Đang tải... (xem toàn văn)
trong quá trình tách c ấu tạo số. Tìm t ất cả các số tự nhiên khác 0, sao cho khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ s ố hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên 9 lần.. Tron[r]
(1) Tài liệu sưu tầm
CÁC CHUYÊN ĐỀ
CHỌN LỌC TOÁN TẬP 1
(2)
PHẦN SỐ HỌC
Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Tập hợp Tập hợp
- Tập hợp khái niệm Tốn học Để kí hiệu tập hợp, ta dung chữ
in hoa A, B, … cịn để viết tập hợp, ta sử dụng hai cách:
• Liệt kê phần tử tập hợp
• Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp
- Một tập hợp có phần tử, nhiều phần tử,vơ số phần tử khơng có
phần tử Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ Để minh họa tập hợp phần tử nó, người ta dùng biểu đồ Ven
- Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ta nói A tập hợp con B kí hiệu: A ⊂ B
- Hai tập hợp A B gọi phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B
ngược lại Kí hiệu: A = B - Một số tính chất:
• Với tập hợp A, ta có: ∅ ⊂ A A ⊂ A
• Nếu A ⊂ B B ⊂ A A = B
• Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C ( tính chất bắc cầu)
2 Tập hợp số tự nhiên
- Tập hợp số tự nhiên kí hiệu N N = {0; 1; 2; 3; 4;…}
Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu N* N* = {1; 2; 3; 4;…}
- Tia số tự nhiên:
(3)Mỗi số tự nhiên biểu diễn điểm tia số Điểm biểu diễn số tự nhiên a tia số gọi điểm a
- Để ghi số tự nhiên hệ thập phân, ta dùng 10 chữ số là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;
Trong hệ La Mã, ta dùng bảy kí hiệu: I, V, X, L, C, D, M với giá trị tương ứng hệ thập phân là: 1; 5; 10; 50; 100; 500; 1000
- Thứ tự tập hợp số tự nhiên: Với hai số tự nhiên a b bất kì, xảy ba khả sau: a < b; a = b; a > b.
Nếu a < b tia số tự nhiên, điểm a nằm bên trái điểm b
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Viết tập hợp, tập hợp sử dụng kí hiệu ∈ ∉ ⊂, , Ví dụ 1: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 4; 5; 7; 9} B = {2; 3; 5; 6; 7}
a) Viết tập hợp C gồm phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B
b)Viết tập hợp D gồm phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A
c) Viết tập hợp E gồm phần tử thuộc hai tập hợp A B
d) Viết tập hợp G gồm phần tử thuộc tập hợp A thuộc tập hợp B
Giải
a) Ta thấy phần tử ∈ A mà ∉ B, ∈ C Tương tự, ta có: 4; ∈ C Vậy C = {1; 4; 9}
b) Làm tương tự câu a), ta có: D = {3; 6}
c) Ta thấy phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B nên ∈ E Tương tự, ta có: 5; ∈ E Vậy E = {2; 5; 7}
d) Ta thấy phần tử ∈ A nên 1∈ G; ∈ B nên ∈ G; … Vậy G = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9}
Nhận xét:
Tập hợp C gồm phần tử thuộc tập hợp A, trừ phần tử A mà thuộc B Trên biểu đồ Ven, tập hợp C có minh họa miền gạch chéo Kí hiệu: C = A \ B (đọc C
(4)Tương tự, tập hợp D có minh họa miền chấm D = B \ A (đọc là: D hiệu B A)
Tập hợp E gồm phần tử chung hai tập hợp A B Trên biểu đồ Ven, E có
minh họa miền kẻ carơ Kí hiệu: E = A ∩ B (đọc là: E giao A B)
Tập hợp G gồm phần tử thuộc A, thuộc B nên có minh họa hai
vịng kín Kí hiệu: G = A ∪ B (đọc là: G hợp A B)
Ví dụ 2. Cho tập hợp A = {a, b, c} Hỏi tập hợp A có tất tập hợp con?
Giải
Tập hợp A khơng có phần tử là: ∅
Các tập hợp A có phần tử là: {a}, {b}, {c} Cấc tập hợp A có hai phần tử: {a, b}, {b, c}, {c, a} Tập hợp A có ba phần tử là: {a, b, c}
Vậy A có tất tám tập hợp
Nhận xét:
Để tìm tập hợp tập hợp có n phần tử (n ∈ N), ta tìm tập hợp có 0; 1; 2; 3; …; n phần tử tập hợp
Tập hợp A Các tập hợp A Số tập hợp A
∅ (n = 0)
∅
{a}
(n = 1)
∅; {a}
2 =
{a, b}
(n = 2)
∅; {a}; {b}; {a, b}
4 = 2.2
{a, b, c}
(n =
∅; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {b, c}; {c, a}; {a, b, c}
8 = 2.2.2
…
Từ ta rút kết luận sau:
(5)- Tập hợp có n phần tử (n≥1)thì có
ơ
2.2 n thua s
tập hợp
Dạng 2: Tính số phần tử tập hợp
Ví dụ 3. Cho A tập hợp số tự nhiên lẻ có ba chữ số Hỏi A có phần tử?
Giải
Khi liệt kê phần tử tập hợp A theo giá trị tăng dần ta dãy số cách có
khoảng cách 2:
101; 103; 105; …; 999
Từ đó, số phần tử tập hợp A số số hạng dãy số cách đều: (999 – 101):2 + = 898:2 + = 450
Vậy tập hợp A có 450 phần tử
Ví dụ 4. Cho A tập hợp số tự nhiên lẻ lớn không lớn 79 a) Viết tập hợp A cách tính chất đặc trưng phần tử
b) Giả sử phần tử A viết theo giá trị tăng dần Tìm phần tử thứ 12 A
Giải
a) Số tự nhiên n lớn không lớn 79 số thỏa mãn điều kiện: < n ≤ 79 Vậy ta có: A = {n ∈ N| n lẻ < n ≤ 79}
b) Khi giá trị n tăng dần giá trị phần tử A tạo thành dãy số cách tăng dần (bắt đầu từ số 7, khoảng cách hai số lien tiếp 2) Giả sử phần tử thứ 12 A x ta có:
(x – 7): + = 12
⇒ (x – 7): = 11 ⇒ (x – 7) = 11.2 = 22 ⇒ x = 22 + = 29 Vậy phần tử thứ 12 cần tìm A 29
Nhận xét:
Số phần tử tập hợp A là: (79 – 7): + = 37 nên A có phần tử thứ mười hai
Ở câu b), ta viết tập hợp A dạng liệt kê phần tử phần tử thứ mười hai
(6)tử cần tìm Vậy với cách làm này, tốn u cầu tìm phần tử vị trí lớn khó khăn
Dạng Đếm số chữ số
Ví dụ 5 Cần số để đánh số trang (bắt đầu từ trang 1) sách có 1031 trang?
Giải
Ta chia số trang sách thành nhóm:
- Nhóm số có chữ số (từ trang đến trang 9): Số chữ số cần dùng - Nhóm số có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99): Số trang sách là: (99 – 10) : + = 90 số Số chữ số cần dùng 90.2 = 180
- Nhóm sốc số có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999): Số trang sách là: (999-100):1+1 = 900 Số chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm là: 900.3 = 2700
- Nhóm số có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 1031): Số trang sách là: (1031 – 1000) : + = 32 Số chữ số cần dung là: 32.4 = 128
Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang sách là:
+ 180 + 2700 + 128 = 3017
Nhận xét:
Việc chia số trang thành nhóm giúp dễ dàng tính số chữ số cần dùng
trong nhóm, từ tính tổng số chữ số cần dùng Một câu hỏi ngược lại là: Nếu ta
biết số chữ số cần dùng để đánh số trang sáchthì ta tìm số trang sách hay khơng? Ta có bài tốn ngược của ví dụ
Ví dụ 6. Tính số trang sách sách biết để đánh số trang sách (bắt đầu từ trang 1) cần dung 3897 chữ số
Giải
Để đánh số trang có chữ số (từ trang đến trang 9), cần chữ số
Để đánh số trang có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99, gồm 90 trang), cần 90.2 = 180 chữ số
Để đánh số trang có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999, gồm 900 trang), cần 900.3 = 2700 chữ số
(7)Vì để đánh tất số trang có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 9999, gồm 9000 trang), cần 9000.4 = 36000 chữ số (vượt 1008 chữ số), nên số trang sách số có bốn chữ số
Giả sử sách có n trang mà số trang có bón chữ số Số chữ số cần dùng để đánh n trang 4.n Ta có: 4.n = 1008, suy n = 1008 : = 252 Vì trang trang 1000 nên trang cuối 252 + 999 = 1251
Vậy sách có 1251 trang Nhận xét:
Trong cách giải trên, ta xét nhóm số trang có chữ số, hai chữ số, … dùng hết chữ số mà cho Vậy làm để biết số trang sách có chữ số?
Sau số gợi ý:
Số chữ số dùng để đánh số trang Số trang sách (n)
Từ đến 99 (kí hiệu: 1→9) n≤9
10→189 10≤ ≤n 99
190→2889 100≤ ≤n 999
2890→38889 1000≤ ≤n 9999
38889→488889 10000≤ ≤n 99999
…
Với gợi ý trên, từ quy luật phạm vi số chữ số cho ta suy phạm vi số
trang sách Chẳng hạn, số chữ số cho 16789432, nằm phạm vi từ
5888890 đến 68888889, số trang cuối sách số có bảy chữ số
Dạng Các toán cầu tạo số
Ví dụ Tìm số có hai chữ số biết viết thêm chữ số vào hai chữ số số số gấp lần số cho
Giải
Gọi số có hai chữ số cần tìm ab (0< ≤a 9; 0≤ ≤b 9)
Khi viết thêm chữ số vào hai chữ số ta số a b0 Theo ra, ta có:
0
100 7.(10 ) 100 70
30 a b ab
a b a b
a b a b
a b a b =
+ = + + = +
(8)Vì a, b chữ số a≠0 nên suy a = 1; b = Vậy số cần tìm 15
Nhận xét:
Trong ví dụ ta sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo chữ số hệ
thập phân Sauk tìm mối quan hệ chữ số, ta xác định cụ thể chữ
số
Ví dụ Tím số có ba chữ số biết viết thêm chữ số vào trước số số gâó lần số ban đầu
Giải
Gọi số có ba chữ số cần tìm x=abc (0< ≤a 9; 0≤ ≤b 9) Khi viết thêm số trước số x ta số 1abc Theo ra, ta có: 1abc=9.abc
1000+abc=9.abc hay 1000 + x = 9.x 1000 = 8.x
Suy ra: x = 1000 : = 125
Vậy số cần tìm 125 Nhận xét:
Ở ví dụ ta khơng tách cấu tạo số cần tìm theo chữ số mà tách theo cụm chữ số
Ta thấy số viết thêm không làm thay đổi cụm chữ số abc nên ta giữ nguyên cụm chữ số
trong trình tách cấu tạo số
Ví dụ Tìm tất số tự nhiên khác 0, cho viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số gấp lên lần
(Đề thi HSG tỉnh Yên Bái, 2005)
Nhận xét:
Ta chưa biết số phải tìm có chữ số, từ đề ta thấy có hai chữ số Từ ta gọi phận số đứng trước chữ số hàng chục x (x 0), sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo chữ số cụm chữ số, ta có lời giải sau:
Giải
(9)Khi viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số
0 xa b
Theo đề bài, ta có:
0
1000 100 9.(100 10 ) 1000 100 900 90
100 10 50 5
xa b xab
x a b x a b
x a b x a b
x a b
x a b
=
+ + = + +
+ + = + + + =
+ =
Vì b≤9 nên 4.b≤4.9=36, đó: 50.x+5.a≤36⇒ =x Khi số cần tìm ab, với 5.a = 4.b
Vì a ≠0 a, b chữ số nên ta có a = 4 Từ suy b = Vậy số cần tìm 45
III BÀI TẬP
1.1 Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4} Trong cách viết sau, cách viết đúng? Cách viết sai? Nếu sai, sửa lại cho
{ } { }
) ) ) ) 2;3
a ∈A b ∈A c ⊂ A d ⊂A
1.2 Cho hai tập hợp: A = {2;3; 7;8}, B = {1;3;5; 7;9} a) Mỗi tập hợp có phần tử?
b) Viết tất tập hợp vừa tập A , vừa tập B
1.3 Viết tập hợp sau cho biết tập hợp có phần tử? a) Tập hợp A số tự nhiên x mà 15 – x = 7;
b) Tập hợp B số tự nhiên y mà 19 – y – 21
1.4 Tính số phần tử tập hợp sau: a) A = {10;12;14; ;98}
b) B = {10;13;16;19; ; 70} 1.5 Cho dãy số 2;7;12;17;22;…
a) Nêu quy luật dãy số
b) Viết tập hợp B gồm số hạng liên tiếp dãy số đó, số hạng thứ năm c) Tính tổng 100 số hạng dãy số
1.6 Hãy viết lại tập hợp sau cách liệt kê phần tử: A = {x∈N; x lẻ 30 < x< 50 }
B = {x∈ ; x 5; x2;x<90}
1.7 Mẹ mua cho Hà sổ tay 256 trang Để tiện theo dõi Hà đánh số trang từ đến 256 Hỏi hà phải viết chữ số để đánh số trang hết sổ ta đó?
(10)a) Hỏi chữ số đơn vị số 53; 328; 1587 đứng hang thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết hang thứ 427 chữ số nào?
1.9 Cho bốn chữ số a, b, c, d đôi khác khác Tập hợp số tự nhiên có
chữ số gồm bốn chữ số a, b, c, d có phần tử?
1.10 Có số tự nhiên có hai chữ số mà: a) Trong số có chữ số 5?
b) Trong số chữ số hàng chục bé chữ số hàng đơn vị?
c) Trong số chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị?
1.11 Với hai chữ số I, V viết số La mã (theo cách viết thông thường)? Số nhỏ số nào? Số lớn số nào?
1.12 Mỗi tập hợp sau có phần tử?
a) Tập hợp số có hai chữ số lập nên từ hai số khác
b) Tập hợp số có ba chữ số lập nên từ ba chữ số đôi khác
1.13 Tổng kết đợt thi đua lớp 6A có 45 bạn điểm 10 trở lên, 41 bạn từ điểm 10 trở lên, 15 bạn từ điểm 10 trở lên, bạn điểm 10 trở lên Biết khơng có đạt điểm 10, hỏi đợt thi đua lớp 6A có điểm 10?
1.14. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng đơn vị Nếu chuyển chữ số hàng đơn vị lên đầu số nhỏ số cho 2889 đơn vị
1.15. Hiệu hai số tự nhiên 57 Chữ số hàng đơn vị số bị trừ Nếu bỏ chữ số hàng đơn vị số bị trừ ta số trừ Tìm hai số
1.16. Tìm số có ba chữ số, biết viết chữ số theo thứ tự ngược lại số lớn số ban đầu 792 đơn vị
1.17. Cho số có hai chữ số Nếu viết thêm chữ số vào bên trái bên phải số ta số gấp 23 lần số cho Tìm số cho
1.18. Tìm số có năm chữ số biết viết chữ số đằng trước số số lớn gấp lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng sau chữ số
1.19. Một số gồm ba chữ số có tận chữ số 7, chuyển chữ số lên đầu số mà chia cho số cũ thương dư 21 Tìm số
1.20 (Đề thi HSG Hà Nội, 2005)
a) Có số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số hàng đơn vị 4?
b) Có số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn có chữ số hàng đơn vị chia hết
(11)Chuyên đề PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Các tính chất phép cộng phép nhân • Tính chất gia hốn: a+ = +b b a; a.b=b.a
• Tính chất kết hợp: (a+b)+ = +c a (b c ; a.b c+ ) ( ) =a b.c( )
• Cộng với số 0: a+ = + =0 a a Nhân với số 1: a.1 1.a= =a
• Tính chất phân phối: a b c( + =) a.b a.c+
2 Điều kiện để thực phép trừ a−b a≥b
Tính chất phân phối phép nhân phép trừ:
( )
a b c− =a.b a.c−
3 Điều kiện để số a chia hết cho số b≠0 tồn số q cho: a=b.q 4 Phép chia có dư:
Chia số a cho số b≠0 ta có: a=b.q+r, số dư r thỏa mãn điều kiện 0≤ <r b.
∗ Nhận xét:
• r∈{0;1; 2; ; b ,− } suy có b khả số dư chia số cho b
• a−r b
• Nếu a c b c (a±b : c) =a : c b : c±
• Quan hệ chia hết có tính chất bắc cầu, tức a b b c a c.
5 Lũy thừa với số mũ tự nhiên a) Định nghĩa: n
a =a a .a (n thừa số a) (n∈∗) lũy thừa a; a gọi cơ số, n
gọi số mũ
Quy ước:
a =a; a =1 (với a≠0),
0 khơng có nghĩa
b) Một số tính chất
(12)( )
m n m n
a a =a + m, n∈
m n m n
a : a =a − (m, n∈; m≥n)
• Lũy thừa lũy thừa: ( )m n m.n ( )
a =a m, n∈
• Lũy thừa tích: ( )n n n ( )
a.b =a b n∈
• Lũy thừa tầng: n ( )mn ( )
m
a =a m, n∈
c) Số phương là số viết dạng bình phương số tự nhiên
Ví dụ: 2 2
0=0 ; 1 ; 4= =2 ; 25=5 ; 121 11 ; = số phương
6 Thứ tự thực phép tính
• Thứ tự thực phép tính biểu thức khơng có dấu ngoặc:
Lũy thừa ⇒ Nhân, chia ⇒ Cộng, trừ
• Thứ tự thực phép tính biểu thức có dấu ngoặc: ( )⇒[ ]⇒{ }
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Thực phép tính
Ví dụ 1. Thực phép tính sau cách hợp lí a) 12.53 53.172 53.84+ −
b) 35.13 35.17 65.75 65.45+ + −
c) ( 16) (2 13 11 9)
3.4.2 : 11.2 −16
Giải
a) Ta có: 12.53 53.172 53.84+ − =53.(12 172 84)+ −
53.100 5300
= =
b) 35.13 35.17 65.75 65.45+ + − =(35.13 35.17) (65.75 65.45)+ + − 35.(13 17) 65.(75 45) = + + −
35.30 65.30
= +
(13)30.100 3000
= =
c) Ta có: ( 16) (2 16) (2 18)2 2( )18 2 36
3.4.2 = 3.2 = 3.2 =3 =3
( ) ( )11
13 11 13 13 22 36 35 36
11.2 −16 =11.2 − =11.2 −2 =11.2 −2
( )
35 35 35
2 11 2
= − = =
Suy ra: ( ) ( )
36 2
16 13 11
35
2
3.4.2 : 11.2 16
2
− = =
Nhận xét:
Trong câu a) câu b), ta sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng
và phép trừ để tính hợp lí Tuy nhiên, cơng thức thể tính chất viết lại là:
a.b a.c a.d+ − =a.(b c d)+ −
Quy tắc gọi quy tắc đặt thừa số chung.
Dạng So sánh Ví dụ 2. So sánh:
a) 2011.2013
2012
b)
(3 4)+ 2
3 +4
c) 300
2 200
3
Giải
a) Ta có: 2013=2012 1+ 2012=2011 1+
Suy ra: 2011.2013=2011.(2012 1)+ =2011.2012 2011+
2012 =2012.(2011 1)+ =2012.2011 2012+
Vì 2011<2012 nên
2011.2013<2012
b) Ta có: 2
(3 4)+ =7 =49 2
3 +4 = +9 16=25
Vậy 2
(3 4)+ >3 +4
Chú ý: Nói chung n n n
(a+b) ≠a +b
c) Ta có: 300 3.100 100 100
2 =2 =(2 ) =8 200 2.100 100 100
3 =3 =(3 ) =9
Vì 100 100
8 <9 nên 300 200
(14)Nhận xét:
Khi so sánh hai lũy thừa, ta thường sử dụng quy tắc để biến đổi hai lũy thừa số số mũ sử dụng quy tắc:
• Nếu n<mthì n m
a <a (a>1; m, n∈)
• Nếu a<b n n
a <b (a, b∈; n∈∗)
Dạng Tìm số chưa biết
Ví dụ 3. Tìm x, biết: 165 (35 : x− +3).19 13=
Giải
Ta có: 165 (35 : x− +3).19 13= (35 : x+3).19 165 13= −
(35 : x+3).19 152= 35 : x+ =3 152 :19 35 : x+ =3 35 : x= −8
35 : x=5
x=35 :
x=7 Vậy x=7
Nhận xét:
Trong cách giải trên, ta thấy x nằm số trừ (35 : x+30).19, trước hết ta tìm số trừ cách lấy số bị trừ 165 trừ hiệu 13 Suy luận tương tự cho bước sau đến tìm x Ngồi ra, ta áp dụng tính chất phân phối để bỏ dấu ngoặc:
(35 : x+3).19=(35 : x).19 3.19+ =35.19 : x+57
665 : x 57
= +
Ví dụ 4. Tìm x, biết:
a)
(2x 1)+ =9.81
b) x x
(15)Giải
a) Ta có:
9.81 9.9= =9
Do đó: 3
(2x 1)+ =9
2x 9+ =
2x= −9
2x=8
x=4 Vậy x=4
b) Vì x x x
5 + =5 =25.5 nên ta có: x x
5 +25.5 =650 x
(1 25).5+ =650 x
26.5 =650
x
5 =25=5
x=2 Vậy x=2 Nhận xét:
Để tìm x nằm lũy thừa thỏa mãn đẳng thức, ta biến đổi để đưa so sánh hai lũy thừa số (như câu a), số mũ (như câu b)
Ví dụ 5. Tìm số mũ n cho lũy thừa n
3 thỏa mãn điều kiện n
25<3 <250
Giải
Ta có: 3 n
3 = <9 25<27=3 ⇒3 ≤3 (1)
5 n
3 =243<250<729=3 ⇒3 ≤3 (2)
Từ (1) (2) suy ra: n
3 ≤3 ≤3
3≤ ≤n Vậy n∈{3; 4;5}
(16)So sánh
3 = <9 25<27=3
3 lũy thừa nhỏ lớn 25 Vì
n
25<3 nên n
3 ≤3 Tương tự, so sánh 35 =243<250<729=36
3 lũy thừa lớn
nhất nhỏ 250 Vì n
3 <250 nên n
3 ≤3
Ví dụ 6. Chia số tự nhiên cho 60 ta số dư 31 Nếu đem chia số cho 12 thương 17 cịn dư Tìm số
Giải
Gọi số tự nhiên cần tìm a, thương chia a cho 60 q Theo đề ra, ta có: a=60.q 31+ Suy ra: a=125.q 12.2 7+ + =12.(5.q+ +2)
Tức a chia cho 12 thương 5.q+2 số dư Từ ta suy ra:
5.q+ =2 17 ⇒5.q=15⇒ =q
Vậy a=60.3 31+ =211
Nhận xét: Cơ sở cách giải 60 chia hết cho 12 Ta cần ý thêm số dư
không lớn số chia, từ a=12.(5q) 31+ khơng thể suy a chia cho 12 thương 5q dư 31
III BÀI TẬP 1.21. Tính hợp lí:
a) 28.(231 69) 72.(231 69)+ + +
b) 299 300 301 302+ − − + + − − + − − + +
1.22. Tính hợp lí: a)
6
4 12 11
4 120
10
8
+
−
b) 99 100
1 2+ + +2 +2 + + +2
c) 97 99
5 5+ + + +5 +5
1.23. Tính giá trị biểu thức:
3
2 b
P 3a b d
c
= − + với a=5; b=2; c=4; d=6
1.24. So sánh:
a)
243
3.27
b) 12
15
81 125
c) 12 11
78 −78 11 10
(17)1.25. Cho 1999 2000
A= + + + + +1 3 +3 Chứng minh A chia hết cho 13
1.26. Tìm x∈, biết:
a) (4x+5) : 121:11− =4
b) x+ + + + =1600 (x số tự nhiên lẻ)
1.27. Tìm x∈, biết:
a)
(2x 1)+ =125 b)
(4x 1)− =25.9
1.28. Tìm x∈, biết:
a) x x
2 +2 + =144 b) 2x x
3 + =9 +
1.29. Tìm x∈, biết:
a)
(x 5)− =(x 5)− , (với x≥5) b) 15
x =x
1.30. Tìm số mũ x, biết lũy thừa 2x
5 − thỏa mãn điều kiện: 2x
100<5 − ≤5
1.31. Cho ba số 6; 7; Tìm tổng tất số khác viết ba số đó, chữ số dùng lần
1.32. Tích hai số 276 Nếu thêm 19 đơn vị vào số tích hai số 713 Tìm hai số
1.33. Hiệu hai số Nếu tăng số bị trừ lên lần, giữ nguyên số trừ hiệu chúng 54 Tìm hai số
1.34. Tìm hai số tự nhiên có thương 29 Nếu tăng số bị chia lên 325 đơn vị thương chúng 54
1.35. Trong phép chia số bị chia 59, số dư Tìm số chia thương
1.36. Tổng ba số 122 Nếu lấy số thứ chia cho số thứ hai lấy số thứ hai chia cho số thứ ba thương dư Tìm ba số
1.37. Khi chia số cho 48 số dư 41 Nếu chia số cho 16 thương thay đổi nào?
1.38. Tìm số bị chia số chia nhỏ để thương dư 45
1.39. Tổng hai số 38570 Chia số lớn cho số nhỏ ta thương cịn dư 922 Tìm hai số
(18)(19)Chuyên đề TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG, HIỆU, TÍCH
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Tính chất 1: Nếu a m b m (a+b) m, (a −b) m (a ≥b) - Tính chất 2: Nếu a m b m/ (a+b) m, (a/ −b) m (a/ ≥b)
- Tính chất 3: Nếu a m k.a m (k∈) - Tính chất 4: Nếu a m b m a.b m.n
Đặc biệt: Nếu a m n n
a m *
(n∈ )
* Mở rộng:
- Nếu a m b m (k.a+l.b) m (k, l ∈) - Nếu a m (a+b) m b m
- Nếu a m (a+b) m/ b m/ III MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Chứng minh quan hệ chia hết
Ví dụ Xét xem tổng (hiệu) chia hết cho a) 400 144−
b) 80 25 48+ + c) 32 47 33+ +
Giải
a) Vì 400 8 144 8 nên (400 144) 8− (tính chất 1) b) Vì 80 8 ; 48 8 25 8/ nên (80 25 48) 8+ + / (tính chất 2) c) Ta có: 32 47 33+ + =32 (47 33)+ +
Vì 32 8 (47 33) 8+ nên (32 47 33) 8+ + (tính chất 1)
Nhận xét:
Một số sai lầm thường gặp câu c:
(20)Nguyên nhân sai lầm vận dụng sai tính chất Tính chất khẳng định rằng: Nếu tổng có nhất số hạng khơng chia hết cho m (mọi số hạng khác chia hết cho m) tổng khơng chia hết cho m
Ví dụ 2. Chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho
Giải
Gọi ba số tự nhiên lien tiếp là: a; a 1; a+ +2 Ta có ba trường hợp sau:
• Nếu 3a tốn giải
• Nếu a chia cho dư 1, tức là: a=3k+1 , a+2= 3k( +3 3)
• Nếu a chia cho dư 2, tức là: a=3k+2, a+ =1 (3k+3 ) Vậy ba số ; +1; +2a a a ln có số chia hết cho
Nhận xét:
Kết trường hợp tổng quát: Trong nsố tự nhiên liên tiếp ln có
số chia hết cho n
Ví dụ 3: Chứng tỏ tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho
Giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: ; 1; 2a a+ a+ Tổng ba số bằng: số chia
hết cho (tính chất 3)
Nhận xét:
Ta có kết tương tự phép nhân: Tích nsố tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Từ
tính chất ví dụ 2, ta có kết “mạnh hơn”: Tích nsố tự nhiên liên tiếp chia hết cho
!
n
(Trong đó: ! 1.2.3 ,n = n đọc ngiai thừa)
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng: a) (ab ba− ) 9 (với a > b)
b) Nếu (ab+cd) 111 abcd 11.
Giải
a) Ta có: ab ba− =(10a+b) (− 10.b+a)=9.a−9.b=9.(a b− )
Mà 9.(a b− ) 9 (tính chất 3), nên ab ba− 9. b) Ta có: abcd =100.ab+cd =99.ab+(ab+cd)
(21)Dạng Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết
Ví dụ 5: Cho A=12 15 36+ + +x, với x∈ Ν Tìm điều kiện x để:
a) 3A b) A9
Giải
a) Vì 12 3; 15 3 36 3 nên để 3A 3x b) Ta có: A=12 15 36+ + +x
Vì 12+15 = 27 9 36 9 nên để A9 x9
Ví dụ 6:Tìm số tự nhiên n để:
a) (n+3 3) b) (7n+8 ) n c) (35 12− n) n (với n < 3)
Giải
a) Vì n n nên để (n+3 ) n n Từ suy ra: n∈{ }1;
b) Vì n n nên để (7n+8 ) n n Từ suy ra: n∈{1; 2; 4; } c) Vì 12 n n nên để (35 12− n) n 35 n Từ suy ra: n∈{1; 5; 7; 35 } Vì n < nên n=1 Vậy n =
Ví dụ 7:Tìm số tự nhiên n để: a) (n+8 ) ( n+3)
b) (7n+8 ) n (với n < 6)
c) (5n+2 2) ( − n) (với n < 5)
Giải
a) Vì (n+3 ) ( n+3) nên theo tính chất để (n+8 +3) ( n ) thì:
(n 8) (n 3) +3(n )
+ − +
hay (n+3)
Suy ra: n+ ∈3 { }1;5 Vì Suy ra: n+ ≥3 3nênn+ = ⇒3 =2.n Vậy n =
b) Vì 3(n+4 ) ( n+4) nên theo tính chất để (16 3− n) ( +4 n ) thì:
(16n 3n) (3 n 3) +4(n )
− + +
hay 28 (n+4)
Suy ra: n+ ∈4 {1; 2; 4; 7; 14; 28 } Vì Suy ra: 0≤ <n 6nên4≤ + <n 10 Từ ta có: n+4∈{ }4; hay n∈{ }0;
c) Vì 2( − n) ( 2− n) nên(5n+2 2) ( − n) thì: 5( n+2 2) ( − n) Suy ra: 5 9( −2n) (+2 5n+ 2) 9 ( −2n) hay 49 9 ( −2n)
{ }
9 2n 1; 7; 49
⇒ − ∈ Vì 2− n≤9nên 2− n∈{ }1;
(22)Chú ý:
Trong câu c, sau tìm n ta phải thử lại, từ 5 9( −2n) (+2 5n+ 2) (9−2n) ta
suy 5( n+2 2) ( − n), nên chưa có (5n+2 2) ( − n)
III BÀI TẬP
1.41 Cho A = 2, 5, 7, 9, 13 + 78 Hỏi A có chia hết cho 3, cho 6, cho 9, cho 13 khơng? Vì
sao?
1.42 Chứng tỏ tổng bốn số tự nhiên liên tiếp số số không chia hết cho
1.43 Khi chia số số tự nhiên a cho 24 số dư 10 Hỏi số a có chia hết cho 2, cho
khơng? Vì sao?
1.44 Chứng tỏ số tự nhiên có ba chữ số giống chia hết cho 37 1.45 Chứng tỏ rằng:
a) 4+ +42 +43+ + 42012chia hết cho 21 b) 7+ +72 +73+ + 7101chia hết cho
c) 2+22 +23+ + 2100vừa chia hết cho 31, vừa chia hết cho
1.46 Chứng tỏ rằng:
a) Nếu (abc−deg 13) abcdeg 13. b) Nếu abc7 (2a+3b+c)7
1.47 Tìm chữ số a, biết rằng: 20 20 20 7.a a a
1.48 Tìm số tự nhiên n cho: a) (n+12 .) n
b) (15 4− n) n (với n < 4)
c) (6n−9 ) n (với n ≥ 4)
1.49 Tìm số tự nhiên n cho:
a) (n+13 ) ( n−5) (với n > 5) b) (15 2− n) ( +1 n ) (với n ≤ 4) c) (6n+9 4) ( n−1) (với n ≥ 1)
1.50. Cho , a b∈ Ν Chứng tỏ 5a+3bvà 13a+8bcùng chia hết cho 2012 a b
cũng chia hết cho 2012
Chuyên đề DẤU HIỆU CHIA HẾT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
(23)• 2a a có chữ số tận 0; 2; 4; 6;
• a 5 a có chữ số tận 0;
• a 3 tổng chữ số a chia hết cho
• a 9 tổng chữ số a chia hết cho
2 Nâng cao
• a 4 (hoặc 25a ) hai chữ số tận a tạo thành số
chia hết cho (hoặc 25)
• a 8 (hoặc 125a ) ba chữ số tận a tạo thành số
chia hết cho (hoặc 125)
• a 11 tổng chữ số hàng lẻ a trừ tổng chữ số hàng chẵn a (hoặc ngược lại) chia hết cho 11
Ví dụ: Số 908347 11 , (9 8+ +4) (− + +0 7)=11 11.
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Chứng minh quan hệ chia hết
Ví dụ 1 Chứng tỏ với số tự nhiên n ta có:
( 2013)( 2012)
2012 2013
n+ n+
Giải
Ta có 2012 số chẵn nên 2013
2012 số chẵn Tương tự, ta có 20132012 số lẻ
Từ đó: 2012 2012
2012 +2013 số lẻ
Ta có: (n+20122013) (+ n+20132012)=2n+(20122013+20132012)là số lẻ, 2n số
chẵn Suy hai số ( 2013)
2012
n+ (n+20132012)phải có số chẵn Do tích
chúng (n+20122013)(n+20132012)là số chẵn
Vậy ( 2013)( 2012)
2012 2013
n+ n+
Nhận xét:
Trong cách giải ta sử dụng tính chất: Nếu a+blà số lẻ hai số avà ,b
phải có số chẵn, số lẻ
Thật vậy, nếuavà ,b số chẵn số lẻ a+blà số chẵn: Trái với giả
thiết a+blà số lẻ
Ta chứng minh qua việc xét hai trường hợp: nchẵn nlẻ
Ví dụ 2 Chứng tỏ hiệu số tổng chữ số chia hết cho
Giải
Ký hiệus n( )là tổng chữ số tự nhiên n Bài toán trở thành: Chứng tỏ n−s n( )9 Thật vậy, giả sử n=a am m−1 a a1 (ncó m+1chữ số),
( ) m m
(24)Ta có: n=am.10m +am−1.10m−1+ + a1.10+a0
1 1 1 1 0
so 9
99 m 99 9m ( m m )
m m so
a − a a a − a a
−
= + + + + + + + +
Vì 1 1
so 9
99 m 99 9m 9
m m so
a − a
−
= + + +
nên ta đặt .k (k∈ Ν)
Suy ra: n=9k+s n( )⇒ n −s n( )=9k9
Nhận xét:
Từ kết toán ta thấy nvà s n( )ln có số dư chia cho Ta
cũng có kết tương tự thay
Ví dụ 3. Hãy thay dấu phép toán cộng ( )+ trừ ( )− vào chỗ đánh dấu ( )* dãy tính sau để kết số chia hết cho 2:
10 * *8 * * * * * 3* *1
Giải
Bước 1: Thay tất dấu “*” dấu “+” ta được:
10 7+ + + + + + + + + =6 55 (là số lẻ)
Bước 1: Thay tất dấu “+” dấu “-”
Khi thay dấu “+” a+b dấu “-”, ta a−b Giá trị biểu thức giảm
(a+b) (− a b− )=2b (là số chẵn)
Do đó, sau lần thay dấu “+” dấu “-” kết giảm số chẵn nên kết tính ln số lẻ
Vậy khơng có cách thay để kết tính chia hết cho
Nhận xét:
Trong cách giải ta sử dụng phương pháp giả thiết tạm: Thay tất dấu “*” dấu “+”, thay dần dấu “+” dấu “-” Kết hợp với tính bất biến (Kết phép tính ln số lẻ), ta có lời giả tốn
Ta giải thích sau: Vì dãy tính có số lẻ nên khơng thể điền dấu “+” hay dấu “-” vào chỗ có dấu “*” để số chẵn
Ví dụ 4: Viết số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta số A Hỏi A có chia hết cho khơng? Vì sao?
Giải
Ta có: A=10111213 9899
Xét 90 số tự nhiên liến tiếp: 10,11,12, ,98,99
(25)• Tổng chữ số hàng đơn vị: (0 9+ + + + + ) =45.9=405 Tổng chữ số A là: 450 405 855.+ =
Mà 855 9 nên 9.A
Dạng 2.Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết, chia dư.
Ví dụ 5: Biết số tự nhiên n chia hết cho (n2 −n)5.Tìm chữ số tận n
Giải
Vì n2chia hết chữ số tận n số chẵn
Vì n2 − =n n n( −1 5) nên n5 (n−1 5) Do n có chữ số tận 0,5
n− có chữ số tận 0,5 Tức n có chữ số tận 0,5,1, Kết hợp hai kết suy ncó chữ số tận
Ví dụ 6: Tìm chữ số ,x y biết rằng:
a) 23 2; 5x y b) 144xy 3
Giải
a) Vì 23 5x ychia hết cho nên y=0
Ta có: 23 50 9x nên (2 + + + ) hay (10+) ⇒ x = Vậy x=8; 0.y=
b) Vì 144xy 5 nên y∈{ }0;
• Nếu y=0 ta có 144 3x
( ) ( ) { }
4 x hay x x 0; 3; 6;
⇒ + + + + + ⇒ ∈
• Nếu y=5 ta có 144 3x
( ) ( ) { }
4 x hay 14 x x 1; 4;
⇒ + + + + + ⇒ ∈
Vậy có bẩy cặp số ( )x y, thỏa mãn:
x
y 0 0 5
Ví dụ 7: Tìm chữ số ,x y biết 3x ychia hết cho 2, cho chia cho dư
(26)Vì 3x ychia hết cho nên y=0
Ta có: 30x chia hết cho dư 2+ + +x chi hết cho dư (xem ví dụ 2) hay x+5chia hết cho dư
10x x
⇒ + = ⇒ =
Vậy x=5; 0.y=
Ví dụ 8: Tìm chữ số a bbiết rằng:
a) 25 36a b b) 378 72a b
Giải
a) Vì 25acb 36 nên 25 4a b Vì 25 4a b nên 4b ⇒ ∈b {0; 4; }
• Nếu b=0 ta có 25 20 9a
( ) ( ) { }
a hay a 9 a 0;
⇒ + + + + + ⇒ ∈
• Nếu b=4 ta có 25 24 9a
( ) ( )
a hay a 13 a
⇒ + + + + + ⇒ =
• Nếu b=8 ta có 25 28 9a
( ) ( )
a hay a 17 a
⇒ + + + + + ⇒ =
Thử lại, ta có cặp số ( )a b; thỏa mãn:
a
b 0
b) Vì 378 72a b nên 378 8a b
• Vì 378 8a b nên 78 8b ⇒ b=4
• Vì 3784 9a nên (a+ + + +3 4) hay (a+22 9) ⇒ =a Vậy a=5và b=4
Ví dụ 9: Tìm chữ số asao cho 76 23 11.a
Giải
(27)Vậy a=9
Nhận xét:
Để giải tốn tìm chữ số chưa biết số, biết số chia hết (hoặc chia dư) cho vài số cho trước, ta sử dụng dấu hiệu chia hết, ưu tiên dấu hiệu cho biết (hoặc 2, 3) chữ số tận (dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 8, 125)
III BÀI TẬP
1.51 Từ ba bốn chữ số 5, 6, 3, 0, ghép thành số có ba chữ số khác thỏa mãn
một điều kiện:
a) số lớn chia hết cho b) số nhỏ chia hết cho
c) số nhỏ chia hết cho d) số lớn chia hết cho
1.52 Dùng ba bốn số 5, 4, 3, viết tất số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho
cả ba số 2,
1.53 Chứng tỏ rằng:
a) 1033 +8 chia hết cho 18 b) 1010 +14 chia hết cho
1.54 Chứng tỏ với số tự nhiên n, tích (n+7)(n+8) chia hết cho
1.55 Chứng tỏ tích ba số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 48 1.56 Cho n∈ Ν* Chứng tỏ rằng:
a) (5n −1 4.) b) (10n+18n−1 27.)
1.57 Tìm số tự nhiên có năm chữ số, chữ số giống nhau, biết số chia cho dư
và chia hết cho
1.58 Tìm chữ số ,x y biết rằng:
a) 85x y chia hết cho 2; 3; b) 10xy5 45.
c) 26 5.x y 18
1.59 Tìm chữ số ,a b cho:
(28)1.60 Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số biết số chia hết cho 4, số chia hết
cho 25
1.61 Tìm chữ số a để aaaaa96 chia hết cho
1.62 Tìm chữ số a để 1aaa1 chia hết cho 11
1.63 Biết 1978a+2012b 78a+10b chia hết cho 11 Chứng minh a b
cũng chia hết cho 11
1.64 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta số gồm các chữ số số viết theo thứ tự ngược lại
1.65. Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc cho: abc=n2−1 cba=(n−2)2, với
,
n∈ n>
(Đề thi HSG Vũng Tàu, 2009)
(29)Chuyên đề SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Kiến thức
• Ước bội a b ⇔ a bội b⇔b ước a
• Tập hợp ước số tự nhiên a kí hiệu Ư( )a Tập hợp bội số tự nhiên a kí hiệu B( )a
Ví dụ Ư( ) {6 = 1; 2;3;6}, B( ) {6 = 0;6;12;18;}
• Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước
• Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước
• Phân tích số thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số
nguyên tố với số mũ Thơng thường, ước ngun tố viết theo thứ
tự từ nhỏ đến lớn Ví dụ 72=2 33
2 Nâng cao
• Để kiểm tra số a có số ngun tố hay khơng, ta chia a cho số nguyên tố 2;3; ; p, với p số nguyên tố lớn thỏa mãn p2 ≤a Nếu khơng có phép chia hết a số nguyên tố, trái lại a hợp số
Ví dụ Để xét số 103 có số nguyên tố hay không ta xác định số nguyên tố lớn thỏa mãn 72≤103 ( số nguyên tố 11 có 112 =121 103> ) Ta chia 103 cho 2;3;5;7 thấy khơng có phép chia hết Vậy 103 số nguyên tố
• Tập hợp số nguyên tố có vơ hạn phần tử Do vậy, khơng có số nguyên tố lớn
nhất
• Nếu số tự nhiên a phân tích thừa số nguyên tố được:
1
1
k
n n n
k
a= p p p , p p1, 2,,pk số nguyên tố khác nhau, số ước a (n1+1 ) (n2+1) ( nk +1)
• Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố
với số mũ chẵn Từ ta suy số phương có số ước số lẻ
(30)• Nếu ,p q hai số nguyên tố mà a p a q a p q
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Các toán ước bội
Ví dụ 1. Cho phép chia có số bị chia 200 số dư 13 Tìm số chia thương
Giải
Gọi số chia b, thương q Vì số dư ln nhỏ số chia nên b>13 Khi ta có phép chia: 200=b q +13
200 13 187
b q
⇒ = − =
b
⇒ ∈Ư( )187
Vì 187=11.17 b>13 nên b=17 b=187
− Nếu b=17 q=11 ta có phép chia 200=17.11 13+
− Nếu b=187 q=1 ta có phép chia 200=187.1 13+
Ví dụ 2. Biết số tự nhiên aaa có ba ước khác 1, tìm chữ số a
Giải
Ta có aaa=111.a=3.37.a
3;37;3.37
⇒ ước (khác 1) aaa
Để aaa có ba ước khác (như trên) a=1 Vậy số phải tìm 111
Nhận xét:
Một số có ba ước khác số ước ( tính thêm ước 1) Sử
dụng cơng thức tính số ước, số phân tích thừa số nguyên tố phải có dạng p3
p q, với p q số nguyên tố khác Vì aaa=111.a=3.37.a 3;37 số nguyên tố khác nên suy aaa có dạng a=1
Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên x cho 14 2( x+3)
(31)Vì 2x+3 ước 14 nên 2x+ ∈3 {1; 2;7;14}
Vì 2x+3 số lẻ, lớn nên 2x+ =3 hay 2x= − =7
4 : 2
x
⇒ = = Vậy x=2
Nhận xét:
Khi giải toán ước bội, ta thường xét tính chẵn - lẻ phạm vi giá trị số Trong ví dụ trên, 2x+3 số lẻ, x≥0 nên 2x+ ≥3 Việc giúp số trường hợp tốn giảm đáng kể
Dạng Các tốn số ngun, hợp số
Ví dụ Tìm số nguyên tố p, cho p+2 p+4 số nguyên tố
Giải
− Nếu p=2 p+ =2 p+ =4 số nguyên tố
− Nếu p=3 p+ =2 p+ =4 số nguyên tố
− Nếu p>3 số ngun tố p có hai dạng: 3k+1, 3k+2 với *
k∈
+ Nếu p=3k+1 p+ =2 3k+ =3 3(k+1)
(p 3)
⇒ + , mà p+ >2 nên p+2 hợp số
+ Nếu p=3k+2 p+ =4 3k+ =6 3(k+2)
(p 3)
⇒ + , mà p+ >4 nên p+4 hợp số
Vậy có số nguyên tố p thỏa mãn p=3
Nhận xét:
Trong cách giải ta sử dụng tính chất sau đây: “Nếu a> >m a m a hợp số”
Đây tính chất thường dùng tốn số nguyên
Ví dụ 5. Cho p 2p+1 số nguyên tố (p>5) Hỏi 4p+1 số nguyên tố hay hợp số?
(32)Do p số nguyên tố lớn nên p3⇒4p3 Do 2p+1 số nguyên tố lớn nên 2p+13
( )
2 2p
⇒ + 3 hay 4p+23
Mặt khác, ba số tự nhiên liên tiếp ;4p p+1; 4p+2 ln có số chia hết cho 3, 4p+1 3 Mà 4p+ >1 3, nên 4p+1 hợp số
Ví dụ 6. Tìm số ngun tố biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố khác
Giải
Gọi p số nguyên tố cần tìm p= + = −a b c d, với , ,a b c số nguyên tố,
c>d
Vì p= + >a b nên p số lẻ
a b
⇒ + c−d số lẻ
• Vì a+b số lẻ nên hai số ,a b số chẵn, giả sử b chẵn Vì b số ngun tố nên b=2
• Vì c−d số lẻ nên hai số ,c d số chẵn Vì ,c d số nguyên tố c>d nên dlà số chẵn ⇒ =d
Do p= +a = −c 2⇒ = +c a
Ta cần tìm số nguyên tố ađể p= +a c= +a số ngun tố Theo ví dụ 4,
ta cóa=3
Vậy số nguyên tố cần tìm 5, với = + = –
Dạng Các tốn phân tích số thừa số nguyên tố Ví dụ Phân tích số sau thừa số nguyên tố:
a) 2012
2001 b) 2.9.2012
Giải
a) Phân tích số 2001 thừa số nguyên tố ta được: 2001 = 3.23.29
Từ suy ra: 2012
2001 = (3.23.29)2012 = 2012 2012 2012
3 23 29
b) Phân tích số 2012 thừa số nguyên tố ta được: 2012 =
2 503 Từ suy ra: 2.9.2012 = 2.32.22.503 = 23.32.503
Ví dụ Tìm n∈N*biết: + + + … + (2n) = 756
Giải
(33)Phân tích số 756 thành tích hai số tự nhiên liên tiếp:
756 =
2 = 27.28
Theo đề ra, ta có: n n( + =1) 27.28 ⇒ =n 27
Vậy n=27
Ví dụ Tìm số tự nhiên n cho p = ( )( )
2
n− n + −n số nguyên tố
Giải
Từ p = ( )( )
2
n− n + −n suy n−2
5
n + −n ước p
Vì p số nguyên tố nên n− =2
5 n + − =n Nếu n – = n =
Khi ( )
1 3
p= + − = số nguyên tố (thỏa mãn)
Nếu
5
n + − =n ⇔n2+ =n ⇔n n( + =1) 2.3 ⇒ =n Khi p=(2 0− ) = khơng số nguyên tố
Vậy n =
III BÀI TẬP
1.67 Tìm tập hợp số tự nhiên vừa bội 4, vừa ước 60
1.68 Tìm số tự nhiên x, y cho (2x−1)(y+ =3) 12
1.69 Chứng tỏ plà số nguyên tố lớn (p−1)(p+1) chia hết cho 24
(Đề HSG tỉnh Phú Thọ, 2004)
1.70 Tìm chữ số ađể 23a số nguyên tố
1.71 Tìm số tự nhiên nhỏ có 12 ước số
1.72 Chứng tỏ rằng: Nếu số tự nhiên có ba chữ số tận 104 số có ước số
1.73 Tìm hai số ngun tố có tổng 309
1.74 Tìm số nguyên tố p,sao cho p+4;p+8 số nguyên tố
(Đề HSG Hà Nội, 2008)
1.75 Tìm số nguyên tố p, cho p+6;p+8;p+12;p+14 số nguyên tố 1.76 Cho pvà p+4 số nguyên tố (p>3) Chứng tỏ rằng: p+8 hợp số
1.77 Số 2012
3 +3 +3 + + số nguyên tố hay hợp số
1.78 Hai số nguyên tố gọi sinh đôi nếu chúng hai số nguyên tố hai số lẻ liên tiếp
(chẳng hạn như: 5, 11 13,…) Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai
số ngun tố sinh đơi chia hết cho
1.79 Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số nguyên tố
1.80 Tìm n∈N*, biết: + + + +(2n+ =1) 144
1.81 Tìm số abc phân tích thừa số ngun tố có thừa số thừa số Chứng tỏ số a+19b+4c có tính chất
(34)Chuyên đề ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Kiến thức
a) Ước chung ước chung lớn
• Ước chung hai hay nhiều số ước tất số
Tập hợp ước chung hai số avà b kí hiệu ƯC(a, b) xác định bởi: ƯC(a, b) = Ư(a) ∩Ư(b)
• Ước chung lớn a b số lớn tập hợp ước chung a b Kí hiệu ƯCLN(a, b) gọn (a, b)
Cách tìm ƯCLN số cho trước:
Bước Phân tích số thừa số nguyên tố
Bước Chọn thừa số nguyên tố chung
Bước Lập tích thừa số nguyên tố chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN cần tìm
• Chú ý:
+ Nếu a b ( )a b, =b
+ a b nguyên tố ⇔(a b; )=1
+ Ba số a, b, c gọi đôi nguyên tố ( ) ( ) ( )a b, = b c, = c a, =1
+ Muốn tìm ước chung số cho, ta tìm ước ƯCLN tất số
b) Bội chung bội chung nhỏ
• Bội chung hai hay nhiều số (khác 0) bội tất số
Tập hợp bội chung hia số a và b kí hiệu BC( )a b, xác định
( ), ( ) ( )
BC a b =B a ∩B b
• Bội chung nhỏ avà b số nhỏ khác tập hợp bội chung
avà b, kí hiệu BCNN a b( ); rút gọn [ ]a b,
Cách tìm BCNN số cho trước:
Bước Phân tích số thừa số nguyên tố
Bước Chọn thừa số nguyên tố chung riêng
Bước Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ lớn nó, tích BCNN phải tìm
• Chú ý:
+ Nếu a b với (a≠0) [ ]a b, =a + ( )a b, =1 [ ]a b, =a b
+ Muốn tìm bội chung số cho, ta tìm bội BCNN số
2 Nâng cao
(35)• Nếu ab m (a m, )=1 b m
• Nếu a m a n a b m n [ ], đặc biệt a m a n mà (m n, )=1 a mn Tích hai số tích BCNN ƯCLN chúng: a b =( )a b, ,[ ]a b
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Các tốn ước chung bội chung Ví dụ Tìm ƯC(28, 70); BC(4; 14)
Giải
+ Ta có Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}
Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}
Từ suy ƯC(28; 70) = Ư(28) ∩Ư(70) = {1; 2; 7; 14} + Ta có: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; }
B(14) = {0; 14; 28; 42; 56; }
Từ suy ra: BC(4, 14) = B(4) ∩ B(14) = {0; 28; 56; }
Nhận xét:
Dựa vào ý phần I, ta giải tốn theo cách khác sau đây:
+ Ta có:
28 ; 70 2.5.7= = ⇒ ƯCLN(28,70) = 2.7 = 14
Vậy ƯC(28,70) = Ư(ƯCLN(28,70)) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}
+ Ta có: = 22 14 = 2.7 ⇒ BCNN(4,14) = 22 = 28
Vậy BC(4,14) = B(BCNN(4,14)) = B(28) = {0; 28; 58; }
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên a, biết 332 chia cho a dư 17, cịn chia 555 cho a dư 15
Giải:
Vì 332 chia cho a dư 17 nên 332 – 17 = 315 a a > 17 Vì 555 chia cho a dư 15 nên 555 – 15 = 540 a a > 15
⇒ a∈ƯC(315,540)và a > 17
Ta có: 315 = 32 5.7 540 = 22 33
⇒ ƯCLN(315,540) = 32
= 45
Do : a∈ ƯC(315, 540) = Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}
Vì a > 17 nên a = 45
(36)Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên nhỏ có bốn chữ số, biết chia số cho 18; 24 ; 30 có số dư 13; 19; 25
Giải:
Gọi số cần tìm a, 1000≤ ≤a 9999
Vì a chia cho 18 dư 13 nên ta có a = 18 q + 13 ⇒ a + = (18.q + 18) 18
Tương tự, ta có : a + chia hết cho 24 30
Do a + ∈ BC(18,24, 30) ⇒ (a + 5) BCNN(18, 24, 30) Ta có: BCNN(18, 24, 30) = BCNN(2.32, 23.3, 2.3.5) = 23 32.5 = 360
⇒ a + 360 hay a + = 360.k với k ∈N* ⇒ a = 360.k –
Ta thấy k lớn a lớn,vì để a số nhỏ k phải nhỏ Với k =1 a = 355 < 1000: không thỏa mãn
Với k =2 a = 715 < 1000: khơng thỏa mãn Với k = a = 1075 < 1000: thỏa mãn Vậy số cần tìm 1075
Nhận xét: Ta dùng cách suy luận khác sau: Vì 1000≤ ≤a 9999 nên ta có 1000 ≤360.k− ≤5 9999
Cộng ba số với ta được: 10005≤360.k ≤10004
Chia ba số cho 360, ta được: 1005 10004 67 2501
360 ≤ ≤k 360 ⇔ 24 ≤ ≤k 90
Vì k∈N* nên 3≤ ≤k 27
Vậy giá trị nhỏ k Tương ứng cho giá trị nhỏ a 1075 Ngoài ra, giá trị lớn k 27 Tương ứng cho giá trị nhỏ a 360 27 – = 9715
Ví dụ 4: Tìm hai số tự nhiên a, b biết a + b = 128 (a, b) = 16
Giải:
(37)Vì a + b = 128 nên 16m + 16 n = 128 ⇒ + =m n
Vì (m, n) = m + n = nên ta có bốn trường hợp sau:
• m = n = ⇒a = 16 = 16 b = 16 = 112
• m = n = ⇒a = 16 = 48 b = 16 = 80
• m=5 n=3 ⇒ =a 16.5=80 b=16.3=48
• m=7 n=1 ⇒ =a 16.7=112 b=16.1 16= Vậy toán có đáp số là:
a 16 48 80 112
b 112 80 48 16
Nhận xét:
Trong ví dụ ta thấy rằng: tốn có đáp số a=48; b=80 có đáp số a=80; b=48 Điều có vai trị a b đề
nhau Với toán vậy, ta thường giửa sử a≤b để làm giảm số trường
hợp phải xét Khi giải xong ta cần đổi vai trị a b để có đáp số cịn lại
Ví dụ 5.Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng: ( )a b, =6 [ ]a b, =36
Giải
Vì vai trị a b nhau, nên khơng tính tổng qt, ta giẩ sử a≤b Áp dụng công thức: a b =[ ]a b, ( )a b, , ta có: a b=36.6=216
Vì ( )a b, =6 nên a=6.m b=6.n, với m≤n (m n, )=1 Thay vào a b=216 ta được: 6m n=216
36mn=216
216 : 36
mn= =
Vì m≤n; mn=6 (m n, )=1 nên ta có hai trường hợp sau:
• m=1 n=6 ⇒ =a 6.1=6 b=6.6=36
• m=2 n=3 ⇒ =a 6.2=12 vaf b=6.3 18=
Đổi vai trị a b, ta có hai đáp số khác là: a=36 b=6; a=18 b=12 Vậy tốn có đáp số:
a 12 18
b 36 18 12 36
Dạng Các toán chứng minh
Ví dụ 6.Cho n∈* Chứng tỏ rằng: (2n+3;3n+4)=1
Giải
(38)( )
3 2n d
⇒ + 3( n+4)d hay (6n+8)d
(6n 9) (6n 8) d
⇒ + − + hay 1d
1
d
⇒ =
Vậy (2n+3;3n+4)=1
Ví dụ 7.Cho a, b∈ *; a>b ( )a b, =1
Chứng tỏ (a+b a, −b) 1,
Giải
Đặt d =(a+b a b, − ) thì: (a+b d) (a b d− ) Tức là: a+ =b d m ; a b− =d n (với m,n∈; m>n) Suy ra: 2a=d m +d n ⇒2a d
Và: 2b=d m −d n ⇒2b d
Do d ∈ ƯC(2 , 2a b) ⇒(2 , 2a b d)
Mà (2 , 2a b) ( )=2 a b, =2 nên 2d⇒ =d d =2 Vậy (a+b a, −b) hoặc
Nhận xét:
Trong lời giải ta dùng kết tốn quen thuộc: “tìm hai số biết tổng hiệu” Khi đó, lần số lớn tổng cộng hiệu, lần số nhỏ tổng trừ hiệu
Dạng Các tốn thực tế
Ví dụ 8.Một khu đất hình chữ nhật dài 54 m, rộng 48 m Người ta muốn chia khu đất
thành mảnh hình vng để trồng loại rau Hỏi chia
bằng cách? Với cách chia cạnh mảnh đất hình vng lớn
và bao nhiêu?
Giải
Gọi n độ dài cạnh mảnh đất hình vng chia Ta có: 54n 48n
n
⇒ ∈ ƯC(54, 48 )
Lại có: 54=2.33 48=2 34
Nên suy ra: ƯCLN(54, 48) =Ư( )6 ={1; 2;3;6}
Vậy ta chia khu đất theo cách cạnh mảnh đất hình vng lớn có
thể m
Nhận xét:
Ta tính số mảnh đất hình vng tạo thành cách chia sau:
Cách Độ dài cạnh mảnh
đất hình vng
Số mảnh đất hình vng tạo thành
1 m 54.48=2592
2 m 27.24=648
3 m 18.16=288
(39)Ví dụ 9.Một trường tổ chức cho 64 học sinh thi đấu thể thao số xe ô tô thuộc hai loại: loại xe 12 chỗ ngồi loại xe chỗ ngồi (không kể người lái xe) Biết số học sinh xếp vừa đủ số ghế ngồi xe Hỏi loại xe có chiếc?
Giải
Gọi x số xe 12 chỗ y số xe chỗ ngồi (x,y∈*) Số học sinh xe loại 12 chỗ ngồi 12x
Số học sinh xe loại chỗ ngồi 7y Theo đề ta có: 12x+7y=64 (*) Ta có: 12x4 64 4 nên 7y4 Vì ƯCLN( )7, = nên y4 Từ (*) ta suy ra: 7y<64⇒ ≤y Mà y4 nên y∈{ }4;8
+ y=4 thay vào (*) ta được: 12x+7.4=64 12x=64−28=36
Suy x=36 :12=3
+ y=8 thay vào (*) ta 12x+7.8=64 Suy 12x=64 7.8− =8
Suy x∉*
Vậy có xe 12 chỗ ngồi xe chỗ ngồi
III BÀI TẬP
1.83.Tìm ƯC(48,120,150 ; BC) (26, 78 )
1.84. Cho a, b hai số tự nhiên không nguyên tố thỏa mãn: a=4n+3;
5
b= n+ (n∈) Tìm ( )a b,
1.85. Tìm hai số tự nhiên a, b biết:
a) 7a=11b ( )a b, =45
b)[ ]a b, =300 a b=4500
c) a+ =b 30 [ ]a b, =6.( )a b,
1.86. Tìm hai số tự nhiên a, b biết: a+2b=48 ( )a b, +3[ ]a b, =114
1.87. Tìm hai số tự nhiên a, b biết: ƯCLN( )a b, + BCNN( )a b, =15
1.88. Một số chia cho 21 dư chia cho 12 dư Hỏi số chia cho 84 dư bao nhiêu?
1.89. Cho số tự nhiên a thỏa mãn: 7a a chia cho dư Tìm a biết a<400
1.90. Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số cho chia cho 2, cho 3, cho 4, cho ,cho ta số dư theo thứ tự 1, 2, 3, 4,
1.91. Cho ( )a b, =1, chứng tỏ rằng:
a)(a a b, − )=1 (với a>b)
(40)1.92. Cho n∈ Chứng tỏ rằng:
a) (2n+1, 2n+3)=1 b) (2n+5,3n+7)=1
1.93. Cho hai số nguyên tố a b Chứng tỏ hai số 11a+2b 18a+5b
hoặc nguyên tố có mơt ước chung 19
1.94. Một lớp học có 24 học sinh nam 18 học sinh nữ Có cách chia lớp
thành tổ cho số học sinh nam số học sinh nữ chia vào tổ? Biết
rằng số tổ lớn
1.95. Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 người, 25 người, 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ (khơng có hàng thiếu,
khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có người, biết số người đơn
vị chưa đến 1000?
1.96. Tổng số học sinh khối trường có khoảng 235 đến 250 em, chia cho dư , chia cho dư 3, chia cho dư 4, chia cho dư , chia 10 dư Tìm số học sinh khối
1.97. Một trường tôt chức cho học sinh tham quan ô tô Nếu xếp 35 hay 40 học sinh lên tơ thấy thừa chỗ trống Tính số học sinh tham quan, biết số học sinh có khoảng từ 200 đến 300 em
1.98. Cho a=123456789 b=987654321 Tìm ( )a b,
1.99. Hãy tìm chữ số a, b, c, d cho số a, ad, cd, abcd số
(41)Chuyên đề nâng cao SỐ CHÍNH PHƯƠNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa
Số phương bình phương số tự nhiên Tức là, A số phương A=k2 (k∈)
2 Tính chất
• Số phương có chữ số tận số ; 1; 4; ; ; , chữ số tận 2; 3; ;
• Khi phân tích thừa số ngun tố, số phương chứa thừa số nguyên tố
với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
Chứng minh
Giả sử A=k2 với k∈
Phân tích k thừa số nguyên tố ta có: k =a b cx .y z (trong đó: a, b, c, số nguyên tố đôi khác x, y, z, ∈*)
Khi đó: ( )2 2 2 2
x y z x y z
A= a b c =a b c (đpcm) Từ tính chất ta có hệ quả:
a)Nếu A số phương, p số nguyên tố A p A p
b)Tích số phương số phương
c) A=a b số phương a=m p 2, b=m q Đặc biệt, a số phương b số phương
• Số ước số phương (khác ) số lẻ Ngược lại, số có số
ước lẻ số số phương
Chứng minh
Gọi A số tự nhiên khác
- Nếu A=1 A số phương có ước
- Nếu A>1 A có dạng phân tích thừa số nguyên tố là:
A=a b cx .y z (a, b, c, số nguyên tố đôi khác nhau) ⇒ Số lượng ước A S =(x+1)(y+1)(z+1)
a)Nếu A số phương x, y, z, số chẵn, nên x+1, y+1, z+1, số lẻ, S số lẻ
b)Đảo lại, S số lẻ (x+1)(y+1)(z+1) số lẻ ⇒ thừa số x+1,
y+ , z+1, số lẻ ⇒ x, y, z, số chẵn
Đặt x=2 'x , y=2 'y , z=2 'z , ( 'x , 'y , 'z , ∈) A=(a b cx' y' z')2 nên A
là số phương (đpcm)
• Nếu số A nẵm bình phương hai số tự nhiên liên tiếp A khơng thể số
chính phương Nghĩa là: 2 ( )2
1
n < <A n+ A khơng số phương
• Hai đẳng thức thường dùng: 2 2 ( )2
2
(42)( )2
2
2
a − ab b+ = a b− (2)
Chứng minh
Chứng minh đẳng thức (1) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
2 2
2
a + ab+b = a +ab + ab+b =a a+b +b a+b = a+b a+b = a+b Chứng minh tương tự ta có đẳng thức (2)
II MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG
Dạng Kiểm tra số có phải số phương hay khơng
Ví dụ 1. Các số sau có phải số phương hay khơng? Vì sao?
a) A= + + + +3 32 33 320
b) B=1010+8
c) C=100! 7+
d) D=1010+5
e) E=10100 +1050 +1
Giải
a)Ta có 9n với n≥2 nên (32+ + +33 320)9
2 20
3 3
A
⇒ = + + + + chia hết cho chia cho dư
Vì A chia hết cho không chia hết A khơng phải số phương
b)Ta có 1010 +8 có chữ số tận nên B khơng phải số phương
c)Ta có 100! 7+ có chữ số tận nên C khơng phải số phương
d)Ta có 1010 +5 có chữ số tận chia hết cho không chia hết cho 25 (vì có hai chữ số tận 05) nên D khơng phải số phương
e)Ta có 10100+1050 +1 có tổng chữ số chia hết cho không chia hết E số phương
Ví dụ 2. Cho F = + + + +31 32 33 3100 Chứng minh 2F+3 khơng số phương
Giải
Ta có: F = + + + +31 32 33 3100
Nên 3F =32+ + + +33 34 3101⇒3F − =F 3101−3
Do 101 101 100 ( )50
2F + =3 − + =3 3 =3 3= 3 không số phương, khơng phải số phương
Ví dụ 3. Viết liên tiếp từ đến 12 số H =1234 1112 Số H có 81 ước
khơng?
Giải
(43)Vì số lượng ước H 81 (là số lẻ) nên H số phương (1) mặt khác, tổng chữ số H là:
( ) ( ) ( )
1 9+ + + + + +1 + + + +1 1 =51
Vì 51 3 ; 9 nên H chia hết cho không hica hết cho , H khơng số phương: mâu thuẫn với (1) !
Vậy H khơng thể có 81 ước
Ví dụ 4. Chứng minh khơng tồn hai số tự nhiên x y khác cho x2+ y
2
x+y số phương
Giải
Khơng tính tổng quát, ta giả sử x≥y
Khi đó, ta có: 2 2 2 ( ) ( )2
1
x <x + ≤y x + =x x x+ < x+
2
x y
⇒ + khơng thể số phương
(nếu x≤ y chứng minh tương tự ta có x+y2 khơng số phương)
Vậy khơng tồn hai số tự nhiên x y cho x2+y x+y2 số phương
Nhận xét: để chứng minh số A khơng số phương ta thường sử dụng cách sau:
Cách 1: chứng minh chữ số tận A số 2; 3;7 ;
Cách 2: chứng minh A p (với p số nguyên tố) A p
Cách 3: chứng minh n2 < <A (n+1)2
Dạng Lập số phương từ chữ số cho
Ví dụ 5. Tìm số phương có bốn chữ số 3, , 8,
Giải
Gọi A số phương phải tìm
Vì số phương khơng tận 3, nên A phải tận ⇒ hai chữ số tận A 86 36
- Nếu A có hai chữ số tận 86 A chia hết cho không chia hết A số phương (loại)
- Nếu A có hai chữ số tận 36 A=8836 Thử lại, ta có: 8836=942 số phương Vậy số cần tìm 8836
Ví dụ 6. Một số tự nhiên gồm chữ số sáu chữ số số phương
không?
(44)Gọi A số gồm chữ số sáu chữ số
- Nếu A có chữ số tận A có hai chữ số tận 60
A
⇒ chia hết cho A khơng chia hết cho 52 =25 (vì 60 25 )
A
⇒ không số phương
- Nếu A có chữ số tận ⇒ A có hai chữ số tận 06 66
A
⇒ chia hết cho không chia hết cho 4, A khơng phải số
chính phương
Vậy A khơng phải số phương
Ví dụ 7. Tìm số có hai chữ số, biết nhân với 135 số phương
Giải
Gọi số phải tìm n, ta có 135n=a2 (a∈) hay 5.3 n=a2
Vì số phương chứa thừa số ngun tố với số mũ chẵn nên n=3.5.k2 (
k∈)
Vì n số có hai chữ số nên 10≤3.5.k2 ⇒k2∈{ }1; - Nếu k2 =1 n=15
- Nếu k2 =4 n=60
Vậy số cần tìm 15 60
Ví dụ 8. Tìm số phương có bốn chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số
cuối giống
Giải
Gọi số phương cần tìm n2 =aabb (a,b∈ 1≤ ≤a 9, 0≤ ≤b 9) Ta có n2 =aabb=1100a+11b=11 100( a+b)=11 99( a+ +a b) (1)
(99a a b)11 (a b) 11 a b 11
⇒ + + ⇒ + ⇒ + =
Thay a+ =b 11 vào (1) ta n2 =11 99( a+11)=11 92( a+1)
9a
⇒ + phải số phương
a
9a+1 10 19 28 37 46 55 64 73 82
Ta thấy có a=7 9a+ =1 64=82 số phương Vậy a= ⇒ =7 b số cần tìm là: 7744 11 8= 2 =882
Dạng Tốn chứng minh
Ví dụ 9. Chứng minh tích bốn chữ số tự nhiên liên tiếp cộng số
phương
Chứng minh
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2, a+3 (a∈) Xét T =a a( +1)(a+2)(a+ +3)
( 3) ( 1)( 2)
a a a a
= + + + +
( )( )
3
a a a a
(45)Đặt
x=a + a, ta có:
( ) 2 ( )2
2 1
T =x x+ + =x + x+ = x+ hay T =(a2+3a+1)2 Vậy T số phương (đpcm)
Nhận xét:
- Trong ví dụ ta khơng biết T số phương mà cịn biết
được cịn bình phương số Chẳng hạn:
a) 1.2.3.4 1+ =25=52
b) 2.3.4.5 121 11+ = =
c) 3.4.5.6 361 19+ = =
d) 4.5.6.7 841+ = =292
Thay a b+ =11vào (1) ta n2 =11(99a+11)=11 (92 a+1)
9a
⇒ + số phương
a
9a+1 10 19 28 37 46 55 64 73 82
Ta thấy có a=7 9a+ =1 64=82 số phương Vậy a= ⇒ =7 b số cần tìm : 7744 11 8= 2 =882
Dạng 3.Toán chứng minh
Ví dụ Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng số phương
Chứng minh
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a a, +1,a+2,a+3 (a∈) Xét T =a a( +1)(a+2)(a+ +3)
2
[ ( 3)][( 1)( 2)]
( )(a 2)
a a a a
a a a
= + + + +
= + + + +
Đặt x=a2+3a , ta có :
T =x x( + + =2) x2+2x+ =1 (x+1)2 hay T =(a2+3a+1)2
Vậy T số phương (đpcm)
Nhận xét :
- Trong ví dụ ta T số phương mà cịn biết
(46)Chẳng hạn :
a) 1.2.3.4 1+ =25=52
2
2 2.3.4.5 121 11 3.4.5.6 361 19 4.5.6.7 841 29
+ = = + = = + = =
b) Biểu thức sau bình phương số tự nhiên nào?
• 10.11.12.13 ?+ =
Vì a=10 nên a2+3a+ =1 102+3.10 131.+ = Do 10.11.12.13 131+ =
• 15.16.17.18 ?+ =
Vì a=15 nên a2+3a+ =1 152+3.15 1+ =271 Do 10.11.12.13 1+ =2712
- Cũng từ ví dụ ta cịn suy hai kết sau:
1) Tích bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp cộng 16 số phương 2) Tích bốn số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng 16 số phương
Ví dụ 10 Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không số phương
Giải
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a a; +1;a+2;a+3 (với a∈ ) Ta xét : S= +a (a+ +1) (a+2)+(a+3)=4a+6
Vì 4a2 2 nên S2 Mặt khác 4a4 không chia hết S không chia hết cho
→S chia hết cho S không chia hết cho , S khơng số phương
?Có thểem chưa biết ?
1.Sự tuần hoàn số phương
Quan sát chữ số tận bình phương số từ đến ta thấy xuất dãy số
1,4,9,6 ,5,6,9,4,1 Bình phương 10 100, có chữ số tận 0.Bình phương số có chữ số tận lập thành dãy số 1,4,9,6,5,6,9,4,1 ( gọi vịng tuần hồn ) Tất bình phương số tự nhiên có chữ số tận lặp lặp lại vòng tuần hoàn ( ranh giới lặp lại số )
Người ta phát “ số gốc “của số phương 1,4,7,9 mà khơng
(47)chữ số có số,nếu tổng lớn lại tính tổng chữ số tổng lặp lại tổng có nhỏ 9.Chữ số cịn lại gọi “số gốc “ số xét ( hiểu theo
cách khác lấy tổng chữ số số đem chia cho 9,số dư phép chia gọi số
gốc).Như “số gốc”chính
là kết phép tính cộng dồn chữ số có số , lấy số làm điểm dừng Ví dụ : “số gốc “ 135 , “ số gốc “ 246 3…
Ứng dụng tính chất vừa nêu ta nhận biết số có phải số phương hay khơng
Ví dụ : Xét xem số 98765432123456789 có phải số phương hay khơng ? Ta tìm số gốc số trên:
Cách :
2
9 (8 1) 2(7 2) 2(6 3) 2(5 4) + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + ⇒số gốc
Cách :
9 2 (9 1) (2 9)
45 44 89
+ + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + +
= + =
Vì 17+ = ; 7+ =8 ⇒số gốc (Hoặc 89 chia cho dư ⇒số gốc )
Vì số gốc khác 1,4,7,9 nên số A khơng số phương
Số gốc số phương cịn lập thành dãy số tuần hoàn 1,4,9,7,7,9,4,1 Ở chữ số ranh giới chữ số chữ số tính chất
Ví dụ : 100 (bình phương 10 ) có số gốc
(48)289 (bình phương 17 ) có số gốc
324(bình phương 18 ) có số gốc (ranh giới chu kì ) 361( bình phương 19 ) có số gốc (bắt đầu lặp lại ) ………
2.Sự kì lạ số lẻ
Ta có : 3+ = =4 22
2
2
2
1 16 25 5 11 26 11 13 49
+ + = = + + + = = + + + + = = + + + + + = = + + + + + + = =
………
⇒ Tổng n số lẻ số phương:
2
1 (2+ + + + n+ =1) (n+1)
3.Tổng lập phương lại số phương
Khẳng định sau hay sai : “ Tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp từ số phương “?
Ta dễ dàng kiểm tra máy tính sau :
3
3 3
3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
1
1 36
1 100 10
1 225 15
1 441 21
1 784 28
+ = =
+ + = =
+ + + = =
+ + + + = =
+ + + + + = =
+ + + + + + = =
(49)
1
1
1 10 15
1 21
1 28
+ = + + = + + + = + + + + = + + + + + = + + + + + + =
………
Đến ta tìm quy luật : 13+23+ +n3= + +(1 +n)2 III.BÀI TẬP
1.100.Chứng tỏ số sau khơng số phương :
a) abab b)abcabc
1.101.Cho A=22+23+24+ 2+ 20 Chứng minh A+4 khơng số phương
1.102.Chứng tỏ tổng sau khơng số phương : S =abc bca cab+ +
1.103.Cho bốn chữ số 0,2,3,4.Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn số
1.104.a) Cho số tự nhiên gồm 15 chữ số Có cách viết thêm chữ số vào vị trí
tùy ý để số tạo thành số phương hay khơng?
b)Một số tự nhiên gồm chữ số1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, bốn chữ số ,
số phương hay không ?
1.105.Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 101 thành số A a) A có hợp số hay khơng ?
b) A có số phương hay khơng ? c) A có 35 ước hay khơng ?
1.106.Từ năm chữ số 1,2,3,4,5, lập tất số có năm chữ số gồm năm chữ số Trong số lập , có số số phương hay khơng ?
1.107.Tìm số tự nhiên n có hai chữ số ,biết 2n+1 3n+1 số phương
1.108.Tìm số tự nhiên n có hai chữ số , biết nhân với 45 ta số phương
(50)1.110.a) Các số tự nhiên nvà 2n có tổng chữ số nhau.Chứng minh nchia hết cho
b) Tìm số phương n có ba chữ số , biết n chia hết cho nhân n với tổng chữ số khơng đổi
1.111. Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,sao cho cộng với số có hai chữ số viết theo chiều ngược lại ta số phương
1.112.Tìm số phương có bốn chữ số,biết :các chữ số hàng trăm ,hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần
1.113. Tìm số phương có bốn chữ số , biết chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị số phương viết dạng (5n+4)2 , với n∈
1.114.Cho số tự nhiên Agồm 100 chữ số , số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2.Chứng minh A-B số phương
1.115.Có hay khơng có số phương mà số gồm 1995 chữ số chữ số cịn lại chữ số 0?
1.116.Tìm số tự nhiên n cho tổng sau số phương :
1! 2! 3! !
S= + + + +n
(51)Chuyên đề nâng cao NGUYÊN LÍ DIRICHLET I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Nội dung nguyên lí
Nếu nhốt n m r + (trong m n r, , ∈* ) thỏ vào n chuồng phải có chuồng chứa khơng m+1 thỏ
Chứng minh
Giả sử ngược lại chuồng chứa không m thỏ tổng số thỏ nhốt n
chuồng không m n thỏ :Mâu thuẫn với giả thiết số thỏ m n r + Vậy phải có í t chuồng chứa khơng m+1 thỏ
2.Nhận xét
Bản thân nguyên li Dirichlet đơn giản dễ hiểu , nhiên việc ứng dụng nguyên lí lại không đơn giản Vấn đề phát “chất Dirichlet “ trong tốn ,
dạng tốn sau xác định đâu chuồng đâu thỏ Có
trường hợp chuồng thỏ gần có sẵn, có trường hợp phải “xây
chuồng, tạo thỏ”
II.MỘT SỐ DẠNG TỐN ỨNG DỤNG 1.Tốn chia hết
Khi chia số a cho số m≠0 ln có m khả số dư 0,1,….,m - (“m chuồng “) Do , chia m+1 số khác a a1, 2, ,am+1 cho m ta có m+1 số dư (“m+1 thỏ”) ln có hai phép chia có số dư Giả sử hai số bị chia hai phép chia
i
a aj (với 1≤ < ≤ +j i m ).Ta có (ai−aj)m
Ví dụ Chứng minh tìm đượcmột số có dạng19781978 197800 0chia hết cho 2012
Giải
Xét dãy số :
2013 1978
1978,19781978, ,19781978 1978 so
Khi chia số hạng dãy cho 2012 có hai phép chia có số dư Giả sử hai số hạng dãy hai phép chia
1978
19781978 1978 m so
a=
1978
19781978 1978 n so
b= ( với 1≤ < ≤n m 2013)
(52)
4
1978
19781978 1978 00 2012 n so
m n so a b
−
− = (đpcm)
Nhận xét : Phương pháp để giải dạng toán tạo dãy số ( theo cấu tạo số ) từ yêu cầu
của tốn (“tạo thỏ” ) Sau áp dụng nguyên lí Dirichlet cho số hạng dãy số (mỗi số hạng thay cho “thỏ”, 2012 số “chuồng “)
Ví dụ Cho dãy m số tự nhiên a a1, 2, ,am Chứng minh tồn số hạng chia hết cho m tổng số hạng liên tiếp dãy chia hết cho m m( ∈*)
Giải
Xét dãy số b1=a b1 2, =a1+a2, ,bm =a1+a2+ +am
Khi chia số hạng dãy cho m xảy hai trường hợp sau :
• Có phép chia hết , chẳng hạn : bkm , ta có điều phải chứng minh :
1
(a +a + +ak)m
• Khơng có phép chia hết Khi tồn hai phép chia có số dư,chẳng hạn b bi, j
chia cho m ( vơi 1≤ < ≤j i m )
1
(bi bj) m hay (aj+ aj+ ai) m
⇒ − + + + , ta có điều phải chứng minh
Nhận xét :Phương pháp “tạo thỏ “ ví dụ dựa vào phép tốn cộng yêu cầu
tính liên tiếp số hạng dãy ban đầu đề
Ví dụ Cho bốn số tự nhiên phân biệt a> > >b c d
Chứng minh : P=(a b a c a d b c b d c d− )( − )( − )( − )( − )( − ) 12
Giải
Chia bốn số phân biệt a b c d, , , cho ln có hai phép chia có số dư
⇒ Hiệu hai số bị chia chia hết cho ⇒ tồn hiệu hai số bốn số a b c d, , , chia hết cho
Do P chia hết cho (1)
Trong bốn số a b c d, , , có hai số có số dư chia cho P chia hết cho 4;trái lại, chia bốn số cho có đủ bốn trường hợp số dư 0,1,2,3 ⇒ bốn số a b c d, , ,
có hai số chẵn , hai số lẻ , giả sử a c, chẵn b d, lẻ⇒ (a c− ) 2 (b d− ) 2
Do P chia hết cho (2)
(53)Ví dụ 4. Chứng minh trong19 số tự nhiên liên tiếp ta ln tìm số có tổng chữ số chia hết cho 10
Giải
Trong 19 số tự nhiên liên tiếp tồn 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống
nhau kí hiệu chữ số hàng chục làa(các chữ số hàng trăm ,hàng nghìn , ….(nếu có )cũng
giống nhau) cịn chữ số hàng đơn vị dãy 0;1;2;3;…;9.Do tổng chữ số số
cũng dãy 10 số tự nhiên liên tiếp , tồn số có tổng chữ số chia hết cho 10
2.Toán suy luận
Ví dụ 5.Có 10 đội bóng thi đấu với vòng tròn lượt , đội phải đấu
trận với đội khác Chứng minh vào lúc có hai đội đấu số trận
như
Giải
Rõ ràng 10 đội bóng có đội chưa đấu trận đội cịn lại khơng có đội thi đấu trận Như đội có số trận đấu từ đến
hoặc từ đến Vậy theo nguyên lí Dirichlet phải có hai đội có số trận đấu
nhau
Ví dụ 6. Trong 45 học sinh làm kiểm tra bị điểm có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra ( điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10 )
Giải
Số học sinh có điểm kiểm tra từ đến : 45 – =43 Ta có : 43 = 8.5 +
Như , phân chia 43 học sinh vào loại điểm kiểm tra ( từ đến ) theo nguyên lí Dirichlet ln tồn + = học sinh có điểm kiểm tra giống (đpcm )
Ví dụ 7. Có 17 nhà Tốn học viết thư cho trao đổi vấn đề khoa học , người trao đổi với 16 người lại cặp người trao đổi với vấn đề Chứng minh có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề
Giải
Gọi A nhà Tốn học 17 nhà Tốn học A phải trao đổi với 16 người lại vấn đề khoa học ( kí hiệu vấn đề I,II,III)
Vì 16 = 3.5 + nên A phải trao đổi với + = nhà Tốn học khác vấn
(54)Gọi nhà Toán học trao đổi với A vấn đề (chẳng hạn vấn đề 1)
1, 2, ,
A A A .Ta thấy nhà Toán học lại trao đổi với vấn đề nên có hai khả
năng xảy ra:
1) Nếu có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề I với A có nhà Tốn học trao đổi vấn đề I
2) Nếu khơng có nhà Toán học trao đổi với vấn đề I , nhà Tốn học trao đổi với vấn đề II III.Theo ngun lí Dirichlet , có nhà Toán học trao đổi với vấn đề ( II III)
Vậy ln có nhà Toán học trao đổi với vấn đề
Nhận xét : Trong ví dụ ta phải phân chia toán thành hai lớp sử dụng hai lần nguyên lí Dirichlet : Lần thứ với 16 thỏ chuồng ; lần thứ hai với thỏ chuồng
III.BÀI TẬP
1.117. Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2013
1.118. Cho số tự nhiên phân biệt a1>a2 >a3 >a4 >a5 Xét tích :
1 5 5
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
P= a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a Chứng minh P228
1.119. Chứng minh n+1 số thuộc tập hợp {1; 2;3; ; 2n} ln tìm hai số
mà Số bội số
1.120. Xét 100 số tự nhiên 0<a a1, 2, ,a100 ≤100 có tổng 200 Chứng minh 100 số ln tồn vài số có tổng 100
1.121. Cho 69 số tự nhiên khác phân biệt không vượt 100 Chứng minh chọn số 69 số thỏa mãn tổng ba số số lại
1.122. Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln có số có tổng chữ số chia hết cho 11
1.123. Cho 15 số tự nhiên phân biệt, khác 0, không lớn 28 Chứng minh 15 số ln tìm số mà số tổng hai số lại cặp số mà số gấp đôi số
1.124. Chọn n + số 2n số tự nhiên từ đến 2n n 1 Chứng minh
trong số chọn có số tổng số chọn (kể
trường hợp số hạng tổng nhau)
(55)1.126. Chứng minh n người (n2 ), tồn hai người có số người quen (kể trường hợp quen người)
1.127.Có đội bóng thi đấu với vịng trịn lượt, đội đấu trận với
(56)Chương II SỐ NGUYÊN Chuyên đề TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Kiến thức
a) Tập hợp số nguyên:
Tập hợp ; 3; 2; 1; 0;1;2; 3; gồm có số 0, số 1; 2; 3; (số nguyên dương) số -1; -2; -3; (số nguyên âm) gọi tập hợp số nguyên, kí hiệu Z
Nhận xét: Mọi số tự nhiên số nguyên hay
b) Trục số nguyên:
Điểm biểu diễn số nguyên a trục gọi điểm a
c) Số đối:
Trên trục số, hai điểm -2 cách điểm gốc hai phía Ta nói -2 hai số đối Số đối a kí hiệu –a
d) Thứ tự Z:
Trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b a < b hay b > a Ta ln có: Số ngun âm < < số nguyên dương
Với hai số nguyên a, b ta ln có a < b, a = b, a > b Nếu a lớn b a = b ta viết ab
Với a, b, c , a < b b < c a < c ( tính chất bắc cầu)
e) Giá trị tuyệt đối số nguyên a, kí hiệu |a|, khoảng cách từ điểm a đến gốc
•Nếu a a
•Nếu a a a
•Nếu a a a
Nhận xét: Với a , ta có: | a | 0.
(57)
a a
2 Nâng cao
a) Khi ta nói x 2 x ta viết x
x
cịn nói x 1 x ta viết x
x
b) Với a0 x a ta suy x = a x = -a c) Với a x a suy x = a x = -a d) Nếu a b a b
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Cho tập hợp A 3;2; 1;5;7
a) Viết tập hợp B gồm phần tử số đối phần tử tập hợp A
b) Viết tập C gồm phần tử thuộc tập hợp A số dương
c) Xác định quan hệ tập hợp A, C, N*, Z
Giải
a) Số đối số -3 3; số -2; số 0; Vậy B 3; 2; 0;1; 5;
b) Có phần tử tập hợp A số nguyên dương, là: 2; 5; Vậy C 2;5;7
c) Ta có: CA CN*
Nhận xét: Số đối –a a Vậy số đối –a lại a, tức là: a a
(58)nguyên không dương (nhỏ 0) Z*
tập hợp số nguyên dương
Vậy Z* N*
Ví dụ Khẳng định sau hay sai? Nếu a b a b
Giải
Khẳng định “Nếu a bthì a b ” sai
Chẳng hạn: Với a = 3; b = -7 a > b, nhiên, a 3; b 7 nên
a b
Nhận xét: Để chứng tỏ khẳng định sai, ta cần đưa ví dụ cụ thể
nào mà khẳng định sai Ví dụ gọi phản ví dụ
Ví dụ 3: Tìm x, y , biết:
a) x 3 b) x y
Giải
a) Ta có: |-3| =
Do đó: x x – x x hoặcx 2 Đôi ta viết gộp là: x 2
b) Vì x 0 y 0 nên ta có hai trường hợp:
• x y :
Ta có: x 1 x x 1
y 0y
• x y : Ta có: x 0 x
(59)Ví dụ 4: Tìm x , biết
a) x b) x 2
Giải
a) Vì |x| < nên |x| 0;1;2x0; 1; 2 hay 3 x
Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát ta chứng minh rằng:
Với x , a > thì: |x| < a -a < x < a |x| a a x a
b) Ta có: x 2 3 x 3 x
|x| 6;7; 8;9; x { 6; 7; 8; 9; }
x > x < -5 hay x
x
Nhận xét:Trong trường hợp tổng quát ta chứng minh rằng:
Với x , a > x a x a
x a
Ví dụ 5: Tìm x , biết: < |x|
Giải
Ta có: < |x| 9| x | 7; 8;9}{ x { 7; 8; 9} hay x
9 x
Nhận xét:Trong trường hợp tổng quát ta chứng minh rằng:
Với x ,0 < a < b thì: a < |x| < b a x b
b x a
III BÀI TẬP
2.1 Tìm tập hợp sau: a) Z b) Z*
x -1 0
(60)2.2 Khẳng định sau hay sai? Nếu sai sửa lại cho đúng.” Nếu a |a| * “
2.3 Tìm giá trị thích hợp chữ số a cho:
a) a00801 b) 560 56a c) a99 649 6a0
2.4 Hãy viết số nguyên âm: a) Nhỏ có số b)Lớn có chữ số
c) Nhỏ có 10 chữ số khác d)Lớn có 10 chữ số khác
2.5 Chứng tỏ rằng: Với số nguyên a, ta có: | a | a
2.6 Chứng tỏ rằng: Với a |x| = a suy x = a x = - a
2.7 Chứng tỏ rằng: Với a |x| = |a| suy x = a x = - a
2.8 Tìm x , biết:
a) x 23 17 b) 5 x 20
2.9 Tìm x , biết:
a) x 14 vàx b) x 23 vàx
2.10 Tìm x , biết: a) x 5 b) 12 x 15
2.11 Cho tập hợp: {
A x | 3 x 7};B{x | 3 x 7}; C {x || x | 5} Hãy tìm tập hợp: A B; BC; CA
(61)a) x y ; b) x y
2.13 Cho x Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 7
(62)Chuyên đề PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC SỐ NGUYÊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Kiến thức
a) Để cộng hai số nguyên dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối chúng đặt trước kết dấu chúng
b) Cộng hai số nguyên khác dấu:
Nếu hai số đối tổng chúng
Nếu hai số khơng đối ta tính hiệu hai giá trị tuyệt đối (số lớn trừ số nhỏ) đặt trước kết dấu số có giá trị tuyệt đối lớn
c) Hiệu hai số nguyên a b tổng a với số đối b: a – b a b d)Tính chất phép cộng số nguyên: Với số nguyên a, b c, ta có:
•Tính chất giao hốn: a b b a
•Tính chất kết hợp:a b c a b c
•Cộng với số 0: a a a
•Cộng với số đối: a a
2 Nâng cao
a) Với hai số nguyên a b, ta có: a > b a b 0; a b a - b0
b) Giá trị tuyệt đối tổng hai số nguyên nhỏ tổng giá trị tuyệt đối chúng: | a b | | a || b |, với a, b và a b a b a b dấu a = 0, b =
c) Giá trị tuyệt đối hiệu hai số nguyên lớn hiệu giá trị tuyệt đối chúng: | a b | | a | | b | , với a, b a – b a b a b a b
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng Chứng minh tính chất
Ví dụ 1. Chứng tỏ a – b b – a hai số đối
Giải
(63)Thật vậy:a – b b – a a b + b a a a b b Vậy a – b b – a hai số đối
Nhận xét: Từ kết ta suy ra: a – b b – a vàa – b b – a
Ví dụ Chứng tỏ rằng: Số đối tổng hai số tổng hai số đối chúng
Giải
Xét hai số nguyên a, b Số đối tổng a b là: -(a + b) tổng hai số đối chúng là: (-a) + (-b)
Để chứng minh (-a) + (-b) số đối a + b, ta chứng minh tổng chúng Thật vậy: a b a b a a b b
Vậy: a b a b
Nhận xét: Tương tự ta có: Số đối hiệu hai số hiệu hai số đối
chúng Tức là: a b a b
Dạng Tính giá trị biểu thức
Ví dụ Tính hợp lí:P 123 77 257 23 – 43
Giải
Ta có: P 123 77 257 23 – 43 Cách 1:
P 123 257 43 77 23
423 100 323
Cách 2:
P 123 23 257 43 77
100 300 77
400 77 323
Nhận xét:
•Việc chuyển từ phép trừ phép cộng để ta áp dụng tính chất
(64)•Ở cách 1, ta cộng số dấu với trước Cách có ưu điểm hạn chế việc nhầm dấu
•Ở cách 2, ta kết hợp nhóm có tổng số trịn trăm Cách có ưu điểm
là nhẩm kết
Ví dụ 4. Tính hợp lý : Q 48 48 174 74
Giải
Cách 1:
Q 48 | 126 | 74 48 126 74 100 Cách 2:
Vì 48 174 0 nên | 48 174 | 48 174 174 48. Do đó:
Q 48 174 48 74 48 48 174 74 0 100100
Nhận xét: Trong cách 2, ta sử dụng tính chất chứng minh để bỏ dấu
ngoặc Sau bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta kết hợp thành nhóm có kết số trăm Dùng cách ta nhẩm kết
Dạng Tìm số chưa biết
Ví dụ Tìm chữ số a, biết: a5 85 150
Giải
Áp dụng quy tắc cộng hai số nguyên dấu, ta có:
a5 85 a585
Suy ra: a585 150 hay a585 150 a5150 85 65 Vậy a =
Ví dụ Tìm x , biết:
a) | x | 3 17 b) | x | 4
(65)a) Ta có: | x | 3 17
| x | 17
| x | 17 20
x 20
Ta có hai trường hợp:
• Nếu x – 20 x 20 21
• Nếu x – 20 thìx 20 19
Vậy x { 21; 19}. b) Ta có: | x | 4
| x | 4
| x |
Vì | x | 0 -1 < nên khơng có giá trị x để x 1
Ví dụ Cho x y hai số nguyên dấu thỏa mãn x y 12 Tính
x y Giải
Vì x y dấu nên ta có: x y x y Do đó: x y 12
Vì 12 > nên ta có hai trường hợp: x y 12 x y 12 Vậy x + y = 12
Nhận xét:
Vì x y dấu nên ta chia làm hai trường hợp:
• x y dương: Khi đó: x x, y y ta có x y 12
• x y âm: Khi đó: x x, y y ta có x y 12 Vì x y xy , nênxy 12 Tức số đối x + y 12 Suy x y 12
(66)III BÀI TẬP 2.15 Tính hợp lí:
a) 57 15947169.
b) 2012 596 201 496301. 2.16 Tìm giá trị biểu thức:
a) x 37 , biết x = -13 b) x 78 , biết x = -86
2.17 Tính x – y , biết rằng: x 20 y 12
2.18 Tính tổng số nguyên x, biết rằng:
a) 15 x 17 b) | x | 35.
2.19 Tìm chữ số a, biết rằng:
a) 37 5a 20 b) a9 4526
2.20 Tìm x∈, biết:
a) x+ −( 45) (= −62)+17 b) x+29= −43 + −( 43)
2.21 Tìm x∈, biết rằng:
a) x+23 số nguyên âm lớn
b) x+99 số nguyên âm nhỏ có hai chữ số
2.23 Tìm x∈, biết:
a) ( )− + + − + + + =1 ( )5 x 600 b) 2+ − + + − + + − = −( )4 ( )8 ( )x 2000
2.24 Tìm x∈, biết rằng: 9≤ − <x 11
2.25 Tìm giá trị nguyên lớn nhỏ x cho: 1986< + <x 2012
2.26. Cho 31 số nguyên Hỏi tổng 31 số nguyên số nếu: a) Tổng số chúng số nguyên âm?
b) Tổng số chúng số nguyên dương?
(67)2.27. Trên bảng lớp học có viết số: 1; 2; 3; … ; 2011; 2012; 2013 Một học
sinh tiến hành công việc sau: Xóa hai số số viết thay
(68)Chuyên đề QUY TẮC DẤU NGOẶC VÀ QUY TẮC CHUYỂN VẾ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Kiến thức
- Quy tắc dấu ngoặc:
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “–” đằng trước, ta phải đổi dấu tất số hạng dấu ngoặc:
dấu “+” đổi thành dấu “–” dấu “–” đổi thành dấu “+”
(a b c) a b c
− − + = − + −
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước, ta giữ nguyên dấu số hạng dấu ngoặc
(a b c) a b c
+ − + = − +
- Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển vế số hạng tử từ vế sang vế
đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng tử đó: dấu “+” đổi thành “–” dấu “–” đổi thành dấu “+”
a b− = + ⇔ = + + ⇔ − = +c d a c d b a c b d
2 Nâng cao
- Quy tắc chuyển vế bất đẳng thức:
a b− < + ⇔ < + + ⇔ − < +c d a c d b a c b d
- Tổng đại số: Một dãy phép tính cộng, trừ số nguyên gọi tổng đại
số Trong tổng đại số, ta có thể:
Thay đổi tùy ý vị trí số hạng kèm theo dấu chúng
Đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng cách tùy ý; với ý rằng: Nếu trước dấu ngoặc dấu “–” phải đổi dấu tất số hạng ngoặc
( )
a b c− − + = − + −d a b c d
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1.Tính hoặc rút gọn biểu thức Ví dụ Tính hợp lí:
a) P=54+ − +( 37 10 54 67− + )
b) Q= + − − + + − − + −1 79 80 81− +
Giải
a) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có: 54 37 10 54 67
P= − + − +
Áp dụng tính chất tổng đại số, ta có:
(54 54) ( 37 67) 10
(69)= +0 30 10+ =40
b) Áp dụng quy tắc đặt dấu ngoặc, ta có:
( ) ( ) ( )
1 78 79 80 81
Q= + − − + + − − + + + − − +
0= + + + + =1
Nhận xét:Ở câu b) ta có cách đặt dấu ngoặc khác, chẳng hạn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 78 79 80 81
Q= + − + − + + − + − + + + − + − +
= + − + + − + + − + =1 ( )1 ( )1 ( )1 1
Ví dụ 2. Cho , ,a b c∈ Rút gọn biểu thức sau:
( ) ( ) ( )
P= a+ − +b c a b− − a b c− −
Giải
Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có: P= + − + − − + +a b c a b a b c
Áp dụng tính chất tổng đại số, ta có:
( ) ( ) ( )
P= a−a + b b− + − + + +c c a b
= + + + + = +0 0 a b a b
Vậy P= +a b
Dạng Chứng minh Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng:
(a b− − + + −) (b c) (c a) (− a b c− − )= − + −(a b c)
Giải
Ta có:
Vế trái = − − − + − − + +a b b c c a a b c (quy tắc bỏ dấu ngoặc)
(a a) ( b b) ( c c) b a c
= − + − + + − + − − + (tính chất tổng đại số)
⇒ Vế trái 0 0= + + − − + = − − +a b c a b c
Áp dụng quy tắc đặt dấu ngoặc, ta có: Vế trái = − + −(a b c)=Vế phải
Vậy (a b− − + + −) (b c) (c a) (− a b c− − )= − + −(a b c)
(70)( ) ( )
P=a b−a −b a− −c bc
Giải
Vì , ,a b c∈ nên áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng phép trừ, ta có:
( ) ( )
;
a b a− =a b a a− =ab a b a c− − =ba bc− =ab bc−
Do đó: ( 2) ( )
P= ab−a − ab−bc −bc
=ab−a2−ab+bc bc− (quy tắc bỏ dấu ngoặc) =(ab ab− ) (+ bc bc− )−a2
= + −0 a2
= −a2
Vì a≠0 nên a2 >0, số đối a2 nhỏ hơn, hay: − <a2 Vậy P<0, tức P ln có giá trị âm
Dạng Tìm x
Ví dụ 5. Tìm x∈, biết: a) (− +x 31)−39= − +69 11 b) −129−(35−x)=55
Giải
a) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có:
31 39 69 11
x
− + − = − +
69 11 31 39
x
⇔ − = − + − + (quy tắc chuyển vế
( 69 39) (11 31)
x
⇔ − = − + + − (tính chất tổng đại số)
( )
30 20
x
⇔ − = − + −
50
x
⇔ − = −
50
x
⇔ =
Vậy x=50
b) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có:
29 35 x 55
− − + = (quy tắc chuyển vế)
55 29 35
x
⇔ = + + (tính chất kết hợp)
(55 35) 29
x
(71)90 35
x
⇔ = +
219
x
⇔ =
Vậy x=219
Nhận xét:
Ta rút gọn riêng số vế thực chuyển vế, chẳng hạn câu a):
31 39 69 11
x
− + − = − +
8 58
x
⇔ − − = −
8 58 50
x
⇔ = − + =
Tuy nhiên cách làm không khai thác tính chất tổng đại số để tính nhẩm lời giải
Ví dụ 6. Tìm x∈, biết:
a) (−37)− − = −7 x 127
b) x−14 + − < −( )6
Giải
a) Áp dụng quy tắc chuyển vế, ta có:
(−37)+127= −7 x ⇔90= −7 x ⇔ − = ±7 x 90 Ta có hai trường hợp:
• Nếu 7− =x 90 x= −7 90= −83
• Nếu 7− = −x 90 x= +7 90=97 Vậy x∈ −{ 83;97}
b) Áp dụng quy tắc chuyển vế, ta có:
( )
14
x− < − − −
14
x
⇔ − < − + hay x−14 <2 Suy ra: x−14∈{ }0;1
+ Nếu x−14 =0 x−14= ⇒ =0 x 14 + Nếu x−14 =1⇔ −x 14= ±1
• Nếu x−14=1 x= +1 14=15
(72)III BÀI TẬP 2.28. Tính hợp lí:
a) (326 43− ) (+ 174 57− ) b) (351 875− ) (− 125 149− )
c) −418− −{ 218− − 118−( )318 +2012}
2.29 Tính hợp lí:
a) ( )− + + −2 ( 12)+17+ + − ( 52)+57 b) (−30) (+ −29)+ + 48 49 50+ +
2.30 Rút gọn biểu thức sau:
a) M =(71+x) (− − −24 x) (+ − −35 x)
b) N = −x 34− (15+x) (− 23− x)
c) P= − +( 15 x) (+ 25− −x)
2.31. Cho x< <y x − y =100 Tính x− y
2.32. Cho x∈ Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức sau: a) x− + −3 x với x<3
b) 2+ −x (x+1) với x≥ −2 c) x+ + −1 x với 1− ≤ ≤x
2.33 Cho a b− =1 Tính S, biết rằng:
( ) ( ) ( )
S = − − − + − + +a b c c b a − a+b
2.34. Chứng minh đẳng thức sau:
a) (a b− + −) (c d) (− a+c)= − +(b d)
b) (a b− − −) (c d) (+ b+c)= +a d
2.35. Cho P= − +a b c Q; = − + −a b c, với , ,a b c∈ Chứng tỏ P Q hai số đối
2.36. Viết tất số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ 100 theo thứ tự Sau
cứ số cộng với thứ tự tổng Hãy tính tổng tất số tổng nhận
được
(73)a) 43+ −(9 21)=317−(x+317) b) (15−x) (+ x−12)= − − +7 ( x)
c) x−{57− + − − =42 ( 23 x)} 13−{47+ −25 (32− x)}
2.38. Tìm x∈, biết:
a) − + − = −7 x b) 13− + =x 13 c) x−10 − −( 12)=4
2.39 Tìm x∈, biết:
a) x+ ≤2 b) x+ >1
2.40. Tìm x∈, biết:
a) x− − + =1 x b) 2− + =x x c) x−40 + − +x y 10 ≤0
2.42. Cho ,x y∈
(74)Chuyên đề PHÉP NHÂN HAI SỐ NGUYÊN
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Kiến thức
a) Quy tắc nhân: ,a b∈
.0 0
a = a=
Nếu a b dấu a b= a b Nếu a b trái dấu a b= − a b
Chú ý:
+ Nếu a b=0 a=0, b=0
+ Nếu đổi dấu thừa số tích đổi dấu + Nếu đổi dấu hai thừa số tích khơng đổi b) Tính chất phép nhân:
Các tính chất giao hốn, kết hợp, nhân với số, tính chất phân phối phép nhân
phép cộng số tự nhiên mở rộng cho phép nhân hai số nguyên
Chú ý:
+ Phép nhân số ngun có tính chất phân phối phép trừ:
( )
a b c− =ab−ac
+ Nếu số thừa số âm chẵn tích số dương Nếu số thừa số âm lẻ tích số âm
2 Nâng cao
a) Lũy thừa bậc chẵn số âm số dương, lũy thừa bậc lẻ số âm
một số âm: a< ⇒0 a2n >0 a2n+1<0 b) Tính chất bất đẳng thức:
a< ⇔b ac<bc, c>0
a≥ ⇔b ac≤bc, c<0
c) Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối: a b = a b
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1: Tính rút gọn biểu thức Ví dụ 1. Tính hợp lí:
(75)b) B 25 75 49 75 25 49 = ( − )+ −
Giải
a) Ta có: A 100 47 53 100= ( )− + (− )
( 100 47) ( 100 53)
= − + − ( đổi dấu hai thừa số)
( 100 47 53) ( )
= − + ( đặt thừa số chung)
( 100 100)
= −
10000
= −
b) Vì 25 49 0− < nên 25 49− = −(25 49− )=49 25− Do đó: B 25 75 49 75 49 25= ( − )+ ( − )
=25.75 25.49 75.49 75.25− + − ( Tính chất phân phối ) =(25.75 75.25− ) (+ −25.49 75.49+ )
= +0 49 25 75(− + ) ( đặt thừa số chung) 49.50
2450
=
=
Nhận xét:
Hai cách tính câu a) câu b) khác nhau: Trong câu a) ta thực phép tính
trong ngoặc trước câu b) ta lại áp dụng tính chất phân phối để nhân phá ngoặc Mục
đích thay đổi trình tự tính tốn để tạo thừa số chung, số tròn chục, trịn trăm …giúp ta tính nhẩm
Ví dụ 2. Bỏ dấu ngoặc rút gọn biểu thức sau:
( )( ) ( )
P= a b 2− − − ab 2+
Giải:
Áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép trừ, ta có:
( )
x b 2− =x.b x.2+
Thay x a 1= − , ta có:
(76)( ) ( )
= a b a 2− − −
( ) ( )
= ab b− − 2.a 2−
=ab b 2a 2.− − +
Do vậy: P ab b 2a ab 2= − − + − −
( ) ( )
= ab ab− + 2 2a b− − −
= − −2a b
Vậy: P= − −2a b
Dạng Tìm số chưa biết
Ví dụ 3: Tìm x Z∈ , biết:
a) x x( + )( − )=0 b) 2x 5( − )2 =9 c) 3x( − )3 = −8
Giải:
a) Áp dụng : a.b a
b
=
= ⇔ =
ta có:
(x x)( ) x x
3 x x
+ = = −
+ − = ⇔ ⇔
− = =
Vậy: x∈ −{ 2; 3} b) Ta có :
( − ) = ⇔ − = ± ⇔ − =
− = −
2 2 2x
2x 2x
2x
= =
⇔ ⇔
= =
2x x
2x x
Vậy x ;4∈{ }
c) Vì ( )−2 = −8 nên (1 3x− ) ( )3 = −2 ⇔ −1 3x= −2
1 3x 3x x
⇔ + = ⇔ = ⇔ =
Vậy x 1=
(77)Trong ví dụ ta sử dụng tính chất so sánh hai lũy thừa số mũ số nguyên sau đây:
= ⇔ = ±
2n 2n
x a x a
+ = + ⇔ =
2n 2n
x a x a
Ví dụ 4. Tìm x Z∈ , biết (x x 2+ )( − )<0
Giải
Vì (x x 2+ )( − )<0 nên suy x & x 2+ − hai số trái dấu Mặt khác: (x 3+ −) (x 2− )= + − + = >x x nên x x 2.+ > −
Do vậy: x x x x x
x x
− < <
− < < + ⇔ ⇔ ⇔ − < <
+ > > −
Vì x Z∈ nên x∈ − −{ 2; 1; 0; 1}
Nhận xét: Trong lời giải ta sử dụng tính chất suy từ quy tắc chuyển vế sau đây:
a b> ⇔ − >a b
Ngoài ra, từ a và b trái dấu, ta chia hai trường hợp:
> <
a 0& b
< >
a & b
Ví dụ 5 Tìm a,b Z∈ , biết: a.b 12= a b+ = −7
Giải:
Vì a.b 0> nên hai số a và b cùng dấu, mà a b 0+ < nên suy a b âm Do đó: a.b 12= = −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12− = −2 6− = −3 4−
Trong trường hợp có: ( ) ( )− + − = −3
Vậy ta có hai đáp số là: a= −3; b= −4 a= −4;b= −3
III BÀI TẬP 2.43. Tính hợp lí:
(78)2.44. Tính giá trị biểu thức:
a) A 5a b= với a= −1;b 1= b) B= −9a b4 với a= −1;b 2=
2.45. Tính giá trị biểu thức
a) ax ay bx by+ + + biết a b+ = −3;x y 17+ =
b) ax ay bx by− + − biết a b+ = −7;x y− = −18
2.46. Cho a,b,c∈ Ζ Chứng minh rằng: a(c b) b( a c) c(a b)− − − − = +
2.47. Tìm x∈ Ζ, biết:
a) x( − +) (5 x 6− )= −98 b) (x x+ )( − )=0
2.48. Tìm x∈ Ζ, biết:
a) (x2+1 49 x)( − 2)=0 b)(x x+ )( − )=0
2.49. Tìm x∈ Ζ, biết:
a)(x x− )( − )>0 b) (x2−13 x)( 2−17)<0
2.50. Tìm x∈ Ζ, biết:
a) 6x 13 15− = b) 7x 19− ≤
2.51 Tìm x,y∈ Ζ, biết:
a) x.y= −28 b) (2x 4y 2− )( + )= −42
2.52. Tìm giá trị lớn biểu thức: P= − +(x 1)2− − +3 y 35
2.53. Cho 79 số nguyên tích số số âm Chứng minh tích tất 79 số số dương
2.54. Tìm x,y∈ Ζ, biết:
a) x xy y 9+ + =
(Đề thi tuyển vào lớp 10, Đại học Khoa học Tự nhiên, năm 2002)
(79)Chuyên đề BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Kiến thức
a) Định nghĩa: Cho a, b∈ Ζ b 0≠
Nếu có số nguyên q cho a b.q= ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a b Khi ta cịn nói a bội b b ước a
Chú ý:
+ Số bội số nguyên khác + Số khơng ước số nguyên + Các số – ước số nguyên Z
+ Nếu c vừa ước a, vừa ước b c gọi ước chung của a Nếu c vừa bội
a, vừa bội b thì c gọi bội chung a và b
b) Tính chất chia hết trongZ • Nếu a b b c a c
• Nếu a b a.m b ( với m∈ Ζ)
• Nếu a c b c (a b c± )
2 Nâng cao
a) Các tính chất khác chia hết ( hay chia dư) số tự nhiên với số nguyên b) Nếu số a có m ước tự nhiên có thêm m ước số nguyên âm (là số đối ước tự nhiên) Vậy a có 2m ước nguyên
II MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm tất ước chung – 12 30
Giải
Tập hợp ước −12và 30 là:
Ư( 12)− =Ư(12)= −{ 12; 6; 4; 3; 2; 1;1; 2;3; 4; 6;12− − − − − }
Hoặc viết góp: Ư( 12)− = ± ± ± ± ± ±{ 1; 2; 3; 4; 6; 12}
Ư(30)= ± ± ± ± ± ±{ 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 ± ± }
(80)ƯC( 12;30)− = ± ± ± ±{ 1; 2; 3; 6}
Nhận xét:
Ước chung −12 30 ước chung ƯCLN(12, 30)=6, nên: ƯC( 12, 30)− =Ư (6)
Ví dụ 2. Tìm x∈sao cho:
a) x 5− bội x + b) x – ước 3x +
Giải
a) Vì x 5− =(x+ −2) nên (x−5) (x +2)⇔7 (x +2)
Suy ra: x+ ∈2 Ư(7)= ± ±{ 1; }
Ta có bảng giá trị sau:
x + -7 -1
x -9 -3 -1
Vậy x∈ − − −{ 9; 3; 1;5}
b) Vì 3x+ =5 (3x− + =6) 11 3(x 2) 11− +
nên (3x+5) (x −2)⇔11 (x −2)
Suy ra: x− ∈2 Ư (11)= ± ±{ 1; 11} Ta có bảng giá trị sau:
x – -11 -1 11
x -9 13
Vậy x∈ − −{ 9; 1;3; 13− }
Nhận xét:
Ta giải toán theo cách học chương I Chẳng hạn, câu b) ta có: Vì (3x+5) (x −2)và 3(x−2) (x −2)
Nên (3x 5+ −) 3(x 2) (x 2)− − (3x 3x 6) x
11 (x 2)
⇔ + − + −
⇔ −
(81)Sau tiếp tục lập luận tương tự
Ví dụ 3. Cho x, y∈ Chứng minh: 6x + 11y bội 31 x + 7y bội 31
Giải
Ta có: (6x 11y) 6(x+ − +7y)=6x 11y 6x+ − −42y
=(6x−6y) (11y 42 y)+ −
31y 31
= −
Suy ra: (6x 11y) 31+ ⇔6(x+7y) 31 (tính chất chia hết tổng) ⇔(x+7y) 31 (vì 31 nguyên tố nhau) Vậy 6x 11y+ bội 31 x+7y bội 31
Nhận xét:
Cách giải gọi phương pháp “khử x”: Ta thấy số thứ có số hạng 6x, số thứ hai có số hạng x Vậy để triệt tiêu hết x, ta nhân vào số thứ hai xét hiệu với số thứ
Tương tự, ta có phương pháp “khử” :
7(6x 11y) 11(x y)+ − + =42 x 77 y 11x 77 y+ − − =31x 31.
Sau lập luận tương tự
III BÀI TẬP
2.55. Tìm tập hợp bội chung 12 30.−
2.56. Tìm tập hợp ước chung 60;45; 105.− −
2.57. Với n∈,các số sau chẵn hay lẻ ?
a) (3n−4 3n 19 )( + ) b) n2− +n
2.58. Tìm số nguyên a, biết: a) a+2 ước b) 2alà ước 10.− c) 12 bội 2a 1.+
2.59. Chứng minh a∈ thì:
(82)2.60. Tìm x, y∈,biết: a) (2x y 4− )( − )= −13 b) (5x y 1+ )( − =)
c) 5xy 5x− + =y
2.61. Cho x, y∈ Chứng minh rằng: 5x 47y+ bội 17 x 6y+ bội 17
2.62. Tìm x∈ cho: a) x−4là bội x 1.− b) 2x 1− ước 3x 2.+
2.63. Tìm x∈ cho:
a)
x +2là bội x 2.+ b) x 1− ước x2−2x+3
(83)Chuyên đề nâng cao ĐỒNG DƯ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Phép chia với số dư âm
Chia số nguyên a cho số nguyên b 0> ta được: a=b.q+rvới r b 1.≤ ≤ −
- Nếu r 0= a chia hết cho b (kí hiệu a b ) hay a bội b ( a B(b)∈ ), hay b ước a ( b∈Ư(a) )
- Nếu r 0≠ phép chia a cho b phép chia có dư
- Số dư r chọn số nguyên âm
Ví dụ: Chia 19 cho 4, ta có: 19=4.4 3+ (thương 4, dư 3)
Hoặc 19 4.5 1= − (thương 5, dư 1− )
* Nhận xét : Việc sử dụng số dư âm giúp ta lựa chọn số dư có giá trị tuyệt đối nhỏ
Trong trường hợp tổng quát : a b.q r= + , ta có:
• Nếu b chẵn r b 1; b 2; ;0;1; b
2 2
∈ − + − +
• Nếu b lẻ r b 1; b 3; ;0;1; b
2 2
− − −
∈ − −
Ví dụ : Khi chia số cho số dư 2; 1;0;1;2;3.− − Khi chia số cho số dư 2; 1;0;1;2.− −
2 Đồng dư
2.1. Định nghĩa
Cho a,b số nguyên n số nguyên dương Ta nói a đồng dư với b theo mơđun
n, kí hiệu a≡b(mod n)⇔(a−b n.)
Nhận xét: Nếu a chia b dư r a r(mod b).≡
2.2. Tính chất: Với a,b,c,n∈ n>0,ta có:
a) a≡a(mod n)
b) a≡b(mod n)⇒ ≡b a(mod n)
c) a≡b(mod n), b≡c(mod n)⇒ ≡a c(mod n)
d) a≡b(mod n)⇒ ± ≡ ±a c b c(mod n)
e) a≡b(mod n)⇒ac≡bc(mod n)
(84)g) a≡b(mod n)⇒ak ≡b (mod n), kk ∀ ≥1
II MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG 1 Chứng minh quan hệ chia hết
* Phương pháp : Để chứng minh a m ta chứng tỏ a 0(mod m).≡
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: (22225555+55552222)7. Giải
Ta có: 2222≡3(mod 7) hay 2222≡ −4(mod 7); 5555≡4(mod 7)
( 5555 2222) ( )5555 2222 ( )
2222 5555 4 mod
⇒ + ≡ − +
( 5555 2222) 2222( 3333 )( )
2222 5555 4 mod
⇒ + ≡ − −
Lại có 3333 ( )3 1111 1111
4 = =64 , mà 64≡1(mod 7)nên 43333 ≡1(mod 7)
( )
3333 2222 3333
4 (mod 7) 4 0(mod 7)
⇒ − ≡ ⇒ − − ≡
Do ( 5555 2222) ( )
2222 +5555 ≡0 mod
hay (22225555 +55552222)7
Như ta có a≡b(modn) (⇔ a−b)n.
Nhận xét: Nếu a chia b dư rthì a =r(mod b).
2.2 Tính chất: Với a b c n, , , ∈ n>0, ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a) mod
b) mod mod
c) mod , mod mod
d) mod mod
e) mod mod
f) mod ; , mod
g) mod k k mod ,
a a n
a b n b a n
a b n b c n a c n
a b n a c b c n
a b n ac bc n
ac bc n c n a b n
a b n a b n k
≡
≡ ⇒ ≡
≡ ≡ ⇒ ≡
≡ ⇒ ± = ±
≡ ⇒ =
= = ⇒ ≡
(85)II MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết
* Phương pháp:Để chứng minh a m ta chứng tỏ a≡0 mod( m).
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: (22225555 +55552222)7
Giải
Ta có: 2222 2222=3 mod 7( ) hay 5555=4 mod 7( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
5555
5555 2222 2222
5555 2222 2222 3333
2222 5555 4 4 mod 7
2222 5555 4 4 1 mod 7
⇒ + = − +
⇒ + = − −
Lại có 43333 =( )43 1111 =641111, mà 64 mod 7≡ ( ) nên 43333 ≡1 mod 7( )
( ) ( ) ( )
3333 2222 3333
4 1 mod 7 4 4 1 0 mod 7
⇒ − ≡ ⇒ − − ≡
Do (22225555 +55552222)≡0 mod 7( ) hay (22225555 +55552222)7
Ví dụ 2. Chứng minh rằng: A=(7.52n +12.6n)19
Giải
Ta có: 52n =( )52 n =25n ⇒ =A 7.25n +12.6n Vì 25≡6 mod19( ) nên 25n ≡6n(mod19)
( ) ( )
7.6n 12.6n mod19 19.6n mod19
A A
⇒ = + ⇔ ≡
Suy ra: A≡0 mod19( ) Vậy A19
Ví dụ 3. Chứng minh rằng: A=(232n +5 7) với n∈
Giải
(86)Vì 4 mod 3≡ ( ) 4n ≡1 mod 3( ) hay 22n ≡1 mod ( )
2
2 n
⇒ chia cho dư Giả sử
2 n =3k +1,k∈
Ta có: A=23k+1+ =5 2.8k +5.
Vì 8k ≡1 mod 7( )⇒2.8k ≡2 mod 7( )⇒2.8k + ≡ +5 mod 7( ) hay A≡0 mod 7( )
Vậy A chia hết cho
2 Tìm số dư, chữ số tận
2.1 Tìm số dư chia a cho b>0
Nếu a≡r(modb) 0≤ <r b r số dư chia a cho b.
Ví dụ 4. Tìm số dư chia 32000 cho
Giải
Ta có: 32 ≡2 mod 7( )⇒36 =( )32 ≡1 mod 7( )
( )6 333 ( )
3 mod
⇒ ≡ hay 31998 ≡1 mod 7.( )
Mặt khác: 32 ≡2 mod 7( ) nên 32000 =31998 23 ≡1.2 mod 7( ) hay 32000 chia cho dư
Nhận xét:
Để tìm số dư chia n
a cho b>0, ta lấy lũy thừa với số mũ tăng dần a chia
cho b để tìm số dư Ta dừng lại để xem xét tìm số dư có giá trị tuyệt đối
nhỏ giá trị đặc biệt có liên quan đến tình tốn
2.2 Tìm chữ số tận
* Phương pháp: Nếu a≡r(mod10) 0≤ <r 10 r chữ số tận a. - Nếu a có chữ số tận 0; 5; an có chữ số tận a, tức là:
(mod10 ) n
a ≡a
(87)Nếu a≡4 mod10( )⇒a2 ≡6 mod10 ,( ) nên a2k ≡6 mod10( ) Nếu a≡9 mod10( )⇒a2 ≡1 mod10 ,( ) nên a2k ≡1 mod10 ( )
⇒ Để tìm chữ số tận n
a ta chia n cho
- Nếu a có chữ số tận 2; 3; 7; ta áp dụng kết sau:
( ) ( ) ( ) ( )
44 44 44 44
2 ≡6 mod10 ; ≡1 mod10 ; ≡1 mod10 ; ≡6 mod10
⇒Để tìm chữ số tận n
a ta chia n cho
Ví dụ 5. Cho A=20122013. Tìm chữ số tận A.
Giải
Ta có số mũ 2013=4.503 1+
Vì 2012≡2 mod10( ) nên 20124 ≡6 mod10( )
( )
2013 2012
2012 2012 2012 6.2 mod10
⇒ = ≡ hay 20122013 ≡2 mod10( )
Vậy A có chữ số tận
2.3 Tìm hai chữ số tận
* Phương pháp: Nếu a ≡r(mod100) 10≤ ≤r 100 r hai chữ số tận
.
a
Ta có nhận xét sau:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
20 20
4
2 76 mod100 ; 3 1 mod100 ; 6 76 mod100 ; 7 1 mod100 ; 5 25 mod100
≡ ≡ ≡
≡ ≡
Mà 76n ≡76 mod100( )và 25n ≡25 mod100 ,( ) n≥2
Suy ra: a20k ≡00 mod100( ) a≡0 mod10( )
( )
20
1 mod100 k
a ≡ a ≡1; 3; 7; mod10( )
( )
20
25 mod100 k
a ≡ a ≡5 mod10( )
( )
20
76 mod10 k
(88)Ví dụ 6. Cho số A=20122013. Tìm hai chữ số tận A.
Giải
Ta có: 2013=20.100 13+
Vì 2012≡2 mod10( ) nên 201220 ≡76 mod100( )
( 20)100 ( )
2012 76 mod100
⇒ ≡ hay 20122000 ≡76 mod100( ) (1)
Mặt khác: 2012 12 mod100≡ ( )⇒20126 ≡12 mod1006( ) Hay 20126 ≡84 mod100( )⇒(20126)2 ≡56 mod100( )
Hay 201212 ≡56 mod100( )⇒20122013 ≡72 mod100( ) (2) Từ (1) (2) suy ra: 20122013 =20122000.201213 ≡76.72 mod100( )
Hay 20122013 ≡72 mod100 ( ) Vậy A có hai chữ số tận 72
III BÀI TẬP
2.65. Chứng minh rằng: (22002 −4 31)
2.66. Tìm số dư phép chia: 570 +750 cho 12
2.67. Tìm số dư số A=32005 +42005 chia cho 11 chia cho 13
2.68 Chứng minh x không chia hết cho x2 ≡1 mod 3( )
2.69 Chứng minh rằng:
a) Nếu a≡1 mod 2( ) a2 ≡1 mod8( ) b) Nếu a≡1 mod 3( ) a3 ≡1 mod 9( )
2.70. Giả sử (x2 + y2)3 Chứng minh rằng: x3 y3
2.71 Chứng minh rằng: 192420032004 1920 124 n
+ với n∈*.
(89)a) (19911997 −19971996)10 b) (29 +299)100
2.73 Chứng minh với n∈ ta có: a)(224n+1 +7 11)
b) nn−1+nn−2 + + n2 +1 chia hết cho n−1 (với n>1)
2.74. Cho n∈. Chứng minh : a) 5n+2 +26.5n +82n+159
b) (42n −32n −7 168) (n≥1 )
2.75 Chứng minh 9n +1 khơng chia hết cho 100, với n∈. 2.76 Tìm số tự nhiên n cho:
a) (23n+4 +32n+1)19 b) (n.2n +1 3.)
2.77 Tìm hai chữ số tận số sau: a)
9
9
7
A= b) B=2992012
2.78. Cho số C =19781986
(90)PHẦN HÌNH HỌC
Chương I ĐOẠN THẲNG Chuyên đề ĐIỂM ĐƯỜNG THẲNG
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu
A∈d Khi ba điểm A, B, C
thuộc đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng (h.1)
2. Điểm M không thuộc đường thẳng d kí
hiệu M∉d Khi ba điểm A, B, M
khơng thuộc đường thẳng ta nói chúng khơng thẳng hàng (h.2)
Hình
Hình
3.Trong ba điểm thẳng hàng có điểm điểm nằm hai điểm khác
Trong hình 1, điểm B nằm hai điểm A C
4. Có đường thẳng đường thẳng qua hai điểm A B
Đường thẳng d hình cịn gọi đường thẳng AB Ta đặt tên đường thẳng hai chữ thường ví dụ đường thẳng xy
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1.Trên đường thẳng lấy điểm A, B, C, D theo thứ tự lấy điểm O a.∉
a) Hãy kể tên trường hợp điểm nằm hai điểm khác
b) Có nhóm ba điểm khơng thẳng hàng?
Giải (h.3)
a) Có trường hợp điểm nằm hai điểm khác là:
- Điểm B nằm A C;
- Điểm B nằm A D;
- Điểm C nằm A D;
- Điểm C nằm B D
Hình
b) Có nhóm ba điểm khơng thẳng hàng là:
(O; A; B) ; (O; A; C) ; (O; A; D) ; (O; B; C) ; (O; B; D) (O; C; D)
C B
A d
M
B A
d
D C
O
B A
(91)Lưu ý: Bạn dễ dàng nhận thấy điểm B nằm hai điểm A C bạn bỏ sót trường hợp B nằm A D Để khắc phục tình trạng bạn cần nhớ ba điểm thẳng hàng, có điểm nằm hai điểm cịn lại
Ví dụ 2. Cho trước số điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ
đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng số điểm cho trước là:
a) điểm A, B, C, D ; b) điểm A, B, C, D, E; c) n điểm (n∈;n≥2)
Giải
a) Với điểm A, B, C, D cho trước khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng là: AB, AC, AD, BC, BD CD (h.4)
b) Với điểm A,B, C, D, E cho trước khơng có điểm thẳng hàng vẽ 10 đường thẳng là: AB, AC, AD, AE;
BC, BD, BE;
CD, CE DE (h.5)
Hình
Hình
c) Chọn số n điểm cho nối điểm với n−1 điểm cịn lại ta
1
n− đường thẳng Làm với tất n điểm ta (n−1 )n đường
thẳng Nhưng đường thẳng tính hai lần (vì đường thẳng AB với
đường thẳng BA một) thực vẽ ( 1)
2
n n−
đường thẳng
Lưu ý:
- Nếu n số điểm cho trước khơng có ba điểm thẳng hàng cơng thức
( )
2
n n−
giúp ta tính số đường thẳng qua cặp điểm
- Ngược lại, n số đường thẳng cho trước đơi cắt khơng có ba,
bốn, đường thẳng đồng quy cơng thức ( 1)
2
n n−
giúp ta tính số giao điểm tất cặp đường thẳng
D C
B A
E
D C
(92)Ví dụ 3. Cho trước số điểm có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường
thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng số điểm cho
trước là:
a) điểm; b) n điểm (n∈,n≥3)
Giải
a) Nếu điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ
được 7.6 21
2 = (đường thẳng)
Bây xét đến ba điểm thẳng hàng, qua chúng vẽ đường thẳng Nếu ba
điểm khơng thẳng hàng vẽ ba đường thẳng Số đường thẳng giảm : 3 1− =2 (đường thẳng)
Vậy vẽ tất 21 19− = (đường thẳng)
b) Lập luận tương tự câu a) ta đáp số ( 1)
2
n n−
= (đường thẳng)
Ví dụ 4.Cho trước n điểm có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua
các cặp điểm Biết số đường thẳng vẽ tất 28, tìm số n?
Giải
Ta có: ( 1) 28
2
n n−
=
Suy ra: n n.( − =1) 56=8.7
Vì n n−1 hai số tự nhiên liên tiếp nên n=8
C BÀI TẬP
1.1.Xem hình cho biết:
- Có nhóm ba điểm thẳng hàng?
- Có trường hợp điểm nằm hai điểm khác?
Hình
(93)1.3.Cho trước số điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Nếu bớt ba điểm
số đường thẳng vẽ qua cặp điểm lại 36 Hỏi khơng bớt ba
điểm vẽ đường thẳng?
1.4. Cho điểm A, B, C, D, E Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi điểm cho
phải có điều kiện để số đường thẳng vẽ là:
a) 10; b) 5; c)
1.5. Cho trước n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Nếu bớt điểm số
đường thẳng vẽ qua cặp điểm giảm 10 đường thẳng Hỏi lúc cho điểm?
1.6. Có 16 đường thẳng cắt đơi khơng có ba đường thẳng qua
điểm Hỏi có tất giao điểm 16 đường thẳng cho?
1.7. Cho số đường thẳng cắt đôi khơng có ba đường thẳng qua
một điểm Biết có tất 190 giao điểm, tính số đường thẳng cho
1.8. Cho trước 12 đuểm có điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua
cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng?
1.9. Cho a b c, , ba đường thẳng phân biệt Hãy cho biết số giao điểm ba đường thẳng
này
1.10. Vẽ đường thẳng cho chúng có nhiều giao điểm
1.11.Hai đường thẳng m n có chung điểm O Hãy nêu điều kiện để:
a) m n hai đường thẳng phân biệt;
b) m n hai đường thẳng trùng
1.12. Cho bốn điểm A, B, M, N cho điểm M nằm hai điểm A B; điểm B nằm hai điểm M N Chứng tỏ hai đường thẳng AB MN trùng
1.13.Cho hai đường thẳng a b cắt O Vẽ điểm P Q cho chúng không
nằm hai đường thẳng Nêu cách xác định điểm M thuộc đường thẳng a
(94)Chuyên đề TIA A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị
chia điểm O gọi tia gốc O Trên hình ta có tia Ox
2.Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi
hai tia đối Trên hình ta có hai tia Ox Oy đối
Nhận xét: Mỗi điểm đường thẳng gốc chung hai tia đối
3. Hai tia trùng nhau: Trên tia Ox lấy điểm
M (M khác O) Khi hia tia Ox OM trùng (h.9)
Hai tia trùng coi tia
4 Mối quan hệ điểm nằm hai điểm
khác với hai tia đối nhau, hai tia trùng
Xét ba điểm A, O, B thẳng hàng (h.10)
• Nếu hai tia OA, Ob đối gốc O nằm A B
•Ngược lại, điểm O nằm A B hai
tia OA OB đối nhau; hai tia AO, AB trùng nhau, hai tia BO, BA trùng
Hình
ư
Hình
Hình
Hình 10
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1.Trên đường thẳng xy lấy ba điểm m, O, N (h.11)
Hình 11
Hãy kể tên:
a) Các cặp tia đối nhau;
b) Các tia trùng gốc O, tia trùng gốc M
Giải
a) Có ba cặp tia đối là: Mx My; Ox Oy; Nx Ny
b) Có hai cặp tia trùng gốc O là: Ox OM, Oy ON
x O
y
x O
x M
O
A O B
y N
O M
(95)Có ba tia trùng gốc M là: MO, Mn My
Lưu ý: Ba tia trùng coi tia
Ví dụ 2. Cho điểm O nằm hai điểm A B điểm M cho hai tia OM OB
trùng Chứng tỏ rằng: a) Hai tia OA, OM đối nhau;
b) Bốn điểm A, B, O, M thẳng hàng
Giải (h.12)
a)Vì điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA OB đối (1)
Mặt khác hai tia OM OB trùng (2)
Hình 12
Nên từ (1) (2) suy hai tia OA, OM đối
b) Hai tia OA, OB đối nên ba điểm O, A, B thuộc đường thẳng Hai tia OA, OM đối nên ba điểm O, A, M thuộc đường thẳng
Hai đường thẳng có hai điểm chung O A nên chúng trùng điểm A, B, O, M thẳng hàng
C BÀI TẬP
1.14. Kể tên tia có hình 13
1.15. Trong hình 14 có tia?
Hình 13 Hình 14
1.16. Trên đường thẳng lấy n điểm A1, A2, , An Qua điểm vẽ đường thẳng
song song với Tính giá trị cảu n để hình có 100 tia
B
A O M
O
y B
x
m n
A
m p u
y n q
v x
E D
C
(96)1.17.Cho điểm O nằm hai điểm M N Trên tia Om lấy điểm E, tia ON lấy điểm F
Giải thích sao:
a) Hai tia BO BC đối nhau;
b) Điểm B nằm hai điểm O C
1.18 Cho điểm O nằm hai điểm A B, điểm B nằm hai điểm A C Giải thích
sao:
a) Hai tia BO BC đối nhau;
b)Điểm B nằm hai điểm O C
1.19 Cho điểm B nằm hai điểm A C, điểm C nằm hai điểm B D Chứng tỏ
rằng:
(97)Chuyên đề ĐOẠN THẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Đoạn thẳng AB hình gồm điêm A, điểm B
và tất điểm nằm A B (h 15)
Hình 15
2 Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số lớn
3 Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM +MB=AB
4 Trên tia Ox vẽ điểm M cho OM =a (đơn vị
dài)
5 Trên tia Ox, OM =a, ON =b,
0< <a b điểm M nằm hai điểm O N
(h 16)
Hình 16
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A, B, C a) Kể tên đoạn thẳng có hình
b) Cho biết AC =3cm, BC=5cm Tính độ dài AB
Giải
a) Trong hình có ba đoạn thẳng AB, AC BC b) Xét ba trường hợp
• Trường hợp điểm A nằm điểm B
C (h 17)
Ta có: BA+AC =BC
5 ( )
BA
AB cm
+ = = − =
• Trường hợp điểm B nằm hai điểm A C
Ta có: AB+BC =AC
5
AB+ = (vơ lí)
• Trường hợp điểm C nằm hai điểm A B
Hình 17
Hình 18 Ta có:
3
8 ( )
AC CB AB AB AB cm + = + = =
Vậy AB=2cm AB=8cm
Lưu ý:Khi đề không cho biết vị trí tương đối ba điểm A, B, C phải xét trường hợp vị trí điểm hai điểm lại Nếu khơng bỏ sót đáp số
Ví dụ Trên đường thẳng xy bốn điểm C, E, F, D theo thứ tự Biết CD=7cm, EF=3cm, FD=2cm
a) So sánh CE EF
b) Tìm cặp đoạn thẳng hình vẽ
Giải (h 19)
B A x N M b a O C
B A y
x
5
B
(98)a) Điểm F nằm hai điểm E D nên ED=EF +FD= + =3 (cm)
Điểm E nằm hai điểm C D nên
7 ( )
CE ED CD
CE CD ED cm
+ =
⇒ = − = − = Hình 19
b) Ta có CE=ED ( 5= cm)
Ví dụ Cho ba điểm A, B, C cho AB=2cm, BC=4cm CA=3cm Hỏi ba điểm
A, B, C có thẳng hàng khơng? Vì sao?
Giải
• Giả sử điểm A nằm B C, BA+AC=BC tức
2 3+ =4 (vơ lí)
Vậy A khơng nằm B C
• Giả sử điểm B nằm A C, AB+BC= AC tức
2+ =4 (vơ lí)
Vậy B không nằm A C
• Giả sử điểm C nằm A B, AC+CB= AB tức
3 4+ =2 (vơ lí)
Vậy C khơng nằm A B
Trong ba điểm A, B, C khơng có điểm nằm hai điểm lại ba điểm khơng thằng hàng
Lưu ý: Bạn giải toán cách khác gọn sau: Ta có BA+AC≠BC (vì 3+ ≠4) nên A khơng nằm B C
AB+BC≠BC (vì 2+ ≠4 3) nên B không nằm A C
AC+CB≠AB (vì 4+ ≠2) nên C khơng nằm A B
Trong ba điểm A, B, C khơng có điểm nằm hai điểm cịn lại ba điểm khơng thằng hàng
Ví dụ Trên tia Ox lấy điểm A B cho OA=2cm; OB=5cm Trên tia đối
của tia Bx lấy điểm M cho BM =OA Tính độ dài AM
Giải (h 20) Trên tia Ox có OA<OB (2<5) nên điểm A nằm hai điểm O B
OA+AB=OB
5 ( )
AB OB OA cm
⇒ = − = − =
Ta có BM =OA=2cm
Trên tia BO có BM <MA (2<3) nên
điểm M nằm B A Hình 20
Ta có BM +MA=BA
2+MA= ⇒3 MA=1cm
C BÀI TẬP
7
3 F D
E
C y
x
M ?
2 A x
O B
(99)1.20 Trong hình 21 đường thẳng nào, tia
nào cắt đoạn PQ?
1.21 Cho bốn điểm A, B, C, D Vẽ
đoạn thẳng có hai đầu hai số điểm cho Hỏi vẽ tất đoạn thẳng
1.22 Cho trước n điểm Vẽ đoạn
thẳng có hai đầu hai điểm cho Biết vẽ tất 36 đoạn thẳng Tính giá trị n
1.23 Trên đoạn thẳng xy, lấy bốn diểm
A, B, C, D theo thứ tự Cho biết
AC >BD Hãy so sánh hai đoạn
thẳng AB CD
Hình 21
1.24 Cho đoạn thẳng AB Trên ta đối tia AB lấy điểm M cho AM =1cm Trên tia đối
của tia BA lấy điểm N cho BN =2cm Hãy so sánh hai đoạn thẳng BM AN
1.25 Cho điểm M nằm hai điểm A B; điểm B nằm hai điểm A C Biết
3
AM = cm, MB=2cm, BC=1cm Tính độ dài AC
1.26 Cho đoạn thẳng AB=7cm Lấy điểm M nằm A B cho MA MA− =3cm Tính độ dài đoạn thẳng MA MB
1.27 Cho đoạn thẳng AB=6cm Trên đường thẳng AB lấy điểm M cho MA=2MB Tính độ dài đoạn thẳng MB
1.28 Cho ba điểm A, B, C Biết AC=3cm, BC =2cm AB=5cm Hỏi hai tia CA
CB có vị trí nhau?
1.29 Trên tia Ox lấy điểm A B cho OA=4cm, AB=2cm Tính độ dài đoạn thẳng
OB
1.30 Trên tia Ox lấy điểm M N cho OM =3cm, MN =5cm Tính độ dài đoạn
thẳng ON
1.31 Trên tia Ox lấy ba điểm A, B, C cho OA=2cm, OB=3cm, OC=5cm Tìm cặp
đoạn thẳng hình vẽ
1.32 Trên tia Ox lấy điểm M N cho OM =m, ON = +m n m> >n Hãy so sánh OM MN
Q P
B
n
m A
y x
v
(100)Chuyên đề TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa: Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A B cách A, B (MA=MB)
2 Tính chất: Nếu M trung điểm AB
2
AB
MA=MB= (h 22)
Hình 22
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 5cm Trên đoạn thẳng lấy điểm C cho
AC= cm Gọi M trung điểm CB Tính độ dài AM
Giải. (h 23)
Điểm C nằm A B
nên AC+CB= AB
5 ( )
CB AB AC cm
⇒ = − = − =
Vì M trung điểm CB
Nên ( )
2
CB
MB= = = cm Hình 23
Điểm M nằm A B nên AM +MB=AB
Suy AM = AB−MB= − =5 (cm)
Nhận xét: Trong lời giải dựa vào nhận biết trực quan qua hình vẽ ta nói điểm M năm hai điểm A B mà khơng giải thích lí chuẩn kiến thức kĩ mơn Tốn khơng u cầu phải giải thích
Nếu muốn giải thích bạn lập luận sau:
Trên tia BA có BM <BA (1 5)< nên điểm M nằm hai điểm A B Vấn đề bạn phải xét tia gốc B
Ví dụ Cho đoạn thẳng AB=6cm Lấy điểm M nằm hai điểm A B cho
3
AM = AB Trên tia MB lấy điểm O cho
2
MO= AM Chứng tỏ rằng:
a) Điểm O trung điểm đoạn thẳng MB;
b) Điểm O trung điểm đoạn thẳng MB
Giải. (h 24)
a) Ta có 1.6 ( )
3
AM = AB= = cm
1.2 ( )
2
MO= AM = = cm Vì điểm M nằm A B nên
AM +MB=AB Hình 24
Suy MB= AB−AM = − =6 (cm)
Trên tia MB có MO<MB (1 4)< nên điểm O nằm hai điểm M B
Do MO+OB=MB
(101)Suy OB=MB−MO= − =4 (cm)
Vậy OM <OB (1 3)< , O khơng phải trung điểm đoạn thẳng MB b) Trên tia BA có BO<BA (3<6) nên điểm O nằm hai điểm B A (1) Ta có BO+OA=BA⇒OA=BA−BO= − =6 3 (cm)
Vậy OA=OB( 3= cm) (2)
Từ (1) (2) suy O trung điểm đoạn thẳng AB
Ví dụ Trên đường thẳng xy lấy điểm O Trên tia Ox lấy điểm M cho
OM = cm Trên tia Oy lấy điểm N P cho ON =2cm OP= >a 2cm
a) Chứng tỏ O trung điểm MN
b)Tìm giá trị a để N trung điểm OP
Giải. (h 25)
a) Hai tia OM, ON đối nên
điểm O nằm hai điểm M N (1)
Mặt khác OM =ON( 2= cm) (2) Từ (1) (2) suy O trung
điểm đoạn thẳng MN Hình 25
b)Trên tia Oy có ON <OP (vì 2<a) nên điểm N nằm hai điểm O P
Ta có ON +NP=OP⇒NP=OP ON− = −a
Để N trung điểm OP phải có thêm điều kiện:
2 ( )
NP=ON ⇔ − = ⇔ =a a cm
C BÀI TẬP
1.33 Cho đoạn thẳng AB điểm O nằm hai điểm A B Biết
2
AO= AB, chứng tỏ
rằng điểm O trung điểm đoạn thẳng AB
1.34 Cho ba điểm M, O, N thẳng hàng Biết OM =ON , chứng tỏ O trung điểm
MN
1.35 Trên đường thẳng xy lấy điểm M, N, O, P, Q theo thứ tự cho
MN =NO=OP=PQ Tìm điểm trung điểm đoạn thẳng
1.36 Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=4cm; OB=6cm Gọi M N
trung điểm OA OB Tính độ dài MN
1.37 Cho ba điểm P, O, Q cho OP=OQ=2cm; PQ=3cm Hỏi điểm O có phải trung
điểm đoạn thẳng PQ khơng? Vì sao?
1.38 Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=4cm, OB=6cm Gọi M trung điểm
OA
a) Tính độ dài BM
b) Chứng tỏ A trung điểm đoạn thẳng MB
1.39 Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M N Cho biết AB=7cm; AM =3cm; BN =2cm Chứng tỏ N trung điểm đoạn thẳng MB
a
P
N y
(102)1.40 Trên đường thẳng xy lấy điểm O hai điểm M, N cho OM =1cm; 2,5
ON = cm Vẽ điểm A B đường thẳng xy cho M trung điểm OA,
N trung điểm OB Tính độ dài AB
1.41 Cho đoạn thẳng AB=210 (cm) Gọi M1 trung điểm đoạn thẳng AB, M2 trung điểm đoạn thẳng M B1 , M3 trung điểm đoạn thẳng M B2 M10 trung
(103)Chuyên đề nâng cao
CÁC DẤU HIỆU NHẬN BIẾT MỘT ĐIỂM NẰM GIỮA HAI ĐIỂM KHÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Ta biết tổng AM +MB= AB điểm M nằm A B Còn muốn chứng tỏ
điểm trung điểm đoạn thẳng ta phải chứng tỏ điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng Như vậy, nhiều ta phải chứng tỏ điểm nằm hai điểm khác
Bình thường, ta nhận biêt điểm nằm hai điểm khác cách trực quan qua hình vẽ Tuy nhiên, để rèn luyện tư tích cực, chuyên đề ta chứng tỏ điểm nằm hai điểm khác lập luận xác, suy luận có
Những dấu hiệu nhận biết điểm nằm hai điểm khác mà ta vận dụng để giải số
tập là:
• Dấu hiệu 1: Nếu hai tia MA, MB đối điểm M nằm hai điểm A B (h 26)
• Dấu hiệu 2: Nếu AM +MB=AB
thì điểm A nằm hai điểm A B (h.26)
• Dấu hiệu 3: Nếu tia Ox có
OA<OB điểm A nằm hai điểm O
và B (h.27)
Sau ta xét thêm hai dấu hiệu mới:
Hình 26
Hình 27
• Dấu hiệu 4: Trên tia Ox có OA<OM <OB điểm M nằm hai điểm A B (h
28)
Ta giải thích sau:
- Trên tia Ox có OA<OM nên điểm A nằm
giữa hai điểm O M, hai tia MA, MO trùng (1)
Hình 28
- Trên tia Ox có OM <OB nên điểm M nằm hai điểm O B
Do hai tia MB, MO đối (2) Từ (1) (2) suy hai tia MA, MB đối Vậy điểm M nằm hai điểm A B
• Dấu hiệu 5: Cho điểm O nằm hai điểm A B, điểm M nằm O A, điểm N nằm O B Khi điểm O nằm hai điểm M N (h 29)
Hình 29
Ta giải thích sau:
- Vì điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA, OB đối (1)
- Vì điểm M nằm hai điểm O A nên hai tia OM, OA trùng (2)
M B A
x
A B
O
x B M
A O
O
(104)- Vì điểm N nằm hai điểm O B nên hai tia ON, OB trùng (3)
Từ (1), (2), (3) suy hai tia OM, ON đối nhau, điểm O nằm hai điểm M
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Cho ba điểm A, O, B cho OA=2cm, OB=3cm AB=5cm Lấy điểm M
nằm đường thẳng AB cho OM =1cm Tính độ dài đoạn thẳng AM
Giải
Ta có AO+OB=AB (vì 2+ =5) nên điểm O nằm hai điểm A B (dấu hiệu 2)
Suy O nằm đường thẳng AB hai tia OA, OB đối
• Trường hợp điểm M nằm tia OB
(h 30)
Ta có hai tia OM OA đối điểm O nằm hai điểm A M (dấu
hiệu 1) Khi
2 ( )
AM =AO+OM = + = cm
• Trường hợp điểm M nằm tia OA
(h 31)
Ta có OM <OA (vì 2< ) nên điểm M
nằm O A (dấu hiệu 3)
Khi OM +MA=OA
Suy AM =OA OA− = − =2 1 (cm)
Hình 30
Hình 31
Ví dụ Trên tia Ox lấy ba điểm A, B, C cho OA=3cm, OB=5cm, OC =7cm Chứng tỏ rằng:
a) Điểm A trung điểm đoạn thẳng OB;
b) Điểm B trung điểm đoạn thẳng AC
Giải (h 32)
a) Trên tia Ox có OA<OB (3<5) nên điểm A nằm hai điểm O B (dấu hiệu 3)
Ta có OA+AB=OB
Suy AB=OB OA− = − =5 (cm)
Hình 32
Vậy OA> AB (3>2) nên A trung điểm đoạn thẳng OB
b) Trên tia Ox có OB<OC (5<7) nên điểm B nằm hai điểm O C (dấu hiệu 3) Ta có OB+BC=OC, suy BC =OC−OB= − =7 (cm)
VậyAB=BC ( 2= cm) (1)
Trên tia Ox có OA<OB<OC (3< <5 7) nên điểm B nằm hai điểm A C (dấu
hiệu 4) (2)
Từ (1) (2) suy điểm B trung điểm AC
Ví dụ Cho đoạn thẳng AB Gọi O điểm nằm A B Lấy điểm M nằm O A, điểm N nằm O B
a) Chứng tỏ
2
AB MN =
1
A O M B
(105)b) Áp dụng: Cho biết MN =3cm, tính độ dài AB
Giải (h.33)
a) Điểm M trung điểm OA nên M nằm O
A,
2
OA
OM Điểm N trung điểm OB nên
N nằm O B,
2
OB ON Mặt khác điểm O nằm A B
(đề cho) nên O nằm M N (dấu hiệu 5) Suy
2 2
OA OB OA OB AB
MN OM ON
b) Ta có
2
AB
MN nên
2
AB
, suy AB6 cm
C BÀI TẬP
1.42. Vẽ đoạn thẳng AB2a Gọi M trung điểm AB Lấy điểm N nằm A B
sao cho ANNB Hỏi điểm , ,A M N ,B M N, điểm nằm hai điểm lại?
1.43.Cho đoạn thẳng AB trung điểm O Lấy điểm M N thuộc đoạn thẳng
AB cho
2
AB
AM BN Hỏi điểm O có phải trung điểm MN khơng? Vì sao?
1.44. Cho đoạn thẳng AB7cm Lấy điểm I K nằm A B cho
3 ,
AI cm BK a a cm a) Tính độ dài IK
b) Xác định giá trị a để K trung điểm IB
1.45. Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OAa OB, b với ab Gọi M trung điểm AB Chứng tỏ
2
a b OM
1.46. Cho đoạn thẳng AB6cm Lấy hai điểm E F nằm A B cho
E
A BF cm Tính độ dài EF
1.47. Trên tia Ox lấy ba điểm , ,A B C cho OA1,5cm;OB3cm;OC4,5cm Hỏi hình vẽ có điểm trung điểm đoạn thẳng?
Hình 33
N
M B
(106)1.48. Cho đoạn thẳng AB4cm Trên tia đối tia AB lấy điểm O cho OA2cm Gọi M N trung điểm OA OB Hãy so sánh:
a) OA với MN
b) OM AN
1.49. Cho đoạn thẳng AB6cm Lấy điểm E nằm hai điểm A B cho
3
AE AB Gọi F trung điểm AE
a) Chứng tỏ E trung điểm BF
b) Gọi O trung điểm EF, giải thích O trung điểm AB
1.50.Cho đoạn thẳng AB trung điểm Ocủa Trên tia đối tia BA lấy điểm M (M khác B) Chứng tỏ
2
MA MB
OM
1.51.Cho đoạn thẳng AB trung điểm O Gọi M điểm nằm A B
nhưng không trùng với O Chứng tỏ
2
MA MB
(107)HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
PHẦN SỐ HỌC
Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN Chuyên đề
1.1 Tập hợp A1; 2;3
Các cách viết là: a) I A d) 2;3 A
Các cách viết sai là: b) I A c) 3A
Sửa lại là: b) I A c) 3A
1.2 A2;3;7;8 , B1;3;5;7;9
a) Tập hợp A có phần tử, tập hợp B có phần tử b) , 3;7 , , 7
1.3. a) A 8 A có phần tử b) B B khơng có phần tử
1.4. a) Số phần tử A là: 98 10 : 2 1 45 b) Số phần tử B là: 70 10 : 3 1 21
1.5. Xét dãy số 2;7;12;17;22;
a) Quy luật: Dãy số cách với khoảng cách b) 22; 27;32;37; 42
c) Gọi số hạng thứ 100 dãy x, ta có: x2 : 5 1 100 497
x
Do tổng 100 số hạng đầu dãy là:
2497 100 : 2 24950
1.6 A31;33;35;37;39; 41; 43; 45; 47; 49
0;10; 20;30; 40;50;60;70;80
(108)1.7. 660 chữ số
1.8. Viết liền số tự nhiên 123456… a) chữ số đầu tiên: 1, 2, …,
44 số có hai chữ số tiếp theo: 10, 11, …, 53
Chữ số hàng đơn vị số 53 hàng số: 44.2 97
Tương tự, chữ số hàng đơn vị số 328 hàng số 876; chữ số hàng đơn vị số 1587 hàng số 5241
b) Chữ số viết hàng thứ 427 chữ số (chữ số hàng trăm số 179)
1.9. Có 24 phần tử
Các số có chữ số a vị trí hàng nghìn là:
, , , , ,
abcd abdc acbd acdb adbc adcb (có số)
Vì vai trị , , ,a b c d nên đặt , ,b c d chữ số hàng nghìn ta kết tương tự Vậy số số tạo thành là: 6.4 24
1.10 a) 17 số Trong đó:
- Có 16 số với chữ số 5: 15;25;35;45;65;75;85;95 51;52;53;54;56;57;58;59
- Có số với hai chữ số: 55 b) 36 số
- Từ số 12 đến số 19: có số - Từ số 23 đến số 29: có số …
- Từ số 78 đến số 79: có số - Số 89: có số
Vậy có tất 1 2 1 8 : 2 36 số thoả mãn c) 45 số
Có 90 số có hai chữ số, số có hai chữ số 11, 22, ,99 , 36 s ố có chữ số hàng chục nhỏ hàng đơn vị Suy số số có chữ số hàng chục lớn hàng đơn vị là:
(109)Chú ý: Có thể giải thích tương tự câu b
1.11. số: , , , , , ,I II III IV V VI VII VIII, - Số nhỏ số I (có giá trị 1) - Số lớn số VIII (có giá trị 8)
1.12 a) 81 phần tử
Có 90 số có hai chữ số, số có hai chữ số giống
có 90 9 81 số thoả mãn b) 648 phần tử
1.13.106 điểm 10
• bạn điểm 10 có 5.420 (điểm 10)
• 15 5 10 bạn điểm 10 có 10.330 (điểm 10)
• 41 15 26 bạn điểm 10 có 26.252 (điểm 10)
• 45414 bạn điểm 10 có 4.14 (điểm 10)
Vậy tất có : 20 30 52 106 (điểm 10)
1.14. 4321
Gọi số cần tìm abc1 0 a b c, , 9;a0 Theo đề ta có: abc11abc2889
10 1000 2889
9 3888 432
abc abc
abc abc
Vậy số cần tìm 4321
1.15. 63
Gọi số trừ x x N* Theo đề ta có : 3x x 57
10 57
9 54
x x
x x
(110)1.16.Có 10 đáp số: 109; 119; 129; …; 199
Gọi số cần tìm abc0a c, 9;0 b 9 Theo đề ta có: cba792abc
100 10 792 100 10
8 9;
c b a a b c
c a c a
Vậy số cần tìm 9b với b0;1; 2; ;9
1.17. 77
Gọi số cần tìm ab0a b, 9;a0 Theo đề ta có: 1 23.ab ab
1000 10 23
13 1001 77
ab ab
ab ab
Vậy số cần tìm 77
1.18. 14285
Gọi số cần tìm xabcde0a b c d e, , , , 9;a0 Theo đề ta có: 7abcde5.abcde7
700000 abcde 10.abcde
Hay 700000 x 10. x7
49.x 699965 x 14285
Vậy số cần tìm 14285
1.19 35
Gọi số cần tìm ab0a b, 9;a0 Theo đề ta có: 7abab7.221
700 10 21
700 20 14 21
19 665 35
ab ab
ab ab
ab ab
(111)Vậy số cần tìm 35
1.20 a) 9000 số b) 3000 số
Chú ý : Trong ba số tự nhiên có chữ số tận liên tiếp (chẳng hạn: 14, 24, 34), có số chia hết cho
-
Chuyên đề
1.21 a) 30000 b) 303
1.22. a) b) 21011
Đặt 99 100
1 2 2 2
A
2 99 100 101
101
2 2 2 2
2
A A A
Vậy A21011
c) 101
5 5 : 24
Đặt 97 99
5 5 5
B
2 97 99 101
101
5 5 5
25 5
B B B
Vậy 101
5 : 24
B
1.23 154
1.24. a) 24353.278 b) 151281 1253
c) 7812781178117810
1.25. A 1 32 33 34 35 319983199932000
3 1998
1.13 13 13 13
1.26. a) x10 b) x79
(112)1.28. a) x4 b) x
1.29. a) x 5;6 b) x 0;1
1.30. x 2;3
1.31. 4662
Chú ý: Mỗi chữ số xuất hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị hai lần, nên tổng số tạo thành là: 666 7778884662
1.32. 23 12
Thêm 19 đơn vị vào số thứ tích tăng thêm 19 lần số thứ hai, ứng với 713 276 437
Số thứ hai 437 :19 23 số thứ 276 : 23 12
Chú ý: Có thể giải cách gọi hai số a b
1.33. Số bị trừ 16; số trừ 10
1.34. Số bị chia 377; số chia 13
1.35.Có đáp số
Số chia 54 27 18
Thương
Chú ý: Số chia lớn số dư
1.36. 85; 28;
1.37.Thương lần thương cũ cộng
Gọi số bị chia x thương phép chia x cho 48 q
Theo đề ta có: x48.q4116 3 q 16.2 9 16 3 q 2
x
chia cho 16 thương 3q2 dư
1.38. Số bị chia nhỏ 413, số chia nhỏ 46
1.39 29158 9412
1.40. 12
(113)Chuyên đề
1.41. A chia hết cho 3, cho 6, cho 13 A không chia hết cho
1.42. Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp ;a a1;a2;a3 Tổng bốn số 4a6, khơng chia hết cho 4a 4
1.43. a chia hết cho không chia hết cho
1.44. aaaa.1113.37 37a
1.45. a) 2012 2010
1 4 4 21 1 4 21
b) 101 100
1 7 7 8 17 7 8
c) 222 23 2100 2 1 2 22 23 242 16 2 22 23 24
96 96
2 2 31 2 31
Mặt khác 222 23 2100 223 2224 297 299 2982100
97 98
2.5 5 5
1.46. a) Vì abcdeg 13 abcdeg13kabcdeg13k (với kN ) Do vậy: abcdeg1000.abcdeg1000 deg 13kdeg
1001.deg 1000.13.k13
b) abc100a10b c 98a7b2a3bc
Vậy abc7 2a3bc7
1.47. a3
20 20 20a a a20 1000000a 20 1000a 20a20 1001001 7a
20a
(vì 1001001 7 )
200 a 196 a 7 a 7
, 196 7
3
a
(114)b) n 1;3 c) n 3;9
1.49. a) n6;7;8;11;14; 23 b) n0 c) n2
1.50. 13 a8b13 5 a3bb2012 Tương tự: 5 a3b3 13 a8ba2012
-
Chuyên đề
1.51. a) 650 b) 305 c) 306 d) 630
1.52. 324; 234; 342; 432
1.53. a) 10338 2 10332 2
Mặt khác 1033 10 00 có tổng chữ số
33
10 100 08
có tổng chữ số 33
10
Vậy 10338 số chẵn chia hết chia hết cho 18
b) Tương tự câu a), ta có: 10
10 14 2
1.54. Dù n số chẵn hay số lẻ hai số tự nhiên liên tiếp n7 n8 ln có số số chẵn nên tích n7n8 số chẵn
n 7n 8
chia hết cho
1.55. Gọi ba số chẵn liên tiếp 2a2; ; 2a a2 (với aN*) Tích ba số: 2a2 2 a a 2 8a1 a a1
Vì a1 a a1 3! a1 a a1 6 nên
2a2 2 a a 2 8a1 a a1 8.6
Vậy 2a2 2 a a2 48
(115)a) Nếu n1 5n có hai chữ số tận 25 5n có hai chữ số tận 24, chia hết cho Vậy 5n1 4
b) Ta có: 10n 1 99 (n chữ số 9)
10n 18n 99 18n 11 2n
(n chữ số 1)
Ta có: 11 12n3 (vì 11 12n có tổng chữ số 3n )
10n 18n 9.3
hay 10n18n1 27
1.57. 66666
1.58. a) 85x y chia hết cho nên y=0
Vì 85x y3 nên (1+ + +x 3) hay (x+14 3) ⇒ =x Vậy x=4; y=0
b) có 11 đáp số:
x 3
y
c) x=7 y=0
1.59. a) 52ab chia cho dư ⇒ ∈b {4; } Lại 52ab2 nên b=4
Vì 52ab9 nên a+11 9 ⇒ =a Vậy a=7;b=4
b) a=8 b=2
1.60. 24
1.61. a=6
Vì aaaaa96 8 nên a96 8 (5a+15 3.)
{3;6;9}
3
6
96 96
a a
a
a a
∈
⇒ ⇒ ⇒ =
(116)Vì 1aaa1 11 nên +(a a) (− + + 1 a 1)11 hay (a−2 11) ⇒ =a
1.63. Ta có: (1978a+2012b) (− 78a+10b) (= 1900a+2002b)11 Mà 2002 11 nên 2002 11b ⇒1900 11a ⇒a11
Vì 78a+10 11b 78 11a ⇒10 11b ⇒b11
1.64. 1089
Gọi số cần tìm abcd, ta có: 9.abcd =dcba
Suy ra:
9
a d
= =
(b+ +c 9) ⇒ + ∈b c {8; 17 }
Vì 9.1 9bc =9 1cb nên 9b<10⇒ ∈b { }0;
• Nếu b=1 c=7 Thử lại ta thấy 9.1179≠9711: loại
• Nếu b=0 c=8 Thử lại ta thấy 9.1089=9801: thỏa mãn Vậy số cần tìm 1089
1.65. 675
Ta có: abc−cba =(n2− −1) (n−2)2
( )
99 a c 4n
⇔ − = −
(4n : 99)
⇒ − ( )1
Vì n2 =abc+ ⇒1 101<n2<1000⇒10< <n 32
35 4n 123
⇒ < − < ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy ra: 4n− =5 99⇒4n=104⇒ =n 26
Do vậy: abc=675 Thử lại, ta có cba=567=(26 2− )2 Vậy abc=675
1.66. n=83
(117)( ) ( ) 11 94
n+s n =ab+ a+b = a+ b=
{ }
2
8 7; 8;
76 11 94
a a
a a
a
⇒ ⇒ ∈ ⇒ =
≤ ≤
Từ đó: 11.8 2+ b=94⇒ =b Vậy n=83
-
Chuyên đề 1.67. {4; 12; 20; 60 }
1.68 Vì (2x−1 ) (y+3)=12 nên 2x−1; y+ ∈3 Ư( )12 Lại 2x−1 số lẻ nên ta có:
2x−1
3
y+ 12
x
y
1.69
- Vì ba số tự nhiên liên tiếp p−1; p; p+1 ln có số chia hết cho 3, mà p
là số nguyên tố lớn nên hai số p−1; p+1 có số chia hết cho
(p 1)(p 3)
⇒ − + ( )1
- Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ ⇒ −p p+1 hai số chẵn liên
tiếp ⇒(p−1)(p+1 8) ( )2
Từ ( )1 ,( )2 ( )3,8 =1 nên (p−1)(p+1 3.8) hay (p−1)(p+1 24.)
1.70. a∈{ }3;
Vì 23a≤239 152 <239 16< nên để 23a số ngun tố phải khơng chia hết cho số nguyên tố 2; 3; 5; 7; 11;13
Vì 23a2 nên a∈{1; 3; 5; 7; } Vì 23a5 nên a∈{1; 3; 7; }
(118)Thử lại ta có 233 239 thỏa mãn
1.71. 60
Ta có: 12=12.1=6.2=4.3=3.2.2
Do vậy, ta cần tìm số nhỏ số: ;11 3;5 ;3 2 3.5
Đáp số:
2 3.5=60
1.72. Số có ba chữ số tần 104 chia hết cho 8, 104 8
⇒ Số có ước 23⇒ có ước 1; 2; 4;8
1.73. 307
Vì tổng hai số 309 nên hai số có số chẵn, số lẻ Vì hai số số nguyên tố nên số chẵn 2, suy số lẻ 307 Kiểm tra lại ta có 307 số nguyên tố
1.74. p=3
1.75. p=5
1.76. Vì p số nguyên tố lớn nên p chia dư dư
• Nếu p=3k+2 p+ =4 3k+6 3 ⇒ loại
• Nếu p=3k+1 p+ =7 3k+8 3
( )
2 p
⇒ + hay 2p+14 3.
Trong ba số tự nhiên liên tiếp 2p+14;2p+15;2p+16 ln có số chia hết cho 3,
mà 2p+14 3 2p+15 3 nên (2p+16 3) hay 2(p+8 3)
(p 3,)
⇒ + ( )2,3 = ⇒ +1 p hợp số
1.77. Số 32+ + + +34 36 32012 hợp số, lớn chia hết cho
1.78. Giả sử a số tự nhiên lớn nằm hai số nguyên tố sinh đôi ⇒a số chẵn
a
⇒
Mặt khác, ba số tự nhiên liên tiếp ln có số chia hết 3a (vì số liền trước liền sau số nguyên tố lớn nên không chia hết cho 3) Vậy 2.3a hay a6
1.79. 3; 5;7
Giả sử ba số lẻ liên tiếp số nguyên tố ;p p+2; p+4
(119)- Nếu p>3 p chia dư dư
• Nếu p=3k+1( *)
k∈ p+ =2 3k+3 3 ⇒ loại
• Nếu p=3k+2(k∈*) p+ =4 3k+6 3 ⇒ loại
Vậy có ba số nguyên tố lẻ liên tiếp 3; 5;7
1.80. n=11
1.81. Theo đề ra: abc chia hết cho
( ) ( )
100 10 99 19
abc= a+ b c+ = a− b− c + a+ b+ c (a 19b 4c)
⇒ + +
( ) ( )
100 10 98 28 19
abc= a+ b c+ = a− b− c + a+ b+ c (a 19b 4c)
⇒ + +
1.82. a=6
Ta có: ( 1) 3.37 ( 1) 2.3 .37
2
n n
n aaa + a n n a
+ + + = ⇔ = ⇔ + =
Vì 6≤2.3.a≤54 nên để 2.3 .37a tích hai số tự nhiên liên tiếp 2.3.a=38 (loại) 2.3.a=36⇒ =a Khi n=36
Thử lại, ta có: 36 666+ + + = Vậy a=6
-
Chuyên đề 1.83. ƯC(48, 120, 150)= ƯC( 3)
2 3, 3.5, 2.3.5 = ƯC( ) {6 = 1; 2; 3; } BC(26, 78)= BC(2.13, 2.3.13)=B 78( ) {= 0; 78; 156; }={78k k∈}
1.84. Gọi d =(a b, )⇒a d b d ⇒(5a−4b d)
( ) ( ) ( ) ( )
5 4n 5n 20n 15 20n 11 d
⇔ + − + = + − + = 11
d
⇒ = (vì d ≠1)
(120)Vì ( )a b, =45 nên 45 , 45 a m b n = =
với (m n, )=1
Thay vào 7a=11 ,b ta có: 7.45m=11.45n⇔7m=11 n Vì ( )m n, =1 nên m=11 n=7
Vậy a=45.11=495 b=45.7=315
b) Vì [ ]a b, =300 [ ]a b, ( )a b, =ab⇒( )a b, =15 15 , 15 a m b n = ⇒ =
với (m n, )=1
Thay vào ab=4500, ta được: 152mn=4500⇒mn=20 Vì ( )m n, =1 nên ta có:
m 20
n 20
a 300 15 75 60
b 15 300 60 75
c) Gọi d ( )a b, a dm,
b dn
=
= ⇒
=
với (m n, )=1 Khi [ ],
ab
a b mnd
d
= =
Vì [ ]a b, =6( )a b, a+ =b 30 nên
( ) 6 30 30 mn mnd d
d m n md nd = = ⇒ + = + =
Vì ( )m n, =1 m n+ ∈Ư( )30 , nên ta có:
m
n
d 6
a 18 12
b 12 18
1.86. Gọi d ( )a b, a dm,
b dn
=
= ⇒
=
với (m n, )=1 Khi [ ],
ab
a b mnd
d = = Ta có: ( ) [ ] (( )) 48 48
, , 114 114
d m n
a b
a b a b d mn
+ = + = ⇔ + = + =
(121)• Nếu d =1 48 48:
3 114 113
m n m n
mn mn
+ = + =
⇒
+ = =
loại
• Nếu d =2 24 24:
3 57 56
m n m n
mn mn
+ = + =
⇒
+ = =
loại
• Nếu d =3 16 16:
3 38 37
m n m n
mn mn
+ = + =
⇒
+ = =
loại
• Nếu d =6 8
3 19
m n m n
mn mn + = + = ⇒ + = =
Vì ( )m n, =1 nên ta có:
m
n
a 36 12
b 18
1.87. đáp số
Gọi d ( )a b, a dm,
b dn
=
= ⇒
=
với (m n, )=1 Khi [ ],
ab
a b mnd
d
= =
Ta có: ƯCLN( )a b, + BCNN( )a b, =15⇔ +d mnd =15
( 1) 15
d mn d
⇔ + = ⇒ ∈Ư( ) {15 = 1; 3; 5; 15 }
• Nếu d =1 mn=14 Vì (m n, )=1 nên ta có:
m 14
n 14
a 14
b 14
• Nếu d =3 mn=4 Vì (m n, )=1 nên ta có:
m
n
a 12
b 12
• Nếu d =5 mn=2 Vì (m n, )=1 nên ta có:
m
n
a 10
(122)• Nếu d =15 mn=0 : loại
1.88. 65
Gọi số cho a Vì a chia cho 21 dư nên (a+19 21) ( )1
Vì a chia cho 12 dư nên (a+19 12) ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy ra: (a+19)[21,12] hay (a+19 84.) Vậy a chia cho 84 dư 84 19 65.− =
1.89. a∈{49; 133; 217; 301; 385 }
1.90 959
Gọi số cần tìm a (5≤ <a 1000 ) Theo đề ta có: a+1 chia hết cho 2; 3; 4; 5;6
1 60 ,
a k
⇒ + = với k∈
60
a k
⇒ = −
Vì a<1000 nên 60k− <1 1000⇒60k<1001⇒k lớn 16
⇒ Giá trị lớn a 60.16 1− =959
1.91. a) Gọi d =(a a, −b)⇒a d (a−b d) ⇒b d
( )a b d,
⇒ hay 1d ⇒ =d
b) Chứng minh tương tự câu a
1.92. a) Gọi d =(2n+1, 2n+3) (⇒ 2n+1)d (2n+3)d
(2n 3) (2n 1) d
⇒ + − + hay 2d ⇒ ∈d { }1; Mà 2n+1 số lẻ nên d lẻ Vậy d =1
b) Gọi ( ) ( )
( )
2
2 5,3
3
n d
d n n
n d + = + + ⇒ + ( ) ( )
3 2n 3n d d d
⇒ + − + ⇒ ⇒ =
1.93. Gọi (11 ,18 ) 11
18
a b d
d a b a b
a b d
+ = + + ⇒ + ( ) ( )
11 18a 5b 18 11a 2b d
(123)và 5 11( a+2b) (−2 18a+5b)d hay 19a d
(19 ,19a b d)
⇒ hay 19( )a b d, ⇒19d
Vậy d =1 d =19, tương ứng hai số 11a+2b 18a+5b nguyên tố có ước chung 19
1.94. Có cách chia lớp thành 2;3 tổ 1.95. 615 người
1.96. 239 học sinh
1.97 275
Gọi số học sinh trường tham quan a(200< <a 300 )
Theo đề ta có: Nếu thêm học sinh xếp vừa đủ 35 40 học sinh lên xe, tức a+5 chia hết cho 35 40
5
a
⇒ + ∈ BC(35, 40) (⇒ a+5 BCNN 35, 40) ( )
Ta có: BCNN 35, 40( )=BCNN 5.7, 5.8( )=5.7.8=280 Do đó: (a+5 280) hay a+ =5 280 ,k với k∈*
280
a k
⇒ = −
Vì 200< <a 300 nên 200<280k− <5 300⇔205<280k<305
1 k k
⇒ ≤ < ⇒ = Do a=275
1 98. (a b, 9.)= Đặt d =(a b, .)
Vì a b chia hết 9d ( )1
Ta có:
10
10
10 10
1111111110 9 10 10
9
a+ =b = − ⇒ a+ b= −
Mặt khác: 10b+ =a 9999999999 10= 10 −1
Suy ra: ( ) ( ) ( 10 ) ( 10 )
10b+a − 9a+9b = 10 − −1 10 −10
8 9
b a d
(124)Từ ( )1 ( )2 suy d =9
1.99. Vì a số phương khác nên a∈{1; 4; }
Vì 9b khơng số phương, với b nên a∈{ }1;
Mặt khác, ad số phương nên ad∈{16; 49}⇒ ∈d { }6; Vì cd số phương d∈{ }6; nên cd∈{16; 36; 49}
{1; 3; }
c
⇒ ∈
- Nếu a=1 d =6 ⇒ ∈c { }1; Khi abcd 16b 36,b nên abcd
2
4
x x6 Thử lại ta thấy 1936=442 thỏa mãn
- Nếu a=4 d = ⇒ =9 c Khi abcd =4 49b x32 x7 Thử lại ta thấy số thỏa mãn
Vậy chữ số cần tìm là: a=1,b=9,c=3,d =6
-
Chuyên đề nâng cao 1.100.a) Giả sử abab số phương, tức là:
101 n =abab= ab
=> ab101:vơ lí Vậy abab khơng số phương b) Giả sử abcabclà số phương, tức là:
n =abcabc
=>
1001 7.143 1001: n = abc= abc=>abc vơ lí
1.101 Ta có 20
2 2
A= + + + +
Nên 21
2A=2 +2 + + +2
=> 21
2A− =A −2
Do 21 21 10
4 2 (2 )
A+ = − + = = khơng số phương khơng phải số
phương
1.102 S =abc bca cab+ + =111a+111b+111c=3.37(a b c+ + )
Để S số phương
3.37 ( )
(125)Vậy S khơng số phương
1.103
2304=48
1.104 a) Khơng phải số phương số tạo thành chia hết cho không chia hết cho
b) Không phải số phương số tạo thành chia hết cho không chia
hết cho
1.105 a) Tổng chữa số A 903 nên A:3, hợp số
b) A chia hết cho không chia hết A khơng số phương (
Hoặc A có số gốc nên khơng phải số phương)
c) A khơng số phương nến số ước khơng thể lẻ Vì A khơng thể có
35 ước
1.106. Tổng chữ số số lập 15 chia hết cho không chia hết số lập số phương:
1.107 Vì n có hai chữ số nên 10≤ ≤n 99⇒21≤2n+ ≤1 199 Các số phương lẻ khoảng là: 25, 49, 81, 121, 169
2n+1 25 49 81 121 169
n 12 24 40 60 84
3n+1 37 73 121 181 253
Ta thấy có trường hợp 3n+1 =121 số phương Vậy n=40
1.108 20;45;80
1.109 Ta có
(10 ) (10 ) 9 9( ) ( )
ab ba− = a b+ − b a+ = a− b= a b− = a b−
=> Để ab ba− số phương a-b phải số phương Ta thấy 1≤ − ≤a b nên a b− ∈{ }1:
1 Nếu a b− =1 ab∈{21;32; 43;54; 65; 76;87;98}
Loại hợp số 21;32;54;65;76;87;98, lại 43 số nguyên tố
2 Nếu a b− =4 ab∈{51; 62; 73;84;95} Loại hợp số 51;62;84;95, lại 73 số nguyên tố
(126)1.110 a) Gọi tổng chữ số n số 2n k => ta có (n−k) 9 (2n−k) 9 ;
(2n k) (n k)
− −
− hay n9
b) Số phương phải tìm 5 ; 9 có ba chữ số nên có đáp số 225 900
1.111.
;
n =ab ba+ có đáp số 29; 38;47;56;65;74;83;92 1.112
50 50 50
50
11 00 11
11 A
C
= +
= chữ số tận số phương a+3 4;5;6;9
Tương ứng ta có
n 2134;3245;4356;7689
Chỉ có
4356=66 cịn trường hợp lại loại
1.113, Số 5n+4 tận Ta xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Số 5n+4 tận
(5n+4) tận Cần tìm số có dạng **6
là bình phương số tận Khơng có số thỏa mãn
2
74 =5476<6 **6<7056=84
Trường hợp 2: Số 5n+4 tận
(5n+4) tận Cần tìm số dạng 1**1 bình phương số tận
Ta thấy 2
29 =841 1**1< <2401=49 392 =1521
Vậy số cần tìm 1521
1.114 Ta có = +
50 ch÷ sè 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè
A 11 00 11
Đặt C=
50 ch÷ sè
11 B=2C
Suy A=C.1050+C
Do 50 50
.10 (10 1)
A B− =C + −C C=C −
Ta có 50
50
10 − =1 99 9=9C
Vậy 2
50
.9 (3 ) 99
A B− =C C= C = C = số phương
1.115 Giả sử 1995
(127)Tổng chữ số A bằng:
50
1 0 1995+ + + + + + + = số chia hết cho không chia hết A khơng số phương
1.116 Với n=1 1! 1= =
Với n=2 1! 2! 3+ = khơng số phương Với n=3 1! 2! 3! 9+ + = =32 số phương
Với n≥4 1! 2! + + +n! tận nên không số phương ( Thật
1! 2! 3! 4! 33+ + + = , 5! 6! + tận
Vậy n=1 hay n=3
-
Chuyên đề nâng cao 1.117 Xét 2014 có dạng 1,11,111,….,
2014sè1
11 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có
cùng số dư chia cho 2013 Giả sử hai số =
nsè1
a 11 1, =
k sè1
b 11 với n>k
Khi
−
− = k
n k sè1
a b 11 1.10 2013
Vì (2007,10 )k =1 nên số
−
=
n k sè1
c 11 chia hết cho 2013
1.118 Ta có
288=3
1 Chứng minh
3 P
Xét số a a a a1, 2, 3, 4,: Ta thấy tồn hai số có số dư chia cho 3, giả sử a1 a2 =>
1
(a −a ) 3
Lại xét a a a a2, 3, 4, 5trong số lại tồn số có số dư chia cho 3, giả sử a4 a5
=> (a4−a5) 3
Do P9 (1)
2 Chứng minh
2 P
Trong số cho có số tính chẵn lẻ
• Nếu có số chẵn, số lẻ, chẳng hạn : a1 =2k1, a2 =2k2, a3 =2k3, a4 =2k4+1,
2
(128)Khi đó: P=16(k1−k2)(k1−k3)(k2−k3)(k4−k5).M
Trong số k k k1, 2, có số tính chẵn lẻ, chẳng hạn k1 k2, (k1−k2) 2 Vậy P32
• Nếu có số lẻ, số chẵn chứng minh tương tự ta có P32
Vậy trường hợp ta có P32 (2)
Từ (1), (2) (9,32)=1 suy P9, 32 hay P288 (đpcm) 1.119 Viết n+1 số lấy dạng
1
1
1 1, 2 2, ,
n k
k k
n n
a b a b a + b
+ +
= = = trong b b1, 2, ,bn+1 số lẻ,
Ta có: 1≤b b1, 2, ,bn+1≤2n−1 Mặt khác khoảng từ đến 2n-1 có n số lẻ nên tồn hai số m, n cho bn =bm Khi đó, hai số an am có số bội số (đpcm)
1.120
1 Nếu a1=a2 = = a100 =2 ta chọn 50 số có tổng 100 Nếu a1≠a2 ta lập dãy sau
1, 2, 2, 99
a a a +a a +a + + + +a a a + +a ( số hạng có giá trị từ đến 199)
• Nếu tồn số hang dãy chia hết cho 100 số hạng 100
• Nếu khơng có số hạng chia hết cho 100 100 số chia cho 100 có
hai số hạng có số dư Hiệu chúng cho ta tổng cần tìm
1.121 Giả sử 69 số cho 1≤ +a1 a3 < +a1 a4 < < + a1 a69 ≤100 Khi a1≤32 Xét hai dãy sau:
1 3 69
1< +a a < +a a < < + a a ≤132(1)
3 69
1≤a −a <a −a < < a −a ≤132(2)
Từ (1) (2) ta có 134 số hạng có giá trị từ đến 132, suy có số số thuộc dãy, chẳng hạn: a1+am =an−a2 (với 3≤ < ≤m n 69)tức ta tìm số a a a a1; 2; n; m
với a1<a2 <ammà a1+a2+am =an(đpcm)
1.122 Giả sử 39 số tự nhiên liên tiếp a1<a2 < < a39
Trong 20 số hạng dãy có hai số tận có số (trong hai số
(129)( ) ( )
S N+ =i S N +i với i=1, 2, ,9 S N( +19)=S N( ) 10+ (kí hiệu S(a) tổng chữ số a)
Trong 11 số tự nhiên liên tiếp S N S N( ), ( ) 1, , ( ) 9, ( ) 10+ S N + S N + ln có số chia hết cho 11, chẳng hạn: S N( +m) 11 với m∈{1; 2; ;9;19}
Vậy N+m số thỏa mãn
1.123 Gọi 15 số tự nhiên xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : a a1, 2, ,a15
Xét dãy số: b1 =a2−a b1, 2 =a3−a1, ,b14 =a15 −a1 Các số hạng dãy số có giá trị từ đến 27 đôi khác
⇒Dãy số a a1, 2, ,a15; ,b b1 2, ,b14có 29 số hạng nhận 28 giá trị khác (từ đến
28) Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số nhau, chẳng hạn:
(1 14,1 15)
m n
b =a ≤ ≤m ≤ ≤n
Hay am+1− =a1 an ⇔am+1= +a1 an - Nếu n = am+1 =2a1
- Nếu n≠1thì số a a a1, n, m+1 phân biệt am+1= +a1 an
Vậy ta việc chọn số a a a1, n, m+1hoặc số a a1, m+1 thỏa mãn yêu cầu đề 1.124. Là tổng quát 1.123
1.125 Mỗi người số người có khả số người quen (từ đến 4) Ta xét hai trường hợp sau:
1 Nếu có người khơng quen số người cịn lại rõ ràng khơng có
quen người Như vậy, người mà có khả số người quen (từ đến 3) nên
theo nguyên lí Dirichlet có hai người có số người quen
2 Nếu người có người quen Khi người mà có khả
về số người quen (từ đến 4), theo ngun lí Dirichlet có hai người có số người quen
1.126 Là tốn tổng quát 1.125
1.127 Giả sử đội bóng đá A, B, C, D, E, F Xét đội A, Vì A phải đấu từ đến trận nên
theo nguyên lí Dirichlet ta suy Hoặc A đấu A chưa đấu với đội khác
Không tính tổng quát, giả sử A đấu với B, C, D
- Nếu B, C, D cặp chưa đấu với tốn chứng minh
(130)Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận
-
Chương II SỐ NGUYÊN Chuyên đề
2.1. a)
b) ' *
Z ∩N =N
2.2 Khẳng định: “Nếu a∈Z a∈Z*” sai Sửa lại là: “Nếu a∈Zthì a ∈Nhoặc “Nếu *
a∈Z a∈N*”
2.3 a) a = b) a∈∅ c) a =
Chú ý: − < − ⇔ >a b a b
2.4 a) – b) -1 c) – 9876543210 d) -1023456789
Chú ý: Với a∈N, a lớn –a nhỏ, a nhỏ –a lớn
2.5 Ta xét hai trường hợp:
- Nếu a≥0thì a =a, đó: a ≥a
- Nếu a<0thì a = − >a 0, đó: a > >0 a
Vậy a ≥a, với a∈Zvà a = ⇔ ≥a a 2.6.Ta xét hai trường hợp:
- Nếu x≥0thì x =x, nên từ x =asuy x=a
- Nếu x<0thì x = −x, nên từ x =asuy − =x ahay x= −a
Vậy x = ⇔ = ±a x a
Chú ý: Vì x ≥0nên a<0thì khơng tồn x thỏa mãn x =a
2.7.Ta xét trường hợp sau:
- Nếu
0
x a
≥ ≥
x x a a
=
=
(131)- Nếu 0 x a ≤ ≤ x x a a = − = −
Do đó: x = a ⇔ − = − ⇔ =x a x a
- Nếu
0 x a ≥ ≤ x x a a = = −
Do đó: x = a ⇔ = − ⇔ = −x a x a
- Nếu
0 x a ≤ ≥ x x a a = − =
Do đó: x = a ⇔ − = ⇔ = −x a x a
Vậy x = a ⇔ = ±x a
2.8 a) x + −23 = +17 ⇔ +x 23 17= ⇔ x = −6: vô nghiệm b) −5 x = −20 ⇔5.x =20⇔ x = ⇔ = ±4 x
2.9. a) x = −14 ⇔ x =14⇔ = ±x 14
Vì x>0 nên x=14
b) x = 23 ⇔ x =23⇔ = ±x 23
Vì x<0nên x= −23
2.10 a) x < − ⇔ ∈∅5 x ,vì x ≥0với x
b) 12 15 12 15
15 12 x x x ≤ <
≤ < ⇔
− < ≤ −
Vì x∈Znên x∈{12;13;14; 14; 13; 12− − − }
2.11 A={x∈ − < ≤ = − −Z x { 2; 1;0;1; 2;3; 4;5;6;7 }
{ { 6; 5; 4; 3;3; 4;5;6 }
B= x∈Z ≤ x < = − − − −
{ } { 6; 7; 8; }
C = x∈Z x > = ± ± ±
Do vậy: A∩ =B {3; 4;5;6 ,} B∩ = −C { 6;6 ,} C∩ =A { }6;7 2.12 a) Vì x ≥0 y ≥0nên x + y ≥0và
(132)b) x + y =2 Ta có trường hợp sau:
x
y
x ±2 ±1
y ±2 ±1
2.13. Ta có: x ≥ ⇒ + ≥0 x 7hay P≥7, với x∈Z
Vậy giá trị nhỏ P ( kí hiệu: Pmin =7) x=0
2.14 Ta có: x ≥ ⇒ − ≤ ⇒ − + ≤ +0 x x 9hay Q≤9, với x∈Z Vậy giá trị lớn Q (kí hiệu: Qmax =9)khi x=0
-
Chuyên đề 2.15. a) b) -2012
2.16. a) -50 b)
2.17. Vì x =20⇔ = ±x 20 y =12⇔ = ±y 12 nên ta có trường hợp sau: • x=20 y=12⇒ − =x y 20 12− =8
• x=20và y= − ⇒ − =12 x y 20 ( 12)− − =20 12+ =32 • x= −20 y=12⇒ − = − −x y 20 12= −32
• x= −20và y= − ⇒ − = − − −12 x y 20 ( 12)= − +20 12= −8 2.18. a) 16 b)
2.19 a) 37+ −( )5a = −20⇔37 5− a= −20⇔5a=37+20=57
a
⇒ =
b) 10≤ ≤n 99⇒21≤2n+ ≤1 199 ( )−a9 +45=26⇔a9=45 26− =19⇒ =a
2.20. a) x=0 b) x= −29
2.21. a) x 2 x 3 khơng có số x thỏa mãn
b) 5 x 29 x 29 24 khơng có số x thỏa mãn
(133)2.23 a) x1199
Ta có 1 5 x 600
1 3 5 7 x 2 x 600 (*)
2 600
Suy vế trái có 300 số hạng 2, tương ứng vế trái (*) có 300 dấu ngoặc [ ] Mặt khác, số dấu ngoặc [ ] x3 1:
x 300: x 299 x 1199
b) x4000
Ngoài cách giải câu a), ta giải sau
Vì x số tự nhiên chia hết giả sử x4n n Khi
x
2 4 2000
2 6 4n2 4 4n 2000
4n 2.n 4n.n 2000
2
n1000 Vậy x4 1000 4000
2.24 x 12 13; ; ;
Vì x nên x 3 Từ 9 x 11 x 9 10; + Nếu x 3 x x 12 x 6
+ Nếu x 3 10 x 10 x 13 x 7 Vậy x 12 13; ; ;
2.25 Ta có x x x
x x
1986 2012 1984 2010
1986 2012
2012 1986 2014 1988
Từ suy giá trị nguyên lớn x 2009 giá trị nguyên nhỏ x 2013
(134)2.26 Gọi S tổng 31 số nguyên cho
a) Chọn số Vì tổng số số nguyên âm nên số phải có số ngun âm, kí hiệu số a
Chia 30 số cịn lại thành 10 nhóm, nhóm có số Vì tổng số nhóm số âm
nên tổng tất 20 số (kí hiệu )b số âm
Vì S a b nên S số âm b) S số nguyên dương
* Kết thay số 31 số 32
2.27 Thật vậy:
Chọn số chia thành nhóm, nhóm số, từ chọn hai số âm a c, Tổng 30 số lại số âm b Vậy S a b c số âm
Tổng số bảng
2013 2013
1 2012 2013 2027091
2
số lẻ
Mỗi lần xóa hai số ,a b (giả sử ab) viết thay vào giá trị tuyệt đối hai số
a b a b làm tổng số bảng giảm a b a b 2b, số chẵn Do đó, tổng số cịn lại bảng số lẻ Lặp lại bảng lại số số số lẻ, số
-
Chuyên đề
2.28 a) 400 b) 500 c) 2012
2.29 a) 55 b) 810
2.30 a) M x 60 b) N x 26 c) P10
2.31 x y 100
2.32 a) Với x3, x 3 x x 3 x b) Với x 2 2, x x 1 x 2 x 1 c) Với 1 x 2, x 1 x x 1 x 2
(135)S a b c c b a a b S a b
S a b
Với a b 1, ta có S 1
2.34 a) a b c d a c a b c d a c b d b d
b) a b c d b c a b c d b c a d
2.35 Chứng tỏ P Q
2.36 Các số nguyên tố có giá trị tuyệt đối nhỏ 100 gồm 199 số
; ;; ; ; ; ;;
99 98 1 99
Suy số thứ tự số nguyên ; ; ; ;1 3 199 Chi tổng S cần tìm thành hai nhóm
• Nhóm số ngun từ 99 đến 99, có tổng
• Nhóm số thứ tự số nguyên có tổng
:
1 3 199 1 199 199 19900 Vậy S19900
2.37 a) x 31 b) x9 c) x 11
2.38 a) 7 x x 4 x 4 Vậy x 0 8;
b) 13 x 13 x x x c) x10 12 4 x 10 8 x
2.39 a) x 2 5 x 5 x x Vì x nên x 5; ; ;; ; ;1 3
b)
x x
x
x x
1
1
1
(136)Vậy x1 3; ; ; hay x*
b) 2 x x x x 2 x x x Vậy x2 4; ; ;
c) x 7 x x x 9
• x 7 x 0.x 16 khơng có giá trị x thỏa mãn
• x 7 x 9 x x 2x 2 x Vậy x 1
2.41 a)
x x
x y
y y
25 25
25
5
5
b)
x x x
x x y
x y y
x y
40 40 40
40 10
10 50
10
2.42 a) A1001 x 1001, với x Vậy Amax 1001 x 9 hay x 9 b) B y 34 34 , với x Vậy Bmin 34 y 2 hay y2
-
Chuyên đề 2.43 a) 1000000 b) 16733
2.44 a) A 5 b) B 36
2.45 a) Với a b 3;x y 17, ta có
axaybxbya xy b xy ab xy 17 3 51 b) a b 7;x y 18, ta ln có
x
axayb bya x y b xy x y a b 18 126
(137)2.47 a) x 37; b) x 8;
2.48 a) x x x x
2
2
1
1 49
49
Vì x20, với x nên x2 1 Từ khơng có x để x2 1 Ta có 49x2 0 x272 x
Vậy x 7; b) x 3;
2.49 a) x2 7 x x 2x 7 x2 x7 trái dấu Mặt khác, x 2 x nên suy x 2 x Khi
x x
x
x x
2
2
7
Vì x nên x3 6; ; ;
b) x213x217 0 x213 x217 trái dấu
Mặt khác, x2 13 x217 nên x2 13 x217 Khi
x x
x
x x
2
2
13 13
13 17
17 17
Vì x2 số phương nên x216 4 x Vậy x 4;
2.50 a) 6x 3 156x 3 152x 1
• 2x 1 x
• 2x 1 x Vậy x 3;
b) 7x 2 19 19 7x 2 19 17 7 x21 17 x
7
(138)2.51 a) x y 28
Có 12 trường hợp sau:
x 28 14 7 4 2 1 14 28 y 1 2 4 7 14 28 28 14 7 4 2 1
b) 2x1 4 y 2 422x1 2 y 1 21 Có trường hợp:
x
2 21 7 3 1 21
y
2 1 3 21 21 7 3 1
x 10 3 1 0 1 2 4 11 y 1 2 4 11 10 3 1 0
2.52 P x 12 3 y 35 35 , với ,x y
Vậy Pmax 35 x x
y y
2
1
3
3
2.53 Chọn số Vì tích số số âm nên số thừa số âm số lẻ, ln tồn số số âm, kì hiệu a
Chia 78 số lại (trừ số a) thành 13 nhóm, nhóm có số Vì tích số nhóm số âm nên tích tất 78 số số âm (vì tích 13 số âm), kí hiệu b
Vậy tích tất 79 số (là a b) số dương
2.54 a) xxy y x1y y x1y y 1
x y
1 1 10 Ta có trường hợp sau:
x1 10 5 2 1 10
y1 1 2 5 10 10 5 2 1
(139)y 2 3 6 11 9 4 1 0
b) xy2x3y 5 x y 2 3y 6
x y y
2 2 11
x y
3 2 11
Ta có trường hợp sau
x3 11 1 11
y2 1 11 11 1
x 8 14
y 1 9 13 3
-
Chuyên đề
2.55 BC12 30, B 60 60 120; ; ; 60k k|
2.56 ÖC60 45 105, , Ö 15 1 15; ; ;
2.57 a) 3n4 3 n19 số chẵn, hiệu 3n19 3n 4 23 nên hai số
n
3 3n19 có số chẵn, số lẻ
b) n2 n n n 1 số lẻ, n n 1 số chẵn
2.58 a) a 5; ; ; b) a 1 5; ; ; c) a 1; ; ;
2.59 a) Pa a 2 a a 5 7a1 7
b) Q a 2a 3 a 3a 2 2a số chẵn
(140)x
2 1 13 1 13
y4 1 13 13 1
x 6
y 5 17 9 3
b) x 1;y0 x0;y5
c) 5xy5x y 5x1y 1 tương tự câu b)
2.61 Vì 5x47y5x6y17 17y nên 5x47y bội 17 x6y
là bội 17
2.62 a) x 2 4; ; ; ; b) x 4; ; ;
2.63 a) x2 2 x22x 2x x x 2 2 x 2 6x2
x 2 Ö
Vậy x 1 4; ; ; ; ; ; ; b) x 3; ; ;
2.64 Đặt N a 1a 2 12
• Nếu a3k N3k1 3 k 2 12 N
3k1 3 k2 N
3 12
• Nếu a3k1 N 3 3k k 3 12 9 k k 1 12 N9 k k
9
12
• Nếu a3k2 N 3k1 3 k 4 12 N
3k1 3 k4 N
3 12
Vậy trường hợp N không bội b) Chứng minh tương tự câu a)
(141)Chuyên đề nâng cao
2.65 Ta có 2532 1 mod mod 31 25 400 1 31 hay 22000 1mod 31
Mặt khác, 22000.221 mod 31 hay 220024mod mod 3122002 4 0 31 hay
220024 31
2.66 Ta có 521mod mod 12 52 35 1 12 hay 570 1mod 12 (1)
mod mod
35
2
7 12 12 hay 750 1mod 12 (2)
Từ (1) (2) suy 5707502mod 12 Vậy 570750 chia cho 12 dư
2.67 + Ta có 35243 1 mod mod 11 35 4011 11 hay 32005 1mod 11 (1) Mặt khác, 451024 1 mod mod 11 45 4011 11 hay 42005 1mod 11 (2) Từ (1) (2) suy A chia cho 11 dư
+ Lại có 33 27 1 mod mod 13 33 6681 13 hay 32004 1mod 13
mod
320053 13
(3)
Mặt khác 4364 1mod mod 13 43 6681 13 hay 42004 1mod 13
mod
420054 13
(4)
Từ (3) (4) suy A chia cho 13 dư
2.68 Ta có hai trường hợp:
• Nếu x1mod 3 x21mod 3
• Nếu x2mod 3 x222mod 3 hay x21mod 3 Vậy ta ln có x2 1mod 3
2.70 Chứng minh tương tự 2.68
(142)mod mod
x21 y22
Điều khơng xảy y3 y20mod 3; cịn y3 y21mod 3 Vậy x3 Chứng minh tương tự ta có y3
2.71 Đặt
n
A192420032004 1920 Ta có 1244 31 Dễ thấy A chia hết cho Để chứng minh A chia hết cho 124, ta chứng minh A chia hết cho 31 Thật vậy, 1924 2 mod 31 1920 2mod 31 nên
mod
n
A220032004 2 31 (1)
Lại có 25 32 1 mod 31 Ta cần tìm số dư 20032004n chia cho Vì 2004 4n nên 2004n 4k20032004n 20034k
Vì 2003 3 mod mod 520034k 34k 81k 1 5
Vậy A20032004n 1mod 520032004n 5m1
Suy mod
n m
m
2004
2003 5
2 2 2 31
Thay vào (1) ta suy A0mod 31 hay A31
2.72 a) 1991 1 mod 10 nên 199119971mod 10;
mod 10 mod 10
2
1997 1997 hay 19972 1mod 10
Suy 199719961mod 1019911997199719960mod 10 Vậy 199119971997199610
b) Ta có: 292994 (1)
Mặt khác, 29512 12 mod 25 210 1024 1mod 25
mod 25
210 9 1
hay 290 1mod 252 290 9 1 12 mod 25 hay
mod 25
90
2 12
(143)Từ (1), (2) ƯCLN4 25; 1 suy 29299100
2.73 a) Ta có 2532 1mod 11
Vì 24n12 16 n mà 16 1 mod 5 nên 24n12mod 524n15k2 (với k
, k chẵn) Khi đó, 224n1 25k24 2. 5 k 4mod 11
mod 11
n
24 1
2 hay 224n1 7 11
b) Ta có n1mod n1, với n1
mod
k
n n
1 1 , với n1
Do nn1nn2 n2 1 1mod n1 (vế phải có n1 số 1)
mod
n n
n n n n
1 2 1 0 1
Vậy nn1nn2 n21n1(đpcm)
2.74 a) Ta có 5n226 n82n125 n26 n8 64 n Vì 645mod 59 nên 64n 5nmod 59
Do 5n226 n82n151 n8 nmod 59
mod 59
n n n n
5 226 5 82 159 5
mod 59
n n n
5 226 5 82 10
Vậy 5n226 n82n159
b) Ta có
168=2 3.7
Vì 32n+ =7 9n+ ≡ +7 mod 8( ) hay 32n+ ≡7 mod 8( ) (1)
( )
3 n
⇒ + Mặt khác
4 n =16 8n nên ( 2 )
4 n−3 n −7 8
Vì 42n ≡1 mod ; mod 3( ) ≡ ( )⇒42n − ≡7 mod 3( )
Do ( 2 )
4 n−3 n−7 3 (2)
Vì 42n−32n ≡0 mod ;3( ) 2n =9n ≡2 mod 7n( )
nên 42n−32n ≡0 mod 7( ) Do ( 2 )
4 n−3 n−7 7 (3)
Từ (1),(2),(3) (8.3.7) = nên ( 2 ) ( )
(144)2.75 Rõ ràng với n = n = (9n+1 100)
Với n≥2, ta xét hai trường hợp
( ) ( )
2 * k 81k mod10
n= k k∈ ⇒ + = + ≡
(9n 10) (9n 100)
⇒ + ⇒ +
( ) ( )
2 * 9n k 9.81k mod
n= k k∈ ⇒ + = + + = + ≡
(9n 1) (9n 100)
⇒ + ⇒ +
Vậy (9n +1 100) , với n∈
2.76 a) Ta có
2 n+ +3 n+ =16.8n+3.9n
Vì 16≡ −3 mod19( )⇒16.8n ≡ −3.8 mod19n( )
nên (16.8n+3.9n)19⇔ −( )3 8n+3.9n ≡0 mod19( )
( ) ( )
9n 8n mod19 9n mod19n
⇔ − ≡ ⇔ ≡
0 n
⇒ = , trái lại, từ 9n ≡8 mod19n( )⇒ ≡9 mod19( ): vô lý! Vậy n =
b) Ta xét trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu n=3k(với k∈N) n.2 3n ⇒n.2n+1
Trường hợp 2: Nếu n=3k+1(với k∈N)
3 3
.2n (3 1).2k k 2k 2k 2.8k
n + ⇒ k+ + + = k + + + = k + + +
Do đó:n.2n+1 3 ⇔(2.8k+1) 3
Vì 8≡ −1(mod 3)⇔8k ≡ −( 1) (mod 3)k
suy ra2.8k +1 3 ⇔2.( 1)− k + ≡1 0(mod 3)⇔kchẵn⇔ =k (m m∈N)
Do đó: n=6m+1với m∈N
Trường hợp 3: Nếu n=3k+2(với k∈N)
3 3
.2n (3 2).2 k 2k 2.2 k k 8k
n + = k+ + + = k + + + + = k + + + +
Do đó: ( ) ( )
.2n 8k n + ⇔ + +
Vì 8≡ −1(mod 3)nên 1
8k+ ≡ −( 1)k+(mod 3)
suy ra: ( )
8k+ +1 3 ⇔ −( 1)k+ + ≡1 0(mod 3)⇔ +k 1lẻ ⇔kchẵn⇔ =k (m m∈N)
Do đó: n=6m+2(với m∈N)
Vậy điều kiện cần tìm mlà m≡1(mod 6)hoặc m≡2(mod 6) 2.77
a) Vì 74 ≡01(mod100)nên ta tìm số dư chia 974cho4
Ta có: 1(mod 4)≡ nên
4
7
9 ≡1(mod 4)
Do đó: 74
9 =4k+1(k∈N)
4
7
9 4
7 k 7.(7 )k 7.01(mod100) 07(mod100)
A +
⇒ = = = ≡ ⇒ ≡
(145)b) Vì 10
29 ≡01(mod100)nên ta tìm số dư chia 2012
9 cho 10
Ta có: 9≡ −1(mod10)nên 2012 2012
9 ≡1(mod10)⇒9 ≡10k+1với k∈N
Do đó: 10 10
29 k 29.(29 )k 29.01(mod100)
B= + = ≡
Hay B≡29(mod100)
Vậy Bcó hai chữ số tận 29 2.78
1986
1978 C=
a) Vì 1978≡8(mod10)⇒19784 ≡6(mod10)
Mặt khác
1986 ≡0(mod 4)nên
1986 =4 (k k∈N)⇒ =C 1986 k ≡6(mod10)
Vậy chữ số tận C
b) VìC ≡8(mod10)nên C20 ≡76(mod100)⇒C20m ≡76(mod100)
Mặt khác 1986≡6(mod 20)⇒19868 ≡16(mod 20)
Do đó:
20 16 16 20 16
1986 20 16( )
1978 k 1978 (1978 )k 1986 76(mod100)
k k N
C +
= + ∈
⇒ = = ≡
Lại có:
( )
4
4 16
1978 22(mod100) 1978 56(mod100)
1978 56 (mod100)hay1978 96(mod100)
≡ − ⇒ ≡
⇒ ≡ ≡
Từ ta có: C≡96.76(mod100)⇒ ≡C 76(mod100)
(146)PHẦN HÌNH HỌC
Chuyên đề
1.1 (h.6) Có nhóm ba điểm thẳng hàng gồm: ba hàng ngang, ba hàng dọc hai hàng chéo
1.2 Xem hình 34
1.3 Gọi số điểm phải có để vẽ 36 đường thẳng x
Ta có x(x 1) 36
2
− =
Suy x(x 1)− =72=9.8
Vì x x 1− hai số tự nhiên liên tiếp nên x=9 Vậy số điểm lúc ban đầu 12.+ =
Số đường thẳng vẽ lúc ban đầu 12.11 66
2 =
1.4 a) Trong điểm phải có điều kiện khơng có ba điểm thẳng hàng
b) Trong số điểm phải có điều kiện điểm thẳng hàng (h.35) c) Phải có điều kiện có hai nhóm ba điểm thẳng hàng (h.36)
1.5 Số đường thẳng vẽ qua cặp điểm lúc ban đầu n(n 1)
−
Nếu bớt điểm số đường thẳng vẽ qua cặp điểm sau là: (n 1)(n 2)
2
− −
Theo đề ta có
[ ]
n(n 1) (n 1)(n 2)
0
2
(n 1) n (n 2) 20
(n 1).2 20
n 10
n 11
− − − − =
− − − =
− =
− = =
Vậy số điểm lúc đầu 11
Cách khác: Nếu bớt điểm qua điểm điểm số n 1− điểm lại bớt
đi đường thẳng Vì tổng số đường thẳng giảm 10 nên n 10− = hay n =11
1.6 Hướng dẫn: Áp dụng công thức n(n 1)
− để tính số giao điểm đường thẳng
Hình 35 D C A B
E
Hình 36 E
D C
B A
(147)Đáp số: 120 giao điểm
1.7 Gọi n số đường thẳng Ta có n(n 1) 190
− =
, suy n(n 1)− =380=20.19 Vậy n =20
1.8 Nếu 12 điểm cho khơng có điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ 12.11
66
2 = (đường thẳng)
Bây xét đến điểm thẳng hàng, qua chúng vẽ đường thẳng Nếu điểm
không thẳng hàng vẽ 4.3
2 = (đường thẳng)
Số đường thẳng giảm 5− = (đường thẳng)
Vậy vẽ tất 66 5− =61 (đường thẳng) 1.9 Số giao điểm là:
• (h.37)
• (h.38)
• (h.39)
• (h.40)
1.10 Hướng dẫn: Bạn vẽ đường thẳng cắt tạo thành cánh (h 41)
1.11 a) m n hai đường thẳng phân biệt ngồi điểm chung O, chúng khơng cịn điểm
chung khác (h.42)
b) m n hai đường thẳng trùng nên chúng điểm chung khác điểm O (h.43)
Hình 41 Hình 37
Hình 38
Hình 39
(148)Hình 43
1.12 (h.44)
• Vì điểm M nằm hai điểm
A B nên ba điểm M, A, B
thẳng hàng, điểm M nằm
trên đường thẳng AB Hình 44
• Vì điểm B nằm hai điểm M N nên ba điểm B, M, N thẳng hàng điểm B
nằm đường thẳng MN Hai đường thẳng AB MN có hai điểm chung B N
nên chúng trùng
1.13 Vẽ đường thẳng qua P Q cắt đường
thẳng a cắt đường thẳng b M Khi ba điểm M, P, Q thẳng hàng (h.45)
Hình 45
-
Chuyên đề 1.14 Trong hình 13 có tia, gồm:
- Ba tia gốc A Ax, Ay, Am;
- Ba tia gốc B Bx, By, Bn;
- Hai tia gốc O Om, On
1.15. Trong hình14 có 18 tia, gồm:
Bốn tia gốc C, bốn tia gốc D, bốn tia gốc E tia gốc O
1.16 (h.46)
Tại điểm A , A , , A1 2 n có tia
Do để hình có 100 tia n=100 : 4=25 (điểm) 1.17. (h.47)
a) Điểm O nằm hai điểm M N nên hai tia OM, ON đối (1)
Điểm E thuộc tia OM, điểm F thuộc tia ON nên tia OE trùng với tia OM; tia OF trùng với
tia ON (2)
m n
Hình 42
O
N B
M A
a b
O
P
M' Q M P
O m
n
Hình 46
An A2
(149)Từ (1) (2) suy hai tia OE OF đối
b) Vì hai tia OE OF đối nên gốc O nằm hai điểm E F
1.18 (h.48)
a) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia BA, BO
trùng (1)
Điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia BA, BC
đối (2)
Từ (1) (2) suy hai tia BO BC đối
b) Vì hai tia BO BC đối nên gốc B nằm hai điểm O C
1.19 (h.49)
a) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia
BA, BC đối (1)
Vì điểm C nằm hai điểm B D nên hai tia BC
và BD trùng (2)
Từ (1) (2) suy hai tia BA, BD đối
b) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia CA, CB trùng (3)
Vì điểm C nằm hai điểm B D nên hai tia CD, CB đối (4)
Từ (3) (4) suy hai tia CA, CD đối
Chuyên đề
1.20 (h.21) Đường thẳng xy tia Am cắt đoạn thẳng PQ
1.21 (h.50 a,b) Vẽ tất đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD CD
1.22 Ta có n.(n 1) 36 n.(n 1) 72 9.8
− = ⇒ − = =
Vì n n 1− hai số tự nhiên liên tiếp nên
n =9
1.23 (h.51) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên AB BC+ =AC Vì điểm C nằm hai điểm B D nên BC CD+ =BD
Mặt khác AC>BD nên AB BC+ >BC CD+ hay
AB>CD
1.24.(h.52) Vì điểm A nằm M B nên MA+AB=MB
(150)Suy MB AB= + (1) Vì điểm B nằm A N nên
AB BN+ =AN
Suy AN=AB 2+ (2)
Từ (1) (2) suy MB<AN
1.25 (h.53) Vì điểm M nằm A B nên AM+MB=AB Do AB= + =3 (cm)
Vì điểm B nằm A C nên AB BC+ =AC
Do AC= + =5 (cm)
1.26 (h.54) Vì M nằm A B nên
MA+MB=AB=7cm
Mặt khácMA−MB=3cm
nên MA=(7+3) : 2=5(cm)
MB= − =7 (cm)
1.27 Xét ba trường hợp:
• Trường hợp M nằm A B (h.55)
Ta có
AM MB AB
2MB MB
3MB
MB (cm)
+ =
+ =
= =
• Trường hợp B nằm A M (h.56)
Ta có
AB BM AM
6 BM 2MB
BM (cm)
+ =
+ =
=
• Trường hợp điểm A nằm hai điểm B M Ta có BA + AM = BM
6 + 2BM = BM 6+ BM = (vơ lí)
Vậy trường hợp khơng xảy
Đáp số: MB = 2cm MB = 6cm
1.28 Ta có AC + CB = AB (vì + = 5) Vậy điểm C nằm hai điểm A B Do hai tia CA, CB đối
1.29 Điểm O gốc tia nên không nằm A B
* Xét trường hợp điểm A nằm O B (h 57)
Ta có OB = OA + AB = + = (cm) * Xét trường hợp điểm B nằm O A (h 58)
Ta có OB + BA = OA
⇒ OB = OA –BA = – = 2(cm)
1 2
3
Hình 53 M
A B C
7
Hình 54
A M B
6 Hình 55 B A M 6 Hình 56
A B M
2 4
x
Hình 57
O A B
2 4
x
(151)1.30 Điểm O gốc tia nên không nằm hai điểm M N
* Xét trường hợp M nằm O N (h 59) Ta có: ON = OM + MN = + = 8(cm)
* Xét trường hợp điểm N nằm hai điểm O M
Ta có: ON + NM = OM ON + = (vơ lí)
Vậy trường hợp khơng xảy
Do tốn có đáp số 8cm
1.31 (h 60)
* Trên tia Ox có OB < OC (3 < 5) nên điểm B nằm O C Ta có OB +BC = BC
Suy BC = OC – OB = – = 2(cm) Đo OA = BC (=2cm)
* Trên tia Ox có OA < OC (2 < 5) nên điểm A nằm O C Hình 60
Ta có: OA + AC = OC ⇒AC = OC – OA = – = (cm)
Do OB = AC (=3cm)
1.32 (h 61) Trên tia Ox có OM < ON (m < m +n) nên điểm M nằm hai điểm O N Do đó: OM + MN = ON
Suy MN = ON – OM = m + n – m = n Vậy OM > MN (vì m > n)
Hình 61
5 3
x
Hình 59
O M N
5 3
2 x
O A B C
m+n m
x
(152)Chuyên đề
1.33 (h 62) Vì điểm O nằm hai điểm A B nên AO + OB = AB (1)
Suy OB = AB – AO = AB -
2 AB = AB
Do OA = OB (= )
2 AB (2) Hình 62
Từ (1) (2) suy O trung điểm đoạn thẳng AB
Lưu ý: Bài toán cho ta dấu ấn nhận biết trung điểm đoạn thẳng
1.34 Trong điểm M, O, N thẳng hàng có điểm nằm hai điểm khác
* Giả sử M nằm O N, ta có:
OM + MN = ON ⇒MN = ON – OM = (vì OM = ON) Điều vơ lí MN > Vậy
trường hợp không xảy Do đó, điểm O nằm M N
Mặt khác OM = ON nên O trung điểm MN
1.35 (h.63)
* N trung điểm đoạn thẳng MO
* O trung điểm đoạn NP MQ Hình 63
* P trung điểm OQ
1.36 (h.64) Vì M trung điểm OA nên OM = 2( ) = cm
Vì N trung điểm OB nên ( )
3
ON = = cm Trên tia Ox có OM < ON (2 < 3)
nên điểm M nằm hai điểm O N Hình 64
Do OM + MN = ON ⇒ MN = ON – OM = – = 1(cm)
1.37 Ta có OP OQ+ ≠PQ(2 2+ ≠3) nên điểm O không nằm P Q O khơng phải
là trung điểm PQ
1.38 (h 65)
a) Vì M trung điểm OA nên 2( )
2 OA
OM =MA= = cm Trên tua Ox có OM < OB (2 < 6)
nên M nằm O B
Do OM + MB = OB Hình 65
Suy MB = OB – OM = – = 4(cm)
b) Trên tia Ox có OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm hai điểm O B
Do OA + AB = OB⇒ AB = OB – OA = – = 2(cm)
Trên tia BO có BA < BM (2< 4) nên điểm A nằm hai điểm B M
Mặt khác 1.4
2
BA= BM =
nên điểm A trung điểm MB
1.39 (h 66) Điểm M nằm A B nên AM + MB = AB
⇒ MB = AB – AM = – = (cm)
Trên tia BA có BN < BM (2 < 4)
O
A B
x M N O P Q y
6 4 x B A O M N 6 4 x B A O M 7
(153)nên điểm N nằm hai điểm B M (1)
Ta có BN + NM = BM ⇒ MN = BM – BN = – = (cm) Hình 66
Vậy BN = MN (=2cm) (2)
Từ (1) (2) suy N trung điểm đoạn thẳng MB
1.40 Vì M trung điểm OA nên OA = 2OM = 2cm
Vì N trung điểm OB nên OB = ON = 5cm
* Xét trường hợp M N thuộc tia gốc O (h 67) Khi A B thuộc tia gốc O
Vì OA < OB (2 < 5) nên điểm A nằm hai điểm O B Hình 67
Suy OA + AB = OB⇒ AB = OB – OA = – = (cm)
* Xét trường hợp M N thuộc hai tia đối gốc O (h 68) Điểm A điểm B nằm hai tia đối gốc O
nên điểm O nằm A B
⇒AB = AO + OB = + = (cm) Hình 68
1.41 (h 69) Vì M1là trung điểm AB nên ( ) 10 2 2 AB
M B= = = cm
Vì M2 trung điểm M1B nên ( )
9 2 2 M B
M B= = = cm ………
Vì M10là trung điểm đoạn thẳng M9B nên
( ) 10 2 M B
M B= = = cm Hình 69
Trên tia BA có ( 9)
10 1
BM <BM < nên điểm M10 nằm hai điểm B M1
Do ( )
10 10 1 10 1 10 511
BM +M M =BM ⇒M M =BM −BM = − = cm
2,5 1
x y
O M A N B
2,5 ?
1
x y
M O
A N B
A B
(154)Chuyên đề nâng cao 1.42 (h 70) Điểm M trung điểm AB nên AM = MB
2 AB
a = Điểm N nằm hai điểm A B nên AN + NB = AB = 2a
Vì AN < AM nên 2AN < 2a, AN < a
Trên tia AB có AN < AM nên điểm N nằm hai điểm Hình 70
A M (dấu hiệu 3)
Trên tia AB có AN < AM < AB nên điểm M nằm hai điểm N B (dấu hiệu 4)
1.43 (h.71) Điểm O trung điểm AB nên O nằm A B Trên tia AB có
AM < AO
2 AB
= nên điểm M nằm hai điểm A O
Trên tia BA có BN < BO
2 AB =
nên điểm N nằm hai điểm B O Hình 71
Suy điểm O nằm hai điểm M N (dấu hiệu 5) (1)
Ta có OM = OA – AM; ON = OB – BN Mặt khác OA = OB AM = BN nên OM = ON (2)
Từ (1) (2) suy O trung điểm MN
1.44 (h 72)
a) Điểm I nằm A B nên
AI + IB = AB ⇒ IB = AB – AI = – = 4(cm)
Trên tia BA có BK < BI (vì a < 4) nên điểm K nằm hai điểm B I Hình 72
Do BK + KI = BI ⇒ IK = BI – BK = – a (cm)
b) Ta có K nằm B I nên muốn K trung điểm BI phải có
( )
1
4
2
BK = BI ⇔ =a = cm
1.45 (h 73) Trên tia Ox có OA < OB (vì a < b) nên điểm A nằm hai điểm O B
Suy OA + AB = OB ⇒ AB = OB – OA = b – a Hình 73
Vì M trung điểm AB nên
2
AB b a BM = = − Ta có:
2
b a b b
− < <
Trên tia BO có BM < BO (vì
2
b a b b
− < < ) nên điểm M nằm hai
điểm B O Suy BM + MO = BO Do ( )
2 2
b b a
b a a b
OM =OB−BM = −b − = − − = +
1.46 (h 74) Điểm E nằm hai điểm A B nên AE + BE= AB = 6cm mà AE + BF = 7cm
nên BE < BF Trên tia BA có BE < BF nên điểm E nằm hai điểm B F Suy BE + FE = BF
Ta có: AE + BF = 7cm
Do đó: AE + (BE + FE) = 7cm AB + FE = 7cm
⇒ FE = – AB = – = (cm) Hình 74
1.47 (h 75)
• Trên tia Ox có OA < OB (1,5 < 3) nên điểm A nằm hai điểm O B
(155)Ta có OA + AB = AB ⇒ AB = OB – OA = – 1,5 = 1,5 (cm)
Vậy OA = AB (=1,5cm)
Suy A trung điểm OB
• Trên tia Ox có OB < OC ( < 4,5) nên điểm B nằm O C
Ta có: OB + BC = OC ⇒ BC = OC – OB = 4,5 – = 1,5 (cm)
Vậy AB = BC (1)
Trên tia Ox có OA < OB < OC (1,5 < 3< 4,5)
nên điểm B nằm hai điểm A C (dấu hiệu 4) (2)
Từ (1) (2) suy B trung điểm AC Hình 75
Tóm lại, hình có điểm A trung điểm OB; điểm B trung điểm AC
1.48 (h 76)
a) Hai tia OA, AB đối nên điểm A nằm hai điểm O B, OB = AO + AB = + = 6(cm)
Vì điểm M trung điểm AO nên OM = (cm) Hình 76
Vì N trung điểm OB nên ON = (cm)
Trên tia OB có OM < ON nên điểm M nằm hai điểm O N Suy OM + MN = ON Do MN = ON – OM = – = 2(cm)
Vậy OA = MN (=2cm)
b) Trên tia OB có OA < ON (2 < 3) nên điểm A nằm hai điểm O N
Suy OA + AN = ON ⇒ AN = ON – OA = – = (cm)
Vậy AN = OM (= 1cm)
1.49 (h 77)
a) Ta có E 4( )
3
A = AB= cm
Điểm F trung điểm AE nên AF = FE = :2 = 2(cm) Điểm E nằm hai điểm A B nên AE + BE = AB Suy BE = AB – AB = – = (cm)
Do BE = FE(=2cm) (1)
Trên tia AB có AF < AE < AB (2 < < 6) nên điểm E nằm F B (dấu hiệu 4) (2) Từ (1) (2) suy E trung điểm BF
b) Điểm F nằm hai điểm A E (vì F trung điểm AE) Suy hai tia FA FE đối (1)
Điểm O nằm hai điểm E F (vì O trung điểm FE)
Suy hai tia FO FE trùng (2) Hình 77
Từ (1) (2) suy hai tia FA, FO đối
Do điểm F nằm hai điểm A O dẫn tới OF, OA trùng (3) Lập luận tương tự có hai tia OE, OB trùng (4)
Mặt khác hai tia OF , OE đối (vì O trung điểm FE) (5)
Từ (3); (4); (5) suy hai tia OA, OB đối nhau, dẫn tới điểm O nằm hai điểm A B (6)
Ta có: OA = OF + AF (vì F nằm A O)
OA = + = (cm)
OB = OE + BE (vì E nằm B O)
1,5
4,5
3 x
C B
O
A
4
O M A N B
6
(156)OB = + = (cm) Do OA = OB (7)
Từ (6) (7) suy O trung điểm AB
1.50 (h 78) Vì O trung điểm AB nên OA = OB O nằm A B
Suy hai tia BO, BA trùng
Mặt khác hai tia BM, BA đối nên hai tia BO, BM đối nhau,
do điểm B nằm hai điểm O M Suy OM = OB + BM (1) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA, OB đối xứng Điểm B nằm hai điểm O M nên hai tia OM, OB trùng
Suy hai tia OA, OM đối Do điểm O nằm hai điểm A M
Vậy AO + OM = AM ⇒ OM = MA – AO (2)
Từ (1) (2) ta có 2OM = OB + BM + MA – AO
2OM = MA + MB (vì OA = OB) Hình 78
2 MA MB OM = +
Nhận xét:
1 Muốn chứng minh
2 MA MB
OM = + ta chứng tỏ 2OM = MA + MB
Muốn có 2OM ta tính OM, theo hai cách khác cộng lại Sau muốn OM ta
chia kết cho
2 Bài toán M nằm tia đối tia AB
1.51 Xét hai trường hợp:
* M nằm O B (h 79)
Ta có hai tia OM OB trùng (1)
Điểm O trung điểm AB nên OA = OB O nằm A B Suy hai tia OA, OB đối (2)
Từ (1) (2) suy hai tia OA, OM đối điểm O nằm hai điểm A M
Ta có AO + OM = AM ⇒ OM = MA – OA (3) Hình 79
Mặt khác: OM + MB = OM ⇒ OM = OB – MB (4)
Từ (3) (4) ta có 2MO = MA – AO + OB – MB
2MO = MA – MB (vì OA = OB) (5) * M nằm O A (h 80)
Cũng giải tương tự ta
2 MB MA
OM = − (6)
Từ (5) (6) suy
2 MA MB
OM = − Hình 80
Lưu ý: Nếu điểm M trùng với O kết
x M
B
A O
A
B O M
A
B O
(157)MỤC LỤC
PHẦN SỐ HỌC 1
Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN 1
Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN
Chuyên đề PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN 10
Chuyên đề TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG, HIỆU, TÍCH 18
Chuyên đề DẤU HIỆU CHIA HẾT 21
Chuyên đề 5. SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ 28
Chuyên đề 6.ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT 33
Chuyên đề nâng cao SỐCHÍNH PHƯƠNG 40
Chuyên đề nâng cao 2. NGUYÊN LÍ DIRICHLET 50
Chương II SỐ NGUYÊN 55
Chuyên đề 1. TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN 55
Chuyên đề 2. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC SỐ NGUYÊN 61
CHUYÊN ĐỀ 3. QUY TẮC DẤU NGOẶC VÀ QUY TẮC CHUYỂN VẾ 67
Chuyên đề 4. PHÉP NHÂN HAI SỐ NGUYÊN 73
Chuyên đề 5. BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN 78
Chuyên đề nâng cao.ĐỒNG DƯ 82
PHẦN HÌNH HỌC 89
Chương I ĐOẠN THẲNG .89
Chuyên đề 1.ĐIỂM ĐƯỜNG THẲNG 89
Chuyên đề TIA 93
Chuyên đề 3.ĐOẠN THA�NG 96
Chuyên đề TRUNG ĐIE�M CU�A ĐOẠN THA�NG 99
Chuyên đề nâng cao 102
CA�C DA�U HIE�̣U NHA�̣N BIE�TMO�̣T ĐIE�M NA�M GIƯ�A HAI ĐIE�M KHA�C 102
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ ….106
PHẦN SỐ HỌC 106
Chương I ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN 106
Chương II SỐ NGUYÊN 129