i, z=−2−i Gọiz=a+bi,(a, b∈R)

Ta cóz2 =a2−b2+ 2abi số ảo nên a2−b2 = Mặt khác|z|=√2⇔a2+b2=

a2−b2= a2+b2= ⇔

® a2 = b2= ⇔

                ® a= b= ®

a=−1 b= ®

a= b=−1 ®

a=−1 b=−1

⇒     

z= +i z=−1 +i z= 1−i z=−1−i

Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán làz= +i, z=−1 +i, z= 1−i, z=−1−i Gọiz=a+bi,(a, b∈R)

Ta có(z−1) (z+i) =z·z+zi−z−i=a2+b2+ (a+bi)i−(a−bi)−i=a2+b2−a−b+ (a+b−1)i Do(z−1) (z+i) số thực nêna+b−1 =

Ta lại có|z−i|=√2⇔ |a+bi−i|=√2⇔a2+ (b−1)2 =

a= 1−b

a2+ (b−1)2= ⇔ ®

a= 1−b

2 (b−1)2 = ⇔       ®

a=−1 b= ®

a= b=

⇒ ñ

z=

z=−1 + 2i

Ta có(1 + 2i)z= (1 + 2i) (a+bi) = (a−2b) + (2a+b)ilà số ảo nêna−2b= 0⇒a= 2b Ta lại có|2z−z|=√13⇔ |2 (a+bi)−(a−bi)|=√13⇔ |a+ 3bi|=√13⇔a2+ 9b2= 13

a= 2b

a2+ 9b2 = 13 ⇔ ®

a= 2b

4b2+ 9b2 = 13 ⇔ ®

a= 2b b2 = ⇔

      ® a= b= ®

a=−2 b=−1

⇒ đ

z= +i z=−2−i Vậy có số phứcz thỏa mãn yêu cầu toán làz= +i, z=−2−i

Ta có(z−1) (z+ 2i) =z·z+ 2iz−z−2i=a2+b2+ 2i(a+bi)−(a−bi)−2i=a2+b2−a−2b+ (2a+b−2) số thực nên2a+b−2 = 0⇒b= 2−2a

Ta lại có|z−1|=√5⇔ |a−1 +bi|=√5⇔(a−1)2+b2=

b= 2−2a

(a−1)2+b2 = ⇔ ®

b= 2−2a (a−1)2= ⇔

®

b= 2−2a (a−1)2= ⇔

      ® a= b= ®

a= b=−2

⇒ ñ

z= 2i z= 2−2i Vậy có số phứcz thỏa mãn yêu cầu toán làz= 2i, z= 2−2i

Ta cóz+z= 6⇔2a= 6⇔a=

(14)

Suy rab=

Vậy số phức zthỏa mãn z= + 2i Gọiz=a+bi,(a, b∈R)

Ta cóz+9

z =a+bi+

a+bi =a+bi+

9 (a−bi)

a2+b2 số ảo nên a+

9a

a2+b2 =

Ta lại có|z−3i|=|1−iz| ⇔ |a+bi−3i|=|1−i(a−bi)| ⇔a2+ (b−3)2 = (1−b)2+a2⇔b= Suy raa+ 9a

a2+ 4 = 0⇔a

3+ 13a= 0⇔a= 0.

Vậy số phức zthỏa mãn z= 2i

Dạng Xác định yếu tố số phức qua phép toán Phương pháp giải:

1 Sử dụng hợp lý phép tốn cộng, trừ, nhân, chia để tìm số phứcz Từ tìm phần thực, phần ảo, mơ-đun z tìm đượcz

2 Hai số phức có mơ-đun Sử dụng kết

|z1·z2|=|z1| · |z2|

z·z¯=|z|2

|z|=|¯z|

z1

z2

= |z1| |z2|

vớiz2 6=

1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ

1 Choz thỏa(2 +i)z+1−i

1 +i = 5−i Tìm thuộc tính w= + 2z+z

2.

2 Choz thỏaz= + 4i+ 2i(1−3i) Tìm thuộc tính z 3 Tínhz= + (1 +i) + (1 +i)2+ (1 +i)3+· · ·+ (1 +i)20

-Lời giải

1 Ta có(2 +i)z+1−i

1 +i = 5−i⇔(2 +i)z+

(1−i)(1−i)

(1 +i)(1−i) = 5−i⇔(2 +i)z+ −2i

2 = 5−i ⇔(2 +i)z= 5⇔z=

2 +i⇔z=

5(2−i)

5 = 2−i Do đó,w= + 2z+z2 = + 2(2−i) + (2−i)2 = + 4−2i+ 4−4i+i2 = 8−6i

Vậyw có phần thực là8, phần ảo −6, mô-đun là|w|=p82+ (−6)2= 10và w= + 6i.

Nhận xét

Về phương pháp tự luận, để thực phép chia2 số phức, ta cần nhân thêm số phức liên hợp mẫu số Chẳng hạn, lời giải ta có 1−i

1 +i =

(1−i)2 (1 +i)(1−i)

Nếu sử dụng Casio, ta chuyển chế độ CMPLX (mode 2) (i tương ứng ENG) Chuyển

vế tìmz nhập

5−i−1−i +i

2 +i kết quả2−i, nghĩa tìm số phứcz= 2−i

Các phép tốn cịn lại thao tác tương tự Casio

2 Ta cóz= + 4i+ 2i(1−3i) = + 4i+ 2i−6i2= + 6i

Vậyz có phần thực là8, phần ảo 6, mô-đun là|z|=√82+ 62 = 10vàz= 8−6i.

3 Ta có số phứczlà tổng 21 số hạng cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 1và cơng

(15)

Khi đóz= +

20

X

k=1

(1 +i)k = (1 +i)

21−1

i

Ta lại có(1 +i)21=ỵ(1 +i)2ó10(1 +i) = (2i)10(1 +i) =−210(1 +i).

Vậyz= −2

10(1 +i)−1

i =

10+ 1

i−210

Bài Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp mô-đun củaz (1 +i)z= 14−2i

1 2 (1−i)z+ (2−i) = 4−5i

w=z1−2z2 biết rằngz1 = + 2i,z2 = 2−3i

3 4 w=z1z2 biết rằngz1= + 5i,z2 = 3−4i

(1−2i)z− + 7i

3−i = 5−2i

5 6 (1 +i)2(2−i)z= +i+ (1 + 2i)z

-Lời giải

1 Ta cóz= 14−2i +i =

(14−2i)(1−i)

2 =

12−16i

2 = 6−8i

Vậyz có phần thực là6, phần ảo −8, mơ-đun |z|=p62+ (−8)2 = 10vàz= + 8i.

2 Ta có (1−i)z+ (2−i) = 4−5i⇔ (1−i)z = 2−4i ⇔ z = 2−4i

1−i ⇔ z =

(2−4i)(1 +i)

2 ⇔ z =

6−2i

2 ⇔z= 3−i

Vậyz có phần thực là3, phần ảo −1, mô-đun |z|=p32+ (−1)2 =√10và z= +i.

3 Ta ców= + 2i−2(2−3i) =−3 + 8i

Vậyw có phần thực là−3, phần ảo 8, mơ-đun là|w|=p(−3)2+ 82=√73 vàw=−3−8i.

4 Ta ców= (2 + 5i)(3−4i) = 26 + 7i

Vậyw có phần thực là26, phần ảo 7, mô-đun là|w|=√262+ 72 = 5√29 vàw= 26−7i.

5 Ta có(1−2i)z−9 + 7i

3−i = 5−2i⇔(1−2i)z−(2 + 3i) = 5−2i⇔(1−2i)z= +i⇔z= +i 1−2i ⇔ z= + 3i

Vậyz có phần thực là1, phần ảo 3, mô-đun là|z|=√12+ 32 =√10 vàz= 1−3i.

6 Ta có(1 +i)2(2−i)z= +i+ (1 + 2i)z⇔2i(2−i)z= +i+ (1 + 2i)z⇔(2 + 4i)z= +i+ (1 + 2i)z ⇔(1 + 2i)z= +i⇔z= +i

1 + 2i ⇔z= 2−3i

Vậyz có phần thực là2, phần ảo −3, mơ-đun |z|=p22+ (−3)2 =√13và z= + 3i.

Bài Tính mơđun số phức sau:

1 Tìm mơ-đun số phứcz thỏa mãn 2z−2 = (1−i)|z|+ (2−z√2)i

2 Cho số phứcz6= thỏa mãn z[(2 + 3i)|z| −3 + 2i]−√26 = Tính giá trị của|z|

3 Cho số phứcz6= thỏa mãn 1−i z =

(2−3i)z

|z|2 + 2−i Tính giá trị của|z|

4 Cho số phứcz6= thỏa mãn (1 + 2i)|z|= √

10

z +i−2 Tính giá trị của|z| 5 Cho số phứcz6= thỏa mãn (2 + 3i)|z|=

√ 26

z + 3−2i Tính giá trị của|z| 6 Cho số phứcz6= thỏa mãn (1−3i)|z|=

√ 10

z + +i Tính giá trị củaP =|z|

(16)

-Lời giải

1 Từ giả thiết ta có(2 +i√2)z= (|z|+ 2) + (2− |z|)i

Lấy mô-đun hai vế ta được√6|z|=»(|z|+ 2)2+ (2− |z|)2⇔6|z|2= 2|z|2+ 8⇔6|z|2= 2|z|2+ 8

⇔4|z|2= 8⇔ |z|2= 2⇔ |z|=√2.

Vậy|z|=√2

2 Từ giả thiết ta cóz[(2|z| −3) + (3|z|+ 2)i] =√26

Lấy mô-đun hai vế ta được|z|»(2|z| −3)2+ (3|z|+ 2)2 =√26⇔ |z|2 13|z|2+ 13 = 26 ⇔ |z|2 |z|2+ 1= ⇔ |z|4+|z|2−2 = ⇔

ñ

|z|2 =

|z|2 =−2 (vô lý) ⇔ |z|=

Vậy|z|=

3 Từ giả thiết ta có 1−i z =

(2−3i)z

zz + 2−i⇔ 1−i

z = 2−3i

z + 2−i⇔

−1 + 2i

z = 2−i Lấy mô-đun hai vế ta

√ |z| =

√

5⇔ |z|= Vậy|z|=

4 Từ giả thiết ta có(|z|+ 2) + (2|z| −1)i= √

10 z Lấy mô-đun hai vế ta được»(|z|+ 2)2+ (2|z| −1)2=

√ 10 |z| ⇔ |z|

2 5|z|2+ 5

= 10⇔ |z|4+|z|2−2 = ⇔

ñ

|z|2 =

|z|2 =−2 (vô lý) ⇔ |z|=

Vậy|z|=|z|=

5 Từ giả thiết ta có(2|z| −3) + (3|z|+ 2)i= √

26 z Lấy mô-đun hai vế ta được»(2|z| −3)2+ (3|z|+ 2)2 =

√ 26 |z| ⇔

»

13|z|2+ 13 =

√ 26 |z| ⇔ |z|2 |z|2+ 1

= 2⇔ |z|4+|z|2−2 = 0

⇔ ñ

|z|2 =

|z|2 =−2 (vô lý) ⇔ |z|=

Vậy|z|=

6 Từ giả thiết ta có(|z| −3) + (−3|z| −1)i= √

10 z Lấy mô-đun hai vế ta được»(|z| −3)2+ (−3|z| −1)2=

√ 10 |z| ⇔

»

10|z|2+ 10 =

√ 10 |z| ⇔ |z|2 |z|2+

= 16⇔ |z|4+|z|2 = 16 ⇔ |z|4+|z|2= 16

VậyP = 16

Dạng Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải:

Chuẩn hóa số phức, dựa vào điều kiện cho để tìm số phức z

(17)

P = Å z1 z2 ã4 + Å z2 z1 ã4

-Lời giải

Chuẩn hóaz1=1, suy ra|z1|= 1, đặtz2=a+bi(a, b∈R), đó|z2|=

√

a2+b2.

Ta có ®

|z1|=|z2|=

|z1−z2|=

⇔ ®p

a2+b2= 1

|(1−a)−bi|= ⇔ ®

a2+b2 =

(1−a)2+b2 = ⇔ ®

a2+b2=

a2+b2−2a= ⇔       

a= b=±

√ Chọnz2 =

1 2+

√

2 ithì z1−z2 = 2−

√ i

Ta thấy|z1|=|z2|=|z1−z2|= 1, thỏa mãn yêu cầu tốn

Do P = đÅz

1

z2

ã2ơ2 +

đÅz

2

z1

ã2ô2

=−1

Bài Cho hai số phứcz1 vàz2 thỏa mãn|z1|= 3,|z2|= 4,|z1−z2|=

√

37 Biết số phứcz= z1 z2

=a+bi Tìm|b|

-Lời giải

Ta có|z|= z1 z2

= |z1| |z2| =

3 nên

√

a2+b2=

4 hay a

2+b2=

16 Lại có |z1−z2|

|z2|

=

z1−z2

z2 = z1 z2 −1

=|z−1|= √

37

4 Suy p

(a−1)2+b2 =

√ 37 haya

2+b2−2a= 21

16 Ta có hệ phương trình

  

 

a2+b2 = 16 a2+b2−2a= 21

16 ⇔     

a2+b2 = 16 −2a=

4 ⇔     

a=−3 b2 = 27 64 ⇔       

a=−3 |b|=

√ Vậy|b|=

√

8

Bài Cho hai số phứcz1,z2 thỏa mãn |z1|= 2,|z2|=

√

2 GọiM,N điểm biểu diễn số phức z1 vàiz2 Biết rằngM ON÷ = 45◦ với O gốc tọa độ Tính

z12+ 4z22

-Lời giải

Ta cóz12+ 4z22=z12−(2iz2)2 = (z1−2iz2)(z1+ 2iz2)

Lại cóÄOM ,# » ON# »ä= 45◦ và|z2

1 + 4z22|=|(z1−2iz2)(z1+ 2iz2)|=|z1−2iz2| · |z1+ 2iz2|

Mặt khác

|z1−2iz2|2 =|z1|2+ 4|iz2|2−4|z1||iz2|cos 45◦= 22+ 4·(

√

2)2−4·2·√2· √

2 = |z1+ 2iz2|2 =|z1|2+ 4|iz2|2+ 4|z1||iz2|cos 45◦= 22+ 4·(

√

2)2+ 4·2·√2· √

2 = 20 Do z21+ 4z22=

√

4·20 = 4√5

Bài Cho ba số phứcz1,z2,z3 thỏa mãn |z1|=|z2|=|z3|= 1và z1+z2+z3 = Tính giá trị biểu

thứcP =z12+z22+z32

-Lời giải

Ta có

P = z12+z22+z32 = (z1+z2+z3)2−2(z1z2+z2z3+z3z1) =−2z1z2z3

Å1 z1 + z2 + z3 ã

= −2z1z2z3

Å ¯ z1

z1z¯1

+ z¯2 z2z¯2

+ z¯3 z3z¯3

ã

=−2z1z2z3

Å ¯ z1

|z1|2

+ z¯2 |z2|2

+ z¯3 |z3|2

ã

=−2z1z2z3(¯z1+ ¯z2+ ¯z3)

= −2z1z2z3·z1+z2+z3=

(18)

Dạng Bài toán sử dụng bất đẳng thức số phức Phương pháp giải:

Vì số phức z =a+bi biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng tọa độ Do ta xem véc-tơ OM# »= (a;b) biểu diễn cho số phức z Nghĩa sử dụng bất đẳng thức véc-tơ phép toán max−min số phức

Cho ba véc-tơ #»u = (a;b), #»v = (x;y), w#»= (m;n),

1 |#»u −#»v| ≥ |#»u| − |#»v| Dấu “=” xảy #»u, #»v chiều, tức a

x = b y hay

x a =

y b

2 |#»u +#»v| ≤ |#»u|+|#»v| Dấu “=” xảy #»u, #»v chiều, tức a

x = b y hay

x a =

y b

3 |#»u| · |#»v| ≥ #»u ·#»v Dấu “=”xảy #»u, #»v chiều, tức a

x = b y hay

x a =

y b

4 |#»u +#»v +w| ≤ |#» #»u|+|#»v|+|w|#» Dấu “=” xảy a

b = x y =

m n

Các bất đẳng thức cổ điển thường sử dụng

Bất đẳng thức Cauchy

◦ Với a≥0, b≥0 a+b

2 ≥ √

ab Dấu “=” xảy a=b

◦ Với a≥0, b≥0, c≥0 a+b+c

3 ≥

3

√

abc Dấu “=” xảy a=b=c

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiacôpxki)

◦ Với a >0, b > vàx, y ta ln có x

a + y2

b ≥

(x+y)2

a+b (dạng cộng mẫu số) Dấu “=”

xảy a

x = b y hay

x a =

y b

◦ Với a, b, x, y ta ln có

(

(a·x+b·y)2 ≤(a2+b2)(x2+y2)

|a·x+b·y| ≤»(a2+b2)(x2+y2) Dấu “=” xảy

a x =

b y hay

x a =

y b

◦ Với a, b, c, x, y, z ta có

(

(a·x+b·y+c·z)2 ≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) |a·x+b·y+c·z| ≤»(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) Dấu “=” xảy a

x = b y =

c z hay

x a =

y b =

z c

Lưu ý

1 Ta sử dụng phương pháp hàm số (hoặc tam thức) để tìm max−min

2 Ngồi cịn sử dụng phương pháp hình học

1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ Cho số phức z thỏa|z−3 + 4i|= Tìm giá trị lớn củaP =|z|

-Lời giải

Cách 1.Áp dụng bất đẳng thức|#»u −#»v| ≥ |#»u| − |#»v|(hay |z1−z2| ≥ |z1| − |z2|)

Ta có

(19)

Cách 2.Sử dụng lượng giác hóa Gọiz=x+yi (x, y∈R) Ta có

|z−3 + 4i|= 4⇔ |(x−3) + (y+ 4)i|= 4⇔(x−3)2+ (y+ 4)2 = 16⇔ Å

x−3

ã2 +

Å y+

4 ã2

=

Đặt   

 

x−3

4 = sinα y+

4 = cosα hay

®

x= sinα+

y= cosα−4,

P = |z|=px2+y2=»(4 sinα+ 3)2+ (4 cosα−4)2 =√41 + 24 sinα−32 cosα =

»

41 +p242+ 322sin(α−β)

= »41 + 40 sin(α−β), với √ 24

242+ 322 = cosβ,

32 √

242+ 322 = sinβ

Lại có

−1≤sin(α−β)≤1⇔ −40≤40 sin(α−β)≤40⇔1≤41 + 40 sin(α−β)≤81⇔1≤»41 + 40 sin(α−β)≤9 Suy raPmin= vàPmax=

Cách khác.Áp dụng bất đẳng thức|a·x+b·y| ≤p

(a2+b2)(x2+y2).

Ta có

|24 sinα−32 cosα| ≤»[242+ (−32)2] sin2α+ cos2α = 40 ⇔ −40≤24 sinα−32 cosα≤40

⇔ 1≤41 + 24 sinα−32 cosα≤81 ⇔ 1≤√41 + 24 sinα−32 cosα≤9 Suy raPmin= vàPmax=

Cách 3.Sử dụng phương pháp hình học Gọiz=x+yi (x, y∈R) Ta có

|z−3 + 4i|= 4⇔ |(x−3) + (y+ 4)i|= 4⇔(x−3)2+ (y+ 4)2 = 16 Do tập hợp biểu diễn số phứcz đường trịn có tâm I(3;−4)và bán kínhR= Từ hình vẽ ta có

®

|z|min=OM1=OI −IM1 =OI−R=

|z|max=OM2 =OM1+ 2R=

Để tìmz có mơ-đun lớn zcó mơ-đun nhỏ tọa độ hai điểmM1,M2 tọa độ giao điểm đường thẳngOI đường tròn

Đường thẳng OI qua O(0; 0) có véc-tơ phương OI# » = (3;−4) có dạng x

3 = y

−4 hay y =− 3x Ta tìm giao điểmM1

Å3 5;−

4

ã ,M2

Å27 ;−

36

ã

x y

O

I M1

M2

Nhận xét Cách tổng quát hơn, tìm Pmax Pmin lúc Tùy vào yêu cầu toán mà ta chọn phương pháp cho phù hợp cho trắc nghiệm tự luận

Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện|iz+ 4−3i|= Tìm giá trị nhỏ |z|

(20)

Cách 1.Gọiz=x+yi(x, y∈R) Ta có

|iz+ 4−3i|= 1⇔ |(4−y) + (x−3)i|= 1⇔(x−3)2+ (y−4)2 =

Đặt ®

x−3 = sinα y−4 = cosα hay

®

x= + sinα

y= + cosα,

|z|=px2+y2=»(3 + sinα)2+ (4 + cosα)2 =√6 sinα+ cosα+ 26.

Mặt khác

|6 sinα+ cosα| ≤»(62+ 82)(sin2α+ cos2α)

⇔ |6 sinα+ cosα| ≤10 ⇔ −10≤6 sinα+ cosα≤10 ⇔ 16≤6 sinα+ cosα+ 26≤36 ⇔ 4≤√6 sinα+ cosα+ 26≤6 Suy ra|z|min= 4,|z|max=

Cách Áp dụng bất đẳng thức |#»u − #»v| ≥ |#»u| − |#»v|(hay|z1−z2| ≥ |z1| − |z2|)

Ta có

1 =|iz+ 4−3i|=|4−3i−(−iz)| ≥ |4−3i| − | −iz|= 5− |z| ⇒ |z| ≥4

Suy ra|z|min=

Bài Cho số phứcz thỏa mãn |z2−i|= Tìm giá trị lớn biểu thứcP =|¯z|. -Lời giải

Ta có

1 =|z2−i| ≥ |z2| − |i| ⇔1≥ |z|2−1⇔ |z|2≤2⇒ |z| ≤√2 Lại cóP =|¯z|=|z| Do Pmax=

√

2

Bài Trong số phứczthỏa mãn |z−2−4i|=|z−2i|, tìm số phức có mơ-đun nhỏ

-Lời giải

Gọiz=x+yi (x, y∈R) Từ giả thiết đề ta có

|x+yi−2−4i|=|x+yi−2i| ⇔ |(x−2) + (y−4)i|=|x+ (y−2)i| ⇔ »(x−2)2+ (y−4)2 =»x2+ (y−2)2

⇔ x+y−4 = ⇔ y= 4−x Cách 1.Sử dụng đánh giá đẳng thứcA2 ≥0 Ta có

|z|=px2+y2=»x2+ (4−x)2=p2x2−8x+ 16 =»2(x−2)2+ 8≥2√2.

Dấu “=” xảy x−2 = hay x=

Vậy số phức zcó mơ-đun nhỏ 2√2 khiz= + 2i Cách 2.Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu x

2

a + y2

b ≥

(x+y)2 a+b Ta có

|z|=px2+y2 =

x2

1 + y2

1 ≥

(x+y)4

1 + ⇒ |z| ≥2 √

2 Dấu “=” xảy x=y=

(21)

Cách 3.Sử dụng hình học

Tập hợp biểu diễn số phức z đường thẳngd:x+y−4 =

Số phức có mơ-đun nhỏ khi|z|min=OH số phức cần tìm tọa độ điểmH hình chiếu điểmO lênd

VìOH⊥dnên phương trình củaOH có dạng x−y+m=

Lại có O(0; 0) thuộc OH nên m = 0, suy phương trình OH x−y=

Tọa độ điểmH nghiệm hệ phương trình ®

x+y= x−y= ⇔

® x= y=

Vậy số phức zcó mơ-đun nhỏ 2√2 khiz= + 2i

x y

O

M H

Bài Trong số phức thỏa mãn|z−i|=|¯z−2−3i|, tìm số phức có mơ-đun nhỏ

-Lời giải

|x+ (y−1)i|=|(x−2)−(y+ 3)i| ⇔x2+ (y−1)2 = (x−2)2+ (y+ 3)2 ⇔4x−8y−12 = 0⇔x= 2y+ Ta có

|z|=px2+y2 =»(2y+ 3)2+y2 =p5y2+ 12y+ =

Å y+6

5 ã2

+9 ≥

3√5 Dấu “=” xảy y=−6

5,x= Vậy|z|min=

3√5

5 khiz= −

6

5i

Bài Trong số phức thỏa mãn|iz−3|=|z−2−i|, tìm số phức có mơ-đun nhỏ

-Lời giải

|(−y−3) +xi|=|(x−2) + (y−1)i| ⇔(−y−3)2+x2= (x−2)2+ (y−1)2 ⇔4x+ 8y+ = 0⇔x=−2y−1 Ta có

|z|=px2+y2 =»(−2y−1)2+y2=p5y2+ 4y+ =

Å y+2

5 ã2

+1 ≥

√ 5 Dấu “=” xảy y=−2

5,x=− Vậy|z|min=

√

5 khiz=− −

2

5i

Bài Trong số phức thỏa(z−1)(¯z+ 2i)là số thực, tìm số phức có mơ-đun nhỏ

-Lời giải

Gọiz=x+yi (x, y∈R) Ta có

(z−1)(¯z+ 2i) = z·z¯+ 2iz−z¯−2i=|z|2+ 2i(z−1)−z¯=x2+y2+ 2i(x+yi−1)−(x−yi) = x2+y2+ 2xi−2y−2i−x+yi= (x2+y2−x−2y) + (2x+y−2)i

Vì(z−1)(¯z+ 2i) số thực nên2x+y−2 = hay y= 2−2x Ta có

|z|=px2+y2=»x2+ (2−2x)2=p5x2−8x+ =

Å x−4

5 ã2

+4 ≥

2√5 Dấu “=” xảy x=

5,y= Vậy|z|min=

√

5 khiz= +

2

(22)

Bài Trong số phức thỏa mãn|z−1|=|z−i|, tìm mơ-đun nhỏ số phứcw= 2z+ 2−i

-Lời giải

|(x−1) +yi|=|x+ (y−1)i| ⇔(x−1)2+y2=x2+ (y−1)2 ⇔ −2x+ 2y = 0⇔x=y Ta ców= 2z+ 2−i= 2x+ 2yi+ 2−i= 2x+ + (2y−1)i= (2x+ 2) + (2x−1)i

Khi

|w|=|(2x+ 2) + (2x−1)i|=»(2x+ 2)2+ (2x−1)2=p8x2+ 4x+ =

Å x+1

4 ã2

+9 ≥

3√2 Dấu “=” xảy x=−1

4,y=− Vậy|w|min=

3√2

2 khiz=− −

1

4i

Bài Cho số phứcz,w thỏa mãn|z+ 2−2i|=|z−4i|vàw=iz+ Tìm giá trị nhỏ của|w|

-Lời giải

|(x+ 2) + (y−2)i|=|x+ (y−4)i| ⇔(x+ 2)2+ (y−2)2 =x2+ (y−4)2 ⇔4x+ 4y−8 = 0⇔y = 2−x Ta ców=iz+ =xi−y+ = (1−y) +xi= (x−1) +xi

Khi

|w|=»(x−1)2+x2 =p2x2−2x+ =

Å x−1

2 ã2

+1 ≥

√ 2 Dấu “=” xảy x=

2,y= Vậy|w|min=

√

2 z= +

3

2i

Bài Cho số phứcz thỏa mãn điều kiện|z| ≥2 Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P =

z+i z

-Lời giải

Đặtw= z+i z , ta có

wz=z+i⇔(w−1)z=i⇔ |(w−1)z|=|i| ⇔ |w−1||z|= 1⇔ |w−1|=

|z| ⇔ |w−1| ≤ Lại có

|w| −1≤ |w−1| ≤

2 ⇒ |w| ≤ Mặt khác

| −1| − | −w| ≤ | −1−(−w)| ⇔1− |w| ≤ |w−1| ≤

2 ⇒ |w| ≥ Suy raPmin=

1

2,Pmax=

2 Do tích giá trị lớn nhỏ biểu thức

4

Bài Cho số phứczthỏa mãn|z−3|+|z+ 3|= GọiM,mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ của|z| Tìm M+m

-Lời giải

Ta có GọiE(x;y) điểm biểu diễn số phứcz,A(3; 0),B(−3; 0)

Ta cóEA+EB = nên E thuộc elip có trục lớn bằng8, tiêu cự 6, trục bé 2√7 Do |z|max= 4,zmin =

√

(23)

Bài 10 Cho số phức zthỏa mãn |z|= Tìm giá trị lớn biểu thức P =|1 +z|+ 3|1−z|

-Lời giải

|z|= 1⇔px2+y2 = 1⇔x2+y2= 1⇔y2 = 1−x2.

Từ kết ta thấy x∈[−1; 1] Mặt khác

P = |1 +z|+ 3|1−z|=|(x+ 1) +yi|+ 3|(1−x)−yi|=»(x+ 1)2+y2+ 3»(1−x)2+y2

= px2+ 2x+ + 1−x2+ 3p1−2x+x2+ 1−x2=»2(x+ 1) + 3»2(1−x).

Xét hàm số f(x) = p2(x+ 1) + 3p2(1−x) đoạn [−1; 1] có f0(x) = p

2(x+ 1) − p

2(1−x),∀x ∈ (−1; 1)

Phương trìnhf0(x) = 0có nghiệm x=−4

5 ∈[−1; 1] Lại cóf(−1) = 6,f(1) = 2,f

Å −4

5 ã

= 2√10 Do Pmax=

√

10 x=−4

5,y =±

5 tức làz= ±

3 5i Cách khác.Sử dụng bất đẳng thức a·x+b·y≤p

(a2+b2)(x2+y2).

Ta có

P = 1·»(x+ 1)2+y2+ 3»(1−x)2+y2≤»(12+ 32) [(x+ 1)2+y2+ (1−x)2+y2]

⇒ P ≤»20(x2+y2+ 1) = 2√10.

Bài 11 Cho số phức z1,z2 thỏa mãnz16= 0,z2 6= 0,z1+z26=

1 z1+z2

= z1

+ z2

Tính

z1

z2

-Lời giải

Ta có z1+z2

= z1

+ z2

⇔ z1z2= (z1+z2)(z2+ 2z1)⇔z1z2 =z1z2+ 2z12+z22+ 2z1z2⇔2z12+ 2z1z2+z22 =

⇔ Åz

1

z2

ã2

+ 2·z1 z2

+ = 0⇔ z1 z2

= −1±i Do

z1

z2

= √

2

Bài 12 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2−2z+ = |(z−1 + 2i)(z+ 3i−1)| Tính min|w|, với w=z−2 + 2i

-Lời giải

z2−2z+

=|(z−1 + 2i)(z+ 3i−1)|

⇔ |(z−1−2i)(z−1 + 2i)|=|(z−1 + 2i)(z+ 3i−1)| ⇔ |z−1−2i| · |z−1 + 2i|=|z−1 + 2i| · |z−1 + 3i| (1) 1 z= 1−2i⇒w=−1⇒ |w|=

2 z6= 1−2i Gọiz=x+yi vớix, y∈R

(1) ⇔ |z−1−2i|=|z−1 + 3i|

⇔ |(x−1) + (y−2)i|=|(x−1) + (y+ 3)i| ⇔ (x−1)2+ (y−2)2= (x−1)2+ (y+ 3)2 ⇔ y=−1

2 Vớiy=−1

2 ⇒z=x−

2i Khi w=x−2 +

2i⇒ |w|= …

(x−2)2+ >

3 ⇒min|w|=

(24)

Vậymin|w|= Bài 13 Cho số phức zthỏa mãn điều kiệnz2+

=

z2+ 2iz

Tính giá trị nhỏ củaP =|z+i|

-Lời giải

z2+

=

z2+ 2iz

⇔ |(z−2i)(z+ 2i)|=|z(z+ 2i)| ⇔ |z−2i| · |z+ 2i|=|z| · |z+ 2i| (∗) 1 z=−2i⇒P =|−i|=

2 z6=−2i Gọiz=x+yi vớix, y∈R

(∗) ⇔ |z−2i|=|z|

⇔ |x+ (y−2)i|=|x+yi| ⇔ x2+ (y−2)2 =x2+y2 ⇔ y=

Vớiy= 1⇒z=x+i Khi P =|x+ 2i|=√x2+ 4>2.

⇒minP = z=i

VậyminP =

Bài 14 Cho số phức z=x+ 2iy,(x, y∈R) thay đổi thỏa mãn điều kiện|z|= Tính tổng S giá trị

lớn nhỏ P =x−y

-Lời giải

|z|= 1⇔ |x+ 2iy|= 1⇔x2+ 4y2 = 1⇒  



−16x61 −1

2 6y6

⇒  



−16x61 −1

2 6−y6

⇒ −3

2 ≤x−y≤ Do minP =−3

2 x=−1;y=−

2 vàmaxP =

2 x= 1;y=

VậyS =

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 NHẬN BIẾT

Câu

Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz=−1 + 2i? A N B P C M D Q

x y

−2 −1 2

−1

Q P

M N O

-Lời giải

Vìz=−1 + 2inên điểm biểu diễn số phức z có tọa độ (−1; 2)

Chọn đáp án D

Câu Số phức liên hợp số phức z= 1−2ilà

A + 2i B −1−2i C 2−i D −1 + 2i

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz= 1−2ilà1 + 2i

Chọn đáp án A

Câu Tìm số phức liên hợp số phứcz= 4−3i

A z=−4−3i B z=−4 + 3i C z= + 3i D z= + 4i

-Lời giải

z= 4−3i⇒z= + 3i

(25)

Câu Điểm điểm biểu diễn số phứcz=−1 +i?

A Q(0;−1) B M(−1; 1) C N(1;−1) D P(−1; 0)

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz=−1 +ilàM(−1; 1)

Chọn đáp án B

Câu Số phức z=−2icó phần thực phần ảo

A −2 và0 B −2ivà C và−2 D 0và

-Lời giải

Số phứcz=−2icó phần thực bằng0và phần ảo bằng−2

Chọn đáp án C

Câu Điểm biểu diễn số phứcz= 1−2itrên mặt phẳngOxy có tọa độ

A (1;−2) B (−1;−2) C (2;−1) D (2; 1)

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz= 1−2itrên mặt phẳngOxy có tọa độ là(1;−2)

Chọn đáp án A

Câu Cho số phức z=−4 + 5i Điểm biểu diễn củaz có tọa độ

A (−4; 5) B (−4;−5) C (4;−5) D (4; 5)

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz=a+bilàM(a;b)

Chọn đáp án A

Câu Số phức liên hợp số phức z= + 2ilà

A z=−3 + 2i B z= 2−3i C z=−3−2i D z= 3−2i

-Lời giải

Số phức liên hợp số phứcz=a+bilàz=a−bi, ∀a, b∈R

Chọn đáp án D

Câu Tính mơ-đun số phứcz= + 4i

A B C D √7

-Lời giải

|z|=|3 + 4i|=√9 + 16 =

Chọn đáp án B

Câu 10

Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức số phức cho sau đây?

A 3−2i B −2 + 3i

C 2−3i D + 2i

x y

O

−2

M 3

-Lời giải

ĐiểmM(−2; 3)là điểm biểu diễn số phức z=−2 + 3i

Chọn đáp án B

Câu 11 Phần thực phần ảo số phức z= + 2ilần lượt

A và1 B và2i C và2 D 1và i

-Lời giải

Số phứcz= + 2icó phần thực phần ảo là1 và2

Chọn đáp án C

Câu 12 Số phức liên hợp z số phứcz= 2−3ilà

A z= + 3i B z= 3−2i C z= + 2i D z=−2 + 3i

-Lời giải

Số phức liên hợp số phứcz= 2−3ilàz= + 3i

(26)

Câu 13 Số phức biểu diễn điểm M(2;−1)là

A +i B + 2i C 2−i D −1 + 2i

-Lời giải

Số phức có điểm biểu diễn bởiM(2;−1)trên mặt phẳng tọa độ 2−i

Chọn đáp án C

Câu 14 Số phức liên hợp z=a+bilà

A z=−a+bi B z=b−ai C z=−a−bi D z=a−bi

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz=a+bilàz=a−bi

Chọn đáp án D

Câu 15 Phần ảo số phức z= 3−4ibằng

A −4 B −4i C D 4i

-Lời giải

Phần ảo số phức z= 3−4ibằng−4

Chọn đáp án A

Câu 16 Khẳng định sau khẳng địnhsai? A Mô-đun số phứcz số âm

B Mô-đun số phứcz số thực

C Mô-đun số phức z=a+bilà|z|=√a2+b2.

D Mô-đun số phức z số thực không âm

-Lời giải

Ta cóz=a+bi(với a, b∈R) ⇔ |z|=√a2+b2.

Doa, b∈R⇒

®

|z| ∈R⊂C |z| ≥0

Chọn đáp án A

Câu 17

ĐiểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức

A z=−2 + i B z= 1−2i C z= + i D z= + 2i

O x y

−2

1

M

-Lời giải

Ta cóM(−2; 1)⇒z=−2 + i

Chọn đáp án A

Câu 18 Phần ảo số phức z= 3−4ibằng

A −4 B −4i C D 4i

-Lời giải

Phần ảo số phức z= 3−4ibằng−4 Nó hệ số củaitrong dạng đại số số phức

Chọn đáp án A

Câu 19

ĐiểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz Tìm phần thực phần ảo số phức z

A Phần thực −4 phần ảo là3 B Phần thực là3 phần ảo là−4i C Phần thực 3và phần ảo là−4 D Phần thực là−4 phần ảo là3i

x y

O

3

−4

M

(27)

Ta cóM(3;−4)nên điểm M điểm biểu diễn số phứcz= 3−4i Vậy, số phứcz có phần thực là3và phần ảo −4

Chọn đáp án C

Câu 20

Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Tìm phần thực phần ảo số phức z

A Phần thực −4 phần ảo là3 B Phần thực là3 phần ảo là−4i

C Phần thực 3và phần ảo là−4 D Phần thực là−4 phần ảo là3i x

y

3

M

−4

O

-Lời giải

ĐiểmM hình vẽ biểu diễn cho số phức z= 3−4i Vậy số phức zcó phần thực 3và phần ảo là−4

Chọn đáp án C

Câu 21 Số phức liên hợp z số phứcz= 2−3ilà

A z= 3−2i B z= + 3i C z= + 2i D z=−2 + 3i

-Lời giải

Ta cóz= + 3i

Chọn đáp án B

Câu 22 Phần ảo số phức z= 2−3ilà

A −3i B C −3 D

-Lời giải

Phần ảo số phức z= 2−3ilà−3

Chọn đáp án C

Câu 23 Tìm số phức liên hợp số phức z= (3 +i)(m−2i), m∈R

A z=−(3m+ 2) + (m−6)i B z= (3m+ 2) + (m−6)i C z=−(3m+ 2)−(m−6)i D z= (3m+ 2)−(m−6)i

-Lời giải

Ta có z= (3 +i)(m−2i) = (3m+ 2) + (m−6)i, số phức liên hợp z làz= (3m+ 2)−(m−6)i

Chọn đáp án D

Câu 24 Cho số phức z=−4 + 5i Biểu diễn hình học củaz điểm có tọa độ

A (−4; 5) B (−4;−5) C (4;−5) D (4; 5)

-Lời giải

Tọa độ biểu diễn số phức z=−4 + 5ilà điểmM(−4; 5)

Chọn đáp án A

Câu 25

ĐiểmM hình vẽ biểu diễn hình học số phức đây?

A z= + 2i B z= +i C z=−1 + 2i D z=−1−2i

x y

2

−1

M O

-Lời giải

Theo hình vẽ thìM(2;−1)nên điểm M biểu diễn cho số phức z= 2−i

Chọn đáp án A

Câu 26 Số phức liên hợp số phức z= + 3i

A z=−3 + 4i B z= 4−3i C z= + 4i D z= 3−4i

-Lời giải

(28)

Chọn đáp án B Câu 27

Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Tìm phần thực, phần ảo số phức z

A Phần thực −2, phần ảo i B Phần thực là1, phần ảo −2 C Phần thực 1, phần ảo −2i D Phần thực là−2, phần ảo

x y

O

1

M

−2 -Lời giải

VìM(1;−2)nên z= 1−2i Vậy phần thực z 1, phần ảo củaz là−2

Chọn đáp án B

Câu 28 Cho số phức z thỏa mãnz= + 2i Tìm phần thực phần ảo số phứcz

A Phần thực bằng3, phần ảo bằng2 B Phần thực −3, phần ảo bằng2 C Phần thực bằng3, phần ảo bằng−2 D Phần thực bằng−3, phần ảo bằng−2

-Lời giải

Ta cóz= 3−2i, suy phần thực z bằng3, phần ảo củaz bằng−2

Chọn đáp án C

Câu 29

Điểm M hình bên điểm biểu diễn số phức z Mệnh đề sau đúng?

A Số phứcz có phần thực 3và phần ảo là−4 B Số phứcz có phần thực 3và phần ảo là−4i C Số phứcz có phần thực là−4 phần ảo là3 D Số phứcz có phần thực là−4 phần ảo là3i

O

x y

−4

M

3

-Lời giải

Số phứcz có phần thực 3và phần ảo là−4

Chọn đáp án A

Câu 30 Điểm M biểu diễn số phứcz= + 2i mặt phẳng tọa độ phức

A M(2; 3) B M(−3;−2) C M(3; 2) D M(3;−2)

-Lời giải

Số phứcz= + 2icó điểm biểu diễn làM(3; 2)

Chọn đáp án C

Câu 31 Cho số phức z=−12 + 5i Mô-đun số phức zbằng

A 13 B 119 C 17 D −7

-Lời giải

|z|=»(−12)2+ 52 = 13.

Chọn đáp án A

Câu 32

ĐiểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz Tìm phần thực phần ảo số phứcz

A Phần thực là3 phần ảo là−4 B Phần thực là−4 phần ảo là3i C Phần thực −4 phần ảo là3 D Phần thực phần ảo là−4i

O x

y

3

−4

(29)

-Lời giải

Theo hình vẽ ta thấyz= 3−4inên phần thực là3và phần ảo −4

Chọn đáp án A

Câu 33 Biết M(1;−2)là điểm biểu diễn số phứcz, số phứcz

A +i B + 2i C 2−i D 1−2i

-Lời giải

VìM(1;−2)là điểm biểu diễn số phứcz nên z= 1−2i Từ suy z= + 2i

Chọn đáp án B

Câu 34 Cho số phức z có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ Oxy điểm M(3;−5) Xác định số phức liên hợpz củaz

A z=−5 + 3i B z= + 3i C z= + 5i D z= 3−5i

-Lời giải

Vì số phứcz có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độOxy điểmM(3;−5)nên z= 3−5i Do số phức liên hợp số phứcz làz= + 5i

Chọn đáp án C

Câu 35 Cho số phức z= 2−3i Số phức liên hợp số phức zlà

A z¯= 3−2i B z¯= + 2i C z¯=−2−3i D z¯= + 3i

-Lời giải

Số phức liên hợp số phứcz= 2−3ilàz¯= + 3i

Chọn đáp án D

Câu 36 Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số phứcz= 3−2ilà

A M(3;−2) B N(2;−3) C P(−2; 3) D Q(−3; 2)

-Lời giải

Số phứcz= 3−2icó phần thực phần ảo là3 và−2 nên zcó điểm biểu diễn làM(3;−2)

Chọn đáp án A

Câu 37 Điểm biểu thị số phức z= 3−2ilà

A M(3;−2) B N(−2; 3) C P(2; 3) D Q(3; 2)

-Lời giải

Điểm biểu thị số phứcz= 3−2ilà điểmM(3;−2)

Chọn đáp án A

Câu 38 Tìm số phức liên hợp số phức z= 1−2i

A z= + 2i B z= 2−i C z=−1 + 2i D z=−1−2i

-Lời giải

Chọn đáp án A

Câu 39 Tìm mệnh đề saitrong mệnh đề sau A Số phứcz=a+bicó mơ-đun là√a2+b2.

B Số phứcz=a+bicó số đối z0 =a−bi C Số phứcz=a+bi=

® a= b=

D Số phứcz=a+biđược biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng phức Oxy

-Lời giải

Số phứcz=a+bicó số đối z0 =−a−bi

Chọn đáp án B

Câu 40 Điểm sau điểm biểu diễn số phức z= 3−4i?

A M(3; 4) B M(−3; 4) C M(3;−4) D M(−3;−4)

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz= 3−4ilà điểm có tọa độ(3;−4)

Chọn đáp án C

(30)

-Lời giải

Viết z=a+bi⇒z=a−bi, vớia, b∈R

Suy điểm biểu diễn cho số phức z z M(a;b) M0(a;−b)

VậyM vàM0 đối xứng với qua trục hoành x

y

O

b M

a M0

−b

Chọn đáp án A

Câu 42 Trong hình vẽ bên, điểm P biển diễn số phức z1, điểm Q biểu diễn số phức z2 Tìm số phức

z=z1+z2?

A + 3i B −3 +i C −1 + 2i D +i

x y

O

−1

2

P

Q

-Lời giải

Nhìn vào hình vẽ ta thấyz1 =−1 + 2i,z2= +i Khi z1+z2 = + 3i

Chọn đáp án A

Câu 43 Số phức liên hợp số phức z= +ilà

A z= 2−i B z= +i C z=−2 +i D z=−2−i

-Lời giải

Số phứcz=x+yi (vớix, y∈R) số phức liên hợp zlàz=x−yi Do số phức liên hợp của2 +ilà2−i

Chọn đáp án A

Câu 44 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A |z|là số không âm B |z|là số thực C |z|là số phức D |z|là số thực dương

-Lời giải

Vớiz= + 0có |z|=

Chọn đáp án D

Câu 45 Cho số phức z=−1 + 2i Số phức z biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ?

A Q(−1;−2) B P(1; 2) C N(1;−2) D M(−1; 2)

-Lời giải

Ta cóz=−1−2i, nên điểm biểu diễn cho số phứcz làQ(−1;−2)

Chọn đáp án A

Câu 46 Số phức sau có điểm biểu diễn M(1;−2)?

A + 2i B 1−2i C −2 +i D −1−2i

-Lời giải

Số phứcz= 1−2icó điểm biểu diễn làM(1;−2)

Chọn đáp án B

Câu 47 Phần thực phần ảo số phức z= + 2ilần lượt

A và2 B vài C và2i D 2và

-Lời giải

Phần thực phần ảo số phứcz= + 2ilần lượt là1và

Chọn đáp án A

Câu 48 Cho số phức z= 10−2i Tìm phần thực phần ảo số phức z

(31)

-Lời giải

z= 10 + 2i nênz¯có phần thực bằng10 phần ảo bằng2

Chọn đáp án A

Câu 49 Tọa độ điểm biểu diễn số phức liên hợp số phức z= + 5ilà

A (2;−5) B (2; 5) C (−2;−5) D (−2; 5)

-Lời giải

Ta cóz= 2−5i⇒M(2;−5)là điểm biểu diễn số phức liên hợp số phức z

Chọn đáp án A

Câu 50 Giả sử a, b, hai số thực thỏa mãn 2a+ (b−3)i = 4−5i với i đơn vị ảo Gía trị a, b,

A a= 1, b= B a= 8, b= C a= 2, b=−2 D a=−2, b=

-Lời giải

Ta có ®

2a=

b−3 =−5 ⇔ ®

a= b=−2

Chọn đáp án C

Câu 51 Số phức z= 5−8icó phần ảo

A B −8 C D −8i

-Lời giải

Số phứcz= 5−8icó phần ảo −8

Chọn đáp án B

Câu 52 Tìm phần ảo số phức z= 3−4i

A −4 B C D −3

-Lời giải

Chọn đáp án A

Câu 53 Số phức z thỏa mãn z= 5−8icó phần ảo

A −8 B C D −8i

-Lời giải

Số phứcz= 5−8icó phần thực là5 phần ảo là−8

Chọn đáp án A

Câu 54 Trong số phứcz1 =−2i,z2 = 2−i,z3 = 5i,z4= có số ảo?

A B C D

-Lời giải

Số ảo số có dạngz=bi (b∈R)

Vậy số phức cho có hai số ảo làz1 =−2i,z3 = 5i

Chọn đáp án D

Câu 55 Số phức z có điểm biểu diễn Anhư hình vẽ Phần ảo số phức z

z−i A

4i B

1

4i C

5

4 D

1

O

x y

2

3 M

-Lời giải

Vì điểmA= (2; 3)nên z= + 3i Do z z−i =

2 + 3i + 2i =

5 +

1 4i Vậy phần ảo số phức z

z−i

Chọn đáp án D

Câu 56 Mô-đun số phức w= 2−√5ilà

(32)

-Lời giải

Ta có|w|=»22+ (−√5)2=√9 = 3.

Chọn đáp án D

Câu 57 Số phức liên hợp số phức z= 2−3i

A z= + 2i B z= 3−2i C z= + 3i D z=−2 + 3i

-Lời giải

Chọn đáp án C

Câu 58 Trong mặt phẳng Oxy, điểm sau biểu diễn số phức z= +i?

A M(2; 0) B N(2; 1) C N(2;−1) D N(1; 2)

-Lời giải

Trong mặt phẳngOxy, điểm biểu diễn số phứcz= +i làN(2; 1)

Chọn đáp án B

Câu 59

ĐiểmM hình vẽ bên biểu thị cho số phức đây?

A + 2i B 2−3i C −2 + 3i D 3−2i

x y

O

3

−2

M

-Lời giải

ĐiểmM(−2; 3)biểu diễn cho số phức z=−2 + 3i

Chọn đáp án C

Câu 60 Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z= 2−3ilà

A (2; 3) B (2;−3) C (−3; 2) D (3; 2)

-Lời giải

Ta có điểmA(2;−3)là điểm biểu diễn số phứcz= 2−3i

Chọn đáp án B

Câu 61 Điểm biểu diễn số phức liên hợp số phức z= 2−3ilà

A M(2;−3) B M(2; 3) C M(−2; 3) D M(−2;−3)

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz= 2−3ilàz= + 3i Vậy điểm biểu diễn số phức z làM(2; 3)

Chọn đáp án B

Câu 62 Mô-đun số phức z= 4−3ibằng

A B 25 C D

-Lời giải

Ta có|z|=p42+ (−3)2 = 5.

Chọn đáp án C

Câu 63 Phần ảo số phức z=−1 +ilà

A B −1 C i D −i

-Lời giải

Số phứcz=−1 +iviết lại làz=−1 + 1·inên có phần ảo

Chọn đáp án A

Câu 64 Cho số phức z= 3−5i Phần ảo z

A B C −5 D −5i

-Lời giải

Doz= 2−5i nên có phần ảo bằng−5

Chọn đáp án C

(33)

Trên mặt phẳng tọa độ, số phức z = 3−4i biểu diễn điểm điểm A,B,C,D?

A ĐiểmD B Điểm B C Điểm A D Điểm C

x

−4

y

−3

−4

−3

3

−4

O

C

D A B

-Lời giải

Ta cóz= 3−4inên điểm biểu diễn số phức z làD(3;−4)

Chọn đáp án A

Câu 66 Số phức z= 2−3icó điểm biểu diễn

A N(−3; 2) B P(3; 2) C M(2;−3) D Q(2; 3)

-Lời giải

Số phứcz= 2−3icó điểm biểu diễn làM(2;−3)

Chọn đáp án C

Câu 67

Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz= + 3i? A Q B P C M D N

x y

O

−3

P N

M

Q

-Lời giải

ĐiểmM(1; 3) điểm biểu diễn số phứcz= + 3i

Chọn đáp án C

Câu 68 Cho số phức z= 2−3i Điểm biểu diễn số phức liên hợp củaz

A (2;−3) B (2; 3) C (−2;−3) D (−2; 3)

-Lời giải

Ta cóz= 2−3i⇒z= + 3i⇒M(2; 3)là điểm biểu diễn số phức liên hợp z

Chọn đáp án B

Câu 69 Mô-đun số phức z= 5−2ibằng

A √29 B C D 29

-Lời giải

Ta có|z|=|5−2i|=p52+ (−2)2 =√29.

Chọn đáp án A

Câu 70 Số phức z= 5−7icó số phức liên hợp

A z= + 7i B z=−5 + 7i C z= 7−5i D z=−5−7i

-Lời giải

Số phứcz=a+bicó số phức liên hợp z=a−bi

Chọn đáp án A

(34)

Số phức có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm M hình bên?

A 1−2i B i+ C i−2 D + 2i

x y

O

1

−2

M

-Lời giải

VìM(1;−2)nên M điểm biểu diễn số phứcz= 1−2i

Chọn đáp án A

Câu 72 Tìm số thựca,b thỏa mãn(a−2b) + (a+b+ 4)i= (2a+b) + 2bivớiilà đơn vị ảo A a=−3,b= B a= 3,b=−1 C a=−3,b=−1 D a= 3,b=

-Lời giải

Ta có(a−2b) + (a+b+ 4)i= (2a+b) + 2bi⇔ ®

a−2b= 2a+b a+b+ = 2b ⇔

®

a+ 3b= a−b=−4 ⇔

®

a=−3 b=

Chọn đáp án A

Câu 73 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọiM, N theo thứ tự điểm biểu diễn cho số phứcz vàz(với z6= 0) Mệnh đề đúng?

A M vàN đối xứng qua trụcOx B M vàN đối xứng qua trụcOy

C M vàN đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ D M vàN đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ

-Lời giải

GọiM(a;b) điểm biểu diễn số phứcz Ta đượcN(a;−b) điểm biểu diễn số phứcz Ta thấyM N đối xứng qua trục Ox

O x

y

N M b

−b a

Chọn đáp án A

Câu 74 Phần ảo số phức z= + 2ibằng

A B 2i C D 5i

-Lời giải

Số phứcz= 2i+ 5có phần thực bằng5, phần ảo

Chọn đáp án C

Câu 75 Điểm hình vẽ biểu diễn số phức liên hợp số phức z= 2−3i? A M

B P C N D Q

x y

−2 0

2

Q M

N P

−3

-Lời giải

Ta cóz= + 3i⇒ điểm biểu diễn z là(2; 3)

Chọn đáp án C

Câu 76 Cho số phức z=a+bivớia, b∈R Mệnh đề sau sai?

(35)

C Số phức liên hợp zlà z=a−bi D z= 0⇔a=b=

-Lời giải

Số phứcz=a+bithì phần thực a, phần ảo b

Chọn đáp án A

Câu 77 Điểm M(−1; 3)là điểm biểu diễn số phức

A z=−1 + 3i B z= C z= 1−3i D z= 2i

-Lời giải

Số phứcz=a+bi(a, b∈R) biểu diễn điểm M(a;b) Do điểmM(−1; 3)biểu diễn cho số phức

z=−1 + 3i

Chọn đáp án A

Câu 78 Phần ảo số phức liên hợp z= 4i−7

A −4 B −7 C D

-Lời giải

Ta cóz=−7−4i Vậy phần ảo củaz là−4

Chọn đáp án A

Câu 79 Mô-đun số phức z=−4 + 3ilà

A −1 B C D 25

-Lời giải

Ta có|z|=√42+ 32 = 5.

Chọn đáp án C

Câu 80 Tìm số phức liên hợp số phức z= + 3i

A z=−1 + 3i B z= 1−3i C z= 3−i D z=−1−3i

-Lời giải

Ta cóz= 1−3i

Chọn đáp án B

Câu 81 Mô-đun số phức z=bi,b∈Rlà

A b B b2 C |b| D √b

-Lời giải

Ta có|z|=|bi|=|b| · |i|=|b|

Chọn đáp án C

Câu 82

Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz= + 4i? A ĐiểmD B Điểm C C ĐiểmA D Điểm B

x y

O

A B

D C

−4 3

−3

−4 -Lời giải

Số phứcz= + 4icó điểm biểu diễn làA(3; 4)

Chọn đáp án C

Câu 83 Điểm M biểu diễn số phứcz= 2−itrên mặt phẳng tọa độ Oxy

A M = (1;−2) B M = (2;−1) C M = (−2; 1) D M = (2; 1)

-Lời giải

Số phứcz= 2−icó điểm biểu diễn làM = (2;−1)

Chọn đáp án B

(36)

Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz=−2 +i A N B P C M D Q

x y

−2 −1

−1

P Q

M N

-Lời giải

Số phứcz=−2 +icó phần thực−2, phần ảo1 nên có điểm biểu diễn tọa độ (−2; 1)chính làP

Chọn đáp án B

Câu 85

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phứcz Số phức zlà

A 2−i B +i C + 2i D 1−2i

O

2

x

−1

y

M

-Lời giải

Từ hình vẽ suy tọa độ điểmM làM(2;−1)nên z= 2−i Vậy z= +i

Chọn đáp án B

Câu 86

Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz= +i? A D B B C C D A

O

x

−2 −1

y

−1

A D

C B

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz=a+bilàI(a;b) Vậy đáp án D(2; 1)

Chọn đáp án A

Câu 87 Điểm sau điểm biểu diễn số phức z=−3 + 4i?

A M(3; 4) B M(−3; 4) C M(3;−4) D M(−3;−4)

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz=−3 + 4ilà điểm có tọa độ(−3; 4)

Chọn đáp án B

Câu 88 Số phức −3 + 7icó phần ảo

A B −7 C −3 D

-Lời giải

Số phức−3 + 7icó phần ảo bằng7

Chọn đáp án D

Câu 89 Số phức có phần thực phần ảo bằng4

A + 4i B 4−3i C 3−4i D + 3i

-Lời giải

Số phức có phần thực 3và phần ảo bằng4 làz= + 4i

Chọn đáp án A

Câu 90 Số phức + 6icó phần thực

A −5 B C −6 D

-Lời giải

Số phức5 + 6icó phần thực bằng5

(37)

Câu 91 Số phức có phần thực phần ảo bằng3

A −1−3i B 1−3i C −1 + 3i D + 3i

-Lời giải

Số phức có phần thực 1và phần ảo bằng3 là1 + 3i

Chọn đáp án D

Câu 92 Tìm số thựcx,y thỏa mãn(2x+ 5y) + (4x+ 3y)i= + 2i A x=

14 vày=−

7 B x=

8

7 vày=− 14 C x=−

14 y=

7 D x=−

5

14 vày=−

-Lời giải

Ta có(2x+ 5y) + (4x+ 3y)i= + 2i⇔ ®

2x+ 5y= 4x+ 3y= ⇔

  

 

x=− 14 y=

7

Chọn đáp án C

Câu 93

ĐiểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức đây? A z=−2 + 3i B z= + 2i C z= 2−3i D z= 3−2i

x y

O

−1

−2 −1

M

-Lời giải

Vì điểmM(3;−2)nên điểm biểu diễn số phức z= 3−2i

Chọn đáp án D

Câu 94 Tìm phần thực avà phần ảob số phứcz=√5−2i

A a=−2, b=√5 B a=√5, b= C a=√5, b=−2 D a=√5, b=−2i

-Lời giải

Số phứcz=√5−2icó phần thựca=√5 phần ảob=−2

Chọn đáp án C

Câu 95 Số phức liên hợp số phức z= 2−3i

A z=−2−3i B z=−2 + 3i C z= 3−2i D z= + 3i

-Lời giải

Ta cóz= + 3i

Chọn đáp án D

Câu 96

ĐiểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz Tính tổng phần thực phần ảo số phứcz

A −1 B 3i C D +i

O

x y

−1

M

-Lời giải

Dựa vào hình vẽ ta có tọa độ củaM là(2; 1) Do đó, số phức z= +i Vậy tổng phần thực phần ảo là2 + =

(38)

Câu 97

ĐiểmM hình vẽ bên biểu diễn cho số phức

A z= 3−4i B z=−4−3i C z= + 4i D z=−4 + 3i

x

y O

3

-4 M

-Lời giải

ĐiểmM(3;−4)biểu diễn cho số phức z= 3−4i

Chọn đáp án A

Câu 98 Cho số phức z= + 7i Số phức liên hợp zcó điểm biểu diễn

A (6; 7) B (6;−7) C (−6; 7) D (−6;−7)

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz= + 7ilàz= 6−7i Điểm biểu diễn củaz có tọa độ là(6;−7)

Chọn đáp án B

Câu 99

Cho4điểmA,B,C,Dtrên hình vẽ biểu diễn4số phức khác Chọn mệnh đềsai

A B điểm biểu diễn số phức z= 1−2i B Dlà điểm biểu diễn số phứcz=−1−2i C C điểm biểu diễn số phứcz=−1−2i D Alà điểm biểu diễn số phức z=−2 +i

y

x O

1

−1

−2

A

D

C B

-Lời giải

Dlà điểm biểu diễn số phứcz=−2−i

Chọn đáp án B

Câu 100 Cho số phứcz= + 2i Mô-đun củaz

A B √5 C D

-Lời giải

|z|=√12+ 22 =√5.

Chọn đáp án B

Câu 101

Trong mặt phẳng tọa độOxy cho điểmM có tọa độ hình bên Xác định số phứcz có điểm biểu diễn điểmM

A z= + 2i B z=−2 + 3i C z= + 3i D z= 3−2i x

y

O

−2

3

M

-Lời giải

Số phứcz có điểm biểu diễn điểmM(3;−2)⇒z= 3−2i

Chọn đáp án D

Câu 102 Cho số phứcz= 4−3i Tìm mơ-đun số phứcz

A |z|= B |z|= 25 C |z|=√7 D |z|=

-Lời giải

Ta có|z|=p42+ (−3)2 = 5.

Chọn đáp án A

Câu 103 Cho số phứcz= 1−2i Khẳng định sau khẳng địnhđúng?

A Phần thực số phứcz là1 B Phần ảo số phức z là−2i C Phần ảo số phức z là2 D Số phứcz số ảo

(39)

Số phứcz= 1−2icó phần thực là1, phần ảo là−2 khơng phải số ảo

Chọn đáp án A

Câu 104 ĐiểmM hình vẽ bên biểu diễn số phức

A z= + 3i B z= 3−2i C z= 2−3i D z= + 2i

O x

y

2 M

-Lời giải

Số phứcz=a+bicó điểm biểu diễn làM(a;b)

Chọn đáp án A

Câu 105 Điểm điểm sau điểm biểu diễn hình học số phứcz=−5 + 4itrong mặt phẳng tọa độOxy

A C(5;−4) B B(4;−5) C A(−5; 4) D D(4; 5)

-Lời giải

Điểm biểu diễn hình học số phúcz =a+bivới a,b∈R làM(a;b) Vậy điểm biểu diễn hình học

số phứcz=−5 + 4ilàA(−5; 4)

Chọn đáp án C

Câu 106 Tìm mơ-đun số phứcz= 4−3i

A |z|= B |z|= C |z|= D |z|=√7

-Lời giải

Ta có|z|=p42+ (−3)2 = 5.

Chọn đáp án C

Câu 107 Cho số phứcz= + 2i Điểm biểu diễn số phức liên hợp củazlà điểm sau đây? A M(1; 2) B N(1;−2) C P(−1;−2) D Q(2;−1)

-Lời giải

Ta cóz= 1−2i Do điểm biểu diễn số phức z làN(1;−2)

Chọn đáp án B

Câu 108

ĐiểmM hình vẽ bên biểu diễn số phức

−2 −1 x

y

−1

3 M

A z= + 2i B z= 3−2i C z= 2−3i D z= + 3i

-Lời giải

Trục thực (trục Ox) số 2, trục ảo (trụcOy) số Vậy đáp án làz= + 3i

Chọn đáp án D

Câu 109 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R) Khẳng định sau đâysai?

A z=a−bi B z2 số thực C |z|=√a2+b2. D. z·z là số thực. -Lời giải

Xétz= + 2i∈C, ta có z2 =z·z= (1 + 2i)(1 + 2i) =−3 + 4i /∈R Vậy khẳng định “z2 số thực” sai

Chọn đáp án B

Câu 110 Tính mơ-đun số phứcz= + 4i

(40)

-Lời giải

Ta cóz= + 4i⇒ |z|=√32+ 42= 5.

Chọn đáp án D

Câu 111

ĐiểmM hình vẽ bên biểu diễn số phứcz Số phứcz¯bằng

A + 3i B 2−3i C + 2i D 3−2i

O x

y

2

3 M

-Lời giải

Ta cóM(2; 3) điểm biểu diễn số phứcz= + 3i Suy raz¯= 2−3i

Chọn đáp án B

Câu 112 Phần ảo số phức z=−3 + 2ilà

A −2 B C D −3

-Lời giải

Phần ảo số phức z=−3 + 2ilà2

Chọn đáp án C

Câu 113

Trong hình vẽ bên điểmM biểu diễn số phức z Số phức z

A +i B + 2i C 1−2i D 2−i

O

x y

2

1 M

-Lời giải

ĐiểmM có tọa độ (2; 1) nên điểm biểu diễn số phứcz= +i

Chọn đáp án A

Câu 114 Số phức liên hợp số phứcz= 2−3ilà

A z=−2−3i B z=−2 + 3i C z= 3−2i D z= + 3i

-Lời giải

Chọn đáp án D

Câu 115 Số phức liên hợp củaz= 1−2ilà

A z¯= + 2i B z¯=−1−2i C z¯= 2−i D z¯=−1 + 2i

-Lời giải

Số phứcz¯= + 2ilà số phức liên hợp củaz= 1−2i

Chọn đáp án A

Câu 116 Cho số phứcz= +i Tính|z|

A |z|= B |z|=√10 C |z|= 2√2 D |z|=

-Lời giải

Doz= +inên z= 3−i Vậy|z|=p32+ (−1)2 =√10.

Chọn đáp án B

Câu 117 Số phức zthỏa mãn z= 1−2i biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm sau? A Q(−1;−2) B M(1; 2) C P(−1; 2) D N(1;−2)

-Lời giải

Ta cóz= 1−2i⇒z= + 2i Khi số phứcz biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểmM(1; 2)

(41)

Câu 118 Cho số phức z = 1−2i, điểm M biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ

A M(2; 1) B M(1; 2) C M(1;−2) D M(−1; 2)

-Lời giải

Ta cóz= 1−2i⇒z= + 2i⇒M(1; 2)

Chọn đáp án B

Câu 119 Cho số phứcz=−3 + 4i GọiM điểm biểu diễn số phức z Tung độ điểmM

A B −4 C D −6

-Lời giải

z=−3 + 4i⇒z=−3−4i Điểm biểu diễn số phứcz điểmM(−3;−4)nên tung độ điểm M bằng−4

Chọn đáp án B

Câu 120 Tìm phần thực phần ảo số phức z=−πi+

A Phần thực 1và phần ảo là−π B Phần thực −π phần ảo là1 C Phần thực 1và phần ảo là−πi D Phần thực là−πivà phần ảo là1

-Lời giải

Số phứcz có phần thực 1và phần ảo là−π

Chọn đáp án A

Câu 121 Mệnh đề sau sai? A Số phứcz= 2018ilà số ảo B Số0 số ảo

C Số phứcz= 5−3icó phần thực bằng5, phần ảo −3 D Điểm M(−1; 2)là điểm biểu diễn số phứcz=−1 + 2i

-Lời giải

Số 0vừa số thực, vừa số ảo

Chọn đáp án B

Câu 122 Tìm số phức liên hợp số phứcz= + 2i

A z= 3−2i B z=−2−3i C z= 2−3i D z=−3−2i

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz làz= 3−2i

Chọn đáp án A

Câu 123 Cho số phứcz có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ làA(3;−4) Tính|z|

A 25 B √5 C 10 D

-Lời giải

Theo đề suy raz= 3−4i Từ |z|=p32+ (−4)2 = 5.

Chọn đáp án D

Câu 124 Trong mặt phẳng phứcOxy, điểmA(−2; 1)là điểm biểu diễn số phức sau đây? A z= 2−i B z=−2 +i C z= +i D z=−2−i

-Lời giải

ĐiểmA(−2; 1)là điểm biểu diễn số phứcz=−2 +i

Chọn đáp án B

Câu 125 Cho số phứcz= 3−2i Tìm phần thực phần ảo củaz

A Phần thực 2, phần ảo −2i B Phần thực 3, phần ảo −2 C Phần thực 3, phần ảo 2i D Phần thực là3, phần ảo

-Lời giải

Ta cóz= + 2i, vậyz có phần thực là3, phần ảo

Chọn đáp án D

Câu 126 Tìm phần ảo số phứcz= + 2i

A B C i D 2i

-Lời giải

Phần ảo số phức z= + 2ilà2

(42)

Câu 127 Cho số phứcz=−2 + 3i Tìm phần ảo số phức z

A −3 B C −3i D 3i

-Lời giải

Ta cóz=−2 + 3i=−2−3i Phần ảo cần tìm −3

Chọn đáp án A

Câu 128 Khẳng định sau làsai?

A Với số phức z,|z|là số thực không âm B Với số phức z,|z|là số phức

C Với số phức z,|z|là số thực dương D Với số phức z,|z|là số thực

-Lời giải

Với số phứcz thì|z|là số thực không âm nên |z|là số thực hay|z|là số phức

Chọn đáp án C

Câu 129

ĐiểmM hình vẽ bên biểu diễn số phức z Mệnh đề sau đúng?

A 2z=−4 +i B 2z=−4 + 2i C 2z= 4−2i D 2z= 2−4i

x y

O

M

−2 -Lời giải

Theo hình vẽ, ta cóz=−2 +i⇒2z=−4 + 2i

Chọn đáp án B

Câu 130 Cho số phứcz= + 4i Tính hiệu phần thực phần ảo củaz

A B 2√5 C −2 D

-Lời giải

z= + 4i⇒ ®

Phần thực bằng2 Phần ảo

⇒ Hiệu phần thực phần ảo là2−4 =−2

Chọn đáp án C

Câu 131 Cho số phứcz= + 3i Số phức liên hợp củaz

A z= 2−3i B z=−2−3i C z=−2 + 3i D z= + 2i

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz= + 3ilàz= 2−3i

Chọn đáp án A

Câu 132 Cho số phứcz= 3−4i Mô-đun củaz

A 25 B C −1 D

-Lời giải

z= 3−4i⇒ |z|=p33+ (−4)2 = 5.

Chọn đáp án D

Câu 133 Cho số phứcz=−3 + 7i Phần ảo số phức z là?

A 7i B C D −3

-Lời giải

Phần ảo số phức z=−3 + 7ilà7

Chọn đáp án C

Câu 134 Trong mặt phẳng toạ độ, điểm M(−3; 2)là điểm biểu diễn số phức đây? A z= + 2i B z=−3 + 2i C z=−3−2i D z= 3−2i

-Lời giải

M(−3; 2)được biểu diễn số phứcz=−3 + 2i

(43)

Câu 135 Cho số phứcz= + 2i Tìm phần thực phần ảo số phứcz

A Phần thực bằng3 phần ảo bằng−2 B Phần thực 3và phần ảo bằng−2i C Phần thực bằng3 phần ảo bằng2 D Phần thực bằng−3 phần ảo bằng−2

-Lời giải

z= + 2i⇒z= 3−2i

Vậy phần thực zbằng3 phần ảo bằng−2

Chọn đáp án A

Câu 136

Trong điểm hình bên, điểm điểm biểu diễn cho số phứcz= 3−2i? A P B M C Q D N

x

−2

y

O

M

N Q

P

3

−2 −3

-Lời giải

ĐiểmN điểm biểu diễn cho số phứcz= 3−2i

Chọn đáp án D

Câu 137 ĐiểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức A z=−3 + 2i B z= + 2i

C z=−3−2i D z= 3−2i

O

x y

−3

−2 M

-Lời giải

ĐiểmM hình vẽ điểm biểu diễn số phứcz=−3−2i

Chọn đáp án C

Câu 138 Phần thực số phứcz= 1−2ilà

A −2 B −1 C D

-Lời giải

Số phứcz= 1−2icó phần thực là1

Chọn đáp án C

Câu 139 Cho số phứcz= 11 +i Điểm biểu diễn số phức liên hợp củazlà điểm đây? A Q(−11; 0) B M(11; 1) C P(11; 0) D N(11;−1)

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz làz= 11−inên có điểm biểu diễn N(11;−1)

Chọn đáp án D

Câu 140

Trong mặt phẳngOxy, điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Số phức z¯là

A −2 +i B 1−2i C −2−i D + 2i

O x

y

−2

1 M

-Lời giải

Ta cóM(−2; 1)nên điểm M điểm biểu diễn số phứcz=−2 +i Do z¯=−2−i

(44)

Câu 141 Kí hiệua, blần lượt phần thực phần ảo số phức z=−4−3i Tìm a, b A a=−4, b= B a=−4, b=−3i C a=−4, b=−3 D a= 4, b=

-Lời giải

Số phứcz=−4−3icó phần thực làa=−4, phần ảo b=−3

Chọn đáp án C

Câu 142 Cho số phứczcó số phức liên hợpz= 3−2i Tổng phần thực phần ảo số phứczbằng

A B −5 C D −1

-Lời giải

Ta cóz= + 2i Vậy tổng phần thực phần ảo số phứcz là3 + =

Chọn đáp án C

Câu 143 Số phức z= 15−3icó phần ảo

A 15 B C −3 D 3i

-Lời giải

Phần ảo −3

Chọn đáp án C

Câu 144 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm tọa độ điểm M biểu diễn cho số phức z= + 5i A M(3;−5) B M(−3;−5) C M(3; 5) D M(5; 3)

-Lời giải

Số phứcz=a+bicó điểm biểu diễn làM(a;b) Vậy suy điểmM có tọa độ là(3; 5)

Chọn đáp án C

Câu 145 ĐiểmM hình vẽ bên biểu diễn số phức có phần thực A B C √5 D

x y

O

1 M

-Lời giải

ĐiểmM biểu diễn số phứcz= +i Do đó, phần thực z là2

Chọn đáp án B

Câu 146 Tìm tọa độ điểmM điểm biểu diễn số phứcz= 3−4i

A M(3; 4) B M(−3;−4) C M(3;−4) D M(−3; 4)

-Lời giải

Ta có số phứcz= 3−4icó điểm biểu diễn làM(3;−4)

Chọn đáp án C

Câu 147

Cho số phứcz có biểu diễn hình học điểmM hình vẽ bên Khẳng định sau đúng?

A z= + 2i B z=−2−3i C z= 3−2i D z=−2 + 3i

O x

y

−1

−2 −1

M

-Lời giải

ĐiểmM(3;−2)biểu diễn số phứcz= 3−2i

Chọn đáp án C

(45)

Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn cho số phức số phức liệt kê đây?

A z= 4−2i B z= + 4i C z= + 2i D z= 2−4i

x y

O

M

2

-Lời giải

Ta có tọa độ M(2; 4), suy số phức biểu diễn bởiM làz= + 4i

Chọn đáp án B

Câu 149 Cho số phứcz= + 3i GọiM điểm biểu diễn số phức liên hợpz Tọa độ điểmM A M(−1;−3) B M(1; 3) C M(1;−3) D M(−1; 3)

-Lời giải

Số phức liên hợpz= 1−3inên M(1;−3)

Chọn đáp án C

Câu 150 Tìm phần thực phần ảo số phức z= + 2i

A Phần thực bằng−3 phần ảo bằng−2i B Phần thực −3 phần ảo bằng−2 C Phần thực bằng3 phần ảo bằng2i D Phần thực bằng3và phần ảo bằng2

-Lời giải

Theo định nghĩa số phứcz= + 2i có phần thực phần ảo tương ứng là3 và2

Chọn đáp án D

Câu 151 Tìm tọa độ điểm biểu diễn hình học số phứcz= 8−9i

A (8; 9) B (8;−9) C (−9; 8) D (8;−9i)

-Lời giải

Tọa độ điểm biểu diễn số phức z= 8−9ilà (8;−9)

Chọn đáp án B

Câu 152

ĐiểmM hình vẽ bên biểu diễn số phứcz Số phứcz

A + 3i B + 2i

C 2−3i D 3−2i

x y

2 M

0 -Lời giải

Từ hình vẽ, ta thấy điểmM biểu diễn số phức2 + 3i, từ giả thiết suy z= + 3i Vậy, z= 2−3i

Chọn đáp án C

Câu 153 Tìm phần thực số phức z= 1−2i

A −2 B −1 C D

-Lời giải

Phần thực số phứcz= 1−2ilà1

Chọn đáp án C

Câu 154 Số phức z= 2−3icó số phức liên hợp

A 3−2i B + 3i C −2 + 3i D + 2i

-Lời giải

z= 2−3i= + 3i

Chọn đáp án B

(46)

-Lời giải

Một số phứcz=a+bithìalà phần thực, b phần ảo vàilà đơn vị ảo

Chọn đáp án B

A z¯=−6 + 4i B z¯= + 6i C z¯= + 4i D z¯=−6−4i

-Lời giải

Số phức liên hợp số phức6−4ilà6 + 4i

Chọn đáp án C

Câu 157 Mô-đun số phứcz= 3−2ibằng

A B 13 C √13 D

-Lời giải

Số phứcz= 3−2icó mơ-đun là|z|=p32+ (−2)2=√13.

Chọn đáp án C

Câu 158 Tìm phần thực phần ảo số phức liên hợp số phứcz= +i

A Phần thực 1, phần ảo −1 B Phần thực 1, phần ảo −i C Phần thực 1, phần ảo D Phần thực là1, phần ảo i

-Lời giải

¯

z= 1−i, phần thực bằng1, phần ảo −1

Chọn đáp án A

Câu 159 Mô-đun số phứcw=a+ 2ivới a∈Rbằng bao nhiêu?

A |w|=√a+ B |w|=√a2−4. C. |w|=√a2+ 4. D. |w|=a2+ 4. -Lời giải

Số phứcw=a+ 2icó mơ-đun là|w|=√a2+ 4.

Chọn đáp án C

Câu 160 Tìm phần thực phần ảo số phức z= 1−3i

A và−3i B và−3 C −3và D 1và

-Lời giải

Phần thực phần ảo là−3

Chọn đáp án B

Câu 161 Cho số phứcz= 2−i Mệnh đề đúng?

A Phần thực B Phần thực bằng−1 C Phần thực bằng1 D Phần ảo

-Lời giải

Số phứcz= 2−icó phần thực bằng2 phần ảo bằng−1

Chọn đáp án A

Câu 162 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tọa độ điểm M biểu diễn số phứcz= 4−i

A M(4; 1) B M(−4; 1) C M(4;−1) D M(−4;−1)

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz= 4−i làM(4;−1)

Chọn đáp án C

Câu 163 Cho số phứcz= 2−3i Số phức liên hợpz số phứcz

A z=−3 + 2i B z= + 3i C z=−2 + 3i D z=−2−3i

-Lời giải

z= 2−3i⇒z= + 3i

Chọn đáp án B

Câu 164 Điểm biểu diễn số phứcz= 2−3itrên mặt phẳngOxy điểm sau đây? A (−2; 3) B (−3; 2) C (2; 3) D (2;−3)

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz= 2−3itrong mặt phẳngOxy (2;−3)

Chọn đáp án D

Câu 165 Cho số phức zcó điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ Oxy điểm M(−1; 5) Tính mơ-đun củaz

(47)

-Lời giải

ĐiểmM(−1; 5)biểu diễn số phứcz=−1 + 5i Vậy mô-đun củaz là|z|=√26

Chọn đáp án A

Câu 166 Tổng phần thực phần ảo số phức z= 3−ilà

A B −1 C −2 D

-Lời giải

Ta có phần thực củaz bằng3và phần ảo củaz bằng−1 Do tổng phần thực phần ảo

Chọn đáp án A

Câu 167 ĐiểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Tìm phần thực phần ảo số phứcz

A Phần thực là−4 phần ảo là3 B Phần thực là3 phần ảo là−4i C Phần thực phần ảo là−4 D Phần thực −4 phần ảo là3i

M

O x

y

3

4

-Lời giải

Dựa vào hình vẽ ta số phứcz= 3−4i Vậy số phức z có phần thực là3 phần ảo là−4

Chọn đáp án C

Câu 168 Cho số phứcz= 4−3i Điểm biểu diễn củaz mặt phẳng phức

A M(4; 3) B M(−4; 3) C M(4;−3) D M(−3; 4)

-Lời giải

Điểm biểu diễn củaz mặt phẳng phức làM(4;−3)

Chọn đáp án C

Câu 169 Gọia, blần lượt phần thực phần ảo số phứcz=−3 + 2i Giá trị củaa+ 2bbằng

A B −1 C −4 D −7

-Lời giải

Ta cóa=−3, b= nên a+ 2b=

Chọn đáp án A

Câu 170 Số phức zthỏa mãn z=−3−2ilà

A z= + 2i B z=−3−2i C z=−3 + 2i D z= 3−2i

-Lời giải

Dễ thấy ngayz=z=−3−2i=−3 + 2i

Chọn đáp án C

Câu 171 Mô-đun số phứcz= + 4ibằng

A B C D √7

-Lời giải

Ta có|z|=√32+ 42 = 5.

Chọn đáp án C

Câu 172 Điểm biểu diễn số phức z = +bi với b ∈ R nằm đường thẳng có phương trình

A y =x+ B y= C x= D y=x

-Lời giải

Các điểm biểu diễn số phứcz= +bi, b∈Rcó tọa độ Mb = (7;b), b∈R Tập hợp điểmMb

đường thẳngx=

Chọn đáp án C

(48)

A z= 3−

2i B z= +

2i C z= 2−i D z= +i

-Lời giải

Glà trọng tâm tam giác ABC suy raG

Å4 + + 1 ;

0 + + (−1)

ã

= (2; 1) VậyG điểm biểu diễn số phứcz= +i

Chọn đáp án D

Câu 174 Cho số phứcz1= 3i,z2 =−1−3ivà z3 =m−2i Tập giá trị tham sốm để số phứcz3

có mô-đun nhỏ trong3 số phức cho

A ỵ−√5;√5ó B Ä−√5;√5ä

C {−√5;√5} D Ä−∞;−√5ä∪Ä√5; +∞ä

-Lời giải

Ta có ®

|z3|<|z1|

|z3|<|z2|

⇔ ®

m2+ 4<9 m2+ 4<10 ⇔m

2 <5⇔ −√5< m <√5.

Chọn đáp án B

Câu 175 Cho số phứcz= 3−5i Gọia, blần lượt phần thực phần ảo củaz TínhS=a+b A S =−8 B S = C S = D S=−2

-Lời giải

Ta cóa= 3, b=−5⇒S=a+b=−2

Chọn đáp án D

Câu 176 Cho số phứcz= 7−5i Tìm phần thựcacủaz

A a=−7 B a= C a=−5 D a=

-Lời giải

Số phứcz=a+bivới a,b∈R có phần thực làanên số phứcz= 7−5icó phần thực là7

Chọn đáp án D

Câu 177 Tính mơ-đun số phứcz= 4−3i

A |z|= B |z|=√7 C |z|= D |z|= 25

-Lời giải

Ta có|z|=p42+ (−3)2 = 5.

Chọn đáp án C

Câu 178 Tìm số phứcz có điểm biểu diễn là(−2; 9)

A z=−2i+ 9i B z=−2i+ C z=−2x+ 9yi D z=−2 + 9i

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz=a+bilà(a;b), vớia, b số thực

Chọn đáp án D

Câu 179 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z+ 2−5i|= đường trịn có tâmI bán kínhR

A I(−2; 5) vàR= 36 B I(−2; 5)và R= C I(2;−5)vàR = 36 D I(2;−5)vàR=

-Lời giải

Gọiz=x+iy (x, y∈R) Ta có|z+ 2−5i|= 6⇔(x+ 2)2+ (y−5)2= 36

Suy tập hợp điểm biểu diễnz đường trịn có tâmI(−2; 5) bán kínhR=

Chọn đáp án B

Câu 180 Số phức liên hợp số phứcz= 7i+ 2là

A z= 7i−2 B z= 2−7i C z=−2−7i D z= + 7i

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz=a+bilàz=a−bivới (a, b∈R)

Chọn đáp án B

Câu 181 Mô-đun số phứcz=a−2ilà

A |z|=√a2+ 4. B. |z|=√a2−4. C. |z|=z+ 2. D. |z|=√a+ 2. -Lời giải

(49)

Chọn đáp án A Câu 182 Tìm phần thực phần ảo số phức z= 5−4i

A Phần thực 5, phần ảo 4i B Phần thực 5, phần ảo −4i C Phần thực 5, phần ảo −4 D Phần thực là5, phần ảo

-Lời giải

Số phứcz=a+bi(a, b∈R) có phần thực làavà phần ảo làb

Chọn đáp án C

Câu 183 Cho số phứcz=−4−6i GọiM điểm biểu diễn số phức z Tung độ điểmM

A B −6 C D −4

-Lời giải

Cóz=−4−6i⇒z=−4 + 6i, suy điểm biểu diễn z làM(−4; 6)

Chọn đáp án C

Câu 184 Cho số phứcz= 7−i√5 Phần thực phần ảo số phức zlần lượt

A và√5 B −7 và√5 C vài√5 D 7và −√5

-Lời giải

Cóz= +i√5, có phần thực là7, phần ảo √5

Chọn đáp án A

Câu 185 Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

A Số phứcz=a+bi,a,b∈Rđược gọi số ảo (hay số ảo) khia= B Sối gọi đơn vị ảo

C Mỗi số thực ađược coi số phức với phần ảo D Số0 số ảo

-Lời giải

Số 0vừa số thực, vừa số ảo

Chọn đáp án D

Câu 186 Phần thực số phứcz= + 2ibằng

A √13 B C D

-Lời giải

Phần thực số phức3 + 2i là3

Chọn đáp án C

Câu 187 Số phức sau số ảo?

A z= 3i B z=√3 +i C z=−2 + 3i D z=−2

-Lời giải

Vìz= 3icó phần thực 0và phần ảo bằng36= nên z= 3ilà số ảo

Chọn đáp án A

Câu 188 Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm A(−3; 5), B(2; 4) Trung điểm M đoạn AB điểm biểu diễn số phức sau đây?

A z=−1 +

9

2i B z= −

1

2i C z= 9−i D z=−1 + 9i

-Lời giải

Tọa độ điểmM Å

−1 2;

9 ã

Suy ra, điểm M biểu diễn số phứcz=−1 +

9 2i

Chọn đáp án A

Câu 189 Số phức z= 12−3icó phần thực phần ảo

A −12 B 12 C −3và 12 D 12 −3

-Lời giải

Số phứcz= 12−3icó phần thực 12và phần ảo −3

Chọn đáp án D

Câu 190 Trong mặt phẳngOxy, số phứcz= 2i−1 biểu diễn điểmM có tọa độ A (1;−2) B (2; 1) C (2;−1) D (−1; 2)

-Lời giải

Số phứcz=−1 + 2icó điểm biểu diễn M(−1; 2)

(50)

Câu 191 Tìm số phức liên hợp số phứcz= + 2i

A z= 3−2i B z=−3−2i C z= 2−3i D z=−2−3i

-Lời giải

Ta có số phức liên hợp số phức z= + 2ilàz= 3−2i

Chọn đáp án A

Câu 192 Trong mặt phẳng tọa độOxy, điểm M(3;−2)là điểm biểu diễn cho số phức sau đây? A z= 2−3i B z= + 3i C z= 3−2i D z=−3 + 2i

-Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độOxy, điểmM(3;−2)là điểm biểu diễn cho số phức z= 3−2i

Chọn đáp án C

Câu 193 Cho số phứcz= 3−2i Tìm phần thực phần ảo củaz

A Phần thực bằng3 phần ảo bằng2 B Phần thực −3 phần ảo bằng−2 C Phần thực bằng3 phần ảo bằng−2 D Phần thực bằng3và phần ảo bằng−2i

-Lời giải

Ta cóz= 3−2i⇒z= + 2i

Từ suy phần thực zbằng3, phần ảo củaz bằng2

Chọn đáp án A

Câu 194

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phứcz Số phức zlà

A 2−i B + 2i C 1−2i D +i

O x

1 y

M

-Lời giải

Từ hình vẽ suy raM(2; 1)nên z= +i Vậy z= 2−i

Chọn đáp án A

Câu 195 Mô-đun số phứcz=√7−3i

A |z|= B |z|= 10 C |z|= 16 D |z|=

-Lời giải

Ta cóz=√7−3i⇒ |z|= »

(√7)2+ (−3)2 = 4.

Chọn đáp án D

Câu 196 Cho số phứcz= 3−5i Khi phần ảo số phứcz

A −5 B C −3 D

-Lời giải

Ta cóz= + 5i⇒ phần ảo số phức z là5

Chọn đáp án B

Câu 197 Cho số phứcz= + 2i Tính|z|

A |z|=√5 B |z|=√13 C |z|= D |z|= 13

-Lời giải

Ta có|z|=√32+ 22 =√13.

Chọn đáp án B

Câu 198 Tính mơ-đun số phứcz, biết rằngz vừa số thực vừa số ảo

A |z|= B |z|=

C |z|=√a2+b2,∀a, b∈R. D. |z|=i. -Lời giải

Doz vừa số thực vừa số ảo nênz= Vậy|z|=|0|=

Chọn đáp án B

Câu 199 Điểm sau biểu diễn số phứcz= 2−3i?

A M(2;−3) B M(−2;−3) C M(−2; 3) D M(2; 3)

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz= 2−3ilàM(2;−3)

(51)

Câu 200 Tìm số phức liên hợp của sốz= +i

A z= 5−i B z=−5−i C z= +i D z=−5 +i

-Lời giải

Số phức liên hợp của sốa+bilàa−bi Do đóz= 5−i

Chọn đáp án A

Câu 201 Cho số phứcz thỏa mãn (1 + 2i)z= 4−3i+ 2z Số phức liên hợp số phức z A z¯= +i B z¯=−2 +i C z¯=−2−i D z¯= 2−i

-Lời giải

Đặtz=a+bi

Ta có:(1 + 2i)z= 4−3i+ 2z⇔(−1 + 2i)z= 4−3i⇔z=−2−i Vậyz¯=−2 +i

Chọn đáp án B

Câu 202 Cho số phứcz=−3−2i Tổng phần thực phần ảo số phức z

A −1 B −i C −5 D −5i

-Lời giải

Số phứcz=−3−2i có phần thực −3, phần ảo −2 Tổng phần thực phần ảo số phứcz là−5

Chọn đáp án C

Câu 203 Cho số phứcz=a+bi, (a, b∈R) Tính mơ-đun số phứcz.¯

A |¯z|=a2+b2 B |¯z|=√a2+b2. C. |¯z|=√a2−b2. D. |¯z|=√a+b. -Lời giải

|¯z|=√a2+b2.

Chọn đáp án B

Câu 204

ĐiểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Tìm phần thực phần ảo số phức

x y

−2

M O

A Phần thực 1và phần ảo là−2i B Phần thực −2và phần ảo là1 C Phần thực −2 phần ảo lài D Phần thực là1 phần ảo là−2

-Lời giải

Số phứcz có phần thực 1và phần ảo là−2

Chọn đáp án D

A B C 3i D −3

-Lời giải

Chọn đáp án D

Câu 206 Điểm biểu diễn số phứcz= 2−3i A

Å 13;

3 13

ã

B (4;−1) C (2;−3) D (3;−2)

-Lời giải

Ta cóz= 2−3i =

2 + 3i

(2−3i)(2 + 3i) = + 3i

13 = 13+

3

13i Suy điểm biểu diễn số phứcz= 13 +

3 13i

Å 13;

3 13

ã

(52)

Câu 207 Cho số phứcz= +i.Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức liên hợp số phức z A (−2;−1) B (−2; 1) C (2; 1) D (2;−1)

-Lời giải

Dễ thấyz¯= 2−i,điểm biểu diễn tương ứng có tọa độ là(2;−1)

Chọn đáp án D

Câu 208 Tìm phần ảo số phứcz= 3−2i

A Imz=−2i B Imz=−2 C Imz= D Imz=

-Lời giải

Dễ thấyImz=−2

Chọn đáp án B

Câu 209

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A, B hình vẽ bên Trung điểm đoạn thẳngAB biểu diễn số phức

A −1 + 2i B −1

2+ 2i C 2−i D 2− 2i

−2 O x

1

y

A

B

-Lời giải

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB Å−1

2 ; ã

Khi đóz=−1 2+ 2i

Chọn đáp án B

A + 2i B −1−2i C 2−i D −1 + 2i

-Lời giải

Ta cóz= + 2i

Chọn đáp án A

Câu 211 Cho số phứcz=a+bikhác 0,(a, b∈R) Tìm phần ảo số phứcz−1 A −b

a2+b2 B

b

a2+b2 C

a

a2+b2 D

−bi a2+b2 -Lời giải

Ta cóz−1 = a+bi =

a−bi a2+b2 =

a a2+b2 −

b a2+b2i

Phần ảo số phức z−1 là −b

a2+b2

Chọn đáp án A

Câu 212 Tìm số phức liên hợp số phứcz=−i

A i B −1 C D −i

-Lời giải

Số phức liên hợp số phức số phức có dạngz¯=a−bi

Chọn đáp án A

Câu 213 Phần ảo số phức z= + 2ibằng

A B 5i C D 2i

-Lời giải

Số phứcz=a+bicó phần ảo b nên số phứcz= + 2icó phần ảo

Chọn đáp án C

A −3 B −3i C D

-Lời giải

Phần ảo −3

(53)

A −12 B 18 C 12 D −12i

-Lời giải

Phần ảo số phức z= 8−12ilà −12

Chọn đáp án A

Câu 216 Cho số phứcz= 2018−2017i ĐiểmM biểu diễn số phức liên hợp z

A M(−2018; 2017) B M(2018;−2017) C M(−2018;−2017) D M(2018; 2017)

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz= 2018−2017ilàz= 2018 + 2017i Suy điểm biểu diễn củaz làM(2018; 2017)

Chọn đáp án D

A −3i B C −3 D 3i

-Lời giải

Phần thực củaz bằng2và phần ảo củaz bằng−3

Chọn đáp án C

Câu 218 Cho hai số phức z1 =−1 + 2i, z2 =−1−2i Giá trị biểu thức|z1|2+|z2|2

A √10 B 10 C −6 D

-Lời giải

Ta có|z1|=

»

(−1)2+ 22=√5;|z 2|=

»

(−1)2+ (−2)2=√5 |z1|2+|z2|2 =Ä√5ä2+Ä√5ä2= 10

Chọn đáp án B

Câu 219 Cho số phứcz=−3 + 4i GọiM điểm biểu diễn số phức z Tung độ điểmM

A B C −4 D −6

-Lời giải

z=−3−4inên tung độ điểm M là−4

Chọn đáp án C

Câu 220 Tìm phần thực phần ảo số phức z= 1−πi

A Phần thực 1và phần ảo là−π B Phần thực phần ảo làπ C Phần thực 1và phần ảo là−πi D Phần thực là−1và phần ảo là−π

-Lời giải

Theo định nghĩa số phức có dạngz=a+bivới a, b∈R có phần thực phần ảo tương ứng làa

vàb

Vậy số phứcz= 1−πicó phần thực là1 phần ảo là−π

Chọn đáp án A

A B −8i C D −8

-Lời giải

Theo sách giáo khoa ta thấyz có phần ảo là−8

Chọn đáp án D

Câu 222 Điểm biểu diễn số phức z = +bi với b ∈ R nằm đường thẳng có phương trình

A y = B x= C y=x+ D y=x

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phức z= +bivới b∈RlàM(7;b) Dễ thấy điểm M(7;b)nằm đường

thẳngx=

Chọn đáp án B

A z= + 2i B z= 3−2i C z= + 3i D z=−2 + 3i

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz= 2−3ilàz= + 3i

(54)

Câu 224 Cho mặt phẳngOxy, điểm sau biểu diễn số phức z= +i?

A M(2; 0) B N(2; 1) C P(2;−1) D Q(1; 2)

-Lời giải

Xétz= +i⇒N(2; 1)

Chọn đáp án B

Câu 225

Trên mặt phẳng tọa độ, số phứcz= 3−4iđược biểu diễn điểm điểm A,B,C,D?

A ĐiểmD B Điểm B C Điểm A D Điểm C

x y

O

A

D C

B

−3

−4

-Lời giải

Trên mặt phẳng tọa độ, số phức z= 3−4iđược biểu diễn điểm có tọa độ làD(3;−4)

Chọn đáp án A

Câu 226 Số phức z= 2−3icó điểm biểu diễn

A N(−3; 2) B P(3; 2) C M(2;−3) D Q(2; 3)

-Lời giải

Điểm biểu diễn số phứcz= 2−3ilàM(2;−3)

Chọn đáp án C

Câu 227 Trong mặt phẳng tọa độ, điểm A(4; 5) điểm biểu diễn số phức số sau? A z=−4 + 5i B z=−4−5i C z= 4−5i D z= + 5i

-Lời giải

Chọn đáp án D

Câu 228 Trong mặt phẳng tọa độOxy, điểm biểu diễn số phứcz= 2−3ilà điểm

A M(3; 2) B N(−3; 2) C P(2;−3) D Q(2; 3)

-Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độOxy, điểm biểu diễn số phứcz= 2−3ilàP(2;−3)

Chọn đáp án C

Câu 229 Mô-đun số phứcz= 8−6ibằng

A 14 B C 100 D 10

-Lời giải

Ta có|z|=√62+ 82 = 10.

Chọn đáp án D

Câu 230 Phần ảo số phức z= 1−ilà

A −1 B C i D −i

-Lời giải

Số phứcz= 1−icó phần ảo −1

Chọn đáp án A

Câu 231 Số phức z=a+bi(a, b∈R) số ảo

A a= 0;b6= B a6= 0;b= C a= D b=

-Lời giải

Theo định nghĩa sách giáo khoa

Chọn đáp án C

(55)

Số phứcz=a+bi(a, b∈R)có điểm biểu diễn hình vẽ bên Tìma,b A a=−4, b= B a= 3, b=−4

C a= 3, b= D a=−4, b=−3

x y

O

−4

M

-Lời giải

Từ hình vẽ suy raa= 3,b=−4

Chọn đáp án B

Câu 233

Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z = + 3i

A ĐiểmQ B Điểm P C ĐiểmM D ĐiểmN

O x

y

−3

P N

M

Q

-Lời giải

z= + 3i⇒ Điểm biểu diễn zcó tọa độ làM(1; 3)

Chọn đáp án C

Câu 234 Mô-đun số phứcz=−4 + 3ilà

A −1 B C D 25

-Lời giải

Mô-đun số phức

|z|=»(−4)2+ 32 = 5.

Chọn đáp án C

2 ĐÁP ÁN

1 D A C B C A A D B 10 B

11 C 12 A 13 C 14 D 15 A 16 A 17 A 18 A 19 C 20 C

21 B 22 C 23 D 24 A 25 A 26 B 27 B 28 C 29 A 30 C

31 A 32 A 33 B 34 C 35 D 36 A 37 A 38 A 39 B 40 C

41 A 42 A 43 A 44 D 45 A 46 B 47 A 48 A 49 A 50 C

51 B 52 A 53 A 54 D 55 D 56 D 57 C 58 B 59 C 60 B

61 B 62 C 63 A 64 C 65 A 66 C 67 C 68 B 69 A 70 A

71 A 72 A 73 A 74 C 75 C 76 A 77 A 78 A 79 C 80 B

81 C 82 C 83 B 84 B 85 B 86 A 87 B 88 D 89 A 90 B

91 D 92 C 93 D 94 C 95 D 96 C 97 A 98 B 99 B 100 B

101 D 102 A 103 A 104 A 105 C 106 C 107 B 108 D 109 B 110 D

111 B 112 C 113 A 114 D 115 A 116 B 117 B 118 B 119 B 120 A

121 B 122 A 123 D 124 B 125 D 126 A 127 A 128 C 129 B 130 C

131 A 132 D 133 C 134 B 135 A 136 D 137 C 138 C 139 D 140 C

141 C 142 C 143 C 144 C 145 B 146 C 147 C 148 B 149 C 150 D

151 B 152 C 153 C 154 B 155 B 156 C 157 C 158 A 159 C 160 B

(56)

171 C 172 C 173 D 174 B 175 D 176 D 177 C 178 D 179 B 180 B

181 A 182 C 183 C 184 A 185 D 186 C 187 A 188 A 189 D 190 D

191 A 192 C 193 A 194 A 195 D 196 B 197 B 198 B 199 A 200 A

201 B 202 C 203 B 204 D 205 D 206 A 207 D 208 B 209 B 210 A

211 A 212 A 213 C 214 A 215 A 216 D 217 C 218 B 219 C 220 A

221 D 222 B 223 C 224 B 225 A 226 C 227 D 228 C 229 D 230 A

231 C 232 B 233 C 234 C

3 THÔNG HIỂU

Câu Mô-đun số phứcz= 4−3ibằng

A B C D 25

-Lời giải

Ta có|z|=|4−3i|=p42+ (−3)2 = 5.

Chọn đáp án B

Câu Cho số phức z= 5−4i Số phức đối củaz có tọa độ điểm biểu diễn

A (−5; 4) B (5;−4) C (−5;−4) D (5; 4)

-Lời giải

Ta cóz= 5−4i⇔ −z=−5 + 4i

Vậy tọa độ điểm biểu diễn của−z là(−5; 4)

Chọn đáp án A

Câu Cho số phức z= + 3i Phần thực phần ảo số phứcz

A và3 B −2 và−3 C và−3i D 2và −3

-Lời giải

Ta cóz= + 3i⇒z= 2−3i Vậy phần thực củaz là2 phần ảo củaz là−3

Chọn đáp án D

Câu Cho số phức z= + 7i Số phức liên hợp củaz có điểm biểu diễn điểm sau đây? A M(6;−7) B N(−6; 7) C P(−6;−7) D Q(6; 7)

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz làz= 6−7inên biểu diễn bởiM(6;−7)

Chọn đáp án A

Câu Có số phứcz có phần thực bằng2và |z+ 1−2i|= 3?

A B C D

-Lời giải

Gọi số phứcz có phần thực bằng2là z= +bivớib∈R

Do|z+ 1−2i|= 3⇔9 + (b−2)2 = 9⇔(b−2)2 = 0⇔b= Vậy z= + 2i

Chọn đáp án D

Câu Tìm hai số thựcx, y thỏa mãn (3x+ 2yi) + (3−i) = 4x−3i, với ilà đơn vị ảo A x= 3, y=−1 B x=

3, y=−1 C x= 3, y=−3 D x=−3, y=−1

-Lời giải

Ta có(3x+ 2yi) + (3−i) = 4x−3i⇔ ®

3x+ = 4x 2y−1 =−3 ⇔

® x= y =−1

Chọn đáp án A

Câu Tìm số thựcx,y thỏa mãn (3x−2) + (2y+ 1)i= (x+ 1)−(y−5)i, vớii đơn vị ảo A x=

2,y =−2 B x=−

2,y=−

3 C x= 1,y =

3 D x= 2,y=

4

-Lời giải

Ta có

(3x−2) + (2y+ 1)i= (x+ 1)−(y−5)i⇔ ®

3x−2 =x+ 2y+ =−(y−5) ⇔

  

 

x= y= Vậyx=

(57)

Chọn đáp án D Câu Tìm số thựcx, y thỏa mãn3x+y+ 5xi= 2y−1 + (x−y)ivới ilà đơn vị ảo

A x= 7;y=

4

7 B x=− 7;y=

4

7 C x=− 7;y=

4

7 D x=−

7;y=−

-Lời giải

Ta có đẳng thức cho tương đương với ®

3x+y= 2y−1 5x=x−y ⇔

®

3x−y =−1 4x+y = ⇔

  

 

x=−1 y=

7

Chọn đáp án C

Câu GọiA, B điểm biểu diễn cho hai số phức z1= +ivà z2 = 1−3i Gọi M trung

điểm củaAB Khi M biểu diễn cho số phức sau đây?

A −i B 2−2i C +i D 1−i

-Lời giải

Ta cóA(1; 1), B(1;−3)⇒tọa độ M M(1;−1)⇒M biểu diễn choz= 1−i

Chọn đáp án D

Câu 10

Cho số phứcz có biểu diễn hình học điểm M hình vẽ bên Khẳng định sau đúng?

A z=−3−2i B z= + 2i C z= 3−2i D z=−3 + 2i

x y

O

3

−2

M

-Lời giải

Từ hình vẽ ta cóz= 3−2inên suy raz= + 2i

Chọn đáp án B

Câu 11 Cho số phức z=−3 + 4i Mô-đun củaz

A |z|= B |z|= C |z|= D |z|=

-Lời giải

Ta có mô-đun củaz là|z|=p(−3)2+ 42 = 5.

Chọn đáp án C

Câu 12 Trong mặt phẳng Oxy, gọiA,B,C điểm biểu diễn số phứcz1 =−3i,z2 = 2−2i,

z3 =−5−i GọiGlà trọng tâm tam giác ABC Khi điểm Gbiểu diễn số phức

A z= 2−i B z= 1−2i C z=−1−2i D z=−1−i

-Lời giải

Ta có:A(0;−3);B(2;−2);C(−5;−1)

GọiGlà trọng tâm tam giác ABC ⇒G(−1;−2) ĐiểmGbiểu diển số phứcz=−1−2i

Chọn đáp án C

Câu 13 Biết có cặp số thực (x;y) thỏa mãn (x+y) + (x−y)i= + 3i Tính giá trị củaS=x+ 2y

A S = B S = C S = D S=

-Lời giải

Ta có

(x+y) + (x−y)i= + 3i⇔ ®

x+y= x−y= ⇔

® x= y= Do S=x+ 2y= + 2·1 =

Chọn đáp án B

Câu 14 Nếu điểm M(x;y) điểm biểu diễn hình học số phứcz mặt phẳng tọa độ Oxy thoả mãnOM =

A |z|=

(58)

-Lời giải

Theo raOM = 4⇒px2+y2 = 4⇒ |z|= 4.

Chọn đáp án B

Câu 15 Cho số phức zthoả mãn|z+ 2−i|= Tập hợp điểm mặt phẳng toạ độOxy biểu diễn số phứcω= +zlà

A đường trịn tâmI(−2; 1)bán kính R= B đường trịn tâm I(2;−1)bán kínhR= C đường trịn tâmI(−1;−1)bán kính R= D đường trịn tâmI(−1;−1)bán kính R=

-Lời giải

Gọiω=x+yi(x, y∈R)

+ Ta cóω= +z⇔x+yi= +z⇔z=x−1 +yi⇒z=x−1−yi

+|z+ 2−i|= 3⇔ |x−1−yi+ 2−i|= 3⇔p(x+ 1)2+ (y+ 1)2 = 3⇔(x+ 1)2+ (y+ 1)2 = 9.

Vậy tập hợp điểm mặt phẳng toạ độOxybiểu diễn số phứcω = +zlà đường trịn tâmI(−1;−1) bán kínhR=

Chọn đáp án D

Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn|z|=√7 A Đường trịn tâm O(0; 0), bán kính R=

2 B Đường trịn tâm O(0; 0), bán kính R= C Đường trịn tâm O(0; 0), bán kính R= 49 D Đường trịn tâmO(0; 0), bán kính R=√7

-Lời giải

GọiM(x;y) tập hợp điểm biểu diễn số phứcz=x+yi x, y∈R Theo giả thiết|z|=√7⇔x2+y2=

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trịn tâm O(0; 0), bán kính R=√7

Chọn đáp án D

Câu 17 Điểm M hình vẽ biểu thị cho số phức z Chọn khẳng định

x y

O −2

M

A z=−2 + 3i B z= 3−2i C z=−2−3i D z= + 2i

-Lời giải

z=−2 + 3i⇒z=−2−3i

Chọn đáp án C

Câu 18 Cho số phức z=−1−4i Tìm phần thực số phức z

A −4 B −1 C D

-Lời giải

Ta cóz=−1 + 4i⇒ Phần thực số phứcz là−1

Chọn đáp án B

Câu 19 Cho số phức z,z0 có biểu diễn hình học điểmM,M0 mặt phẳng tọa độ Oxy NếuOM = 2OM0

A |z|= 2|z0| B z0= 2z C z= 2z0 D |z0|= 2|z|

-Lời giải

Ta có|z|=OM,|z0|=OM0 Do đó, nếuOM = 2OM0 thì|z|= 2|z0|

Chọn đáp án A

Câu 20 Cho số phức z=−2−5i Nếuz vàz0 hai số phức liên hợp

A z0 =p(−2)2+ 52. B. z0= 2−5i. C. z0 = + 5i. D. z0 =−2 + 5i.

(59)

z0 số phức liên hợp củaz=−2−5ithìz0 =−2 + 5i

Chọn đáp án D

Câu 21 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức −1− 2i,4−4i,−3i Số phức biểu diễn trọng tâm tam giácABC

A −1−3i B 1−3i C −3 + 9i D 3−9i

-Lời giải

Ta có A(−1;−2), B(4;−4), C(0;−3) nên trọng tâmG tam giác ABC có tọa độ G(1;−3) Do số phức biểu diễn điểm Glà1−3i

Chọn đáp án B

Câu 22

Cho số phức z có điểm biểu diễn làM hình vẽ bên Gọi M0 điểm biểu diễn cho số phứcz Tọa độ điểmM0

A M0(−3;−2) B M0(3; 2)

C M0(−3; 2) D M0(3;−2) x

y O

3

−2

M

-Lời giải

Số phứcz biểu diễn điểm M làz= 3−2i ⇒z= + 2i⇒M0(3; 2)

Chọn đáp án B

Câu 23 Môđun số phức z= 4−3ibằng:

A 25 B C D −3

-Lời giải

Có|z|=p42+ (−3)3= 5.

Chọn đáp án B

Câu 24 Gọi M, N, P điểm biểu diễn số phức z1 = +i, z2 = +i, z3 = 1−3i

trong mặt phẳng phứcOxy Khẳng định sau khẳng định đúng?

A 4M N P vuông B 4M N P C 4M N P cân D 4M N P vuông cân

-Lời giải

Ta cóM(1; 1), N(8; 1), P(1;−3)

Dễ dàng tính đượcM N = 7, N P =√65, M P = vàM N2+M P2 =N P2 Vậy tam giácM N P vuông tạiM

Chọn đáp án A

Câu 25

Cho số phứczcó điểm biểu diễn điểmA hình vẽ Tìm phần thực phần ảo số phức z

x y

O

2 A

A Phần thực bằng3, phần ảo bằng−2 B Phần thực 3, phần ảo C Phần thực bằng2, phần ảo bằng−3i D Phần thực bằng3, phần ảo 2i

-Lời giải

z= + 2i⇒z= 3−2i

Chọn đáp án A

(60)

ĐiểmM hình điểm biểu diễn số phức nào?

A z= (1 + 2i)(1−i) B 2z−6 = (1−i)2.

C z= +i

1−i D z= (1 +i)(2−3i)

x O

y

−1

M

-Lời giải

ĐiểmM điểm biểu diễn số phứcz= 3−i, đó: 1 z= (1 + 2i)(1−i) = +iloại

2 2z−6 = (1−i)2=−2i⇒z= 3−ithỏa mãn

3 z= +i 1−i =

(1 +i)2

2 =iloại 4 z= (1 +i)(2−3i) = 5−iloại

Chọn đáp án B

Câu 27 Cho số phức z thoả mãn(2 + 3i)z=z−1 Môđun củaz A √1

10 B

1

10 C D

√ 10

-Lời giải

(2 + 3i)z=z−1⇔(1 + 3i)z=−1⇔ |1 + 3i| · |z|= 1⇒ |z|= √1 10

Chọn đáp án A

Câu 28

Cho tam giácABC hình vẽ Biết trọng tâmGcủa tam giácABC điểm biểu diễn số phứcz Tìm phần ảo số phứcz

A B −1 C −i D i A

B C

x y

O

−2

3

-Lời giải

Theo giả thiết, ta cóA(0; 3),B(−2; 0),C(2; 0)

Tọa độ trọng tâmGcủa tam giác ABC G(0; 1) nên z=i⇒z=−i

Chọn đáp án B

Câu 29

GọiM N điểm biểu diễn số phứcz1, z2 khác Khi

khẳng định sau sai?

A |z1+z2|=M N B |z2|=ON

C |z1−z2|=M N D |z1|=OM

x y

O M

N

-Lời giải

Gọiz1 =a1+b1i⇒M(a1, b1),z2 =a2+b2i⇒M(a2, b2)

Ta có|z1+z2|=

p

(a1+a2)2+ (b1+b2)2

MàM N =p(a1−a2)2+ (b1−b2)2 Suy ra|z1+z2| 6=M N

Chọn đáp án A

Câu 30 Cho số phức z= + 2i Điểm biểu diễn số phức zlà

A M(−1; 2) B M(−1;−2) C M(1;−2) D M(2; 1)

(61)

z= 1−2i Suy điểm biểu diễn số phứcz làM(1;−2)

Chọn đáp án C

Câu 31 Cho số phức z= cosϕ+isinϕ, (ϕ∈R) Tìm mơ-đun z

A |cosϕ|+|sinϕ| B C |cosϕ+ sinϕ| D |cos 2ϕ|

-Lời giải

Ta cóz= cosϕ+isinϕ= (cosϕ+isinϕ) nên r = Vậy|z|=

Chọn đáp án B

Câu 32 Tính mơ-đun số phức zthỏa mãn (2 +i)z+ 15−5i 1−i = 20

A |z|= B |z|= C |z|=√5 D |z|=

-Lời giải

Ta có(2 +i)z+15−5i

1−i = 20⇔z= 3−4i⇒ |z|=

Chọn đáp án A

Câu 33 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;−3) biểu diễn số phức zA, điểm B biểu diễn số phức

zB = (1 +i)zA Tính diện tíchS tam giácOAB

A S = 11

2 B S =

13

2 C S =

17

2 D S=

15

-Lời giải

Ta cózA= 2−3i⇒zB= 5−i⇒B(5;−1)

Trong khơng gian Oxyz, ta có (# »

OA= (2;−3; 0) # »

OB = (5;−1; 0) ⇒S4OAB = [

# » OA,OB]# »

=

13

Chọn đáp án B

Câu 34 Cho số phứcz1= + 3i,z2=−2 + 2i,z3 =−1−iđược biểu diễn điểmA,B,

Ctrên mặt phẳng phức GọiM điểm thỏa mãnAM# »=AB# »−AC# » Khi điểmM biểu diễn số phức

A z= 6i B z=−6i C z= D z=−2

-Lời giải

Tọa độA(1; 3),B(−2; 2),C(−1;−1) Gọi tọa độ điểm M(x;y) # »

AM = (x−1;y−3),AB# »= (−3;−1),AC# »= (−2;−4) Ta cóAM# »=AB# »−AC# »⇒

®

x−1 =−3−(−2) y−3 = (−1)−(−4) ⇔

® x=

y= ⇒z= 6i

Chọn đáp án A

Câu 35 Cho số phức z thỏa mãn |z−2i|= |zi+ 3i| Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình

A 6x+ 4y−5 = B 6x−4y= C 6x−4y+ = D 6x+ 4y+ =

-Lời giải

Đặtz=x+yi, x, y∈R, ta có |z−2i|=|zi+ 3i| ⇔x2+ (y−2)2 =y2+ (x+ 3)2 ⇔6x+ 4y+ =

Chọn đáp án D

Câu 36 Cho số phứcz thay đổi, thỏa mãn|z−i|=|z−1 + 2i|.Biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcω=z+ 2itrên mặt phẳng tọa độ đường thẳng Phương trình đường thẳng

A x−4y+ = B x+ 3y+ = C x−3y+ = D −x+ 3y+ =

-Lời giải

Đặtω=x+yi,vớix, y∈R.Khi đó,z=ω−2i=x+ (y−2)i.Suy ra|z−i|=|z−1 + 2i| ⇔ |x+ (y−3)i|=

|x−1 +yi|,hay tương đương vớix2+ (y−3)2 = (x−1)2+y2 ⇔x−3y+ =

Chọn đáp án C

(62)

Biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcz=x+yilà nửa hình trịn tâm O(0; 0)bán kínhR= 2(phần tơ đậm, kể đường giới hạn) hình bên Trong khẳng định sau, khẳng định nàođúng?

A x≥0 và|z|=√2 B y≥0và |z|= C x≥0 và|z| ≤2 D y≥0và |z| ≤2

x y

O

2

-Lời giải

Dựa vào hình vẽ ta thấy số phức zcó phần thực khơng âm |z| ≤2

Chọn đáp án C

Câu 38 Cho số phức z= 5−4i Số phức liên hợp zcó điểm biểu diễn M

A M(−5;−4) B M(5;−4) C M(5; 4) D M(−5; 4)

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz làz= + 4isuy raM(5; 4)

Chọn đáp án C

Câu 39 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tập hợp điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn điều|z+2−i|=

A đường tròn (x+ 2)2+ (y−1)2= B đường tròn tâm I(2;−1)và bán kínhR= C đường thẳng x−y−2 = D đường thẳngx+y−2 =

-Lời giải

Giả sửz=x+yi(x, y∈R) Khi |z+ 2−i|= 2⇔(x+ 2)2+ (y−1)2 =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn điều|z+2−i|= 2là đường tròn(x+2)2+(y−1)2 = 4.

Chọn đáp án A

Câu 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phần thực đường thẳng có phương trình

A x=−3 B x= C x=−1 D x=

-Lời giải

Gọiz=x+yi vớix, y∈R

Doz có phần thực bằng3nên x=

Chọn đáp án D

Câu 41 Cho số phức z =a+ (a−5) i với a∈ R Tìm a để điểm biểu diễn số phức nằm đường phân giác góc phần tư thứ hai thứ tư

A a=−1

2 B a=

5

2 C a= D a=

3

-Lời giải

Để thỏa mãn toán suy raa−5 =−a⇔2a−5 = 0⇔a=

Chọn đáp án B

Câu 42 Cho cho hai số phức z= + 2ivà w= 3−2i Khẳng định sau khẳng địnhsai? A |z|>|w|

B |z|=|w|

C Nếu A vàB theo thứ tự hai điểm biểu diễn củaz vàw hệ tọa độOxy thìAB=|z−w| D Số phứcz số phức liên hợp số phứcw

-Lời giải

Do|z|=√32+ 22 =√13 và|w|=p

32+ (−2)2 =√13 nên |z|=|w|.

Chọn đáp án A

Câu 43 Tìm hai số thực x, ythỏa mãn + (5−y)i= (x−1) + 5i A

® x=

y= B

® x=

y= C

®

x=−6

y = D

®

x=−3 y=

-Lời giải

2 + (5−y)i= (x−1) + 5i⇔ ®

2 =x−1 5−y= ⇔

(63)

Chọn đáp án A Câu 44 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểmAlà điểm biểu diễn số phức z= + 2i,B điểm thuộc đường thẳngy= 2sao cho tam giác OABcân tạiO ĐiểmB điểm biểu diễn số phức số phức đây?

A −3 + 2i B −1 + 2i C + 2i D 1−2i

-Lời giải

z = + 2i ⇒ A(1; 2); điểm B thuộc đường thẳng y = ⇒ B(a; 2) Tam giác OAB cân O ⇔ OA = OB⇔5 =a2+ 4⇔a=±1 Vậy điểm B biểu diễn cho số phứcz=±1 + 2i

Chọn đáp án B

Câu 45 Tìm tất số thực x,y cho x2−2 +yi=−2 + 5i

A x= 0,y= B x=−2,y = C x= 2,y = D x= 2,y=−5

-Lời giải

Ta cóx2−2 +yi=−2 + 5i⇔ ®

x2−2 =−2

y= ⇔

® x= y=

Chọn đáp án A

Câu 46 Trên mặt phẳng phức, cho điểm A biểu diễn số phức−2 + 3i, điểm B biểu diễn số phức 4−5i GọiM trung điểm AB Khi đó, điểmM biểu diễn số phức số phức sau

A 3−4i B + 4i C +i D 1−i

-Lời giải

Ta cóA(−2; 3),B(4;−5).M trung điểm củaAB ⇒M(1;−1) Vậy M biểu diễn số phức1−i

Chọn đáp án D

Câu 47 Tìm số phức liên hợp số phức z= (1−i)(3 + 2i)

A z=−5 +i B z= 5−i C z= +i D z=−5−i

-Lời giải

Ta cóz= (1−i)(3 + 2i) = 5−i, suy raz= +i

Chọn đáp án C

Câu 48 GọiM điểm biểu diễn số phứcztrong mặt phẳng tọa độ, N điểm đối xứng M qua Oy(M, N không thuộc trục tọa độ) Số phứcω có điểm biểu diễn lên mặt phẳng tọa độ làN Mệnh đề sau đúng?

A ω =−z B ω =−¯z C ω= ¯z D |ω|>|z|

-Lời giải

Giả sửM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+yi, vớix, y∈R,N điểm đối xứng củaM quaOy Khi đóN(−x;y)là điểm biểu diễn số phức ω=−x+yi=−(x−yi) =−¯z

Chọn đáp án B

Câu 49

Trong mặt phẳng phức, cho điểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz Trong mệnh đề sau mệnh đề sai?

A Số phức z có phần ảo bằng4 B z= 3−4i C |z|= D z−z=

O x

y

3

4 M

-Lời giải

Ta cóz= + 4i⇒z= 3−4i, đóz−z= 8i

Chọn đáp án D

Câu 50 Tìm số thựcx,y thỏa mãn(x+y) + (2x−y)i= 3−6i

A x=−1;y=−4 B y=−1;x= C x=−1;y = D x= 1;y =−4

-Lời giải

Ta có: ®

x+y= 2x−y=−6 ⇔

®

(64)

Chọn đáp án C Câu 51 Mô-đun số phức z=m−2i(m∈R)

A √m2−2. B. √m2+ 2. C. √m2−4. D. √m2+ 4. -Lời giải

Ta có|z|=√m2+ 4.

Chọn đáp án D

Câu 52 Trong mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn số phứcz=−3 + 4ilà

A M(3;−4) B M(−3;−4) C M(−3; 4) D M(3; 4)

-Lời giải

M(−3; 4)là điểm biểu diễn số phứcz=−3 + 4i

Chọn đáp án C

Câu 53 Cho số phức z= 5−4i Tính mơ-đun số phứcz

A B C D √41

-Lời giải

Ta cóz= + 4i, suy |z|=√52+ 42 =√41.

Chọn đáp án D

Câu 54

ĐiểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức

A z= 1−3i B z=−1 + 3i C z= +i D z= 3−i

O

x y

x −1

M

-Lời giải

ĐiểmM(3;−1)là biểu diễn cho số phức z= 3−i

Chọn đáp án D

Câu 55 Cho số phức z= 2i−8 Số phức liên hợp zlà

A z= 2i+ B z=−2i+ C z= 2i+ D z=−2i−8

-Lời giải

Số phức liên hợp củaz làz=−2i−8

Chọn đáp án D

Câu 56 Trong mặt phẳng phức cho điểmA(−4; 1),B(1; 3),C(−6; 0)lần lượt điểm biểu diễn số phứcz1,z2,z3 Trọng tâmG tam giácABC điểm biểu diễn số phức sau đây?

A −3 +4

3i B +

4

3i C 3−

4

3i D −3−

4 3i

-Lời giải

Tọa độ trọng tâmGcủa tam giácABC  



xG=−3

yG=

4

⇒G Å

−3;4

ã

là điểm biểu diễn số phức−3 +4 3i

Chọn đáp án A

Câu 57 Cho số phức z=√7−3i Tính|z|

A |z|= B |z|= C |z|= D |z|= 16

-Lời giải

Ta có|z|= qÄ√

7ä2+ (3)2 =

Chọn đáp án C

Câu 58 Cho số phức z= 3−2i Tìm điểm biểu diễn số phức w=z+ iz

A M(1; 1) B M(1;−5) C M(5;−5) D M(5; 1)

-Lời giải

Ta ców= 3−2i + i (3 + 2i)⇔w= 3−2i + 3i−2⇔w= + i

(65)

Câu 59 Trong mặt phẳng phức, gọiA, B, C điểm biểu diễn số phứcz1 = (1−i)(2 +

i), z2= + 3i, z3 =−1−3i Tam giácABC

A Một tam giác vuông cân B Một tam giác cân (không đều) C Một tam giác vuông (không cân) D Một tam giác

-Lời giải

Ta có z1 = 3− i, z2 = + 3i, z3 = −1 −3i Điểm biểu diễn số phức z1, z2, z3

A(3;−1), B(1; 3), C(−1;−3)

⇒ AB = p(1−3)2+ (3 + 1)2 = 2√5 Tương tự BC = 2√10, CA = 2√5 Do AB = AC(= 2√5) và

AB2+AC2=BC2 nên tam giácABC là tam giác vuông cân.

Chọn đáp án A

Câu 60 Cho số phức z có phần ảo âm thỏa mãn z2 −3z+ = Tìm mơ-đun số phức ω = 2z−3 +√14

A √24 B √17 C D

-Lời giải

Ta có phương trìnhz2−3z+ = 0có hai nghiệm z= + √

11i

2 vàz=

3−√11i ⇒ω=√14±√11i

⇒ |ω|=√14 + 11 =√25 =

Chọn đáp án D

Câu 61 Cho số phức z =a+a2i vớia∈R Khi điểm biểu diễn số phức liên hợp z nằm đường nào?

A Đường thẳngy=−x+ B Đường thẳng y= 2x C Paraboly=x2 D Paraboly=−x2. -Lời giải

Điểm biểu diễn số phức liên hợpz¯làM a;−a2

Do điểmM thuộcy=−x2.

Chọn đáp án D

Câu 62 Cho số phức z=a+bi(a, b∈R).Mệnh đề đúng?

A z−z¯= 2a B zz¯=a2−b2 C z+ ¯z= 2bi D |z2|=|z|2. -Lời giải

Dễ thấy|z2|=|z|2 với số phứcz.

Chọn đáp án D

Câu 63 Số phức z sau thỏa mãn |z|=√5 vàz số ảo?

A z=√5 B z=√2 +√3i C z= 5i D z=−√5i

-Lời giải

Vìz số ảo nên ta đặt z=bi⇒ |z|=|b|=√5⇒ "

b=√5 b=−√5

⇒ "

z=√5i z=−√5i

Chọn đáp án D

Câu 64 Điểm M(3;−4)là điểm biểu diễn số phứcz, số phức liên hợp củaz

A z¯= 3−4i B z¯=−3 + 4i C z¯= + 4i D z¯=−3−4i

-Lời giải

Ta cóz= 3−4isuy z¯= + 4i

Chọn đáp án C

Câu 65 Cho số phức z = + 7i Số phức liên hợp z mặt phẳng (Oxy) có điểm biểu diễn hình học

A (6; 7) B (6;−7) C (−6; 7) D (−6;−7)

-Lời giải

Ta cóz= + 7i⇒z= 6−7i⇒ Điểm biểu diễn hình học củaz làM(6;−7)

Chọn đáp án B

Câu 66 GọiA,B điểm biểu diễn số phứcz1 = + 2i,z2 = 5−i Tính độ dài đoạn

thẳngAB

A √37 B C 25 D √5 +√26

(66)

Ta cóz1 = + 2i⇒A(1; 2) vàz2= 5−i⇒B(5;−1)

Suy raAB=√42+ 32= 5.

Chọn đáp án B

Câu 67

ĐiểmM hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Tìm phần thực phần ảo số phức z

A Phần thực 4và phần ảo là3 B Phần thực 3và phần ảo 4i C Phần thực 3và phần ảo là4 D Phần thực 4và phần ảo 3i

x y

O

4 M

-Lời giải

ĐiểmM(3; 4) điểm biểu diễn số phứcz= + 4i

Chọn đáp án C

Câu 68 Cho số phức z thỏa mãnz(1 +i) = 3−5i Tính môđun củaz

A |z|= B |z|=√17 C |z|= 17 D |z|= 16

-Lời giải

Ta cóz(1 +i) = 3−5i⇔z= 3−5i +i =

(3−5i)(1−i)

(1 +i)(1−i) =−1−4i Suy ra|z|= √

17

Chọn đáp án B

Câu 69 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọiM, N, P điểm biểu diễn số phứcz1= +i,

z2 = +i,z3= 1−3i Khẳng định sau mệnh đề đúng?

A Tam giácM N P cân, không vuông B Tam giác M N P C Tam giácM N P vuông, không cân D Tam giácM N P vng cân

-Lời giải

Ta cóM(1; 1),N(8; 1),P(1;−3)

nên M N# »= (7; 0);M P# »= (0;−4);N P# »= (−7;−4)và M N = 7;M P = 4;N P =√65 Ngoài M N# »·M P# »= nên tam giácM N P vuông tạiM không cân

Chọn đáp án C

Câu 70 Cho số phức z= 5−4i Môđun số phức zbằng

A B C √41 D

-Lời giải

Ta có|z|=p52+ (−4)2 =√41.

Chọn đáp án C

Câu 71 Cho số phức z thỏa mãnz−3 +i= Môđun củaz bao nhiêu?

A √10 B 10 C √3 D

-Lời giải

Ta có|z|=|z|=|3−i|=√10

Chọn đáp án A

Câu 72

Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z = (1 +i)(2−i)?

A P B M C N D Q

−1

−3

3

−1

x y

M N

Q

P

1

-Lời giải

Ta có:z= 2−i+ 2i−i2= +i

Chọn đáp án D

(67)

A 2π B 4π C 8π D π

-Lời giải

Phần hình phẳng cần tính diện tích phần nằm hai hình trịn đồng tâm có bán kính 3, diện tích cần tim S = π·32−π·12= 9π−π= 8π

O

x y

−3 −1

−3

−1

Chọn đáp án C

4 ĐÁP ÁN

1 B A D A D A D C D 10 B

11 C 12 C 13 B 14 B 15 D 16 D 17 C 18 B 19 A 20 D

21 B 22 B 23 B 24 A 25 A 26 B 27 A 28 B 29 A 30 C

31 B 32 A 33 B 34 A 35 D 36 C 37 C 38 C 39 A 40 D

41 B 42 A 43 A 44 B 45 A 46 D 47 C 48 B 49 D 50 C

51 D 52 C 53 D 54 D 55 D 56 A 57 C 58 A 59 A 60 D

61 D 62 D 63 D 64 C 65 B 66 B 67 C 68 B 69 C 70 C

71 A 72 D 73 C

5 VẬN DỤNG THẤP

Câu Cho hai số phức z1 vàz2 thỏa mãn|z1|=|z2|= 1;|z1+z2|=

√

3 Tính|z1−z2|

A B C D

-Lời giải

Giả sửM, N điểm biểu diễn số phứcz1, z2

Theo ta cóOM =ON = và|OM# »+ON# »|=√3

Do =|OM# »+ON# »|2 =OM2+ON2+ 2OM# »·ON# »⇒2OM# »·ON# »= 3−1−1 = 1.

Ta có|z1−z2|=|OM# »−ON# »|=

q Ä# »

OM −ON# »ä2=pOM2+ON2−2OM# »·ON# »= 1.

Chọn đáp án C

Câu Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn 1≤ |z| ≤2 hình phẳng có diện tích

A π B 2π C 4π D 3π

-Lời giải

Đặtz=x+yivới x,y số thực Theo giả thiết, ta có

1≤px2+y2≤2⇔1≤x2+y2 ≤4.

Gọi(C1),(C2)lần lượt đường trịn có phương trìnhx2+y2= 1,x2+y2 = Khi đó,(C1),(C2) có tâm

O(0; 0), bán kính R1 = vàR2=

Hình phẳng cần tìm vành khăn giới hạn hai đường tròn(C1) và(C2)

GọiS diện tích vành khăn, suy

S =πR22−πR21 = 4π−π = 3π

Chọn đáp án D

Câu Cho số phứcz =m+ + (m2−1)i, với m tham số thực thay đổi Tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thuộc đường cong(C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi(C)và trục hoành

A

3 B

4

3 C

1

3 D

2

(68)

ĐiểmM(m+ 3;m2−1)là điểm biểu diễn số phức z=m+ + (m2−1)i

Đặtx=m+3;y=m2−1, ta cóy = (x−3)2−1 =x2−6x+8 Suy điểmMthuộc đường(C) :y=x2−6x+8.

Hoành độ giao điểm của(C)và trục hoành nghiệm phương trình x2−6x+ = 0⇔

đ x= x= Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi(C) trục hoành

S=

4

Z

2

|x2−6x+ 8|dx=

Chọn đáp án B

Câu GọiA,B,C,Dlần lượt điểm biểu diễn số phức1 + 2i,1 +√3 +i,1 +√3−i,1−2itrên mặt phẳng tọa độ Biết tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, tâm đường trịn biểu diễn số phức có phần thực

A √3 B C √2 D

-Lời giải

Ta cóA(1; 2),BÄ1 +√3; 1ä,CÄ1 +√3;−1ä,D(1;−2)

Khi đóBA# »=Ä−√3; 1ä,BD# »=Ä−√3;−3äsuy BA# »·BD# »= 0⇒ 4ABD vuông tạiB # »

CA=Ä−√3; 3ä,CD# »=Ä−√3;−1äsuy CA# »·CD# »= 0⇒ 4ACDvng tạiC Do tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD trung điểm đoạnAD có tọa độ I(1; 0)

Chọn đáp án D

Câu

Trong mặt phẳng tọa độ, đường trịn tơ đậm hình vẽ bên tập hợp điểm biểu diễn số phức z Hỏi số phức z thỏa mãn đẳng thức sau ?

x

2

y

2

O

A |z−2−2i|= B |z−2|= C |z−1−2i|= D |z−2i|=

-Lời giải

z thuộc đường tròn tâmI(2; 2)bán kính Do |z−2−2i|=

Chọn đáp án A

Câu Cho số phức z thỏa|z−1|= Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w= (1 +i√3)z+ đường tròn Tính bán kínhr đường trịn

A r = B r = 16 C r= 25 D r=

-Lời giải

w−3−i√3 = (1 +i√3)(z−1)

Suy |w−3−i√3|= |(1 +i√3)(z−1)|= Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn bán kính

Chọn đáp án D

Câu Cho số phức z, biết điểm biểu diễn hình học số phứcz,iz z+iz tạo thành tam giác có diện tích 18 Tính mơ-đun số phứcz

A |z|= 2√3 B |z|= 3√2 C |z|= D |z|=

-Lời giải

Đặtz=x+yi,(x, y∈R), ta có

iz=i(x+yi) =−y+xivàz+iz=x+yi−y+xi=x−y+ (x+y)i GọiA(x;y),B(−y;x),C(x−y;x+y) điểm biểu diễn củaz,iz,z+iz Ta cóAB=p(−x−y)2+ (x−y)2,AC=p

(−y)2+x2,BC=p

x2+y2

⇒AB2 =AC2+BC2 ⇒ 4ABC vuông C Khi đóS4ABC =

1

2AC·BC= 2(x

2+y2) = 18⇒p

(69)

Chọn đáp án C Câu Hỏi có số phức z thỏa đồng thời điều kiện|z−i|= vàz2 số ảo?

A B C D

-Lời giải

Đặtz=x+iy(với x,y∈R)

Ta có|z−i|= 5⇔x2+ (y−1)2 = 25 (∗) z2 số ảo, suy rax2−y2= 0⇔

ñ x=y x=−y

Vớix=y thay vào (∗) ta x2+ (x−1)2= 25⇔2x2−2x−24 = 0⇔ ñ

x= x=−3 Vớix=−y thay vào (∗) ta x2+ (x+ 1)2 = 25⇔2x2+ 2x−24 = 0⇔

ñ

x=−4 x= Vậy có4 số phức cần tìm là4 + 4i,−3−3i,−4 + 4i,3−3i

Chọn đáp án D

Câu Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn|z−(3−4i)|= A Đường trịn tâm I(3; 4), bán kínhR= B Đường trịn tâm I(−3;−4), bán kính R= C Đường trịn tâm I(3;−4), bán kính R= D Đường trịn tâmI(−3; 4), bán kínhR=

-Lời giải

Đặtz=a+bi(a, b∈R)⇒z=a−bi

Theo giả thiết|z−(3−4i)|= 2⇔ |a−bi−(3−4i)|= 2⇔(a−3)2+ (b−4)2= Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trịn tâm I(3; 4), bán kínhR=

Chọn đáp án A

Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn |2z−1|= |z+ +i| điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ thuộc đường trịn có tâm I(1; 1), bán kínhR =√5 Khi tích mơđun tất số phứcz thỏa mãn yêu cầu là?

A √5 B C 3√5 D

-Lời giải

Gọiz=a+bi(a, b∈R) Theo giả thiết ta có

|2(a+bi)−1|=|a−bi+ +i| ⇔ |(2a−1) + 2bi|=|(a+ 1)−(b−1)i| ⇔(2a−1)2+ (2b)2 = (a+ 1)2+ (b−1)2

⇔3a2+ 3b2−6a+ 2b−1 = (1) Vì điểm biểu diễn cuẩz mặt phẳng tọa đọ thuộc đường tròn tâm I(1; 1), R=√5 nên ta có

(a−1)2+ (b−1)2= ⇔a2+b2−2a−2b=

⇔a2−2a= 3−b2+ 2b (2)

Thế(2) vào(1) ta được3(3−b2+ 2b) + 3b2+ 2b−1 = 0⇔b=−1 Khi đó, thay vào (2)ta suy

ñ a= a= ⇒

ñ

z1 =−1

z2 = 2−i

⇒ |z1| · |z2|=√5

Chọn đáp án A

Câu 11 Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C ba điểm biểu diễn ba số phức z1, z2, z3 thỏa mãn

|z1|=|z2|=|z3|= |z1−z2|= Khi tam giác ABC

A dều B vng C cân D có góc tù

-Lời giải

Theo giả thiết, tam giácABC nội tiếp đường trịn(O; 1)có AB= Suy tam giác ABC vuông tạiC

Chọn đáp án B

(70)

A |z|=√34 B |z|= √

34

3 C |z|= 5√34

3 D |z|= 34

-Lời giải

Cách 1Ta cóz(2−i) + 13i= 1⇒ |z(2−i)|=|1−13i| ⇔ |z| ·√5 =√170⇔ |z|=√34 Cách 2Ta cóz(2−i) + 13i= 1⇔z(2−i) = 1−13i

⇔z(2−i)(2 +i) = (1−13i)(2 +i)⇔5z= 15−25i⇔z= 3−5i ⇒ |z|=√32+ 52 =√34.

Chọn đáp án A

Câu 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọiM điểm biểu diễn số phứcz= + 2i;M0 điểm biểu diễn số phứcz0 = 3i

2z Tính diện tích tam giácOM M

0.

A S4OM M0 = B S4OM M0 = C S4OM M0 = D S4OM M0 = 15

2

-Lời giải

Ta cóM(2; 2) Mặt khácz0= 3i

2z=−3 + 3i⇒M

0(−3; 3).

Tam giácOM M0 có OM# »= (2; 2),OM# »0 = (−3; 3)⇒OM# »·OM# »0 = 2·(−3) + 2·3 = 0⇔OM ⊥OM0 Diện tích tam giácOM M0 làS4OM M0 =

2OM·OM

0 =

2· |z| · |z

0|= 6.

Chọn đáp án B

Câu 14 Cho hai số phức z1, z2 thỏa|z1|=|z2|=

√

17 GọiM, N điểm biểu diễn củaz1,z2

mặt phẳng tọa độ BiếtM N = 3√2,gọiH đỉnh thứ tư hình bình hànhOM HN vàK trung điểm củaON Tính độ dài`của đoạn thẳngKH

A `= √

17

2 B `=

√

2 C `=

√ 13

2 D `=

5√2

-Lời giải

GọiE giao điểm OH M N OE2 = OM

2+ON2

2 −

M N2

4 = 17−

2 = 25

2 ⇒OH

2= 4OE2= 50

HK2 = HN

2+HO2

2 −

ON2 =

OM2+OH2

2 −

ON2 = 17 + 50

2 −

17 =

117

4 ⇒`=HK= 3√13

2

O M

N

K

H

E

Chọn đáp án C

Câu 15 Cho hai số phứcz1, z2 thuộc tập hợpS=

z∈C:

iz−2−3i

= thỏa mãnz1+z2 = 4−2i TínhA=|z1|2+|z2|2

A A= B A= 14 C A= D A= 12

-Lời giải

GọiM, N điểm biểu diễn z1, z2

GọiE trung điểm M N Ta có

iz−2−3i = ⇔

i·(z−3 + 2i)= ⇔

z−3 + 2i= (1) Từ (1) ta thấy M, N thuộc đường trịn tâm I(3;−2) bán kính R=

x y

O

I N

M

E

(71)

Trong 4OM N, ta có

OE2 = OM

2+ON2

2 −

M N2 ⇒ OM2+ON2= 14

Chọn đáp án B

Câu 16

Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho hình bình hành OABC có tọa độ điểmA(3; 1), C(−1; 2)(như hình vẽ bên) Số phức sau có điểm biểu diễn điểmB?

A w1 =−2 + 3i B w2= + 3i

C w3 = 4−i D w4=−4 +i

x y

O

A(3; 1) C(−1; 2)

B

-Lời giải

DoOABC hình bình hành nên # »

OB =OA# »+OC.# » (1) MàOA# »= (3; 1)và OC# »= (−1; 2) nên từ (1) suy

# »

OB = (2; 3) (2)

Từ (2) suy điểmB(2; 3) hay điểm B điểm biểu diễn số phứcw2= + 3i

Chọn đáp án B

Câu 17 Cho tập X={1; 3; 5; 7; 9} Có số phức z=x+yi có phần thực, phần ảo thuộcX có tổngx+y≤10?

A 20 B 10 C 15 D 24

-Lời giải

Xét số phứcz=x+yi(x, y∈X)

Vì số phứcz=x+yithỏa mãn x+y≤10 nên ta xét trường hợp sau

1 (x;y)∈ {(1; 3),(1; 5),(1; 7),(1; 9),(3; 5),(3; 7)}, có2×6 = 12số phức thỏa mãn 2 (x;y)∈ {(1; 1),(3; 3),(5; 5)}, có 3số phức thỏa mãn

Vậy có12 + = 15 số phức thỏa mãn đề

Chọn đáp án C

Câu 18 Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểmM biểu diễn số phức z = −2 + 3i Gọi N điểm thuộc đường thẳngy= cho tam giácOM N cân tạiO ĐiểmN điểm biểu diễn số phức đây?

A z= 3−2i B z=−2−3i C z= + 3i D z=−2 + i

-Lời giải

Do giả thiết suy tọa độM(−2; 3) nên M thuộc đường thẳngy= Vì tam giácOM N cân tạiO suy N đối xứng vớiM qua Oy nên tọa độ điểmN(2; 3) Khi điểmN biểu diễn số phức z= + i

Chọn đáp án C

Câu 19 Giả sử z1,z2 hai nghiệm phương trìnhz2−2z+ = GọiM,N điểm biểu

diễn củaz1,z2 hệ tọa độOxy Tọa độ trung điểm đoạn thẳng M N

A (1; 0) B (1; 1) C (0; 0) D (0; 1)

-Lời giải

Ta cóz2−2z+ = 0⇔

ñ

z= + 2i

z= 1−2i Khơng tính tổng qt giả sử z1= + 2i vàz2 = 1−2ido tọa độ điểmM(1; 2) vàN(1;−2) GọiI trung điểm củaM N ta suy tọa độI(1; 0)

(72)

Câu 20 Cho số phức z thoả mãnz−4 = (1 +i)|z| −(4 + 3z)i Môđun số phứcz

A B C 16 D

-Lời giải

Đặtz=a+bi Khi ta có

a+bi−4 = (1 +i)pa2+b2−(4 + 3a+ 3bi)i

⇔ a−4 +bi=pa2+b2+ipa2+b2−(4 + 3a)i+ 3b

⇔ a−3b−pa2+b2−4 + (b−pa2+b2+ 3a+ 4)i= 0

⇔ (

a−3b−pa2+b2−4 = 0

3a+b−pa2+b2+ = 0

⇔ ®

a−3b−pa2+b2−4 = 0

2a+ 4b+ = ⇔

(

−2b−4−3b−»(−2b−4)2+b2−4 = 0

a=−2b−4 ⇔

(»

(−2b−4)2+b2= 5b+ 8

a=−2b−4 ⇔

®

5b2+ 16b+ 16 = 25b2+ 80b+ 64 a=−2b−4

⇔ ®

20b2+ 64b+ 48 = a=−2b−4

⇔ 

      

  

 

b=−6 a=−8 ®

b=−2 a=

Với hai trường hợp ta có|z|=√a2+b2 = 2.

Chọn đáp án A

Câu 21

Cho số phứcz có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ M, biết z2 có điểm biểu diễn làN hình vẽ Mệnh đề sau đúng?

A |z|<1 B 1<|z|<3 C 3<|z|<5 D |z|>5

x y

O

M N

-Lời giải

Gọiz=a+bivớia, b∈R+ vàa < b Khi đóz2=a2−b2+ 2abi

Từ hình vẽ ta thấy

  

 

a2−b2 <0 2ab >2b a2−b2 >−a ⇔

® a >1 b <

√ ⇔ 1< a < b <√2 Vậy1<|z|<3

(73)

Câu 22 Gọi M, N điểm biểu diễn z1, z2 mặt phẳng phức, I trung điểmM N,

O gốc tọa độ (3 điểm O, M, N phân biệt không thẳng hàng) Mệnh đề sau đúng? A |z1+z2|= 2OI B |z1+z2|=OI

C |z1−z2|=OM +ON D |z1−z2|= 2(OM +ON) -Lời giải

GọiP điểm biểu diễn số phứcz1+z2

Khi đóOM P N hình bình hành nên 2OI =OP =|z1+z2|

|z1−z2|=M N M N 6=OM+ON,M N 6= 2(OM +ON)

Vậy đáp số là|z1+z2|= 2OI

O

M

N I

P

Chọn đáp án A

Câu 23 Gọi A, B, C điểm mặt phẳng Oxy theo thứ tự biểu diễn số phức + 3i, +i, + 2i Trọng tâmGcủa tam giác ABC biểu diễn số phứcz Tìmz

A z= +i B z= 1−i C z= 2−2i D z= + 2i

-Lời giải

Ta có:A(2; 3),B(3; 1),C(1; 2) ⇒G(2; 2) điểm biểu diễn số phứcz= + 2i

Chọn đáp án D

Câu 24 Trong mặt phẳng phức, gọi A, B,C, D điểm biểu diễn số phứcz1 =−1 +i,

z2 = + 2i,z3 = 2−i,z4 =−3i GọiS diện tích tứ giácABCD TínhS

A S = 17

2 B S =

19

2 C S =

23

2 D S=

21

-Lời giải

Ta cóz1 =−1 +i⇒A(−1; 1);

z2 = + 2i⇒B(1; 2);

z3 = 2−i⇒C(2;−1);

z4 =−3i⇒D(0;−3)

AB=√5,AC =√13,BC =√10,AD=√17,CD= 2√2 Do đó:p1 =

AB+AC+BC

2 =

√

5 +√13 +√10

2

Diện tích tam giácABC làS4ABC =

p

p1(p1−AB)(p1−BC)(p1−AC)

2 =

7 p2 =

AD+CD+AC

2 =

√

17 + 2√2 +√13

2

Diện tích tam giácACD làS4ACD =

p

p2(p2−AC)(p2−AD)(p2−CD) =

Vậy diện tích tứ giácABCD làSABCD=S4ABC+S4ACD=

7 + =

17

Chọn đáp án A

Câu 25 Trên mặt phẳng tập hợp số phức z=x+yi thỏa mãn|z+ +i|=|z−3i|là đường thẳng có phương trình

A y =x+ B y=−x+ C y=−x−1 D y=x−1

-Lời giải

Ta có|z+ +i|=|z−3i| ⇔ |(x+ 2) + (y+ 1)i|=|x−(y+ 3)i| ⇔(x+ 2)2+ (y+ 1)2=x2+ (y+ 3)2 ⇔4x+ + 2y+ = 6y+ 9⇔x−y−1 =

Chọn đáp án D

Câu 26 Cho số phức z=m+ + (m2−1)i, vớim tham số thực thay đổi Tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thuộc đường cong(C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi(C)và trục hoành

A

3 B

4

3 C

1

3 D

2

(74)

Ta cóz=m+ + (m2−1)i=x+yi⇒ ®

x=m+ y=m2−1 ⇒y= (x−3)2−1 =x2−6x+

Phương trình hồnh độ giao điểm của(P) trục hoành x2−6x+ = 0⇒x= 2;x=

x y

O

Diện tích hình phẳng cần tính

4

Z

2

−(x2−6x+ 8) dx=

Chọn đáp án B

6 ĐÁP ÁN

1 C D B D A D C D A 10 A

11 B 12 A 13 B 14 C 15 B 16 B 17 C 18 C 19 A 20 A

21 B 22 A 23 D 24 A 25 D 26 B

7 VẬN DỤNG CAO

Câu Cho số phức z thỏa mãn |z|=m2−2m+ 2, với m tham số thực Biết điểm biểu diễn số phứcw= (6 + 8i)z+ithuộc đường trịn (Cm) Tìm bán kính nhỏ đường trịn(Cm)

A

10 B C 10 D

√ 10

-Lời giải

Ta ców= (6 + 8i)z+i⇔ w−i

6 + 8i =z⇔

w−i + 8i

=|z| ⇔ |w−i|=|z| · |6 + 8i|= 10 m2−2m+ Giả sửw=x+yivớix;y∈R, đó|w−i|= 10 m2−2m+

⇒(x)2+ (y−1)2 = 100 m2−2m+ 22 ⇒ tập hợp biểu diễnw đường trịn có bán kínhR= 10 m2−2m+

Ta cóm2−2m+ = (m−1)2+ 1≥1⇒R≥10⇒Rmin = 10

Chọn đáp án C

Câu Cho số phức z thỏa mãn |z−3−4i|=√5 GọiM m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P =|z+ 2|2− |z−i|2 TínhS =M2+m2.

A 1256 B 1258 C 1233 D 1236

-Lời giải

Cách 1:Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Gọiz=x+yi,(x, y∈R)

Ta có|z−3−4i|=√5⇔ |x−3 + (y−4)i|=√5⇔(x−3)2+ (y−4)2 = (∗)

Ta cóP =|z+ 2|2− |z−i|2 = (x+ 2)2+y2−[x2+ (y−1)2] = 4x+ 2y+ 3⇒y= P −4x−3 Thế vào(∗) rút gọn ta có:20x2−8(P−8)x+P2−22P+ 137 = 0

Phương trình bậc hai có nghiệm⇔∆0 =−4P2+ 184P−1716≥0⇔13≤P ≤33.

Từ ta cóM = 33;m= 13⇒M2+m2 = 1258 Cách 2:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Gọiz=x+yi, (x, y∈R)

Ta có|z−3−4i|=√5⇔ |x−3 + (y−4)i|=√5⇔(x−3)2+ (y−4)2 =

Ta cóP =|z+ 2|2− |z−i|2 = (x+ 2)2+y2−[x2+ (y−1)2] = 4x+ 2y+ = 4(x−3) + 2(y−4) + 23 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

|4(x−3) + 2(y−4)| ≤p

(16 + 4)[(x−3)2+ (y−4)2] = 10

⇔ −10≤4(x−3) + 2(y−4)≤10⇔13≤4(x−3) + 2(y−4) + 23≤33⇔13≤P ≤33 Từ ta cóM = 33;m= 13⇒M2+m2= 1258

Chọn đáp án B

Câu Cho hai số phứcz1,z2 thỏa mãn|z1|= 2,|z2|=

√

3 GọiM,N điểm biểu diễn choz1 vàiz2

BiếtM ON÷ = 30◦ TínhS=

z21+ 4z22

A 5√2 B 3√3 C 4√7 D √5

(75)

O

x y

1

M I

P N

O

Ta cóS=z21+ 4z22 =

z12−(2iz2)2

=|z1−2iz2| · |z1+ 2iz2| GọiP điểm biểu diễn số phức2iz2 Khi ta có

|z1−2iz2| · |z1+ 2iz2|=

# » OM−OP# »

·

# » OM+OP# »

=

# » P M

·

# » OI

= 2P M·OI VìM ON÷ = 30◦ nên áp dụng định lí cơsin cho 4OM N vớiOM = 2,ON =

√ ta có M N2 =OM2+ON2−2OM·ONcosM ON÷ = + 3−4

√

3·cos 30◦ = 1⇒M N =

Khi theo Pitago ta có 4OM N vng N Khi 4OM P có M N đường cao đồng thời trung tuyến, tức là4OM P cân M ⇒P M =OM =

Áp dụng định lý đường trung tuyến cho4OM N ta cóOI2 = OM

2+OP2

2 −

M P2

4 = VậyS = 2·P M·OI = 4√7

Chọn đáp án C

8 ĐÁP ÁN

(76)

BÀI 2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Điểm M(a;b) hệ trục tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phứcz= a+bi

2 Các điểm M(a;b) M0(a;−b) biểu diễn số phức

z=a+bivàz=a−bi O

x y

b

a M(a;b)

−b

M0(a;−b)

ϕ

tanϕ= b

a·

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: GọiM(x;y) biểu diễn số phứcz=x+yi(với x, y∈R)

Bước : Biến đổi điều kiệnK để tìm mối liên hệ giữax,y kết luận

Mối liên hệ x y Kết luận tập hợp điểm M(x;y) ◦Ax+By+C = Là đường thẳng d:Ax+By+C =

◦(x−a)2+ (y−b)2 =R2 Là đường tròn (C) có tâmI(a;b) bán kínhR

◦x2+y2+ 2ax+ 2by+c= 0 Là đường trịn (C) có tâm I(−a;−b) và bán kính R =

√

a2+b2−c.

◦(x−a)2+ (y−b)2 ≤R2 Là hình trịn (C) có tâm I(a;b) bán kínhR

◦x2+y2+ 2ax+ 2by+c≤0 Là hình trịn(C)có tâmI(−a;−b)và bán kínhR=√a2+b2−c.

◦R2

1 ≤(x−a)2+ (y−b)2 ≤R22 Là hình vành khăn tạo hai đường tròn đồng tâmI(a;b)và bán

kính R1 R2

◦y=ax2+bx+c Là Parabol(P)có đỉnh I Å

− b 2a;−

∆ 4a

ã ◦x

2

a2 +

y2

b2 = với

®

M F1+M F2 = 2a

F1F2 = 2c <2a

Là đường Elip (E) có trục lớn 2a, trục nhỏ 2b tiêu cự 2c = 2√a2−b2.

◦

# » M A

=

# » M B

Là đường trung trực đoạnAB

B BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta có: ĐiểmA(2; 1) biểu diễn cho số phức z1 = +i

ĐiểmB( .; .) biểu diễn cho số phứcz2 =

ĐiểmC( .; .)biểu diễn cho số phức z3=

ĐiểmD( .; .) biểu diễn cho số phứcz4=

ĐiểmE( .; .) biểu diễn cho số phứcz5=

ĐiểmF( .; .)biểu diễn cho số phức z6 =

x y

O

A

B C

D E

F

−3 −1

(77)

Số phức z1 = +ivà số phức liên hợpz1=z2 = 2−icó điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ Oxy

làA vàB đối xứng qua trụcOx

Bài ĐiểmA hình vẽ điểm biểu diễn số phứcz Tìm phần thực phần ảo số phức z

x y

O 3

2 A

-Lời giải

Số phứcz= + 2inên số phức liên hợp z= 3−2i

Vậyz có phần thực 3và phần ảo là−2

Bài Cho số phứcz= 2−i Trên mặt phẳng tọa độ, tìm điểm biểu diễn số phức w=iz

-Lời giải

w=iz=i(2−i) = 2i−i2 = + 2i Suy điểm biểu diễn số phứcw=iz làQ(1; 2) Bài Cho số phứcz thỏa mãn 2i+z(1−i) =i(3−i) Trên mặt phẳng tọa độOxy, điểm điểm biểu diễn số phứcz

-Lời giải

Ta có:2i+z(1−i) =i(3−i)⇔z= i(3−i)−2i 1−i =

1 +i 1−i =i

Suy điểm biểu diễn số phứcz làM1(0; 1)

Bài Cho số phứcz= 3−2i Tìm điểm biểu diễn số phức w=z+i·z

-Lời giải

Ta có:w=z+i·z= 3−2i+i·(3 + 2i) = 3−2i+ 3i+ 2i2 = 3−2i+ 3i−2 = +i

Suy điểm biểu diễn số phứcw làM(1; 1)

Bài ĐiểmM(x0;y0) biểu diễn số phứczthỏa (1 +i)z+ (2 +i)z= +i Tính2x0+ 3y0 -Lời giải

DoM(x0;y0) biểu diễn số phứcznên z=x0+y0i

Ta có:

(1 +i)(x0+y0i) + (2 +i)(x0−y0i) = +i⇔3x0+ (2x0−y0)i= +i⇔

®

3x0=

2x0−y0=

⇔ ®

x0=

y0 =

Vậy2x0+ 3y0 = + =

Bài Cho hai số phức z1 = 1−3i,z2 =−4−6i có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ

làM,N Gọizlà số phức mà có điểm biểu diễn trung điểm đoạnM N Tính mơ-đun số phứcz

-Lời giải

Ta cóM(1;−3)vàN(−4;−6) I trung điểm đoạnM N nên I

Å −3

2;−

ã

Màz số phức có điểm biểu diễn trung điểm I đoạnM N nên z=−3 2−

9 2i Vậy|z|=

√ 10

2

Nhận xét Vì điểm biểu diễn số phức z = a+bi M(a;b) hay OM# » = (a;b) Do cần nhớ kiến thức véctơ, hệ trụcOxy hệ thức lượng tam giác

Cho ham giác ABC, hai véctơ #»a = (a1;a2), #»b = (b1;b2) R, r, p bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp nửa chu vi tam giácABC

1 Các phép toán vectơ:

Quy tắc ba điểm: AB# »=AC# »+CA# », AB# »−AC# »=CB# »

Quy tắc đường chéo hình bình hành ABCD: AC# »=AB# »+AD# »

2 AB# »= (xB−xA;yB−yA)⇒AB=

# » AB =

»

(78)

3 M trung điểm AB⇒xM =

xA+xB

2 vàyM =

yA+yB

2 G trọng tâm tam giác ABC ⇒xG=

xA+xB+xC

3 vàyG =

yA+yB+yC

3

4 Hai vectơ nhau: #»a = #»b ⇔ ®

a1 =b1

a2 =b2

5 Hai vectơ phương #»a ↑↑ #»b ⇔ #»a =k.#»b ⇔ a1 b1

= a2 b2

(b1, b2 6= 0)

6 Tích vơ hướng #»a #»b =a1b1+a2b2 =|#»a|

#» b cos Ä#» a ,#»bä⇒

       #»

a⊥#»b ⇔ #»a #»b = cosÄ#»a ,#»bä=

#»a #»b |#»a|

#» b

7 Định lí hàm sin: a

sinA = b sinB =

c

sinC = 2R

8 Định lí hàm cos:

  

 

a2 =b2+c2−2bc.cosA b2=a2+c2−2ac.cosB c2=b2+a2−2ab.cosC

9 Công thức trung tuyến:

              

m2a= b

2+c2 −a2 m2b = a

2+c2 −b2 m2c= b

2+a2 −c2

4 · a b c m a A B C

10 Diện tích: S= 2aha=

1

2bcsinA= abc

4R =pr= p

p(p−a)(p−b)(p−c); p= a+b+c

2 : nửa chu

vi

Bài

GọiM vàN điểm biểu diễn số phứcz1, z2 hình bên

TínhM N

x y

O

N M

-Lời giải

Đặtz1 =a1+b1i, z2=a2+b2i, suy M(a1;b1), N(a2;b2)

⇒M N = »

(a2−a1)2+ (b2−b1)2

Ta cóz1+z2 = (a1+a2) + (b1+b2)i⇒ |z1+z2|=

»

(a1+a2)2+ (b1+b2)2 6=M N

Bài GọiM điểm biểu diễn số phứcz1 = 3−4ivà điểm N điểm biểu diễn số phứcz2 =

1

2(1 +i)z1 Tính diện tíchS tam giácOM N vớiO gốc tọa độ

-Lời giải

Ta cóz1 = 3−4i,z2 =

1

2(1 +i)z1 = −

1

2i⇒M(3;−4), N Å

7 2;−

1

ã Ta cóN O# »=

Å −7 2; ã

,N M# »= Å

−1 2;−

7

ã

⇒N O.# »N M# »= 0⇒ 4OM N vuông N N O=

√

2 vàN M = 5√2

2 VậyS4OM N =

1

2 ·N O·N M = 25

(79)

Cần nhớ: Tính diện tích 4ABC : (# »

AB= (a;b) # »

AC = (c;d) ⇒S4ABC =

a b c d

=

2|ad−bc|

Bài 10 Trong mặt phẳng phức cho điểm điểm biểu diễn số phức z1 = +i, z2 =

(1 +i)2, z3=m−i Tìm tham sốm để tam giácABC vuông tạiB -Lời giải

Ta có# » z1 = +i⇒A(1; 1),z1= (1 +i)2 = 2i⇒B(0; 2),z3=m−i⇒C(m,−1)

BA= (1;−1),BC# »= (m;−3)

Để4ABC vuông B⇔BA.# »BC# »= 0⇔1·m+ (−1)·(−3) = 0⇔m+ = 0⇔m=−3 Bài 11 Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phứcz1= + 2i, z2=

3−2i, z3 =−3−2i Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tamABC -Lời giải

Ta cóz1 = + 2i⇒A(3; 2), z2 = 3−2i⇒B(3;−2), z3 =−3−2i⇒C(−3;−2)

B C đối xứng qua trục tung Trọng tâmGcủa tam giác ABC:G

Å 1;−2

3 ã

6= Å

1;2

ã A vàB đối xứng qua trục hoành

OA=OB =OC=√13 nên A, B, C nằm đường trịn tâm gốc tọa độ bán kính √13 Bài 12 ChoABCDlà hình bình hành vớiA, B, Clần lượt điểm biểu diễn số phức1−i, 2+3i, 3+i Tìm số phứcz có điểm biểu diễn làD

-Lời giải

Ta cóA(1;−1), B(2; 3), C(3; 1)

Gọiz=x+yi (x, y∈R)⇒D(x;y) Khi AB# »= (1; 4),DC# »= (3−x; 1−y)

DoABCD hình bình hành nênAB# »=DC# »⇔ ®

1 = 3−x = 1−y ⇔

® x= y =−3

Vậyz= 2−3i

Bài 13

Cho hai điểmM, N mặt phẳng phức hình vẽ, gọiP điếm cho OM N P hình bình hành Hỏi điểmP biểu thị cho số phức sau đây?

x y

O 3

2

N M

1

-Lời giải

Ta cóO(0; 0), M(1; 2), N(3; 1) vàOM N P hình bình hành ⇒P(2;−1)⇒P biểu thị số phứcz1 = 2−i

Bài 14 Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 = (1−i) ·

(2 +i), z2 = + 3i, z3=−1−3i Chứng minh tam giác ABC vuông -Lời giải

Ta cóz1= 3−inênA(3;−1), B(1; 3), C(−1;−3) Khi AB# »= (−2; 4),AC# »= (−4;−2),BC# »= (−2;−6)

Do (# »

AB·AC# »=

AB=AC = 2√5 nên tam giácABC vuông cân tạiA

Bài 15

Cho số phức z thỏa |z| = 2√10 Hỏi điểm biểu diễn z điểm hình?

x y

O

M

Q N

P

−2

−4

−3

(80)

-Lời giải

Ta có:M(3; 4)⇒ |z|= 5,N(−4; 2)⇒ |z|= 2√5,P(−3;−3)⇒ |z|= 3√2,Q(6;−2)⇒ |z|= 2√10 Bài 16

Trong mặt phẳng tọa độ, điểmM điểm biểu diễn số phức z Điểm hình vẽ điểm biểu diễn số phức2z?

x y

M E

P Q

N

-Lời giải

Dựa vào hình vẽ ta thấyOE# »= 2OM# »

Vậy điểmE điểm biểu diễn số phức2z

Bài 17

Cho số phứczcó điểm biểu diễn làM Biết số phứcw=

z biểu diễn bốn điểmP, Q, R, S hình vẽ Hỏi điểm biểu diễn củawlà điểm nào?

x y

M

Q

S P

R

1

-Lời giải

Ta cóM(1; 1) nên z= +i, suy w= z =

1 +i =

1 −

1 2i

Vậy điểm biểu diễn củaw điểmQ

Bài 18

Số phức z biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vẽ Hỏi điểm biểu diễn số phứcw= i

z nằm góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy?

x y

z

1

-Lời giải

Gọiz=x+yi,(x, y∈R+)sao cho 0< x2+y2 <√2 Khi đó

w= i z =

i x−yi =

i(x+yi) x2+y2 =

−y+xi x2+y2 =−

y x2+y2 +

x x2+y2i

Mà− y

x2+y2 <0;

x

x2+y2 >0⇒ điểm biểu diễn số phứcw nằm góc phần tư thứ hai

Bài 19

Cho số phứcz thỏa|z|= √

2

2 điểm A hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ, điểm biểu diễn số phức w=

iz bốn điểm M, N, P, Q Khi điểm biểu diễn số phức wlà điểm sau đây?

x y

P

A

N M Q

(81)

Gọiz=x+iy,(x, y∈R+)sao cho x2+y2 =

2 Khi w=

iz = −y+xi =

−y−xi

x2+y2 =−2y−2xi

Dựa vào hình vẽ đề ta suy điểm biểu diễn số phứcw điểmP Bài 20 Trên mặt phẳng phức, gọi M điểm biểu diễn số phức z = (2−3i)·(1 +i) ϕ góc tạo chiều dương trục hồnh véc-tơOM# » Tínhsin 2ϕ

-Lời giải

Ta cóz= (2−3i)·(1 +i) = 5−inên M(5;−1)⇒OM# »= (5;−1) Dotanϕ=−1

5 nên sin 2ϕ=

2 tanϕ + tan2ϕ =−

5

13

Bài 21 Trên mặt phẳng phức, gọi M điểm biểu diễn số phức z = (2 +i)2·(4−i) gọi ϕ góc tạo chiều dương trục hoành véc-tơOM# » Tínhcos 2ϕ

-Lời giải

Ta cóz= (2 +i)2·(4−i) = 16 + 13i nênM(16; 13)⇒OM# »= (16; 13) Dotanϕ= 13

16 nên cos 2ϕ=

1−tan2ϕ + tan2ϕ =

87

425

Bài 22 ChoA, B, C, D bốn điểm mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn số phức + 2i,1 + √

3 +i,1 +√3−i,1−2i Biết ABCDlà tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I, bán kínhR Hỏi tọa độ điểmI biểu diễn số phức sau đây?

-Lời giải

Ta cóA(1; 2), BÄ1 +√3; 1ä, CÄ1 +√3;−1ä, D(1;−2)và gọi I(x;y)

DoABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm I, bán kính R nên IA=IB=IC =ID=R Suy ra: +)IA2 =ID2 ⇒(x−1)2+ (y−2)2 = (x−1)2+ (y+ 2)2⇒y=

+)IA2 =IB2⇒(x−1)2+ (y−2)2 =Ä

x−1−√3ä2+ (y−1)2, với y= ta tìm đượcx=

VậyI(1; 0) nênI biểu diễn số phứcz=

Bài 23 Cho hai số phứcz0, z1 khác0thỏa mãnz02−z0z1+z12= GọiA, Blần lượt điểm biểu diễn

cho số phứcz0, z1 Hỏi tam giác OAB tam giác gì? -Lời giải

Ta có

z02−z0z1+z12= ⇔

Åz

0

z1

ã2 −z0

z1

+ =

⇔     z0 z1

= 1−i √

3 z0

z1

= +i √ ⇔    

z0 =

1−i√3 z1 z0 =

1 +i√3 z1 Xét trường hợp z0 =

1−i√3 z1 OA=|z0|=

1−i√3 z1

=

1−i√3

· |z1|=|z1|=OB

AB=

# » OB−OA# »

=|z1−z0|=

z1−

1−i√3 z1

=

1 +i√3 z1

=|z1|=OB Như vậy:OA=OB=AB ⇒ 4OAB tam giác

Xét trường hợp z0 =

1 +i√3 z1 OA=|z0|=

1 +i√3 z1

=

1 +i√3

(82)

AB=

# »

OB−OA# »

=|z1−z0|=

z1−

1 +i√3 z1

=

1−i√3 z1

=|z1|=OB

Như vậy:OA=OB=AB ⇒ 4OAB tam giác

Tóm lại, ba điểmO,A,B tạo thành tam giác (O gốc tọa độ) Bài 24 Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M, M0 Số phức z(4 + 3i) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N, N0 Biết rằngM M0N0N hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =|z+ 4i−5|

-Lời giải

Đặt z = a + bi Khi z(4 + 3i) = 4a − 3b + (3a+ 4b)i M(a;# » b);M0(a;−b), N(4a−3b; 3a+ 4b), N0(4a−3b;−3a−4b) M N = (3a−3b; 3a+ 3b)

Theo tính chất đối xứng thìM N N0M0 hình thang cân Do để M N N0M0 hình chữ nhật M N# » phương với trục Ox hay 3a+ 3b= 0⇔b=−a

Ta có

|z+ 4i−5| = »(a−5)2+ (b+ 4)2

= »(a−5)2+ (−a+ 4)2 =p2a2−18a+ 41

=

2 Å

a−

ã2 +1

2 ≥ √1

2

O x

y

M

M0 N

N0

4a−3b a b

−b 3a+ 4b

−3a−4b

Dấu xảy khia=

2 hay z= 2−

9 2i Vậy giá trị nhỏ |z+ 4i−5|bằng √1

2 z= −

9

2i

Bài 25 Cho hai số phứcz1, z2 thỏa mãn|z1|= 2,|z2|=

√

3và gọiM, N điểm biểu diễn z1, iz2 thìM ON÷ = 30◦ TínhP =

z12+ 4z22

-Lời giải

Ta cóz12+ 4z22=z12−(2iz2)2 = (z1−2iz2)(z1+ 2iz2)

Lại cóÄOM ,# » ON# »ä= 30◦ và|z2

1 + 4z22|=|(z1−2iz2)(z1+ 2iz2)|=|z1−2iz2| · |z1+ 2iz2|

Mặt khác

|z1−2iz2|2 =|z1|2+ 4|iz2|2−4|z1||iz2|cos 30◦= 22+ 4·(

√

3)2−4·2·√3· √

3 = |z1+ 2iz2|2 =|z1|2+ 4|iz2|2+ 4|z1||iz2|cos 30◦= 22+ 4·(

√

3)2+ 4·2·√3· √

3 = 28 Do z21+ 4z22=

√

4·28 = 4√7

Dạng Tập hợp điểm số phức đường thẳng toán liên quan Phương pháp giải:

Bài 1 Cho số phức z thỏa mãn |z−(1 +i)| = |z+ 2i| Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3−4i)z−1trên mặt phẳng tọa độ đường thẳng Viết phương trình đường thẳng

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcw=x+yi (x, y∈R) Ta có

(83)

Do

|z−(1 +i)|=|z+ 2i| ⇔

x+ +yi

3−4i −(1 +i)

=

x+ +yi 3−4i + 2i

⇔

(x−6) + (y+ 1)i 3−4i

=

(x+ 9) + (y+ 6)i 3−4i

⇔ |(x−6) + (y+ 1)i| |3−4i| =

|(x+ 9) + (y+ 6)i| |3−4i| ⇔ |(x−6) + (y+ 1)i|=|(x+ 9) + (y+ 6)i| ⇔ »(x−6)2+ (y+ 1)2=»(x+ 9)2+ (y+ 6)2

⇔ (x−6)2+ (y+ 1)2 = (x+ 9)2+ (y+ 6)2 ⇔ 3x+y+ =

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà đường thẳng có phương trình 3x+y+ = 2 Cho số phứczthỏa mãn|z−2−i|=|¯z+ 2i| Tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= (1 +i)z−2

trên mặt phẳng tọa độ đường thẳng Viết phương trình đường thẳng

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcw=x+yi (x, y∈R) Ta có

w= (1 +i)z−2 =x+yi⇔z= (x+y+ 2)−(x−y+ 2)i

2

Do

|z−2−i|=|¯z+ 2i| ⇔

(x+y+ 2)−(x−y+ 2)i

2 −2−i

=

(x+y+ 2) + (x−y+ 2)i

2 + 2i

⇔

(x+y−2)−(x−y+ 4)i

=

(x+y+ 2) + (x−y+ 6)i

⇔ |(x+y−2)−(x−y+ 4)i|=|(x+y+ 2) + (x−y+ 6)i| ⇔ »(x+y−2)2+ (x−y+ 4)2 =»(x+y+ 2)2+ (x−y+ 6)2

⇔ (x+y−2)2+ (x−y+ 4)2 = (x+y+ 2)2+ (x−y+ 6)2 ⇔ 3x+y+ =

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà đường thẳng có phương trình 3x+y+ = Bài Cho số phức z thỏa mãn 2|z−2 + 3i| = |2i−1−2¯z| Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độOxy đường thẳng có phương trình sau đây?

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+yi(x, y∈R) Ta có 2|z−2 + 3i|=|2i−1−2¯z|

⇔ 2|(x+yi)−2 + 3i|=|2i−1−2(x−yi)| ⇔ 2|(x−2) + (y+ 3)i|=|(−2x−1) + (2y+ 2)i| ⇔ 2»(x−2)2+ (y+ 3)2 =»(−2x−1)2+ (2y+ 2)2

⇔ 4(x−2)2+ (y+ 3)2= (−2x−1)2+ (2y+ 2)2 ⇔ 20x−16y−47 =

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng có phương trình 20x−16y−47 = Bài Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn|z|=|¯z−2 + 3i|

(84)

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+yi(x, y∈R) Ta có |z|=|¯z−2 + 3i|

⇔ |x+yi|=|(x−yi)−2 + 3i| ⇔ |x+yi|=|(x−2) + (3−y)i| ⇔ px2+y2=»(x−2)2+ (3−y)2

⇔ x2+y2 = (x−2)2+ (3−y)2 ⇔ 4x+ 6y−13 =

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường thẳng có phương trình 4x+ 6y−13 = Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z(1 +i) số thực

-Lời giải

GọiM(x;y)là điểm biểu diễn số phứcz=x+yi(x, y∈R) Ta cóz(1+i) = (x+yi)(1+i) = (x−y)+(x+y)i Đểz(1 +i)là số thực điều kiện cần đủ làx+y= 0⇔y=−x

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng có phương trình y=−x Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện w=z(2 + 3i) + 5−ilà số ảo

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+yi(x, y∈R) Ta có

w=z(2 + 3i) + 5−i= (x+yi)(2 + 3i) + 5−i= (2x−3y+ 5) + (3x+ 2y−1)i Đểw=z(2 + 3i) + 5−ilà số ảo điều kiện cần đủ 2x−3y+ =

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng có phương trình 2x−3y+ = Bài Tìm tất số phức z thỏa mãn|z−2i|=√5 điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng d: 3x−y+ =

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+yi(x, y∈R) Ta có |z−2i|=

√

5 ⇔ |(x+yi)−2i|= √

5 ⇔ |x+ (y−2)i|=

√ ⇔ x2+ (y−2)2=

Mặt khác, điểm biểu diễn số phứcz thuộc đường thẳng d: 3x−y+ = 0nên ta có hệ phương trình ®

x2+ (y−2)2= 3x−y+ = ⇔

® x= y=

  

 

x=−2 y=−1 Từ suy z= + 4ihoặcz=−2

5 −

5i

Bài Cho số phứczthỏa mãn|z−i|=|z−1 + 2i| Tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= (2−i)z+ mặt phẳng tọa độ đường thẳng Viết phương trình đường thẳng

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcw=x+yi (x, y ∈R) thỏa tốn Ta ców= (2−i)z+ =x+yi⇔z= x−1 +yi

2−i Từ

|z−i|=|z−1 + 2i| ⇔

x−1 +yi 2−i −i

=

x−1 +yi

2−i −1 + 2i

⇔ |(x−2) + (y−2)i| |2−i| =

|(x−1) + (y+ 5)i| |2−i|

⇔ »(x−2)2+ (y−2)2=»(x−1)2+ (y+ 5)2

⇔ x+ 7y+ =

(85)

Nhận xét Bài tốn cho z, u cầu tìm tập hợp điểm biểu diễn w (loại gián tiếp) thường ta gọi

w=x+yi, sau biểu thị z theo x, y tìm tập hợp điểm

Bài Cho tất số phứcz=x+yi (x, y∈R) thỏa mãn|z+ 2i−1|=|z+i| Biếtz biểu diễn điểmM choM A ngắn vớiA(1; 3) TìmP = 2x+ 3y

-Lời giải

|z+ 2i−1|=|z+i| ⇔ |x+yi+ 2i−1|=|x+yi+i| ⇔ |(x−1) + (y+ 2)i|=|x+ (y+ 1)i| ⇔ (x−1)2+ (y+ 2)2 =x2+ (y+ 1)2 ⇔ x−y−2 =

Như vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phứczlà đường thẳng ∆ :x−y−2 = GọiH hình chiếu vng góc điểmA(1; 3)trên đường thẳng∆,khi đóH(3; 1)

Ta ln cóM A≥M H Nên, M Angắn M ≡H, hay M(3; 1)

Do P = 2x+ 3y= 2·3 + 3·1 =

Bài Cho hai số phức z1 = + 3i z2 = −5−3i Tìm điểm M(x;y) biểu diễn số phức z3, biết

trong mặt phẳng phức điểmM nằm đường thẳngx−2y+ = 0và mô-đun số phứcw= 3z3−z2−2z1

đạt giá trị nhỏ

-Lời giải

Vì điểmM(x;y) nằm đường thẳngx−2y+ = 0nên M = (2y−1;y) Do z3= (2y−1) +yi

Ta ców= 3z3−z2−2z1 = [(2y−1) +yi]−(−5−3i)−2(1 + 3i) = 6y+ (3y−3)i

|w|=p(6y)2+ (3y−3)2=

45

Å y−1

5 ã2

+36 ≥

6√5 Đẳng thức xảy y=

5 Như vậy|w|nhỏ M

Å −3

5;

ã

Dạng Tập hợp điểm số phức đường trịn, hình trịn, hình vành khăn Phương pháp giải

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện|z−(3−4i)|=

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+yi (x, y ∈R) thỏa mãn toán Ta có

|z−(3−4i)|= ⇔ |x+yi−(3−4i)|= ⇔ |(x−3) + (y+ 4)i|= ⇔ »(x−3)2+ (y+ 4)2 = 2

⇔ (x−3)2+ (y+ 4)2=

Vậy, tập hợp điểmM(x;y)là điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn toán đường trịn(C) : (x−

3)2+ (y+ 4)2= có tâm I(3;−4), bán kínhR=

2 Cho số phứcz thỏa mãn|z+ 2|= Biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= (1−2i)z+ đường tròn tâmI bán kínhR Tìm I vàR

(86)

Gọiw=x+yi (x, y ∈R) Theo đề ta có

w= (1−2i)z+ ⇔ z= w−3 1−2i ⇔ z+ = w−3

1−2i+ ⇔ z+ = w−1−4i

1−2i

⇔ z+ = (x−1) + (y−4)i 1−2i Lấy mô-đun hai vế ta

|z+ 2|=

(x−1) + (y−4)i 1−2i

⇔ = |(x−1) + (y−4)i| |1−2i| ⇔ =

p

(x−1)2+ (y−4)2

√

⇔ (x−1)2+ (y−4)2= (5√5)2

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà đường trịn có tâm I(1; 4), bán kính R= 5√5 3 Cho số phức z thỏa mãn (2 +i)|z| =

√ 10

z + −2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w= (3−4i)z−1 + 2ilà đường tròn tâmI bán kínhR TìmI vàR

-Lời giải

Ta có(2 +i)|z|= √

10

z + 1−2i⇔(2|z| −1) + (|z|+ 2)i= √

10 z Lấy mô-đun hai vế, ta có

|(2|z| −1) + (|z|+ 2)i|=

√ 10 z

⇔ »

(2|z| −1)2+ (|z|+ 2)2 = √

10 |z| ⇔ 5|z|2+ = 10

|z|2

⇔ 5|z|4+ 5|z|2−1 = 0⇔ |z|= Gọiw=x+yi (x, y ∈R) Theo đề ta có

w= (3−4i)z−1 + 2i⇔z= w+ 1−2i

3−4i ⇔z=

(x+ 1) + (y−2)i 3−4i Lấy mô-đun hai vế ta

|z|=

(x+ 1) + (y−2)i 3−4i

⇔ |z|= |(x+ 1) + (y−2)i| |3−4i| ⇔ =

p

(x+ 1)2+ (y−2)2

5

⇔ (x+ 1)2+ (y−2)2= 25

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phứcw đường trịn tâmI(−1; 2), bán kính R= 4 Hãy xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phứczthỏa mãn1<|z−1|<

2

(87)

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phức z =x+yi (x, y ∈ R) thỏa mãn tốn

Theo đề ta có

1<|z−1|<2 ⇔ 1<|(x−1) +yi|<2 ⇔ 1<»(x−1)2+y2 <2

⇔ 1<(x−1)2+y2<4

Vậy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z thỏa mãn < |z−1|<2là hình vành khăn phần nằm hai đường tròn đồng tâm I(1; 0) với bán kính R1 = 1, R2 = hình vẽ bên (khơng

tính điểm nằm hai đường tròn)

x y

O I

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z−i|=|(1 +i)z|

-Lời giải

|z−i|=|(1 +i)z| ⇔ |(x+yi)−i|=|(1 +i)(x+yi)| ⇔ |x+ (y−1)i|=|(x−y) + (x+y)i| ⇔ »x2+ (y−1)2=»(x−y)2+ (x+y)2

⇔ x2+ (y−1)2 = (x−y)2+ (x+y)2 ⇔ x2+y2+ 2y−1 =

⇔ x2+ (y+ 1)2 =

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn điều kiện |z−i|=|(1 +i)z| đường trịn(C) có

phương trìnhx2+ (y+ 1)2 =

Cần nhớ kiến thức đường tròn mặt phẳng tọa độOxy 1 Để viết phương trình đường trịn ta cần tìm tâm I(a;b) bán kínhR Dạng Đường trịn (C) có phương trình(x−a)2+ (y−b)2 =R2

Dạng Đường trịn (C) có phương trìnhx2+y2−2ax−2by+c= 0, vớiR =√a2+b2−c.

2 Chu vi đường trịnp= 2πR diện tích hình trịn S=πR2

Bài Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z−3 + 5i| = đường trịn Tính chu vi pcủa đường trịn

-Lời giải

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z−3 + 5i| = đường trịn tâm I(3;−5), bán kính

R= Chu vi đường tròn p= 2πR= 8π

Bài Cho số phứcz thỏa mãn(z+ 1)(¯z−2i) số ảo Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có diện tích S bao nhiêu?

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+yi(x, y∈R)

Ta có(z+1)(¯z−2i) = (x+yi+1)(x−yi−2i) = [(x+ 1) +yi]·[x−(y+ 2)i] = (x2+y2+x+2y)−(2x+y+2)i (z+ 1)(¯z−2i)là số ảo x2+y2+x+ 2y= 0⇔

Å x+1

2 ã2

+ (y+ 1)2 = Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường tròn (C) tâm I

Å −1

2;−1 ã

, bán kínhR= √

5 Diện tích hình trịn (C) làS=πR2 = 5π

4

(88)

-Lời giải

w= 2z−i ⇔ z= w+i ⇔ z−1 = w+i

2 −1 ⇔ z−1 = w−2 +i

2

⇔ z−1 = (x−2) + (y+ 1)i

2

Lấy mô-đun hai vế ta

|z−1|=

(x−2) + (y+ 1)i

⇔ = |(x−2) + (y+ 1)i|

⇔ = p

(x−2)2+ (y+ 1)2

2

⇔ (x−2)2+ (y+ 1)2 = 16

Như vậy,tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= 2z−ilà đường tròn tâmI(2;−1)và bán kính R= Bài Cho số phứcz thỏa mãn|z−1|= Biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= (1 +i√3)z+ đường tròn tâmI bán kínhR Tìm khẳng định

-Lời giải

w= (1 +i√3)z+ ⇔ z= w−2 +i√3 ⇔ z−1 = w−2

1 +i√3−1 ⇔ z−1 = w−3−i

√ +i√3 ⇔ z−1 = (x−3) + (y−

√ 3)i +i√3 Lấy mô-đun hai vế ta

|z−1|=

(x−3) + (y−√3)i +i√3

⇔ =

(x−3) + (y− √

3)i

+i

√

⇔ = »

(x−3)2+ (y−√3)2

2

⇔ (x−3)2+ (y−√3)2 =

Như vậy,tập hợp điểm biểu diễn số phứcw = (1 +i√3)z+ đường tròn tâm I(3;√3)và bán kính

R=

Bài Cho số phứcz thỏa mãn|z−1 + 2i|= Biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= ¯z+ 1−ilà đường trịn tâmI bán kínhR Tìm khẳng định

(89)

w= ¯z+ 1−i ⇔ z¯=w−1 +i

⇔ z¯= (x−1) + (y+ 1)i ⇔ z= (x−1)−(y+ 1)i

⇔ z−1 + 2i= (x−1)−(y+ 1)i−1 + 2i ⇔ z−1 + 2i= (x−2) + (1−y)i

|z−1 + 2i|=|(x−2) + (1−y)i| ⇔ =»(x−2)2+ (1−y)2

⇔ (x−2)2+ (y−1)2 =

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w= ¯z+ 1−ilà đường trịn tâmI(2; 1)và bán kínhR= Bài Cho số phứcz thỏa mãn|z+ 1|2 = z¯z

2 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w= (1 + 2i)z+ đường tròn tâmI bán kínhR Tìm I vàR

-Lời giải

w= (1 + 2i)z+ ⇔ z= w−1 + 2i ⇔ z= (x−1) +yi

1 + 2i Từ ta có

|z+ 1|2= zz¯ ⇔

(x−1) +yi + 2i +

2

= ·

(x−1) +yi + 2i ·

(x−1)−yi 1−2i ⇔

x+ (y+ 2)i + 2i

2

= 2·

(x−1)2+y2 ⇔ x

2+ (y+ 2)2

5 =

1 ·

(x−1)2+y2 ⇔ 2x2+ (y+ 2)2= (x−1)2+y2 ⇔ (x+ 1)2+ (y+ 4)2 = 10

Như vậy,tập hợp điểm biểu diễn số phức w= (1 + 2i)z+ đường tròn tâm I(−1;−4) bán kính

R=√10

Bài Cho số phức z thỏa mãn (1−i)|¯z| = √

3

z + +i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w=iz−1 +ilà đường tròn tâmI bán kínhR Tìm khẳng định

-Lời giải

Ta có(1−i)|¯z|= √

3

z + +i⇔(1−i)|z|= 2√3

z + +i⇔(|z| −1)−(|z|+ 1)i= 2√3

z Lấy mơ-đun hai vế, ta có

|(|z| −1)−(|z|+ 1)i|=

2√3 z

⇔ »(|z| −1)2+ (|z|+ 1)2 = √

3 |z| ⇔ (|z| −1)2+ (|z|+ 1)2= 12

|z|2 ⇔ |z|4+|z|2−6 =

(90)

w=iz−1 +i⇔z=−iw−i−1⇔z= (y−1) + (−x−1)i Từ ta có

|z|=|(y−1) + (−x−1)| ⇔ √2 =»(y−1)2+ (−x−1)2

⇔ (x+ 1)2+ (y−1)2=

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà đường trịn tâm I(−1; 1), bán kính R=√2 Bài 10 Cho số phức z thỏa mãn (3−7i)|z|= 176−82i

¯

z + + 3i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w= (1 +i)z+ 2−ilà đường trịn tâmI bán kínhR Tìm I vàR

-Lời giải

Ta có(3−7i)|z|= 176−82i ¯

z + + 3i⇔(3|z| −7)−(7|z|+ 3)i=

176−82i ¯

z

Lấy mơ-đun hai vế, ta có

|(3|z| −7)−(7|z|+ 3)i|=

176−82i ¯ z

⇔ »

(3|z| −7)2+ (7|z|+ 3)2= √

37700 |z| ⇔ (3|z| −7)2+ (7|z|+ 3)2 = 37700

|z|2 ⇔ |z|4+|z|2−650 =

⇒ |z|2 = 25 ⇒ |z|= Gọiw=x+yi (x, y ∈R) Theo đề ta có

w= (1 +i)z+ 2−i⇔z= w−2 +i

1 +i ⇔z=

(x−2) + (y+ 1)i +i Từ ta có

|z|=

(x−2) + (y+ 1)i +i

⇔ = |(x−2) + (y+ 1)i| |1 +i| ⇔ =

p

(x−2)2+ (y+ 1)2

√

⇔ »(x−2)2+ (y+ 1)2= 5√2

⇒ (x−2)2+ (y+ 1)2 = 50

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà đường trịn tâm I(2;−1), bán kính R= 5√2 Bài 11 Cho số phức z thỏa mãn |3z+i|2 ≤z·z¯+ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn w= ¯z+ 1−i

-Lời giải

Gọiw=x+yi (x, y ∈R) Ta có

w= ¯z+ 1−i⇔z¯= (x−1) + (y+ 1)i⇔z= (x−1)−(y+ 1)i Từ ta có

|3z+i|2 ≤z·z¯+

⇔ |3 [(x−1)−(y+ 1)i] +i|2 ≤(x−1)2+ (y+ 1)2+ ⇔ |3(x−1)−(3y+ 2)i|2≤(x−1)2+ (y+ 1)2+ ⇔ 9(x−1)2+ (3y+ 2)2 ≤(x−1)2+ (y+ 1)2+ ⇔ (x−1)2+

Å y+

8 ã2

(91)

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà hình trịn (x−1)2+

Å y+5

8 ã2

≤ 73

64

Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức w thỏa mãn w = (1 +i√3)z+ 2với|z−1| ≤2

-Lời giải

w= (1 +i√3)z+ 2⇔z= w−2

1 +i√3 ⇔z=

(x−2) +yi +i√3 Từ ta có

|z−1| ≤2 ⇔

(x−2) +yi +i√3 −1

≤2

⇔

(x−3) + (y−√3)i +i√3

≤2

⇔ »

(x−3)2+ (y−√3)2

2 ≤2

⇔ (x−3)2+ (y−√3)2 ≤16

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà hình trịn (x−3)2+ (y−√3)2≤16 Bài 13 Tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= (1 +i)z+ 1vớizlà số phức thỏa mãn|z−1| ≤1 hình trịn Tính diện tích S hình trịn

-Lời giải

w= (1 +i)z+ 1⇔z= w−1

1 +i ⇔z=

(x−1) +yi +i Từ ta có

|z−1| ≤1 ⇔

(x−1) +yi +i −1

≤1 ⇔

(x−1) +yi +i −1

≤1 ⇔

p

(x−2)2+ (y−1)2

√

2 ≤1

⇔ x−2)2+ (y−1)2 ≤2

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phứcw hình trịn(x−2)2+ (y−1)2≤2 Bán kính hình trịn làR=√2,

diện tích hình trịn làS =πR2= 2π.

Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểmM biểu diễn số phức w thỏa mãn w = ¯z+ 1−i với|2z+i|2 ≤3zz¯+ 1là hình trịn Tìm tâmI bán kínhR

-Lời giải

w= ¯z+ 1−i⇔z¯=w−1 +i⇔z= (x−1)−(y+ 1)i Từ ta có

|2z+i|2 ≤3z¯z+

⇔ |2 [(x−1)−(y+ 1)i] +i|2≤3(x−1)2+ (y+ 1)2+ ⇔ |2(x−1)−(2y+ 1)i|2≤3

(x−1)2+ (y+ 1)2 + ⇔ 4(x−1)2+ (2y+ 1)2 ≤3

(x−1)2+ (y+ 1)2 + ⇔ (x−1)2+ (y−1)2≤4

(92)

Bài 15 Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn ≤ |z+ 1−i| ≤ hình vành khăn Tính chu viP hình vành khăn

-Lời giải

Giả sử số phứcz có dạng z=x+iy, với x,y∈R Khi đóz+ 1−i=x+iy+ 1−i= (x+ 1) + (y−1)i Do |z+ 1−i|=

»

(x+ 1)2+ (y−1)2

Xét|z+ 1−i|= 2⇔»(x+ 1)2+ (y−1)2 = 2⇔(x+ 1)2+ (y−1)2= (C1)

Tương tự ta xét|z+ 1−i|= 1⇔»(x+ 1)2+ (y−1)2 = 1⇔(x+ 1)2+ (y−1)2= (C2)

Do P tổng chu vi hai đường tròn (C1) (C2) Mà đường trịn (C1) có bán kính R1 = (C2) có

bán kínhR2= nên P = 2π·R1−2π·R2= 2π·2−2π·1 = 2π

Bài 16 Cho số phứcz thỏa mãn điều kiện3≤ |z−3i+ 1| ≤5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức ztạo thành hình phẳng Tính diện tíchS hình phẳng

-Lời giải

Giả sử số phứcz có dạng z=x+iy, với x,y∈R

Khi đóz−3i+ =x+iy−3i+ = (x+ 1) + (y−3)i Do |z−3i+ 1|=»(x+ 1)2+ (y−3)2

Xét|z−3i+ 1|= 5⇔»(x+ 1)2+ (y−3)2 = 5⇔(x+ 1)2+ (y−3)2= 25 (C1)

Tương tự ta xét|z−3i+ 1|= 3⇔»(x+ 1)2+ (y−3)2 = 3⇔(x+ 1)2+ (y−3)2= (C2)

Do đóS diện tích hình vành khăn tạo hai đường trịn (C1) và(C2) Mà đường trịn (C1)có bán kính

R1 = và(C2) có bán kính R2 = nênS =π·R12−π·R22 =π·52−π·32= 16π

Bài 17 Gọi(H)là tập hợp điểm mặt phẳng tọa độOxy biểu diễn số phức z=x+yi(x,y∈R) thỏa mãn điều kiệnx2+y2 ≤1≤x−y Tính diện tích hìnhH

-Lời giải

Do giả thiết số phứcz có dạng z=x+iy, vớix,y∈R

Khi ta xétx2+y2 = (1)và phương trìnhx−y= 1⇔y=x−1 (2) Thay (2) vào (1) ta có x2 + (x−1)2 = ⇔ x2 +x2 −2x+ = ⇔ 2x2−2x= 0⇔

ñ x= x=

Mặt khácx2+y2 = 1⇔y2= 1−x2 ⇔

"

y=p1−x2

y=−p1−x2

Do giả thiết suy hìnhH giới hạn đường x= 0; x= 1,y =x−1 vày=−√1−x2.

O x

y

−1

Khi diện tích hình H

S=

1

Z

0

Ä

x−1 +p1−x2ädx =

Z

0

xdx−

1

Z

0

dx+

1

Z

0

p

1−x2dx

= x

2

1

−x

1

+

1

Z

0

p

1−x2dx

= −1 2+

1

Z

0

p

1−x2dx.

XétJ =

1

Z

0

p

1−x2dx, đặtx= sint, vớit∈h−π

2; π i

suy dx= costdt Khi x= suy t= 0; x= 1suy t= π

2 Do J =

π

2

Z

0

p

1−sin2tcostdt=

π

2

Z

0

(93)

Vìcost≥0 với mọit∈h0;π i

nên

J =

π

2

Z

0

Å1 + cos 2t

ã

dt=

π

2

Z

0

dt+1

π

2

Z

0

cos 2tdt= 2t

π

2

+1 4sin 2t

π

2

= π Do S=−1

2 + π

4

Dạng Tập hợp điểm số phức elíp Phương pháp giải:

Định nghĩa Cho hai điểm cố định F1 F2 với F1F2 = 2c >0 Đường elíp tập hợp điểm

M cho M F1+M F2 = 2a (a > c) Hai điểm F1, F2 gọi tiểu điểm elíp Khoảng

cách 2cđược gọi tiêu cự elíp Phương trình tắc elíp(E) : x

2

a2 +

y2 b2 =

Các thông số cần nhớ:

Trục lớn A1A2= 2a Trục béB1B2 = 2b Tiêu cự F1F2 = 2c Mối liên hệa2 =b2+c2.

Bán kính qua tiêu củaM làM F1 =a+

c

ax,M F2=a− c ax

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài Biết tập hợp điểm M biểu diễn hình học số phứcz thỏa mãn |z+ 4|+|z−4|= 10 elíp (E) Hãy viết phương trình elíp

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+iy, với x,y∈Rthỏa mãn tốn Khi đóz−4 =x+iy−4 = (x−4) +yi

Do |z−4|= »

(x−4)2+y2.

Tương tự, xétz+ =x+iy+ = (x+ 4) +yi Do |z+ 4|=

»

(x+ 4)2+y2.

Từ giả thiết suy ra»(x−4)2+y2+»(x+ 4)2+y2 = 10 (∗).

ĐặtF1(−4; 0)và F2(4; 0) thì(∗)⇔M F1+M F2 = 10> F1F2 =

Nên tập hợp điểmM(x;y) biểu diễn số phứczlà elíp (E) : x

2

a2 +

y2

b2 = với hai tiêu điểmF1,F2

DoM F1+M F2 = 10suy 2a= 10⇔a=

Mặt khácF1F2= suy 2c= 8⇔c=

Màb2 =a2−c2 ⇔b2= 25−16⇔b2 = 9⇔b= Vậy phương trình elíp (E) : x

2

25+ y2

9 =

Bài Biết tập hợp điểm M biểu diễn hình học số phứcz thỏa mãn |z−2|+|z+ 2|= 10 elíp (E) Hãy viết phương trình elíp

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+iy, với x,y∈Rthỏa mãn tốn Khi đóz−2 =x+iy−2 = (x−2) +yi

Do |z−2|= »

(x−2)2+y2.

Tương tự, xétz+ =x+iy+ = (x+ 2) +yi Do |z+ 2|=

»

(x+ 2)2+y2.

(94)

2

a2 +

y2

DoM F1+M F2 = 10suy 2a= 10⇔a=

Màb2 =a2−c2 ⇔b2= 25−4⇔b2= 21⇔b=√21 Vậy phương trình elíp (E) : x

2

25+ y2

21 =

Bài Biết tập hợp điểmM biểu diễn hình học số phức z thỏa mãn|z−1|+|z+ 1|= elíp (E) Hãy viết phương trình elíp

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+iy, với x,y∈Rthỏa mãn tốn

Khi đóz−1 =x+iy−1 = (x−1) +yi Do |z−1|=»(x−1)2+y2.

Tương tự, xétz+ =x+iy+ = (x+ 1) +yi Do |z+ 1|=»(x+ 1)2+y2.

ĐặtF1(−1; 0)và F2(1; 1) thì(∗)⇔M F1+M F2 = 4> F1F2 =

2

a2 +

y2

DoM F1+M F2 = suy 2a= 4⇔a=

Màb2 =a2−c2 ⇔b2= 4−1⇔b2= 3⇔b=√3.

Vậy phương trình elíp (E) : x

2

4 + y2

3 =

Bài Biết tập hợp điểmM biểu diễn hình học số phức z thỏa mãn z−

√

+ z+

√

= elíp (E) Hãy viết phương trình elíp

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+iy, với x,y∈Rthỏa mãn tốn Khi đóz−√2 =x+iy−√2 =Äx−√2ä+yi

Do z−

√

= q

Ä

x−√2ä2+y2.

Tương tự, xétz+√2 =x+iy+√2 =Äx+√2ä+yi Do

z+ √

2 =

q Ä

x+√2ä2+y2.

Từ giả thiết suy q

Ä

x−√2ä2+y2+

q Ä

x−√2ä2+y2 = 8 (∗).

ĐặtF1

Ä

−√2; 0ävà F2

Ä√

2; 0äthì (∗)⇔M F1+M F2 = 8> F1F2 =

√ Nên tập hợp điểmM(x;y) biểu diễn số phứczlà elíp (E) : x

2

a2 +

y2

DoM F1+M F2 = suy 2a= 8⇔a=

Mặt khácF1F2=

√

2 suy 2c= 2√2⇔c=√2 Màb2 =a2−c2 ⇔b2= 16−2⇔b2= 14⇔b=√14 Vậy phương trình elíp (E) : x

2

16+ y2

14 =

Dạng Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

Sử dụng phương pháp lượng giác hóa Phương pháp giải: Đối với nhóm tốn tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn thi việc lượng giác hóa tỏ hiệu nhanh chóng

Giả sử có giả thiết (x−a)2 + (y−b)2 = R2 ⇔ x−a R

2 +

Å y−b

R ã2

= 1, gợi ta đến công

thức sin2t+ cos2t= nên ta đặt

  

 

x−a

R = sint y−b

R = cost ⇔

®

x=Rsint+a

y=Rcost+b để đưa tốn dạng lượng

(95)

−1≤sint≤1, −1≤cost≤1 asint+bcost=√a2+b2sin (t+α). Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng 1: |ax+by| ≤p

(a2+b2) (x2+y2).

asint+bcost≤»(a2+b2) sin2t+ cos2t

=√a2+b2.

Dấu đẳng thức xảy

 

 sint

a = cost

b

asint+bcost=pa2+b2

asint+bcost≥ −»(a2+b2) sin2t+ cos2t

=−√a2+b2.

Dấu đẳng thức xảy

 

 sint

a = cost

b

asint+bcost=−pa2+b2

D BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài Cho số phứcz =x+iy (x, y ∈R) thỏa mãn đồng thời điều kiện |z−2−3i|= biểu thức |z+i+ 1|đạt giá trị lớn Tính giá trị biểu thức|3x−2y|

-Lời giải

Ta có |z−2−3i| = ⇔ |(x−2) + (y−3)i| = ⇔ »(x−2)2+ (y−3)2 = ⇔ (x−2)2 + (y−3)2 = (∗)

Cách giải Sử dụng lượng giác hóaĐặt ®

x=sint+ y= cost+ Ta có

|z+i+ 1| = |x−yi+i+ 1| = |(x+ 1) + (1−y)i| =

»

(x+ 1)2+ (1−y)2 =

»

((x−2) + 3)2+ (−2−(y−3))2 =

»

(x−2)2+ (x−2) + + + (y−3) + (y−3)2

Từ(∗)suy |z+i+ 1|=√6x+ 4y−10 Khi đó√6x+ 4y−10 =√6 sint+ cost+ 14 Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwar ta có

(6 sint+ cost)2 ≤ 62+ 42 sin2t+ cos2t2 ⇔(6 sint+ cost)2 ≤52⇔ |6 sint+ cost| ≤2 √

13 Suy ra√6x+ 4y−10≤p2√13 + 14

Dấu đẳng thức xảy 



 sint

6 = cost

4

6 sint+ cost= 2√13 ⇔

®

2 sint−3 cost= sint+ cost=

√ 13 ⇔

   

  

sint= √

13 13 cost=

√ 13 13

Do ®

x=sint+

y= cost+ suy    

  

x= √

13 13 + y=

√ 13 13 +

Nên|3x−2y|= √

(96)

Cách giải Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Ta có

|z+i+ 1| = |x−yi+i+ 1| = |(x+ 1) + (1−y)i| =

»

(x+ 1)2+ (1−y)2 =

»

((x−2) + 3)2+ (−2−(y−3))2 =

»

(x−2)2+ (x−2) + + + (y−3) + (y−3)2

Từ(∗)suy |z+i+ 1|=√6x+ 4y−10 =p6 (x−2) + (y−3) + 14 Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwar ta có

[6 (x−2) + (y−3)]2 ≤ 62+ 42ỵ

(x−2)2+ (y−3)2ó⇔ |6 (x−2) + (y−3)| ≤2√13

Suy ra√6x+ 4y−10≤p2√13 + 14 Dấu đẳng thức xảy

 

 x−2

6 = y−3

4

6x+ 4y−24 = 2√13 ⇔

®

2x−3y =−5

3x+ 2y = 12 +√13 ⇔    

  

x= √

13 13 + y=

√ 13 13 +

Nên|3x−2y|= √

13 13

Cách giải Sử dụng hình học (hình chiếu tương giao) Giải sửM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz

Từ(∗)suy tập hợp biểu diễn số phúczlà đường trịn có phương trình(C) : (x−2)2+ (y−3)2 = GọiI,R tâm bán kính đường trịn (C) ta cóI(2; 3),R=

Mặt khác

|z+i+ 1| = |x−yi+i+ 1| = |(x+ 1) + (1−y)i| =

»

(x+ 1)2+ (1−y)2 =

»

(x+ 1)2+ (y−1)2

Giả sửN(−1; 1) suy M N = »

(x+ 1)2+ (y−1)2

Bài tốn trở thành tìm vị trí điểmM đường trịn (C) cho độ dàiM N đạt giá trị lớn

GọiH,K giao điểm đường thẳng N I với đường trịn(C) hình bên

Dễ thấyN H ≤M N ≤N K suy maxM N = N K M ≡ K

Mà phương trình đường thẳng qua hai điểmI,N x+ = y−1

2 ⇔2x−3y+ =

Khi tọa độ điểmK nghiệm hệ phương trình

O x

y

−1

3

N

I K

(97)

®

2x−3y+ =

(x−2)2+ (y−3)2 = ⇔       

y= 2x+ (x−2)2+

Å2x+ 5 −3

ã2 = ⇔   

y= 2x+

9 (x−2)2+ (2x−4)2 = ⇔

 



y= 2x+

13x2−52x+ 43 =

⇔               

y= 2x+ 

  

x= +3 √

13 13 x= 2−3

√ 13 13 ⇔                    

x= +3 √

13 13 y= +2

√ 13       

x= 2−3 √

13 13 y= 3−2

√ 13

Suy tọa độ điểmK Ç

2 +3 √

13 13 ; +

3√13 13

å

Do       

x= +3 √

13 13 y= +2

√ 13

nên |3x−2y|= √

13 13

Bài Xét số phức z = a+bi với a, b ∈ R thỏa mãn |z−4−3i| = √5 Tính P = a +b |z+ 1−3i|+|z−1 +i|đạt giá trị lớn

-Lời giải

Ta có|z−4−3i|=√5⇔ |(a−4) + (b−3)i|=√5⇔»(a−4)2+ (b−3)2 =√5⇔(a−4)2+ (b−3)2= (∗)

Đặt (

a= √

5 sint+ b=√5 cost+ Ta có

Q = |z+ 1−3i|+|z−1 +i| =

»

(a+ 1)2+ (b−3)2+ »

(a−1)2+ (b+ 1)2 =

… Ä√

5 sint+ 5ä2+Ä√5 costä2+ …

Ä√

5 sint+ 3ä2+Ä√5 cost+ 4ä2 =

»

5 sin2t+ 10√5 sint+ 25 + cos2t+

»

5 sin2t+ 6√5 sint+ + cos2t+ 8√5 cost+ 16

= »

10√5 sint+ 30 + »

6√5 sint+ 8√5 cost+ 30

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwar ta có Å»

10√5 sint+ 30 + »

6√5 sint+ 8√5 cost+ 30 ã2

≤ 12+ 12Ä

10√5 sint+ 30 + 6√5 sint+ 8√5 cost+ 30ä ≤ 2Ä16

√

5 sint+ √

5 cost+ 60ä ≤ 16

√

5 (2 sint+ cost) + 120 Suy

»

10√5 sint+ 30 + »

6√5 sint+ 8√5 cost+ 30≤»16√5 (2 sint+ cost) + 120 Mà

(2 sint+ cost)2 ≤ 22+ 12

sin2t+ cos2t

⇔(2 sint+ cost)2 ≤5⇔ |2 sint+ cost| ≤√5 Nên

»

(98)

Suy raQ≤10√2dấu đẳng thức xảy    sint = cost sint+ cost=

√

⇔

®sint−2 cost= 0 sint+ cost=√5 ⇔

      

sint= √2 cost= √1

5 Mà

(

a=√5 sint+ b=

√

5 cost+ suy ®

a= b=

NênP =a+b= 10

Bài Xét số phức z = a+bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z+ 6−8i| = 2√5 Tính P = a+b Q = |z+ + 2i|+|z−2−2i|đạt giá trị lớn

-Lời giải

Ta có |z+ 6−8i| = 2√5 ⇔ |(a+ 6) + (b−8)i| = 2√5 ⇔ »(a+ 6)2+ (b−8)2 = 2√5 ⇔ (a+ 6)2 + (b−8)2= 20 (∗)

Đặt (

a= 2√5 sint−6 b= 2√5 cost+ Ta có

Q = |z+ + 2i|+|z−2−2i| =

»

(a+ 6)2+ (b+ 2)2+ »

(a−2)2+ (b−2)2 =

… Ä

2√5 sintä2+Ä2√5 cost+ 10ä2+ …

Ä

2√5 sint−8ä2+Ä2√5 cost+ 6ä2 =

»

20 sin2t+ 20 cos2t+ 40√5 cost+ 100 +

»

20 sin2t−32 √

5 sint+ 64 + 20 cos2t+ 24√5 cost+ 36

= »

40√5 cost+ 120 + »

−32√5 sint+ 24√5 cost+ 120

40√5 cost+ 120 + »

−32√5 sint+ 24√5 cost+ 120 ã2

≤ 12+ 12Ä

40√5 cost+ 120−32√5 sint+ 24√5 cost+ 120ä ≤ 2Ä64√5 cost−32√5 sint+ 240ä

≤ 64 √

5 (2 cost−sint) + 480 Suy

» 40

√

5 cost+ 120 + »

−32√5 sint+ 24 √

5 cost+ 120≤ »

64 √

5 (2 cost−sint) + 480 Mà

(2 cost−sint)2 ≤ 22+ (−1)2

cos2t+ sin2t⇔(2 cost−sint)2 ≤5⇔ |2 cost−sint| ≤√5 Nên

»

64√5 (2 cost−sint) + 480≤√800⇔ »

64√5 (2 cost−sint) + 480≤20√2 Suy raQ≤20√2dấu đẳng thức xảy

   cost = sint −1 cost−sint=

√

⇔ ®

2 sint+ cost= cost−sint=√5 ⇔

      

sint= − √

5 cost=

√ 5 Mà

(

a= 2√5 sint−6

b= 2√5 cost+ suy ®

a=−8 b= 12

(99)

Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z−2i

z−2 số ảo Tìm giá trị lớn biểu thức P = |z−1|+|z−i|

-Lời giải

Giả sử số phứcz=a+bivớia,b∈R Khi

z−2i z−2 =

a+bi−2i a+bi−2 =

a+ (b−2)i (a−2) +bi

= [a+ (b−2)i] [(a−2)−bi] [(a−2) +bi] [(a−2)−bi]

= a(a−2)−abi+b(b−2) + (b−2) (a−2)i (a−2)2+b2

= a(a−2) +b(b−2) (a−2)2+b2 +

Ç

(b−2) (a−2)−ab (a−2)2+b2

å i

Do giả thiết suy raa(a−2) +b(b−2) = 0⇔(a−1)2+ (b−1)2= (∗) Đặt

(

a=√2 sint+ b=√2 cost+ Ta có

P = |z−1|+|z−i| =

»

(a−1)2+b2+»a2+ (b−1)2

= …

Ä√

2 sintä2+Ä √

2 cost+ 1ä2+ …

Ä√

2 sint+ 1ä2+Ä √

2 costä2 =

»

2 sin2t+ cos2t+ 2√2 cost+ +

»

2 sin2t+ 2√2 sint+ + cos2t

= »

2√2 cost+ + »

2√2 sint+

2 √

2 cost+ + »

2 √

2 sint+ ã2

≤ 12+ 12Ä2 √

2 cost+ + √

2 sint+ 3ä ≤ 2Ä2√2 cost+ 2√2 sint+ 6ä

≤ 4√2 (cost+ sint) + 12 = cosx−π

+ 12 Do−1≤cosx−π

4

≤1 ta suy Å»

2 √

2 cost+ + »

2 √

2 sint+ ã2

≤20⇒ »

2 √

2 cost+ + »

2 √

2 sint+ 3≤2 √

5 Do P ≤2√5 dấu đẳng thức xảy

     p

2√2 cost+

1 =

p

2√2 sint+ cosx−π

4

=

⇔ ®

sint= cost

cost+ sint=√2 ⇔       

sint= √

2 cost=

√ 2 Mà

(

a=√2 sint+

b=√2 cost+ suy ®

a= b=

NênmaxP = 2√5

Bài Cho số phứczthỏa mãn|z−3−4i|=√5 GọiM vàmlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcP =|z+ 2|2− |z−i|2 Tính mơđun số phứcw=M+mi

(100)

Giả sử số phứcz có dạng z=a+bi(a, b∈R)

Ta có|z−4−3i|=√5⇔ |(a−4) + (b−3)i|=√5⇔»(a−4)2+ (b−3)2 =√5⇔(a−4)2+ (b−3)2= (∗)

Khi

P = |z+ 2|2− |z−i|2

= (a+ 2)2+b2−a2−(b−1)2 = a2+ 4a+ +b2−a2−b2+ 2b−1 = 4a+ 2b+

= [2 (a−4) + (b−3)] + 25

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwar ta có

[2 (a−4) + (b−3)]2 ≤ 22+ 12ỵ(a−4)2+ (b−3)2ó ⇔ [2 (a−4) + (b−3)]2≤25 ⇔ |2 (a−4) + (b−3)| ≤5 Nên

15≤2 [2 (a−4) + (b−3)] + 25≤35 Suy ramaxP = 35vàminP = 15hay M = 35;m= 15

Khi đó|w|=√152+ 352= 5√58.

Bài Xét số phứcz=a+bi(a,b∈R) thỏa mãn|z−2|2+|z+ 2|2 = 26và biểu thức

z−3 √

2 −

3√2 i đạt giá trị lớn Tìm giá trị biểu thứcP =|a+b|

-Lời giải

Giả sử số phứcz có dạng z=a+bi(a, b∈R) Ta có

|z−2|2+|z+ 2|2 = 26

⇔ (a−2)2+b2+ (a+ 2)2+b2 = 26 ⇔ a2−4a+ +b2+a2+ 4a+ +b2 = 26 ⇔ a2+b2 = (∗)

Mà

z−3 √

2 −

3√2 i = Ç a−3

√ 2 å + Ç b−3

√ 2 å i = Ã Ç a−3

√ 2 å2 + Ç b−3

√ 2 å2 = …

a2−3√2a+

2+b

2−3√2b+

2 Do(∗) nên

z−3 √

2 −

3√2 i

=»18−3√2 (a+b) Ta có

(a+b)2≤2 a2+b2

⇔(a+b)2 ≤18⇔ |a+b| ≤3√2 Nên

0≤18−3√2 (a+b)≤36⇔0≤ »

18−3√2 (a+b)≤6 Suy ramax

z−3 √

2 −

3√2 i

(101)

Bài Xét số phứcz =a+bi (a,b ∈R) thỏa mãn z−2i

z−2 số ảo môđun z đạt giá trị lớn Tính giá trị biểu thứcP =a+b

-Lời giải

Giả sử số phứcz=a+bivớia,b∈R Khi

z−2i z−2 =

a+bi−2i a+bi−2 =

a+ (b−2)i (a−2) +bi

= [a+ (b−2)i] [(a−2)−bi] [(a−2) +bi] [(a−2)−bi]

= a(a−2)−abi+b(b−2) + (b−2) (a−2)i (a−2)2+b2

= a(a−2) +b(b−2) (a−2)2+b2 +

Ç

(b−2) (a−2)−ab (a−2)2+b2

å i Do giả thiết suy raa(a−2) +b(b−2) = 0⇔(a−1)2+ (b−1)2= (∗)

Đặt (

a=√2 sint+ b=√2 cost+ Ta có

|z| = pa2+b2

= …

Ä√

2 sint+ 1ä2+Ä√2 cost+ 1ä2 =

»

2 sin2t+ 2√2 sint+ + cos2t+ 2√2 cost+ 1

= »

2√2 (cost+ sint) + =

…

4 cosx−π

+

Do−1≤cos

x−π

≤1 ta suy …

4 cos

x− π

+ 4≤4√2 Do |z| ≤4√2dấu đẳng thức xảy

cosx−π

= 1⇔x−π

4 =k2π⇔x= π

4 +k2π (k∈Z)

Mà (

a=√2 sint+

b=√2 cost+ suy   

 

a=√2 sinπ +k2π

+ b=√2 cosπ

4 +k2π

+ ⇔

® a= b= Nênmax|z|= 4√2

® a= b=

Do P =

Bài Xét số phức z = a+bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z−1 + 2i| = Tìm giá trị lớn biểu thức

P =|z−2i|

-Lời giải

Ta có|z−1 + 2i|= 3⇔ |(a−1) + (b+ 2)i|= 3⇔»(a−1)2+ (b+ 2)2= 3⇔(a−1)2+(b+ 2)2= (∗) Đặt

®

a= sint+ b= cost−2 Ta có

P = |z−2i|= »

a2+ (b−2)2

= »

(3 sint+ 1)2+ (3 cost−4)2

= p9 sin2t+ sint+ + cos2t−24 cost+ 16

(102)

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwar ta có

(sint−4 cost)2 ≤ 12+ (−4)2

sin2t+ cos2t ⇔ (sint−4 cost)2 ≤17

⇔ |sint−4 cost| ≤√17 Nênp6 (sint−4 cost) + 26≤p6√17 + 26

Dấu đẳng thức xảy    cost −4 = sint

sint−4 cost=√17 ⇔

®

cost−4 sint= sint−4 cost=√17 ⇔

      

sint=− √

17 15 cost=−4

√ 17 15

Mà ®

a= sint+

b= cost−2 suy       

a=−3 √

17 15 + b=−12

√ 17 15 −2

VậymaxP =p26 + 6√17

Dạng Sử dụng bình phương vơ hướng Phương pháp giải:

Đối với số tốn tìm max, việc sử dụng bình phương vơ hướng để tìm điểm rơi nhằm áp dụng bất đẳng thức ax+by ≤p

(a2+b2)(x2+y2) hoặc #»a ·#»b =|#»a| · #» b ·cos Ä#»

a;#»bä≤ |#»a| · #» b tỏ

ra hiệu Ta cần nhớ bình phương vơ hướng |#»u ±#»v|2 =|#»u|2+|#»v|2±2#»u ·#»v

Ví dụ Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn |z1+ 2z2|= |3z1−z2|= Tìm giá trị lớn

biểu thứcP =|z1|+|z2|

-Lời giải

GọiM,N điểm biểu diễn z1 vàz2

Suy ra|#»u|=|z1+ 2z2|=|OM# »+ 2ON# »|= |#»v|=|3z1−z2|=|3OM# »−ON# »|=

Phân tích Bài tốn trở thành tìmM,N đểP =|OM# »|+|ON# »|đạt giá trị lớn thỏa mãn|OM# »+2ON# »|= và|3OM# »−ON# »|= Để tìmPmaxta sử dụng bất đẳng thức ax+by≤

p

(a2+b2)(x2+y2).

Tức tìmP =|OM|# » +|ON# »|= α · α # » OM + β · β # » ON hay

P = α · α # » OM + β · β # » ON ≤ Å α2 +

1 β2 ã Å α2 # » OM

+β2 # » ON 2ã

Do cần phải tìm tổng bình phương vơ hướng α2

# » OM

2

+β2

# » ON

2

=const, chìa khóa Ta có    # »

OM+ 2ON# » = # »

OM−ON# » = ⇔      # » OM + # » ON

+ 4OM# »·ON# »= 25 # » OM + # » ON

−6OM# »·ON# »=

⇔      # » OM + 12 # » ON

+ 12OM# »·ON# »= 75 18 # » OM + # » ON

−12OM# »·ON# »= 18 ⇒21 # » OM + 14 # » ON = 93

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz P = # » OM + # » ON = √ 21 · √ 21· # » OM

+√1 14· √ 14 · # » ON ≤ Å 21 + 14 ã Å 21 # » OM + 14 # » ON 2ã = Å 21 + 14 ã ·93 =

… 155

14 ⇒Pmax= …

(103)

Dấu xảy  



21OM = 14ON OM+ON =

… 155 14 ⇔       

ON =

… 155

14 OM =

5 …

155 14

Ví dụ Cho số phứcz thỏa mãn|z−1−i|= biểu thứcP = 3|z|+ 2|z−4−4i|đạt giá trị lớn Tìm mơ-đun số phứcz

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+yi(x, y∈R)

Có |z−1−i|= ⇔ |(x−1) + (y−1)i|= ⇔(x−1)2+ (y−1)2 = Do tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường trịn tâmI(1; 1) bán kínhR =

Ta cóP = 3|z|+ 2|z−4−4i|= 3px2+y2+ 2p

(x−4)2+ (y−4)2.

XétO(0; 0),N(4; 4) P = 3OM + 2N M = # » OM + # » N M Ta có      # » OM

=ÄOI# »+IM# »ä2 = # » OI + # » IM

+ 2OI# »·IM# »= + 2OI# »·IM# » # » N M = Ä# »

N I+IM# »ä2 = # » N I + # » IM

+ 2N I# »·IM# »= 19 + 2N I# »·IM# » Nhận thấy

(# »

OI = (1; 1) # »

IN = (3; 3) = 3(1; 1) ⇒ # »

IN = 3OI# »⇔3OI# »+IN# »= #»0 Suy ra3

# » OM + # » N M

= 28 + 2IM# »·Ä3OI# »+N I# »ä= 28⇒3 # » OM + # » N M = 28 Khi đóP =

# » OM + # » N M = √

3√3

# » OM

+ 2·

# » N M

≤

(3 + 4) Å # » OM + # » N M 2ã = 14

VậyPmax= 14đạt

     # » OM = # » N M # » OM + # » N M = 14 ⇔ # » OM

= =|z|

Bài Cho số phứcz thỏa mãn |z|= Tính giá trị lớn P =|z+ 1|+ 3|z−1|

-Lời giải

GọiM điểm biểu diễn số phứcz vàA(−1; 0),B(1; 0),O(0; 0) Khi đó|z|= 1⇔

# » OM

= P =|z+ 1|+ 3|z−1|= # » AM + # » BM Ta có      # » AM

=ÄAO# »+OM# »ä2 = # » AO + # » OM

+ 2·AO# »·OM# »= + 2·AO# »·OM# » # » BM

=ÄBO# »+OM# »ä2= # » BO + # » OM

+ 2·BO# »·OM# »= + 2·BO# »·OM # » Dễ thấyAO# »+BO# »= #»0

Suy # » AM + # » BM

= + 2OM# »·ÄAO# »+BO# »ä= Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

P = # » AM + # » BM ≤

(12+ 32)

Å # » AM + # » BM 2ã

=√40 = 2√10

Dấu xảy  



AM = 3BM AM+BM = 2√10

⇔     

BM =

√ 10 AM =

2 √

10

Bài Cho số phức z thỏa mãn|z−1−2i|= biểu thức P =|z|+|z−3−6i| đạt giá trị lớn Tính|z|

-Lời giải

GọiM điểm biểu diễn số phứcz vàI(1; 2),O(0; 0),A(3; 6) Khi đó|z−1−2i|= 2⇔

# » IM

= vàP =|z|+|z−3−6i|= # » OM + # » AM Ta có      # » OM

=ÄOI# »+IM# »ä2 = # » OI + # » IM

+ 2OI# »·IM# »= + 2OI# »·IM# » # » AM

=ÄAI# »+IM# »ä2 = # » AI + # » IM

(104)

Mặt khác (# »

AI = (−2;−4) # »

OI = (1; 2) ⇒ # »

AI + 2OI# »= #»0 Suy ra2

# » OM + # » AM = 42

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

P = # » OM + # » AM = √ · √ # » OM + # » AM ≤ Å +

ã Å # » OM + # » AM 2ã = √

Dấu xảy    # » OM = # » AM # » OM + # » AM = √ ⇒ # » OM = √

7⇒ |z|=√7⇒ |z|=√7

Bài Cho hai số phứcz1, z2 thỏa mãn z1+z2 = + 6ivà |z1−z2| = Tìm giá trị lớn biểu

thứcP =|z1|+|z2|

-Lời giải

GọiM,N hai điểm biểu diễn số phứcz1,z2 vàO(0; 0)

Ta cóz1+z2 = + 6i⇒ |z1+z2|= 10

Khi đó|z1−z2|= 2⇔

# »

OM−ON# »

= 2;|z1+z2|= 10⇔

# »

OM+ON# »

= 10vàP = # » OM + # » ON Suy      # »

OM−ON# » = # » OM+ON# »

= 100 ⇔      # » OM + # » ON

−2OM# »·ON# »= # » OM + # » ON

+ 2OM# »·ON# »= 100 ⇒ # » OM + # » ON = 52

P = # » OM + # » ON ≤

(1 + 1) Å # » OM + # » ON 2ã

= 2√26⇒Pmax=

√ 26

Bài Cho số phứcz=x+yivới x, y∈Rthỏa mãn 4|z+i|+ 3|z−i|= 10 Tìm|z|min

-Lời giải

GọiM điểm biểu diễn số phứcz vàA(0;−1),B(0; 1) Suy ra4|z+i|+ 3|z−i|= 10⇔4

# » AM + # » BM

= 10;|z|= # » OM Ta có      # » OM

=ÄOA# »+AM# »ä2 =OA2+AM2+ 2OA# »·AM# » # » OM

=ÄOB# »+BM# »ä2=OB2+BM2+ 2OB# »·BM # »

Dễ thấyOA# »= (0;−1),OB# »= (0;−1)⇒OA# »=−OB# » OA2 =OB2 = Suy # » OM

= OA2+OB2+AM2+BM2+ 2ÄOA# »·AM# »+OB# »·BM# »ä = +AM2+BM2+ 2OA# »ÄAM# »−BM# »ä

= +AM2+BM2+ 2OA# »·AB# »=AM2+BM2−2 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

4 # » AM + # » BM ≤ »

(32+ 42) (AM2+BM2)⇔10≤»25 (AM2+BM2)⇒AM2+BM2 ≥4.

Vậy2 # » OM

=AM2+BM2−2≥4−2 = 2⇒

# » OM

≥1⇒ |z|min =

Bài Cho số phứcz thỏa mãn|z−3−4i|=√5và biểu thứcP =|z+ 2|2− |z−i|2 đạt giá trị lớn nhất.

Tính|z+i|

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz

(105)

Khi đóP =|z+ 2|2− |z−i|2= (x+ 2)2+y2−x2−(y−1)2= 4x+ 2y+ = [2(x−3) + (y−4)] + 23.

2(x−3) + (y−4)≤»(22+ 12) [(x−3)2+ (y−4)2] = 5

⇒ Pmax= 2·5 + 23 = 33

Dấu xảy  

 x−3

2 =y−4

2(x−3) + (y−4) = ⇔

® x= y=

Khi đó|z+i|=√61

Bài Cho số phức z =x+yi với x, y ∈R thỏa mãn |z−4−3i|=

√

5 Tính x+y biết biểu thức P =|z+ 1−3i|+|z−1 +i|đạt giá trị lớn

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz

Khi đó|z−4−3i|=√5⇔(x−4)2+ (y−3)2 = 5vàP =|z+ 1−3i|+|z−1 +i|=p(x+ 1)2+ (y−3)2+

p

(x−1)2+ (y+ 1)2.

P = »(x+ 1)2+ (y−3)2+»(x−1)2+ (y+ 1)2

≤ »2 [(x+ 1)2+ (y−3)2+ (x−1)2+ (y+ 1)2] =»2 [2(x2+y2)−4y+ 12]

Mặt khác(x−4)2+ (y−3)2 = 5⇔x2+y2 = 8x+ 6y−20 Suy raP ≤p

2 (16x+ 8y−28) = 2√8x+ 4y−14 Lại có8x+ 4y−14 = 8(x−4) + 4(y−3) + 30≤p

(82+ 42) [(x−4)2+ (y−3)2] + 30 = 20 + 30 = 50.

Do P ≤2√50 = 10√2⇒Pmax= 10

√ Dấu xảy

 

 x−4

8 = y−3

4

8(x−4) + 4(y−3) = 20 ⇔

® x=

y= ⇒x+y= 10

Bài Cho số phứcz thỏa mãn |z|= 2và biểu thức P =|z−1|+|z−1−7i| đạt giá trị nhỏ Tính mơ-đun số phứcw=z−1 +i√3

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz vàA(1; 0),B(1; 7) Khi đó|z|= 2⇔x2+y2 = 4 vàP =|z−1|+|z−1−7i|=

# » AM

+

# » BM

≥

# » AB

Suy raPmin=AB= Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểmAB:

® x=

y = 7t vớit∈R Màx2+y2 = 4⇒t=±

√ ⇒M1

Ä

1;√3ähoặcM2

Ä

1;−√3ä Dễ thấy điểmAM1+BM1< AM2+BM2 ⇒M1 ≡M ⇒z= +i

√

3⇒w= 2√3i⇒ |w|= 2√3 Bài Cho số phứczthỏa mãn|z−1−i|= 5và biểu thứcP =|z−7−9i|+ 2|z−8i|đạt giá trị nhỏ Tìm|z|

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz vàI(1; 1),A(7; 9),B(0; 8) Khi |z−1−i| = 5⇔ M I = ⇒ tập hợp điểm M nằm đường trịn(C)có tâm I bán kínhR= P =AM + 2BM

CóIA= 10và điểmA,B nằm ngồi đường trịn (C) LấyA0trên đoạnIAsao choAI0·IA=R2 ⇒IA# »0 = R

2

IA2·

# » IA⇒A0

Å 2;

ã Suy M A= 2M A0 ⇒ P = 2(M A0+BM)≥2A0B ⇒ Pmin = 2A0B =

5√5

Khi M giao điểm đường trịn (C) đường thẳng A0B:

® x=−t

y = + 2t với t∈R

x y

O

A

I M

B

A0

Thay vào(C) : (x−1)2+ (y−1)2 = 25⇒

đ

t=−1⇒M(1; 6) t=−5⇒M(5;−2) Dễ thấyM(1; 6) thìPmin=M A+ 2M B⇒ |z|=

√

(106)

Bài Cho số phức z = x+yi với x, y ∈ R thỏa mãn |z−3−3i| = Tính x+y biết biểu thức P = 2|z+ 6−3i|+ 3|z+ + 5i|đạt giá trị nhỏ

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz vàA(−6; 3),B(−1;−5)

Khi từ|z−3−3i|= suy raM thuộc đường trịn (C)có tâm I(3; 3) bán kínhR= Dễ thấyIA= =

2·R GọiC=IA∩(C)và Dthỏa mãn ID# »=

3 # »

IC ⇒D(−1; 3) Suy raID·IA=

3R· 2R=R

2.

Suy ra4IM Dv4IAM ⇒ AM M D =

IA IM =

3

2 hay 2M A= 3M D Lại cóP = 2M A+ 3M B= 3(M D+M B)≥3DB

Dấu xảy khiM B,# » M D# »ngược hướng suy raM(−1; 3− 2√5)

Vậyx+y= 2−2√5

x y

O

A D I

B

M

Dạng Sử dụng hình chiếu tương giao Phương pháp giải:

Cho đường thẳng (∆) : ax+by +c = điểm M ∈ (∆) Điểm

N /∈ (∆) N M nhỏ M ≡ K với K hình chiếu củaN (∆)

min|z|=OH= d[O,(∆)]= √ |c| a2+b2 Khi đóM ≡H H = (∆)∩OH

min|z−(xN +yNi)|=N K= dN,(∆) =

|axN√+byN +c|

a2+b2 Khi đóM ≡K K = (∆)∩N K

O x

y

M

N

K H

(∆)

Cho tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x+yi

(x, y∈R) đường trịn(C) có tâmI(a;b) bán kínhR Gọi

N điểm biểu diễn số phức z0 Khi

®

min|z|= minOM =OM1 =|OI−R|

max|z|= maxOM =OM2=OI+R Khi đóOI∩(C) ={M1;M2}

®

min|z−z0|= minM N =N N1 =|N I−R|

max|z−z0|= maxM N =N N2 =N I+R

Khi đóN I∩(C) ={N1;N2} O x

y

M1

N M2

N2

I M N1

1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ Xét số phứcz=x+yi, (x, y∈R) thỏa mãn|z−2−4i|=|z−2i|và|z|đạt giá trị nhỏ TìmP = 3x−2y

(107)

Ta có

|z−2−4i|=|z−2i| ⇔ |(x−2) + (y−4)i|=|x+ (y−2)i|

⇔(x−2)2+ (y−4)2=x2+ (y−2)2 ⇔x+y−4 = Vậy tập hợp điểmM(x;y) biểu diễn số phứcz=x+yi, (x, y∈R)

là đường thẳng(d) :x+y−4 =

min|z|= minOM =OH vớiH hình chiếu điểm O lên(d) VìOH⊥d:x+y−4 = 0⇒OH:x−y+m=

DoO(0; 0)∈OH ⇒m= 0⇒OH:x−y = Tọa độ điểmH= (d)∩OH thỏa mãn hệ

®

x+y = x=y ⇔

® x= y= ⇒P = 3x−2y=

O x

y

M H

(d)

Ngoài cách giải sử dụng hình chiếu tương giao (hình học), ta giải theo cách khác như: Sử dụng A2 ≥0, bất đẳng thức cộng mẫu để tìm min|z|

Ví dụ Cho số phức z =x+yi, (x, y ∈ R) thỏa mãn |z+ 2−2i|= |z−4i| Tìm giá trị nhỏ của|iz+ 1|

-Lời giải

|z+ 2−2i|=|z−4i| ⇔ |(x+ 2) + (y−2)i|=|x+ (y−4)i| ⇔x+y−2 = Vậy tập hợp điểmM(x;y) biểu diễn số phức z =x+yi, (x, y ∈R) đường

thẳng(∆) :x+y−2 =

Ta lại có|iz+ 1|=|(i(x+yi) + 1)|=|(1−y) +xi|=p(x2) + (y−1)2 =M N

vớiN(0; 1)

Bài toán trở thành tìm điểmM ∈(∆) :x+y−2 = 0thỏa mãnM N nhỏ min|iz+ 1|= minM N = d[N;(∆)]= |xN√+yN −2|

12+ 12 =

|0 + 1−2| √

2 =

√

2 O x

y

M H N

(∆)

Ngoài cách giải sử dụng hình chiếu tương giao (hình học), ta giải theo cách khác như: Sử dụng A2 ≥0, bất đẳng thức cộng mẫu để tìm min|z|

Ví dụ Cho số phức z=x+yi, (x, y ∈R) thỏa mãn |z−(2 + 4i)|= Gọiz1,z2

hai số phức có mơ-đun lớn mơ-đun nhỏ Tính tổng phần ảo hai số phức z1,z2 -Lời giải

|z−(2 + 4i)|= 2⇔ |(x−2) + (y−4)i|= 2⇔(x−2)2+ (y−4)2 = Vậy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z đường trịn C có tâm I(2; 4) bán kínhR=

Ta lại có|z|=px2+y2 =OM.

Bài tốn trở thành tìmM ∈C: (x−2)2+ (y−4)2 = 4thỏa mãnOM nhỏ vàOM lớn

Theo hình vẽ có ®

min|z|= minOM =OM1 =|OI−R|

max|z|= maxOM =OM2=OI+R

Lúc tọa độ biểu diễn số phứcz1,z2 hai điểmM1,M2 giao OI

với(C)

Phương trình đường thẳng OI qua điểm O(0; 0), có véc-tơ phương # »

OI = (2; 4)là x =

y

4 ⇔y = 2x

O x

y

M1

I

M2

M

Vậy tọa độ củaM1,M2 nghiệm hệ

® y= 2x

(x−2)2+ (y−4)2 = ⇔(x;y) = Ç

2 +2 √

5 ; +

4√5

å

hoặc(x;y) = Ç

2−2 √

5 ; 4−

4√5

å Suy raz1= +

2√5 +

Ç +4

√ 5

å

i,z2 = 2−

2√5 +

Ç 4−4

√ 5

(108)

Do tổng hai phần ảo số phứcz1,z2

Ç +4

√ 5 å + Ç 4−4

√ 5

å

=

Bài Xét số phức z =x+yi (x, y ∈R) thỏa mãn |z−i|= |z−2−3i| |z|đạt giá trị nhỏ Tính3x−y

-Lời giải

|z−i|=|z−2−3i| ⇔ |x+ (y−1)i|=|(x−2)−(y+ 3)i| ⇔x2+ (y−1)2 = (x−2)2+ (y+ 3)2 ⇔ −2y+ =−4x+ + 6y+ ⇔x−2y−3 =

Vậy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi, (x, y ∈R) đường thẳng(d) :x−2y−3 =

min|z|=OH với H hình chiếu điểm O lên (d) VìOH⊥d:x−2y−3 = 0⇒OH: 2x+y+m= DoO(0; 0)∈OH ⇒m= 0⇒OH: 2x+y=

O x

y

M H

(d)

Tọa độ điểmH= (d)∩OH thỏa mãn hệ ®

x−2y= 2x+y= ⇔

  

 

x= y=−6

5

⇒P = 3x−y=

Bài Xét số phức z=x+yi (x, y∈R) thỏa mãn

z+ 1−5i z+ 3−i

= 1và |z|đạt giá trị nhỏ Tính T = 3x+y

-Lời giải

z+ 1−5i z+ 3−i

= 1⇔

x+ + (y−5)i x+ 3−(y+ 1)i

=

⇔ |x+ + (y−5)i|=|(x+ 3)−(y+ 1)i| ⇔(x+ 1)2+ (y−5)2 = (x+ 3)2+ (y+ 1)2 ⇔2x+ 1−10y+ 25 = 6x+ + 2y+ ⇔x+ 3y−4 =

O x

y

M H

(d)

Vậy tập hợp điểmM(x;y) biểu diễn số phứcz=x+yi, (x, y∈R) đường thẳng(d) :x+ 3y−4 =

min|z|=OH với H hình chiếu điểm O lên (d) VìOH⊥d:x+ 3y−4 = 0⇒OH: 3x−y+m=

DoO(0; 0) ∈OH ⇒ m = 0⇒ OH: 3x−y = 0.Tọa độ điểm H = (d)∩OH thỏa mãn hệ ®

x+ 3y= 3x−y= ⇔ 

 

 

x= y=

⇒T = 3x+y=

Bài Cho số phứcz=x+yi (x, y∈R) thỏa mãn|z−1−2i|=|z−2 +i| Tìm giá trị nhỏ biểu thức|z+ 2−3i|

-Lời giải

|z−1−2i|=|z−2+i| ⇔ |(x−1)+(y−2)i|=|(x−2)+(y+1)i| ⇔x−3y= Vậy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x+yi, (x, y ∈ R) đường thẳng(d) :x−3y=

Ta lại có|z+ 2−3i|=|(x+ 2) + (y−3)i|=p(x+ 2)2+ (y−3)2=M N với

N(−2; 3)

Vậymin|z+ 2−3i|= minM N = d[N,(d)] =

| −2−3·3| √

10 =

11√10 10 O x y M H N

(d)

(109)

Bài Cho số phứcz =x+yi (x, y∈R) thỏa mãn|z−3 + 4i|= Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcP =|z|

-Lời giải

|z−3 + 4i|= 4⇔ |(x−3) + (y+ 4)i|= 4⇔(x−3)2+ (y+ 4)2 = 16 Vậy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z =x+yi, (x, y∈ R)

đường trịnC có tâm I(3;−4), bán kínhR= Ta có|z|=px2+y2 =OM.

Theo hình vẽ có ®

min|z|= minOM =OM1 =|OI−R|= 5−4 =

max|z|= maxOM =OM2=OI+R= + =

Vậy tổng cần tìm là9 + = 10

O x

y

M

M1

I

M2

Bài Cho số phứcz=x+yi (x, y∈R) thỏa mãn|z−i|=|z+ 1|và biểu thức P =|z−(3−2i)|đạt giá trị nhỏ Tìm T =|x−y|

-Lời giải

|z−i|=|z+ 1| ⇔ |x+ (y−1)i|=|(x+ 1) +yi| ⇔x+y=

Vậy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi, (x, y∈R) đường thẳng(d) :x+y=

Ta có|z−(3−2i)|=|(x−3) + (y+ 2)i|=p(x−3)2+ (y+ 2)2 =M I

vớiI(3;−2)

VậyP =M I nhỏ khiM trùng với H hình chiếu I (d) VìIH ⊥(d) :x+y= 0⇒IH:x−y+m=

DoI(3;−2)∈IH ⇒m=−5⇒IH:x−y−5 = Khi tọa độ H thỏa mãn hệ

®

x+y= x−y= ⇔

  

 

x= y=−5

2

⇒ T = |x−y|=

O x

y

M

H I

(d)

Bài Cho số phứcz=x+yi (x, y∈R) thỏa mãn|z−1 + 2i|=√5 biểu thứcP =|z+ +i|đạt giá trị lớn TìmQ=|x−2y|

-Lời giải

|z−1 + 2i|=√5⇔ |(x−1) + (y+ 2)i|=√5⇔(x−1)2+ (y+ 2)2= Vậy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x+yi, (x, y ∈ R) đường trịn(C) có tâm I(1;−2)và bán kínhR=√5

Ta có P =|z+ +i| =|(x+ 1) + (y+ 1)i|=p(x+ 1)2+ (y+ 1)2 =M N

vớiN(−1;−1)

Dễ thấyN ∈(C) nênM N lớn khiM ≡M1 điểm đối xứng

vớiN quaI Suy

®

x= 2xI−xN = 2·1 + =

y = 2yI−yN = 2·(−2) + =−3

⇒Q=|x−2y|=

O x

y

N

I

M1

M

Bài Cho số phứcz=x+yi (x, y∈R) thỏa mãn |2iz−1 + 3i|= Tìm giá trị lớn biểu thức P =|z+ 2−3i|

(110)

|2iz−1 + 3i|= 1⇔ |2i(x+yi)−1 + 3i|= ⇔ |(−2y−1) + (2x+ 3)i|= ⇔

Å x+3

2 ã2

+ Å

y+

ã2 =

4

Vậy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z =x+yi, (x, y ∈ R) đường trịn(C) có tâm I

Å −3

2;−

ã

và bán kínhR =

Ta có |z+ 2−3i|=|(x+ 2) + (y−3)i|=p(x+ 2)2+ (y−3)2 =M N với

N(−2; 3)

VậymaxP = maxM N =N M1=N I+R=

5√2 +

1 =

1 + 5√2

O x y

M I N

M1

Bài Cho số phứcz=x+yi(x, y∈R) thỏa mãn|z−1 + 2i|= GọiM,m giá trị lớn

và giá trị nhỏ biểu thứcP =|z+ 1−i| TìmM +m

-Lời giải

|z−1 + 2i|= 4⇔ |(x−1) + (y+ 2)i|= 4⇔(x−1)2+ (y+ 2)2 = 16 Vậy tập hợp điểmM(x;y)biểu diễn số phứcz=x+yi, (x, y∈R) đường tròn (C)có tâm I(1;−2)và bán kínhR=

Ta có |z+ 1−i|=|(x+ 1) + (y−1)i|=p(x+ 1)2+ (y−1)2 =M N

vớiN(−1; 1) Theo hình vẽ có (

m= minP = minM N =N M1 =|N I−R|=|

√

13−4|= 4−√13 M = maxP = maxM N =N M2=|N I+R|=

√ 13 + VậyM +m=

O x

y

M I

N M1

M2

Bài Cho số phứcz=x+yi (x, y∈R) thỏa mãn|z−1−i|+|z−7−4i|= 3√5 Gọia,blần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ củaP =|z−5 + 2i| Tìm a+b

-Lời giải

GọiM(x;y)là điểm biểu diễn số phứcz=x+yi(x, y∈R)

Trong mặt phẳng tọa độ xét điểm A(1; 1), B(7; 4) I(5;−2)

Ta có |z−1−i|+|z −7−4i| = 3√5 ⇔ M A+M B = 3√5 =AB Suy tập hợp điểmM biểu diễn số phức z đoạn thẳngAB

Ta lại có |z−5 + 2i|=IM Theo hình vẽ, ta cóIM ≥IH vàIM ≤IB

Phương trình đường thẳng AB qua A(1; 1), có véc-tơ phươngAB# »= (6; 3)làx−1

6 = y−1

3 hayx−2y+1 = Ta có

  

 

min|z−5 + 2i|=IH = |5−2·√(−2) + 1|

5 =

√ max|z−5 + 2i|=IB=»(7−5)2+ (4 + 2)2 = 2√10

Vậya+b= 2√10 + 2√5

O x

y

A

B M

H

I

Bài 10 Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn |z1+ 5|= và|z2+ 1−3i|=|z2−3−6i| Tìm giá trị nhỏ

(111)

GọiM,N điểm biểu diễn số phứcz1 vàz2

Ta có|z1+5|= 5⇔ |(xM+5)+yMi|= 5⇔(xM+5)2+yM2 = 25

Vậy M nằm đường tròn (C) tâm I(−5; 0) bán kính R=

Ta lại có

|z2+ 1−3i|=|z2−3−6i|

⇔ |(xN + 1) + (yN −3)i|=|(xN −3) + (yN −6)i|

⇔8x+ 6y−35 =

VậyN nằm đường thẳng(∆) : 8x+ 6y−35 = Hơn |z1−z2|=

p

(xM −xN)2+ (yM−yN)2 =M N

Gọi(d) đường thẳng qua I vng góc với (∆), (d) cắt (∆)tạiH, đoạn thẳngIH cắt(C)tạiM1 Khi đểP =M N

nhỏ thìM ≡M1 vàN ≡H

Suy minM N = M1H = d[I;(∆)] − R =

|8·(−5) + 6·0−35| √

82+ 62 −5 =

5

O x y

M1

N

M H

I

(∆)

Bài 11 GọiS tập hợp tất giá trị tham sốmđể tồn số phứcz=x+yi(x, y∈R) thỏa mãnzz = và|z−√3 +i|=m Tìm số phần tử củaS

-Lời giải

zz= 1⇔(x+yi)(x−yi) = 1⇔x2+y2 =

Vậy tập hợp điểmM(x;y)biểu diễn số phức z=x+yi, (x, y∈R) đường trịn (C)có tâm O(0; 0) bán kínhR=

Ta có |z−√3 +i|=m ⇔ q

Ä

x−√3ä2+ (y+ 1)2 =m ⇔M N =m

vớiN(√3;−1)

Vì đường trịn (C) nhận ON làm trục đối xứng nên để tồn số phứcz hay tồn điểmM thỏa mãn M N =m M phải giao điểm củaON (C)

MàON cắt(C) tại2 điểmN1,N2 nên số phần tử S là2

O x

y

N M0

N2

M

N1

Bài 12 Tìm giá trị lớn củaP =|z2−z|+|z2+z|vớiz là số phức thỏa mãn |z|= 1.

-Lời giải

|z|= 1⇔x2+y2=

Vậy tập hợp điểm C(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi, (x, y∈R) đường trịn(C) có tâm O(0; 0), bán kính R=

Ta có

P =|z2−z|+|z2+z|=|z||z−1|+|z||z+ 1|

=|(x−1) +yi|+|(x+ 1) +yi| =»(x−1)2+y2+»(x+ 1)2+y2

=M A+M B vớiA(1; 0) B(−1; 0)

Dễ thấyAB đường kính đường trịn (C) nên AB= Khi đóP =M A+M B≤p

2(M A2+M B2) =√2AB2 = 2√2.

Đẳng thức xảy M A = M B hay M điểm cung AB Suy ramaxP = 2√2

O x

y

A M

B

Bài 13 Cho số phứcz =x+yi (x, y∈R) thỏa mãn

iz+ 1−i

+

iz+ i−1

= GọiM nlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ của|z| TínhM ·n

(112)

Ta có

iz+ 1−i

+

iz+ i−1

=

⇔ |i(x+yi) + +i|+|i(x+yi)−1−i|= ⇔ |(−y+ 1) + (x+ 1)i|+|(−y−1) + (x−1)i|= ⇔»(x+ 1)2+ (y−1)2+»(x−1)2+ (y+ 1)2 = 4

⇔CA+CB = 4>2√2 =AB vớiC(x;y),A(−1; 1) vàB(1;−1)

Vậy tập hợp điểm C(x;y) biểu diễn số phức z = x+yi, (x, y ∈R) elip (E) nhận AvàB làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn bằng4, tiêu cự bằng2√2

Dễ thấyO trung điểm củaAB nên O tâm đối xứng elip(E) Mà|z|=OC nên OC lớn khiC nằm trục lớn nhỏ C nằm trục nhỏ elip(E)

⇒      

    

M = = n=

Ã Å4

2 ã2

− Ç

2√2

å2 =

√ VậyM ·n= 2√2

O x

y

A

B C

Nếu tập hợp điểm biểu diễnzlà elip (E) : x

2

a2 +

y2

b2 = 1(a > b >0)

®

max|z|= maxOM =a min|z|= minOM =b

E CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 NHẬN BIẾT

Câu Cho hai số thựcx,y thoả mãn phương trìnhx+ 2i= + 4yi Khi giá trị xvà y A x= 3i,y =

2 B x= 3,y= C x= 3,y =−

2 D x= 3,y=

-Lời giải

Ta cóx+ 2i= + 4yi⇔ ®

x= = 4y ⇔

 

 x= y=

Chọn đáp án D

Câu Cho số phứcz=−2 +i Điểm điểm biểu diễn số phứcw=iz mặt phẳng tọa độ?

A M(−1;−2) B P(−2; 1) C N(2; 1) D Q(1; 2)

-Lời giải

Vớiz=−2 +ita có w=iz=i(−2 +i) =−1−2i⇒điểm biểu diễn w làM(−1;−2)

Chọn đáp án A

Câu Tìm số thựcavàb thỏa mãn 2a+ (b+i)i= + 2ivớiilà đơn vị ảo A a= 0,b= B a=

2,b= C a= 0,b= D a= 1,b=

-Lời giải

Ta có2a+ (b+i)i= + 2i⇔2a−1 +bi= + 2i⇔ ®

2a−1 =

b= ⇔

® a= b=

Chọn đáp án D

Câu Số số phức sau số thực?

A Ä√3 + 2iä−Ä√3−2iä B (3 + 2i) + (3−2i) C (5−2i) +Ä√5−2iä D (1 + 2i) + (−1 + 2i)

-Lời giải

(113)

Chọn đáp án B Câu

Cho số phức z =−1 + 2i, w = 2−i Điểm hình bên biểu diễn số phức z+w?

A P B N C Q D M

x y

O

−1

M Q

P N

-Lời giải

Vìz+w=−1 + 2i+ 2−i= +inên điểm biểu diễn điểmP(1; 1)

Chọn đáp án A

Câu Cho số phức z= + 2i Tính tổng phần thực phần ảo số phứcw= 2z+z

A B C D

-Lời giải

Ta ców= 2(1 + 2i) + (1−2i) = + 2i Suy tổng phần thực phần ảo w là3 + =

Chọn đáp án B

Câu Cho số phức z= 1−i Biểu diễn số phứcz2 điểm

A M(−2; 0) B N(1; 2) C P(2; 0) D Q(0;−2)

-Lời giải

Ta cóz2 = (1−i)2= 1−2i+i2 =−2i

Do đó, điểm biểu diễn số phứcz2 điểmQ(0;−2)

Chọn đáp án D

Câu Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z+ (2−i)2 = +i Hiệu phần thực phần ảo số phức z

là

A B C D

-Lời giải

Ta có

(3 + 2i)z+ (2−i)2 = +i ⇔ (3 + 2i)z= +i−(2−i)2 ⇔ (3 + 2i)z= + 5i

⇔ z= + 5i + 2i ⇔ z= +i Suy phần thực là1 phần ảo là1

Vậy hiệu phần thực phần ảo số phứcz là0

Chọn đáp án D

Câu Cho cặp số(x;y) thỏa mãn(2x−y)i+y(1−2i) = + 7i Khi biểu thức P =x2−xy nhận giá trị sau đây?

A 30 B 40 C 10 D 20

-Lời giải

Ta có(2x−y)i+y(1−2i) = + 7i⇔y+ (2x−3y)i= + 7i⇔ ®

y=

2x−3y= ⇔ ®

y= x= VậyP =x2−xy= 64−24 = 40

Chọn đáp án B

Câu 10 Cho số phức z= (1 +i)2(1 + 2i) Số phứcz có phần ảo

A 2i B C D −4

-Lời giải

Ta cóz= (1 +i)2(1 + 2i) =−4 + 2i Suy phần ảo củaz là2

(114)

Câu 11 Tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức zthỏa mãn 2|z−i|=|z−z+ 2i|

A Đường parabol có phương trìnhx= y

2

4 B Đường parabol có phương trình y= x2

4 C Đường trịn tâm I(0; 1), bán kínhR= D Đường trịn tâmI(√3; 0), bán kínhR=√3

-Lời giải

Giả sửz=x+yi, (x, y∈R) Theo ta có

2|x+yi−i|=|x+yi−(x−yi) + 2i| ⇔ 2|x+ (y−1)i|= 2|(y+ 1)i| ⇔ x2+ (y−1)2 = (y+ 1)2 ⇔ x2= 4y

Vậy tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phứczthỏa mãn đường parabol có phương trình y= x

2

4

Chọn đáp án B

Câu 12 Cho hai số phức z1 = 3−7ivà z2 = + 3i Tìm số phức z=z1+z2

A z= 1−10i B z= 5−4i C z= 3−10i D z= + 3i

-Lời giải

Ta cóz=z1+z2 = 3−7i+ + 3i= 5−4i

Chọn đáp án B

Câu 13 Tìm số phức liên hợp số phức z=i(3i+ 1)

A z= +i B z=−3 +i C z= 3−i D z=−3−i

-Lời giải

Ta cóz=i(3i+ 1) = 3i2+i=−3 +i⇒z=−3−i

Chọn đáp án D

Câu 14 Cho số phức z thỏaz+ 2¯z= + 3i, thì|z|bằng A

√ 29

3 B

85

3 C

29

3 D

√ 85

-Lời giải

Gọiz=a+bi,a, b∈R, suy z¯=a−bi

Ta cóz+ 2¯z= + 3i⇔a+bi+ 2(a−bi) = + 3i⇔ ®

3a= −b= ⇔

 

 a=

3 b=−3

⇒ |z|= √

85

Chọn đáp án D

Câu 15 Cho số phức z= 3−2i Tìm phần ảo số phứcw= (1 + 2i)z

A B C −4 D 4i

-Lời giải

Ta ców= (1 + 2i)(3−2i) = + 4i Suy phần ảo củaw bằng4

Chọn đáp án A

Câu 16 Tìm số z thỏa mãn phương trình z+ 2z= 2−4i A z= −2

3 −4i B z=

3 −4i C z= −2

3 + 4i D z= 3+ 4i

-Lời giải

Đặtz=a+bi,(a, b∈R) Khi đó, phương trình có dạng

a+bi+ 2(a−bi) = 2−4i⇔3a−bi= 2−4i⇔  

 a=

3 b= Vậyz=

3 + 4i

(115)

Câu 17 Cho hai số phức z1 = + 3i, z2= +i Tính|z1+ 3z2|

A |z1+ 3z2|=

√

11 B |z1+ 3z2|= 11 C |z1+ 3z2|=

√

61 D |z1+ 3z2|= 61 -Lời giải

Ta cóz1+ 3z2 = (2 + 3i) + 3(1 +i) = + 6i⇒ |z1+ 3z2|=

√

52+ 62=√61.

Chọn đáp án C

Câu 18 Cho số phức z khác số ảo Mệnh đề đúng?

A z số thực B z=z

C z+z= D Phần ảo củaz

-Lời giải

Ta cóz=bi, vớib6= 0, suy z=−bi Do z+z=

Chọn đáp án C

Câu 19 Cho z1, z2 hai số phức tùy ý Khẳng định sai?

A z·z=|z|2. B. |z

1+z2|=|z1|+|z2|

C z1+z2 =z1+z2 D |z1·z2|=|z1| · |z2| -Lời giải

Khẳng định|z1+z2|=|z1|+|z2|sai vì|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|

Chọn đáp án B

Câu 20 Cho số phức z= 1−2i Điểm điểm biểu diễn số phứcw=iz mặt phẳng tọa độ?

A P(−2; 1) B Q(1; 2) C M(1;−2) D N(2; 1)

-Lời giải

Ta ców=iz=i(1−2i) =i−2i2= +i Do đó, điểm N(2; 1) điểm biểu diễn số phứcw=iz mặt phẳng tọa độ

Chọn đáp án D

Câu 21 Cho số phức z= +i Tính mơ-đun số phứcw=z2−1

A 2√5 B √5 C 5√5 D 20

-Lời giải

Ta ców=z2−1 = (2 +i)2−1 = + 4i+i2−1 = + 4i Do |w|=√22+ 42= 2√5.

Chọn đáp án A

Câu 22 Cho số phức z= + 2i Tìm phần thực phần ảo số phức −2·z

A Phần thực bằng−6 phần ảo bằng−4i B Phần thực −6 phần ảo bằng−4 C Phần thực bằng−6 phần ảo bằng4i D Phần thực bằng−6 phần ảo bằng4

-Lời giải

Ta cóz= + 2i⇒z= 3−2i, đó−2·z=−6 + 4i Vậy số phức −2·z có phần thực bằng−6 phần ảo bằng4

Chọn đáp án D

Câu 23 Cho số phức z1= +ivàz2= 2−3i Tìm số phức liên hợp số phứcw=z1+z2

A w= 3−2i B w= 1−4i C w=−1 + 4i D w= + 2i

-Lời giải

Ta ców=z1+z2 = 3−2i

Khi đów= + 2i

Chọn đáp án D

Câu 24 Điểm sau biểu diễn số phức z=i(7−4i) mặt phẳng tọa độ?

A P(−4; 7) B M(4; 7) C Q(−4;−7) D N(4;−7)

-Lời giải

Ta cóz= 7i−4i2= + 7i Do z biểu diễn bởiM(4; 7)

Chọn đáp án B

Câu 25 Số số phức sau số thực?

A (1 + 2i) + (−1 + 2i) B (3 + 2i) + (3−2i) C (5 + 2i)−(√5−2i) D (√3−2i)−(√3 + 2i)

-Lời giải

Số phức có phần ảo bằng0 số thực Do (3 + 2i) + (3−2i) = số thực

(116)

Câu 26 Cho hai số phức z1 = + 3i z2 = −3−5i Tính tổng phần thực phần ảo số phức

w=z1+z2

A B −3 C D −1−2i

-Lời giải

Ta ców=−1−2i⇒ tổng phần thực phần ảo số phứcw là−3

Chọn đáp án B

Câu 27 Cho số phức z= + 3i Tính z z A −5 + 12i

13 B

5−6i

11 C

5−12i

13 D

−5−12i 13

-Lời giải

Ta có

z z =

z·z z·z =

z2 |z|2 =

(2 + 3i)2 22+ 32 =

−5 + 12i 13

Chọn đáp án A

Câu 28 Cho hai số phức z1 = 2−2i, z2=−3 + 3i Khi số phức z1−z2

A −5 + 5i B −5i C 5−5i D −1 +i

-Lời giải

Ta cóz1−z2 = (2−2i)−(−3 + 3i) = 5−5i

Chọn đáp án C

Câu 29 Tổng 2số phức +ivà√3 +ibằng

A +√3 + 2i B 2i C +√3 +i D +√3

-Lời giải

Ta có1 +i+√3 +i= +√3 + 2i

Chọn đáp án A

Câu 30 Cho hai số phức z= + 2ivàz0= 1−i Tính mơ-đun số phứcw=z−z0

A B 3√5 C √17 D √37

-Lời giải

Ta có|w|=|z−z0|=|5 + 2i−(1−i)|=|4 + 3i|=√42+ 32 = 5.

Chọn đáp án A

Câu 31 Cho ilà đơn vị ảo Giá trị biểu thức z= (1 +i)2

A 2i B −i C −2i D i

-Lời giải

Ta cóz= (1 +i)2 = + 2i+i2 = 2i

Chọn đáp án A

Câu 32 Cho số phức z= 2−3i Số phức w=i·z+zlà

A w=−1 +i B w= 5−i C w=−1 + 5i D w=−1−i

-Lời giải

w=i·(2 + 3i) + 2−3i=−1−i

Chọn đáp án D

Câu 33 Cho số phức z= 1−1

3i Tính số phứcw=iz+ 3z A w=

3 B w=

8

3 +i C w= 10

3 +i D w= 10

3

-Lời giải

Ta ców=i Å

1 +1 3i

ã +

Å 1−1

3i ã

= Å

3−

ã

+i(1−1) =

Chọn đáp án A

Câu 34 Cho số phức z biểu diễn điểm M(2;−3) Tìm tọa độ điểm M0 biểu diễn cho số phức iz

A M0(−3; 2) B M0(−3;−2) C M0(3;−2) D M0(3; 2)

-Lời giải

Ta cóz= 2−3i⇔iz = + 2i

(117)

Chọn đáp án D Câu 35 Cho số phức z=a+bi, vớia, blà số thực Mệnh đề sau đúng?

A z−z số thực B Phần ảo z làbi

C Mơ-đun củaz2 bằnga2+b2. D Sốz vàz có mơ-đun khác nhau. -Lời giải

Ta có:z2= (|z|)2= Ä√

a2+b2ä2 =a2+b2.

Chọn đáp án C

Câu 36 Cho số phức z1= + 3i,z2 = + 5i Số phức liên hợp số phức w= 2(z1+z2)

A w= + 10i B w= 12−16i C w= 12 + 8i D w= 28i

-Lời giải

Ta ców= 2(6 + 8i) = 12 + 16i⇒w= 12−16i

Chọn đáp án B

Câu 37 Cho số phức z thỏa mãn(1 +z)(1 +i)−5 +i= Số phức w= +z A −1 + 3i B 1−3i C −2 + 3i D 2−3i

-Lời giải

Ta có(1 +z)(1 +i)−5 +i= 0⇔1 +z= 5−i

1 +i ⇔1 +z= 2−3i⇔z= 1−3i

Chọn đáp án D

Câu 38 Cho hai số phức z = 3−5i w =−1 + 2i Điểm biểu diễn số phức z0 = z−w·z mặt phẳngOxy có tọa độ

A (−4;−6) B (4; 6) C (4;−6) D (−6;−4)

-Lời giải

Ta có

z0 =z−w·z

= + 5i−(−1 + 2i)·(3−5i) = + 5i−(7 + 11i)

=−4−6i

Chọn đáp án A

Câu 39 Cho số phức z= 2−3i Tìm phần ảo số phứcw= (1 +i)z−(2−i)z

A −5 B −9 C −5i D −9i

-Lời giải

w= (1 +i)z−(2−i)z= (1 +i)(2−3i)−(2−i)(2 + 3i) =−2−5i Phần ảo số phức wlà−5

Chọn đáp án A

Câu 40 Cho hai số phức z1 = +ivàz2 = 1−i Tìm số phứcz=z1+ 2z2

A +i B C 4−i D 2i

-Lời giải

z=z1+ 2z2 = +i+ 2(1−i) = 4−i

Chọn đáp án C

Câu 41 Cho z1= + 3i;z2 = + 5i.Tìm số phức liên hợp số phức wbiết w= (z1+z2)

A w= 12−16i B w= 12 + 16i C w=−14 + 44i D w=−14−44i

-Lời giải

Ta ców= (2 + 3i+ + 5i) = 12 + 16i Vậyw= 12−16i

Chọn đáp án A

Câu 42 Tìm phần ảo số phức z= (a+bi)(1−2i) vớia, b∈R

A 2a+b B 2a−b C a+ 2b D b−2a

-Lời giải

z= (a+bi)(1−2i) = (a+ 2b) + (b−2a)i

(118)

Câu 43 Thu gọn số phứcz=i+ (2−4i)−(3−2i), ta được:

A z=−1−i B z= 1−i C z=−1−2i D z= +i

-Lời giải

Ta cóz=i+ (2−4i)−(3−2i) =i+ 2−4i−3 + 2i=−1−i

Chọn đáp án A

Câu 44 Cho số phức z= +bi Tínhz·z.¯

A z·z¯=√4 +b2. B. z·z¯= 4−b2. C. z·z¯=−b. D. z·z¯= +b2. -Lời giải

Ta cóz·z¯= (2 +bi)(2−bi) = 4−b2i2 = +b2

Chọn đáp án D

Câu 45 Cho x, ylà số thực thỏa mãn (2x−1) + (y+ 1)i= + 2i Giá trị biểu thứcx2+ 2xy+y2

A B C D

-Lời giải

Từ(2x−1) + (y+ 1)i= + 2ita có ®

2x−1 = y+ = ⇔

® x= y= Vậyx2+ 2xy+y2=

Chọn đáp án D

Câu 46 Với số phức z thỏa mãn |z−2 +i|= 4, tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn Tìm bán kínhR đường trịn

A R = B R= 16 C R= D R=

-Lời giải

Viết zdưới dạng z=a+bi,(a, b∈R) Khi đó, ta có:

|z−2 +i|= 4⇔ |(a−2) + (b+ 1)i|= 4⇔(a−2)2+ (b+ 1)2 = 16

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zđã cho đường tròn tâm I(2;−1), bán kínhR=

Chọn đáp án D

Câu 47 Cho số phức z1= + 2i, z2 = 3−i Tìm số phức liên hợp số phức w=z1+z2

A w= 4−i B w= +i C w=−4 +i D w=−4−i

-Lời giải

Ta ców=z1+z2 = (1 + 3) + (2−1)i= +i⇒w= 4−i

Chọn đáp án A

Câu 48 Cho z số ảo khác0 Mệnh đề sau đúng?

A z số thực B Phần ảo z bằng0

C z=z D z+z=

-Lời giải

Vìz số ảo khác0 nên z=bi, b∈R, b6= vàz=−bi

Suy raz+z=

Chọn đáp án D

Câu 49 Số phức z+z

A Số thực B Số ảo C D

-Lời giải

Đặtz=a+bivới a,b∈R⇒z=a−bi Vậy z+z= 2alà số thực

Chọn đáp án A

Câu 50 Tính mơ-đun số phức nghịch đảo số phức z= (1−2i)2 A √1

5 B

1

25 C

√

5 D

5

-Lời giải

Gọiω số phức nghịch đảo số phức z= (1−2i)2 ⇒ω= z =

−3 + 4i 25 Vậy|ω|=

5

(119)

Câu 51 Cho số phức z thỏa(1 +i)z= 3−i Tìm phần ảo củaz

A −2i B 2i C D −2

-Lời giải

Ta cóz= 3−i

1 +i = 1−2i, phần ảo củaz bằng−2

Chọn đáp án D

Câu 52 Tìm phần thực avà phần ảob số phứcz= (−2 + 3i)(−9−10i)

A a= 48vàb= B a=−48 b= C a=−48 vàb=−7 D a= 48vàb=−7

-Lời giải

Ta cóz= (−2 + 3i)(−9−10i) = 48−7inên a= 48vàb=−7

Chọn đáp án D

Câu 53 Tìm mơ-đun số phức z= (−6 + 8i)2.

A |z|= 4√527 B |z|= 2√7 C |z|= 100 D |z|= 10

-Lời giải

Ta cóz= (−6 + 8i)2 =−28−96i⇒ |z|=p

(−28)2+ (−96)2 = 100.

Chọn đáp án C

Câu 54 Cho số phức z= + 5i Tìm số phức w=iz+z

A w=−3−3i B w= + 7i C w=−7−7i D w= 7−3i

-Lời giải

Ta ców=i·(2 + 5i) + (2−5i) =−3−3i

Chọn đáp án A

Câu 55

ĐiểmA hình vẽ biểu diễn cho số phức z Tìm phần thực phần ảo số phức z

A Phần thực là3, phần ảo −2i B Phần thực là3, phần ảo C Phần thực 3, phần ảo −2 D Phần thực 3, phần ảo 2i

x y

O

A

3

-Lời giải

Ta có tọa độ điểm A(3; 2), suy số phức z= + 2i Vậy phần thực zlà 3và phần ảo củaz là2

Chọn đáp án B

Câu 56 Phần thực số phức z= (a+i)(1−i)

A −a+ B a−1 C a+ D a2+

-Lời giải

z= (a+i)(1−i) =a+ + (1−a)i Phần thực củaz làa+

Chọn đáp án C

Câu 57 Số phức z= (1 + 2i)(2−3i)

A 8−i B C +i D −4 +i

-Lời giải

Cóz= (1 + 2i)(2−3i) = + 4i−3i−6i2 = +i

Chọn đáp án C

Câu 58 Cho z1= + 2i,z2 = 2−3i Khi w=z1−2z2

A w= + 8i B w=−3 + 8i C w= 3−i D w=−3−4i

-Lời giải

w=z1−2z2 = (1 + 2i)−2(2−3i) =−3 + 8i

(120)

Câu 59 Cho số phức z=a+bi Khi phần ảo số phứcz2

A b B a C 2ab D a2−b2.

-Lời giải

Ta cóz2 = (a+bi)2 =a2−b2+ 2abi.Do phần ảo z2 là2ab

Chọn đáp án C

Câu 60 Tìm số phức liên hợp số phức z= (3 + 2i)(3−2i)

A z= 13 B z=i C z= D z=−13

-Lời giải

Ta cóz= (3 + 2i)(3−2i) = 13⇒z= 13

Chọn đáp án A

Câu 61 Tìm số phức liên hợp số phức z= 1−3i+ (1−i)2

A z=−1−5i B z= 1−5i C z= + 5i D z= 5−i

-Lời giải

Ta cóz= 1−3i+ 1−2i+i2= 1−5i Suy z= + 5i

Chọn đáp án C

Câu 62 Tìm số phức w=z1−2z2, biết rằngz1 = + 2i vàz2= 2−3i

A w= 3−i B w= + 8i C w=−3 + 8i D w=−3−4i

-Lời giải

Ta có:w=z1−2z2= + 2i−2(2−3i) =−3 + 8i

Chọn đáp án C

Câu 63 Tổng phần thực phần ảo số phức z= (1 +i)2−(3 + 3i) là

A √10 B −4 C D −3−i

-Lời giải

Ta cóz= 2i−3−3i=−3−i nên tổng phần thực phần ảo bằng−4

Chọn đáp án B

Câu 64 Nghiệm phương trình 2z2+ 3z+ = 0trên tập số phức A z1=

−3 +√23i ;z2=

3−√23i

4 B z1 =

3 +√23i ;z2 =

−3−√23i

4

C z1=

−3 +√23i ;z2=

−3−√23i

4 D z1 =

3 +√23i ;z2 =

3−√23i

-Lời giải

Phương trình cho có hai nghiệm làz1 =

−3 +√23i ;z2 =

−3−√23i

4

Chọn đáp án C

Câu 65 Cho hai số phức z1 = + 3i,z2 =−4−5i Tínhz=z1+z2

A z=−2−2i B z=−2 + 2i C z= + 2i D z= 2−2i

-Lời giải

z=z1+z2 = + 3i−4−5i=−2−2i

Chọn đáp án A

Câu 66 Cho số phức z=−3 + 4i Mô-đun số phứcz

A B C D

-Lời giải

Ta có|z|=p(−3)2+ 42 = 5.

Chọn đáp án D

Câu 67 Cho hai số phức z1 = + 3ivà z2 =−4−5i Tìm số phứcz=z1+z2

A z= + 2i B z=−2−2i C z= 2−2i D z=−2 + 2i

-Lời giải

Ta cóz1+z2 = (2 + 3i) + (−4−5i) =−2−2i

Chọn đáp án B

Câu 68 Phần thực phần ảo số phức z= (1 + 2i)ilần lượt

A và2 B −2 và1 C và−2 D 2và

-Lời giải

Ta cóz= (1 + 2i)i=−2 +i Do phần thực phần ảo số phức zlần lượt là−2 và1

(121)

Câu 69 Tìm số phức liên hợp số phức z, biết:4z+ (2 + 3i)(1−2i) = + 3i A z=−1−5

4i B z= 1−

4i C z=−1 +

4i D z=−1−i

-Lời giải

4z+ (2 + 3i)(1−2i) = + 3i⇔4z+ 8−i= + 3i⇔4z=−4 + 4i⇔z=−1 +i Vậy z=−1−i

Chọn đáp án D

Câu 70 Tìm số thựca vàbthỏa mãn a+ (b−i)i= + 3ivớiilà đơn vị ảo

A a=−2, b= B a= 1, b= C a= 2, b= D a= 0, b=

-Lời giải

Ta có:a+ (b−i)i= + 3i⇔a+ +bi= + 3i⇔ ®

a+ = b= ⇔

® a= b=

Chọn đáp án D

2 ĐÁP ÁN

1 D A D B A B D D B 10 C

11 B 12 B 13 D 14 D 15 A 16 D 17 C 18 C 19 B 20 D

21 A 22 D 23 D 24 B 25 B 26 B 27 A 28 C 29 A 30 A

31 A 32 D 33 A 34 D 35 C 36 B 37 D 38 A 39 A 40 C

41 A 42 D 43 A 44 D 45 D 46 D 47 A 48 D 49 A 50 D

51 D 52 D 53 C 54 A 55 B 56 C 57 C 58 B 59 C 60 A

61 C 62 C 63 B 64 C 65 A 66 D 67 B 68 B 69 D 70 D

3 THÔNG HIỂU

Câu Xét số phứcz thỏa mãn(z+ 2i) (z+ 2)là số ảo Biết tập hợp tất điểm biểu diễn củaz đường trịn, tâm đường trịn có tọa độ

A (1;−1) B (1; 1) C (−1; 1) D (−1;−1)

-Lời giải

Giả sửz=a+bi,(a, b∈R), ta có

(z+ 2i)(z+ 2) = [a+ (b+ 2)i][(a+ 2)−bi] = [a(a+ 2) +b(b+ 2)] + [(a+ 2)(b+ 2)−ab]i (z+ 2i)(z+ 2)là số ảo ⇔a(a+ 2) +b(b+ 2) = 0⇔(a+ 1)2+ (b+ 1)2 =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường trịn có phương trình (x+ 1)2 + (y+ 1)2 = có tâm I(−1;−1)

Chọn đáp án D

Câu Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn z·z= A đường thẳng B đường tròn C elip D điểm

-Lời giải

Gọiz=x+yi (với x, y∈R) biểu diễn điểm M(x;y) Ta cóz·z= 1⇔x2+y2= 1.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trịn có tâm O(0; 0) bán kínhR =

Chọn đáp án B

Câu Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z−1|=|z+ ¯z+ 2| mặt phẳng tọa độ

A đường thẳng B đường tròn C parabol D hypebol

-Lời giải

Gọix=x+yi;x, y∈R Khi

2|z−1|=|z+ ¯z+ 2| ⇔ 2|(x−1) +yi|=|2x+ 2| ⇔ »(x−1)2+y2 =»(x+)2

⇔ y2 = 4x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà parabol

(122)

Câu Có số phứcz thỏa mãn|z|=√2 vàz2 số ảo?

A B C D

-Lời giải

Đặtz=a+bivới a, b∈R Ta có +|z|=√a2+b2

+z2=a2−b2+ 2abi

Theo giả thiết ta có ß

a2+b2 = a2−b2 = ⇔

ß

a2+b2= a=±b Hệ có 4nghiệm phân biệt

Chọn đáp án A

Câu Tìm số phức w= 3z+ ¯z biết z= + 2i

A w= + 4i B w= 4−4i C w= 2−4i D w= + 4i

-Lời giải

Ta ców= 3z+ ¯z= 3(1 + 2i) + 1−2i= + 6i+ 1−2i= + 4i

Chọn đáp án A

Câu Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn|z−1|=|z+ 2i|là

A Đường tròn B Đường thẳng C Parabol D Hypebol

-Lời giải

Giả sử số phứcz=x+yi,(x;y∈R) có điểm biểu diễn M(x;y) Khi ta có

|z−1|=|z+ 2i| ⇔»(x−1)2+y2 =»x2+ (y+ 2)2⇔2x+ 4y+ = 0.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường thẳng 2x+ 4y+ =

Chọn đáp án B

Câu Tìm số phức 3z+z biết z= + 2i

A 3z+z= + 4i B 3z+z= 4−4i C 3z+z= 2−4i D 3z+z= + 4i

-Lời giải

z= + 2i⇒z= 1−2i⇒3z+z= 3(1 + 2i) + 1−2i= + 4i

Chọn đáp án A

Câu Cho số phức z=a+bi,(a, b∈R) thỏa mãn z−(2 + 3i)z= 1−9i Giá trị ab+ 1bằng

A −1 B C D −2

-Lời giải

Ta cóz=a+bi,(a, b∈R) ⇒z=a−bi Nêna+bi−(2 + 3i)(a−bi) = 1−9i⇔

®

−a−3b= 3a−3b= ⇔

® a= b=−1 Vậyab+ =−1

Chọn đáp án A

Câu Tính mơ-đun số phứcz thỏa mãnz(2−i) + 13i = A |z|=√34 B |z|= 34 C |z|=

√ 34

3 D |z|= √

34

-Lời giải

Ta cóz(2−i) + 13i = 1⇔z= 1−13i

2−i ⇔z=

(1−13i)(2 + i)

(2−i)(2 + i) ⇔z= 3−5i Vậy|z|=p32+ (−5)2 =√34.

Chọn đáp án A

Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn(2 + 3i)z−(1 + 2i)¯z= 7−i Tìm mơ-đun z

A |z|=√5 B |z|= C |z|=√3 D |z|=

-Lời giải

Giả sửz=x+yi vớix, y ∈R Ta có

(2 + 3i)z−(1 + 2i)¯z= 7−i

(123)

⇔ ®

x−5y= x+ 3y=−1 ⇔

® x= y=−1 Như z= 2−i⇒ |z|=p22+ (−1)2=√5.

Chọn đáp án A

Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn(2 + 3i)z−(1 + 2i)z= 7−i Tìm mơ-đun z

A |z|=√5 B |z|= C |z|=√3 D |z|=

-Lời giải

Gọiz=a+bi, (a, b∈R) số phức thỏa mãn tốn Khi đó, ta có (2 + 3i)(a+bi)−(1 + 2i)(a−bi) = 7−i

⇔ 2a−3b+ (3a+ 2b)i−[a+ 2b+ (2a−b)i] = 7−i ⇔ a−5b+ (a+ 3b)i= 7−i

⇔ ®

a−5b= a+ 3b=−1 ⇔

® a= b=−1 Vậy|z|=√22+ 12=√5.

Chọn đáp án A

Câu 12 Cho số phức z= 2−3i Mô-đun số phức w= 2z+ (1 +i)zbằng

A B C √10 D 2√2

-Lời giải

Ta ców= 2(2−3i) + (1 +i)(2 + 3i) = 4−6i+ + 3i+ 2i+ 3i2 = 3−i Vậy|w|=p32+ (−1)2=√10.

Chọn đáp án C

Câu 13 Cho số phức z= 2−3i Mô-đun số phức w=z+z2

A 3√10 B √206 C √134 D 3√2

-Lời giải

Ta ców= + 3i+ (2−3i)2 = + 3i+ 4−12i+ 9i2 =−3−9i Vậy|w|=p32+ (−9)2= 3√10.

Chọn đáp án A

Câu 14 Cho hai số thực x,y thỏa mãn x(3 + 2i) +y(1−4i) = + 24i Giá trị x+y

A −3 B C D

-Lời giải

Ta có

x(3 + 2i) +y(1−4i) = + 24i ⇔ 3x+y+ (2x−4y)i= + 24i ⇔

®

3x+y= 2x−4y= 24 ⇔

® x= y=−5 Vậyx+y=−3

Chọn đáp án A

Câu 15 Tập hợp điểm biểu diễn số phức zthỏa mãn |z−1 +i|= đường trịn có tâm bán kính

A I(−1; 1),R= B I(−1; 1),R= C I(1;−1),R= D I(1;−1),R=

-Lời giải

(124)

Ta có|z−1 +i|= 2⇔ |(x−1) + (y+ 1)i|= 2⇔p

(x−1)2+ (y+ 1)2= 2⇔(x−1)2+ (y+ 1)2 = 4.

VậyM thuộc đường tròn tâmI(1;−1), bán kínhR =

Chọn đáp án C

Câu 16 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+ 2|=|z−i|là đường thẳng có phương trình

A 4x+ 2y+ = B 2x+ 4y+ 13 = C 4x−2y+ = D 2x−4y+ 13 =

-Lời giải

Gọiz=x+yi,(x, y∈R) số phức thỏa mãn toán

Khi đóM(x;y)là điểm biểu diễn số phức ztrong mặt phẳng phức Ta có

|z+ 2|=|z−i| ⇔ |x+ +yi|=|x+ (y−1)i| ⇔ »(x+ 2)2+y2=»x2+ (y−1)2

⇔ x2+ 4x+ +y2 =x2+y2−2y+ ⇔ 4x+ 2y+ = (∗)

Đẳng thức(∗) chứng tỏ M thuộc đường thẳng có phương trình 4x+ 2y+ =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zthỏa mãn toán đường thẳng 4x+ 2y+ =

Chọn đáp án A

Câu 17 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn|z−i|=|(1 +i)z|

A Đường trịn tâm I(0; 1), bán kínhR=√2 B Đường trịn tâm I(1; 0), bán kính R=√2 C Đường trịn tâm I(−1; 0), bán kính R=√2 D Đường trịn tâmI(0;−1), bán kínhR=√2

-Lời giải

Gọiz=a+bi⇒(1 +i)z= (a−b) + (a+b)i Vậy

|z−i|=|(1 +i)z| ⇔ |a+ (b−1)i|=|(a−b) + (a+b)i| ⇔ a2+ (b−1)2 = (a−b)2+ (a+b)2 ⇔ a2+b2+ 2b−1 =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường trịn tâm I(0;−1), bán kính R=√2

Chọn đáp án D

Câu 18 Tìm mơ đun số phức z biết(2z−1)(1 +i) + (z+ 1)(1−i) = 2−2i A

9 B

√

3 C

2

9 D

1

-Lời giải

Đặtz=a+bivới a, b∈R Khi z=a−bivà

(2z−1)(1 +i) + (z+ 1)(1−i) = 2−2i ⇔ (2z−1)(1 +i) + (z+ 1)(1−i)−2(1−i) = ⇔ (2z−1)(1 +i) + (z−1)(1−i) =

⇔ (2z−1)(1 +i)2+ (z−1)(1−i)(1 +i) = ⇔ (2a+ 2bi−1)·2i+ 2(a−bi−1) = ⇔ a−2b−1 + (2a−b−1)i=

⇔ ®

a−2b−1 = 2a−b−1 = ⇔

  

 

a= b=−1

3 ⇒ |z|=pa2+b2=

√

Chọn đáp án B

(125)

-Lời giải

Từ giả thiết ta có

(a+ 1) +Äb+ 3−pa2+b2äi= 0⇔

(

a+ =

b+ 3−pa2+b2= 0 ⇔

  

 

a=−1 b≥ −3

(b+ 3)2 =b2+ ⇔

 



a=−1 b=−4 VậyS = 2a+ 3b=−2−4 =−6

Chọn đáp án C

Câu 20 Tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+ 2−i| = đường trịn có tâm I, bán kínhR Xác định tọa độ điểmI bán kínhR

A I(2;−1),R= B I(−2;−1),R= C I(−2;−1),R= D I(2;−1),R=

-Lời giải

Ta có|z+ 2−i|=z+ 2−i =

z+ +i

=|z−(−2−i)|=

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường trịn tâm I(−2;−1), bán kínhR =

Chọn đáp án B

Câu 21 Cho số phức z6= thỏa mãnz3= Tính(1−z+z2018)(1 +z−z2018)

A B C D

-Lời giải

Từz3 = suy z2018 = (z3)672·z2 =z2 Vì z2+z+ = 0nên

(1−z+z2018)(1 +z−z2018) = (1−z+z2)(1 +z−z2) = 1−(z−z2)2

= [1−(z−z2)][1 + (z−z2)] = 4−(1 +z+z2) =

Chọn đáp án C

Câu 22 Có số phứcz thỏa mãn |z|=√2và z2 là số ảo?

A B C D

-Lời giải

Đặtz=a+bivới a, b∈R Ta có|z|=√a2+b2 và z2 =a2−b2+ 2abi Theo giả thiết ta có

ß

a2+b2 = a2−b2 = ⇔

ß

a2+b2= a=±b Hệ có 4nghiệm phân biệt (1;−1),(1; 1),(−1; 1),(−1;−1)

Chọn đáp án A

Câu 23 Cho số phức z thỏa mãn(2−3i)z+ (4 +i)z=−(1 + 3i)2 Xác định phần thực phần ảo của

z

A Phần thực −2; phần ảo B Phần thực −3; phần ảo 5i C Phần thực −2; phần ảo 5i D Phần thực là−2; phần ảo

-Lời giải

Gọiz=a+bi(a, b∈R)⇒z=a−bi, ta có

(2−3i)z+ (4 +i)z=−(1 + 3i)2⇔(2−3i)(a+bi) + (4 +i)(a−bi) = 8−6i⇔3a+ 2b−(a+b)i= 4−3i.

Do ®

3a+ 2b= a+b= ⇔

®

a=−2 b= Vậyz=−2 + 5i

Chọn đáp án D

Câu 24 Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn |z−(2−3i)| ≤2 A Một đường thẳng B Một hình trịn C Một đường trịn D Một đường Elip

-Lời giải

Đặtz=x+yi(x, y∈R)

Khi đó,|z−(2−3i)| ≤2⇔ |x+yi−(2−3i)| ≤2⇔ |(x−2) + (y+ 3)i| ≤2⇔(x−2)2+ (y+ 3)2 ≤4 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz nằm bên hình trịn tâm I(2;−3), bán kính R=

(126)

Câu 25 Cho số phức z=a+bi,(a, b∈Z) thỏa mãn(2 + 3i)|z|= (4 + 3i)z−15(1−i) Tínha−b

A −1 B C D

-Lời giải

Ta thấy

(2 + 3i)|z|= (4 + 3i)z−15(1−i)

⇔ 2pa2+b2+ 3pa2+b2i= (4a−3b−15) + (3a+ 4b+ 15)i

⇔ (

2pa2+b2 = 4a−3b−15

3pa2+b2 = 3a+ 4b+ 15. (I)

Từ hệ(I) ta được6a−17b−75 = (1) Vìa, b∈Znên từ (1) ta

® a=

b=−3 ⇒a−b= Cách khác:

Ta có

(2 + 3i)|z|= (4 + 3i)z−15(1−i) ⇔ 25z= (17|z|+ 15) + (6|z| −15·7)i ⇔

®

25a= 17|z|+ 15 25b= 6|z| −15·7

⇒ 25(a−b) = 11|z|+ 15·8 (2) Mặt khác, ta có

(2 + 3i)|z|= (4 + 3i)z−15(1−i) ⇔ (4 + 3i)z= (2 + 3i)|z|+ 15(1−i) ⇔ 25|z|2 = (2|z|+ 15)2+ (3|z| −15)2 ⇒ |z|= (3)

Từ(2)và 3ta a−b=

Chọn đáp án D

Câu 26 Tìm số phức z thỏa mãnz+ 2−3i= 2z

A z= +i B z= 2−i C z= 3−2i D z= +i

-Lời giải

Đặtz=a+bivới a,b∈R Khi

(a+bi) + 2−3i= 2(a−bi)⇔ ®

a+ = 2a b−3 =−2b ⇔

® a=

b= ⇒z= +i

Chọn đáp án A

Câu 27 Tập hợp điểm biểu diến số phức z thỏa mãn |z−i|=|(1 +i)z|là đường tròn Tâm đường trịn có tọa độ

A (1; 1) B (0;−1) C (0; 1) D (−1; 0)

-Lời giải

Giả sửz=x+yi, vớix, y∈R Ta có

|x+yi−i|=|(1 +i)(x+yi)| ⇔ |x+ (y−1)i|=|x−y+ (x+y)i| ⇔ x2+ (y−1)2 = (x−y)2+ (x+y)2 ⇔ x2+y2+ 2y−1 =

⇔ x2+ (y+ 1)2 =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường tròn tâm I(0;−1), bán kính R=√2

(127)

Câu 28 Cho số phức z thỏa mãn(1 +i)z−(2−i)z= Mô-đun số phức w= i−2z 1−i A

√ 122

5 B

3√10

2 C

√ 45

4 D

√ 122

2

-Lời giải

Gọiz=a+bi(a,b∈R)⇒z=a−bi Ta có

(1 +i)z−(2−i)z=

⇔ (1 +i)(a+bi)−(2−i)(a−bi) = ⇔ −a+ (2a+ 3b)i=

⇔ ®

−a= 2a+ 3b= ⇔

®

a=−3 b= ⇒ z=−3 + 2i Do w= i−2z

1−i =

i−2(−3 + 2i) 1−i =

6−3i 1−i =

9 +

3

2i⇒ |w|= 3√10

2

Chọn đáp án B

Câu 29 Có số phứcz thỏa mãn điều kiện|z+i+ 1|=|z−2i|và|z|=

A B C D

-Lời giải

Gọiz=x+yi vớix,y∈R

Theo giả thiết|z|= 1⇔x2+y2 = (1) Mặt khác

|z+i+ 1|=|z−2i| ⇔ |x+yi+i+ 1|=|x−yi−2i| ⇔ |(x+ 1) + (y+ 1)i|=|x−(y+ 2)i|

⇔ »(x+ 1)2+ (y+ 1)2=»x2+ (y+ 2)2

⇔ (x+ 1)2+ (y+ 1)2 =x2+ (y+ 2)2 ⇔ x−y−1 = 0⇔y=x−1

Thayy =x−1 vào(1), ta x2+ (x−1)2= 1⇔2x2−2x= 0⇔ ñ

x= x= Vớix= 0⇒y=−1⇒z=−i

Vớix= 1⇒y= 0⇒z= Vậy có2 số phứcz thỏa mãn

Chọn đáp án B

Câu 30 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện(1 + 2i)2z+z= 4i−20 Tìm |z|

A |z|= 25 B |z|= C |z|= D |z|=

-Lời giải

Viết z=a+bi, vớia, b∈R Khi đó, ta có

(1 + 2i)2z+z= 4i−20

⇔ (−3 + 4i)(a+bi) + (a−bi) = 4i−20 ⇔ (−2a−4b+ 20) + (4a−4b−4)i= ⇔

®

−2a−4b+ 20 = 4a−4b−4 = ⇔

®

a+ 2b= 10 a−b= ⇔

® a= b= Vậy|z|=√a2+b2 =√42+ 32 = 5.

(128)

Câu 31 Cho số phức z thỏa mãnz+ 3z= 1−2i2 Phần ảo z

A −2 B

4 C D −

3

-Lời giải

Giả sửz=x+yi,(x, y∈R)⇒z=x−yi Ta có 1−2i2=−3 + 4i⇒z+ 3z=−3 + 4i⇔

®

4x=−3 −2y= ⇔

 



x=−3 y=−2 Do vậy, phần ảo củaz lày=−2

Chọn đáp án A

Câu 32

Phần gạch hình vẽ bên hình biểu diễn tập hợp số phức thỏa mãn điều kiện điều kiện sau

A 6≤ |z| ≤8 B 2≤ |z+ + 4i| ≤4 C 2≤ |z−4−4i| ≤4 D 4≤ |z−4−4i| ≤16

x y

8

6

O

-Lời giải

Nhận xét

Nếu z0 = a+bi z = x+yi tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa R1 ≤ |z−z0| ≤ R2,

(R1< R2) hình vành khăn giới hạn hai đường trịn tâmI(a;b) bán kínhR1,R2

Theo hình vẽ, phần gạch hình vẽ điểm thuộc hình vành khăn giới hạn hai đường trịn tâm I(4; 4) bán kính R1 = vàR2 = Vậy đáp án thỏa mãn là2≤ |z−(4 + 4i)| ≤4

Chọn đáp án C

Câu 33 Cho hai số phức z vàw Mệnh đề sau làsai?

A (z·w) =z·w B z·z=z2 C (z+w) =z+w D (z2) = (z)2. -Lời giải

Ta cóz·z=|z|2 6=z2 Nên khẳng địnhz·z=z2 sai.

Chọn đáp án B

3i Tính số phứcw=iz+ 3z A w=

3 B w=

8

3 +i C w= 10

3 +i D w= 10

3

-Lời giải

Ta ców=i Å

1 +1 3i

ã +

Å 1−1

3i ã

=

Chọn đáp án A

Câu 35 Cho số phức z thỏa mãn|z| −2z=−7 + 3i+z Tính|z|

A B C 13

4 D

25

-Lời giải

Gọiz=a+bi, ∀a, b∈R Khi

|z| −2z=−7 + 3i+z⇔pa2+b2−2(a−bi) =−7 + 3i+ (a+bi)

⇔ ®p

a2+b2−3a+ = 0

b−3 = ⇔

®p

a2+ = 3a−7

b=

⇔        

      

a≥ 

 a= a= b=

⇔ ®

a= b=

(129)

Chọn đáp án A Câu 36 Cho số phứcz=a+bi(a,blà số thực) thỏa mãn(1 +i)z+ 2z= + 2i TínhP =a+b

A P = B P =−1

2 C P =

1

2 D P =−1

-Lời giải

(1 +i)z+ 2z= + 2i⇔(1 +i)(a+bi) + 2(a−bi) = + 2i⇔ ®

3a−b= a−b= ⇔

  

 

a= b=−3

2 Suy raP =a+b=−1

Chọn đáp án D

Câu 37 Cho số phức zthỏa mãn (1−i)z+ (3−i)z= 2−6i Tìm mơ-đun số phứcw= 2z+ A 6√2 B √7 C √34 D 2√3

-Lời giải

Giả sửz=x+yi, (x, y∈R) Khi ta có

(1−i)(x+yi) + (3−i)(x−yi) = 2−6i

⇔ (x+y) + (y−x)i+ (3x−y)−(x+ 3y)i= 2−6i ⇔ 4x−(2x+ 2y)i= 2−6i

⇔ ®

4x=

2x+ 2y= ⇔   

 

x= y= Từ suy w=

Å1 +

5 2i

ã

+ = + 5inên |w|=√34

Chọn đáp án C

Câu 38 Cho số phức z1 = +i, z2 = x+yi Tính tổng S = x+y biết |z2+i| = |z2−1 + 2i|

|z1|2+|z2|2 =|z1−z2|2

A −2

3 B

4

3 C −

4

3 D

2

-Lời giải

Ta có

|z2+i|=|z2−1 + 2i| ⇔ |x+ (y+ 1)i|=|(x−1) + (y+ 2)i| ⇔ x2+ (y+ 1)2 = (x−1)2+ (y+ 2)2

⇔ x−y−2 = (1)

Lại có

|z1|2+|z2|2 =|z1−z2|2 ⇔ |2 +i|2+|x+yi|2=|(2−x) + (1−y)i|2

⇔ +x2+y2 = (2−x)2+ (1−y)2

⇔ 2x+y = (2)

Từ (1) (2), suy   

 

x= y=−4

3

⇒S =x+y=−2

Chọn đáp án A

Câu 39 Cho a, b∈Rvà thỏa mãn(a+bi)i−2a= + 3i, vớiilà đơn vị ảo Giá trị a−b

A −4 B C 10 D −10

-Lời giải

Ta có(a+bi)i−2a= + 3i⇔ −2a−b+ai= + 3i⇔ ®

−2a−b=

a= ⇔

® a= b=−7 Do a−b= 10

(130)

Câu 40 Tổng phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn iz+ (1−i)z=−2ibằng

A −6 B −2 C D

-Lời giải

Đặtz=a+bi,(a;b∈R) Khi ta có

iz+ (1−i)z=−2i

⇔ i(a+bi) + (1−i)(a−bi) =−2i ⇔ ia−b+a−bi−ai−b=−2i ⇔ a−2b+ (2−b)i=

⇔ ®

2−b= a−2b= ⇔

® b= a= Tổng phần thực phần ảo củaz là2 + =

Chọn đáp án D

Câu 41 Tập hợp điểm biểu diễn số phức zthỏa mãn 2|z−i|=|z−z+ 2i|là

A Một parabol B Một đường tròn C Một đường thẳng D Một điểm

-Lời giải

Giả sửz=x+yi,(x;y∈R) Ta có

2|z−i|=|z−z+ 2i|

⇔ 2|x+yi−i|=|x+yi−x+yi+ 2i| ⇔ 2»x2+ (y−1)2 = 2|y+ 1|

⇔ y = 4x

2.

Vậy quỹ tích điểm biểu diễn cho số phứcz thỏa mãn đề đường parabol

Chọn đáp án A

Câu 42 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z−3 + 4i| ≤2 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= 2z+ 1−ilà hình trịn có diện tích

A 9π B 12π C 16π D 25π

-Lời giải

Ta ców= 2z+ 1−i⇔z= w −

1−i Suy ra|z−3 + 4i| ≤2⇔

w −

1−i

2 −3 + 4i

≤2⇔

2|w−(1 + 23i)| ≤2⇔ |w−(1 + 23i)| ≤4

Vậy tập hợp điểm biểu diễn chowlà hình trịn tâmA(1; 23), bán kínhR = 4, có diện tíchS =π×R2= 16π

Chọn đáp án C

Câu 43 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện|z+ + 2i|=

A Đường trịn tâm I(1; 2), bán kínhR= B Đường trịn tâm I(−1;−2), bán kính R= C Đường trịn tâm I(−1; 2), bán kính R= D Đường trịn tâmI(1;−2), bán kínhR=

-Lời giải

Gọiz=x+yi,x,y∈R biểu diễn điểmM(x;y) Ta có

|z+ + 2i|= 1⇔ |x−yi+ + 2i|= 1⇔(x+ 1)2+ (y−2)2= Vậy nênM thuộc đường trịn tâmI(−1; 2), bán kínhR=

Chọn đáp án C

Câu 44 Nếu hai số thực x,y thỏa mãnx(3 + 2i) +y(1−4i) = + 24ithì x−y

A B −3 C −7 D

(131)

Ta có

x(3 + 2i) +y(1−4i) = + 24i ⇔ 3x+y+ (2x−4y)i= + 24i ⇔

®

3x+y= 2x−4y= 24 ⇔

® x= y=−5 ⇒ x−y=

Chọn đáp án D

Câu 45 Nếu số phức z= 1−ithìz10

A 32i B −32 C −32i D 32

-Lời giải

Ta cóz10= z25

= (−2i)5 =−32i.

Chọn đáp án C

Câu 46 Giá trị 1−i

(2 +i)−i

A √17 B √5 C D √13

-Lời giải

Ta có

1−i

(2 +i)−i= (1 +i)(2 +i)−i= + 2i Vậy 1−i

(2 +i)−i=|1 + 2i|= √

5

Chọn đáp án B

Câu 47 Cho số phức z thỏa mãn3z+ (1 +i)z= 1−5i Tìm mơ-đun củaz

A |z|= B |z|=√5 C |z|=√13 D |z|=√10

-Lời giải

Giả sửz=a+bi,a, b∈R Ta có

3(a−bi) + (1 +i)(a+bi) = 1−5i ⇔ 4a−b+ (a−2b)i= 1−5i ⇔

®

4a−b= a−2b=−5 ⇔

® a= b= Vậy|z|=√10

Chọn đáp án D

Câu 48 Xét số phức zthỏa mãn (2−z)(z+i) số ảo Tập hợp tất điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ

A Đường trịn có tâmI Å

1;1

ã

, bán kínhR= √

5 B Đường trịn có tâmI

Å

−1;−1

ã

, bán kính R= √

5 C Đường trịn có tâm I(2; 1), bán kínhR =√5 D Đường trịn có tâmI

Å 1;1

2 ã

, bán kínhR= √

5

2 bỏ hai điểm A(2; 0) vàB(0; 1)

-Lời giải

Giả sửz=x+yi, vớix, y∈R Khi

(2−z)(z+i) = (2−x−yi) (x−yi+i) =−x2−y2+ 2x+y−2yi−xi+ 2i Để(2−z)(z+i)là số ảo

−x2−y2+ 2x+y = 0⇔x2+y2−2x−y= 0⇔(x−1)2+ Å

y−1

ã2 =

4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn củaz đường tròn có tâm I

Å 1;1

2 ã

, bán kínhR= √

5

(132)

Câu 49 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |iz−2i+ 1|= đường trịn có tọa độ tâm

A (2; 1) B (2;−1) C (−2; 1) D (−2;−1)

-Lời giải

Gọiz=a+bivớia, b∈R

Khi đó|iz−2i+ 1|= 2⇔ |ai−b−2i+ 1|= 2⇔(b−1)2+ (a−2)2 = 4.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn |iz−2i+ 1|= đường trịn có tọa độ tâmI(2; 1)

Chọn đáp án A

Câu 50 Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho z2 số ảo A TrụcOx

B Hai đường thẳng y=x,y =−x, bỏ điểmO(0; 0) C Hai đường thẳng y=x,y =−x

D TrụcOy

-Lời giải

Đặtz=x+yi,(x, y∈R) Khi đóz2=x2−y2+ 2xyi

Ta cóz2 là số ảo ⇔x2−y2= 0⇔y=±x.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz cho z2 số ảo hai đường thẳng y=x vày=−x

Chọn đáp án C

Câu 51 Cho số phức z=a+bivớia, b∈R thỏa(1 +i)z+ 2z= + 2i TínhP =a+b A P = B P =−1 C P =−1

2 D P =

1

-Lời giải

(1 +i)z+ 2z= + 2i

⇔ (1 +i)(a+bi) + 2(a−bi) = + 2i ⇔ 3a−b+ (a−b)i= + 2i

⇔ ®

3a−b= a−b= ⇔

®

3a−b= a−b= ⇔

  

 

a= b=−3

2 Vậya+b=

2− =−1

Chọn đáp án B

Câu 52 Cho số phức zthỏa mãn z(1 + 2i)−z(2−3i) =−4 + 12i Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z

A M(3; 1) B M(3;−1) C M(−1; 3) D M(1; 3)

-Lời giải

Đặtz=x+yivới x, y∈R Ta có

(x+yi)(1 + 2i)−(x−yi)(2−3i) =−4 + 12i ⇔ (x−2y−2x+ 3y) + (2x+y+ 3x+ 2y)i=−4 + 12i ⇔

®

−x+y =−4 5x+ 3y= 12 ⇔

® x= y =−1 Suy raz= 3−i, điểm biểu diễn số phứcz làM(3;−1)

Chọn đáp án B

Câu 53 Tìm số thựcx,y thỏa mãnx+ (y+ 2i)i= +ivớiilà đơn vị ảo

A x= 4;y= B x= 3;y= C x=−1;y= D x= 0;y=

-Lời giải

Ta cóx+ (y+ 2i)i= +i⇔x−2 +yi= +i⇔ ®

x= y=

(133)

Câu 54 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M, N, P điểm biểu diễn số phức + 3i, 1−2i,−3 +i Tọa độ điểmQ cho tứ giácM N P Q hình bình hành

A Q(0; 2) B Q(6; 0) C Q(−2; 6) D Q(−4;−4)

-Lời giải

Ta cóM(2; 3),N(1;−2),P(−3; 1)

GọiQ(x;y)⇒ M N# »= (−1;−5),QP# »= (−3−x; 1−y) DoM N P Q hình bình hành⇒M N# »=QP# »⇔

®

−3−x=−1 1−y=−5 ⇔

®

x=−2

y= ⇒Q(−2; 6)

Chọn đáp án C

Câu 55 GọiS tập hợp số phứcz thỏa mãn điều kiệnz4 =|z| Số phần tử củaz

A B C D

-Lời giải

Ta có:z4=|z| ⇒ |z|4=|z| ⇔ |z| |z|3−1

= 0⇔ ñ

|z|= |z|= |z|= 0⇔z=

|z|= 1⇔z4 = 1⇔ z2−1

z2+ = 0⇔



   

z=−1 z= z=i z=−i Vậy có5 số phứcz thỏa mãn toán

Chọn đáp án C

Câu 56 Có số phứcz thỏa mãn điều kiện|z·z+z|= và|z|= 2?

A B C D

-Lời giải

Từ|z|= và|z.z+z|= 2, suy |4 +z|=

Tập hợp số phứcz thỏa mãn điều kiện|z|= đường tròn tâmO(0; 0) bán kínhR1=

Tập hợp số phứcz thỏa mãn điều kiện|4 +z|= đường trịn tâmI(−4; 0)bán kính R2 =

DoOI = =R1+R2 nên hai đường trịn tiếp xúc ngồi Suy có1 số phứczthỏa mãn

Chọn đáp án C

3i Tìm số phứcw=iz+ 3z A w= 10

3 +i B w= 10

3 C w=

8

3 D w=

8 3+i

-Lời giải

Ta cóz= 1−1

3i⇒z= +

3i Khi đów=iz+ 3z=i Å

1 +1 3i

ã +

Å 1−1

3i ã

=

Chọn đáp án C

Câu 58 Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức zthỏa mãn |z+ 2−3i|= đường trịn có phương trình sau đây?

A x2+y2−4x−6y+ = B x2+y2−4x+ 6y+ 11 = C x2+y2−4x−6y+ 11 = 0. D. x2+y2+ 4x−6y+ = 0. -Lời giải

Gọiz=x+yi vớix,y∈R Khi

|z+ (2−3i)|= ⇔ |x+yi+ 2−3i|= ⇔ |x+ + (y−3)i|= ⇔ »(x+ 2)2+ (y−3)2 = 2

⇔ (x+ 2)2+ (y−3)2= ⇔ x2+y2−4x−6y+ =

(134)

Câu 59 Nếu 2số thực x,y thỏa mãn x(3 + 2i) +y(1−4i) = 1−32ithìx+y

A B C D −3

-Lời giải

Ta có

x(3 + 2i) +y(1−4i) = 1−32i ⇔ (3x+y) + (2x−4y)i= 1−32i ⇔

®

3x+y= 2x−4y=−32 ⇔

®

x=−2 y= Vậyx+y=−2 + =

Chọn đáp án C

Câu 60 Số phức z thỏa mãn z+ 2¯z= 3−2ilà

A 1−2i B + 2i C 2−i D +i

-Lời giải

Giả sửz=a+bivớia, b∈R Ta có

z+ 2¯z= 3−2i ⇔ (a+bi) + 2·(a−bi) = 3−2i ⇔ 3a−bi= 3−2i

⇔ ®

a= b= Vậyz= + 2i

Chọn đáp án B

Câu 61 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z−(3−4i)|=

A Đường trịn có tâm I(3;−4), bán kính R= B Đường trịn có tâm I(−3; 4), bán kínhR= C Đường trịn có tâm I(3;−4), bán kính R= D Đường trịn có tâmI(−3; 4), bán kínhR=

-Lời giải

Gọiz=x+yi,(x, y∈R)

Ta có|z−(3−4i)|= 2⇔ |(x−3) + (y+ 4)i|= 2⇔(x−3)2+ (y+ 4)2 =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn đề đường trịn có tâmI(3;−4), bán kínhR=

Chọn đáp án A

Câu 62 Gọiavà blà số thực thỏa mãn a+ 2bi+b−3 =−ai−ivới ilà đơn vị ảo Tínha+b

A B 11 C −3 D −11

-Lời giải

Ta thấy

a+ 2bi+b−3 =−ai−i⇔(a+b−3) + (a+ 2b+ 1)i= 0⇔ ®

a+b= a+ 2b=−1 ⇔

® a= b=−4 Vậya+b=

Chọn đáp án A

Câu 63 Cho số phức z thỏa mãn2z+ (3−2i)¯z= + 5i Mô-đun củaz

A B √8 C √5 D √10

-Lời giải

Đặtz=x+yivới x, y∈R Ta có

2(x+yi) + (3−2i)(x−yi) = + 5i ⇔ 5x−(2x+y)i= + 5i

⇔ ®

5x=

2x+y= ⇔ ®

x= y= Từ ta cóz= + 3i⇒ |z|=√10

(135)

Câu 64 Tìm số thựca vàbthỏa mãn 3a+ (b−i)(−1 + 2i) = + 5ivớiilà đơn vị ảo A a= 1,b= B a=

2,b= C a=−1,b= D a=−2,b=

-Lời giải

Ta có3a+ (b−i)(−1 + 2i) = + 5i⇔3a−b+ + (2b+ 1)i= + 5i Đồng hệ số ta có

®

3a−b+ = 2b+ = ⇔

® a= b=

Chọn đáp án A

Câu 65 Tìm hai số thực xvà y thỏa mãn(2x−3yi) + (1−3i) =x+ 6i, vớiilà đơn vị ảo

A x=−1;y=−3 B x=−1;y =−1 C x= 1;y =−1 D x= 1;y=−3

-Lời giải

Ta có(2x−3yi) + (1−3i) =x+ 6i⇔x+ 1−(3y+ 9)i= 0⇔ ®

x+ = 3y+ = ⇔

®

x=−1 y=−3

Chọn đáp án A

Câu 66 Tìm hai số thực xvà y thỏa mãn(3x+ 2yi) + (2 +i) = 2x−3ivới ilà đơn vị ảo

A x=−2;y=−2 B x=−2;y =−1 C x= 2;y =−2 D x= 2;y=−1

-Lời giải

Ta có

(3x+ 2yi) + (2 +i) = 2x−3i⇔(3x+ 2) + (2y+ 1)i= 2x−3i ⇔

®

3x+ = 2x 2y+ =−3 ⇔

®

x=−2 y=−2

Chọn đáp án A

Câu 67 Tìm hai số thực xvà y thỏa mãn(3x+yi) + (4−2i) = 5x+ 2ivới ilà đơn vị ảo A x=−2;y= B x= 2;y= C x=−2;y= D x= 2;y=

-Lời giải

Ta có(3x+yi) + (4−2i) = 5x+ 2i⇔2x−4 + (4−y)i= 0⇔ ®

2x−4 = 4−y= ⇔

® x= y=

Chọn đáp án B

Câu 68 Tìm hai số x vày thỏa mãn (2x−3yi) + (3−i) = 5x−4ivớiilà đơn vị ảo

A x=−1;y=−1 B x=−1;y = C x= 1;y =−1 D x= 1;y=

-Lời giải

Ta có

(2x−3yi) + (3−i) = 5x−4i⇔3x−3 + (3y−3)i= 0⇔ ®

3x−3 = 3y−3 = ⇔

® x= y=

Chọn đáp án D

Câu 69 Xét số phức z thỏa mãn (z−2i) (z+ 2) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phứcz đường trịn có bán kính

A 2√2 B √2 C D

-Lời giải

Đặtz=a+bivới a, b∈R

Ta có(z−2i) (z+ 2) =a2+2a+b2+2b−2(a+b+2)i Vì(z−2i) (z+ 2)là số ảo nêna2+2a+b2+2b= 0⇔(a+ 1)2+ (b+ 1)2 =

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp số điểm biểu diễn số phức zlà đường trịn bán kính bằng√2

Chọn đáp án B

Câu 70 Cho hai số phức z1 = 3−4ivà z2 =−2 +i Tìm số phức liên hợp củaz1+z2

A + 3i B 1−3i C −1 + 3i D −1−3i

-Lời giải

Ta cóz1+z2 = (3−4i) + (−2 +i) = 1−3i⇒z1+z2= + 3i

(136)

Câu 71 Cho hai số phức z1= 1−2ivàz2= + 4i Tìm điểm M biểu diễn số phức z1·z2 mặt phẳng

tọa độ

A M(−2; 11) B M(11; 2) C M(11;−2) D M(−2;−11)

-Lời giải

Ta cóz1·z2 = (1−2i)(3 + 4i) = + 4i−6i+ = 11−2i Vậy điểm M(11;−2)

Chọn đáp án C

Câu 72 Mô-đun số phức z= (1 + 2i)(2−i)

A |z|= B |z|=√5 C |z|= 10 D |z|=

-Lời giải

Ta có|z|=√12+ 22·p

22+ (−1)2 = 5.

Chọn đáp án A

Câu 73 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z−2i|=|z+ 1| Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ đường thẳng có phương trìnhax+ 4y+c= 0, đóa,clà số ngun TínhP =a+c

A B C −1 D

-Lời giải

Đặtz=x+yi(x,y∈R) Khi ta có

|z−2i|=|z+ 1|

⇔|x+ (y−2)i|=|(x+ 1)−yi|

⇔»x2+ (y−2)2 =»(x+ 1)2+ (−y)2

⇔x2+ (y−2)2= (x+ 1)2+y2 ⇔2x+ 4y−3 =

Vậya= 2,c=−3 Do a+c=−1

Chọn đáp án C

Câu 74 Giả sử A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z1, z2 Khi độ dài véc-tơ AB# »

bằng

A |z1| − |z2| B |z1|+|z2| C |z2−z1| D |z2+z1| -Lời giải

Giả sửz1=x1+y1ivàz2 =x2+y2itrong đóx1, y1, x2, y2là số thực Theo giả thiết thìA(x1;y1), B(x2;y2)

Ta có|AB|# » =p(x2−x1)2+ (y2−y1)2

Lại có|z2−z1|=|(x2−x1) + (y2−y1)i|=

p

(x2−x1)2+ (y2−y1)2

Vậy|AB|# » =|z2−z1|

Chọn đáp án C

Câu 75 Tìm số thựcx, y thỏa mãn 2x+ + (1−2y)i= 2−x+ (3y−2)i A x=

3;y=

5 B x= 1;y=

5 C x= 1;y=

5 D x= 3;y=

1

-Lời giải

Áp dụng định nghĩa hai số phức ta có hệ phương trình ®

2x+ = 2−x 1−2y= 3y−2 ⇔

  

 

x= y=

Chọn đáp án A

Câu 76 Trong số phức(1 +i)3,(1 +i)4,(1 +i)5,(1 +i)6 số phức số phức ảo? A (1 +i)5 B (1 +i)6 C (1 +i)3 D (1 +i)4

-Lời giải

(1 +i)3 = 2i−2,(1 +i)4=−4,(1 +i)5 =−4(1 +i),(1 +i)6 =−8i Vậy số ảo là(1 +i)6

(137)

Câu 77 Số phức z thỏa mãn z−(2 + 3i)z= 1−9ilà

A −3−i B 2−i C +i D −2−i

-Lời giải

Đặtz=a+bi(a, b∈R), ta có

z−(2 + 3i)z= 1−9i⇔a+bi−(2 + 3i)(a−bi) = 1−9i ⇔

®

−a−3b= 3b−3a=−9 ⇔

® a= b=−1

Chọn đáp án B

Câu 78 Gọia, b phần thực phần ảo số phứcz=Ä√2 + 3iä2 TínhT =a+ 2b A T =−7 + 12√2 B T =−7 + 6√2 C T = 12−7√2 D T =−7−12√2

-Lời giải

Ta cóz=Ä√2 + 3iä2=−7 + 6√2i⇒T =a+ 2b=−7 + 12√2

Chọn đáp án A

Câu 79 Cho số phức z= + 5i Gọia, b phần thực phần ảo số phứcw=iz+z Tính tíchab

A −9 B −6 C D

-Lời giải

Ta ców=iz+z=i(2 + 5i) + 2−5i=−3−3i Suy raab=

Chọn đáp án C

Câu 80 GọiC tập hợp số phức Xét khẳng định sau

z2 ≥0 ∀z∈ C

1 z2=

z2

∀z∈C

2 3 |z|=|z| ∀z∈C

Số khẳng định

A B C D

-Lời giải

Ta cói2 =−1<0 và|i2|= 1 nên mệnh đề a) vàb) sai.

Chỉ có khẳng địnhc)đúng

Chọn đáp án B

Câu 81 Cho số phức z thỏa mãn(1 +z)2 số thực Tập hợp điểmM biểu diễn số phứczlà A Hai đường thẳng B Đường thẳng C Parabol D Đường trịn

-Lời giải

Đặtz=x+yi,(x, y∈R) Khi (1 +z)2= (x+ 1)2−y2+ 2(x+ 1)yi.

(1 +z)2 số thực khi2(x+ 1)y= 0⇔ ñ

x=−1 y =

Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng d1:x+ = 0, d2:y=

Chọn đáp án A

Câu 82 Tính mơđun số phức zbiết z= (2i−1)(3 +i)

A |z|= 2√5 B |z|= 5√2 C |z|=√10 D |z|=√26

-Lời giải

Ta cóz= (2i−1)(3 +i) =−5 + 5i⇒z= + 5i⇒ |z|= 5√2

Chọn đáp án B

Câu 83 Cho số phức z=a+bi,a, b∈R,a >0thỏa ||z−1|+z−2|=a=b Tính|z(1 +z)| A 3√2 B √10 C √5 D √2

-Lời giải

Vìa=bnên z=a+ai

Ta có||z−1|+z−2|=a⇔Äp

(138)

⇔ ®

2−a≥0

2a2−2a+ = 4−4a+a2 ⇔ ®

a≤2

a2+ 2a−3 = ⇔a= (vìa >0) Khi đó|z(1 +z)|=|(1 +i)(1 + 1−i)|=√10

Chọn đáp án B

Câu 84 Trong mặt phẳng phức, điểm M(1;−2) biểu diễn số phức z Mô-đun số phức w = iz −z2

A 26 B √6 C √26 D

-Lời giải

Ta cóz= 1−2inên w=iz−z2=i(1 + 2i)−(1−2i)2= + 5i Vậy|w|=√12+ 52=√26.

Chọn đáp án C

Câu 85 GọiS tập hợp số phứcz cho z−2i¯z+ 1−3ilà số thực vàz2 số ảo Tổng phần tử tập hợpS

A −4−2i B 4−2i C −2 + 4i D +i

-Lời giải

Đặtz=a+bivới a, b∈R Ta có

z−2i¯z+ 1−3i= (a−2b+ 1) + (−2a+b−3)i Vìz−2i¯z+ 1−3ilà số thực nên−2a+b−3 = z2 =a2−b2+ 2abi

Vìz2 số ảo nên a2−b2 = Ta có hệ phương trình

®

−2a+b−3 = a2−b2= ⇔

®

b= 2a+

3a2+ 12a+ = ⇔ ®

b= a=−1∨

® b=−3 a=−3 VậyS ={−1 +i;−3−3i}, tổng phần tử củaS là−4−2i

Chọn đáp án A

Câu 86 Cho số phức z = 3−2i Trong mặt phẳng tọa độOxy, điểm điểm biểu diễn số phứciz?

A M(−2; 3) B M(2; 3) C M(3;−2) D M(−2; 3i)

-Lời giải

Ta cóz= 3−2i⇒iz = + 3i Điểm biểu diễn số phứciz làM(2; 3)

Chọn đáp án B

Câu 87 Cho số phức z thỏa mãnz+ 4z= +i(z−7) Khi đó, mơ-đun củaz bao nhiêu? A |z|=√3 B |z|= C |z|=√5 D |z|=

-Lời giải

Giả sửx=x+yi (x, y ∈R) Ta có

z+ 4z= +i(z−7)⇔x+yi+ 4(x−yi) = +i(x+yi−7) ⇔ (5x+y−7) +i(−x−3y+ 7) = 0⇔

®

5x+y−7 = −x−3y+ = ⇔

® x= y= Mô-đun số phứcz là|z|=√12+ 22 =√5.

Chọn đáp án C

Câu 88 Số sau số ảo?

A (1 +i)4 B (1 +i)3 C (1 +i)5 D (1 +i)6

-Lời giải

Ta có

(1 +i)4 = (1 + 2i+i2)2= 4i2 =−4

(1 +i)3 = (1 +i)2·(1 +i) = 2i·(1 +i) =−2 + 2i (1 +i)5 = (1 +i)4·(1 +i) =−4·(1 +i) =−4−4i

(139)

Chọn đáp án D Câu 89 Trong mặt phẳng phức, gọi M điểm biểu diễn số phức(z−z)2 vớiz=a+bi(a, b∈R,b6= 0) Mệnh đề sau đúng?

A M thuộc tia đối tia Oy B M thuộc tiaOy C M thuộc tia đối tia Ox D M thuộc tiaOx

-Lời giải

Ta có(z−z)2 = (a+bi−a+bi)2 = 4b2i2 =−4b2 Do giả thiết suy raM thuộc tia đối tiaOx.

Chọn đáp án C

Câu 90 Cho (2−2i)2018=a+bi;a, b∈R Tính giá trị biểu thức P =a+b

A −81009. B. 81009. C. −41009. D. 41009. -Lời giải

Ta có

(2−2i)2018 = 22018·

(1−i)21009

= 22018·(−2i)1009=−81009i.

Vậya= 0,b=−81009 vàP =a+b=−81009.

Chọn đáp án A

Câu 91 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+ 2i|2+ 2|1−z|2+ 3|z−2 +i|2= 2018 đường trịn Tìm tâmI đường trịn

A Å

4 3;−

5

ã

B

Å −4

3;

ã

C (1; 1) D

Å 3;−

7

ã

-Lời giải

Giả sửz=x+yi, x, y∈R Khi ta có

|x+ (y+ 2)i|2+ 2|1−x+yi|2+ 3|x−2 + (y+ 1)|2= 2018 ⇔ x2+ (y+ 2)2+ 2(1−x)2+ 2y2+ 3(x−2)2+ 3(y+ 1)2= 2018 ⇔ 6x2+ 6y2−16x+ 10y−1997 =

⇔ Å

x−4

ã2 +

Å y+5

6 ã2

= 12071 36 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường tròn

Å x−

3 ã2

+ Å

y+5

ã2

= 12071

36 có tâm I Å

4 3;−

5

ã

Chọn đáp án A

Câu 92 Tìm số phức thỏa mãn i(z−2 + 3i) = + 2i

A z=−4 + 4i B z=−4−4i C z= 4−4i D z= + 4i

-Lời giải

Ta cói(z−2 + 3i) = + 2i⇔ −z+ 2−3i=i−2⇔z= 4−4i Khi đóz= + 4i

Chọn đáp án D

Câu 93 Cho số phức z1= + 2i, z2 = + 5i Tìm số phức liên hợp số phức z= 6z1+ 5z2

A z= 51 + 40i B z= 48−37i C z= 51−40i D z= 48 + 37i

-Lời giải

Ta cóz= 6z1+ 5z2= 6(3 + 2i) + 5(6 + 5i) = 48 + 37i

Vậyz= 48−37i

Chọn đáp án B

Câu 94 Cho số phứczthỏa mãn|z−i|=|z−1+2i|.Tập hợp điểm biểu diễn số phứcw=z+2i mặt phẳng tọa độ đường thẳng Phương trình đường thẳng

A x−3y+ = B x+ 3y+ = C x−4y+ = D −x+ 3y+ =

-Lời giải

Ta cóz=w−2i Thay vào giả thiết ⇒ |w−3i|=|w−1| Gọiw=x+yi vớix, y∈R.Khi

|x+yi−3i|=|x+yi−1| ⇔ |x+ (y−3)i|=|x−1 +yi| ⇔ »x2+ (y−3)2 =»(x−1)2+y2

(140)

Chọn đáp án A Câu 95 Tính giá trị tổng phần thực phần ảo số phức z biết z= (2 +i)2

A B C D −1

-Lời giải

Ta cóz= (2 +i)2 = + 4i+i2 = + 4i Vậy tổng phần thực phần ảo củaz bằng7

Chọn đáp án A

Câu 96 Cho số phức z thỏa mãnz+ 2z= 3−2i Tìm phần ảo củaz

A −2 B −1 C D

-Lời giải

Gọiz=a+bi, (a, b∈R) Từ giả thiết, suy

(a+bi) + 2(a−bi) = 3−2i⇔3a−bi= 3−2i⇔ ®

3a= −b=−2 ⇔

® a= b= Vậy phần ảo củaz bằng2

Chọn đáp án D

Câu 97 Cho số phức z1, z2 thỏa mãn |z1+z2|= 3,|z1|= 1,|z2|= Tínhz1·z2+z1·z2

A B C D

-Lời giải

Có|z1+z2|= 3⇔(z1+z2) (z1+z2) = 9⇔(z1+z2) (z1+z2) = 9⇔ |z1|2+z1·z2+z1·z2+|z2|2 =

Mà|z1|= 1,|z2|= 2nên z1·z2+z1·z2= 9−12−22 =

Chọn đáp án D

Câu 98 Gọiz=a+bi, vớia, b∈R, số phức thỏa mãn (1 +i)z+ 3¯z= + 4i TínhT =a+b A T =−1 B T = C T = D T =−3

-Lời giải

Ta có

(1 +i)z+ 3¯z= + 4i

⇔ (1 +i)(a+bi) + 3(a−bi) = + 4i ⇔ a+bi+ai−b+ 3a−3bi= + 4i ⇔ (4a−b) + (a−2b)i= + 4i ⇔

®

4a−b= a−2b= ⇔

® a= b=−1 VậyT = 2−1 =

Chọn đáp án B

Câu 99 Tập hợp tất điểm mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2 = (z)2

A trục hoành B gồm trục hoành trục tung C đường thẳng y=x D trục tung

-Lời giải

Giả sửz=x+yi, vớix, y∈R

Khi đóz2= (z)2⇔x2−y2+ 2xyi=x2−y2−2xyi⇔4xyi= 0⇔ ñ

x= y=

Vậy tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn cho số phứcz trục hoành trục tung

Chọn đáp án B

(141)

Điểm hình vẽ điểm biểu diễn số phức z= (1 + i)(2−i)?

A M B P C N D Q

x y

O −3

P −1

−1

N

1 M

3 Q

-Lời giải

Ta cóz= (1 +i)(2−i) = +icó điểm biểu diễn làQ(3; 1)

Chọn đáp án D

Câu 101 Cho số phứcz=−4 + 3i Tính mơ-đun số phứcw=iz+z

A |w|= 7√2 B |w|=√50 C |w|= 2√7 D |w|= 25

-Lời giải

Ta ców=iz+z=i(−4 + 3i)−4−3i=−7−7i⇒ |w|= 7√2

Chọn đáp án A

Câu 102 Số phứcz=a+bi(a, b∈R)thỏa mãn|z−2|=|z|và(z+ 1)(z−i) số thực Giá trị biếu thứcS =a+ 2bbằng bao nhiêu?

A S =−3 B S = C S = D S=−1

-Lời giải

Ta có|z−2|=|z| ⇔ |(a−2) +bi|=|a+bi| ⇔(a−2)2+b2=a2+b2 ⇔(a−2)2=a2 ⇔a=

Mặt khác(z+ 1)(z−i) = (2 +bi)(1−(b+ 1)i) = 2−2(b−1)i+bi+b(b−1) = + (−b−2)i+b(b−1)là số thực khi−b−2 = 0⇔b=−2

VậyS =a+ 2b= + 2·(−2) =−3

Chọn đáp án A

Câu 103 Đẳng thức đẳng thức sau đúng?

A (1 +i)2018= 21009i B (1 +i)2018 =−21009i.

C (1 +i)2018= 21009 D (1 +i)2018 =−21009. -Lời giải

Ta thấy(1 +i)2018=

(1 +i)21009

= (2i)1009 = 21009i

Chọn đáp án A

Câu 104 Cho số phứcw= (2 +i)2−3 (2−i) Giá trị của|w|là

A √54 B 2√10 C √43 D √58

-Lời giải

Ta ców=−3 + 7inên |w|=»(−3)2+ 72 =√58.

Chọn đáp án D

Câu 105 Cho số phứcz thỏa mãn (2 +i)z− z

1−i = 9−9i Tính|z|

A √5 B 2√5 C √13 D √17

-Lời giải

Giả sửz=x+yi (x, y∈R) Phương trình cho có dạng

(2 +i)(1−i)(x+yi)−(x−yi) = (9−9i)(1−i) ⇔ (3−i)(x+yi)−(x−yi) =−18i

⇔ (2x+y) + (4y−x)i=−18i ⇔

®

2x+y= −x+ 4y=−18 ⇔

® x= y=−4 Suy ra|z|=√4 + 16 = 2√5

(142)

Câu 106 Có số phứcz thỏa mãn|z+ 2−i|= 2√2 và(z−1)2 số ảo?

A B C D

-Lời giải

Gọiz=a+bi(a, b∈R)

(z−1)2 số ảo⇔(a−1)2−b2 = 0⇔ đ

b=a−1 b= 1−a Ta có

|z+ 2−i|= 2√2

⇔ (a+ 2)2+ (b−1)2 = (1) Trường hợp 1: b=a−1

(1)⇔2a2+ = 8⇔a= 0⇒b=−1 Trường hợp 2: b= 1−a

(1)⇔2a2+ 4a−4 = 0⇔ "

a= √

3−1⇒b= 2−√3 a=−√3−1⇒b=√3 + Vậy có3 số phứcz thỏa mãn

Chọn đáp án D

Câu 107 Biếtz nghiệm phương trìnhz+1

z = Tính giá trị biểu thức P =z

3+

z3

A P =−2 B P = C P = D P =

-Lời giải

Ta cóz3+ z3 =

Å z+1

z ã3

−3z·1 z

Å z+1

z ã

= 1−3 =−2

Chọn đáp án A

Câu 108 Mô đun số phứcz= (1 + 2i) (2−i)

A |z|= B |z|=√5 C |z|= 10 D |z|=

-Lời giải

Ta cóz= (1 + 2i) (2−i) = + 3i⇒ |z|=√42+ 32= 5.

Chọn đáp án A

Câu 109 Cho số phứcz thỏa mãn (1−i)z+ 2i¯z= + 3i Tính tổng phần thực phần ảo số phức w=z+ 2z

A B C D

-Lời giải

Cách 1: Đặt z=x+yi⇒z¯=x−yi

Thay vào biểu thức ta được(x+ 3y) + (x+y)i= + 3i, suy z= +i Vậyw= 6−i

Từ suy Re(w) + Im(w) = + (−1) = Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi Casio Đặtz=X+Y i⇒z¯=X−Y i

Nhập vào máy tính: (1−i)(X+Y i) + 2i(X−Y i)−(5 + 3i) GánX = 1000,Y = 100 Ta kết 1259 + 1097i Phân tích số liệu: 1295 =X+ 3Y −5 và1097 =X+Y −3 Do ta giải hệ phương trình:

®

X+ 3Y −5 = X+Y −3 = ⇔

®

X+ 3Y = X+Y = ⇔

® X= Y = Do ta có z= +i Từ suy w= 6−i

VậyIm(w) + Re(w) =

Chọn đáp án D

Câu 110 Cho mệnh đề:

(143)

(II) Nếu số phứczcó phần thực làa, số phứcz0 có phần thực làa0 số phứcz·z0 có phần thực làa·a0 (III) Tích hai số phứcz=a+bi(a, b∈R) vàz0 =a0+b0i(a, b∈R) số phức có phần ảo ab0+a0b Số mệnh đề ba mệnh đề

A B C D

-Lời giải

Ta cóz·z0 = (a+bi)(a0+b0i) = (aa0−bb0) + (ab0+a0b)i Do đó, có hai mệnh đề (I) (III)

Chọn đáp án C

Câu 111 Trong mặt phẳngOxy, cho số phức z thỏa mãn|z−1|=|(1 +i)z| Tập hợp điểm biểu diễn số phứcz

A đường trịn có tâmI(1; 0), bán kính r=√2 B đường trịn có tâm I(0; 1), bán kính r=√2 C đường trịn có tâm I(−1; 0), bán kínhr =√2 D đường trịn có tâmI(0;−1), bán kính r=√2

-Lời giải

Đặtz=x+yi, đóx,y số thực

|z−1|=|(1 +i)z| ⇔ |(x−1) +yi|=|1 +i||x+yi| ⇔(x−1)2+y2 = 2(x2+y2)⇔x2+y2+ 2x−1 = Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phứczthỏa u cầu tốn đường trịn tâmI(−1; 0), bán kínhr=√2

Chọn đáp án C

Câu 112 Cho số phứcz=a+bi, (a, b∈R) thỏa mãnz−2z=−2 + 9i Khi giá trị a+ 3bbằng

A −1 B −7 C 11 D

-Lời giải

Ta cóz−2z=−2 + 9i⇔ −a+ 3bi=−2 + 9i⇒a= 2;b= 3⇒a+ 3b= 11

Chọn đáp án C

Câu 113 Cho hai số phức z1 = 3−i vàz2= 4−i Tính mô-đun số phứcz12+z2

A 12 B 10 C 13 D 15

-Lời giải

Ta có số phứcw=z12+z2= (3−i)2+ (4 +i) = 9−6i+i2+ +i= 12−5i

Nên|w|=»122+ (−5)2 = 13.

Chọn đáp án C

Câu 114 Cho số phứcz thỏa mãn |z−1−2i|= M(x;y) điểm biểu diễn số phức z Điểm M thuộc đường trịn có phương trình sau đây?

A (x+ 1)2+ (y+ 2)2 = 25 B (x−1)2+ (y−2)2 = 25 C (x+ 1)2+ (y+ 2)2 = 5. D. (x−1)2+ (y−2)2 = 5. -Lời giải

VìM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz nên z=x+yi Ta có

|z−1−2i|= ⇔ |x−1 + (y−2)i|= ⇔ (x−1)2+ (y−2)2 = 25

Chọn đáp án B

Câu 115 Cho số phứcz thỏa mãn z(1 +i) + 12i= Tìm phần ảo số z A −9

2 B −

15

2 C

15

2 i D

15

-Lời giải

z= 3−12i +i =−

9 −

15

2 i⇒z=− 2+

15

2 i Phần ảo z 15

2

Chọn đáp án D

Câu 116 Cho hai số phức z1 = + 2ivàz2= 2−3i Phần ảo số phứcw= 3z1−2z2

A 12 B C 11 D 12i

-Lời giải

w= 3z1−2z2 =−1 + 12i Vậy w có phần ảo là12

Chọn đáp án A

Câu 117 Cho hai số thựcx,ythỏa mãn2x+ + (1−2y)i= 2(2−i) +yi−x Khi giá trị củax2−3xy−y

(144)

-Lời giải

2x+ + (1−2y)i= 2(2−i) +yi−x ⇔ 2x+ + (1−2y)i= 4−x+ (y−2)i ⇔

®

2x+ = 4−x 1−2y=y−2 ⇔

® x= y = Suy rax2−3xy−y=−3

Chọn đáp án A

Câu 118 Cho số phứczthỏa mãn|zi−(2 +i)|= Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn TâmI đường tròn

A I(1;−2) B I(−1; 2) C I(−1;−2) D I(1; 2)

-Lời giải

Ta có|i(z−1 + 2i)|= 2⇒ |z−1 + 2i|= 2⇒p

(x−1)2+ (y+ 2)2 = 2.

Tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường tròn tâmI(1;−2)

Chọn đáp án A

Câu 119 Cho số phứcz thỏa mãn (1−i)·z+ (1 + 2i)·(1−2z) = 10 + 7i Tính mơ đun củaz

A B √3 C D √5

-Lời giải

Đặtz=a+bi Ta có

(1−i)·z+ (1 + 2i)·(1−2z) = 10 + 7i

⇔ (1−i)(a−bi) + (1−2i)(1−2(a+bi)) = 10 + 7i ⇔ a−b−ai−bi+ (1−2i)(1−2a−2bi) = 10 + 7i

⇔ a−b−ai−bi+ 1−2a−2(1−2a)i−2bi−4b= 10 + 7i ⇔ −3a−5b+ + 3ai−3bi−2i= 10 + 7i

⇔ ®

−3a−5b+ = 10 3a−3b−2 = ⇔

® a= b=−2 ⇒ |z|=|1−2i|=√5

Chọn đáp án D

Câu 120 Số phức z= (1−i)2018 có phần thực

A B 21009 C −21009. D. 0. -Lời giải

z= (1−i)2018 = [(1−i)2]1009 = (−2i)1009 = (−2)1009i=−21009i.

Suy phần thực số phứcz bằng0

Chọn đáp án D

Câu 121 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn cho số z thỏa mãn |(1 + 2i)z −10| = |(2 +i)z+ 5|là

A hai đường thẳng cắt B hai đường thẳng song song C đường thẳng D đường tròn

-Lời giải

Đặtz=x+yivới x,y∈R Ta có

|(1 + 2i)z−10|=|(2 +i)z+ 5|

⇔ |(1 + 2i)(x+yi)−10|=|(2 +i)(x−yi) + 5|

(145)

Suy tập hợp điểm biểu diễn cho số zlà đường thẳng 2x−4y−5 =

Chọn đáp án C

Câu 122 Tìm phần ảo số phứcz biết z−(2 + 3i)z= 1−9i

A B −2 C −1 D

-Lời giải

Gọiz=x+yi(x, y∈R) Ta có

z−(2 + 3i)z= 1−9i⇔x+yi−(2 + 3i)(x−yi) = 1−9i ⇔x+yi−[2x+ 3y+ (3x−2y)i] = 1−9i ⇔ −x−3y−3(x−y)i= 1−9i

⇔ ®

−x−3y= −3(x−y) =−9 ⇔

® x= y=−1 Vậy phần ảo số phứcz lày=−1

Chọn đáp án C

Câu 123 Cho số phứcw= (2 +i)2−3(2−i) Giá trị của |w|là

A √54 B √58 C 2√10 D √43

-Lời giải

Ta ców=−3 + 7inên |w|=√58

Chọn đáp án B

Câu 124 Cho số phứcz=a+bi, vớia, b∈R Tìm mệnh đề mệnh đề sau?

A z+z= 2bi B z−z= 2a C z·z=a2−b2 D |z2|=|z|2. -Lời giải

Ta cóz=a−bi, z+z= 2a z−z= 2bi z·z=a2+b2.

|z2|=|z·z|=|z| · |z|=|z|2.

Vậy có mệnh đề |z2|=|z|2 là mệnh đề đúng.

Chọn đáp án D

Câu 125 Tính mơ-đun số phứcz= (1 + 2i)(2−i)

A |z|= B |z|=√5 C |z|= 10 D |z|=

-Lời giải

Ta có|z|=|1 + 2i| · |2−i|=

Chọn đáp án A

Câu 126 Cho số phứcz thỏa mãn (2−3i)z+ = 5i−1 Mệnh đề sau đúng? A z= 29

13 + 11

13i B z= 29 13 −

11

13i C z=− 29 13 −

11

13i D z=− 29 13+

11 13i

-Lời giải

z= 5i−7 2−3i =−

29 13 −

11

13i⇒z=− 29 13 +

11 13i

Chọn đáp án D

Câu 127 Cho số phứcz= (1−i)2(3 + 2i) Số phức zcó phần ảo

A B −6i C −6 D

-Lời giải

Ta cóz= (1−i)2(3 + 2i) = 4−6i Do Im(z) =−6

(146)

Câu 128 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |2z−i| = đường trịn có bán kính

A B 6√2 C D 3√2

-Lời giải

Đặtz=x+yi(x, y∈R) Ta có

|2z−i|= 6⇔ |2x+ (2y−1)i|= 6⇔(2x)2+ (2y−1)2= 36⇔x2+ Å

y−1

ã2 =

Do tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường tròn tâm I Å

0;1

ã

, bán kính R= Cách khác |2z−i|= 6⇔

Å z−1

2i ã

= 6⇔ |2| ·

z−1 2i

= 6⇔

z−1 2i

= ⇒ tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường trịn (C) có tâm I

Å 0;1

2 ã

và bán kínhR=

Chọn đáp án A

Câu 129 Cho số phức z =a+bi(a,b ∈R) thỏa mãn điều kiện (1 + 2i)z−(2−3i)¯z = + 30i Tính

tổngS =a+b

A S =−2 B S = C S = D S=−8

-Lời giải

Ta có

(1 + 2i)(a+bi)−(2−3i)(a−bi) = + 30i ⇔ a−2b+ 2ai+bi−2a+ 3b+ 3ai+ 2bi= + 30i ⇔

®

a−2b−2a+ 3b= 2a+b+ 3a+ 2b= 30 ⇔

®

−a+b= 5a+ 3b= 30 ⇔

® a= b= Suy raS =

Chọn đáp án C

Câu 130 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phứcz biết số phức(z−i)(2 +i) số ảo

A Đường thẳng2x−y+ = B Đường thẳng x+ 2y−2 = C Đường thẳng 2x+y−1 = D Đường thẳng2x−y−1 =

-Lời giải

Gọiz=x+yi,x, y∈R

(z−i)(2 +i) = (x+yi−i)(2 +i) = (2x−y+ 1) + (x+ 2y−2)i

Để(z−i)(2 +i) số ảo 2x−y+ = 0hay tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phứcz đường thẳng 2x−y+ =

Chọn đáp án A

Câu 131 Cho số phứcz=Ä√2 + 3iä2 Tổng phần thực phần ảo số phứcz bao nhiêu? A √2 + B 6√2 + 11 C 6√2−7 D 11

-Lời giải

Ta có

z=Ä√2 + 3iä2 =−7 + 6√2i Vậy số zcó phần thực bằng−7 phần ảo bằng6√2

Tổng phần thực phần ảo số phứcz bằng6√2−7

Chọn đáp án C

Câu 132 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, số phức z= (2−3i)−(3 +i) biểu diễn điểm sau đây?

(147)

-Lời giải

Ta có

z= (2−3i)−(3 +i) =−1−4i Vậy điểm biểu diễn số phứcz điểmM(−1;−4)

Chọn đáp án A

Câu 133 Cho hai số thựcx, y thỏa mãn x(3 + 2i) +y(1−4i) = + 24i Tính giá trịx+y A x+y= B x+y= C x+y = D x+y=−3

-Lời giải

Ta có

x(3 + 2i) +y(1−4i) = + 24i ⇔ 3x+ 2xi+y−4yi= + 24i ⇔

®

3x+y= 2x−4y= 24 ⇔

® x= y=−5

Vậyx+y= + (−5) =−3

Chọn đáp án D

Câu 134 Tìm mơ-đun số phứcz thỏa mãn điều kiệnz−2z= + 4i A |z|=

√ 93

3 B |z|= √

95

3 C |z|= √

91

3 D |z|= √

97

-Lời giải

Đặtz=a+bi(a, b∈R)⇒z=a−bi, thay vào phương trình ta có

a+bi−2a+ 2bi= + 4i ⇔ −a+ 3bi= + 4i

⇔  



a=−3 b=

3 Mô đun củaz là|z|=

… +16

9 = √

97

Chọn đáp án D

Câu 135 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tập hợp điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn điều kiệnz2+(z)2= 0là

A Trục hoành trục tung

B Đường phân giác góc phần tư thứ thứ ba C Trục hoành

D Các đường phân giác góc tạo hai trục tọa độ

-Lời giải

Giả sửz=x+yi(x, y∈R) Khi

z2+ (z)2 =

⇔ (x+yi)2+ (x−yi)2 =

⇔ x2−y2+ 2xyi+x2−y2−2xyi= ⇔ x2 =y2

⇔ y=±x

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường phân giác góc tạo hai trục tọa độ

(148)

Câu 136 Cho số phức zcó điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ Oxy điểm M(1;−2) Tính mô-đun số phứcw=i¯z−z2.

A √6 B √26 C 26 D

-Lời giải

Ta cóz= 1−2i⇒w=i(1 + 2i)−(1−2i)2 =i−2−(−3−4i) = + 5i Vậy|w|=√26

Chọn đáp án B

Câu 137 Nếu mô-đun số phứcz làr (r >0) mơ-đun số phức (1−i)3·z

A √2r B 3r C 2r D 2√2r

-Lời giải

Do (1−i)

3·z =

(1−i)

3

|z|=|2−2i| |z|= √

2|z|= 2√2r

Chọn đáp án D

Câu 138 Tìm số phức liên hợp số phứcz= i (3i−1)là

A z= 3−i B z=−3 + i C z= + i D z=−3−i

-Lời giải

Ta cóz= i (3i−1)⇔z=−3−isuy z=−3 + i

Chọn đáp án B

Câu 139 Số số sau số ảo?

A Ä√3 + 2iä Ä√3−2iä B Ä√3 + 2iä+Ä√3−2iä C 1−4i

1 + 4i D (3 + 3i)

2. -Lời giải

Do(3 + 3i)2= + 18i + 9i2 = 18i nên(3 + 3i)2 là số ảo.

Chọn đáp án D

Câu 140 Cho số phứcz= 3−2i Tìm điểm biểu diễn số phứcw=z+i·z

A M(5;−5) B M(1;−5) C M(1; 1) D M(5; 1)

-Lời giải

Ta có:z= + 2i

Khi đów=z+i·z= 3−2i+i(3 + 2i) = +i Vậy điểm biểu diễn số phứcw làM(1; 1)

Chọn đáp án C

Câu 141 Tìm số phức liên hợp số phứcz=i(3i+ 1)

A z= 3−i B z=−3−i C z=−3 +i D z= +i

-Lời giải

Ta có:z=i(3i+ 1) =−3 +i⇒z=−3−i

Chọn đáp án B

Câu 142 Cho số phứcz= (2−3i)(3−4i) Điểm biểu diễn số phứcz

A M(6; 17) B M(17; 6) C M(−17;−6) D M(−6;−17)

-Lời giải

Ta cóz= (2−3i)(3−4i) =−6−17i Do đó, điểm biểu diễn cho số phức z làM(−6;−17)

Chọn đáp án D

Câu 143 Rút gọn biểu thứcP =i2000+i2021

A P = +i B P = 1−i C P =−1 +i D P =−1−i

-Lời giải

P =i2000+i2021 = +i

Chọn đáp án A

Câu 144 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R)thỏa mãn điều kiện(1 +i)z+ 2z= 4−3i TínhP =a+b

A P = B P = 10 C P = D P =

(149)

Giả sửz=a+bivớia, b∈Rvà i2 =−1 Khi

(1 +i)z+ 2z= 4−3i

⇔(1 +i)(a+bi) + 2(a−bi) = 4−3i ⇔(3a−b) +i(a−b) = 4−3i

⇔ ®

3a−b= a−b=−3

⇔   

 

a= b= 13

2 Suy raP =a+b= 10

Chọn đáp án B

Câu 145 Trong mặt phẳng tọa độOxy, choM, N, P điểm biểu diễn số phức2+3i,1−2i và−3 +i Tìm tọa độ điểmQsao cho tứ giác M N P Qlà hình bình hành

A Q(0; B Q(6; 0) C Q(−2; 6) D Q(−4;−4

-Lời giải

Ta cóM(2; 3), N(1;−2), P(−3; 1) GọiH trung điểm M P, suy H

Å−1 ;

ã

VìM N P Q hình bình hành nênH trung điểm N Q, Q(−2; 6)

Chọn đáp án C

Câu 146 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z−i|=|2−3i−z|là

A Đường thẳngx−2y−3 = B Đường thẳng x+ 2y+ = C Đường tròn x2+y2 = D Đường trònx2+y2=

-Lời giải

Đặtz=x+yi(x, y∈R) Khi đó, ta có

|z−i|=|2−3i−z|

⇔ |x+yi−i|=|2−3i−x−yi| ⇔ |x+ (y−1)i|=|(2−x) + (−3−y)i| ⇔ »x2+ (y−1)2=»(2−x)2+ (−3−y)2

⇔ x2+ (y−1)2 = (2−x)2+ (−3−y)2 ⇔ x−2y−3 =

Chọn đáp án A

Câu 147 Cho hai số phức z1 = + 4i, z2 =−1 + 3i Tính mơđun số phứcw=z1z2−2z1

A |w|= 2√2 B |w|= 2√10 C |w|= 4√2 D |w|=

-Lời giải

Ta ców= (2 + 4i)(−1−3i)−2(2−4i) = (10−10i)−(4−8i) = 6−2i Do đó|w|=p62+ (−2)2 = 2√10.

Chọn đáp án B

Câu 148 Tìm số thực msao cho m2−1 + (m+ 1)ilà số ảo

A m= B m= C m=±1 D m=−1

-Lời giải

m2−1 + (m+ 1)ilà số ảo m2−1 = hay m=±1

Chọn đáp án C

Câu 149 Cho hai số phứcz1 =m+ 3i,z2 = 2−(m+ 1)i, vớim∈R Tìm giá trị củam đểw=z1·z2

là số thực

A m= hoặcm=−2 B m= hoặcm=−1 C m= hoặcm=−3 D m=−2 hoặcm=−3

(150)

Ta ców=z1·z2 = (m+ 3i) (2−(m+ 1)i) = 5m+ + 6−m−m2

i Đểw số thực thì6−m−m2= 0⇔

đ

m=−3 m=

Chọn đáp án C

Câu 150 Cho hai số phứcz=m+ 3ivàz0= 2−(m+ 1)i Tích giá trị củamđể zz0 số thực

A B −6 C 10 D 12

-Lời giải

Ta cózz0 = (m+ 3i) (2−(m+ 1)i) = 5m+ +i(−m2−m+ 6).

Do zz0 số thực khi−m2−m+ = 0⇔

ñ m= m=−3

Chọn đáp án B

Câu 151 Có số phứcz thỏa mãn|z−3i|= vàz−4là số ảo khác 0?

A B C Vô số D

-Lời giải

Gọiz=x+yi (với x, y∈R) Ta cóz−4 = (x−4) +yilà số ảo khác nên ®

y6= x= Khi đó|z−3i|= 5⇔x2+ (y−3)2 = 25⇔(y−3)2 = 9⇔y= 6 (vìy6= 0).

Chọn đáp án D

Câu 152 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn |z+ 1−2i|=

A Đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính r= B Đường trịn tâm I(1;−2), bán kínhr = C Đường trịn tâm I(1; 2), bán kínhr = D Đường trịn tâmI(−1; 2), bán kínhr =

-Lời giải

Đặtz=x+yi,(x;y∈R), ta có M(x;y) biểu diễn số phứcz

Do|z+ 1−2i|= 3⇒ |(x+ 1) + (y−2)i|= 3⇔p

(x+ 1)2+ (y−2)2 = 3⇔ (x+ 1)2+ (y−2)2 = Suy

ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn zlà đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính r=

Chọn đáp án A

Câu 153 Gọix, y hai số thực thỏax(3−5i)−y(2−i)2 = 4−2i TínhM = 2x−y A M = B M = C M =−2 D M =

-Lời giải

Ta cóx(3−5i)−y(2−i)2= 4−2i⇔x(3−5i)−y(4−4i+i2) = 4−2i⇔(3x−3y)−(5x−4y)i= 4−2i.

Khi ta có hệ

®

3x−3y= 5x−4y= ⇔

  

 

x=−10 y=−14

3

Suy raM = 2x−y= 2· Å

−10

ã +14

3 =−2

Chọn đáp án C

Câu 154 Cho số phứczthỏa mãn|z+ 1−i|=|z−1 + 2i| Tập hợp điểm biểu diễn số phứcztrên mặt phẳng tọa độ đường thẳng Viết phương trình đường thẳng

A 4x+ 6y−3 = B 4x−6y+ = C 4x−6y−3 = D 4x+ 6y+ =

-Lời giải

Gọiz=x+yi, vớix, y∈R Khi |z+ 1−i|=|z−1 + 2i|

⇔ |x+yi+ 1−i|=|x+yi−1 + 2i| ⇔ (x+ 1)2+ (y−1)2 = (x−1)2+ (y+ 2)2 ⇔ 4x−6y−3 =

Chọn đáp án C

Câu 155 Cho số phứcz= 2−3i Tìm mơ-đun số phứcw= 2z+ (1 +i)z

A |w|=√10 B |w|= C |w|=√15 D |w|= 2√2

(151)

w= 2z+ (1 +i)z⇔w= 2(2−3i) + (1 +i)(2 + 3i) = 4−6i+ + 2i+ 3i−3 = 3−i Khi đó|w|=√10

Chọn đáp án A

Câu 156 Cho hai số thựcx,y thỏa phương trình2x+ + (1−2y)i= 2(2−i)−3yi+x Tính giá trị biểu thứcP =x2−3xy−y

A P =−12 B P = 13 C P = 11 D P =−3

-Lời giải

Ta có

2x+ + (1−2y)i= 2(2−i)−3yi+x ⇔ 2x+ + (1−2y)i= +x+ (−3y−2)i ⇔

®

2x+ = +x 1−2y=−3y−2 ⇔

® x= y=−3 Suy raP =x2−3xy−y= 12−3·(−3)−(−3) = 13

Chọn đáp án B

Câu 157 Cho hai số phức z1 = +i,z2= 4−3i Khi đóz1·z2 có phần ảo

A 11 B C −11 D −2

-Lời giải

z1·z2 = (2 +i)(4−3i) = 11−2i

Vậy số phức z1·z2 có phần ảo −2

Chọn đáp án D

Câu 158 Cho số phức thỏa mãnz= + 3i

1−i Tìm mơ-đun củaw=iz+z

A |w|= 2√2 B |w|= 4√2 C |w|=√2 D |w|= 3√2

-Lời giải

Ta cóz= + 3i

1−i ⇒z=−1 + 2i⇒z=−1−2i⇒w=−3−3i⇒ |w|= √

2

Chọn đáp án D

Câu 159 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R) thỏa mãn 3z−2z−6 + 10i= Tínha−b

A B −8 C −4 D

-Lời giải

Ta có

3z−2z−6 + 10i=

⇔ 3(a+bi)−2(a−bi)−6 + 10i= ⇔ a−6 + (5b+ 10)i=

⇔ ®

a= b=−2 Suy raa−b=

Chọn đáp án A

Câu 160 Điểm biểu diễn số phức z M(1; 2) Tọa độ điểm biểu diễn cho số phức w = z−2z

A (2;−3) B (2; 1) C (−1; 6) D (2; 3)

-Lời giải

Từ giả thiết suy raz= + 2i

Từ đów=z−2z= (1 + 2i)−2(1−2i) =−1 + 6i Vậy tọa độ điểm biểu diễn số phứcw là(−1; 6)

Chọn đáp án C

Câu 161 Cho số phứcz=−2 +i Điểm sau điểm biểu diễn số phứcw=iz mặt phẳng tọa độ?

A P(−2; 1) B N(2; 1) C Q(1; 2) D M(−1;−2)

-Lời giải

Ców=zi=i(−2 +i) =−1−2inên điểm biểu diễn wlà điểmM(−1;−2)

(152)

Câu 162 Cho số phức z thỏa mãn|z+ 3−4i|= Biết tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phứcz đường trịn Tìm tọa độ tâm I bán kínhR đường trịn

A I(3;−4),R=√5 B I(−3; 4),R=√5 C I(3;−4),R= D I(−3; 4),R=

-Lời giải

Gọiz = x+iy,(x, y ∈R) |z+ 3−4i|= ⇔ (x+ 3)2+ (y−4)2 = 25 Vậy tâm I(−3; 4) bán kính R=

Chọn đáp án D

Câu 163 Tổng phần thực phần ảo số phức zthỏa mãn iz+ (1−i)z=−2i

A B −2 C D −6

-Lời giải

Gọiz=x+iy, (x, y∈R)

iz+ (1−i)z=−2i ⇔ i(x+iy) + (1−i)(x−iy) =−2i ⇔ (x−2y) + (2−y)i=

⇔ ®

x−2y= 2−y= ⇔

® x= y= Vậyx+y=

Cách 2: Cách trắc nghiệm Nhập máy tínhiz+ (1−i)z

CALCz= ta + 0i; CALCz=ita −2−i Giải hệ

®

1x−2y= 0x−1y=−2 ⇔

® x= y= Vậyx+y=

Chọn đáp án C

Câu 164 Cho số phứcz= + 5i Tìm mơđun số phứcw=iz+z

A |w|= B |w|= +√2 C |w|= 3√2 D |w|= 2√2

-Lời giải

Ta ców=iz+z=i(3 + 5i) + 3−5i=−2−2i⇒ |w|= 2√2

Chọn đáp án D

Câu 165 Cho số phứcz thoả mãn z= (1− √

3i)3

1−i Tìm mơđun củaw=z−iz

A 8√2 B C 4√2 D

-Lời giải

Ta cóz= (1− √

3i)3

1−i =−4−4i

Suy raz=−4 + 4i;do đów=z−iz=−8 + 8i Vậy|w|=|z−iz|=p(−8)2+ 82 = 8√2.

Chọn đáp án A

Câu 166 Cho hai số phứcz1= 1+2i;z2 = 2−3i Xác định phần thực phần ảo số phức2z1+z2

A Phần thực 4, phần ảo −6 B Phần thực 4, phần ảo −1 C Phần thực −1, phần ảo D Phần thực 4, phần ảo

-Lời giải

ta có:2z1+z2= 4−i

Suy phần thực 4, phần ảo là−1

Chọn đáp án B

Câu 167 Hai số phứcz1 = + 3i,z2= +i Giá trị biểu thức |z1+ 3z2|là

A √55 B C D √61

-Lời giải

Ta cóz1+ 3z2 = + 3i+ 3(1 +i) = + 6i

Do |z1+ 3z2|=|5 + 6i|=

√

52+ 62 =√61.

(153)

Câu 168 Cho số phứcz thỏa mãn |z−1|=|z−2 + 3i| Tập hợp điểm biểu diễn số phứcz A Đường tròn tâmI(1; 2), bán kính R=

B Đường thẳng có phương trình 2x−6y+ 12 = C Đường thẳng có phương trình x−3y−6 = D Đường thẳng có phương trình x−5y−6 =

-Lời giải

|z−1|=|z−2 + 3i| ⇔ |x−1 +yi|=|x−2 + (y+ 3)i| ⇔(x−1)2+y2 = (x−2)2+ (y+ 3)2 ⇔x−3y−6 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng có phương trình x−3y−6 =

Chọn đáp án C

Câu 169 Số phức liên hợp số phức z= i(1−2i) có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm đây?

A E(2;−1) B B(−1; 2) C A(1; 2) D F(−2; 1)

-Lời giải

Ta có z =i(1−2i) =i−2i2 = +i⇒ z¯= 2−i Do z¯có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểmE(2;−1)

Chọn đáp án A

Câu 170 Có số phứcz thỏa mãn(1 +i)z+ (2−i)z= 13 + 2i?

A B C D

-Lời giải

Đặtz=a+bi(a, b∈R), ta có:

(1 +i)z+ (2−i)z= 13 + 2i

⇔ (1 +i)(a+bi) + (2−i)(a−bi) = 13 + 2i ⇔ 3a−2b−bi= 13 + 2i⇔

®

3a−2b= 13 −b= ⇔

® a= b=−2 Vậyz= 3−2inên có số phứczthỏa mãn

Chọn đáp án D

Câu 171 Cho số phứcz = 3−5i Gọi w=x+yi, (x, y ∈R) bậc hai z Giá trị biểu thứcT =x4+y4

A T = 43

2 B T = 34 C T = 706 D T =

17

-Lời giải

Ta ców2 =z⇔x2−y2+ 2xyi= 3−5i⇔ ®

x2−y2 = 2xy =−5 Mà ta cóT =x4+y4 = (x2−y2)2+ 2·x2y2 = 32+ 2·

Å −5

2 ã2

= 43

Chọn đáp án A

Câu 172 Cho số phứcz=a+bi, (a, b∈R)thỏa mãnz+7+i−|z|(2+i) = 0và|z|<3 TínhP =a+b A P = B P =−1

2 C P = D P =

5

-Lời giải

z+ +i− |z|(2 +i) = 0⇔a+ + (b+ 1)i−2√a2+b2−√a2+b2i= 0⇔

(

a+ = 2pa2+b2 (1)

p

a2+b2 =b+ (2)

Suy raa+ = 2(b+ 1)⇒a= 2b−5 vào(2) ta

p

(2b−5)2+b2 =b+ 1⇔

® b≥ −1

4b2−22b+ 24 = ⇔     

   

b≥ −1 

 b= b=

Vớib= 4⇒a= 3⇒ |z|= 5>3(không thỏa mãn) Vớib=

2 ⇒a=−2⇒ |z|= <3 Vậyz=−2 +3

(154)

Chọn đáp án B Câu 173 Cho số phứcz= 2−3i Tính mơ-đun số phứcw= (1 +i)z

A |w|=√26 B |w|=√37 C |w|= D |w|=

-Lời giải

Ta có|w|=|(1 +i)z|=|1 +i| · |2−3i|=√2·√13 =√26

Chọn đáp án A

Câu 174 TínhP = +

√ 3i

2018

+ 1−

√ 3i

2018

A P = B P = 21010. C. P = 22019. D. P = 4. -Lời giải

Ta có: +

√ 3i

= 1−

√ 3i

= 2, nên P =

2018+ 22018 = 22019.

Chọn đáp án C

Câu 175 Tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn|z−3 + 4i|=

A Một đường tròn B Một đường thẳng C Một đường parabol D Một đường elip

-Lời giải

Theo giải thiết |z−3 + 4i|= 5⇔ |(x−3) + (y+ 4)i|= 5⇔(x−3)2+ (y+ 4)2 = 25 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường tròn tâm I(3;−4)bán kínhR=

Chọn đáp án A

Câu 176 Tìm mơ-đun số phứcz biết z−4 = (1 + i)|z| −(4 + 3z) i A |z|= B |z|= C |z|=

2 D |z|=

-Lời giải

Ta có

z−4 = (1 + i)|z| −(4 + 3z) i⇔(1 + 3i)z= (1 + i)|z|+ (1−i) ⇔z= + i

1 + 3i· |z|+ 4· 1−i

1 + 3i ⇔z=

(1 + i) (1−3i)

(1 + 3i) (1−3i) · |z|+ 4·

(1−i) (1−3i) (1 + 3i) (1−3i) ⇔z=

Å −

1 5i

ã

· |z| −4· Å

1 +

2 5i

ã

=⇔z= Å

2 5|z| −

4

ã −

Å|z| +

8

ã i Khi

|z|2 = Å2

5|z| −

ã2 +

Å|z| +

8

ã2

⇔25|z|2 = (2|z| −4)2+ (|z|+ 8)2

⇔25|z|2 = 4|z|2−16|z|+ 16 +|z|2+ 16|z|+ 64⇔20|z|2 = 80⇔ ñ

|z|= |z|=−2 Suy ra|z|=

Chọn đáp án D

Câu 177 Biết phương trình z2+ 2z+m= 0(m∈R) có nghiệm phức z1 =−1 + 3ivà z2 nghiệm

phức lại Số phứcz1+ 2z2

A −3 + 3i B −3 + 9i C −3−3i D −3 + 9i

-Lời giải

Ta cóz1+z2 =

−b

a =−2⇔z2 =−2−z1=−2 + 1−3i=−1−3i Vậyz1+ 2z2 =−3−3i

Chọn đáp án C

Câu 178 Tìm phần thực phần ảo số phức z,¯ biết z=−i(4i+ 3)

A Phần thực bằng4, phần ảo bằng3 B Phần thực 4, phần ảo −3 C Phần thực bằng4, phần ảo bằng3i D Phần thực bằng4, phần ảo −3i

-Lời giải

z= 4−3inên z¯= + 3i Vậy z¯có phần thực bằng4, phần ảo

(155)

Câu 179 Cho số phứcz thỏa mãn (1 + 2i)z−5 = 3i Tìm số phức liên hợp số phứcz A z¯= 11

5 −

5i B z¯= 11

5 +

5i C z¯=− 11

5 −

5i D z¯=− 11

5 + 5i

-Lời giải

Từ giả thiết, ta suy raz= + 3i + 2i =

11 −

7

5i Suy raz¯= 11

5 + 5i

Chọn đáp án B

Câu 180 Trong mặt phẳng phức, biết số phức z có điểm biểu diễn nằm góc phần tư (I) Hỏi điểm biểu diễn số phứcw=

iz nằm góc phần tư nào?

A (I) B (II) C (III) D (IV)

-Lời giải

Điểm biểu diễn iz ảnh điểm biểu diễn z qua phép quay tâmO, góc quay 90◦ Trong điểm biểu diễn

z điểm biểu diễn z khác phía trục hồnh phía trục tung Vậy điểm biểu diễn củaw thuộc góc phần tư(III)

Chọn đáp án C

Câu 181 Nếu môđun số phứcz bằngr (r >0) mơđun số phức (1−i)2z

A 2r B 4r C r D r√2

-Lời giải

Ta có

|(1−i)2z|=|(1−i)2| · |z|= 2|z|= 2r

Chọn đáp án A

Câu 182 Cho hai số phức z1 = + 3i, z2= 3−4i Môđun số phức w=z1+z2

A √17 B √15 C 17 D 15

-Lời giải

Ta ców= 4−i Suy |w|=p42+ (−1)2 =√17.

Chọn đáp án A

Câu 183 Môđun số phứcz= (2−3i)(1 + i)4 là

A |z|=−8 + 12i B |z|=√13 C |z|= 4√13 D |z|=√31

-Lời giải

Ta có(1 + i)2 = + 2i + i2= 2i⇒(1 + i)4 = (2i)2= 4i2 =−4nên

z= (2−3i)(1 + i)4 = (2−3i)(−4) =−8 + 12i Từ đó|z|=p(−8)2+ 122= 4√13.

Chọn đáp án C

Câu 184 Cho số phứcz thỏa mãn z+ 2z= 12−2i Phần thựcavà phần ảobcủaz

A a= 4, b= 2i B a= 4, b= C a= 4, b=−2 D a= 4, b=−2i

-Lời giải

Ta cóz=a+bi Từ giả thiết suy

a+bi + 2(a−bi) = 12−2i⇔3a−bi = 12−2i ⇔

®

3a= 12 −b=−2 ⇔

® a= b= Vậya= 4, b=

Chọn đáp án B

Câu 185 Cho hai số phức z= (a−2b)−(a−b)ivàw= 1−2i, biết z=wi TínhS=a+b A S =−7 B S =−4 C S =−3 D S=

(156)

Ta có

z=ωi

⇔ (a−2b)−(a−b)i= (1−2i)i ⇔ (a−2b)−(a−b)i= +i ⇔

®

a−2b= −a+b= ⇔

®

a=−4

b=−3 ⇒S =a+b=−7

Chọn đáp án A

Câu 186 Cho số phứcz thỏa mãn z+ (1 +i)¯z= + 2i Mô-đun củaz

A B √6 C √27 D √5

-Lời giải

Đặtz=a+bi Ta cóz+ (1 +i)¯z= + 2i⇔(a+bi) + (1 +i)(a−bi) = + 2i⇔2a+b+ai= + 2i ⇔

®

2a+b=

a= ⇔

® a=

b= ⇒z= +i⇒ |z|= √

5

Chọn đáp án D

Câu 187 Choilà đơn vị ảo GọiS tập hợp tất sốnnguyên dương có hai chữ số thỏa mãn inlà số nguyên dương Số phần tử củaS

A 22 B 23 C 45 D 46

-Lời giải

in số nguyên dương khin= 4k, vớiknguyên dương Khi đó, tập hợpS={n= 4k|3≤k≤24} Vậy số phần tử tậpS là24−3 + = 22

Chọn đáp án A

Câu 188 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R)thỏa mãn(z+1+i)(z−i)+3i= 9và|z|>2 TínhP =a+b

A −3 B −1 C D

-Lời giải

Ta có(z+ +i)(z−i) + 3i= 9⇔zz+i(z−z) +z−i+ + 3i= 9⇔a2+b2+ 2b+a−bi+ + 2i= Do b= vàa2+a= 0⇔a= 0hoặc a=−1 Do|z|>2 nên ta chọna=−1 Vậy P =

Chọn đáp án C

Câu 189 Cho số phứcz1 = + 2i,z2= + 5i Tìm số phức liên hợp củaz= 6z1+ 5z2

A z¯= 51 + 40i B z¯= 51−40i C z¯= 48 + 37i D z¯= 48−37i

-Lời giải

Ta cóz= 6z1+ 5z2= 48 + 37inên z¯= 48−37i

Chọn đáp án D

Câu 190 Cho số phứcz=a+bi(vớia, b số nguyên) thỏa mãn(1−3i)z số thực và|z−2 + 5i|= Khi đóa+bbằng

A B C D

-Lời giải

Ta có(1−3i)z= (a+ 3b) + (b−3a)i,z−2 + 5i= (a−2) + (5−b)i Theo ta có hệ phương trình

®

b−3a=

(a−2)2+ (5−b)2= ⇔ ®

b= 3a

5a2−17a+ 14 =

⇔     

   

b= 3a 

 a=

5(loại) a=

⇒ ®

a= b=

Vậya+b=

(157)

Câu 191 Cho số phức zthỏa mãn (3 + 2i)z+ (2−i)2= +i Hiệu phần thực phần ảo số phứcz

A B C D

-Lời giải

Ta có(3 + 2i)z+ (2−i)2 = +i⇔(3 + 2i)z+ (3−4i) = +i⇔(3 + 2i)z= + 5i⇔z= +i Vậy hiệu phần thực phần ảo số phứcz là0

Chọn đáp án D

Câu 192 Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phứcz= (2−3i)(4−i)

3 + 2i mặt phẳngOxy A (−1;−4) B (1; 4) C (1;−4) D (−1; 4)

-Lời giải

Ta cóz= (2−3i)(4−i) + 2i =

5−14i + 2i =

(5−14i)(3−2i)

13 =

−13−52i

13 =−1−4i Do điểm biểu diễn số phức ztrên mặt phẳng Oxy có tọa độ (−1;−4)

Chọn đáp án A

Câu 193 Cho số phứcz= (1 + 3i)(4−i), phần thực củaz bao nhiêu?

A B C 11 D

-Lời giải

Ta cóz= (1 + 3i)(4−i) = + 11i Vậy phần thực zbằng7

Chọn đáp án D

Câu 194 Trong số phức(1 +i)4,(1 +i)6,(1 +i)9,(1 +i)10 số phức số thực? A (1 +i)9 B (1 +i)6 C (1 +i)10 D (1 +i)4

-Lời giải

Ta có(1 +i)2 = + 2i+i2 = 2i

Do (1 +i)4 = (1 +i)2= (2i)2 =−4là số thực

Chọn đáp án D

Câu 195 Cho số phứcz thỏa mãn |z|=√5và số phức w= (1 + 2i)·z Tìm|w|

A √5 B C 2√5 D

-Lời giải

Ta có|w|=|(1 + 2i)·z|=|1 + 2i| · |z|=√5·√5 =

Chọn đáp án B

Câu 196 Cho hai số phức z1 = + 3i, z2 = −3 −5i Tính tổng phần thực phần ảo số phức

w=z1+z2

A B C −1−2i D −3

-Lời giải

Ta ców=−1−2i, nên tổng phần thực phần ảo wlà −3

Chọn đáp án D

Câu 197 Cho số phứcz thỏa mãn z+ 4z= +i(z−7) Khi đó, mơ-đun củazbằng bao nhiêu? A |z|= B |z|=√3 C |z|=√5 D |z|=

-Lời giải

Đặtz=x+yi⇒z=x−yi

Ta có:z+ 4z= +i(z−7)⇔(x+yi) + 4(x−yi) = +i(x+yi−7) ⇔5x−3yi= 7−y+ (x−7)i⇔

®

5x= 7−y

−3y=x−7 ⇔ ®

5x+y = x+ 3y = ⇔

® x= y= ⇒z= + 2i⇒ |z|=√12+ 22=√5.

Chọn đáp án C

Câu 198 Kí hiệua,blần lượt phần thực phần ảo số phức z=i(1−i) Khẳng định sau đúng?

A a= 1, b=−1 B a= 1, b= C a= 1, b=i D a= 1, b=−i

-Lời giải

Ta cóz= +isuy a= 1,b=

(158)

Câu 199 Trong tập số phức, khẳng định sau đúng?

A z1+z2 =z1+z2 B z+z số ảo

C |z1+z2|=|z1|+|z2| D z2−(z)2 = 4abvới z=a+bi -Lời giải

Gọiz1 =a1+b1ivà z2 =a2+b2i, vớia1, a2, b1, b2 ∈R Khi z1+z2 =a1+a2+ (b1+b2)i

Do z1+z2 =a1+a2−(b1+b2)i=a1−b1i+a2−b2i=z1+z2

Chọn đáp án A

Câu 200 Tập hợp tất điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn|z+ 2−i|= đường trịn tâm I có bán kínhR

A I(−2;−1);R= B I(−2;−1);R= C I(2;−1);R= D I(2;−1);R=

-Lời giải

Gọiz=a+bi, với a, b∈R Suy z=a−bi

Ta có|z+ 2−i|= 4⇔(a+ 2)2+ (−b−1)2= 16⇔(a+ 2)2+ (b+ 1)2 = 16 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm I(−2;−1), bán kính R=

Chọn đáp án A

Câu 201 Cho số phứcz=a+bi(trong a, b số thực) thỏa mãn3z−(4 + 5i)z=−17 + 11i Tính ab

A ab= B ab=−3 C ab= D ab=−6

-Lời giải

Ta có3z−(4 + 5i)z=−17 + 11i⇔3(a+bi)−(4 + 5i)(a−bi) =−17 + 11i ⇔ −a−5b+ (−5a+ 7b)i=−17 + 11i⇔

®

−a−5b=−17 −5a+ 7b= 11 ⇔

® a=

b= ⇒ab=

Chọn đáp án A

Câu 202 Cho số phức thỏa|z|= Biết tập hợp số phứcw= ¯z+ilà đường trịn Tìm tâm đường trịn

A I(0; 1) B I(0;−1) C I(−1; 0) D I(1; 0)

-Lời giải

Đặtw=x+yi,(x, y∈R)

Ta ców= ¯z+i⇔x+yi= ¯z+i⇔z¯=x+ (y−1)i⇔z=x+ (1−y)i Theo đề|z|= 3⇔x2+ (1−y)2 = 9⇔x2+ (y−1)2=

Vây tập hợp số phứcw= ¯z+ilà đường tròn tâmI(0; 1)

Chọn đáp án A

Câu 203 Cho số phứczthỏa mãn điều kiện (1 +i)(z−i) + 2z= 2i Mô-đun số phức w= z¯−2z+ z2

là

A √10 B √8 C −√10 D −√8

-Lời giải

Ta có(1 +i)(z−i) + 2z= 2i⇔(3 +i)z=−1 + 3i⇔z=i Suy raw= z¯−2z+

z2 =

−i−2i+

i2 =−1 + 3i

Vậy|w|=√10

Chọn đáp án A

Câu 204 Cho số phứcz thỏa mãn 3z+ (1 +i)z= 1−5i Tìm mơ-đun z

A |z|= B |z|=√5 C |z|=√13 D |z|=√10

-Lời giải

Gọiz=a+bi(a, b∈R) Thay vào phương trình ta được:

3(a−bi) + (1 +i)(a+bi) = 1−5i⇔(4a−b) + (a−2b) = 1−5i ⇔

®

4a−b= a−2b=−5 ⇔

® a=

b= ⇒z= + 3i⇒ |z|= √

10

Chọn đáp án D

Câu 205 Choz= 3−2i Tìm phần ảo số phứcw= (1 + 2i)z

(159)

-Lời giải

Ta ców= (1 + 2i)z= (1 + 2i)(3−2i) = + 4i Từ ta suy phần ảo số phứcw bằng4

Chọn đáp án C

Câu 206 Cho số phứcz thỏa mãnz(1 + 2i)−z(2−3i) =−4 + 12i Tìm tọa độ điểmM biểu diễn số phức z

A M(3; 1) B M(3;−1) C M(−1; 3) D M(1; 3)

-Lời giải

Đặtz=a+bi;a, b∈Rsuy z=a−bi Từ giả thiết ta có

(a+bi)(1 + 2i)−(a−bi)(2−3i) =−4 + 12i⇔(−a+b) + (5a+ 3b)i=−4 + 12i ⇔

®

−a+b=−4 5a+ 3b= 12 ⇔

® a= b=−1

Vậy tọa độ điểmM biểu diễn số phứcz làM(3;−1)

Chọn đáp án B

Câu 207 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R)thỏa mãn (1 +i)z+ 2z= + 2i TínhP =a+b

A P = B P =−1 C P =−1

2 D P =

1

-Lời giải

Ta có

(1 +i)z+ 2z= + 2i

⇔ (1 +i)(a+bi) + 2(a−bi) = + 2i ⇔ a+bi+ai−b+ 2a−2bi= + 2i ⇔ 3a−b+ (a−b)i= + 2i

⇔ ®

3a−b= a−b=

⇔   

 

a= b=−3

2 VậyP =a+b=−1

Chọn đáp án B

Câu 208 Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn cho số phứcz thỏa|z+ 4−3i|62là A Hình trịn tâm I(−4; 3), bán kính R= B Hình trịn tâm I(4;−3), bán kínhR= C Hình trịn tâm I(4;−3), bán kính R= D Hình trịn tâmI(−4; 3), bán kínhR=

-Lời giải

Đặtz=x+yi,(x, y∈R) Ta có: |z+ 4−3i|62⇔p

(x+ 4)2+ (y−3)262⇔(x+ 4)2+ (y−3)2 64.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứczlà điểm cách điểm I(−4; 3)một khoảng bé bằng2 hay tập hợp điểm biểu diễn hình trịn tâmI(−4; 3), bán kínhR=

Chọn đáp án D

Câu 209 Xét số phứczthỏa mãn(z+ 2i+ 1) (z+ 3i)là số ảo, biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường tròn Tâm đường trịn là:

A Å

1 2;

1

ã

B

Å 2;−

1

ã

C

Å −1

2;−

ã

D

Å −1

2;

ã

-Lời giải

Gọi số phức z có dạngz=x+yi Theo giả thiết ta có:

(z+ 2i+ 1) (z+ 3i) = (x+yi+ 2i+ 1)(x−yi+ 3i)

(160)

Mà(z+ 2i+ 1) (z+ 3i) số ảo nên phần thực Suy

x2+x−6 +y2−y= ⇔

Å

x2+x+

ã +

Å

y2−y+1

ã = 13

2 ⇔

Å x+1

2 ã2

+ Å

y−1

ã2 = 13

2 Vậy điểm biểu diễn số phứcz đường trịn có tâm

Å −1

2;

ã

Chọn đáp án D

Câu 210 Cho số phức z thỏa mãn|z+ 2−i|= Tập hợp điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn số phứcw= +z

A Đường trịn tâm I(−2; 1) bán kínhR= B Đường trịn tâm I(2;−1)bán kính R= C Đường trịn tâm I(−1;−1)bán kínhR= D Đường trịn tâmI(−1;−1)bán kínhR =

-Lời giải

Từw= +z⇒w= +z⇒z=w−1 Thế vào|z+ 2−i|= ta

|w+ 1−i|= 3⇔

w+ 1−i

= 3⇔ |w+ +i|=

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà đường trịn tâm I(−1;−1), bán kínhR =

Chọn đáp án D

Câu 211 Có số phứcz thỏa mãnz2+ 2|z|= 0 ?

A B C D

-Lời giải

Giả sửz=x+yi,x, y∈R

Theo giả thiếtz2+2|z|= 0⇔(x+yi)2+px2+y2= 0⇔

®

x2−y2+px2+y2 = 0

2xy= ⇔



    

® x=

|y| −y2= 0(1) ®

y =

x2+|x|= 0.(2)

Giải hệ(1) ta 

 

  

 

x= ñ

|y|= |y|=

⇔ 

         

® x= y= ®

x= y=−1 ®

x= y= Giải hệ(2) ta

® x= y =

Vậy có3 số phức thỏa mãn tốn làz= 0,z=i,z=−i

Chọn đáp án D

Câu 212 Tập hợp tất điểm biểu diễn số phứcz =x+yi(x;y∈R) thỏa mãn |z−i|= đường cong có phương trình

A (x−1)2+y2 = B x2+ (y−1)2 = C (x−1)2+y2 = 16 D x2+ (y−1)2= 16

-Lời giải

Ta có|z−i|= 4|x+yi−i|= 4⇔p

x2+ (y−1)2 = 4⇔x2+ (y−1)2 = 16.

Chọn đáp án D

4 ĐÁP ÁN

1 D B C A A B A A A 10 A

11 A 12 C 13 A 14 A 15 C 16 A 17 D 18 B 19 C 20 B

(161)

31 A 32 C 33 B 34 A 35 A 36 D 37 C 38 A 39 C 40 D

41 A 42 C 43 C 44 D 45 C 46 B 47 D 48 A 49 A 50 C

51 B 52 B 53 A 54 C 55 C 56 C 57 C 58 A 59 C 60 B

61 A 62 A 63 D 64 A 65 A 66 A 67 B 68 D 69 B 70 A

71 C 72 A 73 C 74 C 75 A 76 B 77 B 78 A 79 C 80 B

81 A 82 B 83 B 84 C 85 A 86 B 87 C 88 D 89 C 90 A

91 A 92 D 93 B 94 A 95 A 96 D 97 D 98 B 99 B 100 D

101 A 102 A 103 A 104 D 105 B 106 D 107 A 108 A 109 D 110 C

111 C 112 C 113 C 114 B 115 D 116 A 117 A 118 A 119 D 120 D

121 C 122 C 123 B 124 D 125 A 126 D 127 C 128 A 129 C 130 A

131 C 132 A 133 D 134 D 135 D 136 B 137 D 138 B 139 D 140 C

141 B 142 D 143 A 144 B 145 C 146 A 147 B 148 C 149 C 150 B

151 D 152 A 153 C 154 C 155 A 156 B 157 D 158 D 159 A 160 C

161 D 162 D 163 C 164 D 165 A 166 B 167 D 168 C 169 A 170 D

171 A 172 B 173 A 174 C 175 A 176 D 177 C 178 A 179 B 180 C

181 A 182 A 183 C 184 B 185 A 186 D 187 A 188 C 189 D 190 B

191 D 192 A 193 D 194 D 195 B 196 D 197 C 198 B 199 A 200 A

201 A 202 A 203 A 204 D 205 C 206 B 207 B 208 D 209 D 210 D

211 D 212 D

5 VẬN DỤNG THẤP

Câu Cho số phức zcó phần thực số nguyên z thỏa mãn|z| −2¯z=−7 + 3i+z Tính mơ-đun số phứcw= 1−z+z2

A |w|=√37 B |w|=√457 C |w|=√425 D |w|=√445

-Lời giải

Đặtz=a+bi, vớia∈Z Theo đề ta có

p

a2+b2 = 2(a−bi)−7 + 3i+a+bi⇔pa2+b2 = (3a−7) + (3−b)i. (∗)

Suy ra3−b= hay b= Khi đó(∗) trở thành

p

a2+ = 3a−7⇔

®

3a−7≥0

8a2−42a+ 40 = ⇔      

    

a≥ 

 a= a=

⇔a=

Vậyz= + 3i Khi đów= 1−(4 + 3i) + (4 + 3i2) = 1−4−3i+ 16 + 24i−9 = + 21i Do |w|=√42+ 212 =√457.

Chọn đáp án B

Câu Cho số phứczthỏa mãn|z|= Biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= (3+4i)z+i đường trịn Tính bán kínhr đường trịn

A r = B r = C r= 20 D r= 22

-Lời giải

Ta có|w−i|=|(3 + 4i)z|=|3 + 4i||z|=√32+ 42·4 = 20.

Suy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức wlà đường tròng tâm I(0; 1), bán kínhr = 20

Chọn đáp án C

Câu Cho số phức z=a+bi (a, b∈R) thỏa mãnz+ +i− |z|i= TínhS =a+b

A B −1 C −3 D

-Lời giải

(162)

⇔ (

a+ =

b+ 1−pa2+b2= 0 ⇔

(

a=−3 p

9 +b2=b+ 1 ⇔

  

 

a=−3 b+ 1>0

9 +b2 = (b+ 1)2

⇔     

a=−3 b>−1 = 2b+

⇔     

a=−3 b>1 b=

⇔ ®

a=−3 b= VậyS =a+b=−3 + =

Chọn đáp án D

Câu Có số phứcz thỏa mãn|z−1|2+|z−z|i+ (z+z)i2019 = 1?

A B C D

-Lời giải

Gọiz=a+bi⇒z=a−bivớia, b∈R Ta có |z−1|2 =|a+bi−1|2= (a−1)2+b2

|z−z|i=|a+bi−a+bi|i=»(2b)2i= 2|b|i i2019 =i4·504+3= i4504·i3=i·i2=−i (z+z)i2019 =−i(a+bi+a−bi) =−2ai Khi ta suy ra(a−1)2+b2+ 2|b|i−2ai=

®

(a−1)2+b2 = 2|b| −2a= ⇔

®

a2−2a+b2 =

a=|b| ⇔

®

2|b|2−2|b|=

a=|b| ⇔

     ñ

|b|= |b|= a=|b|

⇔            ® a= b= ®

a= b= ®

a= b=−1 Vậy có số phứcz thỏa mãn

Chọn đáp án D

Câu Có tất số phức z thỏa mãn điều kiện z+i

√ + z−i

√

= 6, biết z có mơ đun bằng√5?

A B C D

-Lời giải

Đặtz=x+yivới x,y∈R

Có|z|=√5⇒z thuộc đường trịn(C) tâmO(0; 0) bán kính R=√5

GọiM(x;y),E(0;√5),F(0;−√5)lần lượt điểm biểu diễn số phức z,i√5 và−i√5 Ta cóc=EF = 2√5

z+i

√ + z−i

√

= 6⇔M E+M F =

Suy M thuộc elip (E) có hai tiêu điểm E, F ∈ Oy độ dài trục lớn a = nằm Oy trục bé b=√a2−c2 = 2 nằm trên Ox.

Suy rab < R elip(E) có phần nằm đường trịn (C)do (E) và(C) có bốn điểm chung Mặt khácz giao điểm (C) và(E)nên có số phứcz thỏa mãn điều kiện

Chọn đáp án B

Câu Cho hai số phứcz1,z2thỏa mãn điều kiện|z1|=|z2|= 2và|z1+ 2z2|= Giá trị của|2z1−z2|

bằng

A 2√6 B √6 C 3√6 D

-Lời giải

Giả sửz1 =a+bi, (a,b∈R); z2 =c+di, (c,d∈R)

Theo giả thiết ta có   

 

|z1|=

|z2|= |z1+ 2z2|=

⇔     

a2+b2 = c2+d2 =

(163)

⇔   

 

a2+b2 = (1)

c2+d2 = (2)

a2+b2+ c2+d2

+ (ac+bd) = 16 (3)

Thay(1),(2) vào(3) ta đượcac+bd=−1 (4)

Ta có|2z1−z2|=

p

(2a−c)2+ (2b−d)2=p

4(a2+b2) + (c2+d2)−4(ac+bd). (5)

Thay(1),(2),(4) vào(5) ta có|2z1−z2|=

√

Chọn đáp án A

Câu Cho hai số phức z, wthay đổi thoả mãn |z|= 3, |z−w|= Biết tập hợp điểm số phức wlà hình phẳngH Tính diện tích S hìnhH

A S = 20π B S = 16π C S = 4π D S= 12π

-Lời giải

GọiM, N điểm biểu diễn số phứcz,w Suy M nằm đường tròn tâm O, bán kính bằng3

Vì |z−w|= nên M N = 1, N nằm đường trịn tâmO bán kính Suy S= 42·π−22·π= 12π

Chọn đáp án D

Câu Cho số phứcz thỏa mãn|z|= Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w= 3−2i+ (4−3i)zlà đường trịn Tính bán kính r đường trịn

A r = 20 B r = C r= 10 D r= 2√5

-Lời giải

Ta có

w= 3−2i+ (4−3i)z⇔w−(3−2i) = (4−3i)z⇔ |w−(3−2i)|=|(4−3i)z| ⇔ |w−(3−2i)|= 10 Vậyr = 10

Chọn đáp án C

Câu Tính mơđun số phứcz thoả mãn3z·z¯+ 2017 (z−z) = 48¯ −2016i

A |z|= B |z|=√2016 C |z|=√2017 D |z|=

-Lời giải

Giả sửz=a+bi, từ giả thiết ta có3|z|2 = 48−2016i−2b·2017i= 48(vì|z|2 ∈

R), suy ra|z|=

Chọn đáp án A

Câu 10 Cho số phứcz=a+bi,(a, b∈R)thỏa mãnz+2+i−|z|(1+i) = 0và|z|>1 TínhP =a+b

A P = B P =−1 C P =−5 D P =

-Lời giải

Ta cóz+ +i− |z|(1 +i) = 0⇔z= (|z| −2) + (|z| −1)i Lấy mô-đun hai vế, ta được|z|=

»

(|z| −2)2+ (|z| −1)2 ⇒ |z|2 = 2|z|2−6|z|2+ 5⇒

ñ

|z|= loại do|z|>1 |z|= thỏa|z|>1 Với|z|= 5⇒z= (|z| −2) + (|z| −1)i= + 4i Suy raa= 3,b=

Vậya+b=

Chọn đáp án D

Câu 11 Cho số phức z thỏa mãnz−4 = (i+ 1)|z| −(3z+ 4)i Mệnh đề đúng? A |z| ∈(6; 9) B |z| ∈(4; 6) C |z| ∈(1; 4) D |z| ∈(0; 1)

-Lời giải

Ta có

z−4 = (i+ 1)|z| −(3z+ 4)i ⇔ (1 + 3i)z= (4 +|z|) + (|z| −4)i Lấy mô-đun hai vế, ta

|1 + 3i| · |z|= »

(4 +|z|)2+ (|z| −4)2 ⇔ 10|z|2= 2|z|2+ 32⇔ |z|2 = 4⇔ |z|=

(164)

Câu 12 Tìm số phứcz=a+bi(vớia,blà số thực vàa2+b26= 0) thỏa mãn điều kiệnz(2+i−z) =|z|2.

TínhS=a2+ 2b2−ab

A S = B S =−1 C S = D S=

-Lời giải

z(2 +i−z) =|z|2⇔(a−bi)(2 +i) = 2(a2+b2)⇔ ®

2a+b= 2(a2+b2) a−2b=

Thaya= 2b vào phương trình thứ hệ, ta

5b= 2·5b2 ⇔5b= 10b2 ⇔ 

 b=

2 ⇒a= b= 0⇒a=

⇔  

 b=

2 a=

(Do a2+b2 6= 0)

VậyS =a2+ 2b2−ab=

Chọn đáp án D

Câu 13 Tìm mơđun số phức z thỏa mãn điều kiệnz(4−3i) = +|z| A |z|= B |z|=

2 C |z|= D |z|=

-Lời giải

Đặtz=x+yivới x,y∈R Ta có

(x+yi)(4−3i) = +px2+y2 ⇔

®

4x+ 3y= +px2+y2

−3x+ 4y=

Thayx=

3y, ta có

4·4y

3 + 3y= +

16y2 +y

2 ⇔25y−5|y|= 6.

y≥0, suy y=

10 ⇒x=

5, ta có |z|= y <0, suy y=

5 ⇒x=

15, trường hợp loại Cách khác: Lấy mô-đun hai vế đẳng thức, suy

|z(4−3i)|=|2 +|z|| ⇔5|z|= +|z| ⇔ |z|=

Chọn đáp án B

Câu 14 Cho hai số phức z,w thỏa mãn điều kiện|z+w|=√17,|z+ 2w|=√58 |z−2w|= 5√2 Giá trị biểu thứcP =z·w+zw

A B C D

-Lời giải

Ta có|z+w|2 = (z+w)(z+w) =z·z+w·w+z·w+wz= 17. (1)

Lại có|z+ 2w|2= (z+ 2w) (z+ 2w) =z·z+ 4w·w+ 2z·w+ 2wz= 58. (2)

Thêm nữa|z−2w|2= (z−2w) (z−2w) =z·z+ 4w·w−2z·w−2wz= 50. (3)

Từ(1),(2)và (3)ta hệ phương trình 

 

 

z·z+w·w+z·w+wz = 17 z·z+ 4w·w+ (z·w+wz) = 58 z·z+ 4w·w−2 (z·w+wz) = 50

⇔   

 

z·z= w·w= 13 z·w+wz= Vậyz·w+wz=

(165)

Câu 15 Cho số phức zthỏa mãn điều kiện|z−3 + 4i| ≤2 Trong mặt phẳngOxy tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= 2z+ 1−ilà hình trịn có diện tích

A S = 25π B S = 9π C S = 12π D S= 16π

-Lời giải

Từ giả thiết ta suy ra|2z−6 + 8i| ≤4⇔ |(2z+ 1−i)−(7−9i)| ≤4⇔ |w−(7−9i)| ≤4nên tập hợp điểm biểu diễn chow mặt phẳngOxy hình trịn có bán kính bằng4, diện tích hình trịn bằng16π

Chọn đáp án D

Câu 16 Choz1, z2thỏa mãn|2z−i|=|2 +iz|và|z1−z2|= Giá trị biểu thứcP =|z1+z2|bằng

A √

3

2 B

√

3 C √2 D

√ 2

-Lời giải

Đặtz=x+yi,(x, y∈R Ta có

|2z−i|=|2 +iz| ⇔(2x)2+ (2y−1)2= (2−y)2+x2⇔3x2+ 3y2= 3⇔x2+y2 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn củaz đường trịn (C) tâmO(0; 0), bán kínhR=

GọiA điểm biểu diễn củaz1 vàB điểm biểu diễn củaz2 Khi ta có

A, B thuộc(C); AB=|z1−z2|= 1;

điểm biểu diễn số phức z1+z2

2 trung điểm I củaAB, suy |z1+z2|= 2·

z1+z2

2

= 2OI = 2pOA2−AI2 =√3.

O

A B

I

Chọn đáp án B

Câu 17 GọiS tập hợp tất số nguyênmsao cho tồn tại2số phức phân biệt z1, z2 thoả mãn đồng

thời phương trình |z−1|=|z−i|và|z+ 2m|=m+ Tổng tất phần tử S

A B C D

-Lời giải

Giả sửz=x+yi,x, y∈R Ta có|z+ 2m|=m+ 1≥0

TH m+ = 0⇔m=−1 suy raz= (loại) khơng thỏa mãn phương trình |z−1|=|z−i| TH m+ 1>0⇔m >−1 (1)

Theo đề ta có

®

|z−1|=|z−i| |z+ 2m|=m+ ⇔

®

(x−1)2+y2 =x2+ (y−1)2 (x+ 2m)2+y2= (m+ 1)2 ⇔

® y=x

(x+ 2m)2+y2= (m+ 1)2 ⇔

® y=x

2x2+ 4mx+ 3m2−2m−1 = (∗)

Để tồn hai số phức phân biệtz1, z2 thỏa mãn yêu cầu toán phương trình (*) có2 nghiệm phân

biệt

⇔∆0 = 4m2−2 3m2−2m−1

= −m2+ 2m+

>0⇔1−√2< m <1 +√2.(2) Kết hợp điều kiện (1) (2),m∈Zthì m∈S ={0; 1; 2}

Vậy tổng phần tử S là: + + =

(166)

Câu 18 Cho số phức zthỏa mãn |z|=m2+ 2m+ vớim số thực Biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= (3 + 4i)z−2ilà đường trịn Tìm bán kínhR nhỏ đường trịn

A R = B R= 10 C R= 15 D R= 20

-Lời giải

Ców= (3 + 4i)z−2i⇒z= w+ 2i

3 + 4i ⇒ |z|=

|w+ 2i|

Lại có|z|=m2+ 2m+ 5⇒ |w+ 2i|= 5(m2+ 2m+ 5) = 5(m+ 1)2+ 20≥20

Vì tập hợp điểm biểu diễn chow đường tròn nên tập hợp điểm biểu diễn chow+ 2icũng đường trịn có bán kính

Vậy bán kính nhỏ làR= 20

Chọn đáp án D

Câu 19 Tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z thỏa mãnz+z=|z|là

A hai đường thẳng B parabol C đường thẳng D ê-líp

-Lời giải

z+z=|z| ⇒x+yi+x−yi=px2+y2⇔4x2=x2+y2⇔3x2=y2 ⇔

"√

3x+y= √

3x−y=

Chọn đáp án A

Câu 20 Cho số phức z có phần thực số nguyên z thỏa mãn |z| −2z=−7 + 3i+z Mô-đun số phứcw= 1−z+z2

A |w|=√37 B |w|=√425 C |w|=√457 D |w|=√445

-Lời giải

Đặtz=a+bi(a;b∈R) Ta có:

|z| −2z=−7 + 3i+z⇔pa2+b2−2(a−bit) =−7 + 3i+a+bi

⇔ pa2+b2−2a+ 2bi=a−7 + (b+ 3)i

⇔ (

2b=b+ 3⇒b= (1) p

a2+b2−2a=a−7. (2)

Thay(1) vào(2) ta được√a2+ = 3a−7⇔

®

3a−7≥0

a2+ = (3a−7)2 ⇔      

    

a≥ 

 a= a=

⇒a=

Vậyz= + 3i⇒w= 1−z+z2 = + 21i⇒ |w|=√457

Chọn đáp án C

Câu 21 Gọiz1,z2 hai số phứcz thỏa mãn|z−3 + 5i|= và|z1−z2|= Tìm mơ-đun

số phứcw=z1+z2−6 + 10i

A |w|= 10 B |w|= 32 C |w|= 16 D |w|=

-Lời giải

Đặt ®

w1 =z1−3 + 5i

w2 =z2−3 + 5i

⇒w1+w2=z1+z2−6 + 10i=w

Mà ®

|w1|=|w2|=

|w1−w2|=|z1−z2|=

Mặt khác|w1+w2|2+|w1−w2|2 = |w1|2+|w2|2

⇒ |w1+w2|2 = 64

Vậy|w|=|w1+w2|=

Chọn đáp án D

Câu 22 Có số phứcz thỏa mãn z2−2018z= 2019|z|2?

A Vô số B C D

-Lời giải

Đặtz=a+bi,(a, b∈R)

Ta cóz2−2018z= 2019|z|2 ⇔ ®

(167)

Từ(2)ta đ

b= a= 1009

Thayb= vào (1)ta được−2018a= 2018a2⇔ đ

a= a=−1

Do trường hợp ta có2 số phức thỏa yêu cầu làz= 0;z=−1

Thaya= 1009vào (1)ta −2018·1009·1010 = 2020b2 vơ nghiệm b∈R

Vậy có2 số phứcz thỏa mãn

Chọn đáp án B

Câu 23 Xét số phứczthỏa mãn(z−4i)(z+ 2)là số ảo Biết tập hợp tất điểm biểu diễn củaz đường trịn Tìm tọa độ tâm đường trịn

A (−1;−2) B (−1; 2) C (1; 2) D (1;−2)

-Lời giải

Ta có

(z−4i)(z+ 2) = [x+ (y−4)i][(x+ 2)−yi]

=x(x+ 2)−xyi+ (x+ 2)(y−4)i+y(y−4) = (x2+y2+ 2x−4y) + (−4x+ 2y−8)i Do (z−4i)(z+ 2)là số ảo ⇔x2+y2+ 2x−4y=

Vậy tập hợp điểm biểu diễn củaz đường trịn có tâm (−1; 2)

Chọn đáp án B

Câu 24 Cho số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện |z−3−4i| = √5 |z+ 2|2− |z−i|2 = 33 Môđun số phứcz−2−ibằng

A √5 B C 25 D

-Lời giải

Gọiz=x+yi,(x, y∈R) Khi

(

|z−3−4i|= √

5

|z+ 2|2− |z−i|2 = 33 ⇔ ®

(x−3)2+ (y−4)2 =

(x+ 2)2+y2−[x2+ (y−1)2] = 33 ⇔

®

(x−3)2+ (y−4)2 = y = 15−2x

⇔ ®

(x−3)2+ (11−2x)2 = y = 15−2x

⇔ ®

x= y = Do z= + 5i⇒ |z−2−i|=|3 + 4i|=

Chọn đáp án D

Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn|z|=√5 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w= (1 + 2i)z+ilà đường trịn Tìm bán kính r đường trịn

A r =√5 B r = 10 C r= D r= 2√5

-Lời giải

Ta có

w= (1 + 2i)z+i⇔w−i= (1 + 2i)z⇒ |w−i|=|(1 + 2i)z| ⇔ |w−i|=|(1 + 2i)| · |z| ⇔ |w−i|=p1 + 22·√5⇔ |w−i|= 5.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcw đường trịn bán kínhr =

Chọn đáp án C

Câu 26 Biết số phứczthỏa mãn đồng thời hai điều kiện|z−3−4i|=√5và biểu thứcM =|z+2|2−|z−i|2

(168)

A |z+i|=√61 B |z+i|= 5√2 C |z+i|= 3√5 D |z+i|= 2√41

-Lời giải

Gọiz=x+yi với(x;y∈R)

Ta có|z−3−4i|=√5⇔(x−3)2+ (y−4)2 =

Theo giả thiếtM =|z+ 2|2− |z−i|2 = ((x+ 2)2+y2)−(x2+ (y−1)2) = 4x+ 2y+ 3.

Từ suy

M−23 = 4(x−3) + 2(y−4)

≤ »(16 + 4) [(x−3)2+ (y−4)2] =√20·5 = 10.

VậyM ≤33 vàM = 33xảy ®

4x+ 2y+ = 33

(x−3)2+ (y−4)2= ⇔ ®

y= 15−2x

(x−3)2+ (11−2x)2 = ⇔ ®

y= x= Vậyz= + 5i⇒ |z+i|=|5 + 6i|=√61

Chọn đáp án A

Câu 27 Xét số phức z thỏa mãn (z+ 2i+ 1)(z+ 3i) số ảo, biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường trịn Tâm đường trịn

A Å1

2;

ã

B

Å1 2;−

1

ã

C

Å −1

2;−

ã

D

Å −1

2;

ã

-Lời giải

Ta có(z+ 2i+ 1)(z+ 3i) = (x+yi+ 2i+ 1)(x−yi+ 3i) =x2+y2+x−y−6 + (5x−y+ 3)i Vì(z+ 2i+ 1)(z+ 3i)là số ảo nên x2+y2+x−y−6 =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường tròn tâm Å

−1 2;

1

ã

Chọn đáp án D

Câu 28 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z−3 + 4i| ≤ Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= 2z+ 1−ilà hình trịn có diện tích

A S = 25π B S = 4π C S = 16π D S= 9π

-Lời giải

Dow= 2z+ 1−i⇒z= w−1 +i

2 , thay vào |z−3 + 4i| ≤2 ta

w−1 +i

2 −3 + 4i

≤2⇔ |w−(7−9i)| ≤4

Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phứcw hình trịn tâm I(7;−9)bán kínhR= Diện tích hình tròn làS= 16π

Chọn đáp án C

Câu 29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi (H) hình biểu diễn tập hợp số phức z thỏa mãn |7z−z| ≤10 Diện tích hình(H)bằng

A 5π

2 B

25π

12 C

7π

2 D 5π

-Lời giải

Gọiz=x+yi, x, y∈R Ta thấy

|7z−z| ≤10 ⇔ |6x+ 8yi| ≤10 ⇔ 36x2+ 64y2 ≤100 ⇔ x

2

Å5

ã2 + y2 Å5

4

ã2 ≤1 (1)

Từ(1)ta (H) hình elip Ta cóS(H)=π·

5 ·

5 =

25π 12

(169)

Câu 30 Cho số phức zthỏa mãn |z−i|=|z−1 + 2i| Tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= (2−i)z+ mặt phẳng đường thẳng Phương trình đường thẳng

A x+ 7y+ = B x+ 7y−9 = C x−7y−9 = D x−7y+ =

-Lời giải

Giả sửz=x+yi, (x, y∈R)

Ta có|z−i|=|z−1 + 2i| ⇔x2+ (y−1)2 = (x−1)2+ (y+ 2)2 ⇔x−3y−2 = (1) GọiM(x0;y0)là điểm biểu diễn củaw, ta ców= (2−i)z+ 1⇔

®

x0 = 2x+y+ y0=−x+ 2y ⇔

  

 

x= 2x

0−y0−2

y = x

0

+ 2y0−1 (2)

Từ(2)và (1)⇒ 5(2x

0−y0−2)−3

5(x

0+ 2y0−1)−2 = 0⇔x0+ 7y0+ = 0.

Vậy tập điểm biểu diễn wlà đường thẳng có phương trình x+ 7y+ =

Chọn đáp án A

Câu 31 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R)thỏa mãn(z+1+i)(z−i)+3i= 9và|z|>2 TínhP =a+b

A B C −3 D −1

-Lời giải

Phương trình tương đương|z|2−iz+ (1 +i)z+ 2i−8 = 0 (1).

Thayz=a+bivào (1)và biến đổi ta

a2+b2+a+ 2b−8 + (2−b)i= 0⇔ ®

a2+b2+a+ 2b−8 =

b= ⇔



    

® a= b= ®

a=−1 b=

Vì|z|>2 nên ta chọn ®

a=−1

b= Vậy P =a+b=

Chọn đáp án B

Câu 32 Cho số phức z thỏa mãn z−2i2020 = |z−1 + 2i| Tập hợp điểm biểu diễn số phức w= 2z−1 + 4itrên mặt phẳng tọa độ đường thẳng Khoảng cách từ I(2;−3)đến đường thẳng

A 10 √

3

3 B

18√5

5 C

10√5

5 D

18√13 13

-Lời giải

Đặtw=x+yi,x, y∈R

Khi đó,x+yi= 2z−1 + 4i⇔z= x+ +

y−4

2 ivàz= x+

2 − y−4

2 i Ta có

z−2i2020=|z−1 + 2i| ⇔ |z−2|=|z−1 + 2i| ⇔

Å x+

2 −2 ã2

+ Å

y−4

ã2 =

Å x+

2 −1 ã2

+ Å

y−4 +

ã2

⇔ (x−3)2+ (y−4)2= (x−1)2+y2 ⇔ x+ 2y−6 =

Như thế, tập hợp điểm biểu diễn số phứcw đường thẳng ∆ :x+ 2y−6 = Vậy khoảng cách từI(2;−3)đến ∆là |2−√2·3−6|

1 + = 10√5

5

Chọn đáp án C

Câu 33 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn điều kiện|z1−z2|=|z1|=|z2|= Tập hợp điểm biểu diễn

số phứcz=z1+z2

A Đường trịn có bán kính R= 3√3 B Đường trịn có bán kính R= 2√3 C Đường elip D Đường thẳng

(170)

Ta có|z|2 =|z

1+z2|2=

Ä

|z1|2+|z2|2ä− |z1−z2|2 = 2(4 + 4)−4 = 12, suy ra|z|=

√ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trịn có bán kính R= 2√3

Chọn đáp án B

Câu 34 Cho số phức z = a+bi (a, b∈R, a >0) thỏa mãn z ·z¯−12|z|+ (z−z) = 13 + 10i Tính¯ S=a+b

A S = B S = 17 C S =−17 D S=

-Lời giải

Ta cóz·z=|z|2 =a2+b2 vàz−z= (a+bi)−(a−bi) = 2bi Khi đó

z·z¯−12|z|+ (z−z) = 13 + 10i¯ ⇔ a2+b2−12pa2+b2+ 2bi= 13 + 10i

⇔ ®

a2+b2−12pa2+b2= 13

2b= 10 ⇔

®

a2−12pa2+ 25 + 12 = 0 (1)

b=

Đặtt=√a2+ 25với t≥25 vàt2 =a2+ 25 Phương trình (1)trở thành

t2−12t−13⇔ đ

t=−1 (loại) t= 13

Vớit= 13⇒√a2+ 25 = 13⇔a2 = 144⇔a= 12vìa >0.

VậyS =a+b= 12 + = 17

Chọn đáp án B

Câu 35 Cho số phức zthỏa mãn điều kiện3≤ |z−3i+ 1| ≤5 Tập hợp điểm biểu diễn số phứcztạo thành hình phẳng Tính diện tích hình phẳng

A S = 16π B S = 4π C S = 25π D S= 8π

-Lời giải

Gọi điểm biểu diễn số phứcz −1 + 3i M I(−1; 3) Ta có

3≤ |z−3i+ 1| ≤5⇒3≤IM ≤5

Gọi(C1)là đường tròn tâm I, bán kínhR1= 3;(C2) đường trịn

tâm I, bán kính R2 = Khi tập hợp điểm M nằm ngồi

đường trịn(C1)và nằm đường trịn(C2)(phần gạch chéo

hình vẽ) Diện tích hình phẳng

S =π·52−π·32 = 16π

x y

−1

I

3

O

Chọn đáp án A

Câu 36 Xét số phứcz thỏa mãn(z+i)(z+ 2) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phứcz đường trịn có bán kính

A B

4 C

√

2 D

√

-Lời giải

Gọiz=x+yi (x, y∈R)

Ta có(z+i)(z+ 2) = (x−yi+i)(x+yi+ 2) = (x2+ 2x+y2−y) + (x−2y+ 2)i Vì(z+i)(z+ 2)là số ảo nên ta có: x2+ 2x+y2−y = 0⇔(x+ 1)2+

Å y−1

2 ã2

= Vậy tập hợp tất điểm biểu diễn số phứcz đường trịn có bán kính

√

(171)

Câu 37 Xét số phức z thỏa mãn (z+ 3i)(z−3) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phứcz đường trịn có bán kính

A

2 B

√

2 C D

√ 2

-Lời giải

Giả sửz=x+yi⇒z=x−yi x, y∈R

Ta có(z+ 3i)(z−3) =x2+y2−3x−3y+ (3x+ 3y−9)i

Số phức(z+ 3i)(z−3)là số ảo khix2+y2−3x−3y= 0⇔ Å

x−3

ã2 +

Å y−

2 ã2

= Vậy tập hợp tất điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn yêu cầu tốn đường trịn có bán kính

3√2

Chọn đáp án D

Câu 38 Xét số phức z thỏa mãn (z+ 2i)(z−2) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phứcz đường trịn có bán kính

A B 2√2 C D √2

-Lời giải

Giả sửz=x+yi vớix, y ∈R

ĐặtZ = (z+ 2i)(z−2) = [x+ (2−y)i][(x−2) +yi] = [x(x−2)−y(2−y)] + [xy+ (x−2)(2−y)]i VìZ số ảo nên có phần thực khơng

x(x−2)−y(2−y) = 0⇔(x−1)2+ (y−1)2 =

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường trịn có bán kính √2

Chọn đáp án D

Câu 39 Có số phứcz thỏa mãn |z|(z−6−i) + 2i= (7−i)z?

A B C D

-Lời giải

Ta có|z|(z−6−i) + 2i= (7−i)z⇔(|z| −7 +i)z= 6|z|+ (|z| −2)i (*) ⇒

(|z| −7 +i)z =

6|z|+ (|z| −2)i⇔ ỵ

(|z| −7)2+ 1ó|z|2 = 36|z|2+ (|z| −2)2

(**) Đặtt=|z|thìt∈R,t>0và (**) trở thành t4−14t3+ 13t2+ 4t−4 =

⇔(t−1)(t3−13t2+ 4) = 0⇔ 

   

t= t≈12,96 t≈0,56 t≈ −0,5

(chỉ nhận3 giá trịt>0)

Thay vào (*) ta số phức z Lưu ý:

Để chứng minh phương trình cuối theo t có nghiệm t > ta cần dùng đến phương pháp hàm số: chứng minhf(t) =t3−13t2+ = 0có2 nghiệm khơng âm khác

Bảng biến thiên f(t)trên nửa khoảng [0;∞) sau: t

f0(t)

f(t)

0 26

3 +∞

− +

4

−8680 27 −8680

27

+∞ +∞

−8

Chọn đáp án B

Câu 40 Tính mơ-đun số phức zthỏa mãn (1 +i)z|z| −1 = (i−2)|z|

A |z|= B |z|= C |z|= D |z|=

-Lời giải

(172)

|i+ 1||z|2=||z|i+ 1−2|z||

⇔ √2|z|2=»(1−2|z|)2+|z|2

⇔ 2|z|4 = (1−2|z|)2+|z|2 ⇔ 2|z|4−5|z|2+ 4|z| −1 = 0

⇔ ñ

|z|=

2|z|3+ 2|z|2−3|z|+ = Ta chứng minh phương trình2|z|3+ 2|z|2−3|z|+ = 0vô nghiệm.

Đặtt=|z|điều kiệnt≥0 Xét hàm số f(t) = 2t3+ 2t2−3t+ 1.

Ta cóf0(t) = 6t2+ 4t−3;f0(t) = 0⇔6t2+ 4t−3 = 0⇔ 

  

t= −2 + √

22 t= −2−

√ 22 (loại)

Ta có bảng biến thiên sau x f0(t)

f(t)

0 −2 +

√ 22

6 +∞

− +

1

116−22√22 54 116−22√22

54

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên ta thấy f(t)≥ 116−22 √

22

54 >0,∀t≥0 Suy raf(t) = vô nghiệm Vậy|z|=

Chọn đáp án A

Câu 41 Gọi z1, z2, z3, z4 bốn nghiệm phương trìnhz4+ 3z2+ = tập số phức Tính giá trị

của biểu thứcT =|z1|2+|z2|2+|z3|2+|z4|2

A T = B T = C T = D T =

-Lời giải

Nhận xét:Cho số phức z=a+bi, ta ln có |z|2=z2

Giải phương trìnhz4+ 3z2+ = 0⇔ 

  

z2 =C1 =−

3 −

√ 7i z2 =C2 =−

3 +

√ 7i

,(C1, C2 ∈C)

Suy ra, phương trình cho có4 nghiệm thỏa mãnz12=z22 =C1,z32 =z24 =C2

Suy

T =|z1|2+|z2|2+|z3|2+|z4|2

= z21

+ z22

+ z32

+ z24

=|C1|+|C1|+|C2|+|C2| =

… 4+

7 =

Chọn đáp án A

Câu 42 Cho số phức z thỏa mãn|z−3 + 4i|= Biết tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phứcw= 2z+ 4−ilà đường trịn có tâm I(a;b), bán kínhR Tổnga+b+R

A 11 B C D

-Lời giải

Gọiz0 =z−3 + 4i⇒ |z0|= vàz=z0+ 3−4iTa có

(173)

Do |w−(10−9i)| = 2|z0| = 10 Suy tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức

w= 2z+ 4−i đường trịn có tâmI(10;−9), bán kính10 Vậya+b+R= 10−9 + 10 = 11

Chọn đáp án A

Câu 43 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |3z−i|= |3 +iz| Biết |z1−z2|=

√

3 Tính giá trị biểu thứcP =|z1+z2|

A P = 2√2 B P =

2 C P =

3

2 D P =

-Lời giải

GọiA, B hai điểm biểu diễn số phứcz1, z2 mặt phẳng tọa độ

Oxy

Ta có|3z−i|=|3 +iz| ⇔x2+y2= 1.

Suy raA, B nằm đường trịn tâmO bán kính1 Từ|z1−z2|=

√

3 ta có khoảng cáchAB=√3

Khơng tính tổng qt, ta vẽ hai điểmA, B đối xứng qua trục tung thỏaAB=√3

GọiI trung điểmAB suy A= ( √

3 ;

1

2) vàB( √

3 ;

1 2) Vậy|z1+z2|=

1

x y

O B

A I

√

Cách khác |z1−z2|=

√

3⇔(x1−x2)2+ (y1−y2)2= 3⇔x1x2+y1y2 =−

1 Khi đó|z1+z2|=

p

(x1+x2)2+ (y1+y2)2=

»

(x21+y21) + (x22+y22) + 2(x1x2+y1y2) =

Chọn đáp án D

Câu 44 Số phứcz=a+bi (a, b∈R)thỏa mãn|z−2|=|z|và(z+ 1)(z−i) số thực Giá trị biểu thứcS =a+ 2bbằng bao nhiêu?

A S =−3 B S = C S =−1 D S=

-Lời giải

|z−2|=|z| ⇔p

(a−2)2+b2 =√a2+b2 ⇔(a−2)2=a2 ⇔a= 1.

(z+ 1)(z−i) = (a+ +bi)(a−bi−i) =a(a+ 1) +b(b+ 1)−(a+b+ 1)i Vì(z+ 1)(z−i)là số thực nên a+b+ = 0⇒b=−2

VậyS =a+ 2b=−3

Chọn đáp án A

Câu 45 Cho số phứcz thỏa mãn|z−1|=|z−i| Tìm mơ-đun nhỏ số phứcw= 2z+ 2−i A

2 B

√

2 C

2√2 D

3√2

-Lời giải

Giả sửz=a+bivớia, b∈R Ta có

|z−1|=|z−i| ⇔ |a−1 +bi|=|a+ (b−1)i| ⇔(a−1)2+b2 =a2+ (b−1)2⇔a−b= Khi đów= 2(a+ai) + 2−i= 2a+ + (a−1)i

Suy ra|w|=p(2a+ 2)2+ (2a−1)2 =√8a2+ 4a+ =

Å x+1

4 ã2

+ ≥

3√2 Vậy mô-đun nhỏ số phức wlà

√ 2

Chọn đáp án D

Câu 46 Cho số phức z=x+yi(x, y∈R) thỏa mãn:z+ 1−2i− |z|(1−i) = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,M điểm biểu diễn số phứcz Khi M thuộc đường thẳng sau đây?

A x−y+ = B x+y−1 = C x+y−2 = D x+y+ =

(174)

Từ giả thiết ta có

x+yi+ 1−2i−px2+y2(1−i) = 0⇔(x+ 1−px2+y2) + (y+px2+y2−2)i= 0

⇔ (

x+ 1−px2+y2 = 0

y+px2+y2−2 = 0

⇔y= 1−x hay x+y−1 = Điều chứng tỏM thuộc đường thẳng x+y−1 =

Chọn đáp án B

Câu 47 Cho hai số phức z, z0 thỏa mãn|z+ 5|= |z0+ 1−3i|=|z0−3−6i| Tìm giá trị nhỏ của|z−z0|

A

2 B

5

4 C

√

10 D 3√10

-Lời giải

GọiM(x;y)vàN(x0;y0)lần lượt điểm biểu diễn cho số phức z vàz0

Do|z+ 5|= nênM thuộc đường trịn tâmI(−5; 0)bán kính R=

Lại có

|z0+ 1−3i|=|z0−3−6i|

⇔ |x0+y0i+ 1−3i|=|x0+y0i−3−6i| ⇔ |(x0+ 1) + (y0−3)i|=|(x0−3) + (y0−6)i| ⇔ (x0+ 1)2+ (y0−3)2 = (x0−3)2+ (y0−6)2 ⇔ 2x0+ 1−6y0+ = 6x0+ 9−12y0+ 36 ⇔ 8x0+ 6y0−35 = (∆)

I

N M

∆ y

x O

Suy raN thuộc đường thẳng (∆) Khi đó|z−z0|=M N, vậy|z−z0|nhỏ khiM N nhỏ Dựa vào hình vẽ ta thấy giá trị nhỏ bằngd(I,∆)−R= | −40−35|

10 −5 =

Chọn đáp án A

Câu 48 Cho số phức z thỏa mãnz|(1 + 3i)|z| −3 +i|= 4√10 |z|>1 Tính|z| A |z|=

−1 +√65

4 B |z|=

1 +√65

2 C |z|=

−1 +√65

2 D |z|=

1 +√65

-Lời giải

Từ phương trình giả thiết suy zcó dạng z=x,(x >0,|x|>1, x∈R) Từ phương trình ta có

x|(1 + 3i)x−3 +i|= 4√10⇔x|(x−3) + (3x+ 1)i|= 4√10

⇔ x»(x−3)2+ (3x+ 1)2 = 4√10⇔x2(x2−6x+ + 9x2+ 6x+ 1) = 160

⇔ x4+x2−16 = 0⇔x2= −1 + √

65

2 ⇒x=

−1 +√65

Chọn đáp án C

Câu 49 Cho số phức z Gọi A, B điểm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z và(1 +i)z Tính mơ-đun củaz, biết diện tích 4OAB bằng32

A |z|= 4√2 B |z|= C |z|= D |z|=

-Lời giải

Giả sửz=a+bi(a, b∈R) ta có

(1 +i)z= (1 +i)(a+bi) =a−b+ (a+b)i Ta cóOA=√a2+b2;OB=p

2(a2+b2).

cosÄOA,# » OB# »ä= a

2+b2

√

a2+b2.p

2(a2+b2) =

√ 2 ⇔sin

Ä# »

OA,OB# »ä= √

(175)

Theo giả thiết ta có

S4OAB= 32 ⇔

1

2OA·OB·sinAOB’ = 32 ⇔

2 p

a2+b2·»2(a2+b2)·

√ 2 = 32 ⇔ a2+b2 = 64⇒ |z|=

Chọn đáp án C

Câu 50 Cho ba số phứcz1, z2, z3 thực, thỏa mãn điều kiệnz1+z2= 4và|z1−2|=|z2−2|=

|z3−2|= Tính giá trị biểu thức T =|z3−z1|2+|z3−z2|2

A T = 12 B T = C T = D T =

-Lời giải

GọiA, B, C điểm biểu diễn z1, z2, z3 mặt phẳng tọa độ

Từ giả thiết |z1−2|=|z2−2|=|z3−2|= suy raA, B, C thuộc đường tròn tâm I(2; 0) bán kinh

R=

Từ giả thiếtz1+z2= suy I trung điểm AB nên AB= 2R=

T =|z3−z1|2+|z3−z2|2 =AC2+BC2=AB2 = 4R2=

Chọn đáp án C

Câu 51 Cho số phức z thỏa mãn |z−1| = Biết tập hợp điểm biểu diễn cho số phức ω = Ä

1 +i√3äz+ 2là đường trịn Tính bán kính r đường trịn

A r = 2√3 B r = C r= D r=

-Lời giải

Ta có|z−1|= Khi

ω=Ä1 +i√3äz+ ⇔ ω =Ä1 +i√3ä(z−1) + +i√3 ⇔ ỵω−Ä3 +i√3äó=Ä1 +i√3ä(z−1) ⇒

ω− Ä

3 +i√3ä =

+i

√

· |z−1| ⇒

ω− Ä

3 +i√3ä

= 2·2 = Giả sửω=x+yi,x, y∈R Ta có

ω−

Ä +i

√ 3ä

= 4⇔ …

(x−3)2+Äy−√3ä2 = 4⇔(x−3)2+Ä

y−√3ä2 = 16 Suy rar=

Chọn đáp án B

Câu 52 Cho số phức z=a+bi (a, b∈R) thỏa mãnz+ +i=|z| TínhS= 4a+b A S =−3 B S = C S =−1 D S=−4

-Lời giải

Ta có

z+ +i=|z| ⇒ z= (|z| −2)−i ⇒ |z|=|(|z| −2)−i| ⇒ |z|=»(|z| −2)2+ 1

⇒ |z|2 = (|z| −2)2+ 1⇔ |z|= Khi thìz=−3

4 −i⇒a= −3

(176)

Chọn đáp án D Câu 53 Cho S = +i+i2+ .+i2018 ( vớiilà đơn vị ảo ) Khi đóS2018

A −1 B C 2018 D i

-Lời giải

S= +i+i2+ .+i2018 = 1−i

2019

1−i =

1−(i2)1009i 1−i =

1 +i

1−i =i⇒S

2018=−1.

Chọn đáp án A

Câu 54 Cho số phức z=a+bi,(a, b∈R)thỏa mãnz+ + 2i−(1 + 1)|z|= 0và|z|>1 Tính giá trị biểu thứcP =a+b

A P = B P =−1 C P = D P =−5

-Lời giải

Vớiz=a+bita có:

z+ + 2i−(1 + 1)|z|= 0⇔a+bi+ + 2i= (1 +i)pa2+b2 ⇔

(

a+ =pa2+b2

b+ =pa2+b2

⇔ ®

a2+ 2a+ =a2+b2

b2+ 2b+ =a2+b2 (a≥ −1, b≥ −2)⇔ ®

2a=b2−1 (1) 16b+ 16 = (b2−1)2 (2)

Ta có (2)⇔b4−2b2−16b−15 = 0⇔(b+ 1)(b−3)(b2+ 2b+ 5) = 0⇔ ñ

b=−1 b= Vớib=−1⇒a= 0⇒z=−i(không thỏa mãn |z|>1)

Vớib= 3⇒a= 4⇒z= + 4i(thỏa mãn) VậyP =a+b=

Chọn đáp án C

Câu 55 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn |z−1|=|z−i| Quỹ tích điểm biểu diễn số phứcw= (3−4i)z+ilà đường thẳng có phương trình

A 7x−y−1 = B x−7y+ = C 7x−y+ = D 7x+y+ =

-Lời giải

Đặtz=x+yi⇒z=x−yi Ta có

|z−1|=»(x−1)2+y2.

|z−i|= »

x2+ (y+ 1)2.

Theo giả thiết »

(x−1)2+y2=»x2+ (y−1)2 ⇔y=−x.

Xét số phứcw= (3−4i) (x+yi) = (3x+ 4y) + (3y−4x+ 1)i GọiM0(x0;y0) điểm biểu diễn số phứcw

⇒ ®

x0 =x

y0=−7x+ 1⇔y

0 = 7x0+ 1⇔7x−y+ = 0

Chọn đáp án C

Câu 56 Cho số phức z= a+bi (a, b số thực) thỏa mãn z· |z|+ 2z+i= Tính giá trị biểu thứcT =a+b2.

A T = 4√3−2 B T = + 2√2 C T = 3−2√2 D T = + 2√3

-Lời giải

Ta cóz· |z|+ 2z+i= 0⇔z·(|z|+ 2) =−i Lấy mô-đun hai vế, ta

|z|(|z|+ 2) = 1⇔ |z|2+ 2|z| −1 = 0⇔ |z|=−1 +√2

Do z= −i

1 +√2 ⇒a+b

2 = +

Å −1 +√2

ã2

= 3−2√2

Chọn đáp án C

Câu 57 Cho số phức z1, z2 thỏa mãn |z1|= 1;|z2|= z1·z2 số ảo, tính|z1−z2|

A √2 B √3 C D √5

(177)

Vìz1z2 số ảo nên z1z2+z1z2 =

Ta có|z1−z2|2 = (z1−z2)(z1−z2) =|z1|2+|z2|2−(z1z2+z2z1) = 5−(z1z2+z1z2) =

Vậy|z1−z2|=

√

Chọn đáp án D

Câu 58

Đường trịn hình bên tập hợp điểm biểu diễn cho số phứczthỏa mãn đẳng thức đây?

A |z−3|= B |z|= C |z−3−3i|= D |z−3i|=

x y

O

3 I

-Lời giải

Gọiz=x+yi (x, y∈R) Dựa vào hình vẽ ta thấy tập hợp điểm biểu diễn cho số phứcz thuộc đường tròn

tâmI(3; 3), có bán kính R= Suy

(x−3)2+ (y−3)2 = 32 ⇔ |z−3−3i|=

Chọn đáp án C

Câu 59 Cho biết có hai số phức z thỏa mãnz2= 119−120i,ký z1 vàz2 Tính|z1−z2|2

A 169 B 114244 C 338 D 676

-Lời giải

Gọiz=a+bi

Theo giả thiết ta có ®

a2−b2 = 119 2ab=−120 ⇔



    

®

a=−12 b= ®

a= 12 b=−5

Do z1 =−12 + 5i;z2 = 12−5i

Suy ra|z1−z2|2=|−24 + 10i|2= 676

Chọn đáp án D

Câu 60 Cho wlà số phức thay đổi thỏa mãn |w|= 2.Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số phức z= 3w+ 1−2ichạy đường nào?

A Đường trịn tâm I(1;−2), bán kính R= B Đường trịn tâm I(−1; 2), bán kínhR= C Đường trịn tâm I(1;−2),bán kính R= D Đường trịn tâmI(−1; 2), bán kínhR=

-Lời giải

Ta có:z= 3w+ 1−2i⇔z−1 + 2i= 3w ⇒ |z−1 + 2i|=|3w|=

⇒ Điểm biễu diễn số phứcz chạy đường tròn tâmI(1;−2), bán kínhR =

Chọn đáp án A

Câu 61 Cho số phức z=a+bi(a, b∈R, a <0)thỏa mãn +z=|z−i|2+ (iz−1)2 Tính|z|

A √

2

2 B

√

5 C

√ 17

2 D

1

-Lời giải

Ta có

1 +z=|z−i|2+ (iz−1)2 ⇔1 +a−bi=a2+ (b+ 1)2−a2+ (b+ 1)2−2a(b+ 1)i ⇔

®

1 +a= 2(b+ 1)2 −b=−2a(b+ 1) ⇔

®

a= 2(b+ 1)2−1

(178)

Thếa= 2(b+ 1)2−1 vào phương trình ta

4(b+ 1)3−3(b+ 1) + = 0⇔ 



b+ =−1 b+ =

2 ⇔





b=−2⇒a= (loại) b=−1

2 ⇒a=−

⇒ |z|= √

2

Chọn đáp án A

Câu 62 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R)thỏa mãn phương trình (|z| −1)(1 +iz) z−

z

=i TínhP =a+b A P = 1−√2 B P = C P = +√2 D P =

-Lời giải

(|z| −1)(1 +iz) z−1

z

=i⇔ (|z| −1)(1 +iz)z

zz−1 =i (|z| 6= 1) ⇔ (|z| −1)(1 +iz)z

|z|2−1 =i⇔

(1 +iz)z |z|+ =i

⇔ z+i|z|2 =i(|z|+ 1)⇔a−bi+ (a2+b2)i=i(pa2+b2+ 1)

⇔ a+ (−b+a2+b2)i=i(pa2+b2+ 1)⇔

® a=

b2−b=|b|+

⇔               

a=       ® b <0

b=±1 (loại) ®

b >0

b2−2b−1 = ⇔     

a= "

b= + √

2 (nhận) b= 1−√2 (loại)

VậyP =a+b= +√2

Chọn đáp án C

Câu 63 Gọi S tập hợp tất số phức thỏa mãn ®

|z−2 + 5i|=

|z−5−i|= Hỏi tập S có phần tử?

A B C Vô số D

-Lời giải

Giả sửz=a+bi(a, b∈R) Hệ phương trình cho tương đương với ®

(a−2)2+ (5−b)2= (a−5)2+ (b−1)2= ⇔

  

 

a= 16 b= 17

Như tậpS có phần tử làz= 16 +

17 i

Chọn đáp án D

Câu 64 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R)thỏa mãnz+ + 2i−(1 +i)|z|= và|z|>1 Tính giá trị biểu thứcP =a+b

A P =−1 B P = C P =−5 D P =

-Lời giải

Ta cóz+ + 2i−(1 +i)|z|= 0⇔a+ 1−√a2+b2+Äb+ 2−√a2+b2äi= 0

⇔ (

a+ 1−pa2+b2= 0

b+ 2−pa2+b2 = 0.

Suy raa+ =b+ 2⇔a=b+ 1, thay vào phương trình thứ hệ, ta được:

b+ 2−p2b2+ 2b+ = 0⇔

®

b+ 2≥0

2b2+ 2b+ =b2+ 4b+ ⇔   

 

b≥ −2 ñ

b=−1 b=

⇔ ñ

(179)

Vớia= 0,b=−1 ta có |z|= (khơng thỏa mãn) Vớia= 4,b= ta có |z|= (thỏa mãn)

VậyP =a+b= + =

Chọn đáp án D

Câu 65 Cho số phức z Gọi A,B điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn số phứcz (1 +i)z Tính|z|biết diện tích tam giácOAB bằng8

A |z|= B |z|= 2√2 C |z|= 4√2 D |z|=

-Lời giải

Đặtz=a+bivới z6=

(1 +i)z= (1 +i)(a+bi) =a−b+ (a+b)i

Suy raA(a;b),B(a−b;a+b),AB# »= (−b;a),AB=√a2+b2

Đường thẳng AB:a(x−a) +b(y−b) = 0⇔ax+by−a2−b2 = Chiều cao hạ từO tam giácOAB làh= d(O, AB) =

−a2−b2 √

a2+b2 =

√

a2+b2.

Diện tích tam giácOAB bằng8 nên 2·

Äp

a2+b2ä2 = 8⇔pa2+b2= 4⇔ |z|= 4.

Chọn đáp án A

Câu 66 Giá trị biểu thức C0100−C2100+ C4100−C6100+· · · −C98100+ C100100 A −2100. B. −250. C. 2100. D. 250. -Lời giải

Ta có

(1 +i)100 = C0100+iC1100+i2C2100+· · ·+i100C100100

= (C0100−C2100+ C4100− · · ·+ C100100) + (C1100−C3100+ C5100−C99100)i Mặt khác(1 +i)100=

(1 +i)250

= (2i)50=−250.

VậyC0100−C2100+ C4100−C6100+· · · −C98100+ C100100=−250.

Chọn đáp án B

Câu 67 Cho số phức z = a+bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z| = z(2 +i)(1−2i) số thực Tính P =|a|+|b|

A P = B P = C P = D P =

-Lời giải

Ta có

z(2 +i)(1−2i) = (a+bi)(4−3i) = 4a+ 3b+ (−3a+ 4b)i (1) Doz(2 +i)(1−2i) số thực nên từ (1) suy ra−3a+ 4b= 0⇔b=

4a (2) Mặt khác|z|= 5⇔a2+b2 = 25 (3)

Thế (2) vào (3) ta phương trình a2+

Å 4a

ã2

= 25⇔a2= 16⇔a=±4 Vớia= 4⇒b= 3và a=−4⇒b=−3

VậyP =|a|+|b|= + =

Chọn đáp án D

Câu 68 Số phức z có phần ảo lớn thoả mãn |z−1−i|=

A z= + 2i B z= + 2i C z= 2i D z=−1 + 3i

-Lời giải

Giả sửz=x+yi, x, y∈R, theo ta có

|(x−1) + (y−1)i|= 1⇔(x−1)2+ (y−1)2 = Mà(x−1)2≥0nên (y−1)2≤1⇔ −1≤y−1≤1⇔0≤y≤2

Vậy phần ảo củaz có giá trị lớn bằng2 Dấu xảy khix= 1;y= 2, hay z= + 2i

(180)

Câu 69 Gọi (C) tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z =x+yi, x, y ∈ R thoả mãn |z−1|= vàN điểm biểu diễn số phức z0 = 1−i Tìm điểmM thuộc(C) choM N có độ dài lớn

nhất

A M(1; 1) B M Ç

1 2;

√

å

C M(1; 0) D M(0; 0)

-Lời giải

Ta có |z−1| = ⇔ (x−1)2+y2 = nên tập hợp điểm (C) biểu diễn số phứcz đường trịn tâmI(1; 0), bán kínhR=

Điểm N có toạ độ N(1;−1) thuộc (C) nên M N có độ dài lớn khiM N đường kính đường trịn(C)hayI trung điểm củaM N nên toạ độ M làM(1; 1)

O

x y

M

I N

Chọn đáp án A

Câu 70 Cho số phức z có điểm biểu diễn M(x;y) thỏa mãn |z−2 + 3i| = |z−2−3i| Biết |z−1−2i|+|z−7 + 4i|= 6√2, x thuộc khoảng

A (0; 2) B (1; 3) C (4; 8) D (2; 4)

-Lời giải

Ta có

|z−2 + 3i|=|z−2−3i| ⇔ |x−2 + (y+ 3)i|=|x−2 + (y−3)i| ⇔ (x−2)2+ (y+ 3)2 = (x−2)2+ (y−3)2 ⇔ y=

Mặt khác, gọiA(1; 2),B(7;−4) ⇒ AB= 6√2 Ta có

|z−1−2i|+|z−7 + 4i|=M A+M B 6AB= √

2 Dấu “=” xảy khiM nằm đoạn AB Khi đó,

# »

AM =kAB, với# » k∈[0; 1] ⇒ ®

x−1 = 6k 0−2 =−6k ⇔

 

 x= k=

Chọn đáp án D

Câu 71 Tìm số phức z thỏa mãn|z−3|=|z−1|và(z+ 2)(z−i) số thực

A z= B z=−2 + 2i C z= 2−2i D Khơng cóz

-Lời giải

Giả sửz=a+bi, ta có ®

|z−3|=|z−1|

Im[(z+ 2)(z−i)] = ⇔ ®

|z−3|2 =|z−1|2

Im[(z+ 2)(z−i)] = ⇔

®

|(a+bi)−3|2 =|a+bi−1|2 Im[(a+bi+ 2)(a+bi−i)] = ⇔

®

|(a+bi)−3|2 =|a−1 +bi|2 Im[(a+ +bi)(a−(b+ 1)i)] = ⇔

®

(a−3)2+b2= (a−1)2+b2

Im[((a+ 2)a+b(b+ 1))−i((a+ 2)(b+ 1)−ab)] = ⇔

®

a2−6a+ =a2−2a+ a+ 2b+ = ⇔

® a= b=−2 Vậyz=a+bi= 2−2i

(181)

Câu 72 GọiS tập hợp số thựcm cho với mỗim∈S có số phức thỏa mãn|z−m|= z

z−6 số ảo Tính tổng phần tử tậpS

A B 12 C D 14

-Lời giải

Giả sửz=a+bi(a, b∈R), z6= 6.M(a;b) điểm biểu diễnz Khi ta có z

z−6 =

a+bi (a+bi)−6 =

(a+bi)(a−6−bi) (a−6 +bi)(a−6−bi) =

a(a−6) +b2+i(b(a−6)−ab) (a−6)2+b2

Để z

z−6 số ảo ta phải có ®

a(a−6) +b2 = (1) (a−6)2+b2 6= Suy điểmM thuộc đường tròn tâm I(3; 0), bán kính R=

Từ |z−m| = ⇔ |(a+bi)−m| = ⇔ (a−m)2+b2 = 16 (2) suy điểm M thuộc đường tròn tâm I0(m; 0), bán kínhR0 =

Để có đúng1điểmM thỏa mãn thì2đường trịn (I;R) (I0;R0) phải có1điểm chung

⇔ ®

II0 =R+R0 II0 =R−R0

⇔ ®

|m−3|= |m−3|= ⇔

    

   

m= 10 m=−4 m= m=

Khi m= 10, m= hai đường trịn tiếp xúc điểm(6; 0), trường hợp bị loại Vậy tổng phần tử S là4−4 =

Chọn đáp án A

Câu 73 Cho M tập hợp số phức z thỏa|2z−i|=|2 +iz| Gọiz1,z2 hai số phức thuộc tập hợp

M cho |z1−z2|= Tính giá trị biểu thức P =|z1+z2|

A P =√2 B P =√3 C P = √

3

2 D P =

-Lời giải

Gọiz=x+yi, vớix, y∈R Ta có

|2z−i|=|2 +iz|

⇔ |2x+ (2y−1)i|=|2−y+xi| ⇔ x2+y2 =

Vậy tập hợp điểm M đường trịn(C)có tâm O bán kínhR=

GọiA,B điểm biểu diễn số phứcz1,z2 Ta cóA,B thuộc (C)

|z1−z2|= 1⇔AB= Suy 4OAB nên P =|z1+z2|=

# » OA+OB# »

=

# » OH =

√

Chọn đáp án B

Câu 74 Có số phứcz thỏa mãn (1 +i)z+ ¯zlà số ảo |z−2i|=

A B C D Vơ số

-Lời giải

Giả sửz=a+bitrong đóa, b∈R, ta có z¯=a−bi

Số phức(1 +i)z+ ¯z= (1 +i)(a+bi) + (a−bi) = 2a−b+ailà số ảo khi2a−b= 0⇔b= 2a Mặt khác

|z−2i|= 1⇔ |a+bi−2i|= ⇔ a2+ (2a−2)2 = ⇔ 5a2−8a+ = ⇔





a= 1⇒b= 2⇒z= + 2i a=

5 ⇒b=

5 ⇒z= +

6 5i Vậy có2 số phứcz thỏa mãn yêu cầu toán

Chọn đáp án A

(182)

A S = 2π B S = 4π C 9π D π

-Lời giải

GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz=x+yi(x, y∈R) Ta có z= 2w+ 1−i⇔x−yi= 2w+ 1−i⇔w= x−1

2 − y−1

2 i Lại có|w+ 2| ≤1 nên

Åx−1 +

ã2 +

Åy−1

ã2

≤1⇔(x+ 3)2+ (y−1)2= Nên tập hợp điểm biểu diễn zlà hình trịn bán kính R= có diện tích S= 4π

Chọn đáp án B

Câu 76 Cho số phức z = a+bi (a, b∈R) thỏa mãn z+ + 2i = (|z|+ 1) (1 +i) |z| > Tính P =a−b

A P =−1 B P =−5 C P = D P =

-Lời giải

z+ + 2i= (|z|+ 1) (1 +i)⇔a+bi+ + 2i=Äpa2+b2+ 1ä(1 +i)

⇔ a+bi+ + 2i=pa2+b2+pa2+b2·i+ +i

⇔ (

a+ =pa2+b2+ 1

b+ =pa2+b2+ 1 ⇒a−b=−1

Chọn đáp án A

Câu 77 Xét số phức zthỏa mãn điều kiện|z−3 + 2i|= Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phứcw=z+ 1−ilà

A Đường trịn tâm I(−4; 3), bán kính R= B Đường trịn tâm I(3;−2), bán kínhR= C Đường trịn tâm I(4;−3), bán kính R= D Đường trịn tâmI(−2; 1), bán kínhR=

-Lời giải

Ta có

w−4 + 3i=z−3 + 2i

⇒ |w−4 + 3i|=|z−3 + 2i|=

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâmI(4;−3), bán kínhR=

Chọn đáp án C

Câu 78 Cho số phức z thỏa mãn|z|= Tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= (1−i)z+ 2ilà A đường tròn B đường thẳng

C elip D hypebol parabol

-Lời giải

Ta có(1−i)z=w−2i⇒ |w−2i|=|(1−i)z|= 2√2, suy tập hợp biểu diễn số phứcw đường tròn

Chọn đáp án A

Câu 79 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1|= 1,|z2|= |z1+z2|= Giá trị |z1−z2|là

A B C D giá trị khác

-Lời giải

Đặtz1 =a1+b1i,z2 =a2+b2i Theo giả thiết ta có

  

 

a21+b21 = a22+b22 =

(a1+a2)2+ (b1+b2)2 =

⇔   

 

a21+b21 = a22+b22 = 2a1a2+ 2b1b2 =

Suy ra|z1−z2|=

p

(a1−a2)2+ (b1−b2)2 =

(183)

Câu 80 Cho số phức z∈C thỏa mãn(2 +i)|z|=

√ 17

z + 1−3i Mệnh đề đúng? A 2<|z|<3 B

2 <|z|<

2 C

1

2 <|z|<

4 D 0<|z|<

-Lời giải

Ta có

(2 +i)|z|= √

17

z + 1−3i ⇔ (2|z| −1) + (|z|+ 3)i=

√ 17 z ⇔ »(2|z| −1)2+ (|z|+ 3)2 =

√ 17 |z| ⇔ (2|z| −1)2+ (|z|+ 3)2 = 17

|z|2

⇔ 5|z|4+ 2|z|3+ 10|z|2−17 = ⇔ |z|=

Chọn đáp án B

Câu 81 Có số phứcz thỏa mãn:|z−z−2i|=|z+z−6|và|z−6−2i|= 2√2

A B C D

-Lời giải

®|z−

z−2i|=|z+z−6| |z−6−2i|= 2√2 ⇔

®

⇔

®|(2y−2)i|=|2x−6| |(x−6) + (y−2)i|= 2√2 ⇔

(»

(2y−2)2 =»(2x−6)2

(x−6)2+ (y−2)2 =

⇔   

  ñ

y=x−2 y=−x+

(x−6)2+ (y−2)2 =

⇔ 

    

®

y=x−2

(x−6)2+ (y−2)2= ®

y=−x+

(x−6)2+ (y−2)2=

⇔ 

 

x= +√3;y= +√3 x= 5−√3;y= 3−√3 x= 4;y =

Chọn đáp án D

Câu 82 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M(x;y) điểm biểu diễn số phức z =x+yi (x, y∈R) thỏa

mãn|z+ 1−2i|=|z| Biết tập hợp điểm M đường thẳng, tìm phương trình đường thẳng

A 2x+ 4y+ = B 2x−4y+ = C 2x−4y+ = D 2x−y+ =

(184)

Ta có

|z+ 1−2i|=|z|

⇔ |x+yi+ 1−2i|=|x+yi| ⇔ (x+ 1)2+ (y−2)2 =x2+y2 ⇔ x2+ 2x+ +y2−4y+ =x2+y2 ⇔ 2x−4y+ =

Vậy tập hợp điểm M đường thẳng có phương trình2x−4y+ =

Chọn đáp án B

Câu 83 Cho số phức z = x+yi (x, y ∈ R) thỏa mãn z+ 2i(¯z) = 3(1 +i) Tính giá trị biểu thức

P = 4x+ 5y

A P = 12 B P = C P = D P = 21

-Lời giải

Ta có

z+ 2i(¯z) = 3(1 +i)

⇔ x+yi+ 2i(x−yi) = 3(1 +i) ⇔ x+yi+ 2xi+ 2y = + 3i ⇔

®

x+ 2y = 2x+y = ⇔

® x= y=

VậyP = 4x+ 5y= 4·1 + 5·1 =

Chọn đáp án C

Câu 84 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R)thỏa mãnz+ +i− |z|(1 +i) = 0và|z|>1 TínhP =a+b A P =−1 B P =−5 C P = D P =

-Lời giải

Thayz=a+bivào phương trình ta có

z+ +i− |z|(1 +i) =

⇔ a+bi+ +i−pa2+b2(1 +i) = 0

⇔ Äa+ 2−pa2+b2ä+iÄb+ 1−pa2+b2ä= 0

⇔ (

a+ =pa2+b2

b+ =pa2+b2

⇔ (

a=b−1

b+ =p2b2−2b+ 1

⇒ b2−4b= 0⇔ ñ

b= 0⇒a=−1 (loại) b= 4⇒a= (thỏa mãn)

VậyP = + =

Chọn đáp án D

Câu 85 Tìm số số phức thỏa mãn điều kiện z2+ 2z=

A B C D

(185)

Giả sửz=x+yi(x, y∈R) Khi

z2+ 2z= 0⇔x2−y2+ 2xyi+ 2(x−yi) = 0⇔ ®

x2−y2+ 2x= 2xy−2y=

⇔ ®

x2−y2+ 2x= 2y(x−1) = ⇔

  

 

x2−y2+ 2x= ñ

y= x=

⇔ 

    

® y = x2+ 2x= ®

x= y2 = ⇔

® x= y= ;

®

x=−2 y= ;

® x= y=√3;

® x= y=−√3 Vậy có4 số phức thỏa mãn toán

Chọn đáp án B

Câu 86 Gọiz1, z2, z3, z4là nghiệm phức phương trìnhz4+z2−6 = TínhT =z12+z22+z23+z42

A T = B T = 14 C T = D T =−2

-Lời giải

Ta cóz4+z2−6 = 0⇔ ñ

z2= z2=−3 ⇔



    

z=−√2 z=√2 z=−√3i z=√3i

Do đó, phương trình cho có4 nghệm phức z1=−

√ 2,z2 =

√

2, z3 =−

√

3i, z4 =

√ 3i Vậyz12+z22+z32+z42 =−2

Chọn đáp án D

Câu 87 Các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z·z¯+ (z−z) = + 12i¯ thuộc đường đường cho phương trình sau đây?

A y = 2x2 B (x−1)2+y2 = C y= 2x D y=−2x

-Lời giải

Giả sửz=x+yi vớix, y∈R Ta

z·z¯+ (z−z) = + 12i¯ ⇔ x2+y2+ 6yi= + 12i ⇔

®

x2+y2= 6y= 12 ⇔

® x2 = y=

Do đó, có hai điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn yêu cầu toán làA(1; 2)và B(−1; 2) Dễ thấyA, B thuộc đường y= 2x2

Chọn đáp án A

Câu 88 Cho số phứcz thỏa mãn điều kiện|z−1 + 2i| ≤2 Trong hệ tọa độOxy, tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= 3z−2 + i hình trịn có diện tích

A 25π B 16π C 36π D 9π

-Lời giải

Giả sử số phức w=x+yi với x, y∈R Gọi M điểm biểu diễn số phức w suy điểm M(x;y) Do giả thiết ta có

w= 3z−2 + i⇔x+yi = 3z−2 + i⇔3z=x+ + (y−1) i⇔z= x+ +

Åy−1

ã i

Khi đóz−1 + 2i = x+ +

Åy−1

ã

i−1 + 2i = x−1 +

Åy+ 5

ã

isuy

|z−1 + 2i| ≤2⇔

Åx−1

ã2 +

Åy+ 5

ã2

(186)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcw nằm đường tròn(C) : (x−1)2+ (y+ 5)2 = 36 GọiR bán kính đường trịn(C) suy R= nên diện tích hình tròn bằng36π

Chọn đáp án C

Câu 89 Cho số phức z= + (1 + i) + (1 + i)2+· · ·+ (1 + i)2018 Mệnh đề sau đúng? A z=−21009. B. z=−21009+ 21009+ 1

i C z= 21009+ 21009+

i D z= 21009+ 21009i

-Lời giải

Ta có

1 + (1 + i) + (1 + i)2+· · ·+ (1 + i)2018 = 1−(1 + i)

2019

1−(1 + i) =

1−(1 + i)2019

−i = i−i·(1 + i)

2019

Vì(1 + i)2= + 2i + i2 = 2isuy (1 + i)8 = 24

Mà (1 + i)2019 =ỵ(1 + i)8ó252·(1 + i)3 suy i·(1 + i)2019 = 24252·2i2·(1 + i) = −21009(1 + i) Do đó

z= i + 21009(1 + i) = 21009+ + 21009 i

Chọn đáp án C

Câu 90 Cho số phức z=a+bithỏa mãn z(1 + 2i)2+z=−20 + 4i Giá trị a2−b2

A 16 B C D

-Lời giải

Ta có

z(1 + 2i)2+z=−20 + 4i

⇔ (a+bi)(−3 + 4i) + (a−bi) =−20 + 4i ⇔ (−3a−4b) + (4a−3b)i+ (a−bi) =−20 + 4i ⇔ (−2a−4b) + (4a−4b)i=−20 + 4i

⇔ ®

−2a−4b=−20 4a−4b= ⇔

® a= b=

Vậya2−b2 = 16−9 =

Chọn đáp án D

Câu 91 Cho ba số phức z1, z2, z3 phân biệt thỏa mãn |z1|=|z2|=|z3|= 3và z1+z2=z3 Biếtz1, z2, z3

lần lượt biểu diễn điểmA, B, C mặt phẳng phức Tính góc ACB.’ A 150◦ B 90◦ C 120◦ D 45◦

-Lời giải

Viết z1 =a1+b1i, z2=a2+b2i, z3 =a3+b3i,a1, a2, a3, b1, b2, b3 ∈R Khi đó, ta có hệ:

       

      

a21+b21 = (1) a22+b22 = (2) a23+b23 = (3) a1+a2=a3 (4)

−b1−b2=−b3 (5)

Thế(4) và(5)vào (3), ta có (a1+a2)2+ (b1+b2)2 = (6)

Thế# » (1) và(2)vào (6), ta có 2a1a2+ 2b1b2=−9

(187)

Suy

cosACB’ = # » CA·CB# »

# » CA ·

# » CB

= p (a1−a3)(a2−a3) + (b1−b3)(b2−b3) (a1−a3)2+ (b1−b3)2

p

(a2−a3)2+ (b2−b3)2

= p −a2(−a1) + (−b2)(−b1) (−a2)2+ (−b

2)2

p

(−a1)2+ (−b 1)2

= » a1a2+b1b2 a2

2+b22

» a2

1+b21

= −9

2 √

9√9 =− VậyACB’ = 120◦

Chọn đáp án C

Câu 92 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phứcz thỏa mãn điều kiên|z+ 2|=|i−z| đường thẳng có phương trình sau đây?

A 4x−2y+ = B 4x+ 2y−3 = C 4x−2y−3 = D 4x+ 2y+ =

-Lời giải

Giả sửz=a+bi, với a, b∈R Từ giả thiết ta

(a+ 2)2+b2 =a2+ (b−1)2 ⇔4a+ 2b+ = Vậy điểm biểu diễn số phức znằm đường thẳng có phương trình

4x+ 2y+ =

Chọn đáp án D

Câu 93 TínhS = +i+i2+· · ·+i2017+i2018.

A S =−i B S = +i C S = 1−i D S=i

-Lời giải

Ta có(i)4n= 1,(i)4n+1 =i,(i)4n+2 =−1,(i)4n+3 =−i Do S= +i+i2+· · ·+i2017+i2018= 1−i

2019

1−i = +i 1−i =i

Chọn đáp án D

Câu 94 Cho số phức z=a+bivớia, b∈Rthỏa z+ 2i+ =|z|(1 +i) và|z|>1 TínhP =a−b A P =−3 B P = C P =−1 D P =

-Lời giải

Từ giả thiết z+ 2i+ =|z|(1 +i) suy

(a+ 1) + (b+ 2)i=pa2+b2+i·pa2+b2 ⇔

®

a+ =√a2+b2

b+ =√a2+b2 ⇔

  

 

a≥ −1 a=b+

(b+ 2)2= (b+ 1)2+b2 (1)

Từ(1)⇔b2−2b−3 = 0⇔ ñ

b=−1 b=

Khi b=−1⇒a= 0⇒ |z|= Trường hợp loại vì|z|>1

Khi b= 3⇒a= 4⇒ |z|= 5>1 Trường hợp nhận, vậyP =a−b=

Chọn đáp án D

Câu 95 Tìm số phức z thỏa2iz+ 3z=

A z=−3−2i B z= 3−2i C z=−3 + 2i D z= + 2i

-Lời giải

Gọi số phứcz=a+bivớia, b∈R Từ giả thiết, ta có

2i(a+bi) + 3(a−bi) = 5⇔(3a−2b) + (2a−3b)i= 5⇔ ®

3a−2b= 2a−3b= ⇔

® a=

b= ⇔z= + 2i

(188)

Câu 96 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z−1−2i|+|z−3| =

√ + 3i

Tìm giá trị nhỏ P =|z−2−i|

A P = B P =√2 C P =√3 D P =

-Lời giải

Gọiz=a+bi(a, b∈R) =

√ + 3i

= |z−1−2i|+|z−3|

= »(a−1)2+ (b−2)2+»(a−3)2+b2

=

2»(a−1)2+ (b−2)2+1

2

2»(a−3)2+b2

≤

Å4 + (a−1)2+ (b−2)2

2 +

4 + (a−3)2+b2

ã

=

(a−2)2+ (b−1)2+ =

2 P

2+ 6 ⇒ P ≥√2

Dấu xảy

 



2 =»(a−1)2+ (b−2)2

2 =»(a−3)2+b2

⇔ ®

4 = (a−1)2+ (b−2)2

(a−1)2+ (b−2)2 = (a−3)2+b2 ⇔ 

    

® a= b= ®

a= b=

Ta tìm giá trị lớn P Ta có

(a2+b2)(c2+d2)−(ac+bd)2= (ad−bc)2≥0⇒p

(a2+b2)(c2+d2)≥ac+bd.

Ta chứng minh bất đẳng thức p

a2+b2+pc2+d2 ≥»(a+c)2+ (b+d)2

⇔a2+b2+c2+d2+ 2»(a2+b2)(c2+d2)≥(a+c)2+ (b+d)2

⇔»(a2+b2)(c2+d2)≥ac+bd(luôn đúng, xem chứng minh trên).

Gọiz=a+bi(a, b∈R) Ta có =

√ + 3i

= |z−1−2i|+|z−3| = |z−1−2i|+|z−3|

≥ »(a−1)2+ (b−2)2+»(a−3)2+b2

≥ »(a−1 +a−3)2+ (b−2 +b)2

= 2»(a−2)2+ (b−1)2 = 2|z−2−i|= 2P.

Từ suy P ≤2

Chọn đáp án B

Câu 97 Cho số phức z thỏa mãn |z| = 12 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (8−6i)z+ 2ilà đường trịn Tính bán kính r đường trịn

A r = 120 B r = 122 C r= 12 D r= 24√7

-Lời giải

Ców= (8−6i)z+ 2i⇔w−2i= (8−6i)z⇒ |w−2i|=|8−6i| · |z|= 10·12 = 120 Từ ta suy tập hợp điểm biểu diễnw đường tròn tâmI(0; 2), bán kính R= 120

Chọn đáp án A

Câu 98 Với x, ylà hai số thực thỏa mãnx(3 + 5i) +y(1−2i)3= + 14i Giá trị của2x−3y A 205

109 B

172

61 C

353

61 D

(189)

-Lời giải

x(3 + 5i) +y(1−2i)3 = + 14i ⇔ x(3 + 5i) +y(−11 + 2i) = + 14i ⇔ (3x−11y) +i(5x+ 2y) = + 14i ⇔

®

3x−11y= 5x+ 2y= 14

⇔   

 

x= 172 61 y=−3

61 Vậy2x−3y= 2·172

61 −3· −3

61 = 353

61

Chọn đáp án C

Câu 99 Cho số phứczthỏa mãnz= √

5 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= (2 +i)z−3i đường tròn có bán kính r Tìm bán kínhr

A r =√5 B r = C r=√10 D r= 25

-Lời giải

Biến đổiw= (2 +i)z−3i⇔w+ 3i= (2 +i)z

Lấy mô-đun vế, ta được|w+ 3i|=|(2 +i)z|=|2 +i| · |z|=

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcw đường trịn tâmI(0;−3)và bán kínhr =

Chọn đáp án B

Câu 100 Có tất số phứcz thỏa|z+ 3−i|= 2√2 vàz2 ảo?

A B C D

-Lời giải

z2 =x2−y2+ 2xyithuần ảo ⇒x2−y2 = 0⇔x=y hay x=−y

Vớiy=x⇒ |z+ 3−i|= 2√2⇔ |x+xi+ 3−i|= 2√2⇔(x+ 3)2+ (x−1)2= 8⇔x=−1 Vớiy=−x

⇒ |z+ 3−i|= 2√2⇔ |x−xi+ 3−i|= 2√2⇔(x+ 3)2+ (x+ 1)2= 8⇔ "

x=−2−√3 x=−2 +√3 Vậy có ba số phứcz thỏa yêu cầu toán

Chọn đáp án C

Câu 101 Cho số phức z=x+yi(x, y∈R)thỏa mãn z+ 2−i−z

(1−i) = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểmM điểm biểu diễn số phứcz Hỏi M thuộc đường thẳng sau đây?

A x−y+ = B x−y+ = C x+y−2 = D x+y+ =

-Lời giải

Ta cóz+ 2−i−

z(1−i) = 0⇔x+yi+ 2−i−(1−i)px2+y2= 0

⇔x+ 2−px2+y2+Äy−1 +p

x2+y2äi= 0

⇔ (

x+ 2−px2+y2= 0

y−1 +px2+y2 = 0 ⇒x+ 2−

p

x2+y2+y−1 +p

x2+y2 = 0⇔x+y+ = 0.

Do M thuộc đường thẳng x+y+ =

Chọn đáp án D

Câu 102 Cho số phứczthỏa mãn|z−i|= Biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcw=iz+ 1−i đường trịn Tính bán kính đường trịn

A r = 20 B r = C r= 22 D r=

-Lời giải

Ta ców=iz+ 1−i⇔w+i=i(z−i) Suy ra|w+i|=|i||z−i|=

Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phứcwlà đường tròn tâm I(0;−1), bán kính r=

Chọn đáp án B

Câu 103 Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn |2z−i|=|iz+ 2|, biết |z1−z2|=

√

(190)

A A=√5 B A= √

5

2 C A=

√

3 D A=

√

-Lời giải

Gọiz1 =x1+y1i,z2 =x2+y2ivớix1, y1, x2, y2 ∈R Theo giả thiết ta có

  

 

|2x1+ (2y1−1)i|=|2−y1+x1i|

|2x2+ (2y2−1)i|=|2−y2+x2i|

(x1−x2)2+ (y1−y2)2=

⇔   

 

x21+y21 = x22+y22 = x1x2+y1y2 =

Do đó,A2=|z1−2z2|2 = (x1−2x2)2+ (y1−2y2)2= (x21+y21) + 4(x22+y22)−4(x1x2+y1y2) = Khi

A=√5

Chọn đáp án A

Câu 104 Cho số phứcz=a+bi, (a, b∈R) thỏa mãn z−(2 + 3i)z=−1−3i Tính giá trị biểu thức S=ab+

A S = B S =−1 C S =−2 D S=

-Lời giải

Ta có

z−(2 + 3i)z=−1−3i

⇔(a+bi)−(2 + 3i)(a−bi) =−1−3i ⇔a+bi−2a+ 2bi−3ai−3b=−1−3i ⇔(−a−3b) + (3b−3a) =−1−3i⇔

®

a+ 3b= a−b= ⇔

® a= b= Từ suy S=ab+ =

Chọn đáp án A

Câu 105 Gọiz1, z2 hai số phức zthỏa mãn |z−1 + 2i|= và|z1−z2|= Tìm mơ-đun

số phứcw=z1+z2−2 + 4i

A |w|= 13 B |w|= 10 C |w|= 16 D |w|=

-Lời giải

GọiI(1;−2)là điểm biểu diễn số phức1−2ivà A, B điểm biểu diễn số phứcz1, z2

Vì|z−1 + 2i|= nên A, B thuộc(I; 5) và|z1−z2|= nên AB=

Ta có|w|=|IA# »+IB|# » = 2IH với H trung điểm AB MàIH =√IA2−AH2 =√52−42 = 3.

Vậy|w|=

Chọn đáp án D

Câu 106 Gọi(H) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả ≤ |z−1| ≤ mặt phẳng phức Tính diện tích hình(H)

A 2π B 3π C 4π D 5π

-Lời giải

Giả sửz=x+yi, x, y ∈R, đó:1≤ |z−1| ≤2⇔1≤(x−1)2+y2≤4, suy điểm biểu diễn số phức znằm hình vành khun giới hạn bởi2 hình trịn đồng tâmI(1; 0)có bán kính làR1=

R2 = Từ suy diện tích hình (H) là: S=πR22−πR21= 3π

Chọn đáp án B

Câu 107 Cho số phứcz=a+bi(a, b số thực) thỏa mãn z· |z|+ 2z+i= Tính giá trị biểu thứcT =a+b2

A T = 4√3−2 B T = + 2√2 C T = 3−2√2 D T = + 2√3

-Lời giải

Ta có(a+bi)·√a2+b2+ 2(a+bi) +i= 0

Suy (

a·pa2+b2+ 2a= 0

b·pa2+b2+ 2b+ = 0

⇔ ®

a=

b· |b|+ 2b+ = 0(∗) Vớib≥0thì (∗)⇔b2+ 2b+ = 0⇔b=−1(loại)

Vớib <0thì (∗)⇔ −b2+ 2b+ = 0⇔b= 1±√2 Nhận giá trịb= 1−√2.

(191)

Chọn đáp án C Câu 108 Có số phứcz thỏa mãn|z−1−3i|= 3√2 và(z+ 2i)2 số ảo?

A B C D

-Lời giải

Gọiz=a+bi, a, b∈R

Ta có|z−1−3i|= 3√2⇔(a−1)2+ (b−3)2 = 18. (1)

Mặt khác(z+ 2i)2 = (a+ (b+ 2)i)2 =a2−(b+ 2)2+ 2a(b+ 2)ilà số ảo nên ñ

a=b+ a=−b−2

+ Nếua=b+ 2thế vào phương trình (1)ta có (b+ 1)2+ (b−3)2 = 18⇔ "

b= +√5⇒a= +√5 b= 1−√5⇒a= 3−√5 + Nếua=−b−2 vào phương trình(1) ta có (b+ 3)2+ (b−3)2= 18⇔b= 0⇒a=−2

Vậy có3 số phức thỏa mãn yêu cầu toán

Chọn đáp án C

Câu 109 Phương trìnhz2+|z|= có nghiệm tập số phức?

A Có nghiệm B Có nghiệm C Có nghiệm D Có nghiệm

-Lời giải

Giả sử số phứcz cần tìm có dạng a+bi, phương trình cho trở thành a2+ 2abi−b2+pa2+b2= 0

⇔Äa2−b2+pa2+b2ä+ 2abi= 0⇒

®

a2−b2+pa2+b2= 0

2ab=

Giải hệ ta thu tập nghiệm là(a;b) ={(0; 0),(0; 1),(0;−1)}

Chọn đáp án B

Câu 110 Cho số phứcz thỏa mãn điều kiện|z−2|=|¯z|và(z−3)(¯z+ 1−4i)∈R.Tìm phần ảo

số phứcz

A −2 B −1 C D

-Lời giải

Đặt z = x+yi với x, y ∈ R Từ |z−2| = |¯z| ta suy (x−2)2 +y2 = x2 +y2, hay x = Khi đó,

(z−3)(¯z+ 1−4i) = (−2 +yi)(2−(y+ 4)i) =y2+ 4y−4 + 4(y+ 2)i∈R⇔y =−2 Vậy, phần ảo củaz bằng−2

Chọn đáp án A

Câu 111 Cho số phức z thỏa mãn |z−3| = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1−√3i)z+ 1−2ilà đường trịn Tính bán kínhr đường trịn

A r = B r = C r= D r=√2

-Lời giải

Từ giả thiết, ta suy w−1 + 2i

1−√3i −3 =z−3,hayw−1 + 2i−3(1− √

3i) = (z−3)(1−√3i).Lấy mô-đun hai vế, ta suy

w−4 + (2 + √

3)i =

(z−3)(1− √

3i)

= 2.Vậy, r =

Chọn đáp án A

Câu 112 Cho A, B, C điểm biểu diễn số phức 4−3i,(1 + 2i)ivà

i Số phức có điểm biểu diễn Dsao cho tứ giácABCD hình bình hành

A −6−4i B −6 + 3i C 6−5i D 4−2i

-Lời giải

Ta có(1 + 2i)i =−2 + i, i =

i i2 =−i

Tọa độ điểmA, B, C làA(4;−3), B(−2; 1), C(0;−1) Tứ giácABCD hình bình hành

# »

AD=BC# »⇔ ®

xD−4 = +

yD+ =−1−1

⇔ ®

xD=

(192)

VậyD điểm biểu diễn số phứcz= 6−5i

Chọn đáp án C

Câu 113 Rút gọn biểu thứcM = (1−i)2018 ta

A M = 21009 B M =−21009. C. M = 21009i. D. M =−21009i. -Lời giải

Ta có(1−i)2 = 1−2i + i2=−2i⇒(1−i)4 = (−2i)2 = 22 Từ đó

M = (1−i)2018 = (1−i)4·504+2=

(1−i)4504

·(1−i)2= (22)504·(−2i) =−21009i

Chọn đáp án D

Câu 114 Tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn2|z−i|=|z−z+ 2i|là

A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một parabol D Một điểm

-Lời giải

Gọiz=x+yi, (x, y∈R) Ta có

2|z−i|=|z−z+ 2i| ⇔ 2|x+ (y−1)i|=|(2y+ 2)i| ⇔ x2+ (y−1)2= (y+ 1)2 ⇔ x2+y2−2y+ =y2+ 2y+ ⇔ y=

4x

2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z parabol

Chọn đáp án C

Câu 115 Có số phứcz thỏa mãn điều kiệnz2 =|z|2+z?

A B C D

-Lời giải

Đặtz=a+bi(a, b∈R) Ta có

z2=|z|2+z ⇔ (a+bi)2=a2+b2+a−bi ⇔ 2abi−b2 =b2+a−bi ⇔

®

2ab=−b −b2 =b2+a ⇔

 



b= hoặca=−1 2b2+a= b= 0⇒a= 0⇒z=

a=−1

2 ⇒b=±

2 ⇒z=− 2±

1 2i Vậy có3 số phức thỏa mãn

Chọn đáp án D

Câu 116 Số nguyên dươngnthỏa mãn hệ thức:C0

2n−C22n+C42n−C62n+C28n−C102n+· · ·+(−1)nC22nn= 21008

là

A 2018 B 2016 C 1009 D 1008

-Lời giải

Xét khai triển

(1 +x)2n= C02n+ C12nx+ C22nx2+ C32nx3+ C42nx4+ C25nx5+· · ·C22nn−1x2n−1+ C22nnx2n Chox=i ta có

(1 +i)2n = C02n+ C12ni+ C22ni2+ C32ni3+ C42ni4+ C52ni5+ C62ni6+· · ·+ C22nn−1i2n−1+ C22nni2n = C02n+ C12ni−C22n−C32ni+ C42n+ C52ni−C62n+· · · −C22nn−1i+ (−1)nC22nn

= C02n−C22n+ C42n−C62n+· · ·+ (−1)nC2n

2n+i C12n−C32n+ C52n− · · · −C2n

−1 2n

= C02n−C22n+ C42n−C26n+ C82n−C210n+· · ·+ (−1)nC2n

(193)

Khi đó(1 +i)2n= 21008⇔

(1 +i)2n

= 21008 ⇔(2i)n= 21008⇔2nin= 21008 ⇔n= 1008

Chọn đáp án D

Câu 117 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R, a >0)thỏa mãn|z−1+2i|= 5vàz·z= 10 TínhP =a−b A P = B P =−4 C P =−2 D P =

-Lời giải

Gọiz=a+bi(a, b∈R) ®

|z−1−2i|= z·z= 10 ⇔

®

(a−1)2+ (b+ 2)2 = 25 a2+b2 = 10 ⇔

®−

2a+ 4b= 10 a2+b2= 10 ⇔

®

a= 2b−5

5b2−20b+ 15 = ⇔ ®

a=−3 ( loại )

b=

® a=

b= ⇒P = 1−3 =−2

Chọn đáp án C

Câu 118 GọiM(x;y) điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãnlog1

|z−2|+

4|z−2| −1 >1 Khi đó(x;y)thỏa mãn hệ thức đây?

A (x+ 2)2+y2 >49 B (x+ 2)2+y2 <49 C (x−2)2+y2 <49 D (x−2)2+y2>49

-Lời giải

Điều kiện 4|z−2| −1>0⇔(x−2)2+y2 > 16 Ta có

1

|z−2|+

4|z−2| −1 >1⇔

|z−2|+ 4|z−2| −1 <

1

3 ⇔3|z−2|+ 6<4|z−2| −1⇔ |z−2|>7 ⇔(x−2)2+y2 >49

Chọn đáp án D

Câu 119 Cho số phứcu= + 4i Nếuz2 =u thì ta có

A đ

z= +i

z=−4−i B ñ

z= + 2i

z= 2−i C ñ

z= +i

z=−2−i D ñ

z= +i z= 1−i

-Lời giải

Vớiz=a+bi, a, b∈R ta cóz2=u⇔a2−b2+ 2abi= + 4i⇔ ®

a2−b2 = 2ab= ⇔



    

® a= b= ®

a=−2 b=−1

Chọn đáp án C

Câu 120 Tính mơđun số phứcz thoả mãn3z·z¯+ 2017 (z−z) = 48¯ −2016i

A |z|= B |z|=√2016 C |z|=√2017 D |z|=

-Lời giải

Giả sửz=a+bi, từ giả thiết ta có3|z|2 = 48−2016i−2b·2017i= 48(vì|z|2 ∈

R), suy ra|z|=

Chọn đáp án A

Câu 121 Cho số phứcz thỏa mãn |z−3−4i|=√5 GọiM vàm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcP =|z+ 2|2− |z−i|2 Tính mơ-đun số phứcw=M+mi.

A |w|=√2315 B |w|=√1258 C |w|= 3√137 D |w|= 2√309

-Lời giải

Đặtz=x+yivới x, y∈R Ta cóP = (x+ 2)2+y2−

x2+ (y−1)2

= 4x+ 2y+ Mặt khác|z−3−4i|=√5⇔(x−3)2+ (y−4)2=

Đặtx= +√5 sintvà y= +√5 cost thỏa(x−3)2+ (y−4)2 = Suy raP = 4√5 sint+ 2√5 cost+ 23

Xét hàm số f(t) = 4√5 sint+ 2√5 cost Chia hai vế cho

qÄ

4√5ä2+Ä2√5ä2 = 10ta có

f(t) = 4√5 sint+ 2√5 cost⇔ f(t) 10 =

2√5 sint+

(194)

Đặt    

  

cosu= √

5 sinu=

√ 5

ta có

f(t)

10 = cosusint+ sinucost⇔ f(t)

10 = sin(t+u) Suy

−1≤ f(t)

10 ≤1⇒ −10≤f(t)≤10⇒13≤P ≤33 VậyM = maxP = 33 vàm= minP = 13

Khi đów= 33 + 13i Do đó|w|=√332+ 132 =√1258.

Chọn đáp án B

Câu 122 Cho số phứcz=a+bi(a, b∈R)thỏa mãn z+ + 3i− |z|i= TínhS =a+ 3b A S =

3 B S =−5 C S = D S=−

7

-Lời giải

Ta cóz+ + 3i− |z|i= 0⇔a+bi+ + 3i−i√a2+b2 = 0

⇔a+ + (b+ 3−√a2+b2)i= 0⇔

(

a+ =

b+ =pa2+b2

⇔   

 

a=−1 ®

b≥ −3

(b+ 3)2 = +b2 ⇔

 

 a=−1 b=−4

⇒S=−5

Chọn đáp án B

Câu 123 Cho số phức z thỏa mãn |z| = Biết tập hợp tất điểm biểu diễn số phức w = 3−2i+ (2−i)z đường tròn bán kínhr Tínhr

A r = B r = 20 C r= 2√5 D r=√7

-Lời giải

Ta ców= 3−2i+ (2−i)z⇔z= w−3 + 2i 2−i Suy ra⇒ |z|= |w−3 + 2i|

|2−i| ⇒2 =

|w−3 + 2i| √

5 ⇒ |w−3 + 2i|= √

5

Do tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà đường tròn tâm I(3;−2), bán kính r= 2√5

Chọn đáp án C

Câu 124 Có số phứcz thỏa mãn|z|=|z+ ¯z|= 1?

A B C D

-Lời giải

Đặtz=a+bivới a, b∈R, ta có z¯=a−bi Từ đó:

|z|=|z+ ¯z|= 1⇔ ®

a2+b2 = |2a|= ⇔

   

  

b=± √

3 a=±1

2 Do có 4số phức thỏa mãn

Chọn đáp án C

Câu 125 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z−1|= |z+ ¯z+ 2| mặt phẳng tọa độ

A đường thẳng B đường tròn C parabol D hypebol

-Lời giải

Đặtz=x+yivới x, y∈R, ta có z¯=x−yi Từ đó:

2|z−1|=|z+ ¯z+ 2| ⇔2|(x−1) +yi|=|2x+ 2| ⇔ »(x−1)2+y2 =|x+ 1| ⇔y2= 4x.

Nên tập hợp điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn2|z−1|=|z+ ¯z+ 2|trên mặt phẳng tọa độ parabol

(195)

Câu 126 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn|iz−2i+ 1|= đường tròn có tọa độ tâm

A (2; 1) B (2;−1) C (−2;−1) D (−2; 1)

-Lời giải

Gọi số phứcz=x+yi; (x, y∈R)

Ta có:|iz−2i+ 1|= 2⇔ |(1−y) + (x−2)i|= 2⇔(x−2)2+ (y−1)2= Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tọa độ tâm là(2; 1)

Chọn đáp án A

Câu 127 Xét số phứcz thỏa mãn(z−2i) (z+ 3)là số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phứcz phương trình đường trịn có bán kính

A √13 B √11 C

√ 11

2 D

√ 13

-Lời giải

Gọiz=x+yi (x, y∈R) Ta có(z−2i) (z+ 3) =x2+y2+ 3x+ 2y−(2x+ 3y+ 6)i

Theo giả thiết ta có tập hợp tất điểm biểu diễn số phức zlà đường trịn có phương trình x2+y2+ 3x+ 2y= Vậy bán kính đường trịn làR=

√ 13

Chọn đáp án D

6 ĐÁP ÁN

1 B C D D B A D C A 10 D

11 C 12 D 13 B 14 B 15 D 16 B 17 D 18 D 19 A 20 C

21 D 22 B 23 B 24 D 25 C 26 A 27 D 28 C 29 B 30 A

31 B 32 C 33 B 34 B 35 A 36 C 37 D 38 D 39 B 40 A

41 A 42 A 43 D 44 A 45 D 46 B 47 A 48 C 49 C 50 C

51 B 52 D 53 A 54 C 55 C 56 C 57 D 58 C 59 D 60 A

61 A 62 C 63 D 64 D 65 A 66 B 67 D 68 B 69 A 70 D

71 C 72 A 73 B 74 A 75 B 76 A 77 C 78 A 79 B 80 B

81 D 82 B 83 C 84 D 85 B 86 D 87 A 88 C 89 C 90 D

91 C 92 D 93 D 94 D 95 D 96 B 97 A 98 C 99 B 100 C

101 D 102 B 103 A 104 A 105 D 106 B 107 C 108 C 109 B 110 A

111 A 112 C 113 D 114 C 115 D 116 D 117 C 118 D 119 C 120 A

121 B 122 B 123 C 124 C 125 C 126 A 127 D

7 VẬN DỤNG CAO

Câu Cho số phứczthỏa mãn|z| ≤2 Giá trị nhỏ biểu thứcP = 2|z+ 1|+ 2|z−1|+|z−z−4i|

A + 2√3 B +√3 C +√14

15 D +

7 √

15

-Lời giải

Gọiz=x+yi,(x;y∈R) Theo giả thiết ta có|z| ≤2⇔x2+y2 ≤4⇒ −2≤x;y≤2.

P = 2|z+ 1|+ 2|z−1|+|z−z−4i| = 2|z+ 1|+ 2|z−1|+|2yi−4i| = (|z+ 1|+|1−z|+|y−2|) ≥ (|z−z+ 2|+|y−2|) ≥ 2Ä2p1 +y2+ 2−yä.

Xét hàm số f(y) = 2p1 +y2+ 2−y trên đoạn [−2; 2], ta có

f0(y) = p 2y

1 +y2−1, f

0

(y) = 0⇔2y=p1 +y2 ⇔y= √1

3 Màf

Å √

ã

= +√3,f(−2) = + 2√5,f(2) = 2√5 Suy

[−2;2]f(y) = +

√

(196)

Do P ≥2Ä2 +√3ä= + 2√3 VậyminP = + 2√3

 

 y= √1

3 z=z

⇔  

 y= √1

3 x=

⇔z= √1 3i

Chọn đáp án A

Câu Cho hai số phức z1, z2 biết |z1+z2|=

√

3và |z1|=|z2|= Tính|z1−z2|

A |z1−z2|= B |z1−z2|=

√

3 C |z1−z2|=

√

2 D |z1−z2|= -Lời giải

Gọiz1 =a+bi, z2=c+divớia, b, c, d∈R

Ta có|z1+z2|=

√ 3⇔p

(a+c)2+ (b+d)2=√3⇔p

(a2+b2) + (c2+d2) + 2(ac+bd) =√3.

|z1|=|z2|= 1⇔√a2+b2 =√c2+d2 = 1.

Suy raac+bd= Từ ta có|z1−z2|=

p

(a−c)2+ (b−d)2 =p

(a2+b2) + (c2+d2)−2(ac+bd) = 1.

Chọn đáp án A

Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn điểm biểu diễn số phức thỏa mãn|z+2−i|+|z−4−i|= 10

A 15π B 20π C 12π D Đáp án khác

-Lời giải

GọiM điểm biểu diễn số phức z,F1(−2; 1),F2(4; 1), ta có:

F1F2 =

Điều kiện cho tương đươngM F1+M F2 = 10 Do tập hợp

các điểm M elip có 2c=F1F2 = ⇒c= 3,2a= 10⇒ a=

Suy rab=

Vậy diện tích elip làS =πab= 20π

x y

O

−2

F1 F2

Chọn đáp án B

Câu Cho số phức z1, z2 thỏa mãn phương trình |z−2−3i|= |z1−z2|= Biết tập hợp

điểmM biểu diễn số phứcw=z1+z2 đường trịn Tính bán kính đường trịn

A B C 2√2 D

-Lời giải

GọiA, B điểm biểu diễn củaz1, z2 Từ giả thiếtz1,z2 thỏa

mãn phương trình |z−2−3i| = |z1 −z2| = suy A, B thuộc

đường tròn tâm I(2; 3) (là điểm biểu diễn số phức z0 = + 3i) bán

kính R= đồng thời thỏa mãnAB= Ta có

(w−z0)−z0 = (z1−z0) + (z2−z0)

I

A B

W

nên w−z0 có điểm biểu diễn W đỉnh thứ tư hình thoiIAW B Do

|w−2z0|2=IW2 = 4IA2−AB2 = 4·52−62= 64

⇒ |w−2z0|=

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phứcwlà đường tròn tâm J(4; 6), bán kínhr =

Chọn đáp án A

Câu Cho hai điểmAvàB hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tựz1,z2 khác0và thỏa mãn

đẳng thứcz12+z22 =z1z2 Hỏi ba điểm O,A,B tạo thành tam giác gì? (O gốc tọa độ) Chọn phương án

(197)

A Vuông cân tạiO B Cân tạiO C Đều D Vuông O

-Lời giải

z12+z22 =z1z2⇒(z1−z2)2 =−z1z2 ⇒ |z1−z2|2 =|z1||z2| (1)

z2

1 +z22 =z1z2⇒z1(z1−z2) =−z22 ⇒ |z1||z1−z2|=|z2|2 ⇒ |z1−z2|2 =

|z2|4

|z1|2

(2) Từ(1)và (2)⇒ |z1|3 =|z

2|3⇒ |z1|=|z2| (3)

Từ (1) (3), suy ra|z1|=|z2|=|z1−z2|, hay OA=OB =AB⇒ 4OAB

Chọn đáp án C

Câu Có số phứcz thỏa mãnz2+

= 2|z+z|và|z−4 + 3i|= 3?

A B C D

-Lời giải

Đặtz=x+yi, x, y∈R GọiM điểm biểu diễn củaz

Ta có|z−4 + 3i|= nên M thuộc đường trịn(C1) có tâmI1(4;−3)và bán kínhR1= (1)

Ta thấy

z2+ 3= 2|z+z|

⇔ x2−y2+ 32+ (2xy)2= 16x2

⇔ x2−y22+ + x2−y2+ 4x2y2 = 16x2 ⇔ x2+y22+ 9−6 x2+y2= 4x2

⇔ x2+y2−32= 4x2 ⇔

ñ

x2+y2−3 =−2x x2+y2−3 = 2x ⇔

ñ

(x−1)2+y2= (2) (x+ 1)2+y2= (3)

x y

O

I1

I2

I3

M1

M2

Hình Đặt

®(C

2) : (x−1)2+y2 =

(C3) : (x+ 1)2+y2 =

Từ(1),(2) và(3), ta thấyM điểm chung ®

(C1)

(C2)

hay ®

(C1)

(C3)

Từ hình1, ta thấy có hai điểmM thỏa mãn, tức có hai số phức thỏa mãn đề

Chọn đáp án B

Câu Có số phứcz thỏa mãn|z|(z−3−i) + 2i= (4−i)z?

A B C D

-Lời giải

Ta có|z|(z−3−i) + 2i= (4−i)z⇔z(4− |z| −i) =−3|z|+ (2− |z|)i Đặtt=|z|, điều kiện t≥0, t∈R Lấy mô-đun hai vế ta

t|4−t−i|=| −3t+ (2−t)i| ⇔ t»(4−t)2+ =»9t2+ (2−t)2

⇔ t4−8t3+ 6t2+ 4t−3 = ⇔ (t−1)(t3−7t2−t+ 3) =

⇔ 

   

t= t≈7,081 t≈0,61146 t≈ −0,6928 Do đó, có3 giá trịtthỏa mãn

Mặt khác, với mỗit≥0, ta có z= −3t+ (2−t)i

(198)

Chọn đáp án B Câu Xét số phức z = a+bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn |z−1 + 2i| = √5 Tìm P = 16a+ 8b biết |z+ +i|+|z−1 + 4i|đạt giá trị lớn

A −36 B √58 C 58 D 40

-Lời giải

Ta có|z−1 + 2i|=√5⇔(a−1)2+ (b+ 2)2 = 5⇔a2+b2 = 2a−4b M =|z+ +i|+|z−1 + 4i|=p(a+ 1)2+ (b+ 1)2+p

(a−1)2+ (b+ 4)2.

Ta có

M2 ≤

(a+ 1)2+ (b+ 1)2+ (a−1)2+ (b+ 4)2 ≤

2 a2+b2

+ 10b+ 19 ≤ [2 (2a−4b) + 10b+ 19] ≤ [4a+ 2b+ 19]

≤ [4(a−1) + 2(b+ 2) + 19] Mặt khác4(a−1) + 2(b+ 2) + 19≤p

(42+ 22) [(a−1)2+ (b+ 2)2] + 19 = 29 nênM2 ≤58.

Do M đạt giá trị lớn bằng√58 ®

4a+b= 10 √

58 =√4a−2b+ +√4b+ 17 ⇔   

 

a= 45 16 b=−5

8 Suy raP = 16a+ 8b= 40

Chọn đáp án D

Câu Cho số phức z thoả mãn điều kiện z2−2z+

= |z−1−2i| Giá trị lớn |z−2 + 2i|

A √17 + B C D √13 +

-Lời giải

Ta có

z2−2z+ 5=|z−1−2i| ⇔

(z−1)2−4i2=|z−1−2i|

⇔ |z−1−2i| · |z−1 + 2i|=|z−1−2i| (∗) Mà vớiz=a+bi,a, b∈R, ta có

|z−1 + 2i|=»(a−1)2+ (b+ 2)2=»(a−1)2+ (−b−2)2 =|z−1−2i|.

Do

(∗)⇔ đ

|z−1−2i|= |z−1 + 2i|= • Trường hợp |z−1 + 2i|= 0⇔z= 1−2i⇒ |z−2 + 2i|=| −1|= • Trường hợp |z−1−2i|= 1, ta có

|z−2 + 2i+ 1−4i|= ⇒ |z−2 + 2i| − |1−4i| ≤1

⇔ |z−2 + 2i| ≤1 +|1−4i|= +√17

Đẳng thức xảy ra⇔ ®|z−

1−2i|=

|z−2 + 2i|= +√17 ĐiểmM biểu diễn số phứczthỏa mãn hệ giao điểm đường tròn tâmI1(1; 2), bán kính R1 = đường trịn tâm I2(2;−2), bán kínhR2 = +

√ 17 Ta có I1I2=

√

17 =R2−R1 Do M điểm tiếp xúc hai đường tròn

Vậy giá trị lớn của|z−2 + 2i|bằng1 +√17

Chọn đáp án A

Câu 10 Cho ba số phức z1, z2, z3 số thực, thỏa mãn điều kiện z1 +z2 =

|z1−2|=|z2−2|=|z3−2|= Tính giá trị biểu thức T =|z3−z1|2+|z3−z2|2

A T = 12 B T = C T = D T =

(199)

GọiA, B, C điểm biểu diễn z1, z2, z3 mặt phẳng tọa độ

Từ giả thiết |z1−2|=|z2−2|=|z3−2|= suy raA, B, C thuộc đường trịn tâm I(2; 0) bán kính

R=

Từ giả thiếtz1+z2= suy I trung điểm AB nên AB= 2R=

T =|z2−z1|2+|z3−z2|2 =AC2+BC2=AB2 = 4R2=

Chọn đáp án C

Câu 11 Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn |z1|=|z2|= 2,|z1+z2|=

√

3 Tính|z1−z2|

A |z1−z2|=

√

3 B |z1−z2|= C |z1−z2|= D |z1−z2|= -Lời giải

GọiA,B điểm biểu diễn sác số phứcz1,z2 Khi

OA=|z1|= 2,OB=|z2|=

Dựng hình thoiOACB, đóClà điểm biểu diễn số phứcz1+z2

Do OC=|z1+z2|=

√

GọiI tâm hình thoiOACB, ta có OI = OC =

√ Từ đóIA=√OA2−OI2= Suy raAB= 2IA= 2.

Bởi vậy|z1−z2|=AB=

A O

I

B C

Chọn đáp án B

Câu 12 Cho số phức z1, z2 thỏa mãn ba điều kiện |z1−4−3i|= 5;|z2−4−3i|= và|z1−z2|=

GọiS tập hợp chứa tất số kiểu|z1+ 3z2| Có số nguyên tậpS?

A 40 B 38 C 39 D 37

-Lời giải

GọiA, B điểm biểu diễn số phứcz1;z2 K(4; 3)

Từ giả thiết ta cóAK =BK= AB=

GọiE điểm thỏa mãn EA# »+ 3EB# »= #»0 ⇒EB# »=

# » AB

Ta có|z1+ 3z2|=|OA# »+ 3OB|# » =|OE# »+EA# »+ 3OE# »+ 3EB|# » = 4OE

∆KAB cạnh bằng5 có M trung điểm AB E trung điểm MB

A

K

B E M Ta có

KE=√KM2−M E2 =

s Ç

5√3

å2 +

Å5

ã2 =

√ 13 Suy raE di động đường trịn tâmK(4; 3) bán kính r=

√ 13

4 Ta có

OK−r≤OE≤OK+r ⇔4(OK−r)≤4OE ≤4(OK+r)⇔20−5√13≤4OE ≤20 + 5√13 Trong đoạn [20−5√13;≤20 + 5√13] có 37số nguyên

Chọn đáp án D

Câu 13 Tính giá trị biểu thức P = C12018−C20183 +· · ·+ (−1)kC2k+1

2018 +· · ·+ C20172018

A P = 21009 B P = C P =

2018−1

2 D P =

22018+

-Lời giải

Ta có

(a+b)2018 =

2018

X

k=0

Ck2018a2018−kbk

Vớii2=−1, ta có

(200)

Lấy(1)trừ(2) theo vế ta

(1 +i)2018−(1−i)2018 = 2i C12018+ C32018i2+ C52018i4+ .+ C20172018i2016 Mà

(i2)2k= 1,(i2)2k+1=−1, với mọik∈N

Suy ra,

P = (1 +i)

2018−(1−i)2018

2i =

(2i)1009−(−2i)1009

2i = 2·(2i)

1008= 21009.

Chọn đáp án A

Câu 14 Tính tổng S= C12018−3C32018+ 32C52018− · · ·+ 31008C20172018

A 22017 B 22018 C 22017−1 D 22018−1

-Lời giải

Ta có Ä

1 +i√3ä2018 = C02018+i√3C12018+Äi√3ä2C22018+· · ·+Äi√3ä2018C20182018 ⇔ 22018

Ç +i

√

å2018

= C02018−3C22018+· · · −31009C20182018+i √

3 C12018−3C32018+· · ·+ 31008C20172018

⇔ 22018 Ç

−1 2+i

√

å

= C02018−3C22018+· · · −31009C20182018

+i√3 C12018−3C20183 +· · ·+ 31008C20172018

⇒ 22018 √

3

2 =

√

3 C12018−3C32018+ 32C52018− · · ·+ 31008C20172018

⇔ √3S =

√

3·22017 ⇔ S = 22017

Chọn đáp án A

Câu 15 Cho S = −C0

2018+ 3C22018−32C42018+· · · −31008C20162018+ 31019C20182018

Hỏi S có chữ số

A 607 B 608 C 609 D 610

-Lời giải

Đặtf(x) = (1 +x)2018, ta có

f(x) = C02018+ C12018x+ C20182 x2+· · ·+ C20182018x2018 Suy

fÄ√3iä= C02018+√3iC12018+ 3i2C22018+· · ·+ 31009i2018C20182018 = C02018+√3iC12018−3C22018+· · · −31009C20182018, fÄ−√3iä= C02018−√3iC12018+ 3i2C22018+· · ·+ 31009i2018C20182018

= C02018−√3iC12018−3C22018+· · · −31009C20182018

Suy raS = f

Ä√

3iä+fÄ−√3iä

2 Mặt khác, ta có fÄ

√

3iä=Ä1 + √

3iä2018 = 22018

cosπ

3 +isin π

2018

= 22018 Å

cos2018π

3 +isin 2018π

3 ã

= 22018 Ç

−1 2+i

√

å , fÄ−√3iä=Ä1−√3iä2018 = 22018

h cos −π

+isin

−π

i2018

= 22018 ï cos Å −2018π ã +isin

Å

−2018π

ãò

= 22018 Ç

−1 −i

√

Định dạng
Số trang	308
Dung lượng	2,85 MB