Định lí điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian g metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - ĐINH NHƯ QUỲNH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2019 Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - ĐINH NHƯ QUỲNH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2019 Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Đinh Như Quỳnh Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS.Phạm Hiến Bằng Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2019 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn MỤC LỤC TRANG BÌA PHỤ i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC iv MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHƠNG GIAN G - METRIC 1.1 Khơng gian G - Metric 1.2 Một số tính chất sở không gian G - metric 1.3 Sự hội tụ ánh xạ liên tục không gian G - metric Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN 10 TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC 2.1 Điểm bất động ánh xạ giãn không gian G-metric 10 2.2 Điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian G-metric KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN 19 34 35 http://lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Nguyên lí điểm bất động (hay nguyên lí ánh xạ co) Banach chứng minh vào năm 1922 Từ có nhiều tác giả mở rộng kết cho nhiều loại ánh xạ khác không gian khác Hướng thứ mở rộng khái niệm không gian metric Đầu tiên phải kể đến khái niệm không gian b - metric đưa Bakhtin [2] Tác giả chứng minh Định lí điểm bất động ánh xạ co không gian b - metric, tổng qt hóa ngun lí co Banach không gian metric Tiếp đến khái niệm không gian 2-metric đưa Gahler [4] khái niệm không gian D-metric đưa Dhage [3] Năm 2004, Mustafa Sims [7] đưa khái niệm không gian G-metric Gần đây, Một số tác Mustafa, Chugh, Shatanawi, Mohanta, quan tâm nghiên cứu đạt số kết điểm bất động ánh xạ co không gian G-metric đầy đủ Hướng thứ hai phải kể đến nghiên cứu điểm bất động khơng gian nói ánh xạ giãn Theo hướng này, số tác giả đạt kết đẹp đẽ Maheshwari, Mustafa, Awawdeh, Shatanawi, Sahu, Sanodia, Gupta, Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: “Định lí điểm bất động ánh xạ giãn khơng gian G- metric“ Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Nội dung đề tài viết chủ yếu dựa tài liệu [1], [9] [10], gồm 35trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian G - metric Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Chương 2: Là nội dung đề tài, trình bày số kết điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian G metric Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHƠNG GIAN G - METRIC 1.1 Khơng gian G - Metric Định nghĩa 1.1.1 Một không gian G - metric cặp (E ,G ) , E tập khác rỗng G : E E E đ [0, Ơ ) l mt hàm cho với u, v, w, a Ỵ E , điều kiện sau thỏa mãn: (G1) G (u, v, w) = u = v = w ; (G2 ) G (u, u, v ) > với u, v Ỵ E , với u ¹ v ; (G ) G (u, u, v ) £ G (u, v, w) với u, v, w ẻ E , vi w v ; (G ) G (u, v, w) = G (u, w, v ) = G (v, w, u ) = (đối xứng với biến); (G ) G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) (bất đẳng thức hình chữ nhật) Hàm G gọi G - metric E Các tính chất giải thích theo nghĩa khơng gian metric Cho (E , r ) không gian metric G : E ´ E ´ E ® [0, ¥ ) hàm số xác định G (u, v, w) = r (u, v ) + r (u, w) + r (v, w) với u, u, w Ỵ E Khi (E ,G ) không gian G - metric Trong trường hợp này, G (u, v, w) hiểu chu vi tam giác với đỉnh u, v w Điều kiện (G ) có nghĩa với điểm ta khơng thể có chu vi dương, điều kiện (G ) tương đương với khoảng cách hai điểm khác Hơn nữa, chu vi tam giác khơng phụ thuộc vào thứ tự đỉnh nó, nên ta có (G ) Cuối cùng, (G ) mở rộng bất đẳng thức tam giác sử dụng đỉnh thứ tư Ví dụ 1.1.2 Nếu E è Ă , E ặ, thỡ hm G : E E E đ [0, Ơ ) c xác định Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn G (u, v, w) = | u - v | + | u - w | + | v - w | với u, u, w Ỵ E , G - metric E Định nghĩa 1.1.3.Không gian G - metric (E ,G ) gọi đối xứng G (u, v, v ) = G (v, u, u ) với u, v Ỵ E 1.2 M�ậy Sw = R w = w Trường hợp S ánh xạ liên tục Vì lim Run = lim Sun = w , nên lim SSun = Sw lim SRun = Sw Vì (R , S ) nửa tương thích lim Sun = w , nên lim RSun = Sw Số hóa Trung tâm Học liệu Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Sử dụng (b) với u = Sun , v = un + , ta có G (RSun + 1, Run + 1, Run + ) ³ aG (Sun + 1, Sun + 1, Run + ) + bG (RSun , SSun , SSun ) + { } + c G (SSun , Run + 1, Run + )G (SSun , Run + 1, Sun + ) Cho n đ Ơ , ta G (S w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (S w, S w, S w) + c {G (S w, w, w),G (S w, w, w)}³ gG (S w, w, w) Suy (c - 1)G (S w, w, w) £ Vì c - ³ nênG (S w, w, w) £ , suy Sw = w Tiếp tục sử dụng giả thiết (b) với u = un , v = w , ta có G (R u n , R w, R w) ³ aG (S w, S w, R w) + bG (R u n , Su n , Su n ) + + c {G (Su n , R w, R w),G (Su n , R w, S w)} Cho n ® ¥ , ta nhận G (w, R w, R w) ³ aG (w, w, R w) + bG (w, w, w) + c {G (w, R w, R w),G (w, R w, w)} Theo Mệnh đề 1.2.3, ta có G (w, w, R w) ³ G (w, R w, R w) , G (w, R w, R w) ³ a c G (w, R w, R w) + G (w, R w, R w) 2 Suy ỉa + c ữ G (w, R w, R w)ỗỗ - 1ữ Ê ữ ữ ỗố ứ Vỡ a+c - > ,nênG (w, R w, R w) £ Do R w = w Số hóa Trung tâm Học liệu Cơng nghệ thơng tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn ... tụ ánh xạ liên tục không gian G - metric Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN 10 TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC 2.1 Điểm bất động ánh xạ giãn không gian G- metric 10 2.2 Điểm bất động. .. niệm không gian b - metric đưa Bakhtin [2] Tác giả chứng minh Định lí điểm bất động ánh xạ co không gian b - metric, tổng quát hóa nguyên lí co Banach khơng gian metric Tiếp đến khái niệm không gian. .. quan tâm nghiên cứu đạt số kết điểm bất động ánh xạ co không gian G- metric đầy đủ Hướng thứ hai phải kể đến nghiên cứu điểm bất động khơng gian nói ánh xạ giãn Theo hướng này, số tác giả đạt kết