BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ MÔN TOÁN

- Góc với đường tròn.. Bảng hệ thống kiến thức về góc với đường tròn.. b) Chøng minh tø gi¸c BDEC néi tiÕp... Gäi M lµ giao ®iÓm cña AH vµ DE.. Ôn tập lại hệ thống kiến thức chương III..[r]

(1)

(2)

ƠN TẬP HỌC KÌ II

Những nội dung bản:

(3)

   BAC

2 

sñ BnC sñ EmD

 sdBC dAD

2 s BEC  

 

A O B sñ A m B

 

BAx

2

AmB

sñ

 

BAC

2

sñ BnC

. O

B

A x

m

.O A

B m

. O D

B

A

C m

n E

.

O

E

A

D B

(4)

(5)

Bài 1. iền vào chỗ trèng:

a BiÕt sè ®o AmB = 800 thì:

AOB =

BAx = ACB =

ADB =

ABD =

AMB = AKB =

800 400

400 400

900

600 200

b Biết số đo AmB = 800 DBC = 200 thì: x

m O

M K

D C

(6)

2.1 Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối 1800.

2.2 Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 1800 tứ giác

nội tiếp đường tròn Tứ giác nội tiếp là tứ giác có đỉnh thuộc đường trịn.

c) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại

dưới góc α.

a) Tứ giác có tổng số đo hai góc đối 1800.

b) Tứ giác có đỉnh cách điểm.

(7)

0

100

0 80

A B

C D

M

N

P Q

o

M

E N

F

0

110

0

110

E

F

(8)

Bµi 2: Cho nửa đ ờng tròn đ ờng kính BC, điểm A thuộc nửa đ ờng tròn H hỡnh chiếu A BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ nửa đ ờng tròn tâm I tâm K có đ ờng kính theo thứ tự HB HC, chúng cắt AB vµ AC theo thø tù ë D vµ E Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ADHE hỡnh chữ nhËt. b) Tø gi¸c BDEC néi tiÕp.

(9)

a) C/m tứ giác ADHE hỡnh ch nhËt. Chøng minh:

Tõ (1), (2) vµ (3) suy tứ giác ADHE hỡnh ch nhật.

HDA = 900 (kÒ bï) (2)

HEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đ

ờng tròn đ ờng kính HC)

HEA = 900 (kÒ bï) (3)

BDH = 900 (gãc néi tiếp chắn nửa đ ờng

tròn ® êng kÝnh BH)

Cã: BAC = 900 (gãc nội tiếp chắn nửa đ ờng

tròn đ ờng kính BC) (1)

K I

D

E

H C

B

(10)

b) Chøng minh tø gi¸c BDEC néi tiếp.

Gọi M giao điểm AH DE Ta cã:

MA = ME = MH = MD (tÝnh chÊt hình chữ nhËt)

 AME c©n t¹i M

 A1 = E1 (tÝnh chÊt tam giác cân)

Mà: A1 = B1 (cùng phụ với A2)  E1 = B1

Vậy tø gi¸c BDEC néi tiÕp.

1

1 2 1

K I

D

E

H C

B

(11)

c) Chøng minh AE AC = AB AD

XÐt AED vµ ABC cã: E1 = B1 (c/m t)

BAC chung

 

 AED ABC (g.g)



AB AE AC

AD



 AD AB = AC AE

 

1

1 2 1

K I

D

E

H C

B

(12)

1 Ôn tập lại hệ thống kiến thức chương III. 2 Xem lại tập chữa.

(13)

BÀI TẬP

Bài 1: Cho (O) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M kẻ đường thẳng, đường thẳng

thứ cắt đường tròn (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt đường tròn (O) C D CMR: MA.MB = MC.MD

Đường tròn(O), M cố định ( )

M O

Qua M kẻ đường thẳng cắt (O) A, B

cắt (O) C, D MA.MB = MC.MD GT KL M D B O C A M D B O C A

* TH1: điểm M nằm bên đtròn (O) Xét , ta có:

 

M M

 

CAM BDM

( )

MAC MDB g g

MA MC

MA MB MC MD

MD MB         (đối đỉnh) (đối đỉnh)

(góc nt chắn cung BC)

 M  

1

D B

( )

MAD MCB g g

MA MD

MA MB MC MD

MC MB

  

    

* TH2: điểm M nằm bên ngồi đtrịn (O) - Xét tam giác MAD tam giác MCB, ta có:

(chung)

(góc nt chắn cung AC)

MAC

 MDB

MA MB MC MD



MA MC

MDMB

 MAC MDB     

M M CAM BDM MA MB MC MD  

MA MD MC MB



MAD MCB

   

M chungchung  

1

(14)

 ; ; : AC CD DB



AC CD DB

 

AEB BTC

Bài 2: Trên đtròn lấy liên tiếp ba cung: AC, CD, DB cho sđ = sđ = sđ = 600

Hai đường thẳng AC BD cắt E, hai tiếp tuyến đtròn B C cắt T CMR: a)

b) CD tia phân giác góc BCT?

T E O D C B A

Trên (O) vẽ

AC cắt BD E;

Hai tiếp tuyến B; C cắt (O) T GT

KL



AC CD DB

sđ = sđ = sđ = 600

 

)

a AEB BTC

b) CD tia phân giác củaBCT

 1    11800 600 600

2

AEB sd AB sdCD   

      

     

 0 0

1

180 60 60 60 60

BTC sd BAC sd BDC

sd AB sd AC sdCD sd DB

 

 

   

 

    

AEB BTC

a) Ta có:

Do đó:

( Tính chất góc có đỉnh ngồi đường trịn)

b) Ta có:

 

1

30 (1)

C  sdCD

(góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)

CD tia phân giác củaBCT

 

2

1

30 (2)

C  sd DB

 

(1);(2) C C (góc nội tiếp)

(góc nội tiếp)

Do đó:

  

1

C C Tia CD nằm

tia CT CB

 

1 30

C  C 2 300

(15)

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đtròn (O), tia phân giác góc A cắt BC D cắt đtrịn M a) CMR: OM vng góc với BC

b) Phân giác góc đỉnh A tam giác ABC cắt (O) N CMR: Ba điểm M, O, N thẳng hàng

c) Gọi K giao điểm NA BC, I trung điểm KD CMR: IA tiếp tuyến đtròn (O) nội tiếp (O)

c) NA cắt BC K, I trung điểm KD

b) M, O, N thẳng hàng c) IA tiếp tuyến (O) GT KL x H K I M N O D C B A ABC 

Phân giác góc A cắt BC D, cắt đường tròn M

)

a OM BC

b)Phân giác góc ngồi A cắt (O) NABC

 

A A

( ) ( ( ))

BM CM cmt

OB OC bk O       OM BC  

a) Ta có:

Do

OM trung trực BC

 

sd BM sdCM

   

BM CM

 

( AD phân giác góc A ) ( Hệ góc nội tiếp)

BM CM

 

( Quan hệ cung sđ cung) ( Quan hệ cung dây cung)

  

MAN MAC CAN

 MAN



90

MAN 

b) Ta có:

Và

Mà góc nội tiếp

Suy MN đường kính Vậy M, O, N thẳng hàng

  1  

2

MAC CAN  BAC CAx

Lại có:

 

  0

1

.180 90

2 BAC CAx 2 

Vì: AM phân giác AN phân giác

 BAC  CAx

( Hai góc kề bù )

Do

 900  900

MAN   DAK   DAK

      2 (1) IAD D IAD D D D        

  (2)

OAM OMA

 

      

2 (3)

IAD OAM D OMA IAO D OMA

        

2 90 (4)

D OMA

  

 900 IAO

  

c) Do

vuông A mà IK = ID => IK = IA = ID => tam giác IAD cân I

Mặt khác: tam giác OAM cân O

Từ (1) (2)

Do tam giác MHD vuông H (theo a)

Từ (3) (4)

IA tiếp tuyến đường tròn (O)

(16)

Bài 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn (C thuộc cung AD) AD cắt BC H, AC cắt BD E Chứng minh rằng:

a) EH vng góc với AB

b) Vẽ tiếp tuyến với đường tròn D, cắt EH I Chứng minh rằng: I trung điểm EH

O 2 1 I H K D E C B A )

a EH  AB

b) I trung điểm EH GT

KL

Nửa (O), đường kính AB

C, D thuộc nửa (O), ( C thuộc cung AD) AD cắt BC H, AC cắt BD E

b) Tiếp tuyến với nửa(O) D cắt EH I

 900

ACB

AC BC

   900

ADB

AD BD

 

a) Ta có:

(góc nt chắn nửa đtrịn)

à

AE BC

BE AD

m AD BC H

         EH AB  

Xét , ta có:

H trực tâm tam giác EAB

EAB 

EH AB

 

H trực tâm tam giác EAB

H trực tâm tam giác EAB AE BC BE AD AD BC H 

 

AC BC BDAD

(Tính chất đường cao tam giác)

 

H B F1

 

D B

  2

H D IHD

   

b) Ta có:

(cùng phụ

(cùng phụ ); );

(cùng chắn

cân I => IH = ID (1)

 ) AD Mặt khác: Mặt khác:       1 2 90 90 E B D D

m B D            

cân I => ID = IE (2)

  1 E D IED    

Từ (1) (2) => IH = IE

=> I trung điểm EH

I trung điểm EH



IH = IE



IH = ID ID = IE

 

cân

IHD

 IHE cân

 

  2

(17)

Bài 5: Cho (O), từ điểm M nằm ngồi đtrịn (O) vẽ tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MAB không qua tâm O, A nằm M B Tia phân giác góc ACB cắt AB E

a) CMR: MC = ME

b) DE phân giác góc ADB

c) Gọi I trung điểm AB CMR điểm O, I, C, M, D nằm đtròn d) CMR: IM phân giác góc CID

a) MC = ME GT

KL

M nằm (O

MC, MD tiếp tuyến (O), ( C, D tiếp điểm) Cát tuyến MAB không qua tâm O

A nằm M B

Tia phân giác cắt AB EACB

b) DE phân giác ADB

1 M O E D C B A  

BCEACE

 

CBA MCA

    BCE CBA ACE MCA    

  

BCE CBA CEM 

  MCE CEM  

a) + Ta có:

a) + Ta có: (gt)

(gt)

(cùng chắn cung AC)

+ Mặt khác:

(tính chất góc ngồi tam giác)(2)

cân M

   (1)

hay BCE CBA MCE 

+ Từ (1) (2)

=> MC = ME

=> MC = ME MC = ME

 cân MCE



 

MCE CEM

 

  

MCE BCE CBA 

  

CEM BCE CBA  MCE

DE phân giác của góc ADB



 

ADE BDE Tia DE nằm gữa

tia DB DA

   

MDA ADE B  BDE



 

MDA B



  

MDE MDA ADE  MED MDE  MED B1BDE



  

Tia DA nằm tia DM DE

cân MED

 Góc ngồi

tam giác BED



MD = ME



(18)



CID a) MC = ME

GT

KL

M nằm (O

MC, MD tiếp tuyến (O), ( C, D tiếp điểm) Cát tuyến MAB không qua tâm O

A nằm M B

Tia phân giác cắt AB EACB

b) DE phân giác ADB

c) I trung điểm AB

c) O, I, C, M, D nằm đtrịn d) IM phân giác góc CID

  90 0

OCM ODM

  

IO AB

 

c) + Do MC, MD tiếp tuyến (O)

 Tứ giác OCMD nội tiếp đường trịn

đường kính OM (Dấu hiệu)

 Tứ giác OCMD nội tiếp đường tròn

đường kính OM (Dấu hiệu)

+ (*) (**)

=> điểm 0, I, C, M, D nằm đtròn

+ (*) (**)

=> điểm 0, I, C, M, D nằm đtrịn

+ Lại có: I trung điểm AB (gt )

 4 điểm O, C, D, M thuộc đtròn

đường kính OM (*)

 4 điểm O, C, D, M thuộc đtròn

đường kính OM (*)

(định lý đường kính dây cung) => IO vng góc với IM

=> tam giác IOM vuông I

=> điểm I, O, M thuộc đtrịn có đường kính OM (**)

1 M O I E D C B A

d) + Xét đtròn qua điểm: O, I, C, M, D

có đường kính OM, ta có:

d) + Xét đtrịn qua điểm: O, I, C, M, D

có đường kính OM, ta có:

       

 

1

d CM óc

1

d DM óc

à d CM d DM

CIM s g nt

DIM s g nt

m CM DM s s

             

=> IM phân giác

 

CIM DIM

 

O, I, C, M, D

cùng nằm đtròn



O, C, M, D nằm đtròn

O, I, M nằm đtròn

 

Tứ giác OCMD nội tiếp đường trịn đường kính OM

Tam giác IOM nội tiếp đường trịn đường kính OM

 

  90 0

OCM ODM 

  180 0

OCM ODM 

  0

90 +90 180

OCM ODM

   



tam giác IOM vuông I



(19)

Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đtròn (O), đường cao AH cắt đtrịn D Kẻ đường kính AE CMR:

a) BC song song với DE

b) Tứ giác BCED hình thang cân

H

O

E D

C B

A

a) + Ta có: BC vng góc với AD (gt) (1)



90

ADE  (góc nt chắn nửa đtrịn) => DE vng góc với AD (2) (góc nt chắn nửa đtrịn) => DE vng góc với AD (2)

Từ (1) (2) suy BC // DE (cùng vng góc với AD) + Mà

2 đường chéo

(Chú ý: Hình thang có cạnh bên chưa hình thang cân (VD: Hình bình

hành hình thang có cạnh bên khơng hình thang cân))

Hình thang + Hình thang cân

Hình thang +

   

2 góc đáy

 

d D d

s B s CE

 

     

d D dDE d dDE

s B s s CE s sd BE sdCD BE CD

       

b) Do BC // DE suy tứ giác BCED hình thang (1) + Lại có: BC // DE

b) Do BC // DE suy tứ giác BCED hình thang (1)

+ Lại có: BC // DE (2 cung bị chắn hai dây song song nhau) (2 cung bị chắn hai dây song song nhau) (liên hệ cung dây) (2)

(liên hệ cung dây) (2)

Từ (1) (2) suy tứ giác BCED Hình thang cân ( Dấu hiệu)

(20)

BÀI VỀ NHÀ

Bài 1: Cho đtrịn (O) đường kính AB, M điểm đtròn; C điểm nằm A B qua M kẻ đthẳng vng góc với CM, đthẳng cắt tiếp tuyến (O) kẻ từ A B E F CMR: a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt

b) Tam giác ECF vuông C

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nt đtrịn (O), có đường cao BB’ CC

a) CMR: tứ giác BCB’C’ nt

b) Tia AO cắt đtròn (O) D cắt B’C’ I CMR: tứ giác BDIC’ nt

c) Chứng minh OA vng góc với B’C’

Bài 3: Cho hình vng ABCD Gọi M, N điểm cạnh BC CD cho

Bài 3: Cho hình vng ABCD Gọi M, N điểm cạnh BC CD cho MAN 450

.AM AN cắt đường chéo BD P Q Gọi H giao điểm MQ NP CMR: a) Tứ giác ABMQ nt

b) Tam giác AQM vuông cân c) AH vuông góc với MN

.AM AN cắt đường chéo BD P Q Gọi H giao điểm MQ NP CMR: a) Tứ giác ABMQ nt

b) Tam giác AQM vuông cân c) AH vng góc với MN

Bài 4: Từ điểm M (O), vẽ tiếp tuyến MA, MB với đtròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD vng góc với AB, CE vng góc với MA, CF vng góc với MB Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF CMR:

a) Tứ giác AECD nt; tứ giác BFCD nt

b) CD2 = CE.CF

c) Tứ giác ICKD nội tiếp d) IK vng góc với CD

Bài 5: Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh AD Vẽ đtrịn (O) đường kính MB, cắt AC E (khác A) Gọi giao điểm ME DC CMR:

a) Tam giác BEM vuông cân b) EM = ED

(21)