Tính diện tích thiết diện đó theo a.[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN HỌC KÌ I NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn thi: Tốn – Lớp 11; Thời gian: 150 phút
Câu (1,5 điểm). Giải phương trình
4
sin xcos xcosxsinx cosx1
Câu (1,5 điểm). Cho x y z, , số thỏa mãn sinxsinysinz 1 Tìm giá trị lớn biểu thức
3 3
sin sin sin
P x y z
Câu (1,5 điểm). Cho tập E 1; 2; Có số tự nhiên có chữ số đơi khác cho số có ba chữ số tập E, đồng thời khơng có hai chữ số E đứng cạnh nhau?
Câu (1,5 điểm). Cho dãy số xn n1 xác định
1 2, n n n 4, x x x x n
Chứng minh xn với n 1
Câu (2,0 điểm). Cho hình chóp S ABC Gọi E trung điểm BC, H trung điểm AE, O trung điểm SH Lấy hai điểm A B', ' nằm hai cạnh SA SB cho OA B' ' cắt đoạn thẳng SC C'
a) Nêu cách xác định điểm C '
b) Tính giá trị biểu thức ' ' '
SA SB SC
P
SA SB SC
Câu (2,0 điểm). Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất mặt hình vng cạnh a Gọi E F, trung điểm B C' ' A B' Dựng thiết diện tạo
D EF'
với hình hộp cho Tính diện tích thiết diện theo a - HẾT
-Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh: ; Số báo danh:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
(2)Câu Đáp án Điểm Câu
1 (1,5đ
)
Giải phương trình
4
sin xcos xcosx sinx cosx1 Phân tích phương trình cho dạng
sinx cosxsin3x cos3x 1 0.
1,0
Từ giải nghiệm phương trình
, , ,
4
x k x k x k k 0,5
Câu 2 (1,5đ
)
Cho x y z, , số thỏa mãn sinxsinysinz 1 Tìm giá trị lớn biểu thức
3 3
sin sin sin
P x y z
Đặt xa y, b z, c Ta có
sinasinbsinc1; P sin3a sin3b sin3c
. 0,5
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 3
3
4 u v u v
với u v, thỏa mãn u v 0 (1).
Thật (1) tương đương với
0 u v u v
0,5
Chú ý rằng, từ đẳng thức sinasinbsinc1 suy có 1 trong số sin , sin , sina b c dương, giả sử sinc 0. Rõ ràng ta có
sinasinb0. Khi áp dụng (1) ta được
3
1 sin sin sin
27 27
P a b c
3
1 1
sin sin sin
4 a b c
3
1 sin sin sin
16 a b c 27
Từ suy
1. P
Dấu đẳng thức xảy
1
sin sin sinz
3
x y
0,5
Câu 3 (1,5đ
)
Cho tập E 1; 2; Có số tự nhiên có chữ số đôi khác cho số có ba chữ số tập E, đồng thời khơng có hai chữ số E đứng cạnh nhau?
Giả sử số có chữ số thỏa mãn ycbt a a a a a a a1 Suy chữ số tập E phải chữ số liệt kê đây:
(3)1 a a a1, , ;3 a a a1, , ;3 a a a1, , ;3 a a a1, , ;4 a a a1, , ;4 a a a1, , ;5 7 a a a2, , ;4 a a a2, , ;4 a a a2, , ;5 10 a a a3, ,
Số số thỏa mãn ycbt trường hợp từ TH đến TH 3!.A74 5040
Số số thỏa mãn ycbt trường hợp từ TH đến TH 10
bằng
4
3! A A 4320
0,5
Từ ta có kết tốn 5040 4320 47520 0,5
Câu 4 (1,5đ
)
Cho dãy số xn n1 xác định
2
1 2, n n n 4, x x x x n
Chứng minh xn với n 1
Ta có x2 8
2 2
1 4
n n n n n n n
x x x x x x x 0,5
Suy xn2, xn nghiệm phương trình bậc hai
2
1
4 n n
X x X x
0,5
Theo định lý Viet ta có xn2 xn 4xn1, hay xn2 4xn xn,n 1 Từ suy xn với n 1
0,5
Câu 5 (2,0đ
)
Cho hình chóp S ABC Gọi E trung điểm BC, H trung điểm AE, O trung điểm SH Lấy hai điểm A B', ' nằm hai cạnh SA SB cho OA B' ' cắt đoạn thẳng SC C '
a) Nêu cách xác định điểm C '
b) Tính giá trị biểu thức ' ' '
SA SB SC
P
SA SB SC
(4)a) Trong SAE, gọi I A O' SE
Trong SBC, gọi C'B I' SC
Khi C 'OA B' ' SC
1,0
b) Ta chứng minh
2
' '
SB SC SE
SB SC SI Thật vậy, ta có
0,5
' ' ' '
'. ' ' '
2 2
SB C SB I SC I
SBC SBE SCE
S S S
SB SC SB SI SC SI
SB SC S S S SB SE SC SE
' ' . ' '
SB SC SI SB SC SB SC
SB SC SE SB SC
' '
2
' ' ' '
SE SB SC SB SC SB SC
SI SB SC SB SC
Chứng minh tương tự ta có
2 '
SA SE SH
SA SI SO Từ suy
2
' ' ' '
SA SB SC SA SE SH
P
SA SB SC SA SI SO
0,5
Câu 6 (2,0đ
)
Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất mặt hình vng cạnh a Gọi ,
E F
(5)Gọi I D E' A B' ', đường thẳng IF cắt BB AA', ' M
N Khi thiết diện tạo D EF' với hình hộp cho tứ giác '
MED N
1,0
Vì D EF' cắt hai mặt phẳng song song BCC B' ' , ADD A' ' theo hai giao tuyến ME ND' nên ME / /ND'
Ta có M trọng tâm tam giác BIA' nên
2. ' BM
BB Suy
1. ' AN AA Sử dụng định lý Pitago ta tính
13, ' 13, ' 5, 10.
6 3
a a a a
ME ND ED MN
0,5
Kẻ MM EE', ' vng góc với ND' theo thứ tự M ' E ' Đặt ' ,
NM x E D' 'y, MM 'EE 'h. Ta có hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
10
5 13
9
5 36 78
4 13 13
13 6 6
6
2 13 182
39 13
a
x h
a a
x y x y
a
y h
a a
x y x y
a x y
a a
x h
Từ suy
2
'
1. 13 13 . 182 14.
2 13
MED N
a a a a
S