Së gd-®t qu¶ng b×nh kú thi chän häc sinh giái líp 12 n¨m häc : 2009 - 2010 M«n : to¸n (vßng 1) ®¸p ¸n, híng dÉn chÊm (Đáp án, hướng dẫn này có 2 trang) yªu cÇu chung * §¸p ¸n chØ tr×nh bµy mét lêi gi¶i cho mçi bµi. Trong bµi lµm cđa häc sinh yªu cÇu ph¶i lËp ln l« gic chỈt chÏ, ®Çy ®đ, chi tiÕt vµ râ rµng. * Trong mçi bµi, nÕu häc sinh gi¶i sai ë bíc gi¶i tríc th× cho ®iĨm 0 ®èi víi nh÷ng bíc gi¶i sau cã liªn quan. * §iĨm thµnh phÇn cđa mçi bµi nãi chung ph©n chia ®Õn 0,25 ®iĨm. §èi víi ®iĨm thµnh phÇn lµ 0,5 ®iĨm th× t tỉ gi¸m kh¶o thèng nhÊt ®Ĩ chiÕt thµnh tõng 0,25 ®iĨm. * Häc sinh cã lêi gi¶i kh¸c ®¸p ¸n (nÕu ®óng) vÉn cho ®iĨm tèi ®a t theo møc ®iĨm cđa tõng bµi. * §iĨm cđa toµn bµi lµ tỉng (kh«ng lµm trßn sè) cđa ®iĨm tÊt c¶ c¸c bµi. Bµi Néi dung §iĨm 1 Xét hàm số : = + − −( ) 2008 2010 4016 2 x x f x x Ta có: = + −'( ) 2008 ln2008 2010 ln2010 4016 x x f x = + > ∀ ∈ 2 2 ''( ) 2008 ln 2008 2010 ln 2010 0 x x f x x R ⇒ ⇒ f '(x)=0 có nhiều nhất là một nghiệm f(x)=0 có nhiều nhất là hai nghiệm Mà ta thấy f(1) = f(0) = 0 Nên pt đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 1 (3,0) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 Ta có : 1 1 (1 ) (1 ) 4 n n n n x x x x + − ≥ ≥ − 1 (1 ) (1 ) n n n n x x x x + ⇒ − ≥ − 1 ( n n x x + ⇒ ≥ vì 0 1) n x< < { } n x⇒ là dãy tăng và bị chặn nên hội tụ Đặt lim n a x= Ta có: 1 (1 ) 4 a a− ≥ (vì 1 1 (1 ) , 4 n n x x n N + − ≥ ∀ ∈ ) 2 1 1 0 4 2 a a a⇒ − + ≤ ⇒ = Vậy: 1 limx 2 n = (2,0) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 3 Đặt: 1 1 1 1 , 1 , 1a b c x y z = + = + = + 1 1 1 9 3 3 12a b c x y z x y z ⇒ + + = + + + ≥ + = + + (3,0) 0,5 0,5 1 N M D A B C E F Ta có: 4 4 4 4 4 12 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3.4 4a a a a a+ + + ≥ = ⇔ + ≥ (1) Tương tự ta có : 4 4 4 3.4 4b b+ ≥ (2), 4 4 4 3.4 4c c+ ≥ (3) Cộng (1), (2), (3) ta có : 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9.4 4 ( ) 12.4 3.4 768a b c a b c a b c+ + + ≥ + + ≥ ⇒ + + ≥ = Đẳng thức xảy ra 1 4 3 a b c x y z⇔ = = = ⇔ = = = 0,5 0,5 0,5 0,5 4 Trong mặt phẳng (ABC), ta chọn hệ toạ độ trực chuẩn sao cho A(0,0), D(x D ; 1), E(x E ; 1), F(x F ; 1). (gốc toạ độ tại A và đặt trục hoành sao cho đường thẳng qua D, E, F vuông góc với nó) thì , x D , x E , x F khác 0 và x E , x F khác x D (vì E, F khác D) Vì hệ số góc của đường thẳng AE là 1 E x nên hệ số góc của BE là – x E và BE có phương trình là ( ) 1 E E y x x x= − − + Tương tự BC có phương trình ( ) 1 D D y x x x= − − + . Giải hệ hai phương trình trên ta được tọa độ điểm B là (x D + x E ;1 - x D x E ). Hoàn toàn tương tự ta được toạ độ của điểm C là (x D + x F ;1 - x D x F ). Từ đó, ta có M ,1 2 2 E F D E D F D x x x x x x x + + + − ÷ và N ,1 2 E F x x+ ÷ . Vì vậy hệ số góc của AN là 2 E F x x+ và của MN là 2 E F x x+ − . Vậy AN MN⊥ (2,0) 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 . F(x F ; 1). (gốc toạ độ tại A và đặt trục hoành sao cho đường thẳng qua D, E, F vuông góc với nó) thì , x D , x E , x F khác 0 và x E , x F khác x D (vì E,. D F D x x x x x x x + + + − ÷ và N ,1 2 E F x x+ ÷ . Vì vậy hệ số góc của AN là 2 E F x x+ và của MN là 2 E F x x+ − . Vậy AN MN⊥ (2,0)