Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB; AC.. Gọi I là giao điểm của BE và CD[r]
(1)TRƯỜNG THCS THUẬN LỘC
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP Năm học 2018 - 2019
Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) I Phần trác nghiệm
Bài 1 Rút gọn A= 2+√3
√2+√2+√3 +
2−√3
√2−√2−√3
Bài 2: Cho số thực dương a,b thỏa mãn: a1000 + b1000 = a1001+ b1001 = a1002 + b1002 Tính giá trị biểu thức: P = a2018b2019
Bài Tìm giá trị lớn ,giá trị nhỏ biểu thức
2
1
x x B
x x
Bài 4 Cho ∆ABC có B 1200, BC = 12 cm, AB = cm Đường phân giác góc B cắt cạnh AC tại D Tính độ dài đường phân giác BD?
Bài Với giá trị góc nhọn biểu thức Psin6cos6 có giá trị bé ? Cho biết giá trị bé
Bài 6 Cho ABC điểm M nằm ABC cho AM2 = BM2 + CM2 Tính số đo góc BMC ?
Bài 7 Tìm dư phép chia đa thức f x( ) ( x2 x 1)2018(x2 x1)2018 chia hết cho đa thức
( )
g x x x Bài Tìm x, y biết:
2x 3y 2x 3y
5 6x
Bài Cho dãy số
1 1 1
; ; ; ; ;
3 13 21 31 Tìm số hạng thứ 10 dãy
Bài 10 Tìmtập nghiệm phương trình: 33x x II Phần tự luận
Bài 11. a Giải phương trình: 2x 3 5 2 x 3x2 12x14 b Giải hệ phương trình:
¿
x3− y3=3(x − y)
x+y=−1 ¿{
¿
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu vng góc H lên AB; AC Gọi I giao điểm BE CD
a So sánh SADIE SBIC ; b Chứng minh
3
BD AB CE AC ;
c Giả sử Ĉ = 300 Tính tỷ số BH CH .
(2)b) Cho x y z, , thỏa mãn
1 1 : 1 1
x y z x y z
Tính giá trị biểu thức
29 29 9 2018 2018
B x y y z z x
Hướng dẫn chấm
Phần I Trắc nghiêm 10 điểm ( Mỗi câu điểm)
Bài Kết đúng Điểm
Bài 2 điểm
Bài 2 điểm
Bài GTNN 1/3, GTLN điểm
Bài 4 điểm
Bài 45
MinP điểm
Bài 1500 1 điểm
Bài điểm
Bài
x = 2; y =
1 x ; y
2
1 điểm
Bài
183
1 điểm
Bài 10 S 2;1 điểm
Phần II Tự luận (10 điểm) Bài 11 (4 điểm)
a. ĐK: 1,5 x 2,5
+ Sử dụng bất đẳng thức cô si Bu nhi a đánh giá VT 2 + Đánh giá VP 2
Do đó: PT
2
2
2
VT x x
x VP x
b Hệ phương trình: ¿
x3− y3=3(x − y)
x+y=−1 ¿{
¿
⇔
(x − y)(x2+xy+y2−3)=0
x+y=−1 ¿{
Hệ tương đương với tuyển hai hệ phương trình sau: ¿
x − y=0
x+y=−1 ¿{
¿
(I)
⇔
x2
+xy+y2−3=0
x+y=−1 ¿{
(II)
* Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = ( −1 2;−
1
2 )
* Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầu hệ (II) ta x2 +x -2 = 0 Phương trình có hai nghiệm: x = -1 x = -
Từ ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1) Kết luận: Hệ cho có nghiêm (x;y) l à: ( −1
2;−
2 ); (1; - 2); (2; -1)
(3)a Do HD//AC SADC = SAHC
Do HE // AB SAHC = SBEC ( = SABC - SAHB = SABC - SABE ) Suy ra: SADC = SBEC SADC - SEIC = SBEC - SEIC ( Đpcm)
b
2
2
( )
AHB CHA
S
BD HB HB AH AB
HE HC HC AH S AC (1)
Do HE // AB
HE AB
CE AC ( Hệ định lý Ta - lét) (2)
Từ (1) (2)
3
BD AB CE AC c Với Ĉ = 300 AB = ½ BC
Với Ĉ = 300 BAH = 300 BH = ẵ AB Suy ra: BH = ẳ BC Vậy BH/CH = 1/3
Bài 13 (2 điểm)
a) Với n = ta có A(0) = 19 19
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 = 7.52k.52 + 12.6n
= 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n 6 = 6.A(k) + 7.52k 19 19
Vậy theo nguyên lý quy nạp A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n
b Ta có:
1
1 1 : 1 1 1 1
x y z
x y z x y z x y z
(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz
(xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0
x(yz + zx+ y2+ yx)+ z(y2 + yz+ xz+ xy) = 0
(yz + zx+ y2+ yx)( x+ z) = 0 (x y y z x z )( )( ) 0
x y y z z x
(4)