Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 127

Trong bµi viÕt nµy, t«i muèn tr×nh bµy mét c¸ch hÖ thèng c¸c kÜ thuËt gi¶i to¸n liªn quan ®Õn sè nguyªn tè.. D¹ng to¸n sö dông tÝnh chÊt cña phÐp chia sè nguyªnI[r]

2

LTS Olympic toịn Quèc tạ lẵn thụ 54 ệđĩc tữ chục tỰi Colombia tõ ngộy 18 ệạn ngộy 28 thịng 7, nẽm cã 97 nđắc vộ vỉng lởnh thữ tham dù vắi 527 thÝ sinh ThÝ sinh lộm bội hai ngộy Nẽm khềng cã thÝ sinh nộo ệỰt ệiÓm tèi ệa (42 ệiÓm), cã 45 Huy chđểng vộng cho cịc thÝ sinh ệỰt tõ 31 ệiÓm, 92 Huy chđểng BỰc cho cịc thÝ sinh ệỰt tõ 24 ệiÓm, 141 Huy chđểng ậăng cho cịc thÝ sinh ệỰt tõ 15 ệiÓm ậoộn Viỷt Nam cã em dù thi vộ ệoỰt Huy chđểng Vộng, Huy chđểng BỰc Theo kạt quờ xạp hỰng khềng chÝnh thục tững ệiÓm ệoộn Viỷt Nam xạp thụ Nẽm nay, hai bội hừnh hảc phỬng khã hển nẽm 2012, nhÊt lộ bội toịn sè cựa ngộy ệẵu Xin giắi thiỷu hai bội hừnh cỉng bỰn ệảc vắi cịch giời cựa thẵy giịo NguyÔn Bị ậang chử dỉng kiạn thục THCS

Trđắc hạt xin giắi thiỷu bội ngộy thi thụ hai: Bội toịn 4.Cho tam giịc nhản ABC cã trùc tẹm H Gải M, N lẵn lđĩt lộ chẹn ệđêng cao kĨ tõ cịc ệửnh B vộ C cựa tam giịc Gải D lộ ệiÓm trến cỰnh BC, gải 1 lộ ệđêng trưn ệi qua cịc ệiÓm C, D, M vộ 2 lộ ệđêng trưn ệi qua cịc ệiÓm B, D, N DQ lộ ệđêng kÝnh ệđêng trưn 1, DP lộ ệđêng kÝnh ệđêng trưn 2 Chụng minh rỪng P, Q, H thỬng hộng

Giời ậđêng trưn 1ệi qua cịc ệiÓm D, C, M vộ ệđêng trưn 2ệi qua cịc ệiÓm D, B, N cớt tỰi D vộ K ậđêng cao AH cớt cỰnh BC tỰi E Tụ giịc BDKN néi tiạp nến

Tđểng tù Suy

Do tứ giác ANKM nội tiếp Mà BM AC, CN AB

Tø gi¸c ANHM néi tiÕp

Do ệã A, N, H, K, M cỉng nỪm trến mét ệđêng trưn

A, K, D th¼ng hàng

Ta lại có tứ giác CMKD, BNKD, BNHE néi tiÕp

Suy AK.AD AM.AC AN.AB AH.AE Do tứ giác EHKD nội tiếp

Mµ AE BC nªn KH DK

Mẳt khịc DP lộ ệđêng kÝnh cựa ệđêng trưn (BNKD) nến PK DK

Tđểng tù DQ lộ ệđêng kÝnh cựa ệđêng trưn (CMKD) nến KQ DK

Vậy P, H, Q thẳng hàng

Sau ngày thi thứ nhất:

Bội toịn Cho tam giịc ABC Gải A1, B1, C1 lẵn lđĩt lộ cịc tiạp ệiÓm cựa ệđêng trưn bộng tiạp tam giịc vắi cịc cỰnh BC, CA, AB Chụng minh rỪng nạu tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc A1B1C1nỪm trến ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABC thừ ABC lộ tam giịc vuềng

Giời Gải O lộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc A1B1C1, theo thiạt O nỪm trến ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABC

o HKD 90

o AKN AHN ABC

DKN AKN DKN ABC 180

o ANK AMK KDB KDC 180

AMK KDC

ANK KDB

ThS.Nguyễn bá

3

Vừ A1, B1, C1 lộ cịc tiạp ệiÓm cựa ệđêng trưn bộng tiạp vắi cịc cỰnh cựa tam giịc nến BC1 CB1, AB1 BA1, CA1 AC1 (bỰn ệảc tù chụng minh)

Giả sử AC AB, gọi I điểm cung BAC IB IC

Ta lại có Các tam giác IBC1 ICB1bằng (c.g.c)

IC1 IB1, mµ OC1 OB1 I O

Trên tia OB lấy điểm M, tia đối tia CO lấy điểm N cho BM CN OA

Ta cã , AB1 BA1

Tø gi¸c OABC néi tiếp nên ; CA1 AC1

Các tam giác CNA1và AOC1bằng nhau; tam giác BMA1và AOB1

NA1 OC1 OA1 OB1 MA1

M, A1, N th¼ng hàng NA1 OA1 MA1 Vậy tam giác ABC vuông t¹i A

o o

MON 90 BAC BOC 90 o

1 1

o

1 1

CA N AC O 180 BC O 180 OB C AB O BA M

1

NCA OAB

OBA OBC OAC

IBA ICA

Tun chän c«ng phu

Cách giải mới, khỏc ỏp ỏn ca Ban

t chc

Lần đầu c«ng bè

ChØ sư dơng kiÕn thøc THCS

4

(TTT2 sè 123+124)

NhËn xÐt Câu hỏi kì quen thuộc nên tất

cả bạn phát làm bạn học sinh chða xét điều kiện để xảy dấu Trong lời giải này, ta thấy giá trị x để A Do giá trị nhỏ A (nếu có) lớn

Sau cách giải Lời giải

A (|x 1| | x 4|) (|x 2| | x 3|) |x x 4| |x x 3|

| 3| | 1| DÊu “ ” x¶y

VẺy GTNN cựa A lộ 4, ệỰt ệđĩc vộ chử x

Cịc bỰn sau ệđĩc nhẺn thđẻng: Ngề Trung Kiến, 8A2, THCS Trẵn Phó, Phự Lý, Hộ Nam;Ngun Vẽn Cao, 7A, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa,Hộ Néi;NguyÔn Vẹn Anh, sè nhộ 179 ệđêng Mế Linh, P Liến Bờo, TP Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc; ậinh Thỡ Hăng Nhung, thền Phđểng La 2, Thịi Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; ậộo MỰnh Hỉng, 8H, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó Thả

Anh kÝnh lóp

(x 1)( x 4) x (x 2)( x 3) x x

Trong sách tốn có đề tốn nhð sau: Bài tốn.Cho P 52 53 599 5100 Chứng minh P 126

Lêi gi¶i.Ta cã

P (5 54) (52 55) (597 5100) 5(1 53) 52(1 53) 597(1 53) 126(5 52 597)

VËy P 126

Theo bạn lời giải sai đâu?

Vị Duy §Ünh

(GV THCS Phó Thịi, Kim Thộnh, Hời Dđểng)

Danh sịch cịc bỰn giời ệóng kừ 52: ậộm Tiạn ậỰt, 8A3, THCS Chu MỰnh Trinh, Vẽn Giang, Hđng Yến; Nghiếm Vẽn Lang, 8D, THCS Vỵnh Yến, P ậèng ậa, TP Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc; Trẵn Thỡ DiÔm Quúnh, sè nhộ 13, ngâ sè 5, ệđêng An Dđểng Vđểng, P Trđêng Thi, TP Vinh, Nghỷ An

Lª tó

THẾ CỜ

(TTT2 sè 123+124)

Đen trước chiếu hết sau nước

5

HÌNH NÀO PHÙ HỢP?

HÌNH NAửO PHUử HÔỳP?

Trong cịc hừnh A, B, C, D, E dđắi ệẹy, cã mét hừnh phỉ

hĩp nhÊt vắi hừnh cho trđắc Cịc bỰn cã biạt ệã lộ hừnh

nộo khềng?

trđểng cềng thộnh

(sđu tẵm)

NhẺn xĐt.

Quy luẺt ẻ ệÒ kừ nộy tđểng ệèi

dƠ, tÊt cờ cịc bỰn ệỊu chản ệđĩc ệịp ịn

ệóng lộ hừnh E Mét sè bỰn ệẳt tến hoẳc ệịnh

sè cịc hừnh nhđng quy luẺt khềng râ

rộng, ngớn gản.

Quy luật.

Chia 12 hình cho thành nhóm,

mỗi nhóm gồm hình (từ trái sang phải) đứng

ở đỉnh hình vng Trong nhóm,

hai

hình đỉnh đối diện giống nhau.

Theo

quy luật đó, đáp án hình E.

Xin trao thđẻng cho cịc bỰn sau ệẹy:

NguyÔn

Họu Từnh

, 6A4;

Chu Thỡ HỰnh

, 7B, THCS Yến

Phong, Yến Phong;

NguyÔn Thỡ Ngảc nh

,

7A, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội,

Bớc

Ninh

;

Lế Khịnh Ly

, 6A1, THCS Hai Bộ

Trđng, TX Phóc Yến,

Vỵnh Phóc

;

Ngun

Thỡ Tuyạt Nhung

, 7A, THCS ThỰch ậăng,

Thanh Thựy,

Phó Thả

.

Cịc bỰn vộ tẺp thĨ sau ệđĩc tuyến dđểng:

NguyÔn Vẽn Quang

, 7A, THCS Thanh Hăng,

Thanh Hộ,

Hời Dđểng

;

TẺp thÓ lắp 6C

,

THCS Tiến Du, Tiến Du,

Bớc Ninh

;

NguyÔn

Hộ Linh

, 6/2, THCS Lế Vẽn Thiếm, TP Hộ

Tỵnh,

Hộ Tỵnh

;

NguyÔn Minh Cềng

, 8E,

THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tờng,

Vnh Phúc

.

nguyễn xuân bình

(TTT2 số 123+124)

HÌNH NÀO ĐÚNG?

Bài 41

ậịp ịn: 1-c; 2-f; 3-g; 4-e; 5-b; 6-a; 7-d

Cịc bỰn trờ lêi ệóng, ệđĩc thđẻng kừ nộy lộ:

Ngun Thị Bích Hằng

, 7A, THCS Yên

Phong,

Bắc Ninh

;

Nguyễn Thị Tuyết Nhung

,

7A, THCS Thạch Đông, Thanh Thủy,

Phú

Thả

;

Trẵn Thiến Thựy

, THCS Lý Tù Trảng,

Hđểng Canh, Bừnh Xuyến;

Dđểng Hộ Chi

,

8A2, THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng, TX Phóc

Yến,

Vỵnh Phóc

;

Hă Hộ Duyến

, 6A, THCS Lế

Mao, TP Vinh,

Nghỷ An

.

6

Xung quanh cịc vÊn ệÒ vÒ sè nguyến tè cã nhiỊu kạt quờ thó vỡ vộ cưn nhiỊu bÝ Èn NhiÒu bội toịn, nhiÒu dù ệoịn ệđĩc phịt biĨu rÊt ệển giờn, cịng cã thĨ hiĨu ệđĩc nhđng viỷc từm lêi giời lỰi gẳp khềng Ýt khã khẽn Trong bội viạt nộy, tềi muèn trừnh bộy mét cịch hỷ thèng cịc kỵ thuẺt giời toịn liến quan n số nguyn tố

I Tính chẵn lẻ số nguyên tố

S nguyờn t chn số 2, số nguyên tố lớn số lẻ

Tỉng hc hiƯu cđa số chẵn số lẻ số lẻ

Tổng hiệu hai số chẵn, hai số lẻ số chẵn

Ví dụ 1.Tìm tất số nguyên tố x, y cho: x2 6y2

Gi¶i Tõ x2 6y2 x2 6y2 x 1)(x 1) 6y2

V× 6y2 x 1)(x 1)

Mµ x 1) (x 1) 2x nên x x tính chẵn lẻ

Do ú x v x hai số chẵn liên tiếp x 1)(x 1) 6y2 3y2 y2 y y nên x Vậy x y

II Dạng toán sử dụng tính chất phép chia sè nguyªn

Trong n sè nguyªn liªn tiÕp cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho n

Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n Ví dụ Cho n số tự nhiên khác p số nguyên tố lớn Chứng minh hai số pn 2pn có số hợp số Giải.Trong ba số nguyên lớn liên tiếp 2pn; 2pn 1; 2pn có số chia hết cho Mà 2pn không chia hết cho (vì p số ngun

tè lín h¬n 3) nên 2pn 2pn hay 2pn pn (vì (2, 3) 1)

VËy hai sè pn vµ 2pn có số hợp số

III Tìm số nguyên tố cách xét số d Mét sè nguyªn chia cho sè tù nhiªn n chØ cã thÓ dð 0, 1, 2, , n

Ví dụ Cho n số tự nhiên Biết n 10; n 4; n 60 số nguyên tố Chứng minh n 90 số nguyên tố

Gi¶i Ta cã n 10 * NÕu n 10 n 12

n 16 lµ hợp số (loại) * Nếu n 10 n 13

n 17, n 60 73 số nguyên tố n 90 103 số nguyên tố

* NÕu n 10 th× n 10 3k (k ) NÕu n 10 3k th× n 3k 11

n 3k 15 chia hÕt n hợp số (loại)

Nếu n 10 3k th× n 3k

n 60 3k 69 chia hết n 60 hợp số (loại)

Vậy n 90 số nguyên tố

IV Tìm số nguyên tố cách phân tích thành tích

Khi giải toán số nguyên tố, ta phân tích cấu tạo số

Nếu số nguyên tố phân tích thành tích hai thừa số không âm thừa số bé Ví dụ Tìm số nguyên có chín ch÷ sè

, ệã a1 vộ , ệăng thêi A viạt ệđĩc dđắi dỰng , ệã p1 , p2 , p3, p4 lộ sè nguyến tè khịc

Giải Đặt a a a a1 3 b b b1 3 2a Khi đó: 2 2

1 A p p p p 3 b b b 2.a a a

1 3 A a a a b b b a a a

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

SỐ NGUYÊN TỐ

7

106.a 2.103.a a nến A (103 1)2.a 10012.a 72.112.132.a Vừ A viạt ệđĩc dđắi dỰng ệã p1 , p2 , p3, p4 lộ sè nguyến tè khịc nhau, nến ba sè p1, p2, p3, p4phời lộ 7, 11, 13 cưn sè thụ tđ cã bnh phng bng a

Mặt khác 100 a 2a 1000 nªn 100 a 500, suy a 172 a 192 Vậy có hai số thỏa mÃn là: 289578289 vµ 361722361

Bµi tËp vËn dơng

Bµi 1.Cho p q hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh hợp số

Bài a) Cho p 2p số nguyên tố (p 3) Chứng minh 4p hợp số b) Cho p 10p sè nguyªn tè (p 3) Chøng minh r»ng 5p hợp số

c) Cho p 8p số nguyên tố (p 3) Chứng minh 8p hợp số

d) Cho p 8p2 số nguyên tố (p 3) Chứng minh 8p2 hợp số

Bài 3.Cho p p số nguyên tố (p 3) Chứng minh p hợp số

Bài 4.Cho p số nguyên tố lớn 5p số nguyên tố Chứng minh 7p hợp số

Bài 5.Chứng minh với n số tự nhiên (n 1) số sau hợp số:

a) n4 4; b) n4 n2 1; c) n4 4n Bµi 6.Chøng minh r»ng:

a) NÕu p vµ q lµ hai số nguyên tố lớn p2 q2 24

b) NÕu a, a k, a 2k (a, k N*) số nguyên tố lớn k

Bài 7.Chứng minh p p hai số nguyên tố lớn th× tỉng cđa chóng chia hÕt cho 12

Bài Chứng minh số nguyên tố p q thỏa mÃn q p qq ppchia hÕt cho p q

Bội Chụng minh rỪng 12 sè nguyến tè phẹn biỷt luền chản ệđĩc sè a1; a2; a3; a4; a5; a6sao cho (a1 a2)(a3 a4)(a5 a6) chia hạt cho 1800

Bµi 10 Cho số nguyên tố p lớn cho 2p số nguyên tố Chứng minh r»ng p chia hÕt cho vµ 2p2 số nguyên tố

Bi 11 Gi sỏ sè nguyến tè p cã thÓ viạt ệđĩc thộnh hiỷu cịc lẺp phđểng cựa hai sè nguyến dđểng khịc Chụng minh rỪng 4p chia cho ệđĩc thđểng lộ bừnh phđểng cựa mét sè lĨ Bội 12 Chụng minh rỪng: Nạu a2 b2lộ mét sè nguyến tè thừ a2 b2 a b

Bµi 13 Cho p vµ p số nguyên tố (p 3) Chứng minh r»ng p

Bội 14 Chụng minh rỪng mải sè nguyến tè lắn hển ệÒu cã dỰng 4n hoẳc 4n (n ) Bội 15 Cho dởy cịc sè tù nhiến 2, 6, 30, 210, … ệđĩc xịc ệỡnh nhđ sau: Sè hỰng thụ k bỪng tÝch k sè nguyến tè ệẵu tiến (k 1, 2, 3, ) Biạt rỪng tăn tỰi hai sè hỰng cựa dởy cã hiỷu bỪng 30000 Từm hai sè hỰng ó

Bài 16 Tìm tất số nguyên tè p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7 , p8 cho:

Bài 17 Cho số p bc a, q ab c, r ca b (a, b, c *) số nguyên tố Chứng minh sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng Bài 18 Tìm số nguyên tố p, q, r cho pq qp r

Bội 19 Hai sè 2n vộ 2n (n , n 2) cã thÓ ệăng thêi lộ sè nguyến tè ệđĩc khềng? Ti sao?

Bài 20 a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số d r hợp số Tìm r

b) Một số nguyên tố chia cho 30 cã sè dð r T×m r biÕt r»ng r không số nguyên tố

Bài 21.HÃy tìm tất số tự nhiên a b thỏa mÃn A a4 4b4là số nguyên tố

Bi 22.Tm cc sè nguyến dđểng n ệÓ A n2006 n2005 lộ số nguyn tố

Bài 23.Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố:

a) p vµ p 8;

b) p 2, p 8, p 12 vµ p 14; c) 4p2 vµ 6p2 1;

d) p4

Bµi 24 Tìm tất số nguyên tố p, q cho 7p q vµ pq 11 cịng lµ sè nguyªn tè

Bội 25.Từm tÊt cờ cịc sè nguyến tè p ệĨ lộ sè chÝnh phđểng

Bµi 26.Cho p 8p2 số nguyên tố Chứng minh 8p2 2p số nguyên tố

(Xem tiÕp trang 25)

p p

2 11

2 2 2 2

1

p p p p p p p p

p q

2 2 2 A p p p p 3

1 Bạn gái nhận số bút chì từ đến 18 Nếu nhận bút chì bạn gái thứ hai nhận số bút chì từ đến 18 Nếu nhận bút chì bạn gái thứ hai nhận số bút chì từ đến 17 nhð Bạn gái thứ ba nhận số bút chì cịn lại Vậy số cách khác để chia 20 bút chì cho bạn nữ

2.Tõ 9, ta cẵn ệề la ệÓ ệi qua mẫi vưng ệđêng cao tèc Mộ 130 chia cho ệđĩc thđểng lộ 14 vộ cưn dđ Do ệã sau ệi ệđĩc 14 vưng ệđêng cao tèc ngđêi ệã cưn lỰi ệề la nến ngđêi ệã chử cã thĨ trờ tiỊn ệĨ ệi qua cẹy cẵu vộ kếnh Sè tiỊn ngđêi ệã phời trờ cho trỰm thu phÝ tiạp theo lộ ệề la

3.Vừ sè ệở cho céng thếm ệđĩc mét sè cã tững cịc chọ sè nhá hển nến sè ệã chử cã thÓ cã chọ sè tẺn cỉng lộ 6, 7, hoẳc

Giờ sỏ chọ sè tẺn cỉng lộ céng thếm thừ ệđĩc sè mắi cã tẺn cỉng lộ vộ nhắ sang hộng chôc, tững cịc chọ sè giờm ệi lộ VẺy sè nhẺn ệđĩc cã tững cịc chọ sè bỪng Vừ 2.5 10 nến sè ệã lộ 46 Tđểng tù ta xĐt chọ sè tẺn cỉng lộ 7, vộ thừ ta ệđĩc cịc sè tđểng ụng lộ 37, 28 vộ 19

Vậy có số thỏa mãn yêu cầu đề

Ta giả sử OA OB cm Diện tích hình trịn có bán kính cm 62 36 (cm2), từ diện tích hình quạt trịn AOB có góc tâm 30olà Chú ý COT nửa tam giác Từ OC 2CT 2CA hay OA 3CT Ta có OA 6, CT diện tích nửa hình trịn

Do tỉ số cần tìm :

V× ED EF nên SGED SEFG Mà AF 2EF nên SGAF 2SEFG

Ta lại có SGBC 16SGEF(vì hai tam giác GBC GEF đồng dạng BC 4EF)

Do SEFG SGED SGAF SGBC (1 16)SEFG 20SEFG

Mµ

VËy

6.Vộo buữi sịng cụ hai cề gịi quen ệỊu ệéi mị khịc mộu nến chử cã thÓ xờy trđêng hĩp mét cề gịi ệéi mò ệá quen hai cề gịi ệéi mò xanh Ta chia cịc cề gịi lộng thộnh cịc nhãm găm cã ba ngđêi, mẫi nhãm ệã cã mét cề gịi ệéi mò ệá quen hai cề gịi ệéi mò xanh Vộo buữi

EFG

EFG ABCD

ABCD S

1

S S

40 S 40

EFG GED GAF GBC ABCD

S S S S S

2

2

1 2 (cm )

o 2

o

30

36 (cm ) 360

19.18 18 17 16 171

2

8

JUNIOR SECTION

(Phần thi cá nh©n)

chiỊu mẫi nhãm chử cã mét mộu mị ệđĩc ệữi ệĨ cịc cề gịi quen thừ ệéi mò cỉng mộu Cã 10 cề gịi chun mị tõ ệá thộnh xanh ta chia vộo 10 nhãm, 12 cề gịi chun mị tõ xanh thộnh ệá ta chia vộo nhãm VẺy cã tÊt cờ 10 16 nhãm Sè cề gịi lộng ệã lộ 16.3 48

Vừ ệửnh cựa cịc hừnh vuềng lộ mét sè 49 ệiÓm trến lđắi Bừnh phđểng chiÒu dội cỰnh cựa hừnh vuềng lộ mét sè nguyến dđểng (theo ệỡnh lÝ Pytago) Do ệã diỷn tÝch cựa hừnh vuềng nhẺn ệđĩc lộ mét sè nguyến dđểng vộ bỪng tững cựa hai sè chÝnh phđểng Diỷn tÝch cựa hừnh vuềng cã ệửnh lộ gãc cựa lđắi ề vuềng lộ 36 cm2 Do ệã diỷn tÝch hừnh vuềng cẵn vỳ lắn nhÊt lộ cm2 Diỷn tÝch hừnh vuềng cẵn vỳ khềng thÓ bỪng cm2 vừ ệã ệửnh cựa hai hừnh vuềng kÒ thừ trỉng Diỷn tÝch ệã khềng thÓ lộ cm2, cm2 (vừ 6, khềng thÓ tịch thộnh tững hai sè chÝnh phđểng) Diỷn tÝch ệã khềng thÓ bỪng cm2vừ ệã cã hai hừnh vuềng cã phẵn chung Do ệã diỷn tÝch hừnh vuềng cẵn vỳ lắn nhÊt lộ cm2vộ cã mét cịch vỳ nhđ hừnh trến

8.TTT xin sửa lại câu hỏi là: Tìm số số lẻ nhỏ s ú

Giả sử ta có 1006 số chẵn Tổng chúng

M 1019057 1013042 6015 ậÓ cã ệđĩc cịc sè cã tững bỪng 1019057 ta sỳ thay thạ cịc sè chơn bỪng cịc sè lĨ lắn hển Mẫi sè cã thÓ thay thạ bỪng mét sè hển sè ệã khềng quị 2011 2009 Do ệã sè cịc sè cẵn thay thạ lắn hển Ta cã mét cịch thay thạ ba sè nhđ sau thay 2, vộ bẻi 2007, 2009 vộ 2011 ệã tững cịc sè tẽng

thếm mét lđĩng bỪng 2007 2009 2011 6015 (tháa mởn) VẺy sè sè lĨ nhá nhÊt cịc sè ệã lộ

9.Ta chia phưng thi ệã thộnh nhãm, mẫi nhãm lộ mét hừnh vuềng kÝch thđắc 2 Trong mẫi nhãm ta sớp xạp ệiÓm cựa cịc thÝ sinh theo thụ tù giờm dẵn Cịc thÝ sinh cã sè ệiÓm ệụng thụ ba vộ thụ tđ nhãm khềng thÓ ệoỰt giời Vừ vẺy nhãm cã nhiÒu nhÊt lộ 2.9 18 thÝ sinh ệoỰt giời Hừnh vỳ sau lộ mét vÝ dơ vỊ sè ệiÓm vộ chẫ ngăi cựa cịc thÝ sinh ệÓ cã 18 thÝ sinh ệoỰt giời

10.Giả sử hiệu hai số tổng hai số Do số nhỏ số lớn Khi ta có tích hai số 12 nên tích hai số 12 lần hiệu chúng Hơn tích hai số cho 36 lần hiệu chúng 36 : 12 nên số nhỏ 3.3 số lớn 3.4

12 VẺy sè lắn hển hai sè ệã lộ 12 11.TTT xin sỏa lỰi ệÒ lộ: Tử sè phẵn trẽm cựa cịc hảc sinh ệoỰt huy chđểng Vộng cựa toộn trđêng A so vắi tử sè phẵn trẽm cựa cịc hảc sinh ệoỰt huy chđểng Vộng cựa toộn trđêng B lộ :

Giờ sỏ trđêng A cã thÝ sinh ệoỰt huy chđểng BỰc thừ trđêng B cã thÝ sinh vộ tững céng cã 11 thÝ sinh cựa cờ hai trđêng Sè thÝ sinh cựa cờ hai trđêng lộ 11 : 20% 55 Tử sè giọa tử lỷ phẵn trẽm sè thÝ sinh ệoỰt huy chđểng Vộng cựa trđêng A vộ trđêng B lộ : nến tử sè thÝ sinh cựa trđêng A vắi trđêng B lộ : Sè thÝ sinh trđêng A lộ Sè thÝ sinh trđêng B lộ 25 Sè thÝ sinh ệoỰt huy chđểng ậăng cựa trđêng A lộ 30.50% 15 Do ệã sè thÝ sinh ệoỰt huy chđểng Vộng cựa trđêng A lộ 30 15 Do ệã tử lỷ phẵn trẽm cịc thÝ sinh ệoỰt huy chđểng Vộng cựa trđêng B lộ : 25 24%

(Xem tiÕp trang 26)

55 30

6 1006.(2 2012) 1013042

2

10

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP LÊN LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA, TP.HỒ CHÍ MINH

* * * * * * * * * * * * * * * * * *

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phỏt

Bài (5điểm)

Gii cc phng trừnh sau

a) x3 (x 1)3 (x 2)3 (x 3)3 b) x2(x2 4) 3x(x2 1)

c) (x 1)3(x 3)3 (x 2)3 7(3x3 21x 31) Bµi (2điểm)

Cho a, b, c số thực khác thỏa mÃn

Tìm giá trị biểu thøc M [(a b)2013 c2013][(b c)2013 a2013][(c a)2013 b2013] Bµi (4®iĨm)

a) Cho a, b, c thỏa mÃn a b c Tìm giá trị lớn nhÊt cña M a3 b3 c3

b) Cho a, b, c tháa m·n a b c T×m giá trị lớn N a3 b3 c3 4abc Bài (3 điểm)

a) Phân tích (a b)(b c)(c a) abc thành nhân tử

b) Cho A (a b)(b c)(c a) abc Chøng minh nÕu a, b, c số nguyên a b c chia hÕt cho th× A chia hÕt cho

Bài (4điểm)

Cho tam gic ABC ều có G lộ trảng tẹm M lộ ệiÓm bÊt kừ thuéc ệoỰn thỬng BC (M khịc B, C) KĨ MP, MQ lẵn lđĩt vuềng gãc vắi AB vộ AC (P thuéc AB, Q thuéc AC) Chụng minh rỪng GM ệi qua trung iểm ca PQ

Bài (2điểm)

Cho tam giịc ABC vuềng tỰi C (CA CB), cã trung tuyạn CD Trến nỏa mẳt phỬng bê AB chụa ệiÓm C, vỳ cịc tia Ax, By song song vắi ậđêng thỬng qua C vuềng gãc vắi CD cớt tia Ax vộ By lẵn lđĩt tỰi E vộ F Gải I lộ trung ệiÓm cựa EF, vỳ IK vuềng gãc vắi AB tỰi K Chụng minh rỪng EF 2IK

3

3 3

a b b c c a a b c 2.

11

Câu (2điểm)

a) Gii phng trnh

b) Cho ba số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn điều kiện Tính giá tr ca biu thc

Câu (1,5điểm)

Cho phđểng trừnh x2 5mx 4m (x lộ Èn sè)

a) ậỡnh m ệÓ phđểng trừnh trến cã hai nghiỷm phẹn biỷt b) Gải x1, x2lộ hai nghiỷm cựa phđểng trừnh

Tìm giá trị m để biểu thc t giỏ tr nh nht

Câu (1,5điểm)

Cho tam giịc ABC cã BC lộ cỰnh lắn nhÊt Trến cỰnh BC lÊy cịc ệiÓm D, E cho BD BA, CE CA ậđêng thỬng qua D song song vắi AB cớt AC tỰi M ậđêng thỬng qua E song song vắi AC cớt AB tỰi N Chụng minh AM AN

Câu (1,5điểm)

Cho x, y lộ hai sè dđểng tháa mởn ệiÒu kiỷn x y Chụng minh rỪng Cẹu (2ệiÓm)

Tõ mét ệiÓm A bến ngoội ệđêng trưn (O), vỳ cịc tiạp tuyạn AB, AC vộ cịt tuyạn AEF ệạn ệđêng trưn (EF khềng qua O vộ B, C lộ cịc tiạp ệiÓm) Gải D lộ ệiÓm ệèi xụng vắi B qua O Cịc tia DE, DF cớt AO theo thụ tù tỰi M, N Chụng minh:

a) CEF DNM

b) OM ON Câu (1,5điểm)

Ch s hàng đơn vị hệ thập phân số M a2 ab b2(a, b *) a) Chứng minh rng M chia ht cho 20

b) Tìm chữ sè hµng chơc cđa M

2 8x

3(3x 2)

y

2

2

2

1

x 2mx 12m m

A

x 2mx 12m m

2 yz zx xy

A

x 2yz y 2zx z 2xy

1 1 x y z x 2x 5x

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2013 - 2014

MƠN: TỐN CHUN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

12

THI GIẢI TOÁN QUA THƯ

Bội 1(123+124).Cho sè nguyến dđểng n tháa mởn 5n vộ 6n lộ nhọng sè chÝnh phđểng (Sè chÝnh phđểng lộ bừnh phđểng cựa mét sè nguyến) Hái 21n 19 lộ sè nguyến tè hay hĩp sè?

Lời giải Đặt 5n a2; 6n b2(a, b ) (1) Ta cã 21n 19 9(5n 1) 4(6n 7) 9a2 4b2

(3a 2b)(3a 2b)

V× n, a, b nªn 21n 19 0; 3a 2b Suy 3a 2b

* NÕu 3a 2b 3a 2b nên 21n 19 3a 2b 2b 2b 4b

Suy 4b 21n 24 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy b2 (4b 4) (6n 7) (21n 24) (b 2)2 31 15n (3)

Với n n (1) không thỏa mÃn Với n từ (3) suy (b 2)2 0: v« lÝ * NÕu 3a 2b 21n 19 (3a 2b)(3a 2b) hợp sè

NhẺn xĐt.Mét sè bỰn ệở sỏ dông tÝnh chÊt mét sè chÝnh phđểng chia cho chử cã thÓ dđ hoẳc ệÓ chụng minh n lộ sè lĨ suy 21n 19 lộ sè chơn lắn hển nến 21n 19 lộ hĩp sè

Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: ậẫ Linh Chi, 7A2, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh; Hă Quang Huy, 7A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ; Trẵn Quang ậỰi,Trẵn Quèc LẺp, 6A3; Triỷu ChÝ Cềng, Quờn Thỡ Thu HuyÒn, 6A2, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Ngun Vị Nguyến Tỉng, 7A, THCS Phong Chẹu, TX Phó Thả, Phó Thả; ậộo Quèc Khịnh, 6D, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An;NguyÔn Thỡ Viến, 7A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Ngun Thóy Nhđêng, 7A3, THCS Tõ Sển, TX Tõ Sển, Bớc Ninh; TỰ Lế Ngảc Sịng, 6E, trđêng Phữ thềng chuyến Hộ Néi -Amsterdam; KhuÊt Bờo Chẹu, 6A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; NguyÔn Hđng Quang Khời, 7A, THCS Trẵn Quèc Toờn, TP Tuy Hưa, Phó Yến;Trẵn Thỡ Mủ Duyến, 7D, THCS Chu Vẽn An, Nga Sển, Thanh Hãa; ậẳng Duy ậan, 6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; ậẫ Minh Trung, NguyÔn Thộnh Vinh, 6A1, trđêng Phữ thềng Hai Bộ Trđng, TX Phóc Yến, Vỵnh Phóc

Ngun ngäc h©n

Bội 2(123+124).Cho tam giịc ABC ậđêng phẹn giịc ngoội gãc A cớt ệđêng thỬng BC tỰi ệiÓm D ậđêng phẹn giịc ngoội gãc B cớt ệđêng thỬng CA tỰi ệiÓm E Biạt rỪng AD AB BE TÝnh sè ệo cịc gãc cựa tam giịc ABC

Lêi gi¶i Tõ giả thiết suy tam giác ABC cân A B

Xt trờng hp

E n»m kh¸c phÝa C, D so víi AB

Vì ABD cân A nên

AD phân giác góc A, suy

Vì ABE cân B nên

Mặt khác thay vào (2)

ệđĩc Trong CEB cã

Tõ (1) vµ (3) suy

D nỪm khịc phÝa C, E so vắi AB Tđểng tù ta tÝnh ệđĩc A 12 , B 132o o C 36 o

o o o

A 132 , B 12 C 36

o o o

o o

B B

C AEB EBC 180 C 45 90

4

180 4A B 540 (3) o B

AEB 45

4 o

o

180 B B

ABE 90 ,

2

o

180 ABE

AEB (2)

2

o

o

o o o

180 A A

DAC 90 ABD BDA DAB

2

A

2B 90 180 4B A 180 (1)

13

D, C, E n»m cïng phÝa so víi AB

Tõ

Tõ (4) vộ (5) ta từm ệđĩc Tãm lỰi bội toịn cã ba nghiỷm:

NhẺn xĐt.NhiÒu bỰn chử ệđa ệđĩc nghiỷm thụ nhÊt Chử cã mét bỰn cã lêi giời tèt: Dđểng Gia Huy, 7A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả

hå quang vinh

Bội 3(123+124).Giời h phng trnh

Lời giải.Điều kiện y 0; x y 9; Tõ hÖ suy

(1)

Do ệã phđểng trừnh (1) cã thÓ viạt thộnh

Ta thÊy nến phđểng trừnh

(2) chØ cã thÓ tháa m·n

Thỏ lỰi, ta thÊy nghiỷm nộy tháa mởn cịc ệiÒu kiỷn vộ cịc phđểng trừnh hỷ

VẺy hỷ phđểng trừnh ệở cho cã nghiỷm nhÊt lộ

NhẺn xĐt Phđểng trừnh (1) chử lộ hỷ quờ cựa hỷ phđểng trừnh ệẵu bội Mét sè bỰn sỏ dông bÊt ệỬng thục ệịnh giị ệÓ cã vộ kạt luẺn ệẹy lộ nghiỷm cựa hỷ phđểng trừnh lộ thiạu chẳt chỳ Thùc chÊt ệã chử lộ ệiÒu kiỷn cẵn cựa nghiỷm phời từm mộ thềi Ta cẵn thỏ lỰi nghiỷm trđắc kạt luẺn

Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Ngun Thỡ HiỊn, 8A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; ậẫ Vẽn Quyạt, 8C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Vị Thỉy Linh, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Hoộng Thỡ Thờo HiỊn, 8C; Ngun MỰnh Khang, 8A, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An; Trđểng Hoộng Viỷt, 8/4 THCS Thỡ trÊn Cẵu Quan, TiÓu Cẵu, Trộ Vinh; Cao Thỡ Quúnh Nga, 8A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; PhỰm Hoộng Anh, 8B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh

Ngun Anh Dịng

Bội 4(123+124) Cho x, y vộ z lộ cịc sè thùc dđểng lắn hển tháa mởn xy yz zx xyz 20 Chng minh rng

Lời giải Đặt x a 1, y b 1, z c Tõ gi¶ thiÕt suy a, b, c vµ

2(ab bc ca) 3(a b c) abc 16 (*) Đặt abc(a b c) t Ta cã

Tõ (*) suy

2

4

(ab bc ca) 3abc(a b c)

ab bc ca 3abc(a b c) 3t; a b c abc 2 abc(a b c) 2 ;t

3 3

(a b c) 27abc(a b c) a b c 27t (x 1)(y 1)(z 1).

x y z

x y x

y

y x

x y

2

9 (y 5) (x 4)

2

2

y (x 4) (y 5) y (y 5) (x 4) (2)

y

2 2

y (x 4) (y 5) (y 5)

y x

9 (y 5) x y

x y x y

y x

y x

o o o

o o o

o o o

1) A 132 , B 12 , C 36 2) A 12 , B 132 , C 36 3) A 36 , B 36 , C 108

o o

A B 36 C 108 o

o o

o

180 B

ABE 180 2A B 180 2A

2 4A B 180 (5)

o o

180 2B 4B A 180 , (4)

o

o 180 A

DAB 180 2B A

14

VËy

ậỬng thục xờy vộ chử x y z NhẺn xĐt ậẹy lộ mét bội chụng minh bÊt ệỬng thục khã nến cã rÊt Ýt bỰn tham gia giời bội Hẵu hạt cịc bỰn ệÒu ệđa ệđĩc ý tđẻng nhđ trến, mét sè bỰn biạn ệữi phục tỰp Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng: Trẵn Quèc Nam, 9C, THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh; ậinh Cềng NhẺt, 9A1, THCS Nghỵa Hăng, Nghỵa ậộn, Nghỷ An; NguyÔn ậục ThuẺn, 9A3; NguyÔn Thanh Bừnh, 8A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; NguyÔn Thỡ Thỉy Dđểng, 8A, THCS Thanh Thựy, Thanh Thựy, Phó Thả;ậẫ Vẽn Quyạt, 8C; Ngun Thanh Tẹm, 8B, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

Cao văn dũng

Bi 5(123+124).Cho n l số nguyn dđểng vộ Sn lộ tẺp hĩp găm 2011 sè nguyến dđểng liến tiạp tõ n ệạn n 2010 Gải anlộ sè cịch chia Sn thộnh hai tẺp khịc rẫng M vộ P tháa mởn M P Sn, M P vộ tÝch cịc phẵn tỏ cựa M bỪng tÝch cịc phẵn tỏ cựa P TÝnh anụng vắi mẫi sè tù nhiến n (Gĩi ý: 2011 lộ mét sè nguyến tè) Lêi giời.Giờ sỏ tăn tỰi mét cịch chia Snthộnh hai tẺp khịc rẫng M vộ P tháa mởn M P Sn, M P vộ tÝch cịc phẵn tỏ cựa M bỪng tÝch cịc phẵn tỏ cựa P

Vừ 2011 lộ mét sè nguyến tè nến 2011 sè nguyến dđểng liến tiạp tõ n ệạn n 2010 cã ệóng mét sè chia hạt cho 2011 Giờ sỏ sè ệã lộ k vộ k thuéc tẺp hĩp M Khi ệã tÝch cịc phẵn tỏ cựa M chia hạt cho 2011 vộ tÝch cịc phẵn tỏ cựa P khềng chia hạt cho 2011: lÝ

VËy an

NhẺn xĐt.ậỊ bội cã thĨ thay sè 2011 bẻi mét sè nguyến tè bÊt kừ thừ vÉn kạt quờ lộ an Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ lẺp luẺn chẳt chỳ: Bỉi Thỡ Thu HiÒn, 7A, THCS Lđểng Thạ Vinh, Thỡ trÊn Phỉng, ậan Phđĩng, Hộ Néi; Dđểng Minh ậục, 8A, THCS Kim ậăng, Tẹn LỰc, Hưa Bừnh; NguyÔn ậục ThuẺn, 9A3; Dđểng Gia Huy, 7A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;ậinh Long NhẺt, 9A1, THCS Nghỵa Hăng, Nghỵa ậộn, Nghỷ An; NguyÔn Thanh Tẹm, 8B, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

hoµng träng h¶o

Bội 6(123+124).Cho tam giịc ABC cã sè ệo gãc A khịc 90o Gải O, I thụ tù lộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp vộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp cựa tam giịc, M lộ trung ệiÓm BC, D lộ hừnh chiạu cựa I trến BC, K lộ ệiÓm ệèi xụng cựa M qua AI Chụng minh rỪng KD vuềng gãc vắi OI

Lêi giời.Ta sỏ dông bữ ệÒ quen thuéc sau Bữ ệÒ Cho tam giịc ABC cã (O) lộ ệđêng trưn ngoỰi tiạp vộ I lộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp ậđêng thỬng AI cớt (O) tỰi ệiĨm thụ hai N

Khi NI NB NC (Bạn đọc tự chứng minh) Trở lại giải toán 6.Gọi N, F theo thứ tự giao điểm AI với (O) (N khác A) BC; T giao điểm MN với (O) (T khác N); H, F theo thứ tự giao điểm AN với MK BC; E giao điểm DK với OI

Chó ý r»ng MK 2MH, NMH NFM vµ NM // ID, ta cã

Do

Chó ý r»ng NT 2NO, NB NI

(theo bổ đề trên), ta có 2NM.NO NM.NT NB2 NI2 Do

Tõ (1) vµ (2) suy

Kết hợp với suy MKD NIO Do

KÕt hỵp víi ta cã VËy DK OI

NhẺn xĐt Bội toịn nộy tđểng ệèi khã, chử cã hai bỰn cã lêi giời tèt lộ: NguyÔn Quèc Viỷt, 9A, THCS Tõ Sển, Tõ Sển, Bớc Ninh; ậẫ Vẽn Quyạt, 8C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

Ngun Minh Hµ

o o o o

DEO 360 180 90 90 o

DMO 90 ,

o o

MDE MOE 180 MDK NOI 180 KMD INO,

MK NI MD NO 2NM NI (2)

NI NO

o NBT NMB 90 , MK 2NM (1)

MD NI

2MN MN FN IN

MK MH FM DM

3 (x 1)(y 1)(z 1). x y z

4

4

t

16 3t 27t 27t 3t

3

15

Cã thÓ céng cịc sè tù nhiến liến tiạp tõ ệạn sè nộo ệÓ ệđĩc tững lộ 2013? Nạu khềng bớt ệẵu tõ thừ cã thÓ céng nhọng sè tù nhiến liến tiạp bớt ệẵu tõ sè nộo ệÓ ệđĩc tững lộ 2013 mộ tững cã:

a) Ýt sè h¹ng nhÊt b) nhiỊu sè hạng nhất?

phạm tuấn khải (Hà Nội)

(TTT2 số 123+124)

TAM GIÁC GÌ?

Gäi M lµ trung điểm OB Vì OB nên OM MB

Mà OA nên OAM vuông cân O

Suy vµ

Từ

Mặt khác, Oz tia đối tia phân giác góc xOy nờn

Xét hai tam giác AOC BMA có

AOC BMA (c.g.c) Suy AC BA (1) T ú

Mà nên

Từ (1) v (2) suy ABC vuềng cẹn tỰi A NhẺn xĐt Mét sè bỰn giời theo cịch: Gải Ox’ lộ tia ệèi cựa tia Ox vộ dùng ệđêng thỬng qua C vuềng gãc vắi tia Ox’ tỰi H Tõ ệã chụng minh CHA AOB (c.g.c), còng suy ệđĩc ABC vuềng cẹn tỰi A Tuy vẺy, hẵu hạt cịc bỰn giời theo cịch nộy lẺp luẺn chđa chẳt chỳ

Cịc bỰn sau ệđĩc nhẺn thđẻng kừ nộy: NguyÔn Minh HỪng, 7D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa; NguyÔn Cềng Huynh, 7A4, THCS Nói ậÌo, Thựy Nguyến, Hời Phưng;Ngun Minh TuÊn, 6B, trđêng phữ thềng chuyến Hộ Néi -Amsterdam, Hộ Néi; NguyÔn TuÊn Minh, 6D, THCS Quịch Xuẹn Kú, Bè TrỰch, Quờng Bừnh; Hă Quang Huy, 7A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả

Cịc bỰn sau cịng cã lêi giời tèt: NguyÔn Vẽn Cao, 7A, THCS NguyÔn Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi; Ngun Thỉy Dung, 6B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An;NguyÔn ậục Hỉng, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Thỡ Viến, 7A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh

Anh com pa

o CAB 90 (2) o

OAM 45

o OAC MAB MBA MAB AMO 45

OAC MBA o

AO BM ( 1)

AOC BMA ( 135 ) OC MA ( 2)

o

o 360 xOy

xOz 135

2

o o

AMB 180 OMA 135 o OMA OAM 45

AM

Dđểng Gia Huy, 7A1; NguyÔn ậục ThuẺn, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; ậẫ Vẽn Quyạt, 8C; NguyÔn Thanh Tẹm, 8B, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Bỉi Thỡ Thu HiỊn, 7A, THCS Lđểng Thạ Vinh, thỡ trÊn Phỉng, ậan Phđĩng, Hộ Néi

16

ộ Tamara nẽm ệở hển 60 tuữi.

Cịc ệỡnh cđ ẻ nđắc ngoội,

cưn thừ ệở qua ệêi hai nẽm

nay Hiỷn sèng mét mừnh cẽn hé

sang trảng giọa trung tẹm thộnh Vừ cưn

nhanh nhứn, kháe mỰnh, tÝnh từnh lỰi thÝch

hoỰt ệéng nến Tamara khềng thuế ngđêi

gióp viỷc Bộ chử nuềi mét chã, mét con

mÌo vộ mét vứt ệĨ bẵu bỰn cho vui.

Hộng ngộy, quÊn quýt bến chó chã, bạ

ơm mÌo vộ dỰy vứt nãi Vứt hảc nãi rÊt

nhanh vộ chó ta rÊt hay nãi, nhê thạ, cẽn hé

cựa Tamara khềng bao giê vớng lẳng cờ.

Vừ tuữi ệở tđểng ệèi cao nến Tamara

rÊt hay quến, hay nhẵm Bộ thđêng xuyến

quến mở kĐt sớt vộ ệở mÊy lẵn phời gải thĩ

ệạn phị ậĨ khớc phơc từnh trỰng nộy, ệở

tõng ghi mở vộo sữ tay răi cÊt ệi, Tuy nhiến,

khi cẵn thừ lỰi khềng từm ệđĩc quyÓn

sữ Ghi mở vộo mịy ệiỷn thoỰi thừ khềng

dịm vừ sĩ ệã ệảc ệđĩc hoẳc lì mịy bỡ

mÊt Cuèi cỉng Tamara ệở nghỵ mét

cịch khịc Tõ ệã, cờm thÊy rÊt yến tẹm.

Bộ luền chớc mÈm rỪng sỳ khềng bao giê

phời gải thĩ ệạn phị khãa kĐt nọa.

Một hôm, bà Tamara thăm bạn bè suốt

cả ngày Tối về, bà phát hộ bị kẻ

trộm phá khóa, đồ đạc cịn ngun nhðng

két sắt bị mở, tồn tiền bạc đá quý

trong két không cịn.

mêåt mậ kết sùỉt

17

Sau mÊy hoờng loỰn, Tamara

quyạt ệỡnh gải cho thịm tỏ Sếlềccềc

ệĨ nhê gióp ệì VÉn nhđ mải khi, thịm tỏ

nguyến hiỷn trđêng, khềng kÓ vắi vộ hụa

lộ sịng mai sỳ ệạn sắm.

ậóng hứn, giê sịng hềm sau thịm tỏ

xem xĐt hiỷn trđêng vộ kạt luẺn kĨ trém ệở

bộ Tamara:

- Bọn trộm mở két khơng phải phá

khóa két, chứng tỏ chúng biết mật mã Bà

đã tiết lộ mật mã cho ú chng?

- Không, hoàn toàn không Chỉ t«i

biÕt th«i.

mẳt ệẽm chiếu Răi ềng bđắc ban cềng.

ậang cẽng thỬng suy nghỵ, chĩt ềng giẺt

mừnh vừ tiạng nãi cựa chó vứt Nghe vứt liạn

thoớng mét hăi, thịm tỏ bớt ệẵu hiÓu sù

ệẵu vộ sau ệã ệở hiÓu vừ bản

trém biạt ệđĩc mẺt mở kĐt sớt.

Các thám tử Tuổi Hồng có biết thám tử đã

hỏi bà Tamara câu khơng? Vì sau câu

hỏi bà lại hiểu việc?

Kừ nộy, rÊt nhiÒu thịm tỏ Tuữi Hăng ệở

phịn ệoịn chÝnh xịc: Nạu ệẳt

A SNAKE IS

CREEPING

vộo bờn mẺt mở thừ ta sỳ ệảc

ệđĩc QUAN1A8NSO619 Nạu gâ trến mịy

tÝnh theo kiÓu VNI ta sỳ ệđĩc

QUịN ¡N Sè

9

ậẹy cã thÓ lộ ệỡa chử liến quan tắi vô bớt

cãc.

Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi tắi:

Trẵn Minh

Hiạu

, 6C;

Vò ậục HiĨn

, 7A, THCS Vẽn

Lang, Viỷt Trừ,

Phó Thả

;

Ngun Thỡ Ngảc

Anh

vộ

NguyÔn Lan Anh

, 6E1, THCS Vỵnh

Tđêng, Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Phóc

;

ậộo ậừnh

Quang

vộ

PhỰm Tiạn Thộnh

, 6C, THCS

Tiến Du, Tiến Du,

Bớc Ninh

;

Nhãm thịm tỏ

nhÝ

, 6A5, THCS CÇu GiÊy, CÇu GiÊy,

Hà

Nội

(đ/c: số ngách 27 ngõ 106, Hoàng

Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội).

19

Vị Kim Thđy

By definition

Theo định nghĩa

By assumption

Theo gi¶ thiÕt

By a similar argument

BỪng mét lẺp luẺn tđểng tù

Since f is we have

Vừ f lộ , ta cã

As f is , it follows that

Vì f , suy r»ng

Since x is , we conclude that

Vì x , ta kÕt luËn

Let us compute

Chóng ta h·y tÝnh

Adding to the left hand side

Céng vào vế trái

Subtracting (2) from (4)

Lấy (4) trõ (2)

Taking S ab

LÊy S ab

Combining (1) with (2)

KÕt hỵp (1) víi (2)

Replacing (1) by (3)

Thay thÕ (1) bëi (3)

Applying (4)

¸

p dơng (4)

We obtain

Chóng ta thu ệđĩc

We need only consider cases

Chóng ta chử cẵn xĐt trđêng hĩp

It is clear that

Râ rµng lµ

It is easily seen that

DÔ thÊy r»ng

X belongs to Y

X thuéc Y

In this section, we assume f to be

Trong phần giả sử f là

If and if , then

NÕu vµ nÕu , th×

Then , with k a constant satisfying

Lóc ệã , vắi k lộ mét hỪng sè tháa mởn

Equality holds in (5) if and only if

ậỬng thục xờy ẻ (5) nạu vộ chử nạu

The following conditions are equivalent:

Cịc ệiÒu kiỷn sau lộ tđểng ệđểng:

We first prove that

Trđắc hạt chóng ta chụng minh rỪng

The proof will be divided into steps

Chụng minh nộy sỳ ệđĩc chia lộm bđắc

Conversely suppose that

Ngđĩc lỰi sỏ rỪng

Set A ab with a satisfying

Đặt A ab với a thỏa mÃn

It is easy to show that

DƠ dµng chØ r»ng

By substituting (2) into (1) we obtain

Thay (2) vộo (1) ta nhẺn ệđĩc

The notation means that

KÝ hiỷu cã nghỵa lộ

The above expression may be written as

Biểu thức viết lại lµ

Bài 4.

CÁCH VIẾT

20

Bài 1.

a) b)

Đáp án:

Không (Vì miếng bìa

phủ ô đen ô trắng).

Bài 2.

Đáp số:

1 Dãy số là: 13, 40, 20, 10, 5,

16, 8, 4, 2, 1, Từ dãy lặp lại 4, 2, 1.

Bài 3.

Đáp số:

8108365 Gọi số hình vng

đơn vị a

n

Ta có a

n

a

n 1

4n a

1

1.

Từ ú a

2013

1 4(1 2013).

Bài 4.

Đáp sè:

16284 ( 2.4.4.16.4.4.2).

Bµi 5.

Bµi 6.

Bµi 7.

ĐÁP ÁN

ĐÁP ÁN

CUỘC THI VUI HÈ 2013

CUỘC THI VUI HÈ 2013

Ngộy 6.8.2013, tỰi tưa soỰn TTT ệở diÔn cuéc gẳp cựa GS TSKH Ngun Tiạn Dịng, Viỷn trđẻng Phẹn viỷn Toịn cể bờn Toulouse, Phịp vắi Tững biến tẺp ThS Vò Kim Thựy vộ cịn bé tỰp chÝ Dù buữi gẳp cã Nhộ giịo Trẵn Phđểng, Phã Giịm ệèc Trung tẹm nghiến cụu, hẫ trĩ vộ phịt triÓn tội nẽng trĨ (Liến hiỷp cịc Héi Khoa hảc vộ Kỵ thuẺt Viỷt Nam) Giịo sđ ệở mét sè ý kiạn ệãng gãp vÒ néi dung tỰp chÝ nãi riếng vộ bộn vÒ mét sè xu hđắng giờng dỰy toịn nhộ trđêng phữ thềng nãi chung ẻ mét sè quèc gia cã nỊn giịo dơc tiến tiạn

ậđĩc biạt, GS Ngun Tiạn Dịng tõng ệoỰt Huy chđểng Vộng toịn Qc tạ nẽm 1985 ẻ tuữi 15, hảc lắp 11 vộ lộ hảc sinh Viỷt Nam trĨ nhÊt ệoỰt Huy chđểng Vộng

ậỰi héi Toịn hảc Viỷt Nam lẵn thụ ệở diÔn tõ ngộy 10 ệạn 14.8.2013, tỰi trđêng Sỵ quan Thềng tin (Nha Trang, Khịnh Hưa) Tham dù ậỰi héi cã hển 700 nhộ toịn hảc chia lộm tiÓu ban ậỰi héi ệở bẵu Ban chÊp hộnh nhiỷm kừ mắi khãa 2013 - 2018 Chự tỡch Héi lộ GS TS NguyÔn Họu Dđ (Phã Hiỷu trđẻng trđêng ậHKHTN Hộ Néi), GS TSKH Phỉng Hă Hời (Phã Viỷn trđẻng Viỷn Toịn hảc Viỷt Nam) lộ Phã Chự tỡch kiếm Tững thđ kÝ Héi

Ngộy 17.8.2013, tỰi thự ệề Viếng Chẽn, Lộo, NGẩT Ngề Trẵn ịi, Chự tỡch Héi ệăng thộnh viến -Tững Giịm ệèc NXBGDVN ệở vinh dù ệđĩc nhẺn giời thđẻng Nhộ quờn lÝ xuÊt sớc thêi kừ ệữi mắi ậẹy lộ giời thđẻng Bé Thềng tin - Vẽn hãa vộ Du lỡch Lộo, Bé Cềng thđểng Lộo phèi hĩp vắi Liến hiỷp cịc Héi Khoa hảc vộ Kỵ thuẺt Viỷt Nam cỉng nhiÒu ệển vỡ khịc cựa Viỷt Nam ệăng tữ chục

21

(TTT2 sè 123+124)

TRẬN ĐẤU THỨ trăm linh bảy

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM LINH CHÍN

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi

Bài toán thách đấu: Cho tam giác ABC vng A Hình chữ nhật MNPQ thay đổi thỏa mãn M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC P, Q thuộc cạnh BC Gọi giao điểm BN với MQ K, CM với NP L, BN với CM X, QN với PM Y Chứng minh rằng:

a)

b) ậđêng thỬng XY luền ệi qua mét ệiÓm cè ệỡnh XuÊt xụ: Sịng tịc

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.10.2013 KAB LAC

Lêi giời Cã hai vâ sỵ nhẺn lêi thịch ệÊu nhđng lêi giời cựa vâ sỵ ậẫ Vẽn Quyạt, 8C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóclộ ngớn gản hển Xin giắi thiỷu lêi giời cựa vâ sỵ Vẽn Quyạt

Gọi M, N theo thứ tự điểm đối xứng A, C qua H, L

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên

Kết hỵp víi suy

EAH ECL

KÕt hỵp víi suy EAM ECN

Do Suy

Kết hợp với EA EM, EN EC, suy EAN EMC Do AN CM

Tõ ệã, chó ý rỪng IL, IH theo thụ tù lộ ệđêng trung bừnh cựa cịc tam giịc CAN, CAM, suy

Tđểng tù JL JH

VËy IJ lµ trung trùc cđa HL

NhẺn xĐt.Tềi rÊt thÝch cịc ệiĨm M, N lêi giời trến ậđểng nhiến vâ sỵ Vẽn Quyạt lộ ngđêi ệẽng quang trẺn ệÊu nộy

Ngun Minh Hµ

1

IL AN CM IH

2

AEN MEC AEM CEN

AM 2 CN,

AH CL

o

22

Bội toịn 1.Giời phđểng trừnh

(I) (với ac 0) Lời giải.Đặt

Ta có h phng trừnh

Ta cẵn từm cịc sè , ệÓ sau biạn ệữi (1), (2) răi trõ theo vạ ta ệđĩc mét phđểng trừnh cã dỰng (x y)F(x, y) 0, tõ ệã gióp giời ệđĩc phđểng trừnh ban ệẵu

ThÝ dô 1.Giời phđểng trừnh Phẹn tÝch ậẳt

Ta cã hỷ phđểng trừnh

Chọn Khi

(2) y2 y x (3) Trõ theo vạ cựa (1) cho (3) ta ệđĩc (x2 y2) 5x ( )y Chản , tháa mởn

Lời giải.Điều kiện x

Đặt (y 2)

Ta ệđĩc hỷ phđểng trừnh

Trõ theo vạ cựa (1) vộ (2) ta ệđĩc

x2 y2 5x 5y (x y)(x y 5) y x hc y x

Thay y x vộo (1) ta ệđĩc x2 3x 0: nghiỷm (vừ 0)

Thay y x vộo (1) ta ệđĩc x2 5x 0: nghiỷm (vừ 0)

ThÝ dụ 2.Gii phng trnh

Lời giải.Điều kiện

Đặt (y 1)

Ta ệđĩc hỷ phđểng trừnh

Trõ theo vạ cựa (1) vộ (2) ta ệđĩc 4(x2 y2) 10x 10y

(x y)(2x 2y 5) y x hc

Thay y x vộo (1) ta ệđĩc 4x2 11x

Kạt hĩp ệiÒu kiỷn ta ệđĩc x 11 73 11 73 x y x 2

4x 13x 2y (1) 4y 8y 3x (2)

3x 2y

x

3

3x 4x 13x 2

x 4x y (1) y 4y x (2) x y

2

2

2

2

2 2

x 4x y (1)

y y x (2)

2 2

y x 4x

x y y

x y ( 0)

2

x x 4x

2 2

2

2 2

y cx dx e

ax b y y

cx dx y e (1)

y y ax b (2) ax b y

ax b cx dx e

CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC C BIT

KIềU ĐìNH MINH

23

Thay vộo (1) ta ệđĩc 4x2 15x

Kạt hĩp ệiÒu kiỷn ta ệđĩc VẺy

Bội toịn 2.Giời phđểng trừnh

(II) (víi ac 0)

Lời giải.Đặt

Ta có h phng trnh

Tđểng tù bội toịn (1), ta cẵn từm cịc sè , ệĨ ệđa vỊ phđểng trừnh cã dỰng (x y)F(x, y) ThÝ dô 3.Giời phđểng trừnh

Phẹn tÝch.ậẳt Ta cã hỷ phđểng trừnh

Trõ theo vạ cựa (3) cho (4) ta ệđĩc

x3 3y3 (15x2 y2) 76x ( 2)y

3 130.

Ta chọn , thỏa mÃn

Lời giải.Đặt

Ta cã hỷ phđểng trừnh

ậẹy lộ hỷ ệèi xụng loỰi II, bỰn ệảc tù giời ThÝ dô 4.Gii phng trnh

Lời giải.Đặt

Ta có h phđểng trừnh

Trõ theo vạ cựa (3) vộ (4) ta ệđĩc (x3 y3) 3(x2 y2) 4(x y)

(x y)(x2 xy y2 3x 3y 4) XĐt y x, thay vộo (3) ta ệđĩc

x3 3x2 x (x 2)(x2 x 1) Ta ệđĩc

XĐt x2 xy y2 3x 3y x2 (y 3)x y2 3y (5) Coi ệẹy lộ phđểng trừnh bẺc hai Èn x Ta cã (y 3)2 4(y2 3y 4)

3y2 6y 3(y 1)2 Do ệã phđểng trừnh (5) nghiỷm VẺy

NhẺn xĐt.DỰng phđểng trừnh nộy lộ khã, chóng ta ệở bớt gẳp ệẹu ệã cịch giời cựa nã vắi ệiÒu kiỷn cựa phđểng trừnh rÊt phục tỰp! Dđêng nhđ ngđêi ta ệở cè ý ịp ệẳt nhđ vẺy ệÓ giời ệđĩc Lỳ dỵ nhiến nạu khềng chản ệđĩc , thừ phđểng trừnh cịng khềng thĨ giời ệđĩc nhđ trến Vắi cịch lộm nộy chóng tềi hy vảng cịc bỰn THCS sỳ dƠ hiĨu hển Ci cỉng xin mêi cịc bỰn luyỷn tẺp qua viỷc tù giời cịc phđểng trừnh sau:

2

3 3

3 3

3

1) 2x x 2x

2) 3x 4x 21x 22 x

3) 2x

4) 3x 8x 36x 53x 25 5) x 3x 3x 3x

1

x 2;

2

1

x 2;

2

3

3

x 3x 2x y (3) y 3y 3y 2x 2.(4) 32x y 1.

3

32x x 3x 2x.

3

3

x 15x 75x y 126 y 15y 75y x 126

3x y 5.

2

1

3 15

5

3 76

130

3

3 2

3

3 2

y x 15x 75x 131

x y y y

x 15x 75x y 131 (3)

y y y x (4) 3x 1 y

3

3x x 15x 75x 131

3

3 2

3

3 2

y cx dx ex f

ax b y y y

cx dx ex y f (3)

y y y ax b (4)

3ax b y

3

3ax b cx dx ex f 11 73 15 97

x ;

24

C©u a) Rót gän

b) Thùc hiÖn phÐp tÝnh

c) TÝnh tØ sè , biÕt

C©u a) Cho E 42 411

i) Chứng tỏ E 5, từ tìm chữ số tận E

ii) Chøng tá r»ng 3E 412

b) Sắp xếp phân số sau theo thứ tự tăng dần

Cu a) Tm sè nguyến tè p cho p 6; p 12; p 18; p 24 ệăng thêi lộ cịc sè nguyến tè b) Chụng tá rỪng sè F 20142 20132 20122 20112khềng lộ sè chÝnh phđểng

c) Chøng tá r»ng số

là hợp số

Cu Một ca nề xuềi dưng tõ A ệạn B hạt giê vộ ngđĩc dưng tõ B vÒ A hạt giê Hái rỪng, nạu ca nề trềi tù tõ A ệạn B thừ hạt mÊy giê? Cẹu a) Cho ệoỰn thỬng AB 10 cm Gải C lộ ệiÓm trến ệoỰn thỬng AB cho AC cm Gải D lộ trung ệiÓm cựa BC TÝnh ệé dội ệoỰn thỬng AD

b) Cho Gäi tia Oz lµ tia phân giác Vẽ tia Ot nằm cho TÝnh

Cẹu Sỏ dông phĐp thay thạ sè nguyến dđểng n bỪng tÝch sè a.b cho a, b nguyến dđểng vộ a b n BỪng mét dởy cịc phĐp thay thạ ệã, tõ sè n 22 ta cã thÓ thu ệđĩc sè 2013 hay khềng? Vừ sao?

zOt

o xOt 65 xOy

xOy

o xOy 80 2013 2015 G 222 200333

1005 1007 1009 1011; ; ; 2002 2006 2010 2014

1 1

D

2 101

2 2 2

2 2

100 99 98

C

100.1 99.2 98.3

52 49 51 50

;

52.49 51.50 C

D

4

0,8 : 1,25 1,08 :

4

5

B 1 5 1 2 (1,2.0,5) :

5

0,84 25

9 17

19

9 10 10 27 15.4 A

6 12

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 6

Thời gian làm bài:

120 phút

(không kể thời gian giao đề)

25

C©u 1.Cho biÓu thøc

a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm x để A

C©u a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

b) Tính giá trị biểu thøc , biÕt x2 2y2 xy (x y 0, y 0)

Cẹu 3.a) Giời phđểng trừnh x6 7x3 0;

b) Chụng minh rỪng: Nạu 2n vộ 3n (n ) ệÒu lộ cịc sè chÝnh phđểng thừ n chia hạt cho 40 Cẹu Cho tam giịc ABC cã ba gãc nhản, cịc ệđêng cao BD, CE cựa tam giịc cớt tỰi H a) Chụng minh rỪng ABD ACE;

b) Chøng minh r»ng BH.HD CH.HE;

c) Nối D với E, cho biết BC a, AB AC b Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b

Cẹu 5.a) Giời phđểng trừnh:

(8x 4x2 1).(x2 2x 1) 4(x2 x 1) b) Cho hai sè a, b tháa m·n a b Chøng minh r»ng a2 b2 ab 2

a b x y

P

x y A (6x 7)(2x 3) (4x 1) 3x

4

2

1 x 2x

A :

1 x x 1 x x

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8

Thời gian làm bài:

120 phút

(không kể thời gian giao )

M : RDKTH010

Bài 27.Tìm tất số nguyên tố p1; p2; p3; p4; p5 cho p2 p1 p3 p2 p4 p3 p5 p4

Bài 28 Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ?

Bài 29 a) Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 6n 6n (n ) b) Chứng minh có vơ số số nguyên tố có dạng 6m (m )

Bội 30.Chụng minh rỪng tững cịc bừnh phđểng cựa sè nguyến tè lắn hển khềng thÓ lộ mét sè nguyến tè

Bội 31 a) Từm tÊt cờ cịc sè nguyến tè p ệÓ 2p lộ lẺp phđểng cựa mét sè tù nhiến

b) Từm tÊt cờ cịc sè nguyến tè p ệÓ 13p lộ lẺp phđểng cựa mét sè tù nhiến

Bội 32.Từm sè nguyến dđểng n ệÓ P n3 n2 n l số nguyn tố

Bài 33 a) Tìm số nguyên tố có dạng với n *

b) Tỡm số nguyên tố có dạng với n * Bài 34 Tổng số nguyên tố 2014 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố

Bài 35.Tổng hai số nguyên tố 2009 hay không? Vì sao?

Kì sau đăng tiÕp

n(n 1) n(n 1)(n 2)

6

26

(Tiạp theo trang 9) 12.ậÓ nhẺn ệđĩc phẹn sè bỪng phẹn sè cho

thì tỉ số tổng số thêm vào tử số tổng số thêm vào mẫu số : Ta thấy thêm vào tử số lần tử số tăng thêm số với việc thêm vào mẫu số lần Để phần tăng thêm vào tử số phần thêm vào mẫu số có tỉ lệ : ta phải thêm vào 25 lần vào tử số thêm vào 36 lần vào mẫu số Vậy cần 25 36 71 lần lập phân số

13.Trong nm số nguyn lin tiạp thừ tững cựa ba sè lắn nhÊt hển tững cựa ba sè nhá nhÊt ệển vỡ Ta sỳ từm cịc béi cựa 37 vộ 71 hển kĐm khềng quị ệển vỡ Vừ nẽm sè ệở cho cã hai chọ sè nến chử cã hai trđêng hĩp 37 71 hoẳc 37.4 71.2

Trđêng hĩp thụ hai thừ tững cựa ba sè lắn nhÊt phời bỪng 148 Mộ tững ba sè nguyến liến tiạp thừ chia hạt cho vộ 148 khềng chia hạt cho (loỰi) Trđêng hĩp thụ nhÊt ta chó ý rỪng 71 23 24 25 74 2.37 Do ệã sè nhá nhÊt sè ệã khềng thÓ lộ 23 hoẳc lắn hển 23 vộ sè lắn nhÊt nẽm sè ệã khềng thÓ lộ 25 hoẳc nhá hển 25 Ta thÊy cã nẽm sè sau tháa mởn lộ 22, 23, 24, 25 vộ 26 VẺy sè lắn nhÊt nẽm sè ệã lộ 26 14

Ta cã AM MB BN NC cm vµ AQ cm

Do

Từ ;

SQNCD 12.12 90 54 cm2

Suy

Tđểng tù SPQM 45 cm2; SMNP 30 cm2

Từ suy QO : ON 45 : 30 : Do

nến SMON 45 27 18 cm2 SBMN Tđểng tù

Ta cã SPOQ 30 12 18 cm2 nên SPOQ SPDQ 18 12 cm2

Vậy giá trị lớn hiệu diện tích tam giác cm2

Trc Carol c sinh ra, tững tuữi cựa Eric, Alice, Ben vộ Debra lộ 19.4 76 Nẽm 2010 tững sè tuữi cựa nẽm ngđêi trến lộ 35,2.5 176 Tõ ệã nẽm 2010 tuữi cựa Carol lộ (176 76) : 20 Do ệã cề sinh nm 1990

Năm 2012 tổng số tuổi cđa Ben, Carol, Debra vµ Eric lµ 39,5.4 158

Nẽm 2010 tững sè tuữi cựa ngđêi ệã lộ 158 2.4 150 Do ệã tuữi cựa Alice nẽm 2010 lộ 176 150 26

Chú ý tuổi Eric năm 1990 76 : 38 Do tuổi Eric năm 2010 58 tổng tuổi Ben, Carol Debra 176 26 58 92 Từ tuổi Debra (92 8) : 50 tuổi Ben 92 50 20 22

Vậy tuổi Ben năm 2012 22 24

NOP NCP

S 30 12 cm S

3

2

QOM QAM

S 45 27 cm S

3

2

NPQ 1

S 54 30 cm

2

2

QMN 1

S 90 6 45 cm

2

2 ABNQ

S 12 (9 6) 90 cm

27

Cuốn sách Những toán ngỡ quen mà lạ

ca hai tc gi PGS TS NGẩT Lế Quèc Hịn vộ ThS Lế Thỡ Ngảc Thóy nhỪm gãp phẵn giời ệịp hai cẹu hái thđêng ệđĩc ệẳt ệèi vắi ngđêi hảc toịn:

1 Vừ từm lêi giời mét bội toịn? Vừ từm ệđĩc cịc bội toịn Êy? Thùc ra, hai cẹu hái nộy liến quan chẳt chỳ vắi Nạu ệịp ịn cẹu hái thụ nhÊt lộ tiÒn ệÒ cựa ệịp ịn cẹu hái thụ hai thừ viỷc giời quyạt cẹu hái thụ hai sỳ gãp phẵn soi sịng lêi giời cẹu hái thụ nhÊt Ngđưi hảc toịn nến từm lêi giời ệịp cho cờ hai cẹu hái trến cỉng mét thêi gian, nhđng ệÓ thuẺn lĩi cho viỷc lỵnh héi cựa ệéc nhá tuữi, ệèi tđĩng chự yạu cựa cuèn sịch nộy, cịc tịc trừnh bộy hai vÊn ệÒ trến tịch bỰch

Cuèn sịch găm chđểng bao quịt tÊt cờ nhọng vÊn ệÒ cể bờn vÒ Toịn THCS

Chđểng I DỰo quanh vđên sè: Trong chđểng nộy, cịc tịc trừnh bộy tõ nhọng vÊn ệÒ ệển giờn vÒ sè tù nhiến, sè nguyến tè, sè chÝnh phđểng, sè hoộn chửnh, sè ệỰi sè, sè siếu viỷt, ệạn phĐp chụng minh quy nỰp, phđểng trừnh nghiỷm nguyến, phđểng trừnh ệăng dđ, ệa thục bÊt khờ quy, sè pi vộ tững hỰn,

Chđểng II Giời toịn ậỰi sè: Vắi néi dung xung quanh cịc hỪng ệỬng thục, dỉng ệỡnh lý ViĐt ệÓ giời mét sè phđểng trừnh bẺc cao, giời phđểng trừnh tử, giời hỷ phđểng trừnh ệẳc biỷt, chụng minh bÊt ệỬng thục, từm GTLN, GTNN, phđểng phịp hừnh hảc ệỰi sè,

Chđểng III Giời toịn Hừnh hảc: Tõ phđểng phịp cớt ghĐp hừnh, chụng minh cịc ệiÓm thỬng hộng, cịc ệiÓm nỪm trến mét ệđêng trưn, ệiÓm cè ệỡnh, ệạn cịc tÝnh chÊt hừnh hảc thó vỡ vắi cịc cịch vẺn dơng phong phó, ệẳc sớc ệĨ giời toịn

Chđểng IV Tđểng tù vộ tững quịt: Trong chđểng nộy cịc tịc cho chóng ta thÊy mèi

liến hỷ giọa cịc bội toịn hừnh hảc, cịch khai thịc phịt triÓn mét bội toịn quen thuéc thộnh nhọng bội toịn hay vộ khã qua ệã sịng tịc nhọng bội toịn mắi, cho ệạn mèi quan hỷ giọa lđĩng giịc vộ hừnh hảc Chđểng nộy trờ lêi cho cẹu hái thụ hai

ậÓ ệảc cuèn sịch, bỰn ệảc chử cẵn nớm vọng kiạn thục ệở ệđĩc trừnh bộy cịc sịch giịo khoa Toịn THCS NhỪm tỰo mét sĩi dẹy liến kạt quị khụ - hiỷn tỰi - tđểng lai, mẫi chđểng thđêng ệđĩc bớt ệẵu bỪng mét sè kiạn thục toịn bẺc TiĨu hảc vộ kạt thóc bẻi nhọng cịnh cỏa hđắng tắi toịn Trung hảc Phữ thềng Mẫi chđểng ệđĩc bè trÝ thộnh cịc tiạt ệÓ phỉ hĩp vắi khờ nẽng tiạp thu kiạn thục cho ệềng ệờo bỰn ệảc Néi dung cịc tiạt tđểng ệèi ệéc lẺp vắi nhau, nến gẳp cịc tiạt khã bỰn ệảc cã thÓ tỰm thêi bá qua Sau ệảc toộn bé cuèn sịch hởy quay lỰi ệảc cịc tiạt ệã bỰn sỳ lỵnh héi dÔ dộng hển Cuèi mẫi tiạt cã nhọng bội tẺp ịp dông mộ lêi giời cựa chóng ệđĩc lăng vộo cịc tiạt ệđĩc trừnh bộy trđắc hoẳc sau cịc bội tẺp ệã Sịch còng cung cÊp mét sè khịi niỷm mắi nẹng cao vắi nhọng dÉn dớt phỉ hĩp ệÓ bỰn ệảc cã thÓ hiÓu tđêng tẺn nhọng khịi niỷm nộy NhiÒu bội toịn ệđĩc cịc tịc từm tưi, phịt hiỷn cưn lộ hảc sinh phữ thềng quị trừnh nhẺn thục nhọng kiạn thục toịn hảc cể bờn Qua nhọng ệiÒu trừnh bộy cuèn sịch, PGS TS Lế Quèc Hịn muèn truyÒn lưng ệam mế mền Toịn mộ ềng ệở theo ệuữi suèt cuéc ệêi cho cịc thạ hỷ sau

28

on tộu bẽng trến ệđêng ray, hai bến lộ ruéng ệăng, lộng xãm Nhọng dởy nói xa xa

Vui nhÊt lộ ệoộn tộu chỰy qua nhọng cẹy cẵu, ẻ dđắi lộ dưng sềng, ẹm xừnh xỡch lan táa khớp khềng gian

Răi tộu nhđ rớn, uèn lđĩn trđên qua nhọng hẵm tộu, dởy nói Tiạng cưi hó vang kĐo dội ệạn xa xềi

ậã lộ nhọng Ên tđĩng sẹu ệẺm cựa mừnh mẫi vÒ quế ngộy bĐ

Tõ ga men theo ệđêng quèc lé vỊ lộng lộ gẳp ềng bộ, cề dừ, chó bịc Lóc Êy tù dđng thÊy tộu mộ thẹn thiạt, gớn bã vắi mừnh thạ! Nhọng từnh cờm Êy cụ theo mừnh cỉng nẽm thịng, lộm giộu thếm bao cờm xóc

Đó đứng sân ga, bâng khuâng chia tay đứa bạn thân gia đình vào Nam sinh sống Tàu xa lẩm nhẩm câu thơ Nguyễn Bính “Những chia lìa khởi

từ / Cây đàn sum họp đứt dây ”

Đó ngồi tàu, ngắm phong cảnh làng mạc hai bên, thân quen mà xốn xang khác lạ Phải rồi, trang văn Pautopxki tập truyện “Chiếc nhẫn thép” ngày nhỏ đọc, lại lên Những trang văn mà yên bình, ngào, mơ mộng n th!

Cảm xúc trào dâng theo tàu, chuyến

Sng nay, ng trđắc barie còng sèt ruét vừ phời chê ệĩi, chớc chử riếng mừnh nghỵ khịc: Răi tộu sỳ ệạn vộ sỳ lỰi ệi

Vộ chử riếng mừnh an tẹm nghe ngđêi mứ nãi vắi ệụa trĨ ngăi trến xe: Tộu sớp ệạn răi ệÊy

Đứa trẻ hồi hộp theo lời mẹ

Cú phi ngày nhỏ khơng nhỉ? Cho nên hồi hộp đến nhð

NguyÔn Phđểng Linh

Cịc tõ cẵn ệiÒn (tõ trến xuèng) lộ: ậéng vẺt, Thùc vẺt, Suèi, Cao nguyến, BiÓn, Sềng, Hă, Giã, Tội nguyến, Nói RÊt nhiỊu bỰn ệở tham gia giời ệè vộ hẵu hạt ệỊu lộm ệóng Cịc bỰn c nhn qu k ny:

Lê Thị Nh Quỳnh, 6D, THCS Nhữ Bá Sỹ, thị trấn Bút Sơn, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Đào

Ngc Anh, 7A, THCS Yn Phong, Yến Phong, Bớc Ninh, ậộo MỰnh Hỉng, 8H, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả; Vâ Thỡ Hđểng Trộ, 8B, THCS Xuẹn Diỷu, Can Léc, Hộ Tỵnh; NguyÔn Ngảc Trinh, 8A2, THCS Dđểng Tiạn, ậềng Hđng, Thịi Bừnh

HuyÒn Thanh

29

Hảc tiạng Anh qua nhọng bội thể lộ mét cịch hảc rÊt thó vỡ vộ họu

Ých Cịc bỰn sỳ khềng chử hiÓu néi dung bội thể mộ cưn cờm nhẺn

ệđĩc sù tinh tạ cịch sỏ dông tõ ngọ Chự Vđên xin giắi thiỷu

bội thể

Who has seen the wind?

cựa thi sỵ Anh - Christina Rossetti

(1830 - 1894) Hi vảng sỳ nhẺn ệđĩc nhọng bờn dỡch ệẵy chÊt thể

cựa cịc bỰn!

Who Has Seen the Wind?

Lế Thỡ Phđĩng

(st)

(7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc)

THÔNG BÁO

Nhân 10 năm Olympic Tốn Tuổi

thơ, tạp chí Tốn Tuổi thơ cần

thông tin bạn đoạt giải.

Mời bạn đạt huy

chương Vàng Olympic Toán Tuổi

thơ năm qua liên lạc với

Tạp chí

Số điện thoại: 04.35682701

Email: toantuoitho@vnn.vn

Cảm ơn bạn.

TTT

BAẽN CÓ BIẾT?

Trong kì thi vào đại học năm có

100 thí sinh đạt điểm cao từ 29,5 đến

27,5 điểm tổng điểm 30.

Trong sè ệã Hộ Néi cã 24 thÝ sinh,

Thanh Hãa 15, Nghỷ An 10, Nam ậỡnh 9,

Hời Dđểng 8, Hời Phưng, Thịi Bừnh, Hộ

Tỵnh mẫi tửnh 7, Hđng Yến 5, Bớc Ninh 3.

Cịc tửnh gãp mẳt thÝ sinh danh

sịch nộy găm: Vỵnh Phóc, Bớc Giang, Hộ

Nam, Quờng Bừnh, ậớk Lớk.

30

ng giọ chục Thịi

y lỷnh dđắi thêi

Vua Trẵn Anh

Tềng Lộ mét thẵy thuèc

giái vộ giộu lưng nhẹn ịi,

ềng khềng tÝch cựa mộ tÝch

nhộ mừnh ệÓ mua tÝch trọ

thuèc men vộ thãc gỰo.

Gẳp ngđêi bỷnh nghÌo khã, ềng cho ẻ nhộ

mừnh, võa nuềi ẽn, võa chọa trỡ Nhọng nẽm cã

dỡch bỷnh, ềng cưn dùng thếm nhộ ệÓ cđu mang

bỷnh nhẹn Cã lẵn, phời khÈn cÊp cụu chọa

cho mét phơ nghÌo lẹm bỷnh nẳng, ềng ệở

khềng tuẹn lỷnh Vua vộo cung chọa trỡ cho quý

phi Cụu xong, ềng vộo cung bộy tá sù từnh Vua

Trẵn Anh Tềng ệở cờm phôc ngĩi khen

Bạn có biết ơng ai? Hãy viết đoạn văn

ngắn vị danh y tài đức nhé.

Trđểng Cềng Tiạm

31

Hái:

Anh Phã thẹn mạn! Mứ em bờo em lộ

ệụa hay lo lớng: ệi hảc thừ sĩ ệiÓm kĐm, giời

bội TTT thừ lo khềng ệđĩc ệẽng tến Anh cã

cịch nộo gióp em bắt lo lớng ệđĩc khềng Ự?

MÉn Thỡ Trộ My

(6A2, THCS Yªn Phong, Yên Phong, Bắc Ninh)

Đáp:

Sống ph¶i biÕt lo xa

Ngđêi xđa tõng nãi phưng xa lộ phời

bỪng ba phưng gẵn

Phưng xa bắt nẫi lo gẵn

Em bờo mứ thạ ệêi cẵn ngđêi lo.

Hái:

Anh Phã ểi! Gỏi bội ệạn TTT thừ cã

ệđĩc nhẺn phẵn thđẻng khềng Ự? Nạu chử gỏi

mét lẵn thừ cã ệđĩc thđẻng khềng anh?

Vũ Đình Quang

(7A, THCS i Quốc, i Quốc, TP Hi Dng,

Hi Dng)

Đáp:

Vấn đề gửi gì

Dù thi cã thđẻng, hái thừ cã khềng

Hái Rubic, ệịp lộ xong

Nạu mộ ệđĩc thđẻng thđẻng cềng trờ lêi.

Hỏi:

Trong lớp em xảy nhiều vụ xích

mích, chí đánh Làm thế

nào để giải vấn đề nghiêm trọng này

anh nhỉ?

Bïi Hoµng TuÊn

(9C, THCS Hoµng Xuân HÃn, Đức Thọ,

Hà Tĩnh)

Đáp:

Việc có thầy cô

Bit tỡnh hỡnh lp lo ging hũa

Thể thao, cắm trại, h¸t ca

Bắt thõa nẽng lđĩng thạ lộ hiỊn khề

Nạu mộ vÉn cụ chđa chõa

ChØ cßn nhắc nhở đầu thứ Hai.

Hỏi:

Anh Phó ểi! Muèn vỳ ệđĩc mét bục

tranh cã hăn thừ phi lm th no ?

Mẫn Văn Hạnh

(6A3, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh)

Đáp:

Tranh ệứp tõ mớt

Cờnh ệứp tõ tim

ThĨ hiỷn ệẵu cẹy cả

Trun ệạn tẺn ngđêi xem

Phời biạt yếu cịi ệứp

Chẹn Thiỷn Mỵ hộng ngộy

Phời hảc yếu mộu sớc

Răi sỳ vỳ ệứp ngay.

32

Bµi 1(127).Cho vµ

So s¸nh víi

ngun vẽn tn(GV THCS Yến Bừnh, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc) Bội 2(127) Tăn tỰi hay khềng hai sè nguyến dđểng a vộ b tháa mởn

a3 b3 2013?

trẵn xuẹn ệịng (GV THPT chuyến Lế Hăng Phong, Nam ậỡnh) Bội 3(127) Giời phđểng trừnh

nguyÔn ệÔ(Hời Phưng) Bội 4(127).Giờ sỏ viạt sè 2001 thộnh tững cựa cựa m sè nguyến dđểng chơn khịc vộ n sè nguyến dđểng lĨ khịc

Tìm giá trị lớn A 5m 2n

đặng Quang tuấn (SV K59 Toán, Đại học Sð phạm Hà Nội) Bài 5(127).Cho A, B, C tập hợp Biết A B C tập hợp gồm ba (a, b, c), a A, b B, c C Cho A {1, 2}, B {x, y, z}, C {3, 4}

a) Tìm phần tư cđa A B C

b) Gäi n(M) lµ số phần tử tập M Tìm n(A B C)

Vị kim thđy

Bội 6(127) Cho tam giịc ABC nhản, ệđêng cao BH, CK Gải M lộ trung ệiÓm BC, I lộ giao ệiÓm cựa AM vắi HK, E lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa I trến BC Chụng minh rỪng

thịi nhẺt phđĩng(GV THCS NguyÔn Vẽn Trẫi, Cam Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa) EAB MAC

3

2x (3x x 1) x 2013

1

2014 A

B

1 1

B

3 4025

1 1

A

2 4026

1(127).Let and Compare and

2(217).Do there exist two positive integers aand bsuch that a3 b3 2013? 3(127).Solve the following equation

4(127) Given that the number 2001 can be written as the sum of mdistinct positive even integers and ndistinct positive odd integers Find the maximum value of the expression A 5m 2n

5(127).LetA, B, and Cbe three sets Given that A B Cis a set consisting of the combinations (a,b,c), where a A,b Bandc C

LetA {1, 2}, B {x, y, z}, C {3, 4} a) Find the elements of A B C

b) Let n(M) be the number of elements of the set M Find n(A B C) 6(127) Let ABCbe an acute angle triangle with heights BH and CK Let M be the midpoint of BC, I be the intersection of AM and HK, and E be the projection of IontoBC Prove that EAB MAC

3

2x (3x x 1) x

2013

1

2014

A B

1 1

1

3 4025

B

1 1

1

2 4026

A