NOI DUNG LUAN VAN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - MAI MINH LONG TÍCH CHẬP TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO HÀ NỘI - 2016 Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Một số kí hiệu dùng luận văn 10 Một số kiến thức sở 12 1.1 Phép biến đổi Fourier .12 1.1.1 Định nghĩa 12 1.1.2 Các tính chất phép biến đổi Fourier .13 1.2 Phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine 17 1.2.1 Định nghĩa 17 1.2.2 Tính chất biến đổi Fourier cosine Fourier sine 18 1.3 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev .22 1.3.1 Định nghĩa 22 1.3.2 Phép biến đổi ngược Kontorovich-Lebedev .23 1.3.3 Tích chập Kontorovich-Lebedev 23 1.4 Một số ứng dụng 23 1.4.1 Phương trình vi phân .23 1.4.2 Phương trình đạo hàm riêng 25 Kết luận chương 29 Tích chập suy rộng Fourier 30 2.1 Tích chập suy rộng Fourier sine - Fourier cosine 30 2.2 Tích chập suy rộng Fourier - Fourier sine - Fourier cosine 38 2.3 Một số ứng dụng 45 Kết luận chương 53 Tích chập suy rộng Kontorovich - Lebedev .54 3.1 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev ngược 54 3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev giao hốn .68 3.3 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev khơng giao hốn 69 3.4 Ứng dụng 70 3.4.1 Hệ phương trình tích phân tổng qt dạng chập .70 3.4.2 Các ví dụ minh họa 74 Kết luận chương 82 Kết luận 83 Tài liệu tham khảo .84 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Bách Khoa Hà Nội hướng dẫn PGS.TS.Nguyễn Xn Thảo Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS.Nguyễn Xuân Thảo, người ln quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tơi q trình thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phịng Sau đại học, thầy giáo, giáo Seminar Giải tích, Đại học Bách Khoa Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Cuối tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên kịp thời để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 26 tháng 09 năm 2016 Học viên Mai Minh Long LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS.Nguyễn Xuân Thảo Tôi xin cam đoan luận văn không trùng với đề tài, luận văn công bố thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Mai Minh Long MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi tích phân vấn đề quan trọng giải tích tốn học phát triển liên tục khoảng hai trăm năm trở lại Phép biến đổi tích phân đóng vai trị quan trọng toán học nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác, đặc biệt việc giải toán với điều kiện ban đầu điều kiện biên phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, toán vật lý - toán Các phép biến đổi tích phân cơng cụ có hiệu lực để chuyển toán tử vi phân, toán tử đạo hàm riêng, tốn tử tích phân tốn tử đại số đồng thời đưa hệ phương trình vi phân, tích phân hệ phương trình đại số tuyến tính quen thuộc Những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi đời sớm phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine Cùng với phát triển lý thuyết phép biến đổi tích phân, hướng phát triển lý thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỷ 20 Các tích chập nghiên cứu là: Tích chập phép biến đổi tích phân Fourier F hai hàm f g xác định sau [3,5] ∞ (f ∗ g)(x) = √ F 2π f (x − y)g(y)dy, x ∈ R −∞ Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F (f ∗ g)(y) = (F f )(y).(F g)(y), ∀ y ∈ R, ∀ f, g ∈ L1 (R) F Tích chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fc hai hàm f g xác định sau [5] ∞ (f ∗ g)(x) = √ Fc 2π f (y)[g(|x − y|) + g(x + y)]dy, x > 0 Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fc (f ∗ g)(y) = (Fc f )(y).(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ) Fc Tiếp đến tích chập phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel Stieltjes Các tích chập nói có thuộc tính đặc trưng đẳng thức nhân tử hóa chúng có phép biến đổi tích phân tham gia Điều nhiều làm hạn chế đến cấu trúc việc ứng dụng chúng vào giải các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập tốn thực tế Năm 1951, I.N.Sneddon [11] xây dựng tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (t)[g(|x − t|) − g(x + t)]dt, x > 0 Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y).(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ) Năm 1958, lần tích chập với hàm trọng đời Đó tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân Mehler – Fox khám phá V.Y.Ya Sau đó, năm 1967, V.A.Kakichev xây dựng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng γ(y) phép biến đổi tích phân K bất kì, thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau K(f ∗ g)(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y) Nhờ phương pháp mà số tích chập với hàm trọng xây dựng nghiên cứu Đến đầu năm 90 kỷ trước, S.B.Yakubovich đưa số tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân với số, chẳng hạn tích chập phép biến đổi tích phân Mellin, tích chập phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev, biến đổi G, biến đổi H Vào năm 1998, V.A.Kakichev N.X.Thảo đưa phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân K1 , K2 , K3 với hàm trọng γ(y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ K1 (f ∗ g)(y) = γ(y)(K2 f )(y)(K3 g)(y) Từ ý tưởng báo năm trở lại N.X.Thảo N.M.Khoa xây dựng nghiên cứu hàng chục tích chập, tích chập suy rộng đa chập chùm ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine Chẳng hạn như: Tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine xác định +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (t)[sign(t − x)g(|t − x|) + g(t + x)]dt, x > (0.1) Khi f g hàm thuộc L1 (R+) tích chập (f ∗ g) thuộc vào L1 (R+) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau Fc (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y).(Fs g)(y), ∀y > (0.2) Tích chập suy rộng với hàm trọng γ1 (y) = sin y phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine xác định +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π γ1 f (t)[g(|x + t − 1|) + g(|x − t + 1|) + g(x + t + 1) − g(|x − t − 1|)]dt , ∀x > (0.3) γ1 Khi f g hàm thuộc L1 (R+ ) tích chập (f ∗ g) thuộc vào L1 (R+ ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau γ1 Fc (f ∗ g)(y) = sin y(Fs f )(y)(Fc g)(y), ∀y > (0.4) Xây dựng nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng thực có ý nghĩa lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập phương trình vi, tích phân Vì vậy, tơi chọn hướng nghiên cứu luận văn "Tích chập tích phân ứng dụng" Cụ thể luận văn nghiên cứu tích chập tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev ứng dụng chúng vào giải phương trình hệ phương trình tích phân dạng chập Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày nghiên cứu ba tích chập, tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev ứng dụng chúng để giải phương trình tích phân hệ phương trình tích phân dạng chập Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev ứng dụng vào giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phép biến đổi tích phân kết giải tích, giải tích hàm • Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng V.A.Kakichev, N.X.Thảo kỹ thuật báo N.X.Thảo, N.M.Khoa để tìm hiểu, nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng ứng dụng chúng Bố cục luận văn Ngoài phần Mở đầu phần Kết luận, luận văn gồm ba chương: • Chương Một số kiến thức sở Nhắc lại định nghĩa, tính chất phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev số ví dụ áp dụng phép biến đổi việc giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng • Chương Tích chập suy rộng Fourier Trình bày định nghĩa tính chất ba tích chập, tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine ứng dụng • Chương Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev Trình bày định nghĩa số tính chất tích chập suy rộng mà đẳng thức nhân tử hóa có biến đổi Kontorovich-Lebedev, ứng dụng tích chập Kết đạt Luận văn trình bày làm rõ vấn đề sau: • Các biến đổi tích phân Fourier, Kontorovich - Lebedev, Kontorovich - Lebedev ngược tính chất, ứng dụng • Các tích chập phép biến đổi Fourier, Kontorovich - Lebedev, đẳng thức ứng dụng • Các tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier, Kontorovich - Lebedev, Kontorovich - Lebedev ngược ứng dụng • Mở hướng nghiên cứu đa chập ứng dụng tích chập Kontorovich - Lebedev toán toán lý Luận văn báo cáo Seminar Giải tích, Đại học Bách Khoa Hà Nội 10 Ở f, g hàm cần tìm, với ϕ, ξ, h ⊂ U1 (X1 ); ψ, η ⊂ U2 (X2 ) k ∈ U3 (X3 ) hàm biết cho thỏa mãn đẳng thức:  K1   Θ1 (x, ϕ, ψ, y)g(y)dy  (u) = λ1 (K1 ϕ)(u)(K1 ξ)(u)+λ2 γ1 (u)(K2 ψ)(u)(K3 g)(u), X2  K3   Θ2 (z, ξ, η, x)g(y)dx (u) = λ3 (K1 f )(u)(K1 ξ)(u) + λ4 γ2 (u)(K2 η)(u)(K1 f )(u) X1 Trong đó: (K1 ξ)(y) = (K1 ξ1 )(y)(K3 ξ2 )(y); (K2 η)(y) = (K2 η1 )(y)(K2 η2 )(y); (K3 ψ)(y) = (K1 ψ1 )(y)(K3 ψ2 )(y)(K1 ψ3 )(y) U1 (X1 ), U2 (X2 ), U3 (X3 ) khơng gian tuyến tính Định lý 3.4.1: Giả sử − K3 δ = 0, K3 l = K3 δ − K3 δ γ2 γ1 δ = λ1 λ3 K3 (ϕ ∗ ξ) − λ1 λ4 K3 (ξ ∗ ϕ) − λ2 λ3 K3 (ξ1 ∗( ψ ∗ ξ2 )) 2 γ1 γ2 −λ2 λ4 K3 (ξ1 ∗(η1 ∗ ψ2 ) ∗ ( η1 ∗ ψ3 )) Khi đó, hệ (3.4.1, 3.4.2) có nghiệm: γ1 f = h − λ1 (ϕ ∗ k) − λ2 (ψ ∗ k) + (h ∗ l) − λ1 (ϕ ∗ k) ∗ l 1 γ1 −λ2 (ψ ∗ k) ∗ l ∈ U1 (X1 ), 71 1 γ2 g = k − λ3 (h ∗ ξ) − λ4 (η ∗ h) + (k ∗ l) − λ3 (h ∗ ξ) ∗ l 3 γ2 −λ4 (η ∗ h) ∗ l ∈ U3 (X3 ) Chứng minh: Hệ (3.4.1, 3.4.2) viết dạng: (K1 f ) + K3 g [λ1 (K1 ϕ) + λ2 γ1 (K2 ψ)] = K1 h K1 f [λ3 (K1 ξ) + λ4 γ2 (K2 η)] + K3 g = K3 k Ta có định thức λ1 (K1 ϕ) + λ2 γ1 (K2 ψ) λ3 (K1 ξ) + λ4 γ2 (K2 η) = = − λ1 λ3 (K1 ϕ)(K1 ξ) − λ1 λ4 γ2 (K1 ξ)(K2 ψ) − λ2 λ4 γ1 γ2 (K2 η)(K2 ψ) γ2 = − λ1 λ3 K3 (ϕ ∗ ξ) − λ1 λ4 K3 (ξ ∗ ϕ) − λ2 λ3 (K1 ξ)[γ1 (K2 ψ)(K3 ξ2 )] − λ2 λ4 (K1 ψ1 )[γ1 (K2 η1 )(K3 ψ2 )] [γ2 (K2 η2 )(K3 ψ3 )] γ2 γ1 = − λ1 λ3 K3 (ϕ ∗ ξ) − λ1 λ4 K3 (ξ ∗ ϕ) − λ2 λ3 K3 ξ1 ∗( ψ ∗ ξ2 ) − λ2 λ4 K 3 γ1 γ2 ψ1 ∗[(η1 ∗ ψ2 ) ∗ ( η2 ∗ ψ3 )] = − K3 δ, = K1 h λ1 (K1 ϕ) + λ2 γ1 (K2 ψ) K3 k = K1 h − λ1 (K1 ϕ)(K3 k) − λ2 γ1 (K2 ψ)(K3 k) γ1 = K1 h − λ1 K1 (ϕ ∗ k) − λ2 K1 (ψ ∗ k), 72 = K1 h λ3 (K1 ξ) + λ4 γ2 (K2 η) K3 k γ2 = K3 k − λ3 K3 (h ∗ ξ) − λ4 K3 (η ∗ h) Lại có K3 δ = + K3 l − K3 δ =1+ Do K1 f = 1 γ1 = K1 h − λ1 K1 (ϕ ∗ k) − λ2 K2 (ψ ∗ k) (1 + K3 l) γ1 = K1 h − λ1 K1 (ϕ ∗ k) − λ2 K2 (ψ ∗ k) + K1 (h ∗ l) 1 γ1 − λ2 K1 (ϕ ∗ k) ∗ l − λ2 K1 (ψ ∗ k) ∗ l 1 Vì γ1 f = h − λ1 (ϕ ∗ k) − λ2 (ψ ∗ k) + (h ∗ l) − λ1 (ϕ ∗ k) ∗ l 1 1 γ1 −λ2 (ψ ∗ k) ∗ l ∈ U1 (X1 ) Tương tự K3 g = γ2 = K3 k − λ3 K3 (h ∗ ξ) − λ4 K3 (η ∗ h) (1 + K3 l) γ2 = K3 h − λ3 K3 (h ∗ ξ) − λ4 K3 (η ∗ h) + K3 (k ∗ l) − λ3 K3 (h ∗ ξ) ∗ l 2 73 γ2 − λ4 K3 (η ∗ h) ∗ l Vì γ2 g = k − λ3 (h ∗ ξ) − λ4 (η ∗ h) + (k ∗ l) − λ3 (h ∗ ξ) ∗ l 3 γ2 −λ4 (η ∗ h) ∗ l ∈ U3 (X3 ) Định lý chứng minh Dưới chọn nhân θ1 , θ2 hàm cụ thể Từ xây dựng hệ phương trình tích phân dạng chập Để giải phương trình tơi dùng cơng cụ tích chập suy rộng 3.1.14 với số tích chập biết để giải, nghiệm nhận cho ta nghiệm biểu thức giải tích tường minh thuộc khơng gian L1 (R+ ) Cần phải nhấn mạnh hệ phương trình tích phân khó giải khơng dùng cơng cụ tích chập suy rộng với hàm trọng 3.1.14 3.4.2 Các ví dụ minh họa: Xét hệ phương trình tích phân: f (x) + λ1 +∞ θ1 (x, u)g(u)du +∞ λ2 θ2 (x, t)f (t)dt + g(x) = h(x), x > , (3.4.3) = k(x), x > θ1 (x, u) = 4π +∞ −u cosh(x−v) [e − e−u cosh(x+v) ]ϕ(v)dv u θ2 (x, t) = 2π +∞ ψ(u)[sign(|x − t| − u)ξ(||x − t| − u|) + ξ(|x − t| + u)− sign(x + t − u) ξ(|x + t − u|) − ξ(x + t + u)]du Trong ϕ, k, ψ, h, ξ hàm cho trước, ϕ ∈ L1 (R+ , √1x3 ), k, ψ, h, ξ ∈ L1 (R+ ), λ1 , λ2 số phức f, g hàm cần tìm Định lý sau cho ta công thức nghiệm (3.4.3) khẳng định tồn nghiệm không gian L1 (R+ ) 74 Định lý 3.4.1: (Xem [9]) Giả sử − λ1 λ2 Fc (ϕ ∗ ψ) ∗ ξ(y) = 0, ∀y > 0, (3.4.4) Thì hệ (3.4.3) có nghiệm thuộc không gian L1 (R+ ) xác định sau:   f (x) = h(x) − λ1 (ϕ ∗ k)(x) + (h ∗ q) − λ1 (ϕ ∗ k) ∗ q (x) 1  g(x) = k(x) − λ2 ψ ∗ (ξ ∗ h) (x) + (k ∗ q) − λ2 ψ∗ ξ∗h ∗ q (x) Ở đó, q ∈ L1 (R+ ) xác định λ1 λ2 Fc (ϕ ∗ ψ) ∗ ξ (y) (Fc q)(y) = , ∀y > 0, − λ1 λ2 Fc (ϕ ∗ ψ) ∗ ξ (y) tích chập (.∗.), (.∗.), (.∗.) đinh nghĩa (2.1.1), (2.1.17), (3.1.14) Chứng minh: Hệ (3.4.3) viết dạng hệ chập sau:   f (x) + λ1 (ϕ ∗ g)(x) = h(x)  λ2 f ∗ (ψ ∗ ξ) (x) + g(x) = k(x), x > Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.1.2), (2.1.18), (3.1.15) ta chuyển hệ dạng sau: (Fs f )(y) + λ1 (Kϕ)(y)(Fs g)(y) = (Fs h)(y) λ2 (Fs f )(y)(Fs ψ)(y)(Fs ξ)(y) + (Fs g)(y) = (Fs k)(y) Để tìm (Fs f )(y) (Fs g)(y) từ hệ (3.4.5) ta có định thức 75 (3.4.5) λ1 (Kϕ)(y) λ2 (Fs ψ)(y)(Fs ξ)(y) = = − λ1 λ2 Fs (ϕ ∗ ψ)(y)(Fs ξ)(y) = − λ1 λ2 Fc ((ϕ ∗ ψ) ∗ ξ)(y) = 0, ∀y > 0, λ1 λ2 Fc ((ϕ ∗ ψ) ∗ ξ)(y) = 1+ − λ1 λ2 Fc ((ϕ ∗ ψ) ∗ ξ)(y) Từ điều kiện (3.4.4) tồn hàm q(x) ∈ L1 (R+ ) cho λ1 λ2 Fc ((ϕ ∗ ψ) ∗ ξ)(y) − λ1 λ2 Fc ((ϕ ∗ ψ) ∗ ξ)(y) = (Fc q)(y) Do đó, = + (Fc q)(y) Ta có định thức = (Fs h)(y) λ1 (Kϕ)(y) (Fs k)(y) = (Fs h)(y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k)(y) Suy (Fs f )(y) = 1 = [1 + (Fc q)(y)][(Fs h)(y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k)(y)] = (Fs h)(y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k)(y) + (Fc q)(y)(Fs h)(y) − λ1 (Fc q)(y)Fs (ϕ ∗ k)(y) ∀y > = (Fs h)(y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k)(y) + Fs (h ∗ q)(y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k) ∗ q (y) ∀y > 76 Vì f (x) = h(x) − λ1 (ϕ ∗ k)(x) + (h ∗ q)(x) − λ1 (ϕ ∗ k) ∗ q (x) ∈ L1 (R+ ) 1 (3.4.6) Tương tự, xét định thức = (Fs h)(y) λ2 (Fs ψ)(y)(Fs ξ)(y) (Fs h)(y) = (Fs k)(y) − λ2 (Fs ψ)(y)Fc (ξ ∗ h)(y) Suy (Fs g)(y) = = [1 + (Fc q)(y)][(Fs k)(y) − λ2 (Fs ψ)(y)Fc (ξ ∗ h)(y)] = (Fs k)(y) − λ2 Fs ψ ∗ (ξ ∗ h) (y) + (Fc q)(y)(Fs k)(y) − λ2 (Fc q)(y)Fs ψ ∗ (ξ ∗ h) (y) = (Fs k)(y) − λ2 Fs ψ ∗ (ξ ∗ h) (y) + Fs (k ∗ q)(y) − λ2 Fs ψ ∗ (ξ ∗ h) ∗ q (y), y > Vì g(x) = k(x) − λ2 ψ ∗ (ξ ∗ h) (x) + (k ∗ q)(x) − λ2 ∈ L1 (R+ ) ψ ∗ (ξ ∗ h) ∗ q (x) (3.4.7) Từ công thức (3.4.6) (3.4.7) ta thấy nghiệm (f, g) nhận biểu thức giải tích biểu diễn thơng qua tích chập (3.1.14) số tích chập biết Mà tích chập thuộc L1 (R+ ) Định lý chứng minh Ví dụ (xem [9]) Xét hệ phương trình tích phân: 77 f (x) + λ1 +∞ θ1 (x, u)g(u)du +∞ λ3 θ3 (x, v)f (v)dv = k(x), x > (3.4.8) + g(x) = k(x), x > Ở θ1 (x, u) = 4π +∞ −u cosh(x−v) [e − e−u cosh(x+v) ]ϕ(v)dv u θ3 (x, v) = √ π 2π +∞ +∞ ψ(u){[sinh(x + t)e−u cosh(x+t) − sinh(x − t)e−u cosh(x−t) ] 0 [sign(v − t)ξ(|v − t|) + ξ(v + t)]}dudt, x > Trong ϕ, k, ψ, h, ξ hàm cho trước, ϕ ∈ L1 (R+ , √1x3 ), ψ ∈ L1 (R+ , x1 ), k, h, ξ ∈ L1 (R+ ), λ1 , λ2 số f, g hàm cần tìm Định lý: Với điều kiện γ1 − λ1 λ2 Fc ψ ∗ (ϕ ∗ ξ) (y) = 0, ∀y > (3.4.9) hệ (3.4.8) có nghiệm thuộc L1 (R+ ) xác định   f (x) = h(x) − λ1 (ϕ ∗ k)(x) = (h ∗ l)(x) − λ1 (ϕ ∗ k) ∗ l (x) γ1  g(x) = k(x) − λ2 ψ ∗ h ∗ ξ (x) + (k ∗ l)(x) − λ2 γ1 ψ ∗ (h ∗ ξ) ∗ l (x) với l ∈ L1 (R+ ) xác định γ1 λ1 λ2 Fc ψ ∗ (ϕ ∗ ξ) (y) = (Fc l)(y), γ1 − λ1 λ2 Fc ψ ∗ (ϕ ∗ ξ) (y) γ1 γ1 Trong tích chập (.*.), (.∗.),( ∗ ),( ∗ ),(.∗.) xác định (3.1.14), (2.1.1), (3.1.1), (3.1.2), (2.1.17) Chứng minh: Hệ (3.4.8) viết dạng: 78   f (x) + λ1 (ϕ ∗ g)(x) = h(x) γ1  λ2 ψ ∗ f ∗ ξ (x) + g(x) = k(x), x > Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (3.1.15), (2.1.2), (3.1.3), (3.1.4) (2.1.18), ta có: (Fs f )(y) + λ1 (Kϕ)(y)(Fs g)(y) = (Fs h)(y) λ2 γ1 (Kψ)(y)Fc (f ∗ ξ)(y) + (Fs g)(y) = (Fs k)(y), ∀y > Để tìm (Fs f )(y) (Fs g)(y), từ hệ (3.4.10) ta có định thức λ1 (Kϕ)(y) λ2 γ1 (Kψ)(y)(Fs ξ)(y) = = − λ1 λ2 γ1 (y)(Kψ)(y)Fs (ϕ ∗ ξ)(y) γ1 = − λ1 λ2 Fc ψ ∗ (ϕ ∗ ξ) (y) = 0, ∀y > Suy γ1 λ1 λ2 Fc ψ ∗ (ϕ ∗ ξ) (y) =1+ γ1 − − λ1 λ2 Fc ψ ∗ (ϕ ∗ ξ) (y) Với điều kiện (3.4.9) tồn hàm l(x) ∈ L1 (R+ ) cho γ1 λ1 λ2 Fc ψ ∗ (ϕ ∗ ξ) (y) = (Fc l)(y) γ1 − − λ1 λ2 Fc ψ ∗ (ϕ ∗ ξ) (y) Do = + (Fc l)(y) Xét định thức 79 (3.4.10) = (Fs h)(y) λ1 (Kϕ)(y) (Fs k)(y) = (Fs h)(y) − λ1 (Kϕ)(y)(Fs k)(y) = (Fs h)(y) − λ1 Fc (ϕ ∗ k)(y) Do (Fs h)(y) = 1 = [1 + (Fc l)(y)][(Fs h)(y) − λ1 Fc (ϕ ∗ k)(y)] = (Fs h)(y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k)(y) + (Fc l)(Fs h)(y) − λ1 (Fc l)(y)Fs (ϕ ∗ k)(y) = (Fs h)(y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k)(y) + Fs (h ∗ l)(y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k) ∗ l (y) 1 Suy f (x) = h(x) − λ(ϕ ∗ k)(x) + (h ∗ l)(x) − λ1 (ϕ ∗ k) ∗ l (x) ∈ L1 (R+ ) 1 Tương tự, xét định thức = (Fs h)(y) λ2 γ1 (Kψ)(y)(Fs ξ)(y) (Fs k)(y) = (Fs k)(y) − λ2 γ1 (Kψ)(y)(Fs ξ)(y)(Fs h)(y) = (Fs k)(y) − λ2 γ1 (Kψ)(y)Fc (h ∗ ξ)(y) γ1 = (Fs k)(y) − λ2 Fs ψ ∗ h ∗ ξ Do 80 (y) (3.4.11) (Fs g)(y) = γ1 = [1 + (Fc l)(y)][(Fs k)(y) − λ2 Fs ψ ∗ h ∗ ξ γ1 = (Fs k)(y) − λ2 Fs ψ ∗ h ∗ ξ γ1 − λ2 (Fc l)(y)Fs ψ ∗ h ∗ ξ γ1 (y) + Fs (h ∗ l)(y) γ1 ψ ∗ h∗ξ (y) = (Fs k)(y) − λ2 Fs ψ ∗ h ∗ ξ − λ2 Fs (y)] (y) + (Fc l)(Fs k)(y) 2 ∗ l (y), y > Suy γ1 g(x) = k(x) − λ2 ψ ∗ h ∗ ξ (x) + (k ∗ l)(x) − λ2 ∈ L1 (R+ ) γ1 ψ ∗ h∗ξ ∗ l (x) (3.4.12) Từ (3.4.11) (3.4.12) ta thấy nghiệm (f, g) nhận biểu thức giải tích biểu diễn thơng qua tích chập (3.1.14) số tích chập biết Mà tích chập thuộc L1 (R+ ), tập nghiệm nhận hoàn toàn thuộc L1 (R+ ) Định lý chứng minh 81 Kết luận Chương Chương ba trình bày về: • Tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev ngược, Fourier sine, Fourier cosine không gian hàm, đẳng thức nhân tử hóa tính chất tốn tử • Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev giao hốn, tích chập suy rộng Kontorovich-Lebdev khơng giao hốn • Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân Fredholm dạng chập Tài liệu tham khảo: [3], [10], [12] 82 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng ba phép biến đổi Fourier, Kontorovich-Lebedev tính chất tốn tử chúng khơng gian ứng dụng để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng hệ phương trình tích phân dạng chập Những kết luận văn đạt trình bày : • Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Fourier ngược, Kontorovich-Lebdev tính chất chúng • Các tích chập Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev phép biến đổi tích phân khơng gian hàm tính chất tốn tử chúng • Các tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân khơng gian hàm tính chất tốn tử • Ứng dụng giải phương trình hệ phương trình Fredholm dạng chập Luận văn mở hướng nghiên cứu là: • Xây dựng nghiên cứu đa chập phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev biến đổi tích phân khác • Nghiên cứu ứng dụng tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev toán toán lý Tuy nhiên thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện tốt 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO A.Tài liệu tiếng Việt [1] Đ.Đ.Áng (1997), Lý thuyết tích phân, NXB Giáo dục [2] Đ.Đ.Áng, T.L.Cường, H.B.Lân, N.V.Nhân (2001), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục B.Tài liệu tiếng Anh [3] N.I.Achiezer (1965), Lectures on Approximation Theory, Science Publising H ouse [4] H.Bateman and A.Erdelyi (1954), Tables of Integral Transforms, Mc Graw-Hill Publishing [5] L.Debnath and D.Bhatta (2007), Integral Transforms and Their Applications, Chapman & Hall/CRC [6] V.A.Kakichev (1967), On the Convolution for Integral Transforms, S er.Fiz.Mat [7] N.M.Khoa (2008), Generalized Convolutions of the Fourier, Fourier Cosine and Sine Integral Transforms and their Applications, PhD Dissertation, Hanoi University Of Science [8] N.X.Thao and N.T.Hai (1997), Convolution for Integral Transforms and their Application, Russian Academy Moscow Publishing [9] T.Tuan, N.X.Thao, N.V.Mau (2010), On the Generalized Convolution for the Fourier Sine and the Kontorovich-Lebedev transforms, Acta Mathematica Vietnamica [10 ] T.Tuan and N.X.Thao (2005), On the generalized convolution of the integral Kontorovich-Lebedev, Fourier sine and cosine transforms, Annales University Bucarest Publising [11] I.N.Sneddon (1951), Fourier Transforms, Mc Gray Hill Publishing [12] S.B.Yakubovich and L.E.Britvina, Convolution operators related to the Fourier cosine and Kontorovich-Lebedev transformations,Sajajevo Journal of Mathematics [13] S.B.Yakubovich (1996), Index Transforms, World Scientific Publishing 84 [14] S.B.Yakubovich (1987), On the Convolution for Kontorovich-Lebedev Integral Transform and its Application to Integral Transform, Belorussian State University, Minsk 85