Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Sở Giáo dục và đào tạo Hưng Yên năm 2020

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM HỌC: 2020-2021

MƠN THI TỐN CHUN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm)

Cho biểu thức

3

2 1

:

1

1

x x

M

x x x

x

     

   

        

 với x0; x1; x9

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tìm giá trị x để biểu thức M nhận giá trị nguyên dương Câu (2,0 điểm)

a) Tìm hàm số bậc có đồ thị đường thẳng với hệ số góc dương qua điểm A 2;1 tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích

2

b) Tìm giá trị m để phương trình

2x (m5)x  m (m tham số) có hai nghiệm phân biệt 1,

x x thỏa mãn 12 22 17

x x 

Câu (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 5x22x 3 (2x1) 5x22x 1 b) Giải hệ phương trình    

2 2

2

2

x x x y x y

x y

     



    

Câu (3,0 điểm)

1. Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a M điểm di động đoạn OB M khác O B Vẽ đường tròn tâm I qua M tiếp xúc với BC B, vẽ đường tròn tâm J qua M tiếp xúc với CD D Đường tròn  I đường tròn  J cắt điểm thứ hai N

a) Chứng minh năm điểm A N B C D, , , , thuộc đường tròn b) Chứng minh ba điểm C M N, , thẳng hàng

2. Cho tam giác MNP vuông cân M, MNa Lấy điểm D thuộc cạnh MN, điểm E thuộc cạnh NP cho chu vi tam giác NDE a Tìm giá trị lớn diện tích tam giác NDE

Câu (1,0 điểm)

Cho a b, số thực dương thỏa mãn điều kiện (ab)34ab12 Chứng minh rằng:

1

2020 2021 1a1b ab

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu

a) Với x0; x1 x9, ta có:

     

     

3

2 1 1

1 1 1

1

2 1

1 1

1

x x x x

x x x x x x x

x

x x x x x

x x x x x x

x

x x

      

      



    

 

     



 

Và 4

1 1

x x x x x

x x x x x x

     

  

     

Do :

1

x x x

M

x x x x x



 

    

b) Ta có: 3

3 3

x x

M

x x x

 

   

  

Lại có: M   3 x 3  x   3  3; 1; 1; 3 x0; 2; 4; 6 x 0; 4; 16; 36  Vậy với x0, 4, 16, 36 M nhận giá trị nguyên

Câu

a) Ta có yaxb với a0 Do đường thẳng qua điểm A 2;1 nên ta có: 2a b Đường thẳng cắt hai trục độ tọa độ B 0;b C b;

a

 

 

 

 

Khi

2

2

1

2 2

OBC

b b

S b a b

a a

     

Từ ta có hệ

2

2

1,

2

1

,

2

4

a b

a b a b

a b

a b b b

   



    

 

   

 

        

 

  

Vậy y x 1

4

y x hàm số cần tìm

b) Phương trình cho có  m52 4 2m 2 m22m 9 m12 8 0,  m 

Theo định lý Viete, ta có: 2 2 m x x m x x           

Khi ta có:

 2

2

1 2

2

2

17 17

2

4

5 17

2

2

0

6

6

x x x x x x

m m m m m m                              

Vậy m0, m 6 hai giá trị cần tìm Câu

a) Điều kiện 5x22x 1 Đặt a 5x22x1, a0 Phương trình cho trở thành:

 

  

 

2

4 2 2 2

a x x a

a a x

a x a

    

    

    

Với a2x1, ta có:

  2 2

5 2

5 2 x

x x x x

x x x

  

       

    



So với điều kiện ban đầu phương trình cho có nghiệm x 1 b) Phương trình thứ hệ cho tương đương:   

2

2

2

2 x

x x y

y x

 



       



Với 2 , x x x        

 ta có y4

Với y 2 x thay vào phương trình thứ hai hệ ta 2

0 x y x x x y              

Vậy hệ cho có bốn nghiệm x y;  2; ,  2; , 0; ,   1;3  Câu

1 a) Ta có: BC tiếp tuyến  I B nên IAB

Suy  90

MIB Do 



0

45

MIB

MNB 

Tương tự ta chứng minh  



0

90 45

2

DJM

DJM  DNM  

Khi BNDDNMMIB450450900 mà DAB900 nên tứ giác DANB nội tiếp Mà DABC nội tiếp nên năm điểm D A N B C, , , , thuộc đường tròn

b) Gọi N1 giao điểm CM với  I , suy CB2CM CN  1 Gọi N2 giao điểm CM với  J , suy  

2 CD CM CN

Từ  1  2 suy CB2 CD2CM CN 1CM CN 2 Do NN1N2 Vậy C M N, , thẳng hàng

2. Gọi H hình chiếu E lên MN.Đặt NDx NE, y với 0 x a 0 y a

Ta có:

2

NE EH NE MP y a y

EH

NP MP NP a

 

    

Ngoài ra: NE NP NP NE EP

NH NM NM NH MH



  



Suy ra:  

2

a y a

EP NM y

MH a

NP a

  

   

Do  

2

y y

HDMDMH  a  x a  x

 

Trong trường hợp E nằm D N ta tính y HD x

N

J

I

D

B A

O

C M

H N M

P

E

Khi

2

2 2

2 2

y y

ED HE HD   x  x y  xy

 

Suy NENDED  x y x2y2 2xy2 a

Mà

2 2

NED

xy S  EH ND 

Theo bất đẳng thức AM – GM x y xy x, 2y22xy Đặt t xy

2

2

4

NDE

xy t

S   Theo trên, ta có

2

2a 2t 2t t  2t t 2 hay

2 2

a t

 

Vì nên

 

2

2

2

4 2

NDE

a

S 

 

Đẳng thức xảy

2

2

2 2 2 2

x y a

x y

x y x y xy a

 

   

       



Vậy giá trị nhỏ diện tích NDE

 

2

2

2

4 2

a

 

đạt 2

a NDNE

 

Câu 5.

Với x y, 0 xy1, ta có: 1 1x1y1 xy Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

     

   2    

1 1

0

1 1

0

1 1

1 1

1

0

1 1

x xy y xy

xy x xy y y x y x x y

y xy x xy

x xy y xy

xy y

x

x y x y

x y x y

   

   

   

       

   

   

  

 



       



    

 

Do xy1 nên bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy xy xy1

 3  3

12 ab 4ab ab 4ab2ab abab 3 ab1 Đặt t ab với 0 t Áp dụng bất đẳng thức ta có:

1 2

1a1b1 ab 1t Ta cần chứng minh 2020 2021

1t t 

Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương:

  

3 2

2020t 2020t 2021t2019  0 t 2020t 4040t2019 0