Trong nhiÒu trêng hîp, viÖc tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc rÊt khã thùc hiÖn nÕu chØ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi trùc tiÕp, nhng l¹i thùc hiÖn ®îc dÔ dµng h¬n th«ng qua viÖc tÝnh gi¸ trÞ cñ[r]
(1)(2)1 Coi điểm, toán quy : Dựng hình vng MNPQ có cạnh MN, NP, PQ, QM theo thứ tự chứa bốn đỉnh A, B, C, D tứ giác lồi ABCD cho trước
Phân tích :Giả sử dựng hình vng MNPQ mà A, B, C, D theo thứ tự thuộc MN, NP, PQ, QM Gọi H, K hình chiếu vng góc A, D PQ, NP Đường thẳng qua A vng góc với DB cắt DB, PQ I, E
Ta thấy KDB = HAE hai tam giác vng có AH = DK ; (hai góc có cạnh tương ứng vng góc)
Suy AE = DB
C¸ch dùng :Nèi D víi B Kẻ từ A đường thẳng vuông góc với DB I
Trên đường AI kéo dài phía I lấy E cho AE = DB Kẻ đường thẳng d qua C E
T D k đường thẳng vng góc với d Q Từ B kẻ đường thẳng vng góc với d P Qua A dựng đường thẳng vng góc với BP cắt DQ BP M N
Ta có hình vuông MNPQ cần dựng Chứng minh : Dễ dàng chứng minh MNPQ hình vuông
Biện luận :Bài toán : + Không có nghiệm (1)
+ Có nghiệm (2) + Có vơ số nghiệm (3)
Tuy nhiên, việc tìm điều kiện cần đủ tứ giác lồi ABCD cho (1) (2) (3) xảy vấn đề phức tạp TTT2 coi vấn đề mở đặt cho tất bạn đọc tạp chí Mong bạn quan tâm giải vấn đề
Giải thưởng đặt cho bạn có lời giải quà tặng trị giá 500.000 đồng
Nhận xét :1) Một số bạn cịn nêu cách dựng hình vng MNPQ có cạnh MN chứa hai đỉnh kề tứ giác lồi ABCD cho trước, ba cạnh NP, PQ, QM chứa hai đỉnh lại tứ giác lồi ABCD Đây tốn khó khâu biện luận
2) Chưa bạn giải trọn vẹn toán này, phần thưởng xin dành lại chờ bạn
Anh Compa
EAH BDK
n KÕt qu¶ : (TTT2 sè 17)
l
Bạn điền số tự nhiên từ đến vào trịn hình bên, cho tổng ba số ba tròn thuộc đoạn thẳng khơng ?
Hồng hải dương
(3)2 Mọi dịng sơng lớn bắt nguồn từ suối nhỏ, tốn khó khởi nguồn từ tốn đơn giản Vì để học giỏi mơn tốn khơng bạn cần phải nắm vững biết vận dụng toán mà nên biết cách phát triển tốn để có thêm tốn Bài tốn sau tốn quen thuộc chương trình hình học lớp :
Bài tốn :Cho tứ giác ABCD có AB < CD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, AC, CD, BD Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành
Hình bình hành MNPQ có dạng đặc biệt tứ giác ABCD thỏa mãn thêm điều kiện
Dễ thấy hình bình hành MNPQ trở thành hình thoi tứ giác ABCD có hai cạnh đối Ta có kết :
Bài tốn : Cho tứ giác ABCD có AD = BC, AB < CD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, AC, CD, BD Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi
Lưu ý QM, MN, NP, PQ đường trung bình tam giác BAD, ABC, CAD, DBC ta có điều phải chứng minh (xem hình 1)
H×nh
Con đường từ toán đến toán nhờ phép đặc biệt hóa
Đường chéo QN hình thoi MNPQ đáy tam giác cân PQN nên đường thẳng QN cắt AD, BC ln lt ti I, K thỡ
và (các cặp gãc
so le trong) Do (xem hình 2) Ta có thêm kết :
Bài tốn : Cho tứ giác ABCD có AD = BC, AB < CD Gọi N, Q trung điểm hai đường chéo AC, BD Chứng minh đường thẳng NQ tạo với AD, BC góc
H×nh
Tương tự, MP đáy tam giác cân NMP nên đường thẳng MP tạo với đường thẳng AD, BC góc Từ ta có tốn :
Bài tốn : Cho EDC có ED < EC Lấy A, B ED, EC cho DA = CB Gọi P, M trung điểm DC, AB PM cắt EC, ED H, G Chứng minh EGH cân E
Các bạn chứng minh xem h×nh
AIQ BKN.
AIQ PNQ
BKN PQN
Nguyễn đức trường
(4)3 H×nh
Đến đây, ta nhận thấy góc ngồi EGH (cân E) nên dễ dàng phát thấy đường thẳng GH song song với đường phân giác Nếu cho E, A, B cố định M trung điểm AB cố định, phân giác cố định Từ ta kết thú vị
Bài toán :Cho EAB, EA < EB D, C chạy tia đối tia AE, tia BE cho DA = CB Chứng minh trung điểm P DC chạy đường thẳng cố định
Các bạn chứng minh điểm P nằm đường thẳng d qua trung điểm M AB cố định song song với đường phân giác cố định Tất nhiên đường thẳng d đường thẳng cố định (xem hình 3)
Dựa vào kết đọc thêm viết “Phương tích tốn Castillon” tác giả Trần Anh Dũng, đăng TTT2 số 16 bạn giải toán :
Bài toán :Cho ABC (AB < AC), phân giác AD trung tuyến AM Đường tròn ngoại tiếp ADM cắt AB, AC E, F Gọi I trung điểm EF, đường thẳng MI cắt AB, AC Q, P Chứng minh APQ cân A
Trong trình suy nghĩ để tiếp tục phát triển tốn 2, tình cờ tơi gặp đề toán 4(7) TS Nguyễn Minh Hà (trang 32, TTT2 số 7) Nhờ tốn 2, ta có cách giải đơn giản đề toán 4(7) đề xuất kết mở rộng
Trước hết, ta gii bi toỏn 4(7)
Bài toán 4(7) : Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC VỊ phÝa tứ giác này, ta dựng hai tam giác b»ng lµ ADE vµ BCF Chøng minh r»ng trung điểm đoạn AB, CD, EF thuộc đường thẳng
Lời giải :
Hình
Trng hợp AB < CD :Gọi I, K, H, M, N, P, Q trung điểm AB, EF, CD, CE, DF, BD, AC (hình 4)
Tõ gi¶ thiÕt ADE = BCF vµ dùa vµo tÝnh chÊt cđa đường trung bình tam giác ta dễ dàng có kết :
HNP = HMQ (c.c.c) cú tia phân giác Mặt khác, áp dụng toán cho hai tứ giác ABCD EFCD, ta có IPHQ KMHN hình thoi Suy HK HI phân giác
Suy H, I, K thẳng hàng
Trng hp AB = CD :dành cho bạn đọc Các bạn thử chứng minh kết mở rộng toán :
“Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC VỊ phía tứ giác này, ta dựng hai đa giác ADM1M2 Mnvà BCN1N2 Nn Chứng minh trung điểm đoạn AB, CD, M1N1, M2N2, , MnNncùng thuộc đường thẳng.
Chúc bạn thành công
MHN PHQ
MHN vµ PHQ
Suy MHQ NHP MHP NHQ
AEB
(5)4
T¹i thõa nghiƯm ?
(TTT2 sè 17) l KÕt qu¶ :
l Kì :
Tt c cỏc bạn “soi” xác sai lầm chung lời giải : Ngộ nhận điểm B, N, C thẳng hàng để chứng minh A, E, N thẳng hàng Bạn Nguyễn Thị Lâm Ngọc, đội 19, Yên Nam, Duy Tiên, Hà Nam ví von kiểu sai “sửa chân ghế gãy cách tháo chân ghế khác để lắp vào thay chân ghế gãy !” Bạn Đỗ Đình Hịa, 9A1, THCS Hồi Xn, Hồi Nhơn, Bình Định cịn góp ý cho đề : “nên có giả thiết MA MB để tốn chặt chẽ !”
Lời giải :Giả sử AM > BM N nằm nửa mặt phẳng bờ CM có chứa BF N nằm ngồi hình vng BMEF
Gọi I giao điểm BE AC Vì
Ta cã Suy tø
gi¸c IABN néi tiÕp
mà nên A, E, N thẳng hàng Cùng với hai bạn Nguyễn Thị Lâm Ngọc, Đỗ Đình Hịa, bạn sau nhận quà tặng TTT : Ngô Văn Thi, bố Ngô Khắc Cừ, khối 5, TT Đức Phổ, Đức Phổ, Quảng Ngãi ; Nguyễn Thanh Long, mẹ Phạm Thị Minh, Giáo viên trường TH Kỳ Phong, Kỳ Phong, Kỳ Anh, Hà Tĩnh
Anh KÝnh Lóp
o
ENB 90
o
ANB AIB 90
CAN CMN IBN.
o
IAM IBM 45 BI AI l
l
l KKÕtÕÕtÕÕtÕÕtÕtÕtÕÕtÕÕtÕÕtÕ qqqqqqqqqqqqqqquuuuuuuKÕKÕÕÕÕÕÕÕÕÕKKKKKKKKKKK quq ¶¶¶¶¶¶¶¶u¶u¶¶ :::::
Trong kì thi vào lớp 10 trường PTNK TP Hồ Chí Minh năm học 2003 - 2004, số học sinh giải phương trình sau : Điều kiện :
Rõ ràng x = nghiệm phương trình cho
Víi x 0 :
x = x = thỏa mãn điều kiện Vậy tập hợp nghiệm phương trình : Kiểm tra trực tiếp, ta thấy tập hợp có giá trị khơng phải nghiệm phương trình cho Hãy cho biết giá trị nguyên nhân dẫn đến thừa nghiệm lời giải ?
10 ; ;
3 10 2 2
x(x 2) x(x 5) x(x 3)
x x x
x x (x 2)(x 5) x x 7x 10 10 x
10 x
4(x 7x 10) 100 20x x x 10
3x 8x 60 x 10
x
x 10
x 10
x 3
x x
x(x 2) x 0 x
x(x 5) x
x
x(x 3) x
x x
" x(x 2) x(x 5) x(x 3) "
NguyÔn Anh Hoµng
(6)Bµi : Sè nµo tiÕp theo ?
1 11 101 111 ? Bài : Hình ?
5 Bài : Bạn Nguyễn Mạnh Thắng, bố Nguyễn Xuân Tiến, khối II, TT Phố Châu, Hương Sơn, Hà Tĩnh nhận xét đoạn thẳng xuất phát từ điểm n đoạn thẳng xuất phát từ điểm ta có tam giác nên cơng thức tính số tam giác :
Víi n = ta có số tam giác A = 36 Bài : Bạn Nguyễn Mạnh Thắng nhận xét hai đường kẻ ngang số a đường kẻ ngang hai đường kẻ dọc số b đường kẻ dọc ta có hình chữ nhật nên công thức tính số hình chữ nhật : Với a = b = ta có số hình chữ nhật B = 60
Bn Nguyn Duy Cương, bố Nguyễn Huỳnh Sơn, tổ 11, phường Trung Tâm, Nghĩa Lộ, Yên Bái tâm đôi lời :
“Coi coi lại thật khó khăn Đơi chỗ cịn thấy lăn tăn Tìm đâu cho cách giải ? Mải mê suy nghĩ : bỏ ăn ! Thơi đành phải đếm Sáu mươi hình đây, hết lăn tăn Nghĩ nghĩ lại lăn tăn ” Bạn Cương, bạn Thắngđược “ăn” phần thưởng TTT Các bạn Nguyễn Thị Thu Hà, 8B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Thị Phương, 8A, THCS
Đình Bảng, Hoằng Lộc, Hoằng Hóa, Thanh Hóacũng có giải hay, TTT thưởng Ngoài ra, bạn Lê Võ Châu Anh, 9A, THCS Nguyễn Trọng Bình, Kỳ Anh, Hà Tĩnh ; Trần Hồng Anh, 7A1, THCS Minh Thành, Thái Bình ; Nguyễn Thị Nguyệt, xóm 9, Ninh Hiệp, Gia Lâm, Hà Nội; Phạm Hạnh Ngân, 5A, TH Văn Cẩm, Hưng Hà, Thái Bình; Bùi Minh Trí, 6C ; Trần Thị Hoa Lê, 7A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Phạm Thị Yến Nga, THCS Lập Tân Hương, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Đỗ Thị Quỳnh Hoa, 7A, THCS Lê Q Đơn, n Hưng, Quảng Ninh có giải hay, c khen thụi !
Nguyễn Đăng Quang
a(a 1) b(b 1)
B
2 2
n(n 1)
A
2 l KÕt qu¶ :
v
(7)6 Các tốn tính số đo góc đa dạng, xuất nhiều kì thi Để giải tốt dạng tốn có phải vẽ hình phụ Trong viết này, xin giới thiệu với em phương pháp vẽ thêm hình phụ tam giác tốn tớnh s o gúc
Bài toán : Cho tam giác ABC cân A, Trên AB lấy điểm D cho AD = BC TÝnh
Lêi gi¶i :
Cách : Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác BCE (hình 1)
H×nh Hình
Vì tam giác ABC cân A, nên Vậy E thuộc miền tam giác ABC, suy
DƠ thÊy ABE = ACE (c.c.c) nªn
Ta có góc ngồi DAC nên Cách :Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, chứa điểm C, dựng tam giác ABI (hình 2)
Vì ABC cân A, nên AI = AB = AC ;
(ACI cân A)
L¹i cã ADC = BCI (c.g.c)
Bài tốn 2(đề thi vơ định tốn Nam Tư năm 1983): Cho tam giác ABC cân A,
ëmiỊn tam gi¸c lÊy ®iĨm I cho
Lời giải :Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác BCE (hình 3)
H×nh Vì ABC cân A, A 80 o nên
o o
IBC 10 ; ICB 30 TÝnh AIB.
o
A 80
o o
ADC BCI 150 BDC 30
o
BCI 150
o o o
CAI 40 ; IBC 20 ACI 70
o
A 20
o o o
BDC DAC DCA 20 10 30
BDC
o
o
Tõ (1) A ACE 20 DAC ECA
(c.g.c), kÕt hỵp víi (2) ACD CAE 10
1 o
BAE CAE A 10 (2)
2
o
ACE 20 (1).
o
ABC ACB 80
o
A 20
BDC
o
A 20
o o
ABC ACB 50 ABE ACE 10 ;
Ngơ đức minh
(8)7 ®iĨm A thuộc miền tam giác BCE
Dễ dàng chứng minh AEB = ICB (g.c.g) BA = BI ABI cân B, có
Bài toán :Cho tam giác ABC cân A, Trên cạnh AB kéo dài phía B, lấy điểm E cho AE = BC TÝnh
Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AE, chứa điểm C, dựng tam giác AEF (hình 4)
H×nh Vì ABC cân A, nên tia AF nằm hai tia AE, AC ABC = CAF (c.g.c) AC = FC AEC = FEC (c.c.c)
Qua số tốn nêu thấy, việc vẽ thêm hình phụ tam giác tỏ hiệu tốn tính số đo góc tạo góc 60o; tạo nhiều mối quan hệ cạnh, cỏc gúc, cỏc tam giỏc,
Các bạn hÃy làm thêm toán sau : Bài toán :Cho tam giác ABC cân A,
Trên AC lấy ®iĨm E, trªn BC lÊy
®iĨm F cho Tính
l Tài liệu tham khảo :Bài tập nâng cao
và số chuyên đề Toán 7”, Nhà xuất Giáo dục năm 2004 (sách tham dự thi viết sách Bài tập sách Tham khảo Bộ Giáo dục Đào tạo)
BEF
o
ABE CAF 30
o
A 80
1 60o o
AEC FEC AEF 30
2
o
CAF 40
o
ABC 40 ;
o
A 100 AEC
o
A 100
o o o o
ABI 50 10 40 AIB 70
Cách 30 năm, trường, tơi có chép thơ :
“Dân làng xã họp tế thánh Xong việc làng, chia bánh phân xôi Đếm đầu nhân xuất trăm người
“Lão”, “nhiêu” hai hạng thời “dân đinh” Bánh dày “lão” Bánh chưng phần dịch việc ơng “nhiêu” Mỗi ơng đủ tiêu
Cịn xơi cắt thỏi chia đàn em Cứ ba bác thòm thèm thỏi Thế hậu rồi, hỏi han chi ?! Xế chiều, tan đám người Bánh, xơi tính chục, vị chi đủ 10” Hỏi có “lão”, “nhiêu”, “dân đinh” ?
(“Lão”, “nhiêu” - chức sắc làng) Đọc thơ ta thấy lại truyện ngắn “Việc làng”của nhà văn Ngô Tất Tố, minh họa cho câu : “Một miếng làng sàng xó bếp”của cụ để lại Về nội dung Toán học, toán tương tự bi Trm trõu trm c
Bạn thử giải xem ?
Ngun ThÞ Thn
(9)8
ThS Nguyễn Văn NhoNguyễn Văn Nho(NXBGD)
Kỡ trước giới thiệu 25 câu hỏi dành cho lớp năm 2002 Sau câu hỏi, từ câu 21 đến câu 25 dành cho lớp 8, năm
Bài (câu 22) : Người ta xếp 64 hình lập phương đơn vị (1 x x 1), tạo thành hình lập phương lớn (4 x x 4) sơn màu đỏ cho mặt hình lập phương lớn Mỗi hình lập phương đơn vị tính điểm theo bảng sau :
Vậy tổng số điểm 64 hình lập phương đơn vị ?
(A) 40 (B) 41 (C) 42 (D) 43 (E) 44 Bài (câu 21) : Các đường thẳng PS, QT RU đồng quy O hình vẽ Nối PQ, RS, TU tạo thành tam giác Khi đó, giá trị tổng góc P, Q, R, S, T, U ? (A) 450o (B) 270o (C) 360o (D) 540o (E) 720o
Bài (câu 23):Viết số nguyên 2, 2, 5, 5, 8, lên bìa Từ bìa này, ta chọn số tùy ý bìa tính tổng số ghi bìa chọn Trong tổng tính thế, hỏi từ đến 31 có số xuất ?
(A) (B) 22 (C) (D) 10 (E)
Bài (câu 24):Ron có que, độ dài que số tự nhiên (khác 0) Ron nhận thấy cậu ta dùng que que để tạo thành hình tam giác Như thế, que dài mà Ron có có độ dài bé ?
(A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 24
Bài (câu 25):Tony Maria tập luyện để dự thi chạy Họ chạy lên xuống đồi (quãng đường từ chân đồi đến đỉnh đồi dài 700m) Tốc độ chạy lên dốc hai người không đổi khác Khi chạy xuống dốc, người chạy với tốc độ gấp đôi tốc độ họ chạy lên dốc Maria người lên đến đỉnh đồi trước, cô quay xuống gặp Tony lúc anh cách đỉnh đồi 70m Khi Maria xuống đến chân đồi, cịn cách Tony bao xa ?
(10)9 Bài : Naoki làm trung bình 68% nghĩa bình quân kiểm tra đạt 68 điểm (điểm tối đa 100) Vậy tổng số điểm kiểm tra :
9 x 68 = 612 (®iĨm)
Khi bỏ qua khơng tính điểm thấp làm (là điểm 0) xem Naoki đạt 612 điểm với kiểm tra Điều có nghĩa cậu ta làm đạt điểm bình quân : điểm = 76,5 điểm hay làm trung bình 76,5%
Trả lời :(A) Bài :Từ hình vẽ ta thấy : tam giác lớn (ngoại tiếp lục giác đều) ghép tam giác nhỏ (bằng nhau) ; lục giác ghép tam giác nhỏ nói Diện tích lục giác 12 nên diện tích tam giác nhỏ 2, suy diện tích tam giác lớn 18
Trả lời :(D) Bài :(làm tròn đến đơn vị mét) Sedra chạy 400m hết 44 giây nên chạy 100m hết 11 giây, Catrina đến đích trước Sedra
Catrina chạy 1000m hết : (giây) Sau 100 giây, Sedra chạy :
Vy ú Sedra cũn cỏch đích 91m Trả lời :(E) Bài :
Cách :Lập bảng sau cho bể
Ta có 20 = + 18 = + 12 = 14 + nên từ bảng suy số cá Vàng tương ứng cho trường hợp 33, 32 31 Vậy Enzo có tất 20 cá Ngũ Sắc số cá Vàng nhỏ mà cậu ta có 31
Trả lời : (C) Cách :Ta lập bảng nh sau :
(trong bÓ thø nhÊt, gäi 2a số cá Ngũ Sắc 3a số cá Vµng ; bĨ thø hai, gäi 3b lµ sè cá Ngũ Sắc 5b số cá Vàng)
100 x 100 909 (m)
11
1000 x 10 100
100
612
Cuộc thi Toán gau-xơ ca-na-đa
(dành cho lớp 7)
(11)10
j Câu :Giải phương trình :
j Câu :Giải hệ phng trỡnh :
j Câu : Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc :
trong x, y số thực lớn
j Câu : Cho hình vuông ABCD điểm M nằm hình vuông
1) Tìm tất vị trí điểm M cho :
2) Xét điểm M nằm đường chéo AC Gọi N chân đường vng góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số có giá trị khơng đổi M di chuyển đường chéo AC
3) Với giả thiết M nằm đường chéo AC, xét đường trịn (S1) (S2) có đường kính tương ứng AM CN Hai tiếp tuyến chung (S1) (S2) tiếp xúc với (S2) P Q Chứng minh đường thẳng PQ tiếp xúc với (S1)
j Câu :Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a số ngun lớn khơng vượt q a kí hiệu [a] Dãy số x0, x1, x2, , xn, xác định công thức
Hái 200 sè {x0, x1, x2, , x199} cã số khác ? (cho biết 1,41 1,42).
n n n
x
2
OB CN
MAB MBC MCD MDA. 3 2
(x y ) (x y )
P ,
(x 1)(y 1)
2 2 (x y)(x y ) 15, (x y)(x y )
x 3 x 2.
(12)11
j Câu :(2 điểm) a) Giải phương trình :
b) Định m để phương trình x2- (m + 1)x + 2m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2sao cho x1, x2là độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền bng
j Câu :(2 điểm)
Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điền kiện : a2+ b2+ c2= (a - b)2+ (b - c)2+ (c - a)2. a) Tính a + b + c biết ab + bc + ca = b) Chứng minh c a, c b c a + b
j C©u : (2 ®iĨm)
Cùng thời điểm, tô XAxuất phát từ thành phố A hướng thành phố B khác XBxuất phát từ thành phố B hướng thành phố A Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi gặp lần đầu điểm cách A 20km Cả hai xe sau đến B A tương ứng, quay trở lại chúng gặp lần thứ hai điểm C Biết thời gian xe XBđi từ C đến B 10 phút thời gian hai lần gặp Hãy tính vận tốc tơ
j Câu : (3 điểm)
Gi I, O ln lượt tâm đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp (C) tam giác nhọn ABC Tia AI cắt đường tròn (C) K (K A) J điểm đối xứng I qua K Gọi P Q điểm đối xứng I O qua BC
a) Chøng minh r»ng tam giác IBJ vuông B b) Tính góc BAC nÕu Q thuéc (C)
c) Chøng minh r»ng nÕu Q thc (C) th× P cịng thc (C)
j Câu :(1 điểm)
Chng minh rng t số nguyên dương tùy ý không lớn 20, chọn số x, y, z độ dài ba cạnh tam giác
x 4x 2.
(13)12
KÕt qu¶ : Thi giải toán qua thư
Bi 1(17) : Hai số p, q thỏa mãn đẳng thức p3+ q3=
Chøng minh r»ng < p + q 2 Lêi gi¶i :
Chøng minh : p + q > C¸ch :
C¸ch :p3+ q3= p3+ q3> p3> (-q)3p > -q p + q > Chøng minh : p + q
Vì p + q > nên (p + q)(p - q)20 (p2- q2)(p - q) 0 p3+ q3pq(p + q) 3(p3+ q3) 3pq(p + q)
4(p3+ q3) (p + q)3(p + q)38 p + q 2
NhËn xÐt :1) Cã thÓ chøng minh p + q nhiều cách khác Chẳng hạn :
Đặt x = p - y = q - th× = p3+ q3= (x + 1)3+ (y + 1)3 x3+ y3+ 3(x2+ y2) + 3(x + y) = x3+ y3+ 3(x + y) 0
(x + y)(x2- xy + y2+ 3) 0 (*) víi mäi x, y nªn tõ (*) ta cã x + y p + q 2
2) Nhiều bạn chứng minh phương pháp phản chứng Bạn Ngô Hải Nam, THCS Đông Mỹ, Đồng Hới, Quảng Bình đề xuất tốn tổng qt : “Nếu p3+ q3= k3với k > < p + q
3) Các bạn có nhiều cách giải tốt : Nguyễn Thành Hải, 8A7, THCS Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang ; Hoàng Văn Hà, 8G, THCS
Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Hán Phương Mai, tổ 4, khu 4, phường Ba Đình, Bỉm Sơn, Thanh Hóa; Nguyễn Trung Kiên, 8C, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thành Trung, 8D, THCS TT Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh; Nguyễn Thu Trang, mẹ Nguyễn Thanh Bình, TT Bảo trợ trẻ em mồ cơi tàn tật, Việt Trì, Phú Thọ ; Dương Danh Hồng Anh, 6A4, THCS Phan Chu Trinh, TP Bn Ma Thuột, Đắk Lắk; Nguyễn Hữu Nam, 6C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kì, Hải Dương ; Phan Đức Thành, 9/4, THCS Nguyễn An, Gị Vấp, TP Hồ Chí Minh; Trần Chính Nghĩa, THCS Lê Q Đơn, TX Tun Quang, Tun Quang
Ltn
Bài 2(17) :Đặt
Chứng minh :
Lời giải :
Cách :(của bạn Hoàng Đức ý) Ta có : n n 1
2 2 n n 1
2 2 n 2 n
2 n
S S S
S S S
1 1
5S S S S
1 1 (1)
5 5
2 2 n 2 n
1 1 35.
36 5S 5 S 5 S 5 S
1
2 2
n 2 3 n
S
1
S
5
1 1
S
5 5
3 k 3 2
2
q
2 p q (p q)[(p ) q ] vµ
2
q
(p ) q víi mäi p, q nªn p q
2
2 y
V× x - xy y (x ) y
2
(14)13 Tõ (1) vµ (2) suy :
Cách :(của bạn Tô Việt Anh) Với k nguyờn dng ta cú :
Cách :(của bạn Khuất Văn Phiến)
Nhn xột :1) Nhiu bn ó giải với nhiều cách khác Hầu hết lời giải đúng, đặc biệt có gần 30 lời giải cho kết mạnh nhiều
2) Các bạn có lời giải ngắn gọn phát kết mạnh : Khuất Văn Phiến, đội 5, xã Đại Đồng, Thạch Thất, Hà Tây ; Tô Việt Anh, 9A, THCS Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, Hà Nội; Triệu Mạnh Duy, mẹ Nguyễn Thu Hương, Trung tâm Đào tạo cán Y tế, 35 Trần Nhật Duật ; Trần Thu Thủy, 6A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Lê Hương Trâm, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Hoàng Đức ý, 8E, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Nguyễn Thành Trung, 8D, THCS TT Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh; Nguyễn Trung Kiên, 8C, THCS Vĩnh Yên, TX Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc;Bùi Đức Minh, 9CT, THCS Trần Phú, TX Phủ Lí, Hà Nam
ngun anh qu©n
Bài 3(17) :Cho số dương x, y, z thỏa mãn bất đẳng thức :
2xyz + xy + yz + zx Tìm giá trị lín nhÊt cđa xyz
Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số 2xyz, xy, yz, zx ta có :
2
1 35
1 20 36 18 36
5(1 5)
7 36 2 n 2 n
1 1
VËy :
5S 52S 5 S
2 2 n 2 n n n n
1 1
Suy :
5S S S S
1 1
5 x 5(1 5) 5(1 5) 5(1 5 )
1
5(1 ) 5(1 )
1 35.
5 5(1 ) 36
0 11 k 11 k 5(5 ) 5(5 )
0 k k 1 k k k k
0 k k (5 ) (5 )
(5 )(5 ) (5 ) (5 )
5(5 )(5 ) k k
k k 2 k k k
0 k k 1 k k
1 5
5 S (5 S ) (1 5 ) (5 ) (5 )
(5 )(5 )
2 2 n 2 n
1 1 35.
36 5S 5 S 5 S 5 S
1 n
2 n n
1 1
Đặt A
5 5
1 1
5A
5 5
1
4A 5A A 1 A (2)
4
n n 1
2 2 k k n n 1 k k k
k
2 2 n 2 n Còng tõ S S S
S S S S
1 1 (víi k = 1, 2, , n).
5 S
1
5S S S
2 n
2 n n n
1 1 .
1 5 5 5
5(1 )
1 1
Đặt M
5 5
1 1
5M
5 5
1 1
4M 5M M M
5 5 20
(15)Nhận xét :Đây bất đẳng thức Hầu hết bạn giải theo cách Các bạn lớp 6, sau có lời giải tốt : Nguyễn Mạnh Tùng, 7B, THCS Thị Trấn, Tân Yên, Bắc Giang ; Nguyễn Văn Đại, 7C, THCS Tự Lập, Mê Linh ; Nguyễn Văn Thịnh, 7C, THCS Hương Canh, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Trịnh Quang Thanh, 7B, THCS Hàm Rồng, Thanh Hóa ; Nguyễn Thị Cẩm Nhung, 7A, THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh ; Đặng Vân Anh, 6A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Nguyễn Văn Ngọc, 7G, THCS Nguyễn Huệ, Đông Hà, Quảng Trị; Bùi Bảo Khang, 7A1, THCS số 2, An Nhơn, Bình Định ; Dương Danh Hoàng Anh, 6A4, THCS Phan Chu Trinh ; Võ Văn Tuấn, 7A5, THCS Buôn Hồ, KRông Buk, Đắk Lắk
Nguyn Minh c
Bài 4(17) :Tính góc tø gi¸c ABCD biÕt
Lời giải : (theo bạn Phạm Thị Thu Hoài) Dựng AH CD, gọi O, E giao điểm BD với AH, AC K giao điểm AD CO Xét tam giác vuông OHD, tứ giác ABCO nội tiếp, từ
XÐt ACK :
kết hợp với AH CD suy O trực tâm ACD, AC BD E
Xét tam giác vuông AEB : Lại có :
EDC vuông, Cuối ta có Tóm lại :
Nhận xét :1) Có nhiều cách khác để giải toán Chẳng hạn, dựa vào giả thiết ta có nhận xét : điểm C phải nằm bên đường tròn ngoại tiếp ABD Gọi M, N, I giao điểm DC, AC, BC với đường tròn ngoại tiếp ABD Ta chứng minh AN đường kính ; N trung điểm từ suy AC trục đối xứng tứ giác ABCD tính góc tứ giác
Với cách giải này, ta tổng quát toán
2) Cỏc bn cú li giải gọn : Phạm Thị Thu Hoài, thơn Đồng Kinh, Thái Thuần, Thái Thụy, Thái Bình; Tơ Việt Anh, 9A, THCS Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, Hà Nội ; Nguyễn Mạnh Tùng, 7B, THCS Thị
MI,
o
BAD BCD 180 ,
o
BAD 130
o o
ABC ADC 75 ; BCD 80 ;
o o o
EDC ACK 50 25 75
ADC EDC ADE
o
ECB ECD BCD 80
o o
EDC 50 ECD 40
o o
EBC 50 ABC ABO EBC 75 ;
o o
BAE 65 BAD BAE KAC 130
o
ABE 25 nªn
o
AKC 90 hay CK AD,
o o
KAC 65 , ACK 25
o
ACK ABO 25
o o
ODH 50 suy DOH 40 AOB BCA
o o
BCA 40 vµ BAD BCD 180
o o o
ABD 25 ; CAD 65 ; BDC 50 ;
3
4 2xyz xy yz zx 2xyz.xy.yz.zx
1
1 2(xyz) (xyz)
2.4
1
xyz Đẳng thức xảy chØ
1
2xyz xy yz zx x y z
4
(16)15 Trấn, Tân Yên, Bắc Giang ; Nguyễn Nam Hải, SN 173 đường Lê Lợi ; Đỗ Việt Hùng, SN 11 đường Trường Chinh, TX Phủ Lí, Hà Nam ; Nguyễn Thành Trung, 8D, THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh ; Trần Văn Dưỡng, Đỉnh Dương, Trừng Xá, Lương Tài, Bắc Ninh; Võ Văn Tuấn, 7A5, THCS Buôn Hồ, KRông Buk ; Dương Danh Hồng Anh, 6A4, THCS Phan Chu Trinh, Bn Ma Thut, k Lk
Nguyễn văn mạnh
Bi 5(17) :Cho tam giác ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O) M trung điểm BC AM cắt (O) N (N A) Chứng minh MN MH Khi xảy đẳng thức ? Lời giải : Có ba trường hợp cần xem xét Trường hợp :ABC vng A (hình 1)
H×nh
Ta cã A H ; O M Suy MN = MH (cùng bán kính đường tròn t©m (O))
Trường hợp :ABC cân A (hình 2)
H×nh
Dễ thấy MN = MH (kết quen thuộc) Trường hợp : ABC khơng vng khơng cân A (hình 3) Đặt L = AO (O) (L A) Ta thấy :
BH AC ; LC AC BH // LC CH AB ; LB AB CH // LB
H×nh
BHLC hình bình hành M trung điểm LH MH = ML (1)
Do ABC không vuông không cân A nên đường thẳng AO, AM khơng trùng Do L N Xét tam giác vng ANL, ta có : MN < ML (2)
Tõ (1) vµ (2) suy MN < MH
Tóm lại, qua ba trường hợp, ta cú : MN MH
Đẳng thức xảy tam giác ABC vuông cân A
Nhận xét :Bài tốn khơng khó, có bạn có lời giải hồn chỉnh (tìm đủ điều kiện xảy đẳng thức) Xin nêu tên ba bạn : Nguyễn Trung Kiên, 8C, THCS Vĩnh Yên, TX Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Lan, 9B, THCS Thái Hịa, Bình Giang, Hải Dương; Tơ Việt Anh, 9A, THCS Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, Hà Nội
(17)16 Thám tử Sê-Lốc-Cốc có người bạn cũ nhà toán học tiếng - giáo sư Bây-len Một lần, thám tử nhận thư giáo sư báo tin đến cơng tác ngày thành phố nơi thám tử sinh sống Mặc dù mong gặp bạn cũ, giáo sư đến thám tử lại phải điều tra vụ án đặc biệt nghiêm trọng xảy thành phố khác, ngày sau ơng trở tìm gặp giáo sư Bây-len
Đến khách sạn Rồng Đen - nơi giáo sư Bây-len thuê phịng, thám tử vơ kinh ngạc biết người bạn bị sát hại ngày trước Người quản lí khách sạn cho biết :
- Ơng Bây-len bị kẻ đâm dao, vào ngày ông bưu điện nhận tiền người nhà gửi đến Toàn số tiền bị cướp
- Cảnh sát bắt thủ chưa ? - Thám tử sốt sắng hỏi
- RÊt tiÕc lµ cha
- Ơng cịn biết thêm điều khơng ? Xin kể cho tơi nghe ! Tơi vơ thương tiếc bạn muốn khám phá vụ án mạng thời gian sớm - Khi ơng Bây-len đến th phịng, tơi biết ơng đồng hương Chúng tơi nhanh chóng có thiện cảm với lần nướng bánh lại mang
đến biếu ơng vài Ơng có tưởng tượng khơng ? Khi bị sát hại ơng cịn cầm chặt bánh nướng tay Tôi đau lịng ! Đến cảnh sát cảm thấy khó hiểu, khơng biết người bị đâm trọng thương mà cố cầm chặt bánh ?
- Ông có biết chút kết điều tra cảnh sát không ?
- Tụi khụng rõ Tôi biết họ khẳng định thủ người th phịng khách sạn tơi Nhưng kẻ cảnh sát chưa kết luận Hôm xảy án mạng trực tơi biết chắn hơm khơng có ngi l no n khỏch
sạn
- Hung thủ có để lại dấu vết khơng ? - Tơi khơng rõ lắm, khơng
Thám tử Sê-Lốc-Cốc đứng lên Ông đi lại lại, đăm chiêu suy nghĩ lúc lâu - Rất điều bí mật vụ án nằm bánh nướng ! - Thám tử lên Nghe vậy, người quản lí khách sạn vội minh :
- Thưa thám tử, xin ông đừng nghi ngờ bánh ! Tôi giáo sư Bây-len chỗ thân tình mà, tơi hại ơng !
- å kh«ng ! T«i kh«ng nghi ngê «ng
(18)17
l Kết : đâu ! Có lẽ tơi hiểu mà người
bạn lại cố cầm bánh tay bị đâm trọng thương
Trong người quản lí khách sạn cố suy nghĩ thi thám t t nhiờn hi :
- Thưa ông, tầng ba khách sạn có phòng ?
- Có 15 phịng tất Tầng có phịng đánh số từ đến 15
- B©y ông thể dẫn lên tầng không ?
- Được ạ, tơi ln sẵn lịng giúp thám tử Hai người lên tầng ba Họ dọc theo hành lang, phòng số Khi gần hết hành lang, thám tử Sê-Lốc-Cốc dừng lại, vào phòng hỏi :
- Ai phòng ?
- Tha, tên Mi-ke, người hám tiền, hám rượu Mà hai hơm nay, đâu đó, chưa thấy Nhưng tơi nghĩ bánh khơng thể có liên quan đến
- Có Bánh nướng viết theo tiếng Anh Pie, đọc pai, mà paicũng cách đọc tên số toán học Thế nào, ông đoán chưa ? Không phải ngẫu nhiên mà giáo sư toán học lại cố cầm bánh Pie bị giết đâu Theo tơi Mi-ke kẻ khả nghi vụ án Tất nhiên cần gặp đội cảnh sát điều tra vụ án phải tìm hiểu kĩ thêm trước đưa kết luận cuối
Người quản lí khách sạn nghĩ mà chưa hiểu thám tử Sê-Lốc-Cốc lại khẳng định mối liên quan bánh nướng với anh chàng Mi-ke Còn bạn - thám tử “Tuổi Hồng” yêu thích mơn tốn sao, có đốn khơng ?
Ơng Ben khơng thể hiểu thám tử Sê-Lốc-Cốc kịp nhận kẻ sát nhân, “thám tử Tuổi Hồng” - bạn đọc TTT- lại phán đốn thật xác tài tình : Ngồi ơng Ben ra, có người thư kí Giơn biết kế hoạch thám tử nấp sau ri-đơ Bóng đen vào bắn thẳng vào ri-đô, chứng tỏ biết trước kế hoạch Khơng khác, người thư kí ơng Ben tin yêu Quả kẻ vô ơn bội nghĩa !
Phần thưởng kì trao cho năm bạn có làm xuất sắc :
Nguyễn Hồng Nhung, 7B, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây; Lê Thị Thúy Phương, 7A, THCS Tô Hiệu, TX Nghĩa Lộ, Yên Bái ; Lê Quang Đạt, 6A, THCS TT Hải Lăng, Quảng Trị ;
Nguyễn Đăng Toàn, 6A9, THCS TT Phước An, Krông Păk, Đắk Lắk ;
Nguyễn Dương Lam Linh, F91, Trần Quang Diệu, Phan Thiết, Bình Thuận
(19)18
ỨNG DNG
Nguyễn Thị Kim Ngân
(8A1, THCS Lâm Thao, L©m Thao, Phó Thä)
CỦA MỘT BỔ ĐỀ
Trong q trình học tập, tìm tịi, em biết đến bất đẳng thức đẹp nhờ sử dụng nó, việc chứng minh số bất đẳng thức khác tỏ hiệu
Bất đẳng thức phát biểu dạng bổ đề sau :
Bổ đề :Nếu a + b 0 với m ; n
nguyên dương ta có : Chứng minh :
Do a, b cã vai trò nhau, không tính tổng quát, giả sö a b (1) Do a + b 0 suy a - b (2) Tõ (1) ; (2) suy a |b| 0, suy :
¸p dơng :
Bài tốn : Cho x + y 0 Chứng minh : (x + y)(x3+ y3)(x5+ y5) 4(x9+ y9) Lời giải :Vì x + y 0, áp dụng bổ đề ta có
(x + y)(x3+ y3)(x5+ y5) 4(x9+ y9) Bài toán : Cho a + b 2 n số nguyên dương Chứng minh :
an+ bnan +1+ bn +1
Lời giải :Vì a + b > nên từ (**) suy an+ bn0
Bài to¸n :
Chøng minh r»ng : (x + y)(x2+ y2) x5+ y5 Lêi gi¶i :
(x + y)(x2+ y2) x5+ y5(đpcm) Mong bạn bổ sung thêm nhiều tập áp dụng bổ đề
Cho x ; y n n n n
n n n n
a b a b
2
a b a b (®pcm)
n n n n
a b a b. a b (áp dụng bổ đề).
2 2
n n n n a b a b a. b ;
2 2
3 5 4 5 3 5 9 x y x y x y. . x y x y.
2 2 2
x y x. y x. y x y
2 2
3 4 4 5 9 x y x. y x y
2 2
x y x. y x y
2 2
m
m m m m m n n n n n n
m m n n (*)
a b a b a b 0(**)
a b a b
a b
(a -b )(a -b ) 0, chứng minh
m m n n m n m n m n m n m n n m
m n n m n n m m n n
(*) (a b )(a b ) 2(a b )
a b a b a b
a (a b ) b (b a ) (a b )(a b )
m m n n m n m n
a b a. b a b (*).
2 2
2 2 3
2 3 2 5
x y 2 2.x y x y x y.
2 2
x y x y
2 (theo bổ đề)
2
x y x y x y x y
2
2 2
(20)19
lNgười thách đấu :
TS Ngun Minh Hµ, Hµ Néi
lBài tốn thách đấu :
Cho tam gi¸c ABC có AB > AC, trung tuyến AM phân giác AD N điểm nằm tam giác AMD (N khác A
không thuộc đoạn MD) BN, CN theo thứ tự cắt AC, AB B, C
Chøng minh r»ng : BB’ > CC’
lXuÊt xø :S¸ng t¸c
lThời hạn nhận thách đấu :
Trước ngày 15 - 10 - 2004
Rất nhiều võ sĩ nhận lời thách đấu với “chiêu thức” phong phú :
- Tứ giác nội tiếp (hàng trăm võ sĩ) - Tam giác đồng dạng (hàng chục võ sĩ) - Định lí Ta-lét (chỉ có vài võ sĩ)
Tơi quan tâm đến lời giải “chiêu thức” thứ ba : định lí Ta-lét Bởi lẽ, tơi khơng thích “giết gà dao mổ trâu” Trong lời giải này, đặc biệt ý tới lời giải võ sĩ Phan Dỹ Kỳ, 8A, THCS Quang Trung, Quy Nhơn, Bình Địnhbởi gọn gàng sáng sủa Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải võ sĩ
Kẻ HL AB (L AB) HL // AC Đặt F = HL BE Theo định lí Ta-lét :
KF BC (vì AH BC)
F trực tâm cđa tam gi¸c KBH BE KH
Nhận xét : 1) Bài toán đơn giản, nhiên tìm cho lời giải đơn giản lại chuyện không đơn giản
2) Một số võ sĩ có nhận xét : thay giả thiết điểm D thuộc đoạn HC giả thiết điểm D thuộc đường thẳng BC Với thay đổi này, ta có tốn hay phần định lí Ta-lét
3) Đương nhiên, võ sĩ Phan Dỹ Kỳ người đăng quang trận thách đấu
Nguyễn Minh Hà
EC DC ED // AH nên ;
EA DH DC KA HL // AC // DK nªn
DH KL FH KA
Suy KF // AH FL KL
FH EC v× HL // AC nªn ;
FL EA
Rất nhiều võ sĩ nhận lời thách đấu với
(21)20 Tính giá trị biểu thức dạng toán quen thuộc học sinh THCS Trong nhiều trường hợp, việc tính giá trị biểu thức khó thực sử dụng phép biến đổi trực tiếp, lại thực dễ dàng thơng qua việc tính giá trị biu thc trung gian khỏc
Sau vài ví dụ minh họa Ví dụ :Tính giá trÞ cđa biĨu thøc
A = + + 32+ 33+ + 32004 Lời giải : Để tính giá trị biểu thức A, cần liên hệ với công thức tính an- 1, ta thấy :
2A = (3 - 1)( + + 32+ 33+ + 32004) = = 32005-
Do :
Với học sinh lớp 6, chưa học đẳng thức thực theo cách sau :
A = + + 32+ 33+ + 32004 3A = + 32+ 33+ 34+ + 32005 2A = 3A - A = 32005-
VÝ dô :Tính giá trị biểu thức : B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100
Lời giải : Để tính B, trường hợp này, ta tính 4B
4B = 4(1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100) = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + + 98.99.100.4
= 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 - 1) + 3.4.5.(6 - 2) + + + 98.99.100.(101 - 97)
= 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + + + 97.98.99.100 - 97.98.99.100 + 98.99.100.101 = 98.99.100.101
Ví dụ :Tính giá trị biểu thức : Lời giải :
Xét thấy
là hai giá trị liên hợp, ta thử tính C2:
Vậy :
Ví dụ :Tính giá trị biểu thức : Lời giải : Sẽ khó khăn bạn gặp biểu thức dạng Hãy thử phân tích biểu thức dấu thành bình phương tổng, hiệu Ta thấy :
2
4 (1 3)
2 ;
2 2
5
Tương tự, 14
D 2 14 3 C 1
4 10 4 10 5 C 4 10 ; 4 10 5
C 4 10 5 4 10 98.99.100.101
B 24497550
4
2005
3
A
2
2005
3
A
2
2
2 2
C 10 10
2 (4 10 )(4 10 ) 16 (10 5) 8 5 (1 5) 2(1 5) 5 C (1 5) Mặt khác :
Nguyễn văn lạc
(Phòng Giáo dục Tiên LÃng, Hải Phòng)
Tớnh giỏ tr biu thức
(22)21 Vậy trước hết ta tính từ suy D : Ví dụ :Tính giá trị biểu thức
Lêi gi¶i : Ta thư tÝnh E3
E =
§Ị nghị bạn giải tập sau Bài tập :Tính giá trị biểu thức :
3 3
2
E 12 5E E 12 5E
E 9E 4E 12
E(E 3)(E 3) 4(E 3) (E 3)(E 3E 4)
E (v× E 3E víi mäi E)
3
3
3
847 847
E 6
27 27
847 847
3 6 E
27 27
847 125
12 36 E 12 .E
27 27
5
12 .E 12 5E
3 847 847
E 6
27 27
2 (1 3) (5 3)
D D
D 2,
4
0 2004
3
2 2 5 2 15 21 35
1 1 1
a) M
3 3 3
b) N
8 55 55
c) P 7
3 3
d) Q 17 17
5 17 17
e) R
Tô Việt Anh, 9A, THCS Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, Hà Nội ; Nguyễn Trung Kiên, 8C, THCS Vĩnh Yên, TX Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thành Trung, 8D, THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh; Dương Danh Hồng Anh, 6A4, THCS Phan Chu Trinh, TP Buôn Ma Thuột, Đắk Lắk ; Nguyễn Mạnh Tùng, 7B, THCS Thị Trấn, Tân Yên, Bắc Giang; Ngô Hải Nam, 30 Bùi Thị Xuân, Đồng Mỹ, Đồng Hới, Quảng Bình ; Hồng Đức ý, 8E, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Khuất Văn Phiến, Đội 5, xã Đại Đồng, Thạch Thất, Hà Tây ; Phan Đức Thành, 9/4, THCS Nguyễn An, Gị Vấp, TP Hồ Chí Minh ; Nguyễn Văn Ngọc, 7G, THCS Nguyễn Huệ, Đông Hà, Quảng Trị; Bùi Bảo Khang, 7A1, THCS số 2, An Nhơn, Bình Định ; Đặng Vân Anh, 6A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Trần Thu Thủy, 6A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định
(23)Dạng toán Thống kê mô tả
Để tiện trình bày khái niệm thống kê tính máy, ta xét ví dụ sau
Ví dơ (Thi vµo 10 THPT, NghƯ An, 1996) Mét học sinh lớp có kết kiểm tra môn toán với 10 lần điểm sau :
7, 8, 6, 7, 7, 8, 9, 6, 10,
a) Lập bảng phân phối thực nghiệm, tính điểm trung bình học sinh
b) Tính phương sai, độ lệch tiêu chuẩn cho biết ý nghĩa độ lệch
Lời giải : Kết kiểm tra (là đại lượng thay đổi, gọi biến lượng) thể bảng số liệu : 7, 8, 6, 7, 7, 8, 9, 6, 10, Biến lượng nhận giá trị xi (bằng số : 6, 7, 8, 9, 10)
Số lần lặp lại giá trị xitrong bảng số liệu gọi tần sốcủa xivà kí hiệu mi Bảng số liệu biểu diễn dạng bảng phân phối thực nghiệm :
Trung bình cộng k giá trị x1, x2, , xk với tần số tương ứng n1, n2, , nk
Trong trường hợp
lTÝnh trªn Casio fx-500A :
Bấm phím (Vào chương trình thống kê) khai báo liệu :
7 7
8 10
7 (KÕt qu¶ : 7.5)
Ta dùng phương sai(kí hiệu ) độ lệch tiêu chuẩn để đánh giá phân tán giá trị quanh giá trị trung bình :
Tính độ lệch tiêu chuẩn phương sai : Bấm tiếp phím :
( = 1.20415) (KÕt qu¶ : = 1.45)
Kết luận :Điểm kiểm tra phân tán quanh giá trị trung bình với độ lệch tiêu chuẩn 1,2
lTÝnh trªn Casio fx-500MS :
Vào chương trình khai báo liệu :
6
8 10
1
Giá trị trung bình : (7.5) Tìm độ lệch trung bình phương sai :
(1.20415) (1.45) Chú ý :Khai báo nghĩa khai báo giá trị x1= có tần số
Ghi nhớ : 1) Vào chương trình thống kê Casio fx-500A :Bấm phím
Trªn Casio fx-500MS :
Trªn Casio fx-570MS :
2) Xóa số liệu thống kê (để nhập số liệu khác)
3) Ra khỏi chương trình thống kê
1 CLR SHIFT MODE MODE MODE MODE DT ; SHIFT x S-VAR SHIFT S-VAR SHIFT DT ; SHIFT DT ; SHIFT DT ; SHIFT DT ; SHIFT DT ; SHIFT MODE n x SHIFT n n SHIFT
2 2
2 1 2
( ) ( ) ( ) k k k
m x x m x x m x x
m m m
x SHIFT DATA DATA DATA DATA DATA DATA DATA DATA DATA DATA MODE
x 7,5.
1 2 k k k x n x n x n x
n n n
x
mét sè d¹ng toán thi học sinh giỏi
giải toán máy tÝnh ®iƯn tư casio”
TS Tạ Duy Phượng(Viện Tốn học)
22
(24)23 (khi ®ang ) 4) Xóa tất đưa máy trạng thái
ban đầu :
Vớ d Điểm hai đội thi thống kê theo bảng :
1) Tính điểm số trung bình, phương sai độ lệch tiêu chuẩn đội
2) Hãy nhận xét trình độ hai đội Lời giải :Ta tính đồng thời hai máy Casio fx-500Avà Casio fx-500 MSnhư sau :
§éi 1(Casio fx-500A) :
1.7 2.4 3.5 4.6
5.2 5.3 5.4 6.1
6.3 7.6 8.8 9.1
( )
( ) ( )
§éi 2(fx-500 MS) : 3.4
3.6 4.5 4.8 5.1 5.2
5.7 6.0 6.3 6.4 7.2
7.8 ( )
( )
( )
Kết luận :Điểm trung bình đội học có phương sai bé
Ví dụ 3.Ba xạ thủ A, B, C bắn người 60 viên Điểm số thống kê sau :
Tính điểm số trung bình, phương sai độ lệch tiêu chuẩn người Xếp hạng
Lời giải :Sử dụng ba máy đồng thờinhư sau :
X¹ thđ A (Casio fx-500A) :
10 30 20
7
( ) ( )
( )
X¹ thđ B(Casio fx-500 MS) :
1
8
6
( )
( ) ( )
X¹ thđ C(Casio fx-570 MS) :
10 15
45
( ) ( )
( )
Kết luận : Điểm trung bình theo độ lệch tiêu chuẩn ta xếp hạng : Nhất : C ; Nhì : B ; Ba : A
Bài tập.Tính giá trị trung bình phương sai theo bảng số liệu sau
1) (Sở GD&ĐT Hà Nội, 1996 Khối 10)
2) (TP HCM, 1996 ; Hµ Néi, 1996)
3) (Së GD & §T §ång Nai, 1998 THCS)
Kết luận :1) Máy tính giúp giải nhanh tốn thống kê, dạng tốn địi hỏi
(25)24
TÌM CÁC BỘ SỐ NGUYÊN DƯƠNG nguyễn văn thiêm(Hà Nội)
CO TONG BAẩNG TCH
Ta biết có ba số nguyên dương mà tổng số tích chúng (tổng tích), số (1, 2, 3) :
1 + + = x x (1)
Bài tốn đặt :Tìm số ngun dương khác có tổng tích
Hướng thứ : Thử thêm vào số số, chẳng hạn số 4, ta thấy số (1, 2, 3, 4) có tổng khác tích :
1 + + + = 10 cßn x x x = 24 Từ cân tổng tích cách thêm 24 - 10 = 14 số vµo bé sè (1, 2, 3, 4) :
Như ta tìm 18 số có tổng tích
Tương tự, ta tìm 110 số có tổng tích
Bé sè gåm 705 sè
cã tæng b»ng tÝch :
Hướng thứ hai :Thử thay số số (1, 2, 3) số khác, chẳng hạn thay Tiếp tục vận dụng tính chất số trên, ta tìm số có tổng tích
1 + + = x x + + + = x x x + + + + = x x x x + + + + + = x x x x x
Cho n = 2004, ta 2004 sè cã tæng b»ng tÝch
Tương tự, thay số số (1, 2, 3) 3, 4, 5, ta có kết :
1 + + = x x + + + + = x x x x
sè h¹ng thõa sè 1 x x x x x 3
5 sè h¹ng 5 thõa sè
1 x x x x x 3 2002 sè
(1, 1, , 1, 2, 2004) : n sè h¹ng n thõa sè
1 n x x x x x n (2)
699 sè h¹ng 699 thõa sè
1 1
1 x x x x x x x x x 720
700 sè
(1, 1, , 1, 2, 3, 4, 5, 6) 105 sè h¹ng
105 thõa sè
1 1
1 x x x x x x x x 120 ;
106 sè
(1, 1, , 1, 2, 3, 4, 5) : 15 sè
(1, 1, , 1, 2, 3, 4). 14 sè h¹ng
14 thõa sè 1 1
1 x x x x x x x 24
n thõa sè 1 x x x 1,
2002 sè h¹ng
2002 thõa sè 1 2004
1 x x x x x 2004
(26)25 Víi n = 1003, ta 2005 sốcó tổng tích
Thực tương tự với 18 số có tổng tích cho ta số mới, ví d :
Cho n = 401, ta 2003 sècã tæng b»ng tÝch
l Các đẳng thức viết
gọn lại, ví dụ đẳng thức cuối viết gọn :
(1 x 2000) + + + 401 = 12000 x x x 401 Sau vài lời giải khác toán tìm 2003 sècã tæng b»ng tÝch : 12001x x 2003 = (1 x 2001) + + 2003 12001x x 1002 = (1 x 2001) + + 1002
12001x x 287 = (1 x 2001) + + 287 12001x 12 x 183 = (1 x 2001) + 12 + 183 12001x 14 x 155 = (1 x 2001) + 14 + 155 12001x 15 x 144 = (1 x 2001) + 15 + 144 12001x 23 x 92 = (1 x 2001) + 23 + 92 12001x 27 x 78 = (1 x 2001) + 27 + 78
Tất lời giải có dạng tổng quát :
trong ú p - ước số n + p - (hay p - ước số n - 1)
Ta nhận thấy đẳng thức (2) cho ta 2003 số có tổng tích, lời giải theo dạng tổng quát
Khi cho n = 2003 :
(1 x 2001) + + 2003 = 12001x x 2003 Đến thấy nhiều hướng khác để tìm số có tng bng tớch
Bài tập :HÃy tìm thêm bé sè cã tỉng vµ tÝch cïng b»ng 2003 ; 2004 ; 2005
n n p n p
1 x p x (n 2) p ,
p p
2000 sè
(1, 1, , 1, 2, 3, 401) : 5(n 1) sè h¹ng
5(n 1) thõa sè
n
1 x x x x x n
25 sè h¹ng 25 thõa sè
1 x x x x x 6 20 sè h¹ng 20 thõa sè
1 x x x x x 5 15 sè h¹ng1 x x x x x 4 15 thõa sè
15 sè
(1, 1, , 1, 2, 3, 4) 2003 sè h¹ng
2003 thõa sè 1 1003
1 x x x x 1003 x
2003 sè
(1, 1, , 1, 1003, 3) :
2001 sè h¹ng
2001 thõa sè 1 2003
1 x x x x x 2003 hay
2000 sè h¹ng
2000 thõa sè 401
1 x x x x x 401
2n sè h¹ng 2n thõa sè
1 n x x x x n x
(27)26
từ toán Trong Bài tập Toán tập có
tập 210 trang 27 Đó toán
l Bài tốn khơng q khó, lời giải
sư dơng tÝnh chÊt :
2k+ 2k + 1= 2k(1 + 2) = 3.2k3 Bài toán (bµi 210 trang 27):Tỉng sau cã chia hÕt cho kh«ng ? A = + 22+ 23 + 24+ 25+ 26+ 27+ 28+ 29+ 210
Lêi gi¶i :Ta cã A = (2 + 22) + (23+ 24) + (25+ 26) + (27+ 28) + (29+ 210) = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + 27.(1 + 2) + 29.(1 + 2) = 3(2 + 23+ 25+ 27+ 29) VËy A 3
l Đây toán hay, từ toán
ta khai thác nhiều kết thú vị
HBớt số hạng cuối tổng A
ta có toán
Bài to¸n :Cho B = + 22+ 23+ 24+ 25+ 26+ 27+ 28+ 29 Chøng minh r»ng B kh«ng chia hết cho
Lời giải :
Cách :(áp dụng kết toán 1) Ta có B = A - 210, A mà 210không chia hết B không chia hết cho
HTa sử dụng kết quen thuộc : 2k
kh«ng chia hÕt cho víi mäi k N Nh vËy A sÏ kh«ng chia hÕt cho bớt sè h¹ng cđa nã
Cách :(làm tương tự toán 1) B = (2 + 22) + + (27+ 28) + 29= = = 3(2 + 23+ 25+ 27) + 29không chia hết cho
HTa nghĩ đến kết tổng quát
Bài toán :Cho C = + 22+ 23+ + 22n; D = + 22+ 23+ + 22n + 1víi n N
H·y cho biÕt C ; D cã chia hÕt cho kh«ng ?
HDƠ thÊy A mµ (2 ; 3) = 1, ta có
toán mạnh toán
Bài toán :Cho A = + 22+ + 210 Chøng minh r»ng A 6
HTương tự với M = + 22+ + 2n,
nhóm ; ; số hạng liên tiếp đặt thừa số chung cho ta nhiều kết khác
Bài toán : Cho E = + 22+ + 212 Chøng minh r»ng E chia hÕt cho Tìm ước số khác E
HVới tỉng M nãi trªn, nÕu n k hay n = kq
(k 2) th× M = (1 + + 22+ + 2k - 1)(2 + + 2k + + 22k + 1+ + 2n - k + 1)
Đặt S = + + 22+ + 2k - S = 2S - S = 2k- M 2k-
Giả sử k1, k2, , kqlà ước số tự nhiên lớn n, cách chọn số nguyên tố đôi
c¸c sè råi lËp
tÝch p c¸c số chọn M p
Vớ d : F = + 22+ 23+ + 22004 Khi ước 2004 : ; ; ; ; ; 12 ; nên F chia hết cho ; 22- = ; 23- = ; 24- = 15 ; 26- = 63 ;
Suy F chia hÕt cho ; 14 ; 21 ; 30 ; B©y giê thay bëi số tự nhiên a lớn tổng M ta M = (1 + a + a2+ + ak - 1)(a + ak + 1+ a2k + 1+ + an - k + 1)
Khi
l Những kết cịn cho
tỉng cđa n lịy thõa bËc liªn tiếp 2, số hạng có số mị bÊt k× :
2k + 1+ 2k + 2+ 2k + 3+ + 2k + n Bài tập vận dụng : Chứng minh tổng sau chia hết cho :
P = - + 22- 23+ 24- + 22004 ; Q = + 32+ 33+ + 32004
k k
a a
S vµ M
a a
q
1 k
k k
2 ; 1; 1; ; 1
phan thÕ H¶i
(Giáo viên trường THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An)
(28)27
Chun du lÙch cða tái
i
Chào bạn ! Hè bạn có du lịch khơng ? Cịn tơi, tơi lên cho chương trình du lịch cụ thể Các bạn đọc góp ý cho tơi xem chương trình tơi hợp lí chưa !
Q tơi Hải Dương - nơi có hội chọi trâu Đồ Sơn tiếng Vì tơi bắt đầu chuyến du lịch từ nơi Xem xong lễ hội chọi trâu, lên Điện Biên để tận hưởng bầu khơng khí lành khu du lịch Sa Pa thơ mộng Tại tơi ăn ăn người Thái ngắm hoa ban nở Từ Sa Pa, lên tàu hỏa để vào Đà Nẵng leo núi Ngũ Hành Sơn vào động Phong Nha huyền bí Tơi khơng thể bỏ qua khu phố cổ Hội An với cầu Tràng Tiền
nên thơ bên dịng sơng Hương cuồn cuộn chảy Trên đường tiếp vào phía Nam, tơi ghé thăm ngã ba Đồng Lộc lịch sử - nơi cô gái giao liên dũng cảm hi sinh thời kì chiến tranh Rời Đồng Lộc, đến Đà Lạt, nơi mệnh danh “thị trấn mây” Từ sang khu du Buôn Đôn (ở Gia Lai) không bao xa nên cố gắng đến để lần cưỡi voi Tạm biệt Tây Nguyên, Vũng Tàu trước tiếp vào thành phố mang tên Bác Tôi dự định lại thành phố Hồ Chí Minh khoảng ngày Như tính tổng cộng thời gian chuyến du lịch tơi kéo dài chừng - ngày Một khoảng thời gian không dài lại hiểu biết thêm bao điều thú vị, phải không bạn ?
Ngun H÷u HiƯp Hai
(Đội 4, Cự Lộc, Minh c, T Kỡ, Hi Dng)
Những chỗ bị mờ bình luận Tuyệt vời Bồ Đào Nha ! cã thĨ kh«i phơc nh sau :
Đợt trận đấu cuối diễn giờcủa Bảng A diễn hấp dẫn đầy kịch tính Trước hàng vạn cổ động viên đội nhà, cầu thủ Bồ Đào Nha chơi chiến sỹ cảm tử khác hẳn trận đấu trước Trong đội quân Tây Ban Nha sẵn sàng đối đầumột cách sòng phẳng Trên tồn mặt sân, tất nóng bỏng ! Sự xuất cầu thủ trẻở hai đội Deco, Ronaldo, Cavalho, Gomes (Bồ), Tores, Joaquin (TBN) đem đến luồng gió Khơng trận này, trận đầu tưởng không ý nhiều Nga Hy Lạp diễn đầy cảm hứng Những “chú gấu Misa” bừng tỉnh dồn dập công phút đầu hiệp 1, người Nga lần hạ đổ khung thànhđối thủ khơng kịp gỡ lại bàn nguy bị loại trực tiếp đến với Hy Lạp Song nỗ lực “Những đứa thần Dớt” đền đáp, họ thu ngắn cách biệt 1-2, nguy cơbị loại thua bàn tiếp tục đeo bámcác cầu thủ Otto Rehaghen khiến trận đấu căng dây đàn! Cuối cùng, nỗ lực tuyệt vời đến quên Deco, Ronaldo, Figo
tồn thể đội bóng chủ nhà đền đáp, ĐT Bồ đào Nha giành vé vào Tứ kết! Tuy vất vả tận hoàn toàn xứng đáng Các cầu thủ đỏ - xanh cứu EURO 2004 thảm họa đội chủ nhà bị loại sớm Chia tay Tây Ban Nha, người hâm mộ có phần luyến tiếc dàn cầu thủ tài vào loại giới khơng cịn hội cống hiến, họ nên tự trách khơng vượt qua Hy Lạp trận đối kháng Và cuối cùng, ĐT Nga dù bị loại để lại dấu ấncủa cầu thủ bóng đá chân Với tinh thần ấy, bóng đá Nga trở lại đỉnh caorất gần !
Năm bạn trao giải kì : Ph¹m
Phương Thanh, 256C, 17, phường Hạ Long,
TP Nam Định, Nam Định ; Hoàng Minh
Thắng, mẹ Trần Thị Hương, khối 13, phường
Cửa Nam, Vinh ; Nguyễn Thị Hải Yến, 7A, THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An; Nguyễn
Thiện Nhân, mẹ Trần Thị Thời, Phòng kế
toán, Nhà máy xi măng COSEVCO, Khu công nghiệp Hòa Khánh, Liên Chiểu, Đà Nẵng; Lý
Thựy Dng, C3, Tụ Hiến Thành, p Điện Biên,
TP Thanh Hãa, Thanh Hãa
Phó B×nh
l
(29)28 Anh Khoa ¬i !
Em thích thơ “Mẹ ốm” anh Nhưng có câu mà chúng em cãi Đó câu
“Cánh khép lỏng ngày” Người thơ thương yêu mẹ : “Mẹ vui có quản - Ngâm thơ, kể chuyện hát ca - Rồi diễn kịch nhà - Một sắm ba vai chèo” Người ngoan mà khép cho mẹ không chặt
“Cánh khép lỏng ngày” Khép muỗi chui vào Và người cẩu thả Điều có mâu thuẫn với hành động thương mẹ mà mua vui để mẹ vui không ?
Vũ Thị Tươi
(Tây Kỳ, T K, Hi Dng)
Trần Đăng Khoa :
Cám ơn em yêu mến thơ anh viết thời ấu thơ Sự phát em, điều ngày xưa, tụi trẻ chúng anh, bạn Câu lạc thơ Chim Họa Mi bàn luận Thực tình, câu thơ bàn ấy, có chữ thơi Đó chữ “lỏng” Nếu “Cánh khép chặt ngày” bà mẹ chết Vì thơng thường, ban ngày, người ta không buông Màn buụng ban
(30)29 Trong hàng ngang ô chữ tên loài chim Bạn có tìm không ?
Nguyễn Việt Hưng
(16/3A, khu phố 2, phường 3, TX Tây Ninh, Tây Ninh) Nếu bạn người u thích mơn Vật lí giỏi Tiếng Anh, với chữ kì bạn tìm nhiều đáp án Có nhiều khái niệm vật lí phù hợp để điền vào hàng ngang ô chữ : Hàng :Ta điền : POWER - Lực ; PRISM - Lăng kính ; PHASE - Pha
Hµng :MECHANICS - C¬ häc
Hàng :VELOCITY - Vận tốc ; CAPACITY - Công suất ; MOBILITY - Độ lưu động ; QUANTITY - Đại lượng
Hàng : SPRING Lò xo ; SOURCE -Nguồn ; SERIES - M¹ch nèi tiÕp ; SPREAD
- KhuyÕch tán ; SWITCH - Công tắc Hàng :INERTIA - Quán tính ; ELASTIC - Đàn hồi ; CIRCUIT - Mạch điện
Hàng :FORCE - Lực
Hàng :PRESSURE - áp suất Hàng dọc : PHYSICS - Mơn Vật lí Đa số bạn tham dự đưa đáp án Những bạn xuất sắc nhận tặng phẩm kì : Đặng Thị Nhung, số 146, phường Cam Giá, TP Thái Nguyên, Thái Nguyên; Nguyễn Thị Cẩm Nhung, 7A, THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh ; Lê Cảnh Toàn, 9D, THCS Bắc Hồng, TX Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh ; Phan Thị Minh Hiếu, 29K2, Long Châu, TT La Hai, Đồng Xuân, Phú Yên ; Lê Thị Thùy Trang, Đại lí xăng dầu Hà Lam, Thăng Bình, Quảng Nam
Chủ Vườn
l KÕt qu¶ : VÊÅT LĐ(TTT2 sè 17)
(31)30
L¹ng xe tÐ ngÃbên lề
Nghỉ ngơisau chuyến quê dài ngày Leo trèocần khỏe chân tay
Tớnh tỡnh thngngi hay tin dùng Niềm vui nhỏ bétheo
Buôn làng chìm đắmtrong vùng khói vương Con cha mẹ yêu thương
Trông coichung việc nên thường gặp Vệ sinh phòng tránh ốm đau
Con tàu to lớntiến vào cảng sâu Qua đường nhìn ngótrước sau Mặt sân khô ráonước vào lầy trơn
Gặp quên hết giận hờn Mau lẹxem xét duyệt đơn mua hàng
E ngạichẳng dám nói càn La hét,
La hÐt,
La hét đùa giỡnrộn ràng sân Im lặngnghe bạn phân trần Tạp chí ưa thíchnhiều lần đọc qua
Hai người rượt đuổiphía xa Đợi chờsốt ruột đoán già đoán non
Ban thưởng :Đinh Thị Thu Quỳnh, mẹ Phạm Minh Huệ, trường TH An Lễ, Quỳnh Phụ, Thái Bình; Nguyễn Thành Trung, 9B, THCS Nguyễn Nghiêm, khối IV, thị trấn Đức Phổ, Quảng Ngãi ; Trần Thị Ngọc Oanh, xóm 10, thị trấn Vĩnh Trụ, Lý Nhân, Hà Nam;
Lê Ngọc ánh, 80 Lê Văn Hưu, phường Tân Sơn, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Lê Cảnh Toàn, 9D, THCS Bắc Hồng, TX Hồng Lĩnh,
Hà Tĩnh
Vua Tếu
Kì thÊy bao giê ? K× g× khã thÊy mê mê bạn ?
Kỡ gỡ sung sng ó i ? Kì nón người chơi ?
Kì danh tiếng mn nơi ? Kì trơng thấy cười ?
Kì trơng đợi hơm ? Kì sốt sắng đến ngày thi ?
Kì giới cịn ghi ? Kì động vật lồi kì nhơng ?
Kì rộng lớn mênh mơng ? Kì lập đựoc chiến cơng oai hùng ?
TrÇn Hun §øc
(32)31 Hái : Em vµo thư website
của Tốn Tuổi thơ định đăng nhập khơng Anh giúp em khơng ?
Tô Mạnh Hà
(m l Nguyn Th Liên, Phịng Viện phí, Bệnh viện Đa khoa Hà Tĩnh) Đáp :Trang web Tốn Tuổi thơ có ngày có tới hàng vạn bạn truy cập Các bạn đọc tất số TTT xuất (mục Xem tạp chí), xem viết tới Tòa soạn hay chưa (mục Bài viết nhận), nghe hát Toán Tuổi thơ, tham gia Thi tài mạng hàng tháng đặc biệt thảo luận Diễn đàn 3T với 24 chủ đề phong phú Tới với Diễn đàn 3T bạn làm quen với hàng ngàn bạn nước (có bạn nước ngoài) Muốn sử dụng tất tiện ích đăng nhập bạn cần phải đăng kí thành viên Bạn chọn Đăng kí thành viên thấy đăng kí Bạn điền vào mục theo hướng dẫn (trong có mục khơng bắt buộc để có quyền giữ bí mật cá nhân) Quan trọng bạn chọn cho tên đăng nhập (khơng tên khơng nên có dấu thanh), tên lên bạn tham gia viết Diễn đàn Bạn chọn cho mật (có thể có chữ chữ
số) Khi chọn Đăng nhập, bạn phải gõ tên đăng nhập mật đăng kí Nếu gõ sai bạn khơng đăng nhập Khi đăng nhập bạn có quyền làm điều mà thành viên lm
Chúc bạn ngày thân thiết với trang web
Hỏi : Em có ước mơ sau trở thành Tổng thống giới để làm cho người dân trái đất có cơm ăn, áo mặc nụ cười nối tiếp nụ cười Theo anh ước mơ có thành thực khơng ?
Ngun ThÞ Hång Vinh
(Líp 9, THCS Lam KiỊu, Song Léc, Can Léc, Hµ TÜnh)
Đáp :
Tng thng th gii ? Tuyt vời ! Muốn dân chúng khắp nơi bầu Sợ chẳng có đâu Nhưng mà nguyện ước em cầu đẹp Tổng thống nơi Có nghe mơ ước ngào
cđa em ? Hỏi : Nhân dịp sinh nhật bạn thân em, em muốn tặng bạn quà Nhưng bố mẹ em không cho tiền Em phải anh ?
Đỗ Bảo Ngọc
(Cung ng ga Hng Canh, Vnh Phỳc)
Đáp :
Mua quà phải có tiền Bố mẹ không thật
phiền thay ! Chắc em gái khéo tay Tự làm hay hay mà
Tặng bạn thêm ca Anh tin quà định
mua Hỏi : Đầu em nhiều gầu, em ngại mặc áo đen Có người xui em sau gội đầu dầu gội gội thêm bia Như có khơng ?
Em gái đợi thư (Khối 9, THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ) Đáp :
Bia mà nhắm với gầu Bia nhiều chắn đầu
lõng lõng Nghe em, có lẽ họ nhầm Tưởng gầu bị hầm
chờ bia Hỏi : Em có bệnh nhát gan Theo anh, em có đáng lo sợ khơng ?
Phạm Hồng Tân
(6A, THCS Vạn Phúc, Hà Đông, Hà Tây) Đáp :
Theo y học : bệnh nhát gan Chưa phải cấp cứu, thuốc
thang nhiều Chỉ sợ em chữa liều To gan, bệnh siêu
phiền lòng
(33)32 Bµi 1(19) :
Chøng minh r»ng A < 0,4
ngnd Vũ hữu bình(Hà Nội)
2 25 24
Cho A
2 1 2 3 25 24
j
Bµi 2(19) : Cho c¸c sè x1, x2, x3, , x11 tháa m·n : x1< x2< x3< < x111000 Chøng minh r»ng, tån t¹i i {1, 2, 3, , 10} cho
nguyễn đức phương(Hà Nội)
i i i i x x x x Bài 3(19) : Giải phương trình :
cao minh quang
(Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long)
2
x 3x x
j
Bài 4(19) : Cho hình vuông ABCD Gọi E trung điểm AD Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với BE, cắt CD F
Tính tỉ số
bùi văn chi
(Giáo viên trường THCS Lương Thế Vinh, TP Quy Nhơn, Bình Định) EF
EB
Bài 5(19) :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R D điểm di động cạnh BC AD cắt (O) E (E khác A) Gọi R1, R2lần lượt bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác EBD, ECD Xác định vị trí điểm D để R1.R2đạt giá trị lớn
nguyễn đức (TP Hồ Chí Minh)
j j
(34)(35)(36)