Các chuyên đề chọn lọc toán lớp 6, tập 1

trong quá trình tách c ấu tạo số. Tìm t ất cả các số tự nhiên khác 0, sao cho khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ s ố hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên 9 lần.. Tron[r]

 Tài liệu sưu tầm

CÁC CHUYÊN ĐỀ

CHỌN LỌC TOÁN TẬP 1

PHẦN SỐ HỌC

Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Tập hợp Tập hợp

- Tập hợp khái niệm Tốn học Để kí hiệu tập hợp, ta dung chữ

in hoa A, B, … cịn để viết tập hợp, ta sử dụng hai cách:

• Liệt kê phần tử tập hợp

• Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp

- Một tập hợp có phần tử, nhiều phần tử,vơ số phần tử khơng có

phần tử Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ Để minh họa tập hợp phần tử nó, người ta dùng biểu đồ Ven

- Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ta nói A tập hợp con B kí hiệu: A ⊂ B

- Hai tập hợp A B gọi phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B

ngược lại Kí hiệu: A = B - Một số tính chất:

• Với tập hợp A, ta có: ∅ ⊂ A A ⊂ A

• Nếu A ⊂ B B ⊂ A A = B

• Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C ( tính chất bắc cầu)

2 Tập hợp số tự nhiên

- Tập hợp số tự nhiên kí hiệu N N = {0; 1; 2; 3; 4;…}

Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu N* N* = {1; 2; 3; 4;…}

- Tia số tự nhiên:

Mỗi số tự nhiên biểu diễn điểm tia số Điểm biểu diễn số tự nhiên a tia số gọi điểm a

- Để ghi số tự nhiên hệ thập phân, ta dùng 10 chữ số là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

Trong hệ La Mã, ta dùng bảy kí hiệu: I, V, X, L, C, D, M với giá trị tương ứng hệ thập phân là: 1; 5; 10; 50; 100; 500; 1000

- Thứ tự tập hợp số tự nhiên: Với hai số tự nhiên a b bất kì, xảy ba khả sau: a < b; a = b; a > b.

Nếu a < b tia số tự nhiên, điểm a nằm bên trái điểm b

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng Viết tập hợp, tập hợp sử dụng kí hiệu ∈ ∉ ⊂, , Ví dụ 1: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 4; 5; 7; 9} B = {2; 3; 5; 6; 7}

a) Viết tập hợp C gồm phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B

b)Viết tập hợp D gồm phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A

c) Viết tập hợp E gồm phần tử thuộc hai tập hợp A B

d) Viết tập hợp G gồm phần tử thuộc tập hợp A thuộc tập hợp B

Giải

a) Ta thấy phần tử ∈ A mà ∉ B, ∈ C Tương tự, ta có: 4; ∈ C Vậy C = {1; 4; 9}

b) Làm tương tự câu a), ta có: D = {3; 6}

c) Ta thấy phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B nên ∈ E Tương tự, ta có: 5; ∈ E Vậy E = {2; 5; 7}

d) Ta thấy phần tử ∈ A nên 1∈ G; ∈ B nên ∈ G; … Vậy G = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9}

Nhận xét:

Tập hợp C gồm phần tử thuộc tập hợp A, trừ phần tử A mà thuộc B Trên biểu đồ Ven, tập hợp C có minh họa miền gạch chéo Kí hiệu: C = A \ B (đọc C

Tương tự, tập hợp D có minh họa miền chấm D = B \ A (đọc là: D hiệu B A)

Tập hợp E gồm phần tử chung hai tập hợp A B Trên biểu đồ Ven, E có

minh họa miền kẻ carơ Kí hiệu: E = A ∩ B (đọc là: E giao A B)

Tập hợp G gồm phần tử thuộc A, thuộc B nên có minh họa hai

vịng kín Kí hiệu: G = A ∪ B (đọc là: G hợp A B)

Ví dụ 2. Cho tập hợp A = {a, b, c} Hỏi tập hợp A có tất tập hợp con?

Giải

Tập hợp A khơng có phần tử là: ∅

Các tập hợp A có phần tử là: {a}, {b}, {c} Cấc tập hợp A có hai phần tử: {a, b}, {b, c}, {c, a} Tập hợp A có ba phần tử là: {a, b, c}

Vậy A có tất tám tập hợp

Nhận xét:

Để tìm tập hợp tập hợp có n phần tử (n ∈ N), ta tìm tập hợp có 0; 1; 2; 3; …; n phần tử tập hợp

Tập hợp A Các tập hợp A Số tập hợp A

∅ (n = 0)

∅

{a}

(n = 1)

∅; {a}

2 =

{a, b}

(n = 2)

∅; {a}; {b}; {a, b}

4 = 2.2

{a, b, c}

(n =

∅; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {b, c}; {c, a}; {a, b, c}

8 = 2.2.2

…

Từ ta rút kết luận sau:

- Tập hợp có n phần tử (n≥1)thì có

ơ

2.2 n thua s

tập hợp

Dạng 2: Tính số phần tử tập hợp

Ví dụ 3. Cho A tập hợp số tự nhiên lẻ có ba chữ số Hỏi A có phần tử?

Giải

Khi liệt kê phần tử tập hợp A theo giá trị tăng dần ta dãy số cách có

khoảng cách 2:

101; 103; 105; …; 999

Từ đó, số phần tử tập hợp A số số hạng dãy số cách đều: (999 – 101):2 + = 898:2 + = 450

Vậy tập hợp A có 450 phần tử

Ví dụ 4. Cho A tập hợp số tự nhiên lẻ lớn không lớn 79 a) Viết tập hợp A cách tính chất đặc trưng phần tử

b) Giả sử phần tử A viết theo giá trị tăng dần Tìm phần tử thứ 12 A

Giải

a) Số tự nhiên n lớn không lớn 79 số thỏa mãn điều kiện: < n ≤ 79 Vậy ta có: A = {n ∈ N| n lẻ < n ≤ 79}

b) Khi giá trị n tăng dần giá trị phần tử A tạo thành dãy số cách tăng dần (bắt đầu từ số 7, khoảng cách hai số lien tiếp 2) Giả sử phần tử thứ 12 A x ta có:

(x – 7): + = 12

⇒ (x – 7): = 11 ⇒ (x – 7) = 11.2 = 22 ⇒ x = 22 + = 29 Vậy phần tử thứ 12 cần tìm A 29

Nhận xét:

Số phần tử tập hợp A là: (79 – 7): + = 37 nên A có phần tử thứ mười hai

Ở câu b), ta viết tập hợp A dạng liệt kê phần tử phần tử thứ mười hai

tử cần tìm Vậy với cách làm này, tốn u cầu tìm phần tử vị trí lớn khó khăn

Dạng Đếm số chữ số

Ví dụ 5 Cần số để đánh số trang (bắt đầu từ trang 1) sách có 1031 trang?

Giải

Ta chia số trang sách thành nhóm:

- Nhóm số có chữ số (từ trang đến trang 9): Số chữ số cần dùng - Nhóm số có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99): Số trang sách là: (99 – 10) : + = 90 số Số chữ số cần dùng 90.2 = 180

- Nhóm sốc số có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999): Số trang sách là: (999-100):1+1 = 900 Số chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm là: 900.3 = 2700

- Nhóm số có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 1031): Số trang sách là: (1031 – 1000) : + = 32 Số chữ số cần dung là: 32.4 = 128

Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang sách là:

+ 180 + 2700 + 128 = 3017

Nhận xét:

Việc chia số trang thành nhóm giúp dễ dàng tính số chữ số cần dùng

trong nhóm, từ tính tổng số chữ số cần dùng Một câu hỏi ngược lại là: Nếu ta

biết số chữ số cần dùng để đánh số trang sáchthì ta tìm số trang sách hay khơng? Ta có bài tốn ngược của ví dụ

Ví dụ 6. Tính số trang sách sách biết để đánh số trang sách (bắt đầu từ trang 1) cần dung 3897 chữ số

Giải

Để đánh số trang có chữ số (từ trang đến trang 9), cần chữ số

Để đánh số trang có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99, gồm 90 trang), cần 90.2 = 180 chữ số

Để đánh số trang có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999, gồm 900 trang), cần 900.3 = 2700 chữ số

Vì để đánh tất số trang có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 9999, gồm 9000 trang), cần 9000.4 = 36000 chữ số (vượt 1008 chữ số), nên số trang sách số có bốn chữ số

Giả sử sách có n trang mà số trang có bón chữ số Số chữ số cần dùng để đánh n trang 4.n Ta có: 4.n = 1008, suy n = 1008 : = 252 Vì trang trang 1000 nên trang cuối 252 + 999 = 1251

Vậy sách có 1251 trang Nhận xét:

Trong cách giải trên, ta xét nhóm số trang có chữ số, hai chữ số, … dùng hết chữ số mà cho Vậy làm để biết số trang sách có chữ số?

Sau số gợi ý:

Số chữ số dùng để đánh số trang Số trang sách (n)

Từ đến 99 (kí hiệu: 1→9) n≤9

10→189 10≤ ≤n 99

190→2889 100≤ ≤n 999

2890→38889 1000≤ ≤n 9999

38889→488889 10000≤ ≤n 99999

…

Với gợi ý trên, từ quy luật phạm vi số chữ số cho ta suy phạm vi số

trang sách Chẳng hạn, số chữ số cho 16789432, nằm phạm vi từ

5888890 đến 68888889, số trang cuối sách số có bảy chữ số

Dạng Các toán cầu tạo số

Ví dụ Tìm số có hai chữ số biết viết thêm chữ số vào hai chữ số số số gấp lần số cho

Giải

Gọi số có hai chữ số cần tìm ab (0< ≤a 9; 0≤ ≤b 9)

Khi viết thêm chữ số vào hai chữ số ta số a b0 Theo ra, ta có:

0

100 7.(10 ) 100 70

30 a b ab

a b a b

a b a b

a b a b =

+ = + + = +

Vì a, b chữ số a≠0 nên suy a = 1; b = Vậy số cần tìm 15

Nhận xét:

Trong ví dụ ta sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo chữ số hệ

thập phân Sauk tìm mối quan hệ chữ số, ta xác định cụ thể chữ

số

Ví dụ Tím số có ba chữ số biết viết thêm chữ số vào trước số số gâó lần số ban đầu

Giải

Gọi số có ba chữ số cần tìm x=abc (0< ≤a 9; 0≤ ≤b 9) Khi viết thêm số trước số x ta số 1abc Theo ra, ta có: 1abc=9.abc

1000+abc=9.abc hay 1000 + x = 9.x 1000 = 8.x

Suy ra: x = 1000 : = 125

Vậy số cần tìm 125 Nhận xét:

Ở ví dụ ta khơng tách cấu tạo số cần tìm theo chữ số mà tách theo cụm chữ số

Ta thấy số viết thêm không làm thay đổi cụm chữ số abc nên ta giữ nguyên cụm chữ số

trong trình tách cấu tạo số

Ví dụ Tìm tất số tự nhiên khác 0, cho viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số gấp lên lần

(Đề thi HSG tỉnh Yên Bái, 2005)

Nhận xét:

Ta chưa biết số phải tìm có chữ số, từ đề ta thấy có hai chữ số Từ ta gọi phận số đứng trước chữ số hàng chục x (x 0), sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo chữ số cụm chữ số, ta có lời giải sau:

Giải

Khi viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số

0 xa b

Theo đề bài, ta có:

0

1000 100 9.(100 10 ) 1000 100 900 90

100 10 50 5

xa b xab

x a b x a b

x a b x a b

x a b

x a b

=

+ + = + +

+ + = + + + =

+ =

Vì b≤9 nên 4.b≤4.9=36, đó: 50.x+5.a≤36⇒ =x Khi số cần tìm ab, với 5.a = 4.b

Vì a ≠0 a, b chữ số nên ta có a = 4 Từ suy b = Vậy số cần tìm 45

III BÀI TẬP

1.1 Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4} Trong cách viết sau, cách viết đúng? Cách viết sai? Nếu sai, sửa lại cho

{ } { }

) ) ) ) 2;3

a ∈A b ∈A c ⊂ A d ⊂A

1.2 Cho hai tập hợp: A = {2;3; 7;8}, B = {1;3;5; 7;9} a) Mỗi tập hợp có phần tử?

b) Viết tất tập hợp vừa tập A , vừa tập B

1.3 Viết tập hợp sau cho biết tập hợp có phần tử? a) Tập hợp A số tự nhiên x mà 15 – x = 7;

b) Tập hợp B số tự nhiên y mà 19 – y – 21

1.4 Tính số phần tử tập hợp sau: a) A = {10;12;14; ;98}

b) B = {10;13;16;19; ; 70} 1.5 Cho dãy số 2;7;12;17;22;…

a) Nêu quy luật dãy số

b) Viết tập hợp B gồm số hạng liên tiếp dãy số đó, số hạng thứ năm c) Tính tổng 100 số hạng dãy số

1.6 Hãy viết lại tập hợp sau cách liệt kê phần tử: A = {x∈N; x lẻ 30 < x< 50 }

B = {x∈ ; x 5; x2;x<90}

1.7 Mẹ mua cho Hà sổ tay 256 trang Để tiện theo dõi Hà đánh số trang từ đến 256 Hỏi hà phải viết chữ số để đánh số trang hết sổ ta đó?

a) Hỏi chữ số đơn vị số 53; 328; 1587 đứng hang thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết hang thứ 427 chữ số nào?

1.9 Cho bốn chữ số a, b, c, d đôi khác khác Tập hợp số tự nhiên có

chữ số gồm bốn chữ số a, b, c, d có phần tử?

1.10 Có số tự nhiên có hai chữ số mà: a) Trong số có chữ số 5?

b) Trong số chữ số hàng chục bé chữ số hàng đơn vị?

c) Trong số chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị?

1.11 Với hai chữ số I, V viết số La mã (theo cách viết thông thường)? Số nhỏ số nào? Số lớn số nào?

1.12 Mỗi tập hợp sau có phần tử?

a) Tập hợp số có hai chữ số lập nên từ hai số khác

b) Tập hợp số có ba chữ số lập nên từ ba chữ số đôi khác

1.13 Tổng kết đợt thi đua lớp 6A có 45 bạn điểm 10 trở lên, 41 bạn từ điểm 10 trở lên, 15 bạn từ điểm 10 trở lên, bạn điểm 10 trở lên Biết khơng có đạt điểm 10, hỏi đợt thi đua lớp 6A có điểm 10?

1.14. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng đơn vị Nếu chuyển chữ số hàng đơn vị lên đầu số nhỏ số cho 2889 đơn vị

1.15. Hiệu hai số tự nhiên 57 Chữ số hàng đơn vị số bị trừ Nếu bỏ chữ số hàng đơn vị số bị trừ ta số trừ Tìm hai số

1.16. Tìm số có ba chữ số, biết viết chữ số theo thứ tự ngược lại số lớn số ban đầu 792 đơn vị

1.17. Cho số có hai chữ số Nếu viết thêm chữ số vào bên trái bên phải số ta số gấp 23 lần số cho Tìm số cho

1.18. Tìm số có năm chữ số biết viết chữ số đằng trước số số lớn gấp lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng sau chữ số

1.19. Một số gồm ba chữ số có tận chữ số 7, chuyển chữ số lên đầu số mà chia cho số cũ thương dư 21 Tìm số

1.20 (Đề thi HSG Hà Nội, 2005)

a) Có số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số hàng đơn vị 4?

b) Có số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn có chữ số hàng đơn vị chia hết

Chuyên đề PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Các tính chất phép cộng phép nhân • Tính chất gia hốn: a+ = +b b a; a.b=b.a

• Tính chất kết hợp: (a+b)+ = +c a (b c ; a.b c+ ) ( ) =a b.c( )

• Cộng với số 0: a+ = + =0 a a Nhân với số 1: a.1 1.a= =a

• Tính chất phân phối: a b c( + =) a.b a.c+

2 Điều kiện để thực phép trừ a−b a≥b

Tính chất phân phối phép nhân phép trừ:

( )

a b c− =a.b a.c−

3 Điều kiện để số a chia hết cho số b≠0 tồn số q cho: a=b.q 4 Phép chia có dư:

Chia số a cho số b≠0 ta có: a=b.q+r, số dư r thỏa mãn điều kiện 0≤ <r b.

∗ Nhận xét:

• r∈{0;1; 2; ; b ,− } suy có b khả số dư chia số cho b

• a−r b

• Nếu a c b c (a±b : c) =a : c b : c±

• Quan hệ chia hết có tính chất bắc cầu, tức a b b c a c.

5 Lũy thừa với số mũ tự nhiên a) Định nghĩa: n

a =a a .a (n thừa số a) (n∈∗) lũy thừa a; a gọi cơ số, n

gọi số mũ

Quy ước:

a =a; a =1 (với a≠0),

0 khơng có nghĩa

b) Một số tính chất

( )

m n m n

a a =a + m, n∈

m n m n

a : a =a − (m, n∈; m≥n)

• Lũy thừa lũy thừa: ( )m n m.n ( )

a =a m, n∈

• Lũy thừa tích: ( )n n n ( )

a.b =a b n∈

• Lũy thừa tầng: n ( )mn ( )

m

a =a m, n∈

c) Số phương là số viết dạng bình phương số tự nhiên

Ví dụ: 2 2

0=0 ; 1 ; 4= =2 ; 25=5 ; 121 11 ; = số phương

6 Thứ tự thực phép tính

• Thứ tự thực phép tính biểu thức khơng có dấu ngoặc:

Lũy thừa ⇒ Nhân, chia ⇒ Cộng, trừ

• Thứ tự thực phép tính biểu thức có dấu ngoặc: ( )⇒[ ]⇒{ }

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng Thực phép tính

Ví dụ 1. Thực phép tính sau cách hợp lí a) 12.53 53.172 53.84+ −

b) 35.13 35.17 65.75 65.45+ + −

c) ( 16) (2 13 11 9)

3.4.2 : 11.2 −16

Giải

a) Ta có: 12.53 53.172 53.84+ − =53.(12 172 84)+ −

53.100 5300

= =

b) 35.13 35.17 65.75 65.45+ + − =(35.13 35.17) (65.75 65.45)+ + − 35.(13 17) 65.(75 45) = + + −

35.30 65.30

= +

30.100 3000

= =

c) Ta có: ( 16) (2 16) (2 18)2 2( )18 2 36

3.4.2 = 3.2 = 3.2 =3 =3

( ) ( )11

13 11 13 13 22 36 35 36

11.2 −16 =11.2 − =11.2 −2 =11.2 −2

( )

35 35 35

2 11 2

= − = =

Suy ra: ( ) ( )

36 2

16 13 11

35

2

3.4.2 : 11.2 16

2

− = =

Nhận xét:

Trong câu a) câu b), ta sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng

và phép trừ để tính hợp lí Tuy nhiên, cơng thức thể tính chất viết lại là:

a.b a.c a.d+ − =a.(b c d)+ −

Quy tắc gọi quy tắc đặt thừa số chung.

Dạng So sánh Ví dụ 2. So sánh:

a) 2011.2013

2012

b)

(3 4)+ 2

3 +4

c) 300

2 200

3

Giải

a) Ta có: 2013=2012 1+ 2012=2011 1+

Suy ra: 2011.2013=2011.(2012 1)+ =2011.2012 2011+

2012 =2012.(2011 1)+ =2012.2011 2012+

Vì 2011<2012 nên

2011.2013<2012

b) Ta có: 2

(3 4)+ =7 =49 2

3 +4 = +9 16=25

Vậy 2

(3 4)+ >3 +4

Chú ý: Nói chung n n n

(a+b) ≠a +b

c) Ta có: 300 3.100 100 100

2 =2 =(2 ) =8 200 2.100 100 100

3 =3 =(3 ) =9

Vì 100 100

8 <9 nên 300 200

Nhận xét:

Khi so sánh hai lũy thừa, ta thường sử dụng quy tắc để biến đổi hai lũy thừa số số mũ sử dụng quy tắc:

• Nếu n<mthì n m

a <a (a>1; m, n∈)

• Nếu a<b n n

a <b (a, b∈; n∈∗)

Dạng Tìm số chưa biết

Ví dụ 3. Tìm x, biết: 165 (35 : x− +3).19 13=

Giải

Ta có: 165 (35 : x− +3).19 13= (35 : x+3).19 165 13= −

(35 : x+3).19 152= 35 : x+ =3 152 :19 35 : x+ =3 35 : x= −8

35 : x=5

x=35 :

x=7 Vậy x=7

Nhận xét:

Trong cách giải trên, ta thấy x nằm số trừ (35 : x+30).19, trước hết ta tìm số trừ cách lấy số bị trừ 165 trừ hiệu 13 Suy luận tương tự cho bước sau đến tìm x Ngồi ra, ta áp dụng tính chất phân phối để bỏ dấu ngoặc:

(35 : x+3).19=(35 : x).19 3.19+ =35.19 : x+57

665 : x 57

= +

Ví dụ 4. Tìm x, biết:

a)

(2x 1)+ =9.81

b) x x

Giải

a) Ta có:

9.81 9.9= =9

Do đó: 3

(2x 1)+ =9

2x 9+ =

2x= −9

2x=8

x=4 Vậy x=4

b) Vì x x x

5 + =5 =25.5 nên ta có: x x

5 +25.5 =650 x

(1 25).5+ =650 x

26.5 =650

x

5 =25=5

x=2 Vậy x=2 Nhận xét:

Để tìm x nằm lũy thừa thỏa mãn đẳng thức, ta biến đổi để đưa so sánh hai lũy thừa số (như câu a), số mũ (như câu b)

Ví dụ 5. Tìm số mũ n cho lũy thừa n

3 thỏa mãn điều kiện n

25<3 <250

Giải

Ta có: 3 n

3 = <9 25<27=3 ⇒3 ≤3 (1)

5 n

3 =243<250<729=3 ⇒3 ≤3 (2)

Từ (1) (2) suy ra: n

3 ≤3 ≤3

3≤ ≤n Vậy n∈{3; 4;5}

So sánh

3 = <9 25<27=3

3 lũy thừa nhỏ lớn 25 Vì

n

25<3 nên n

3 ≤3 Tương tự, so sánh 35 =243<250<729=36

3 lũy thừa lớn

nhất nhỏ 250 Vì n

3 <250 nên n

3 ≤3

Ví dụ 6. Chia số tự nhiên cho 60 ta số dư 31 Nếu đem chia số cho 12 thương 17 cịn dư Tìm số

Giải

Gọi số tự nhiên cần tìm a, thương chia a cho 60 q Theo đề ra, ta có: a=60.q 31+ Suy ra: a=125.q 12.2 7+ + =12.(5.q+ +2)

Tức a chia cho 12 thương 5.q+2 số dư Từ ta suy ra:

5.q+ =2 17 ⇒5.q=15⇒ =q

Vậy a=60.3 31+ =211

Nhận xét: Cơ sở cách giải 60 chia hết cho 12 Ta cần ý thêm số dư

không lớn số chia, từ a=12.(5q) 31+ khơng thể suy a chia cho 12 thương 5q dư 31

III BÀI TẬP 1.21. Tính hợp lí:

a) 28.(231 69) 72.(231 69)+ + +

b) 299 300 301 302+ − − + + − − + − − + +

1.22. Tính hợp lí: a)

6

4 12 11

4 120

10

8

+

−

b) 99 100

1 2+ + +2 +2 + + +2

c) 97 99

5 5+ + + +5 +5

1.23. Tính giá trị biểu thức:

3

2 b

P 3a b d

c

= − + với a=5; b=2; c=4; d=6

1.24. So sánh:

a)

243

3.27

b) 12

15

81 125

c) 12 11

78 −78 11 10

1.25. Cho 1999 2000

A= + + + + +1 3 +3 Chứng minh A chia hết cho 13

1.26. Tìm x∈, biết:

a) (4x+5) : 121:11− =4

b) x+ + + + =1600 (x số tự nhiên lẻ)

1.27. Tìm x∈, biết:

a)

(2x 1)+ =125 b)

(4x 1)− =25.9

1.28. Tìm x∈, biết:

a) x x

2 +2 + =144 b) 2x x

3 + =9 +

1.29. Tìm x∈, biết:

a)

(x 5)− =(x 5)− , (với x≥5) b) 15

x =x

1.30. Tìm số mũ x, biết lũy thừa 2x

5 − thỏa mãn điều kiện: 2x

100<5 − ≤5

1.31. Cho ba số 6; 7; Tìm tổng tất số khác viết ba số đó, chữ số dùng lần

1.32. Tích hai số 276 Nếu thêm 19 đơn vị vào số tích hai số 713 Tìm hai số

1.33. Hiệu hai số Nếu tăng số bị trừ lên lần, giữ nguyên số trừ hiệu chúng 54 Tìm hai số

1.34. Tìm hai số tự nhiên có thương 29 Nếu tăng số bị chia lên 325 đơn vị thương chúng 54

1.35. Trong phép chia số bị chia 59, số dư Tìm số chia thương

1.36. Tổng ba số 122 Nếu lấy số thứ chia cho số thứ hai lấy số thứ hai chia cho số thứ ba thương dư Tìm ba số

1.37. Khi chia số cho 48 số dư 41 Nếu chia số cho 16 thương thay đổi nào?

1.38. Tìm số bị chia số chia nhỏ để thương dư 45

1.39. Tổng hai số 38570 Chia số lớn cho số nhỏ ta thương cịn dư 922 Tìm hai số

Chuyên đề TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG, HIỆU, TÍCH

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

- Tính chất 1: Nếu a m b m (a+b) m, (a −b) m (a ≥b) - Tính chất 2: Nếu a m b m/ (a+b) m, (a/ −b) m (a/ ≥b)

- Tính chất 3: Nếu a m k.a m (k∈) - Tính chất 4: Nếu a m b m a.b m.n

Đặc biệt: Nếu a m n n

a m *

(n∈ )

* Mở rộng:

- Nếu a m b m (k.a+l.b) m (k, l ∈) - Nếu a m (a+b) m b m

- Nếu a m (a+b) m/ b m/ III MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng Chứng minh quan hệ chia hết

Ví dụ Xét xem tổng (hiệu) chia hết cho a) 400 144−

b) 80 25 48+ + c) 32 47 33+ +

Giải

a) Vì 400 8 144 8 nên (400 144) 8−  (tính chất 1) b) Vì 80 8 ; 48 8 25 8/ nên (80 25 48) 8+ + / (tính chất 2) c) Ta có: 32 47 33+ + =32 (47 33)+ +

Vì 32 8 (47 33) 8+  nên (32 47 33) 8+ +  (tính chất 1)

Nhận xét:

Một số sai lầm thường gặp câu c:

Nguyên nhân sai lầm vận dụng sai tính chất Tính chất khẳng định rằng: Nếu tổng có nhất số hạng khơng chia hết cho m (mọi số hạng khác chia hết cho m) tổng khơng chia hết cho m

Ví dụ 2. Chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho

Giải

Gọi ba số tự nhiên lien tiếp là: a; a 1; a+ +2 Ta có ba trường hợp sau:

• Nếu 3a  tốn giải

• Nếu a chia cho dư 1, tức là: a=3k+1 , a+2= 3k( +3 3)

• Nếu a chia cho dư 2, tức là: a=3k+2, a+ =1 (3k+3 ) Vậy ba số ; +1; +2a a a ln có số chia hết cho

Nhận xét:

Kết trường hợp tổng quát: Trong nsố tự nhiên liên tiếp ln có

số chia hết cho n

Ví dụ 3: Chứng tỏ tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho

Giải

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: ; 1; 2a a+ a+ Tổng ba số bằng: số chia

hết cho (tính chất 3)

Nhận xét:

Ta có kết tương tự phép nhân: Tích nsố tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Từ

tính chất ví dụ 2, ta có kết “mạnh hơn”: Tích nsố tự nhiên liên tiếp chia hết cho

!

n

(Trong đó: ! 1.2.3 ,n = n đọc ngiai thừa)

Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng: a) (ab ba− ) 9 (với a > b)

b) Nếu (ab+cd) 111 abcd 11.

Giải

a) Ta có: ab ba− =(10a+b) (− 10.b+a)=9.a−9.b=9.(a b− )

Mà 9.(a b− ) 9 (tính chất 3), nên ab ba− 9. b) Ta có: abcd =100.ab+cd =99.ab+(ab+cd)

Dạng Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết

Ví dụ 5: Cho A=12 15 36+ + +x, với x∈ Ν Tìm điều kiện x để:

a) 3A  b) A9

Giải

a) Vì 12 3; 15 3  36 3 nên để 3A  3x  b) Ta có: A=12 15 36+ + +x

Vì 12+15 = 27 9 36 9 nên để A9 x9

Ví dụ 6:Tìm số tự nhiên n để:

a) (n+3 3)  b) (7n+8 )  n c) (35 12− n) n (với n < 3)

Giải

a) Vì n  n nên để (n+3 )  n n Từ suy ra: n∈{ }1;

b) Vì n  n nên để (7n+8 )  n n Từ suy ra: n∈{1; 2; 4; } c) Vì 12 n  n nên để (35 12− n)  n 35 n Từ suy ra: n∈{1; 5; 7; 35 } Vì n < nên n=1 Vậy n =

Ví dụ 7:Tìm số tự nhiên n để: a) (n+8 ) ( n+3)

b) (7n+8 )  n (với n < 6)

c) (5n+2 2) ( − n) (với n < 5)

Giải

a) Vì (n+3 ) ( n+3) nên theo tính chất để (n+8 +3) ( n ) thì:

(n 8) (n 3) +3(n )

 + − + 

   hay  (n+3)

Suy ra: n+ ∈3 { }1;5 Vì Suy ra: n+ ≥3 3nênn+ = ⇒3 =2.n Vậy n =

b) Vì 3(n+4 ) ( n+4) nên theo tính chất để (16 3− n) ( +4 n ) thì:

(16n 3n) (3 n 3) +4(n )

 − + + 

   hay 28  (n+4)

Suy ra: n+ ∈4 {1; 2; 4; 7; 14; 28 } Vì Suy ra: 0≤ <n 6nên4≤ + <n 10 Từ ta có: n+4∈{ }4; hay n∈{ }0;

c) Vì 2( − n) (  2− n) nên(5n+2 2) ( − n) thì: 5( n+2 2) ( − n) Suy ra: 5 9( −2n) (+2 5n+ 2) 9 ( −2n) hay 49 9 ( −2n)

{ }

9 2n 1; 7; 49

⇒ − ∈ Vì 2− n≤9nên 2− n∈{ }1;

Chú ý:

Trong câu c, sau tìm n ta phải thử lại, từ 5 9( −2n) (+2 5n+ 2)  (9−2n) ta

suy 5( n+2 2) ( − n), nên chưa có (5n+2 2) ( − n)

III BÀI TẬP

1.41 Cho A = 2, 5, 7, 9, 13 + 78 Hỏi A có chia hết cho 3, cho 6, cho 9, cho 13 khơng? Vì

sao?

1.42 Chứng tỏ tổng bốn số tự nhiên liên tiếp số số không chia hết cho

1.43 Khi chia số số tự nhiên a cho 24 số dư 10 Hỏi số a có chia hết cho 2, cho

khơng? Vì sao?

1.44 Chứng tỏ số tự nhiên có ba chữ số giống chia hết cho 37 1.45 Chứng tỏ rằng:

a) 4+ +42 +43+ + 42012chia hết cho 21 b) 7+ +72 +73+ + 7101chia hết cho

c) 2+22 +23+ + 2100vừa chia hết cho 31, vừa chia hết cho

1.46 Chứng tỏ rằng:

a) Nếu (abc−deg 13) abcdeg 13. b) Nếu abc7 (2a+3b+c)7

1.47 Tìm chữ số a, biết rằng: 20 20 20 7.a a a 

1.48 Tìm số tự nhiên n cho: a) (n+12 .)  n

b) (15 4− n)  n (với n < 4)

c) (6n−9 )  n (với n ≥ 4)

1.49 Tìm số tự nhiên n cho:

a) (n+13 ) ( n−5) (với n > 5) b) (15 2− n) ( +1 n ) (với n ≤ 4) c) (6n+9 4) ( n−1) (với n ≥ 1)

1.50. Cho , a b∈ Ν Chứng tỏ 5a+3bvà 13a+8bcùng chia hết cho 2012 a b

cũng chia hết cho 2012

Chuyên đề DẤU HIỆU CHIA HẾT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

• 2a  a có chữ số tận 0; 2; 4; 6;

• a 5 a có chữ số tận 0;

• a 3 tổng chữ số a chia hết cho

• a 9 tổng chữ số a chia hết cho

2 Nâng cao

• a 4 (hoặc 25a  ) hai chữ số tận a tạo thành số

chia hết cho (hoặc 25)

• a 8 (hoặc 125a  ) ba chữ số tận a tạo thành số

chia hết cho (hoặc 125)

• a 11 tổng chữ số hàng lẻ a trừ tổng chữ số hàng chẵn a (hoặc ngược lại) chia hết cho 11

Ví dụ: Số 908347 11 , (9 8+ +4) (− + +0 7)=11 11.

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng Chứng minh quan hệ chia hết

Ví dụ 1 Chứng tỏ với số tự nhiên n ta có:

( 2013)( 2012)

2012 2013

n+ n+ 

Giải

Ta có 2012 số chẵn nên 2013

2012 số chẵn Tương tự, ta có 20132012 số lẻ

Từ đó: 2012 2012

2012 +2013 số lẻ

Ta có: (n+20122013) (+ n+20132012)=2n+(20122013+20132012)là số lẻ, 2n số

chẵn Suy hai số ( 2013)

2012

n+ (n+20132012)phải có số chẵn Do tích

chúng (n+20122013)(n+20132012)là số chẵn

Vậy ( 2013)( 2012)

2012 2013

n+ n+ 

Nhận xét:

Trong cách giải ta sử dụng tính chất: Nếu a+blà số lẻ hai số avà ,b

phải có số chẵn, số lẻ

Thật vậy, nếuavà ,b số chẵn số lẻ a+blà số chẵn: Trái với giả

thiết a+blà số lẻ

Ta chứng minh qua việc xét hai trường hợp: nchẵn nlẻ

Ví dụ 2 Chứng tỏ hiệu số tổng chữ số chia hết cho

Giải

Ký hiệus n( )là tổng chữ số tự nhiên n Bài toán trở thành: Chứng tỏ n−s n( )9 Thật vậy, giả sử n=a am m−1 a a1 (ncó m+1chữ số),

( ) m m

Ta có: n=am.10m +am−1.10m−1+ + a1.10+a0

1 1 1 1 0

so 9

99 m 99 9m ( m m )

m m so

a − a a a − a a

−

= + + + + + + + +

 

Vì 1 1

so 9

99 m 99 9m 9

m m so

a − a

−

= + + + 

  nên ta đặt .k (k∈ Ν)

Suy ra: n=9k+s n( )⇒ n −s n( )=9k9

Nhận xét:

Từ kết toán ta thấy nvà s n( )ln có số dư chia cho Ta

cũng có kết tương tự thay

Ví dụ 3. Hãy thay dấu phép toán cộng ( )+ trừ ( )− vào chỗ đánh dấu ( )* dãy tính sau để kết số chia hết cho 2:

10 * *8 * * * * * 3* *1

Giải

Bước 1: Thay tất dấu “*” dấu “+” ta được:

10 7+ + + + + + + + + =6 55 (là số lẻ)

Bước 1: Thay tất dấu “+” dấu “-”

Khi thay dấu “+” a+b dấu “-”, ta a−b Giá trị biểu thức giảm

(a+b) (− a b− )=2b (là số chẵn)

Do đó, sau lần thay dấu “+” dấu “-” kết giảm số chẵn nên kết tính ln số lẻ

Vậy khơng có cách thay để kết tính chia hết cho

Nhận xét:

Trong cách giải ta sử dụng phương pháp giả thiết tạm: Thay tất dấu “*” dấu “+”, thay dần dấu “+” dấu “-” Kết hợp với tính bất biến (Kết phép tính ln số lẻ), ta có lời giả tốn

Ta giải thích sau: Vì dãy tính có số lẻ nên khơng thể điền dấu “+” hay dấu “-” vào chỗ có dấu “*” để số chẵn

Ví dụ 4: Viết số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta số A Hỏi A có chia hết cho khơng? Vì sao?

Giải

Ta có: A=10111213 9899

Xét 90 số tự nhiên liến tiếp: 10,11,12, ,98,99

• Tổng chữ số hàng đơn vị: (0 9+ + + + + ) =45.9=405 Tổng chữ số A là: 450 405 855.+ =

Mà 855 9 nên 9.A 

Dạng 2.Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết, chia dư.

Ví dụ 5: Biết số tự nhiên n chia hết cho (n2 −n)5.Tìm chữ số tận n

Giải

Vì n2chia hết chữ số tận n số chẵn

Vì n2 − =n n n( −1 5) nên n5 (n−1 5) Do n có chữ số tận 0,5

n− có chữ số tận 0,5 Tức n có chữ số tận 0,5,1, Kết hợp hai kết suy ncó chữ số tận

Ví dụ 6: Tìm chữ số ,x y biết rằng:

a) 23 2; 5x y  b) 144xy 3

Giải

a) Vì 23 5x ychia hết cho nên y=0

Ta có: 23 50 9x  nên (2 + + + )  hay (10+)  ⇒ x = Vậy x=8; 0.y=

b) Vì 144xy 5 nên y∈{ }0;

• Nếu y=0 ta có 144 3x 

( ) ( ) { }

4 x hay x x 0; 3; 6;

⇒ + + + +  +  ⇒ ∈

• Nếu y=5 ta có 144 3x 

( ) ( ) { }

4 x hay 14 x x 1; 4;

⇒ + + + +  +  ⇒ ∈

Vậy có bẩy cặp số ( )x y, thỏa mãn:

x

y 0 0 5

Ví dụ 7: Tìm chữ số ,x y biết 3x ychia hết cho 2, cho chia cho dư

Vì 3x ychia hết cho nên y=0

Ta có: 30x chia hết cho dư 2+ + +x chi hết cho dư (xem ví dụ 2) hay x+5chia hết cho dư

10x x

⇒ + = ⇒ =

Vậy x=5; 0.y=

Ví dụ 8: Tìm chữ số a bbiết rằng:

a) 25 36a b  b) 378 72a b 

Giải

a) Vì 25acb 36 nên 25 4a b  Vì 25 4a b  nên 4b  ⇒ ∈b {0; 4; }

• Nếu b=0 ta có 25 20 9a 

( ) ( ) { }

a hay a 9 a 0;

⇒ + + + +  +  ⇒ ∈

• Nếu b=4 ta có 25 24 9a 

( ) ( )

a hay a 13 a

⇒ + + + +  +  ⇒ =

• Nếu b=8 ta có 25 28 9a 

( ) ( )

a hay a 17 a

⇒ + + + +  +  ⇒ =

Thử lại, ta có cặp số ( )a b; thỏa mãn:

a

b 0

b) Vì 378 72a b  nên 378 8a b 

• Vì 378 8a b  nên 78 8b  ⇒ b=4

• Vì 3784 9a  nên (a+ + + +3 4) hay  (a+22 9)  ⇒ =a Vậy a=5và b=4

Ví dụ 9: Tìm chữ số asao cho 76 23 11.a 

Giải

Vậy a=9

Nhận xét:

Để giải tốn tìm chữ số chưa biết số, biết số chia hết (hoặc chia dư) cho vài số cho trước, ta sử dụng dấu hiệu chia hết, ưu tiên dấu hiệu cho biết (hoặc 2, 3) chữ số tận (dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 8, 125)

III BÀI TẬP

1.51 Từ ba bốn chữ số 5, 6, 3, 0, ghép thành số có ba chữ số khác thỏa mãn

một điều kiện:

a) số lớn chia hết cho b) số nhỏ chia hết cho

c) số nhỏ chia hết cho d) số lớn chia hết cho

1.52 Dùng ba bốn số 5, 4, 3, viết tất số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho

cả ba số 2,

1.53 Chứng tỏ rằng:

a) 1033 +8 chia hết cho 18 b) 1010 +14 chia hết cho

1.54 Chứng tỏ với số tự nhiên n, tích (n+7)(n+8) chia hết cho

1.55 Chứng tỏ tích ba số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 48 1.56 Cho n∈ Ν* Chứng tỏ rằng:

a) (5n −1 4.)  b) (10n+18n−1 27.) 

1.57 Tìm số tự nhiên có năm chữ số, chữ số giống nhau, biết số chia cho dư

và chia hết cho

1.58 Tìm chữ số ,x y biết rằng:

a) 85x y chia hết cho 2; 3; b) 10xy5 45.

c) 26 5.x y  18

1.59 Tìm chữ số ,a b cho:

1.60 Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số biết số chia hết cho 4, số chia hết

cho 25

1.61 Tìm chữ số a để aaaaa96 chia hết cho

1.62 Tìm chữ số a để 1aaa1 chia hết cho 11

1.63 Biết 1978a+2012b 78a+10b chia hết cho 11 Chứng minh a b

cũng chia hết cho 11

1.64 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta số gồm các chữ số số viết theo thứ tự ngược lại

1.65. Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc cho: abc=n2−1 cba=(n−2)2, với

,

n∈ n>

(Đề thi HSG Vũng Tàu, 2009)

Chuyên đề SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Kiến thức

• Ước bội a b ⇔ a bội b⇔b ước a

• Tập hợp ước số tự nhiên a kí hiệu Ư( )a Tập hợp bội số tự nhiên a kí hiệu B( )a

Ví dụ Ư( ) {6 = 1; 2;3;6}, B( ) {6 = 0;6;12;18;}

• Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước

• Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước

• Phân tích số thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số

nguyên tố với số mũ Thơng thường, ước ngun tố viết theo thứ

tự từ nhỏ đến lớn Ví dụ 72=2 33

2 Nâng cao

• Để kiểm tra số a có số ngun tố hay khơng, ta chia a cho số nguyên tố 2;3; ; p, với p số nguyên tố lớn thỏa mãn p2 ≤a Nếu khơng có phép chia hết a số nguyên tố, trái lại a hợp số

Ví dụ Để xét số 103 có số nguyên tố hay không ta xác định số nguyên tố lớn thỏa mãn 72≤103 ( số nguyên tố 11 có 112 =121 103> ) Ta chia 103 cho 2;3;5;7 thấy khơng có phép chia hết Vậy 103 số nguyên tố

• Tập hợp số nguyên tố có vơ hạn phần tử Do vậy, khơng có số nguyên tố lớn

nhất

• Nếu số tự nhiên a phân tích thừa số nguyên tố được:

1

1

k

n n n

k

a= p p p , p p1, 2,,pk số nguyên tố khác nhau, số ước a (n1+1 ) (n2+1) ( nk +1)

• Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố

với số mũ chẵn Từ ta suy số phương có số ước số lẻ

• Nếu ,p q hai số nguyên tố mà a p a q a p q

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng Các toán ước bội

Ví dụ 1. Cho phép chia có số bị chia 200 số dư 13 Tìm số chia thương

Giải

Gọi số chia b, thương q Vì số dư ln nhỏ số chia nên b>13 Khi ta có phép chia: 200=b q +13

200 13 187

b q

⇒ = − =

b

⇒ ∈Ư( )187

Vì 187=11.17 b>13 nên b=17 b=187

− Nếu b=17 q=11 ta có phép chia 200=17.11 13+

− Nếu b=187 q=1 ta có phép chia 200=187.1 13+

Ví dụ 2. Biết số tự nhiên aaa có ba ước khác 1, tìm chữ số a

Giải

Ta có aaa=111.a=3.37.a

3;37;3.37

⇒ ước (khác 1) aaa

Để aaa có ba ước khác (như trên) a=1 Vậy số phải tìm 111

Nhận xét:

Một số có ba ước khác số ước ( tính thêm ước 1) Sử

dụng cơng thức tính số ước, số phân tích thừa số nguyên tố phải có dạng p3

p q, với p q số nguyên tố khác Vì aaa=111.a=3.37.a 3;37 số nguyên tố khác nên suy aaa có dạng a=1

Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên x cho 14 2( x+3)

Vì 2x+3 ước 14 nên 2x+ ∈3 {1; 2;7;14}

Vì 2x+3 số lẻ, lớn nên 2x+ =3 hay 2x= − =7

4 : 2

x

⇒ = = Vậy x=2

Nhận xét:

Khi giải toán ước bội, ta thường xét tính chẵn - lẻ phạm vi giá trị số Trong ví dụ trên, 2x+3 số lẻ, x≥0 nên 2x+ ≥3 Việc giúp số trường hợp tốn giảm đáng kể

Dạng Các tốn số ngun, hợp số

Ví dụ Tìm số nguyên tố p, cho p+2 p+4 số nguyên tố

Giải

− Nếu p=2 p+ =2 p+ =4 số nguyên tố

− Nếu p=3 p+ =2 p+ =4 số nguyên tố

− Nếu p>3 số ngun tố p có hai dạng: 3k+1, 3k+2 với *

k∈

+ Nếu p=3k+1 p+ =2 3k+ =3 3(k+1)

(p 3)

⇒ +  , mà p+ >2 nên p+2 hợp số

+ Nếu p=3k+2 p+ =4 3k+ =6 3(k+2)

(p 3)

⇒ +  , mà p+ >4 nên p+4 hợp số

Vậy có số nguyên tố p thỏa mãn p=3

Nhận xét:

Trong cách giải ta sử dụng tính chất sau đây: “Nếu a> >m a m a hợp số”

Đây tính chất thường dùng tốn số nguyên

Ví dụ 5. Cho p 2p+1 số nguyên tố (p>5) Hỏi 4p+1 số nguyên tố hay hợp số?

Do p số nguyên tố lớn nên p3⇒4p3 Do 2p+1 số nguyên tố lớn nên 2p+13

( )

2 2p

⇒ + 3 hay 4p+23

Mặt khác, ba số tự nhiên liên tiếp ;4p p+1; 4p+2 ln có số chia hết cho 3, 4p+1 3 Mà 4p+ >1 3, nên 4p+1 hợp số

Ví dụ 6. Tìm số ngun tố biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố khác

Giải

Gọi p số nguyên tố cần tìm p= + = −a b c d, với , ,a b c số nguyên tố,

c>d

Vì p= + >a b nên p số lẻ

a b

⇒ + c−d số lẻ

• Vì a+b số lẻ nên hai số ,a b số chẵn, giả sử b chẵn Vì b số ngun tố nên b=2

• Vì c−d số lẻ nên hai số ,c d số chẵn Vì ,c d số nguyên tố c>d nên dlà số chẵn ⇒ =d

Do p= +a = −c 2⇒ = +c a

Ta cần tìm số nguyên tố ađể p= +a c= +a số ngun tố Theo ví dụ 4,

ta cóa=3

Vậy số nguyên tố cần tìm 5, với = + = –

Dạng Các tốn phân tích số thừa số nguyên tố Ví dụ Phân tích số sau thừa số nguyên tố:

a) 2012

2001 b) 2.9.2012

Giải

a) Phân tích số 2001 thừa số nguyên tố ta được: 2001 = 3.23.29

Từ suy ra: 2012

2001 = (3.23.29)2012 = 2012 2012 2012

3 23 29

b) Phân tích số 2012 thừa số nguyên tố ta được: 2012 =

2 503 Từ suy ra: 2.9.2012 = 2.32.22.503 = 23.32.503

Ví dụ Tìm n∈N*biết: + + + … + (2n) = 756

Giải

Phân tích số 756 thành tích hai số tự nhiên liên tiếp:

756 =

2 = 27.28

Theo đề ra, ta có: n n( + =1) 27.28 ⇒ =n 27

Vậy n=27

Ví dụ Tìm số tự nhiên n cho p = ( )( )

2

n− n + −n số nguyên tố

Giải

Từ p = ( )( )

2

n− n + −n suy n−2

5

n + −n ước p

Vì p số nguyên tố nên n− =2

5 n + − =n Nếu n – = n =

Khi ( )

1 3

p= + − = số nguyên tố (thỏa mãn)

Nếu

5

n + − =n ⇔n2+ =n ⇔n n( + =1) 2.3 ⇒ =n Khi p=(2 0− ) = khơng số nguyên tố

Vậy n =

III BÀI TẬP

1.67 Tìm tập hợp số tự nhiên vừa bội 4, vừa ước 60

1.68 Tìm số tự nhiên x, y cho (2x−1)(y+ =3) 12

1.69 Chứng tỏ plà số nguyên tố lớn (p−1)(p+1) chia hết cho 24

(Đề HSG tỉnh Phú Thọ, 2004)

1.70 Tìm chữ số ađể 23a số nguyên tố

1.71 Tìm số tự nhiên nhỏ có 12 ước số

1.72 Chứng tỏ rằng: Nếu số tự nhiên có ba chữ số tận 104 số có ước số

1.73 Tìm hai số ngun tố có tổng 309

1.74 Tìm số nguyên tố p,sao cho p+4;p+8 số nguyên tố

(Đề HSG Hà Nội, 2008)

1.75 Tìm số nguyên tố p, cho p+6;p+8;p+12;p+14 số nguyên tố 1.76 Cho pvà p+4 số nguyên tố (p>3) Chứng tỏ rằng: p+8 hợp số

1.77 Số 2012

3 +3 +3 + + số nguyên tố hay hợp số

1.78 Hai số nguyên tố gọi sinh đôi nếu chúng hai số nguyên tố hai số lẻ liên tiếp

(chẳng hạn như: 5, 11 13,…) Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai

số ngun tố sinh đơi chia hết cho

1.79 Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số nguyên tố

1.80 Tìm n∈N*, biết: + + + +(2n+ =1) 144

1.81 Tìm số abc phân tích thừa số ngun tố có thừa số thừa số Chứng tỏ số a+19b+4c có tính chất

Chuyên đề ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Kiến thức

a) Ước chung ước chung lớn

• Ước chung hai hay nhiều số ước tất số

Tập hợp ước chung hai số avà b kí hiệu ƯC(a, b) xác định bởi: ƯC(a, b) = Ư(a) ∩Ư(b)

• Ước chung lớn a b số lớn tập hợp ước chung a b Kí hiệu ƯCLN(a, b) gọn (a, b)

Cách tìm ƯCLN số cho trước:

Bước Phân tích số thừa số nguyên tố

Bước Chọn thừa số nguyên tố chung

Bước Lập tích thừa số nguyên tố chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN cần tìm

• Chú ý:

+ Nếu a b ( )a b, =b

+ a b nguyên tố ⇔(a b; )=1

+ Ba số a, b, c gọi đôi nguyên tố ( ) ( ) ( )a b, = b c, = c a, =1

+ Muốn tìm ước chung số cho, ta tìm ước ƯCLN tất số

b) Bội chung bội chung nhỏ

• Bội chung hai hay nhiều số (khác 0) bội tất số

Tập hợp bội chung hia số a và b kí hiệu BC( )a b, xác định

( ), ( ) ( )

BC a b =B a ∩B b

• Bội chung nhỏ avà b số nhỏ khác tập hợp bội chung

avà b, kí hiệu BCNN a b( ); rút gọn [ ]a b,

Cách tìm BCNN số cho trước:

Bước Phân tích số thừa số nguyên tố

Bước Chọn thừa số nguyên tố chung riêng

Bước Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ lớn nó, tích BCNN phải tìm

• Chú ý:

+ Nếu a b với (a≠0) [ ]a b, =a + ( )a b, =1 [ ]a b, =a b

+ Muốn tìm bội chung số cho, ta tìm bội BCNN số

2 Nâng cao

• Nếu ab m (a m, )=1 b m

• Nếu a m a n a b m n [ ], đặc biệt a m a n mà (m n, )=1 a mn Tích hai số tích BCNN ƯCLN chúng: a b =( )a b, ,[ ]a b

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng Các tốn ước chung bội chung Ví dụ Tìm ƯC(28, 70); BC(4; 14)

Giải

+ Ta có Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}

Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}

Từ suy ƯC(28; 70) = Ư(28) ∩Ư(70) = {1; 2; 7; 14} + Ta có: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; }

B(14) = {0; 14; 28; 42; 56; }

Từ suy ra: BC(4, 14) = B(4) ∩ B(14) = {0; 28; 56; }

Nhận xét:

Dựa vào ý phần I, ta giải tốn theo cách khác sau đây:

+ Ta có:

28 ; 70 2.5.7= = ⇒ ƯCLN(28,70) = 2.7 = 14

Vậy ƯC(28,70) = Ư(ƯCLN(28,70)) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}

+ Ta có: = 22 14 = 2.7 ⇒ BCNN(4,14) = 22 = 28

Vậy BC(4,14) = B(BCNN(4,14)) = B(28) = {0; 28; 58; }

Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên a, biết 332 chia cho a dư 17, cịn chia 555 cho a dư 15

Giải:

Vì 332 chia cho a dư 17 nên 332 – 17 = 315  a a > 17 Vì 555 chia cho a dư 15 nên 555 – 15 = 540  a a > 15

⇒ a∈ƯC(315,540)và a > 17

Ta có: 315 = 32 5.7 540 = 22 33

⇒ ƯCLN(315,540) = 32

= 45

Do : a∈ ƯC(315, 540) = Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Vì a > 17 nên a = 45

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên nhỏ có bốn chữ số, biết chia số cho 18; 24 ; 30 có số dư 13; 19; 25

Giải:

Gọi số cần tìm a, 1000≤ ≤a 9999

Vì a chia cho 18 dư 13 nên ta có a = 18 q + 13 ⇒ a + = (18.q + 18)  18

Tương tự, ta có : a + chia hết cho 24 30

Do a + ∈ BC(18,24, 30) ⇒ (a + 5)  BCNN(18, 24, 30) Ta có: BCNN(18, 24, 30) = BCNN(2.32, 23.3, 2.3.5) = 23 32.5 = 360

⇒ a +  360 hay a + = 360.k với k ∈N* ⇒ a = 360.k –

Ta thấy k lớn a lớn,vì để a số nhỏ k phải nhỏ Với k =1 a = 355 < 1000: không thỏa mãn

Với k =2 a = 715 < 1000: khơng thỏa mãn Với k = a = 1075 < 1000: thỏa mãn Vậy số cần tìm 1075

Nhận xét: Ta dùng cách suy luận khác sau: Vì 1000≤ ≤a 9999 nên ta có 1000 ≤360.k− ≤5 9999

Cộng ba số với ta được: 10005≤360.k ≤10004

Chia ba số cho 360, ta được: 1005 10004 67 2501

360 ≤ ≤k 360 ⇔ 24 ≤ ≤k 90

Vì k∈N* nên 3≤ ≤k 27

Vậy giá trị nhỏ k Tương ứng cho giá trị nhỏ a 1075 Ngoài ra, giá trị lớn k 27 Tương ứng cho giá trị nhỏ a 360 27 – = 9715

Ví dụ 4: Tìm hai số tự nhiên a, b biết a + b = 128 (a, b) = 16

Giải:

Vì a + b = 128 nên 16m + 16 n = 128 ⇒ + =m n

Vì (m, n) = m + n = nên ta có bốn trường hợp sau:

• m = n = ⇒a = 16 = 16 b = 16 = 112

• m = n = ⇒a = 16 = 48 b = 16 = 80

• m=5 n=3 ⇒ =a 16.5=80 b=16.3=48

• m=7 n=1 ⇒ =a 16.7=112 b=16.1 16= Vậy toán có đáp số là:

a 16 48 80 112

b 112 80 48 16

Nhận xét:

Trong ví dụ ta thấy rằng: tốn có đáp số a=48; b=80 có đáp số a=80; b=48 Điều có vai trị a b đề

nhau Với toán vậy, ta thường giửa sử a≤b để làm giảm số trường

hợp phải xét Khi giải xong ta cần đổi vai trị a b để có đáp số cịn lại

Ví dụ 5.Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng: ( )a b, =6 [ ]a b, =36

Giải

Vì vai trị a b nhau, nên khơng tính tổng qt, ta giẩ sử a≤b Áp dụng công thức: a b =[ ]a b, ( )a b, , ta có: a b=36.6=216

Vì ( )a b, =6 nên a=6.m b=6.n, với m≤n (m n, )=1 Thay vào a b=216 ta được: 6m n=216

36mn=216

216 : 36

mn= =

Vì m≤n; mn=6 (m n, )=1 nên ta có hai trường hợp sau:

• m=1 n=6 ⇒ =a 6.1=6 b=6.6=36

• m=2 n=3 ⇒ =a 6.2=12 vaf b=6.3 18=

Đổi vai trị a b, ta có hai đáp số khác là: a=36 b=6; a=18 b=12 Vậy tốn có đáp số:

a 12 18

b 36 18 12 36

Dạng Các toán chứng minh

Ví dụ 6.Cho n∈* Chứng tỏ rằng: (2n+3;3n+4)=1

Giải

( )

3 2n d

⇒ +  3( n+4)d hay (6n+8)d

(6n 9) (6n 8) d

⇒  + − +  hay 1d

1

d

⇒ =

Vậy (2n+3;3n+4)=1

Ví dụ 7.Cho a, b∈ *; a>b ( )a b, =1

Chứng tỏ (a+b a, −b) 1,

Giải

Đặt d =(a+b a b, − ) thì: (a+b d) (a b d− ) Tức là: a+ =b d m ; a b− =d n (với m,n∈; m>n) Suy ra: 2a=d m +d n ⇒2a d

Và: 2b=d m −d n ⇒2b d

Do d ∈ ƯC(2 , 2a b) ⇒(2 , 2a b d)

Mà (2 , 2a b) ( )=2 a b, =2 nên 2d⇒ =d d =2 Vậy (a+b a, −b) hoặc

Nhận xét:

Trong lời giải ta dùng kết tốn quen thuộc: “tìm hai số biết tổng hiệu” Khi đó, lần số lớn tổng cộng hiệu, lần số nhỏ tổng trừ hiệu

Dạng Các tốn thực tế

Ví dụ 8.Một khu đất hình chữ nhật dài 54 m, rộng 48 m Người ta muốn chia khu đất

thành mảnh hình vng để trồng loại rau Hỏi chia

bằng cách? Với cách chia cạnh mảnh đất hình vng lớn

và bao nhiêu?

Giải

Gọi n độ dài cạnh mảnh đất hình vng chia Ta có: 54n 48n

n

⇒ ∈ ƯC(54, 48 )

Lại có: 54=2.33 48=2 34

Nên suy ra: ƯCLN(54, 48) =Ư( )6 ={1; 2;3;6}

Vậy ta chia khu đất theo cách cạnh mảnh đất hình vng lớn có

thể m

Nhận xét:

Ta tính số mảnh đất hình vng tạo thành cách chia sau:

Cách Độ dài cạnh mảnh

đất hình vng

Số mảnh đất hình vng tạo thành

1 m 54.48=2592

2 m 27.24=648

3 m 18.16=288

Ví dụ 9.Một trường tổ chức cho 64 học sinh thi đấu thể thao số xe ô tô thuộc hai loại: loại xe 12 chỗ ngồi loại xe chỗ ngồi (không kể người lái xe) Biết số học sinh xếp vừa đủ số ghế ngồi xe Hỏi loại xe có chiếc?

Giải

Gọi x số xe 12 chỗ y số xe chỗ ngồi (x,y∈*) Số học sinh xe loại 12 chỗ ngồi 12x

Số học sinh xe loại chỗ ngồi 7y Theo đề ta có: 12x+7y=64 (*) Ta có: 12x4 64 4 nên 7y4 Vì ƯCLN( )7, = nên y4 Từ (*) ta suy ra: 7y<64⇒ ≤y Mà y4 nên y∈{ }4;8

+ y=4 thay vào (*) ta được: 12x+7.4=64 12x=64−28=36

Suy x=36 :12=3

+ y=8 thay vào (*) ta 12x+7.8=64 Suy 12x=64 7.8− =8

Suy x∉*

Vậy có xe 12 chỗ ngồi xe chỗ ngồi

III BÀI TẬP

1.83.Tìm ƯC(48,120,150 ; BC) (26, 78 )

1.84. Cho a, b hai số tự nhiên không nguyên tố thỏa mãn: a=4n+3;

5

b= n+ (n∈) Tìm ( )a b,

1.85. Tìm hai số tự nhiên a, b biết:

a) 7a=11b ( )a b, =45

b)[ ]a b, =300 a b=4500

c) a+ =b 30 [ ]a b, =6.( )a b,

1.86. Tìm hai số tự nhiên a, b biết: a+2b=48 ( )a b, +3[ ]a b, =114

1.87. Tìm hai số tự nhiên a, b biết: ƯCLN( )a b, + BCNN( )a b, =15

1.88. Một số chia cho 21 dư chia cho 12 dư Hỏi số chia cho 84 dư bao nhiêu?

1.89. Cho số tự nhiên a thỏa mãn: 7a a chia cho dư Tìm a biết a<400

1.90. Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số cho chia cho 2, cho 3, cho 4, cho ,cho ta số dư theo thứ tự 1, 2, 3, 4,

1.91. Cho ( )a b, =1, chứng tỏ rằng:

a)(a a b, − )=1 (với a>b)

1.92. Cho n∈ Chứng tỏ rằng:

a) (2n+1, 2n+3)=1 b) (2n+5,3n+7)=1

1.93. Cho hai số nguyên tố a b Chứng tỏ hai số 11a+2b 18a+5b

hoặc nguyên tố có mơt ước chung 19

1.94. Một lớp học có 24 học sinh nam 18 học sinh nữ Có cách chia lớp

thành tổ cho số học sinh nam số học sinh nữ chia vào tổ? Biết

rằng số tổ lớn

1.95. Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 người, 25 người, 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ (khơng có hàng thiếu,

khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có người, biết số người đơn

vị chưa đến 1000?

1.96. Tổng số học sinh khối trường có khoảng 235 đến 250 em, chia cho dư , chia cho dư 3, chia cho dư 4, chia cho dư , chia 10 dư Tìm số học sinh khối

1.97. Một trường tôt chức cho học sinh tham quan ô tô Nếu xếp 35 hay 40 học sinh lên tơ thấy thừa chỗ trống Tính số học sinh tham quan, biết số học sinh có khoảng từ 200 đến 300 em

1.98. Cho a=123456789 b=987654321 Tìm ( )a b,

1.99. Hãy tìm chữ số a, b, c, d cho số a, ad, cd, abcd số

Chuyên đề nâng cao SỐ CHÍNH PHƯƠNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa

Số phương bình phương số tự nhiên Tức là, A số phương A=k2 (k∈)

2 Tính chất

• Số phương có chữ số tận số ; 1; 4; ; ; , chữ số tận 2; 3; ;

• Khi phân tích thừa số ngun tố, số phương chứa thừa số nguyên tố

với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ

Chứng minh

Giả sử A=k2 với k∈

Phân tích k thừa số nguyên tố ta có: k =a b cx .y z (trong đó: a, b, c, số nguyên tố đôi khác x, y, z, ∈*)

Khi đó: ( )2 2 2 2

x y z x y z

A= a b c =a b c (đpcm) Từ tính chất ta có hệ quả:

a)Nếu A số phương, p số nguyên tố A p A p

b)Tích số phương số phương

c) A=a b số phương a=m p 2, b=m q Đặc biệt, a số phương b số phương

• Số ước số phương (khác ) số lẻ Ngược lại, số có số

ước lẻ số số phương

Chứng minh

Gọi A số tự nhiên khác

- Nếu A=1 A số phương có ước

- Nếu A>1 A có dạng phân tích thừa số nguyên tố là:

A=a b cx .y z (a, b, c, số nguyên tố đôi khác nhau) ⇒ Số lượng ước A S =(x+1)(y+1)(z+1)

a)Nếu A số phương x, y, z, số chẵn, nên x+1, y+1, z+1, số lẻ, S số lẻ

b)Đảo lại, S số lẻ (x+1)(y+1)(z+1) số lẻ ⇒ thừa số x+1,

y+ , z+1, số lẻ ⇒ x, y, z, số chẵn

Đặt x=2 'x , y=2 'y , z=2 'z , ( 'x , 'y , 'z , ∈) A=(a b cx' y' z')2 nên A

là số phương (đpcm)

• Nếu số A nẵm bình phương hai số tự nhiên liên tiếp A khơng thể số

chính phương Nghĩa là: 2 ( )2

1

n < <A n+ A khơng số phương

• Hai đẳng thức thường dùng: 2 2 ( )2

2

( )2

2

2

a − ab b+ = a b− (2)

Chứng minh

Chứng minh đẳng thức (1) Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

2 2

2

a + ab+b = a +ab + ab+b =a a+b +b a+b = a+b a+b = a+b Chứng minh tương tự ta có đẳng thức (2)

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG

Dạng Kiểm tra số có phải số phương hay khơng

Ví dụ 1. Các số sau có phải số phương hay khơng? Vì sao?

a) A= + + + +3 32 33 320

b) B=1010+8

c) C=100! 7+

d) D=1010+5

e) E=10100 +1050 +1

Giải

a)Ta có 9n với n≥2 nên (32+ + +33 320)9

2 20

3 3

A

⇒ = + + + + chia hết cho chia cho dư

Vì A chia hết cho không chia hết A khơng phải số phương

b)Ta có 1010 +8 có chữ số tận nên B khơng phải số phương

c)Ta có 100! 7+ có chữ số tận nên C khơng phải số phương

d)Ta có 1010 +5 có chữ số tận chia hết cho không chia hết cho 25 (vì có hai chữ số tận 05) nên D khơng phải số phương

e)Ta có 10100+1050 +1 có tổng chữ số chia hết cho không chia hết E số phương

Ví dụ 2. Cho F = + + + +31 32 33 3100 Chứng minh 2F+3 khơng số phương

Giải

Ta có: F = + + + +31 32 33 3100

Nên 3F =32+ + + +33 34 3101⇒3F − =F 3101−3

Do 101 101 100 ( )50

2F + =3 − + =3 3 =3 3= 3 không số phương, khơng phải số phương

Ví dụ 3. Viết liên tiếp từ đến 12 số H =1234 1112 Số H có 81 ước

khơng?

Giải

Vì số lượng ước H 81 (là số lẻ) nên H số phương (1) mặt khác, tổng chữ số H là:

( ) ( ) ( )

1 9+ + + + + +1 + + + +1 1 =51

Vì 51 3 ; 9 nên H chia hết cho không hica hết cho , H khơng số phương: mâu thuẫn với (1) !

Vậy H khơng thể có 81 ước

Ví dụ 4. Chứng minh khơng tồn hai số tự nhiên x y khác cho x2+ y

2

x+y số phương

Giải

Khơng tính tổng quát, ta giả sử x≥y

Khi đó, ta có: 2 2 2 ( ) ( )2

1

x <x + ≤y x + =x x x+ < x+

2

x y

⇒ + khơng thể số phương

(nếu x≤ y chứng minh tương tự ta có x+y2 khơng số phương)

Vậy khơng tồn hai số tự nhiên x y cho x2+y x+y2 số phương

Nhận xét: để chứng minh số A khơng số phương ta thường sử dụng cách sau:

Cách 1: chứng minh chữ số tận A số 2; 3;7 ;

Cách 2: chứng minh A p (với p số nguyên tố) A p

Cách 3: chứng minh n2 < <A (n+1)2

Dạng Lập số phương từ chữ số cho

Ví dụ 5. Tìm số phương có bốn chữ số 3, , 8,

Giải

Gọi A số phương phải tìm

Vì số phương khơng tận 3, nên A phải tận ⇒ hai chữ số tận A 86 36

- Nếu A có hai chữ số tận 86 A chia hết cho không chia hết A số phương (loại)

- Nếu A có hai chữ số tận 36 A=8836 Thử lại, ta có: 8836=942 số phương Vậy số cần tìm 8836

Ví dụ 6. Một số tự nhiên gồm chữ số sáu chữ số số phương

không?

Gọi A số gồm chữ số sáu chữ số

- Nếu A có chữ số tận A có hai chữ số tận 60

A

⇒ chia hết cho A khơng chia hết cho 52 =25 (vì 60 25 )

A

⇒ không số phương

- Nếu A có chữ số tận ⇒ A có hai chữ số tận 06 66

A

⇒ chia hết cho không chia hết cho 4, A khơng phải số

chính phương

Vậy A khơng phải số phương

Ví dụ 7. Tìm số có hai chữ số, biết nhân với 135 số phương

Giải

Gọi số phải tìm n, ta có 135n=a2 (a∈) hay 5.3 n=a2

Vì số phương chứa thừa số ngun tố với số mũ chẵn nên n=3.5.k2 (

k∈)

Vì n số có hai chữ số nên 10≤3.5.k2 ⇒k2∈{ }1; - Nếu k2 =1 n=15

- Nếu k2 =4 n=60

Vậy số cần tìm 15 60

Ví dụ 8. Tìm số phương có bốn chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số

cuối giống

Giải

Gọi số phương cần tìm n2 =aabb (a,b∈ 1≤ ≤a 9, 0≤ ≤b 9) Ta có n2 =aabb=1100a+11b=11 100( a+b)=11 99( a+ +a b) (1)

(99a a b)11 (a b) 11 a b 11

⇒ + +  ⇒ +  ⇒ + =

Thay a+ =b 11 vào (1) ta n2 =11 99( a+11)=11 92( a+1)

9a

⇒ + phải số phương

a

9a+1 10 19 28 37 46 55 64 73 82

Ta thấy có a=7 9a+ =1 64=82 số phương Vậy a= ⇒ =7 b số cần tìm là: 7744 11 8= 2 =882

Dạng Tốn chứng minh

Ví dụ 9. Chứng minh tích bốn chữ số tự nhiên liên tiếp cộng số

phương

Chứng minh

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2, a+3 (a∈) Xét T =a a( +1)(a+2)(a+ +3)

( 3) ( 1)( 2)

a a a a

=  +   +  +  +

( )( )

3

a a a a

Đặt

x=a + a, ta có:

( ) 2 ( )2

2 1

T =x x+ + =x + x+ = x+ hay T =(a2+3a+1)2 Vậy T số phương (đpcm)

Nhận xét:

- Trong ví dụ ta khơng biết T số phương mà cịn biết

được cịn bình phương số Chẳng hạn:

a) 1.2.3.4 1+ =25=52

b) 2.3.4.5 121 11+ = =

c) 3.4.5.6 361 19+ = =

d) 4.5.6.7 841+ = =292

Thay a b+ =11vào (1) ta n2 =11(99a+11)=11 (92 a+1)

9a

⇒ + số phương

a

9a+1 10 19 28 37 46 55 64 73 82

Ta thấy có a=7 9a+ =1 64=82 số phương Vậy a= ⇒ =7 b số cần tìm : 7744 11 8= 2 =882

Dạng 3.Toán chứng minh

Ví dụ Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng số phương

Chứng minh

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a a, +1,a+2,a+3 (a∈) Xét T =a a( +1)(a+2)(a+ +3)

2

[ ( 3)][( 1)( 2)]

( )(a 2)

a a a a

a a a

= + + + +

= + + + +

Đặt x=a2+3a , ta có :

T =x x( + + =2) x2+2x+ =1 (x+1)2 hay T =(a2+3a+1)2

Vậy T số phương (đpcm)

Nhận xét :

- Trong ví dụ ta T số phương mà cịn biết

Chẳng hạn :

a) 1.2.3.4 1+ =25=52

2

2 2.3.4.5 121 11 3.4.5.6 361 19 4.5.6.7 841 29

+ = = + = = + = =

b) Biểu thức sau bình phương số tự nhiên nào?

• 10.11.12.13 ?+ =

Vì a=10 nên a2+3a+ =1 102+3.10 131.+ = Do 10.11.12.13 131+ =

• 15.16.17.18 ?+ =

Vì a=15 nên a2+3a+ =1 152+3.15 1+ =271 Do 10.11.12.13 1+ =2712

- Cũng từ ví dụ ta cịn suy hai kết sau:

1) Tích bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp cộng 16 số phương 2) Tích bốn số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng 16 số phương

Ví dụ 10 Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không số phương

Giải

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a a; +1;a+2;a+3 (với a∈ ) Ta xét : S= +a (a+ +1) (a+2)+(a+3)=4a+6

Vì 4a2 2 nên S2 Mặt khác 4a4 không chia hết S không chia hết cho

→S chia hết cho S không chia hết cho , S khơng số phương

?Có thểem chưa biết ?

1.Sự tuần hoàn số phương

Quan sát chữ số tận bình phương số từ đến ta thấy xuất dãy số

1,4,9,6 ,5,6,9,4,1 Bình phương 10 100, có chữ số tận 0.Bình phương số có chữ số tận lập thành dãy số 1,4,9,6,5,6,9,4,1 ( gọi vịng tuần hồn ) Tất bình phương số tự nhiên có chữ số tận lặp lặp lại vòng tuần hoàn ( ranh giới lặp lại số )

Người ta phát “ số gốc “của số phương 1,4,7,9 mà khơng

chữ số có số,nếu tổng lớn lại tính tổng chữ số tổng lặp lại tổng có nhỏ 9.Chữ số cịn lại gọi “số gốc “ số xét ( hiểu theo

cách khác lấy tổng chữ số số đem chia cho 9,số dư phép chia gọi số

gốc).Như “số gốc”chính

là kết phép tính cộng dồn chữ số có số , lấy số làm điểm dừng Ví dụ : “số gốc “ 135 , “ số gốc “ 246 3…

Ứng dụng tính chất vừa nêu ta nhận biết số có phải số phương hay khơng

Ví dụ : Xét xem số 98765432123456789 có phải số phương hay khơng ? Ta tìm số gốc số trên:

Cách :

2

9 (8 1) 2(7 2) 2(6 3) 2(5 4) + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + ⇒số gốc

Cách :

9 2 (9 1) (2 9)

45 44 89

+ + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + +

= + =

Vì 17+ = ; 7+ =8 ⇒số gốc (Hoặc 89 chia cho dư ⇒số gốc )

Vì số gốc khác 1,4,7,9 nên số A khơng số phương

Số gốc số phương cịn lập thành dãy số tuần hoàn 1,4,9,7,7,9,4,1 Ở chữ số ranh giới chữ số chữ số tính chất

Ví dụ : 100 (bình phương 10 ) có số gốc

289 (bình phương 17 ) có số gốc

324(bình phương 18 ) có số gốc (ranh giới chu kì ) 361( bình phương 19 ) có số gốc (bắt đầu lặp lại ) ………

2.Sự kì lạ số lẻ

Ta có : 3+ = =4 22

2

2

2

1 16 25 5 11 26 11 13 49

+ + = = + + + = = + + + + = = + + + + + = = + + + + + + = =

………

⇒ Tổng n số lẻ số phương:

2

1 (2+ + + + n+ =1) (n+1)

3.Tổng lập phương lại số phương

Khẳng định sau hay sai : “ Tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp từ số phương “?

Ta dễ dàng kiểm tra máy tính sau :

3

3 3

3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

1

1 36

1 100 10

1 225 15

1 441 21

1 784 28

+ = =

+ + = =

+ + + = =

+ + + + = =

+ + + + + = =

+ + + + + + = =

1

1

1 10 15

1 21

1 28

+ = + + = + + + = + + + + = + + + + + = + + + + + + =

………

Đến ta tìm quy luật : 13+23+ +n3= + +(1 +n)2 III.BÀI TẬP

1.100.Chứng tỏ số sau khơng số phương :

a) abab b)abcabc

1.101.Cho A=22+23+24+ 2+ 20 Chứng minh A+4 khơng số phương

1.102.Chứng tỏ tổng sau khơng số phương : S =abc bca cab+ +

1.103.Cho bốn chữ số 0,2,3,4.Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn số

1.104.a) Cho số tự nhiên gồm 15 chữ số Có cách viết thêm chữ số vào vị trí

tùy ý để số tạo thành số phương hay khơng?

b)Một số tự nhiên gồm chữ số1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, bốn chữ số ,

số phương hay không ?

1.105.Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 101 thành số A a) A có hợp số hay khơng ?

b) A có số phương hay khơng ? c) A có 35 ước hay khơng ?

1.106.Từ năm chữ số 1,2,3,4,5, lập tất số có năm chữ số gồm năm chữ số Trong số lập , có số số phương hay khơng ?

1.107.Tìm số tự nhiên n có hai chữ số ,biết 2n+1 3n+1 số phương

1.108.Tìm số tự nhiên n có hai chữ số , biết nhân với 45 ta số phương

1.110.a) Các số tự nhiên nvà 2n có tổng chữ số nhau.Chứng minh nchia hết cho

b) Tìm số phương n có ba chữ số , biết n chia hết cho nhân n với tổng chữ số khơng đổi

1.111. Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,sao cho cộng với số có hai chữ số viết theo chiều ngược lại ta số phương

1.112.Tìm số phương có bốn chữ số,biết :các chữ số hàng trăm ,hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần

1.113. Tìm số phương có bốn chữ số , biết chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị số phương viết dạng (5n+4)2 , với n∈

1.114.Cho số tự nhiên Agồm 100 chữ số , số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2.Chứng minh A-B số phương

1.115.Có hay khơng có số phương mà số gồm 1995 chữ số chữ số cịn lại chữ số 0?

1.116.Tìm số tự nhiên n cho tổng sau số phương :

1! 2! 3! !

S= + + + +n

Chuyên đề nâng cao NGUYÊN LÍ DIRICHLET I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.Nội dung nguyên lí

Nếu nhốt n m r + (trong m n r, , ∈* ) thỏ vào n chuồng phải có chuồng chứa khơng m+1 thỏ

Chứng minh

Giả sử ngược lại chuồng chứa không m thỏ tổng số thỏ nhốt n

chuồng không m n thỏ :Mâu thuẫn với giả thiết số thỏ m n r + Vậy phải có í t chuồng chứa khơng m+1 thỏ

2.Nhận xét

Bản thân nguyên li Dirichlet đơn giản dễ hiểu , nhiên việc ứng dụng nguyên lí lại không đơn giản Vấn đề phát “chất Dirichlet “ trong tốn ,

dạng tốn sau xác định đâu chuồng đâu thỏ Có

trường hợp chuồng thỏ gần có sẵn, có trường hợp phải “xây

chuồng, tạo thỏ”

II.MỘT SỐ DẠNG TỐN ỨNG DỤNG 1.Tốn chia hết

Khi chia số a cho số m≠0 ln có m khả số dư 0,1,….,m - (“m chuồng “) Do , chia m+1 số khác a a1, 2, ,am+1 cho m ta có m+1 số dư (“m+1 thỏ”) ln có hai phép chia có số dư Giả sử hai số bị chia hai phép chia

i

a aj (với 1≤ < ≤ +j i m ).Ta có (ai−aj)m

Ví dụ Chứng minh tìm đượcmột số có dạng19781978 197800 0chia hết cho 2012

Giải

Xét dãy số :

2013 1978

1978,19781978, ,19781978 1978 so

 Khi chia số hạng dãy cho 2012 có hai phép chia có số dư Giả sử hai số hạng dãy hai phép chia

1978

19781978 1978 m so

a=

1978

19781978 1978 n so

b= ( với 1≤ < ≤n m 2013)



4

1978

19781978 1978 00 2012 n so

m n so a b

−

− =  (đpcm)

Nhận xét : Phương pháp để giải dạng toán tạo dãy số ( theo cấu tạo số ) từ yêu cầu

của tốn (“tạo thỏ” ) Sau áp dụng nguyên lí Dirichlet cho số hạng dãy số (mỗi số hạng thay cho “thỏ”, 2012 số “chuồng “)

Ví dụ Cho dãy m số tự nhiên a a1, 2, ,am Chứng minh tồn số hạng chia hết cho m tổng số hạng liên tiếp dãy chia hết cho m m( ∈*)

Giải

Xét dãy số b1=a b1 2, =a1+a2, ,bm =a1+a2+ +am

Khi chia số hạng dãy cho m xảy hai trường hợp sau :

• Có phép chia hết , chẳng hạn : bkm , ta có điều phải chứng minh :

1

(a +a + +ak)m

• Khơng có phép chia hết Khi tồn hai phép chia có số dư,chẳng hạn b bi, j

chia cho m ( vơi 1≤ < ≤j i m )

1

(bi bj) m hay (aj+ aj+ ai) m

⇒ −  + + +  , ta có điều phải chứng minh

Nhận xét :Phương pháp “tạo thỏ “ ví dụ dựa vào phép tốn cộng yêu cầu

tính liên tiếp số hạng dãy ban đầu đề

Ví dụ Cho bốn số tự nhiên phân biệt a> > >b c d

Chứng minh : P=(a b a c a d b c b d c d− )( − )( − )( − )( − )( − ) 12

Giải

Chia bốn số phân biệt a b c d, , , cho ln có hai phép chia có số dư

⇒ Hiệu hai số bị chia chia hết cho ⇒ tồn hiệu hai số bốn số a b c d, , , chia hết cho

Do P chia hết cho (1)

Trong bốn số a b c d, , , có hai số có số dư chia cho P chia hết cho 4;trái lại, chia bốn số cho có đủ bốn trường hợp số dư 0,1,2,3 ⇒ bốn số a b c d, , ,

có hai số chẵn , hai số lẻ , giả sử a c, chẵn b d, lẻ⇒ (a c− ) 2 (b d− ) 2

Do P chia hết cho (2)

Ví dụ 4. Chứng minh trong19 số tự nhiên liên tiếp ta ln tìm số có tổng chữ số chia hết cho 10

Giải

Trong 19 số tự nhiên liên tiếp tồn 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống

nhau kí hiệu chữ số hàng chục làa(các chữ số hàng trăm ,hàng nghìn , ….(nếu có )cũng

giống nhau) cịn chữ số hàng đơn vị dãy 0;1;2;3;…;9.Do tổng chữ số số

cũng dãy 10 số tự nhiên liên tiếp , tồn số có tổng chữ số chia hết cho 10

2.Toán suy luận

Ví dụ 5.Có 10 đội bóng thi đấu với vòng tròn lượt , đội phải đấu

trận với đội khác Chứng minh vào lúc có hai đội đấu số trận

như

Giải

Rõ ràng 10 đội bóng có đội chưa đấu trận đội cịn lại khơng có đội thi đấu trận Như đội có số trận đấu từ đến

hoặc từ đến Vậy theo nguyên lí Dirichlet phải có hai đội có số trận đấu

nhau

Ví dụ 6. Trong 45 học sinh làm kiểm tra bị điểm có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra ( điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10 )

Giải

Số học sinh có điểm kiểm tra từ đến : 45 – =43 Ta có : 43 = 8.5 +

Như , phân chia 43 học sinh vào loại điểm kiểm tra ( từ đến ) theo nguyên lí Dirichlet ln tồn + = học sinh có điểm kiểm tra giống (đpcm )

Ví dụ 7. Có 17 nhà Tốn học viết thư cho trao đổi vấn đề khoa học , người trao đổi với 16 người lại cặp người trao đổi với vấn đề Chứng minh có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề

Giải

Gọi A nhà Tốn học 17 nhà Tốn học A phải trao đổi với 16 người lại vấn đề khoa học ( kí hiệu vấn đề I,II,III)

Vì 16 = 3.5 + nên A phải trao đổi với + = nhà Tốn học khác vấn

Gọi nhà Toán học trao đổi với A vấn đề (chẳng hạn vấn đề 1)

1, 2, ,

A A A .Ta thấy nhà Toán học lại trao đổi với vấn đề nên có hai khả

năng xảy ra:

1) Nếu có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề I với A có nhà Tốn học trao đổi vấn đề I

2) Nếu khơng có nhà Toán học trao đổi với vấn đề I , nhà Tốn học trao đổi với vấn đề II III.Theo ngun lí Dirichlet , có nhà Toán học trao đổi với vấn đề ( II III)

Vậy ln có nhà Toán học trao đổi với vấn đề

Nhận xét : Trong ví dụ ta phải phân chia toán thành hai lớp sử dụng hai lần nguyên lí Dirichlet : Lần thứ với 16 thỏ chuồng ; lần thứ hai với thỏ chuồng

III.BÀI TẬP

1.117. Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2013

1.118. Cho số tự nhiên phân biệt a1>a2 >a3 >a4 >a5 Xét tích :

1 5 5

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

P= a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a a −a Chứng minh P228

1.119. Chứng minh n+1 số thuộc tập hợp {1; 2;3; ; 2n} ln tìm hai số

mà Số bội số

1.120. Xét 100 số tự nhiên 0<a a1, 2, ,a100 ≤100 có tổng 200 Chứng minh 100 số ln tồn vài số có tổng 100

1.121. Cho 69 số tự nhiên khác phân biệt không vượt 100 Chứng minh chọn số 69 số thỏa mãn tổng ba số số lại

1.122. Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln có số có tổng chữ số chia hết cho 11

1.123. Cho 15 số tự nhiên phân biệt, khác 0, không lớn 28 Chứng minh 15 số ln tìm số mà số tổng hai số lại cặp số mà số gấp đôi số

1.124. Chọn n + số 2n số tự nhiên từ đến 2n n   1 Chứng minh

trong số chọn có số tổng số chọn (kể

trường hợp số hạng tổng nhau)

1.126. Chứng minh n người (n2 ), tồn hai người có số người quen (kể trường hợp quen người)

1.127.Có đội bóng thi đấu với vịng trịn lượt, đội đấu trận với

Chương II SỐ NGUYÊN Chuyên đề TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Kiến thức

a) Tập hợp số nguyên:

Tập hợp  ; 3; 2; 1; 0;1;2; 3;     gồm có số 0, số 1; 2; 3; (số nguyên dương) số -1; -2; -3; (số nguyên âm) gọi tập hợp số nguyên, kí hiệu Z

Nhận xét: Mọi số tự nhiên số nguyên hay 

b) Trục số nguyên:

Điểm biểu diễn số nguyên a trục gọi điểm a

c) Số đối:

Trên trục số, hai điểm -2 cách điểm gốc hai phía Ta nói -2 hai số đối Số đối a kí hiệu –a

d) Thứ tự Z:

Trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b a < b hay b > a Ta ln có: Số ngun âm < < số nguyên dương

Với hai số nguyên a, b ta ln có a < b, a = b, a > b Nếu a lớn b a = b ta viết ab

Với a, b, c , a < b b < c a < c ( tính chất bắc cầu)

e) Giá trị tuyệt đối số nguyên a, kí hiệu |a|, khoảng cách từ điểm a đến gốc

•Nếu a  a 

•Nếu a  a  a

•Nếu a  a  a

Nhận xét: Với a , ta có: | a | 0.

a  a

2 Nâng cao

a) Khi ta nói x  2 x  ta viết x

x

   

 



cịn nói x  1 x  ta viết x

x

     



b) Với a0 x  a ta suy x = a x = -a c) Với a  x  a suy x = a x = -a d) Nếu a  b  a  b

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ Cho tập hợp A  3;2; 1;5;7 

a) Viết tập hợp B gồm phần tử số đối phần tử tập hợp A

b) Viết tập C gồm phần tử thuộc tập hợp A số dương

c) Xác định quan hệ tập hợp A, C, N*, Z

Giải

a) Số đối số -3 3; số -2; số 0; Vậy B  3; 2; 0;1; 5;    

b) Có phần tử tập hợp A số nguyên dương, là: 2; 5; Vậy C  2;5;7 

c) Ta có: CA  CN*

Nhận xét: Số đối –a a Vậy số đối –a lại a, tức là:  a  a

nguyên không dương (nhỏ 0) Z*



 tập hợp số nguyên dương

Vậy Z*  N*

Ví dụ Khẳng định sau hay sai? Nếu a  b a  b

Giải

Khẳng định “Nếu a  bthì a  b ” sai

Chẳng hạn: Với a = 3; b = -7 a > b, nhiên, a  3; b  7  nên

a  b

Nhận xét: Để chứng tỏ khẳng định sai, ta cần đưa ví dụ cụ thể

nào mà khẳng định sai Ví dụ gọi phản ví dụ

Ví dụ 3: Tìm x, y , biết:

a) x  3  b) x  y 

Giải

a) Ta có: |-3| =

Do đó: x    x  –  x   x  hoặcx  2 Đôi ta viết gộp là: x  2

b) Vì x 0 y 0 nên ta có hai trường hợp:

• x  y  :

Ta có: x  1 x  x  1

y  0y 

• x  y  : Ta có: x  0 x 

Ví dụ 4: Tìm x , biết

a) x  b) x  2 

Giải

a) Vì |x| < nên |x| 0;1;2x0; 1; 2   hay 3  x 

Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát ta chứng minh rằng:

Với x , a > thì: |x| < a  -a < x < a |x|  a    a x a

b) Ta có: x  2  3 x   3 x 

 |x| 6;7; 8;9;      x { 6; 7; 8; 9; }

x > x < -5 hay x

x

  

  



Nhận xét:Trong trường hợp tổng quát ta chứng minh rằng:

Với x , a > x  a x a

x a

  

   

Ví dụ 5: Tìm x , biết: < |x| 

Giải

Ta có: < |x|  9| x | 7; 8;9}{     x { 7; 8; 9} hay x

9 x

   

   



Nhận xét:Trong trường hợp tổng quát ta chứng minh rằng:

Với x ,0 < a < b thì: a < |x| < b a x b

b x a

   

    

III BÀI TẬP

2.1 Tìm tập hợp sau: a) Z b) Z*

x -1 0

2.2 Khẳng định sau hay sai? Nếu sai sửa lại cho đúng.” Nếu a  |a|  * “

2.3 Tìm giá trị thích hợp chữ số a cho:

a) a00801 b) 560  56a c) a99 649 6a0

2.4 Hãy viết số nguyên âm: a) Nhỏ có số b)Lớn có chữ số

c) Nhỏ có 10 chữ số khác d)Lớn có 10 chữ số khác

2.5 Chứng tỏ rằng: Với số nguyên a, ta có: | a | a

2.6 Chứng tỏ rằng: Với a  |x| = a suy x = a x = - a

2.7 Chứng tỏ rằng: Với a  |x| = |a| suy x = a x = - a

2.8 Tìm x  , biết:

a) x  23  17 b) 5 x  20

2.9 Tìm x  , biết:

a) x  14 vàx  b) x  23 vàx 

2.10 Tìm x  , biết: a) x  5 b) 12 x  15

2.11 Cho tập hợp: {

A x | 3  x 7};B{x | 3 x 7}; C {x || x | 5} Hãy tìm tập hợp: A B; BC; CA

a) x  y  ; b) x  y 

2.13 Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x 7

Chuyên đề PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC SỐ NGUYÊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Kiến thức

a) Để cộng hai số nguyên dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối chúng đặt trước kết dấu chúng

b) Cộng hai số nguyên khác dấu:

Nếu hai số đối tổng chúng

Nếu hai số khơng đối ta tính hiệu hai giá trị tuyệt đối (số lớn trừ số nhỏ) đặt trước kết dấu số có giá trị tuyệt đối lớn

c) Hiệu hai số nguyên a b tổng a với số đối b: a – b  a   b d)Tính chất phép cộng số nguyên: Với số nguyên a, b c, ta có:

•Tính chất giao hốn: a  b  b  a

•Tính chất kết hợp:a  b  c  a  b  c

•Cộng với số 0: a    a  a

•Cộng với số đối: a   a 

2 Nâng cao

a) Với hai số nguyên a b, ta có: a > b   a b 0; a  b a - b0

b) Giá trị tuyệt đối tổng hai số nguyên nhỏ tổng giá trị tuyệt đối chúng: | a b | | a || b |, với a, b và a  b  a  b a b dấu a = 0, b =

c) Giá trị tuyệt đối hiệu hai số nguyên lớn hiệu giá trị tuyệt đối chúng: | a b | | a | | b | , với a, b  a – b  a  b a  b a  b

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng Chứng minh tính chất

Ví dụ 1. Chứng tỏ a – b b – a hai số đối

Giải

Thật vậy:a – b  b – a a  b    + b  a   a  a  b  b   Vậy a – b b – a hai số đối

Nhận xét: Từ kết ta suy ra: a – b b – a vàa – b  b – a

Ví dụ Chứng tỏ rằng: Số đối tổng hai số tổng hai số đối chúng

Giải

Xét hai số nguyên a, b Số đối tổng a b là: -(a + b) tổng hai số đối chúng là: (-a) + (-b)

Để chứng minh (-a) + (-b) số đối a + b, ta chứng minh tổng chúng Thật vậy:      a b   a b  a a    b  b  

Vậy:  a b       a b

Nhận xét: Tương tự ta có: Số đối hiệu hai số hiệu hai số đối

chúng Tức là:  a b       a b

Dạng Tính giá trị biểu thức

Ví dụ Tính hợp lí:P   123  77   257  23 – 43

Giải

Ta có: P   123  77   257  23  – 43  Cách 1:

     

 

P 123 257 43 77 23

423 100 323

   

   

 

       

    

Cách 2:

     

   

 

P 123 23 257 43 77

100 300 77

400 77 323

   



       

    

    

  

   

Nhận xét:

•Việc chuyển từ phép trừ phép cộng để ta áp dụng tính chất

•Ở cách 1, ta cộng số dấu với trước Cách có ưu điểm hạn chế việc nhầm dấu

•Ở cách 2, ta kết hợp nhóm có tổng số trịn trăm Cách có ưu điểm

là nhẩm kết

Ví dụ 4. Tính hợp lý : Q  48  48  174   74 

Giải

Cách 1:

 

Q  48 | 126 |   74  48 126 74  100 Cách 2:

Vì 48 174 0 nên | 48 174 |  48 174 174 48. Do đó:

Q 48 174 48    74  48 48   174 74  0 100100

Nhận xét: Trong cách 2, ta sử dụng tính chất chứng minh để bỏ dấu

ngoặc Sau bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta kết hợp thành nhóm có kết số trăm Dùng cách ta nhẩm kết

Dạng Tìm số chưa biết

Ví dụ Tìm chữ số a, biết:  a5   85  150

Giải

Áp dụng quy tắc cộng hai số nguyên dấu, ta có:

 a5   85  a585

Suy ra: a585 150 hay a585 150 a5150 85  65 Vậy a =

Ví dụ Tìm x , biết:

a) | x |    3 17 b) | x |    4

a) Ta có: | x |    3 17

 

| x | 17

| x | 17 20

x 20

    

    

   

Ta có hai trường hợp:

• Nếu x –  20 x  20   21

• Nếu x –  20 thìx   20   19

Vậy x { 21; 19}. b) Ta có: | x |    4

| x |  4

| x |

    

   

Vì | x | 0  -1 < nên khơng có giá trị x để x  1

Ví dụ Cho x y hai số nguyên dấu thỏa mãn x  y 12 Tính

x  y Giải

Vì x y dấu nên ta có: x  y  x  y Do đó: x  y  12

Vì 12 > nên ta có hai trường hợp: x  y  12 x  y  12 Vậy x + y = 12

Nhận xét:

Vì x y dấu nên ta chia làm hai trường hợp:

• x y dương: Khi đó: x  x, y  y ta có x  y  12

• x y âm: Khi đó: x  x, y  y ta có     x y 12 Vì     x y  xy , nênxy 12 Tức số đối x + y 12 Suy x  y  12

III BÀI TẬP 2.15 Tính hợp lí:

a) 57  15947169.

b) 2012  596  201  496301. 2.16 Tìm giá trị biểu thức:

a) x   37 , biết x = -13 b) x   78 , biết x = -86

2.17 Tính x – y , biết rằng: x  20 y  12

2.18 Tính tổng số nguyên x, biết rằng:

a) 15  x 17 b) | x | 35.

2.19 Tìm chữ số a, biết rằng:

a) 37  5a  20 b)  a9 4526

2.20 Tìm x∈, biết:

a) x+ −( 45) (= −62)+17 b) x+29= −43 + −( 43)

2.21 Tìm x∈, biết rằng:

a) x+23 số nguyên âm lớn

b) x+99 số nguyên âm nhỏ có hai chữ số

2.23 Tìm x∈, biết:

a) ( )− + + − + + + =1 ( )5  x 600 b) 2+ − + + − + + − = −( )4 ( )8  ( )x 2000

2.24 Tìm x∈, biết rằng: 9≤ − <x 11

2.25 Tìm giá trị nguyên lớn nhỏ x cho: 1986< + <x 2012

2.26. Cho 31 số nguyên Hỏi tổng 31 số nguyên số nếu: a) Tổng số chúng số nguyên âm?

b) Tổng số chúng số nguyên dương?

2.27. Trên bảng lớp học có viết số: 1; 2; 3; … ; 2011; 2012; 2013 Một học

sinh tiến hành công việc sau: Xóa hai số số viết thay

Chuyên đề QUY TẮC DẤU NGOẶC VÀ QUY TẮC CHUYỂN VẾ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Kiến thức

- Quy tắc dấu ngoặc:

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “–” đằng trước, ta phải đổi dấu tất số hạng dấu ngoặc:

dấu “+” đổi thành dấu “–” dấu “–” đổi thành dấu “+”

(a b c) a b c

− − + = − + −

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước, ta giữ nguyên dấu số hạng dấu ngoặc

(a b c) a b c

+ − + = − +

- Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển vế số hạng tử từ vế sang vế

đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng tử đó: dấu “+” đổi thành “–” dấu “–” đổi thành dấu “+”

a b− = + ⇔ = + + ⇔ − = +c d a c d b a c b d

2 Nâng cao

- Quy tắc chuyển vế bất đẳng thức:

a b− < + ⇔ < + + ⇔ − < +c d a c d b a c b d

- Tổng đại số: Một dãy phép tính cộng, trừ số nguyên gọi tổng đại

số Trong tổng đại số, ta có thể:

Thay đổi tùy ý vị trí số hạng kèm theo dấu chúng

Đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng cách tùy ý; với ý rằng: Nếu trước dấu ngoặc dấu “–” phải đổi dấu tất số hạng ngoặc

( )

a b c− − + = − + −d a b c d

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng 1.Tính hoặc rút gọn biểu thức Ví dụ Tính hợp lí:

a) P=54+ − +( 37 10 54 67− + )

b) Q= + − − + + − − + −1  79 80 81− +

Giải

a) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có: 54 37 10 54 67

P= − + − +

Áp dụng tính chất tổng đại số, ta có:

(54 54) ( 37 67) 10

= +0 30 10+ =40

b) Áp dụng quy tắc đặt dấu ngoặc, ta có:

( ) ( ) ( )

1 78 79 80 81

Q= + − − + + − − + + + − − +

0= + + + + =1

Nhận xét:Ở câu b) ta có cách đặt dấu ngoặc khác, chẳng hạn:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 78 79 80 81

Q= + − + − + + − + − + + + − + − +

= + − + + − + + − + =1 ( )1 ( )1  ( )1 1

Ví dụ 2. Cho , ,a b c∈ Rút gọn biểu thức sau:

( ) ( ) ( )

P= a+ − +b c a b− − a b c− −

Giải

Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có: P= + − + − − + +a b c a b a b c

Áp dụng tính chất tổng đại số, ta có:

( ) ( ) ( )

P= a−a + b b− + − + + +c c a b

= + + + + = +0 0 a b a b

Vậy P= +a b

Dạng Chứng minh Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng:

(a b− − + + −) (b c) (c a) (− a b c− − )= − + −(a b c)

Giải

Ta có:

Vế trái = − − − + − − + +a b b c c a a b c (quy tắc bỏ dấu ngoặc)

(a a) ( b b) ( c c) b a c

= − + − + + − + − − + (tính chất tổng đại số)

⇒ Vế trái 0 0= + + − − + = − − +a b c a b c

Áp dụng quy tắc đặt dấu ngoặc, ta có: Vế trái = − + −(a b c)=Vế phải

Vậy (a b− − + + −) (b c) (c a) (− a b c− − )= − + −(a b c)

( ) ( )

P=a b−a −b a− −c bc

Giải

Vì , ,a b c∈ nên áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng phép trừ, ta có:

( ) ( )

;

a b a− =a b a a− =ab a b a c− − =ba bc− =ab bc−

Do đó: ( 2) ( )

P= ab−a − ab−bc −bc

=ab−a2−ab+bc bc− (quy tắc bỏ dấu ngoặc) =(ab ab− ) (+ bc bc− )−a2

= + −0 a2

= −a2

Vì a≠0 nên a2 >0, số đối a2 nhỏ hơn, hay: − <a2 Vậy P<0, tức P ln có giá trị âm

Dạng Tìm x

Ví dụ 5. Tìm x∈, biết: a) (− +x 31)−39= − +69 11 b) −129−(35−x)=55

Giải

a) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có:

31 39 69 11

x

− + − = − +

69 11 31 39

x

⇔ − = − + − + (quy tắc chuyển vế

( 69 39) (11 31)

x

⇔ − = − + + − (tính chất tổng đại số)

( )

30 20

x

⇔ − = − + −

50

x

⇔ − = −

50

x

⇔ =

Vậy x=50

b) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có:

29 35 x 55

− − + = (quy tắc chuyển vế)

55 29 35

x

⇔ = + + (tính chất kết hợp)

(55 35) 29

x

90 35

x

⇔ = +

219

x

⇔ =

Vậy x=219

Nhận xét:

Ta rút gọn riêng số vế thực chuyển vế, chẳng hạn câu a):

31 39 69 11

x

− + − = − +

8 58

x

⇔ − − = −

8 58 50

x

⇔ = − + =

Tuy nhiên cách làm không khai thác tính chất tổng đại số để tính nhẩm lời giải

Ví dụ 6. Tìm x∈, biết:

a) (−37)− − = −7 x 127

b) x−14 + − < −( )6

Giải

a) Áp dụng quy tắc chuyển vế, ta có:

(−37)+127= −7 x ⇔90= −7 x ⇔ − = ±7 x 90 Ta có hai trường hợp:

• Nếu 7− =x 90 x= −7 90= −83

• Nếu 7− = −x 90 x= +7 90=97 Vậy x∈ −{ 83;97}

b) Áp dụng quy tắc chuyển vế, ta có:

( )

14

x− < − − −

14

x

⇔ − < − + hay x−14 <2 Suy ra: x−14∈{ }0;1

+ Nếu x−14 =0 x−14= ⇒ =0 x 14 + Nếu x−14 =1⇔ −x 14= ±1

• Nếu x−14=1 x= +1 14=15

III BÀI TẬP 2.28. Tính hợp lí:

a) (326 43− ) (+ 174 57− ) b) (351 875− ) (− 125 149− )

c) −418− −{ 218− − 118−( )318 +2012}

2.29 Tính hợp lí:

a) ( )− + + −2 ( 12)+17+ + − ( 52)+57 b) (−30) (+ −29)+ + 48 49 50+ +

2.30 Rút gọn biểu thức sau:

a) M =(71+x) (− − −24 x) (+ − −35 x)

b) N = −x 34− (15+x) (− 23− x)

c) P= − +( 15 x) (+ 25− −x)

2.31. Cho x< <y x − y =100 Tính x− y

2.32. Cho x∈ Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức sau: a) x− + −3 x với x<3

b) 2+ −x (x+1) với x≥ −2 c) x+ + −1 x với 1− ≤ ≤x

2.33 Cho a b− =1 Tính S, biết rằng:

( ) ( ) ( )

S = − − − + − + +a b c c b a − a+b

2.34. Chứng minh đẳng thức sau:

a) (a b− + −) (c d) (− a+c)= − +(b d)

b) (a b− − −) (c d) (+ b+c)= +a d

2.35. Cho P= − +a b c Q; = − + −a b c, với , ,a b c∈ Chứng tỏ P Q hai số đối

2.36. Viết tất số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ 100 theo thứ tự Sau

cứ số cộng với thứ tự tổng Hãy tính tổng tất số tổng nhận

được

a) 43+ −(9 21)=317−(x+317) b) (15−x) (+ x−12)= − − +7 ( x)

c) x−{57−  + − −  =42 ( 23 x)} 13−{47+  −25 (32− x)}

2.38. Tìm x∈, biết:

a) − + − = −7 x b) 13− + =x 13 c) x−10 − −( 12)=4

2.39 Tìm x∈, biết:

a) x+ ≤2 b) x+ >1

2.40. Tìm x∈, biết:

a) x− − + =1 x b) 2− + =x x c) x−40 + − +x y 10 ≤0

2.42. Cho ,x y∈

Chuyên đề PHÉP NHÂN HAI SỐ NGUYÊN

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Kiến thức

a) Quy tắc nhân: ,a b∈

.0 0

a = a=

Nếu a b dấu a b= a b Nếu a b trái dấu a b= − a b

Chú ý:

+ Nếu a b=0 a=0, b=0

+ Nếu đổi dấu thừa số tích đổi dấu + Nếu đổi dấu hai thừa số tích khơng đổi b) Tính chất phép nhân:

Các tính chất giao hốn, kết hợp, nhân với số, tính chất phân phối phép nhân

phép cộng số tự nhiên mở rộng cho phép nhân hai số nguyên

Chú ý:

+ Phép nhân số ngun có tính chất phân phối phép trừ:

( )

a b c− =ab−ac

+ Nếu số thừa số âm chẵn tích số dương Nếu số thừa số âm lẻ tích số âm

2 Nâng cao

a) Lũy thừa bậc chẵn số âm số dương, lũy thừa bậc lẻ số âm

một số âm: a< ⇒0 a2n >0 a2n+1<0 b) Tính chất bất đẳng thức:

a< ⇔b ac<bc, c>0

a≥ ⇔b ac≤bc, c<0

c) Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối: a b = a b

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng 1: Tính rút gọn biểu thức Ví dụ 1. Tính hợp lí:

b) B 25 75 49 75 25 49 = ( − )+ −

Giải

a) Ta có: A 100 47 53 100= ( )− + (− )

( 100 47) ( 100 53)

= − + − ( đổi dấu hai thừa số)

( 100 47 53) ( )

= − + ( đặt thừa số chung)

( 100 100)

= −

10000

= −

b) Vì 25 49 0− < nên 25 49− = −(25 49− )=49 25− Do đó: B 25 75 49 75 49 25= ( − )+ ( − )

=25.75 25.49 75.49 75.25− + − ( Tính chất phân phối ) =(25.75 75.25− ) (+ −25.49 75.49+ )

= +0 49 25 75(− + ) ( đặt thừa số chung) 49.50

2450

=

=

Nhận xét:

Hai cách tính câu a) câu b) khác nhau: Trong câu a) ta thực phép tính

trong ngoặc trước câu b) ta lại áp dụng tính chất phân phối để nhân phá ngoặc Mục

đích thay đổi trình tự tính tốn để tạo thừa số chung, số tròn chục, trịn trăm …giúp ta tính nhẩm

Ví dụ 2. Bỏ dấu ngoặc rút gọn biểu thức sau:

( )( ) ( )

P= a b 2− − − ab 2+

Giải:

Áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép trừ, ta có:

( )

x b 2− =x.b x.2+

Thay x a 1= − , ta có:

( ) ( )

= a b a 2− − −

( ) ( )

= ab b− − 2.a 2−

=ab b 2a 2.− − +

Do vậy: P ab b 2a ab 2= − − + − −

( ) ( )

= ab ab− + 2 2a b− − −

= − −2a b

Vậy: P= − −2a b

Dạng Tìm số chưa biết

Ví dụ 3: Tìm x Z∈ , biết:

a) x x( + )( − )=0 b) 2x 5( − )2 =9 c) 3x( − )3 = −8

Giải:

a) Áp dụng : a.b a

b

 =

= ⇔  =

 ta có:

(x x)( ) x x

3 x x

 + =  = −

+ − = ⇔ ⇔

− = =

 

Vậy: x∈ −{ 2; 3} b) Ta có :

( − ) = ⇔ − = ± ⇔  − =

− = − 

2 2 2x

2x 2x

2x

 =  =

⇔ ⇔

= =

 

2x x

2x x

Vậy x ;4∈{ }

c) Vì ( )−2 = −8 nên (1 3x− ) ( )3 = −2 ⇔ −1 3x= −2

1 3x 3x x

⇔ + = ⇔ = ⇔ =

Vậy x 1=

Trong ví dụ ta sử dụng tính chất so sánh hai lũy thừa số mũ số nguyên sau đây:

= ⇔ = ±

2n 2n

x a x a

+ = + ⇔ =

2n 2n

x a x a

Ví dụ 4. Tìm x Z∈ , biết (x x 2+ )( − )<0

Giải

Vì (x x 2+ )( − )<0 nên suy x & x 2+ − hai số trái dấu Mặt khác: (x 3+ −) (x 2− )= + − + = >x x nên x x 2.+ > −

Do vậy: x x x x x

x x

 − <  <

− < < + ⇔ ⇔ ⇔ − < <

+ > > −

 

Vì x Z∈ nên x∈ − −{ 2; 1; 0; 1}

Nhận xét: Trong lời giải ta sử dụng tính chất suy từ quy tắc chuyển vế sau đây:

a b> ⇔ − >a b

Ngoài ra, từ a và b trái dấu, ta chia hai trường hợp:

> <

a 0& b

< >

a & b

Ví dụ 5 Tìm a,b Z∈ , biết: a.b 12= a b+ = −7

Giải:

Vì a.b 0> nên hai số a và b cùng dấu, mà a b 0+ < nên suy a b âm Do đó: a.b 12= = −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12− = −2 6− = −3 4−

Trong trường hợp có: ( ) ( )− + − = −3

Vậy ta có hai đáp số là: a= −3; b= −4 a= −4;b= −3

III BÀI TẬP 2.43. Tính hợp lí:

2.44. Tính giá trị biểu thức:

a) A 5a b= với a= −1;b 1= b) B= −9a b4 với a= −1;b 2=

2.45. Tính giá trị biểu thức

a) ax ay bx by+ + + biết a b+ = −3;x y 17+ =

b) ax ay bx by− + − biết a b+ = −7;x y− = −18

2.46. Cho a,b,c∈ Ζ Chứng minh rằng: a(c b) b( a c) c(a b)− − − − = +

2.47. Tìm x∈ Ζ, biết:

a) x( − +) (5 x 6− )= −98 b) (x x+ )( − )=0

2.48. Tìm x∈ Ζ, biết:

a) (x2+1 49 x)( − 2)=0 b)(x x+ )( − )=0

2.49. Tìm x∈ Ζ, biết:

a)(x x− )( − )>0 b) (x2−13 x)( 2−17)<0

2.50. Tìm x∈ Ζ, biết:

a) 6x 13 15− = b) 7x 19− ≤

2.51 Tìm x,y∈ Ζ, biết:

a) x.y= −28 b) (2x 4y 2− )( + )= −42

2.52. Tìm giá trị lớn biểu thức: P= − +(x 1)2− − +3 y 35

2.53. Cho 79 số nguyên tích số số âm Chứng minh tích tất 79 số số dương

2.54. Tìm x,y∈ Ζ, biết:

a) x xy y 9+ + =

(Đề thi tuyển vào lớp 10, Đại học Khoa học Tự nhiên, năm 2002)

Chuyên đề BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Kiến thức

a) Định nghĩa: Cho a, b∈ Ζ b 0≠

Nếu có số nguyên q cho a b.q= ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a b Khi ta cịn nói a bội b b ước a

Chú ý:

+ Số bội số nguyên khác + Số khơng ước số nguyên + Các số – ước số nguyên Z

+ Nếu c vừa ước a, vừa ước b c gọi ước chung của a Nếu c vừa bội

a, vừa bội b thì c gọi bội chung a và b

b) Tính chất chia hết trongZ • Nếu a b b c a c

• Nếu a b a.m b ( với m∈ Ζ)

• Nếu a c b c (a b c± )

2 Nâng cao

a) Các tính chất khác chia hết ( hay chia dư) số tự nhiên với số nguyên b) Nếu số a có m ước tự nhiên có thêm m ước số nguyên âm (là số đối ước tự nhiên) Vậy a có 2m ước nguyên

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm tất ước chung – 12 30

Giải

Tập hợp ước −12và 30 là:

Ư( 12)− =Ư(12)= −{ 12; 6; 4; 3; 2; 1;1; 2;3; 4; 6;12− − − − − }

Hoặc viết góp: Ư( 12)− = ± ± ± ± ± ±{ 1; 2; 3; 4; 6; 12}

Ư(30)= ± ± ± ± ± ±{ 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 ± ± }

ƯC( 12;30)− = ± ± ± ±{ 1; 2; 3; 6}

Nhận xét:

Ước chung −12 30 ước chung ƯCLN(12, 30)=6, nên: ƯC( 12, 30)− =Ư (6)

Ví dụ 2. Tìm x∈sao cho:

a) x 5− bội x + b) x – ước 3x +

Giải

a) Vì x 5− =(x+ −2) nên (x−5) (x +2)⇔7 (x +2)

Suy ra: x+ ∈2 Ư(7)= ± ±{ 1; }

Ta có bảng giá trị sau:

x + -7 -1

x -9 -3 -1

Vậy x∈ − − −{ 9; 3; 1;5}

b) Vì 3x+ =5 (3x− + =6) 11 3(x 2) 11− +

nên (3x+5) (x −2)⇔11 (x −2)

Suy ra: x− ∈2 Ư (11)= ± ±{ 1; 11} Ta có bảng giá trị sau:

x – -11 -1 11

x -9 13

Vậy x∈ − −{ 9; 1;3; 13− }

Nhận xét:

Ta giải toán theo cách học chương I Chẳng hạn, câu b) ta có: Vì (3x+5) (x −2)và 3(x−2) (x −2)

Nên (3x 5+ −) 3(x 2) (x 2)−  − (3x 3x 6) x

11 (x 2)

⇔ + − + −

⇔ −

Sau tiếp tục lập luận tương tự

Ví dụ 3. Cho x, y∈ Chứng minh: 6x + 11y bội 31 x + 7y bội 31

Giải

Ta có: (6x 11y) 6(x+ − +7y)=6x 11y 6x+ − −42y

=(6x−6y) (11y 42 y)+ −

31y 31

= − 

Suy ra: (6x 11y) 31+  ⇔6(x+7y) 31 (tính chất chia hết tổng) ⇔(x+7y) 31 (vì 31 nguyên tố nhau) Vậy 6x 11y+ bội 31 x+7y bội 31

Nhận xét:

Cách giải gọi phương pháp “khử x”: Ta thấy số thứ có số hạng 6x, số thứ hai có số hạng x Vậy để triệt tiêu hết x, ta nhân vào số thứ hai xét hiệu với số thứ

Tương tự, ta có phương pháp “khử” :

7(6x 11y) 11(x y)+ − + =42 x 77 y 11x 77 y+ − − =31x 31.

Sau lập luận tương tự

III BÀI TẬP

2.55. Tìm tập hợp bội chung 12 30.−

2.56. Tìm tập hợp ước chung 60;45; 105.− −

2.57. Với n∈,các số sau chẵn hay lẻ ?

a) (3n−4 3n 19 )( + ) b) n2− +n

2.58. Tìm số nguyên a, biết: a) a+2 ước b) 2alà ước 10.− c) 12 bội 2a 1.+

2.59. Chứng minh a∈ thì:

2.60. Tìm x, y∈,biết: a) (2x y 4− )( − )= −13 b) (5x y 1+ )( − =)

c) 5xy 5x− + =y

2.61. Cho x, y∈ Chứng minh rằng: 5x 47y+ bội 17 x 6y+ bội 17

2.62. Tìm x∈ cho: a) x−4là bội x 1.− b) 2x 1− ước 3x 2.+

2.63. Tìm x∈ cho:

a)

x +2là bội x 2.+ b) x 1− ước x2−2x+3

Chuyên đề nâng cao ĐỒNG DƯ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Phép chia với số dư âm

Chia số nguyên a cho số nguyên b 0> ta được: a=b.q+rvới r b 1.≤ ≤ −

- Nếu r 0= a chia hết cho b (kí hiệu a b ) hay a bội b ( a B(b)∈ ), hay b ước a ( b∈Ư(a) )

- Nếu r 0≠ phép chia a cho b phép chia có dư

- Số dư r chọn số nguyên âm

Ví dụ: Chia 19 cho 4, ta có: 19=4.4 3+ (thương 4, dư 3)

Hoặc 19 4.5 1= − (thương 5, dư 1− )

* Nhận xét : Việc sử dụng số dư âm giúp ta lựa chọn số dư có giá trị tuyệt đối nhỏ

Trong trường hợp tổng quát : a b.q r= + , ta có:

• Nếu b chẵn r b 1; b 2; ;0;1; b

2 2

 

∈ − + − + 

 

• Nếu b lẻ r b 1; b 3; ;0;1; b

2 2

− − −

 

∈ − − 

 

Ví dụ : Khi chia số cho số dư 2; 1;0;1;2;3.− − Khi chia số cho số dư 2; 1;0;1;2.− −

2 Đồng dư

2.1. Định nghĩa

Cho a,b số nguyên n số nguyên dương Ta nói a đồng dư với b theo mơđun

n, kí hiệu a≡b(mod n)⇔(a−b n.)

Nhận xét: Nếu a chia b dư r a r(mod b).≡

2.2. Tính chất: Với a,b,c,n∈ n>0,ta có:

a) a≡a(mod n)

b) a≡b(mod n)⇒ ≡b a(mod n)

c) a≡b(mod n), b≡c(mod n)⇒ ≡a c(mod n)

d) a≡b(mod n)⇒ ± ≡ ±a c b c(mod n)

e) a≡b(mod n)⇒ac≡bc(mod n)

g) a≡b(mod n)⇒ak ≡b (mod n), kk ∀ ≥1

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG 1 Chứng minh quan hệ chia hết

* Phương pháp : Để chứng minh a m ta chứng tỏ a 0(mod m).≡

Ví dụ 1. Chứng minh rằng: (22225555+55552222)7. Giải

Ta có: 2222≡3(mod 7) hay 2222≡ −4(mod 7); 5555≡4(mod 7)

( 5555 2222) ( )5555 2222 ( )

2222 5555  4  mod

⇒ + ≡ − + 

( 5555 2222) 2222( 3333 )( )

2222 5555 4 mod

⇒ + ≡ − −

Lại có 3333 ( )3 1111 1111

4 = =64 , mà 64≡1(mod 7)nên 43333 ≡1(mod 7)

( )

3333 2222 3333

4 (mod 7) 4 0(mod 7)

⇒ − ≡ ⇒ − − ≡

Do ( 5555 2222) ( )

2222 +5555 ≡0 mod

hay (22225555 +55552222)7

Như ta có a≡b(modn) (⇔ a−b)n.

Nhận xét: Nếu a chia b dư rthì a =r(mod b).

2.2 Tính chất: Với a b c n, , , ∈ n>0, ta có:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a) mod

b) mod mod

c) mod , mod mod

d) mod mod

e) mod mod

f) mod ; , mod

g) mod k k mod ,

a a n

a b n b a n

a b n b c n a c n

a b n a c b c n

a b n ac bc n

ac bc n c n a b n

a b n a b n k

≡

≡ ⇒ ≡

≡ ≡ ⇒ ≡

≡ ⇒ ± = ±

≡ ⇒ =

= = ⇒ ≡

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết

* Phương pháp:Để chứng minh a m ta chứng tỏ a≡0 mod( m).

Ví dụ 1. Chứng minh rằng: (22225555 +55552222)7

Giải

Ta có: 2222 2222=3 mod 7( ) hay 5555=4 mod 7( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

5555

5555 2222 2222

5555 2222 2222 3333

2222 5555 4 4 mod 7

2222 5555 4 4 1 mod 7

 

⇒ + = − + 

⇒ + = − −

Lại có 43333 =( )43 1111 =641111, mà 64 mod 7≡ ( ) nên 43333 ≡1 mod 7( )

( ) ( ) ( )

3333 2222 3333

4 1 mod 7 4 4 1 0 mod 7

⇒ − ≡ ⇒ − − ≡

Do (22225555 +55552222)≡0 mod 7( ) hay (22225555 +55552222)7

Ví dụ 2. Chứng minh rằng: A=(7.52n +12.6n)19

Giải

Ta có: 52n =( )52 n =25n ⇒ =A 7.25n +12.6n Vì 25≡6 mod19( ) nên 25n ≡6n(mod19)

( ) ( )

7.6n 12.6n mod19 19.6n mod19

A A

⇒ = + ⇔ ≡

Suy ra: A≡0 mod19( ) Vậy A19

Ví dụ 3. Chứng minh rằng: A=(232n +5 7) với n∈

Giải

Vì 4 mod 3≡ ( ) 4n ≡1 mod 3( ) hay 22n ≡1 mod ( )

2

2 n

⇒ chia cho dư Giả sử

2 n =3k +1,k∈

Ta có: A=23k+1+ =5 2.8k +5.

Vì 8k ≡1 mod 7( )⇒2.8k ≡2 mod 7( )⇒2.8k + ≡ +5 mod 7( ) hay A≡0 mod 7( )

Vậy A chia hết cho

2 Tìm số dư, chữ số tận

2.1 Tìm số dư chia a cho b>0

Nếu a≡r(modb) 0≤ <r b r số dư chia a cho b.

Ví dụ 4. Tìm số dư chia 32000 cho

Giải

Ta có: 32 ≡2 mod 7( )⇒36 =( )32 ≡1 mod 7( )

( )6 333 ( )

3 mod

⇒ ≡ hay 31998 ≡1 mod 7.( )

Mặt khác: 32 ≡2 mod 7( ) nên 32000 =31998 23 ≡1.2 mod 7( ) hay 32000 chia cho dư

Nhận xét:

Để tìm số dư chia n

a cho b>0, ta lấy lũy thừa với số mũ tăng dần a chia

cho b để tìm số dư Ta dừng lại để xem xét tìm số dư có giá trị tuyệt đối

nhỏ giá trị đặc biệt có liên quan đến tình tốn

2.2 Tìm chữ số tận

* Phương pháp: Nếu a≡r(mod10) 0≤ <r 10 r chữ số tận a. - Nếu a có chữ số tận 0; 5; an có chữ số tận a, tức là:

(mod10 ) n

a ≡a

Nếu a≡4 mod10( )⇒a2 ≡6 mod10 ,( ) nên a2k ≡6 mod10( ) Nếu a≡9 mod10( )⇒a2 ≡1 mod10 ,( ) nên a2k ≡1 mod10 ( )

⇒ Để tìm chữ số tận n

a ta chia n cho

- Nếu a có chữ số tận 2; 3; 7; ta áp dụng kết sau:

( ) ( ) ( ) ( )

44 44 44 44

2 ≡6 mod10 ; ≡1 mod10 ; ≡1 mod10 ; ≡6 mod10

⇒Để tìm chữ số tận n

a ta chia n cho

Ví dụ 5. Cho A=20122013. Tìm chữ số tận A.

Giải

Ta có số mũ 2013=4.503 1+

Vì 2012≡2 mod10( ) nên 20124 ≡6 mod10( )

( )

2013 2012

2012 2012 2012 6.2 mod10

⇒ = ≡ hay 20122013 ≡2 mod10( )

Vậy A có chữ số tận

2.3 Tìm hai chữ số tận

* Phương pháp: Nếu a ≡r(mod100) 10≤ ≤r 100 r hai chữ số tận

.

a

Ta có nhận xét sau:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

20 20

4

2 76 mod100 ; 3 1 mod100 ; 6 76 mod100 ; 7 1 mod100 ; 5 25 mod100

≡ ≡ ≡

≡ ≡

Mà 76n ≡76 mod100( )và 25n ≡25 mod100 ,( ) n≥2

Suy ra: a20k ≡00 mod100( ) a≡0 mod10( )

( )

20

1 mod100 k

a ≡ a ≡1; 3; 7; mod10( )

( )

20

25 mod100 k

a ≡ a ≡5 mod10( )

( )

20

76 mod10 k

Ví dụ 6. Cho số A=20122013. Tìm hai chữ số tận A.

Giải

Ta có: 2013=20.100 13+

Vì 2012≡2 mod10( ) nên 201220 ≡76 mod100( )

( 20)100 ( )

2012 76 mod100

⇒ ≡ hay 20122000 ≡76 mod100( ) (1)

Mặt khác: 2012 12 mod100≡ ( )⇒20126 ≡12 mod1006( ) Hay 20126 ≡84 mod100( )⇒(20126)2 ≡56 mod100( )

Hay 201212 ≡56 mod100( )⇒20122013 ≡72 mod100( ) (2) Từ (1) (2) suy ra: 20122013 =20122000.201213 ≡76.72 mod100( )

Hay 20122013 ≡72 mod100 ( ) Vậy A có hai chữ số tận 72

III BÀI TẬP

2.65. Chứng minh rằng: (22002 −4 31)

2.66. Tìm số dư phép chia: 570 +750 cho 12

2.67. Tìm số dư số A=32005 +42005 chia cho 11 chia cho 13

2.68 Chứng minh x không chia hết cho x2 ≡1 mod 3( )

2.69 Chứng minh rằng:

a) Nếu a≡1 mod 2( ) a2 ≡1 mod8( ) b) Nếu a≡1 mod 3( ) a3 ≡1 mod 9( )

2.70. Giả sử (x2 + y2)3 Chứng minh rằng: x3 y3

2.71 Chứng minh rằng: 192420032004 1920 124 n

+  với n∈*.

a) (19911997 −19971996)10 b) (29 +299)100

2.73 Chứng minh với n∈ ta có: a)(224n+1 +7 11)

b) nn−1+nn−2 + + n2 +1 chia hết cho n−1 (với n>1)

2.74. Cho n∈. Chứng minh : a) 5n+2 +26.5n +82n+159

b) (42n −32n −7 168) (n≥1 )

2.75 Chứng minh 9n +1 khơng chia hết cho 100, với n∈. 2.76 Tìm số tự nhiên n cho:

a) (23n+4 +32n+1)19 b) (n.2n +1 3.)

2.77 Tìm hai chữ số tận số sau: a)

9

9

7

A= b) B=2992012

2.78. Cho số C =19781986

PHẦN HÌNH HỌC

Chương I ĐOẠN THẲNG Chuyên đề ĐIỂM ĐƯỜNG THẲNG

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu

A∈d Khi ba điểm A, B, C

thuộc đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng (h.1)

2. Điểm M không thuộc đường thẳng d kí

hiệu M∉d Khi ba điểm A, B, M

khơng thuộc đường thẳng ta nói chúng khơng thẳng hàng (h.2)

Hình

Hình

3.Trong ba điểm thẳng hàng có điểm điểm nằm hai điểm khác

Trong hình 1, điểm B nằm hai điểm A C

4. Có đường thẳng đường thẳng qua hai điểm A B

Đường thẳng d hình cịn gọi đường thẳng AB Ta đặt tên đường thẳng hai chữ thường ví dụ đường thẳng xy

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1.Trên đường thẳng lấy điểm A, B, C, D theo thứ tự lấy điểm O a.∉

a) Hãy kể tên trường hợp điểm nằm hai điểm khác

b) Có nhóm ba điểm khơng thẳng hàng?

Giải (h.3)

a) Có trường hợp điểm nằm hai điểm khác là:

- Điểm B nằm A C;

- Điểm B nằm A D;

- Điểm C nằm A D;

- Điểm C nằm B D

Hình

b) Có nhóm ba điểm khơng thẳng hàng là:

(O; A; B) ; (O; A; C) ; (O; A; D) ; (O; B; C) ; (O; B; D) (O; C; D)

C B

A d

M

B A

d

D C

O

B A

Lưu ý: Bạn dễ dàng nhận thấy điểm B nằm hai điểm A C bạn bỏ sót trường hợp B nằm A D Để khắc phục tình trạng bạn cần nhớ ba điểm thẳng hàng, có điểm nằm hai điểm cịn lại

Ví dụ 2. Cho trước số điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ

đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng số điểm cho trước là:

a) điểm A, B, C, D ; b) điểm A, B, C, D, E; c) n điểm (n∈;n≥2)

Giải

a) Với điểm A, B, C, D cho trước khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng là: AB, AC, AD, BC, BD CD (h.4)

b) Với điểm A,B, C, D, E cho trước khơng có điểm thẳng hàng vẽ 10 đường thẳng là: AB, AC, AD, AE;

BC, BD, BE;

CD, CE DE (h.5)

Hình

Hình

c) Chọn số n điểm cho nối điểm với n−1 điểm cịn lại ta

1

n− đường thẳng Làm với tất n điểm ta (n−1 )n đường

thẳng Nhưng đường thẳng tính hai lần (vì đường thẳng AB với

đường thẳng BA một) thực vẽ ( 1)

2

n n−

đường thẳng

Lưu ý:

- Nếu n số điểm cho trước khơng có ba điểm thẳng hàng cơng thức

( )

2

n n−

giúp ta tính số đường thẳng qua cặp điểm

- Ngược lại, n số đường thẳng cho trước đơi cắt khơng có ba,

bốn, đường thẳng đồng quy cơng thức ( 1)

2

n n−

giúp ta tính số giao điểm tất cặp đường thẳng

D C

B A

E

D C

Ví dụ 3. Cho trước số điểm có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường

thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng số điểm cho

trước là:

a) điểm; b) n điểm (n∈,n≥3)

Giải

a) Nếu điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ

được 7.6 21

2 = (đường thẳng)

Bây xét đến ba điểm thẳng hàng, qua chúng vẽ đường thẳng Nếu ba

điểm khơng thẳng hàng vẽ ba đường thẳng Số đường thẳng giảm : 3 1− =2 (đường thẳng)

Vậy vẽ tất 21 19− = (đường thẳng)

b) Lập luận tương tự câu a) ta đáp số ( 1)

2

n n−

= (đường thẳng)

Ví dụ 4.Cho trước n điểm có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua

các cặp điểm Biết số đường thẳng vẽ tất 28, tìm số n?

Giải

Ta có: ( 1) 28

2

n n−

=

Suy ra: n n.( − =1) 56=8.7

Vì n n−1 hai số tự nhiên liên tiếp nên n=8

C BÀI TẬP

1.1.Xem hình cho biết:

- Có nhóm ba điểm thẳng hàng?

- Có trường hợp điểm nằm hai điểm khác?

Hình

1.3.Cho trước số điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Nếu bớt ba điểm

số đường thẳng vẽ qua cặp điểm lại 36 Hỏi khơng bớt ba

điểm vẽ đường thẳng?

1.4. Cho điểm A, B, C, D, E Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi điểm cho

phải có điều kiện để số đường thẳng vẽ là:

a) 10; b) 5; c)

1.5. Cho trước n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Nếu bớt điểm số

đường thẳng vẽ qua cặp điểm giảm 10 đường thẳng Hỏi lúc cho điểm?

1.6. Có 16 đường thẳng cắt đơi khơng có ba đường thẳng qua

điểm Hỏi có tất giao điểm 16 đường thẳng cho?

1.7. Cho số đường thẳng cắt đôi khơng có ba đường thẳng qua

một điểm Biết có tất 190 giao điểm, tính số đường thẳng cho

1.8. Cho trước 12 đuểm có điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua

cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng?

1.9. Cho a b c, , ba đường thẳng phân biệt Hãy cho biết số giao điểm ba đường thẳng

này

1.10. Vẽ đường thẳng cho chúng có nhiều giao điểm

1.11.Hai đường thẳng m n có chung điểm O Hãy nêu điều kiện để:

a) m n hai đường thẳng phân biệt;

b) m n hai đường thẳng trùng

1.12. Cho bốn điểm A, B, M, N cho điểm M nằm hai điểm A B; điểm B nằm hai điểm M N Chứng tỏ hai đường thẳng AB MN trùng

1.13.Cho hai đường thẳng a b cắt O Vẽ điểm P Q cho chúng không

nằm hai đường thẳng Nêu cách xác định điểm M thuộc đường thẳng a

Chuyên đề TIA A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị

chia điểm O gọi tia gốc O Trên hình ta có tia Ox

2.Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi

hai tia đối Trên hình ta có hai tia Ox Oy đối

Nhận xét: Mỗi điểm đường thẳng gốc chung hai tia đối

3. Hai tia trùng nhau: Trên tia Ox lấy điểm

M (M khác O) Khi hia tia Ox OM trùng (h.9)

Hai tia trùng coi tia

4 Mối quan hệ điểm nằm hai điểm

khác với hai tia đối nhau, hai tia trùng

Xét ba điểm A, O, B thẳng hàng (h.10)

• Nếu hai tia OA, Ob đối gốc O nằm A B

•Ngược lại, điểm O nằm A B hai

tia OA OB đối nhau; hai tia AO, AB trùng nhau, hai tia BO, BA trùng

Hình

ư

Hình

Hình

Hình 10

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1.Trên đường thẳng xy lấy ba điểm m, O, N (h.11)

Hình 11

Hãy kể tên:

a) Các cặp tia đối nhau;

b) Các tia trùng gốc O, tia trùng gốc M

Giải

a) Có ba cặp tia đối là: Mx My; Ox Oy; Nx Ny

b) Có hai cặp tia trùng gốc O là: Ox OM, Oy ON

x O

y

x O

x M

O

A O B

y N

O M

Có ba tia trùng gốc M là: MO, Mn My

Lưu ý: Ba tia trùng coi tia

Ví dụ 2. Cho điểm O nằm hai điểm A B điểm M cho hai tia OM OB

trùng Chứng tỏ rằng: a) Hai tia OA, OM đối nhau;

b) Bốn điểm A, B, O, M thẳng hàng

Giải (h.12)

a)Vì điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA OB đối (1)

Mặt khác hai tia OM OB trùng (2)

Hình 12

Nên từ (1) (2) suy hai tia OA, OM đối

b) Hai tia OA, OB đối nên ba điểm O, A, B thuộc đường thẳng Hai tia OA, OM đối nên ba điểm O, A, M thuộc đường thẳng

Hai đường thẳng có hai điểm chung O A nên chúng trùng điểm A, B, O, M thẳng hàng

C BÀI TẬP

1.14. Kể tên tia có hình 13

1.15. Trong hình 14 có tia?

Hình 13 Hình 14

1.16. Trên đường thẳng lấy n điểm A1, A2, , An Qua điểm vẽ đường thẳng

song song với Tính giá trị cảu n để hình có 100 tia

B

A O M

O

y B

x

m n

A

m p u

y n q

v x

E D

C

1.17.Cho điểm O nằm hai điểm M N Trên tia Om lấy điểm E, tia ON lấy điểm F

Giải thích sao:

a) Hai tia BO BC đối nhau;

b) Điểm B nằm hai điểm O C

1.18 Cho điểm O nằm hai điểm A B, điểm B nằm hai điểm A C Giải thích

sao:

a) Hai tia BO BC đối nhau;

b)Điểm B nằm hai điểm O C

1.19 Cho điểm B nằm hai điểm A C, điểm C nằm hai điểm B D Chứng tỏ

rằng:

Chuyên đề ĐOẠN THẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Đoạn thẳng AB hình gồm điêm A, điểm B

và tất điểm nằm A B (h 15)

Hình 15

2 Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số lớn

3 Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM +MB=AB

4 Trên tia Ox vẽ điểm M cho OM =a (đơn vị

dài)

5 Trên tia Ox, OM =a, ON =b,

0< <a b điểm M nằm hai điểm O N

(h 16)

Hình 16

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A, B, C a) Kể tên đoạn thẳng có hình

b) Cho biết AC =3cm, BC=5cm Tính độ dài AB

Giải

a) Trong hình có ba đoạn thẳng AB, AC BC b) Xét ba trường hợp

• Trường hợp điểm A nằm điểm B

C (h 17)

Ta có: BA+AC =BC

5 ( )

BA

AB cm

+ = = − =

• Trường hợp điểm B nằm hai điểm A C

Ta có: AB+BC =AC

5

AB+ = (vơ lí)

• Trường hợp điểm C nằm hai điểm A B

Hình 17

Hình 18 Ta có:

3

8 ( )

AC CB AB AB AB cm + = + = =

Vậy AB=2cm AB=8cm

Lưu ý:Khi đề không cho biết vị trí tương đối ba điểm A, B, C phải xét trường hợp vị trí điểm hai điểm lại Nếu khơng bỏ sót đáp số

Ví dụ Trên đường thẳng xy bốn điểm C, E, F, D theo thứ tự Biết CD=7cm, EF=3cm, FD=2cm

a) So sánh CE EF

b) Tìm cặp đoạn thẳng hình vẽ

Giải (h 19)

B A x N M b a O C

B A y

x

5

B

a) Điểm F nằm hai điểm E D nên ED=EF +FD= + =3 (cm)

Điểm E nằm hai điểm C D nên

7 ( )

CE ED CD

CE CD ED cm

+ =

⇒ = − = − = Hình 19

b) Ta có CE=ED ( 5= cm)

Ví dụ Cho ba điểm A, B, C cho AB=2cm, BC=4cm CA=3cm Hỏi ba điểm

A, B, C có thẳng hàng khơng? Vì sao?

Giải

• Giả sử điểm A nằm B C, BA+AC=BC tức

2 3+ =4 (vơ lí)

Vậy A khơng nằm B C

• Giả sử điểm B nằm A C, AB+BC= AC tức

2+ =4 (vơ lí)

Vậy B không nằm A C

• Giả sử điểm C nằm A B, AC+CB= AB tức

3 4+ =2 (vơ lí)

Vậy C khơng nằm A B

Trong ba điểm A, B, C khơng có điểm nằm hai điểm lại ba điểm khơng thằng hàng

Lưu ý: Bạn giải toán cách khác gọn sau: Ta có BA+AC≠BC (vì 3+ ≠4) nên A khơng nằm B C

AB+BC≠BC (vì 2+ ≠4 3) nên B không nằm A C

AC+CB≠AB (vì 4+ ≠2) nên C khơng nằm A B

Trong ba điểm A, B, C khơng có điểm nằm hai điểm cịn lại ba điểm khơng thằng hàng

Ví dụ Trên tia Ox lấy điểm A B cho OA=2cm; OB=5cm Trên tia đối

của tia Bx lấy điểm M cho BM =OA Tính độ dài AM

Giải (h 20) Trên tia Ox có OA<OB (2<5) nên điểm A nằm hai điểm O B

OA+AB=OB

5 ( )

AB OB OA cm

⇒ = − = − =

Ta có BM =OA=2cm

Trên tia BO có BM <MA (2<3) nên

điểm M nằm B A Hình 20

Ta có BM +MA=BA

2+MA= ⇒3 MA=1cm

C BÀI TẬP

7

3 F D

E

C y

x

M ?

2 A x

O B

1.20 Trong hình 21 đường thẳng nào, tia

nào cắt đoạn PQ?

1.21 Cho bốn điểm A, B, C, D Vẽ

đoạn thẳng có hai đầu hai số điểm cho Hỏi vẽ tất đoạn thẳng

1.22 Cho trước n điểm Vẽ đoạn

thẳng có hai đầu hai điểm cho Biết vẽ tất 36 đoạn thẳng Tính giá trị n

1.23 Trên đoạn thẳng xy, lấy bốn diểm

A, B, C, D theo thứ tự Cho biết

AC >BD Hãy so sánh hai đoạn

thẳng AB CD

Hình 21

1.24 Cho đoạn thẳng AB Trên ta đối tia AB lấy điểm M cho AM =1cm Trên tia đối

của tia BA lấy điểm N cho BN =2cm Hãy so sánh hai đoạn thẳng BM AN

1.25 Cho điểm M nằm hai điểm A B; điểm B nằm hai điểm A C Biết

3

AM = cm, MB=2cm, BC=1cm Tính độ dài AC

1.26 Cho đoạn thẳng AB=7cm Lấy điểm M nằm A B cho MA MA− =3cm Tính độ dài đoạn thẳng MA MB

1.27 Cho đoạn thẳng AB=6cm Trên đường thẳng AB lấy điểm M cho MA=2MB Tính độ dài đoạn thẳng MB

1.28 Cho ba điểm A, B, C Biết AC=3cm, BC =2cm AB=5cm Hỏi hai tia CA

CB có vị trí nhau?

1.29 Trên tia Ox lấy điểm A B cho OA=4cm, AB=2cm Tính độ dài đoạn thẳng

OB

1.30 Trên tia Ox lấy điểm M N cho OM =3cm, MN =5cm Tính độ dài đoạn

thẳng ON

1.31 Trên tia Ox lấy ba điểm A, B, C cho OA=2cm, OB=3cm, OC=5cm Tìm cặp

đoạn thẳng hình vẽ

1.32 Trên tia Ox lấy điểm M N cho OM =m, ON = +m n m> >n Hãy so sánh OM MN

Q P

B

n

m A

y x

v

Chuyên đề TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa: Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A B cách A, B (MA=MB)

2 Tính chất: Nếu M trung điểm AB

2

AB

MA=MB= (h 22)

Hình 22

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 5cm Trên đoạn thẳng lấy điểm C cho

AC= cm Gọi M trung điểm CB Tính độ dài AM

Giải. (h 23)

Điểm C nằm A B

nên AC+CB= AB

5 ( )

CB AB AC cm

⇒ = − = − =

Vì M trung điểm CB

Nên ( )

2

CB

MB= = = cm Hình 23

Điểm M nằm A B nên AM +MB=AB

Suy AM = AB−MB= − =5 (cm)

Nhận xét: Trong lời giải dựa vào nhận biết trực quan qua hình vẽ ta nói điểm M năm hai điểm A B mà khơng giải thích lí chuẩn kiến thức kĩ mơn Tốn khơng u cầu phải giải thích

Nếu muốn giải thích bạn lập luận sau:

Trên tia BA có BM <BA (1 5)< nên điểm M nằm hai điểm A B Vấn đề bạn phải xét tia gốc B

Ví dụ Cho đoạn thẳng AB=6cm Lấy điểm M nằm hai điểm A B cho

3

AM = AB Trên tia MB lấy điểm O cho

2

MO= AM Chứng tỏ rằng:

a) Điểm O trung điểm đoạn thẳng MB;

b) Điểm O trung điểm đoạn thẳng MB

Giải. (h 24)

a) Ta có 1.6 ( )

3

AM = AB= = cm

1.2 ( )

2

MO= AM = = cm Vì điểm M nằm A B nên

AM +MB=AB Hình 24

Suy MB= AB−AM = − =6 (cm)

Trên tia MB có MO<MB (1 4)< nên điểm O nằm hai điểm M B

Do MO+OB=MB

Suy OB=MB−MO= − =4 (cm)

Vậy OM <OB (1 3)< , O khơng phải trung điểm đoạn thẳng MB b) Trên tia BA có BO<BA (3<6) nên điểm O nằm hai điểm B A (1) Ta có BO+OA=BA⇒OA=BA−BO= − =6 3 (cm)

Vậy OA=OB( 3= cm) (2)

Từ (1) (2) suy O trung điểm đoạn thẳng AB

Ví dụ Trên đường thẳng xy lấy điểm O Trên tia Ox lấy điểm M cho

OM = cm Trên tia Oy lấy điểm N P cho ON =2cm OP= >a 2cm

a) Chứng tỏ O trung điểm MN

b)Tìm giá trị a để N trung điểm OP

Giải. (h 25)

a) Hai tia OM, ON đối nên

điểm O nằm hai điểm M N (1)

Mặt khác OM =ON( 2= cm) (2) Từ (1) (2) suy O trung

điểm đoạn thẳng MN Hình 25

b)Trên tia Oy có ON <OP (vì 2<a) nên điểm N nằm hai điểm O P

Ta có ON +NP=OP⇒NP=OP ON− = −a

Để N trung điểm OP phải có thêm điều kiện:

2 ( )

NP=ON ⇔ − = ⇔ =a a cm

C BÀI TẬP

1.33 Cho đoạn thẳng AB điểm O nằm hai điểm A B Biết

2

AO= AB, chứng tỏ

rằng điểm O trung điểm đoạn thẳng AB

1.34 Cho ba điểm M, O, N thẳng hàng Biết OM =ON , chứng tỏ O trung điểm

MN

1.35 Trên đường thẳng xy lấy điểm M, N, O, P, Q theo thứ tự cho

MN =NO=OP=PQ Tìm điểm trung điểm đoạn thẳng

1.36 Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=4cm; OB=6cm Gọi M N

trung điểm OA OB Tính độ dài MN

1.37 Cho ba điểm P, O, Q cho OP=OQ=2cm; PQ=3cm Hỏi điểm O có phải trung

điểm đoạn thẳng PQ khơng? Vì sao?

1.38 Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=4cm, OB=6cm Gọi M trung điểm

OA

a) Tính độ dài BM

b) Chứng tỏ A trung điểm đoạn thẳng MB

1.39 Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M N Cho biết AB=7cm; AM =3cm; BN =2cm Chứng tỏ N trung điểm đoạn thẳng MB

a

P

N y

1.40 Trên đường thẳng xy lấy điểm O hai điểm M, N cho OM =1cm; 2,5

ON = cm Vẽ điểm A B đường thẳng xy cho M trung điểm OA,

N trung điểm OB Tính độ dài AB

1.41 Cho đoạn thẳng AB=210 (cm) Gọi M1 trung điểm đoạn thẳng AB, M2 trung điểm đoạn thẳng M B1 , M3 trung điểm đoạn thẳng M B2 M10 trung

Chuyên đề nâng cao

CÁC DẤU HIỆU NHẬN BIẾT MỘT ĐIỂM NẰM GIỮA HAI ĐIỂM KHÁC

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Ta biết tổng AM +MB= AB điểm M nằm A B Còn muốn chứng tỏ

điểm trung điểm đoạn thẳng ta phải chứng tỏ điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng Như vậy, nhiều ta phải chứng tỏ điểm nằm hai điểm khác

Bình thường, ta nhận biêt điểm nằm hai điểm khác cách trực quan qua hình vẽ Tuy nhiên, để rèn luyện tư tích cực, chuyên đề ta chứng tỏ điểm nằm hai điểm khác lập luận xác, suy luận có

Những dấu hiệu nhận biết điểm nằm hai điểm khác mà ta vận dụng để giải số

tập là:

• Dấu hiệu 1: Nếu hai tia MA, MB đối điểm M nằm hai điểm A B (h 26)

• Dấu hiệu 2: Nếu AM +MB=AB

thì điểm A nằm hai điểm A B (h.26)

• Dấu hiệu 3: Nếu tia Ox có

OA<OB điểm A nằm hai điểm O

và B (h.27)

Sau ta xét thêm hai dấu hiệu mới:

Hình 26

Hình 27

• Dấu hiệu 4: Trên tia Ox có OA<OM <OB điểm M nằm hai điểm A B (h

28)

Ta giải thích sau:

- Trên tia Ox có OA<OM nên điểm A nằm

giữa hai điểm O M, hai tia MA, MO trùng (1)

Hình 28

- Trên tia Ox có OM <OB nên điểm M nằm hai điểm O B

Do hai tia MB, MO đối (2) Từ (1) (2) suy hai tia MA, MB đối Vậy điểm M nằm hai điểm A B

• Dấu hiệu 5: Cho điểm O nằm hai điểm A B, điểm M nằm O A, điểm N nằm O B Khi điểm O nằm hai điểm M N (h 29)

Hình 29

Ta giải thích sau:

- Vì điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA, OB đối (1)

- Vì điểm M nằm hai điểm O A nên hai tia OM, OA trùng (2)

M B A

x

A B

O

x B M

A O

O

- Vì điểm N nằm hai điểm O B nên hai tia ON, OB trùng (3)

Từ (1), (2), (3) suy hai tia OM, ON đối nhau, điểm O nằm hai điểm M

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ Cho ba điểm A, O, B cho OA=2cm, OB=3cm AB=5cm Lấy điểm M

nằm đường thẳng AB cho OM =1cm Tính độ dài đoạn thẳng AM

Giải

Ta có AO+OB=AB (vì 2+ =5) nên điểm O nằm hai điểm A B (dấu hiệu 2)

Suy O nằm đường thẳng AB hai tia OA, OB đối

• Trường hợp điểm M nằm tia OB

(h 30)

Ta có hai tia OM OA đối điểm O nằm hai điểm A M (dấu

hiệu 1) Khi

2 ( )

AM =AO+OM = + = cm

• Trường hợp điểm M nằm tia OA

(h 31)

Ta có OM <OA (vì 2< ) nên điểm M

nằm O A (dấu hiệu 3)

Khi OM +MA=OA

Suy AM =OA OA− = − =2 1 (cm)

Hình 30

Hình 31

Ví dụ Trên tia Ox lấy ba điểm A, B, C cho OA=3cm, OB=5cm, OC =7cm Chứng tỏ rằng:

a) Điểm A trung điểm đoạn thẳng OB;

b) Điểm B trung điểm đoạn thẳng AC

Giải (h 32)

a) Trên tia Ox có OA<OB (3<5) nên điểm A nằm hai điểm O B (dấu hiệu 3)

Ta có OA+AB=OB

Suy AB=OB OA− = − =5 (cm)

Hình 32

Vậy OA> AB (3>2) nên A trung điểm đoạn thẳng OB

b) Trên tia Ox có OB<OC (5<7) nên điểm B nằm hai điểm O C (dấu hiệu 3) Ta có OB+BC=OC, suy BC =OC−OB= − =7 (cm)

VậyAB=BC ( 2= cm) (1)

Trên tia Ox có OA<OB<OC (3< <5 7) nên điểm B nằm hai điểm A C (dấu

hiệu 4) (2)

Từ (1) (2) suy điểm B trung điểm AC

Ví dụ Cho đoạn thẳng AB Gọi O điểm nằm A B Lấy điểm M nằm O A, điểm N nằm O B

a) Chứng tỏ

2

AB MN =

1

A O M B

b) Áp dụng: Cho biết MN =3cm, tính độ dài AB

Giải (h.33)

a) Điểm M trung điểm OA nên M nằm O

A,

2

OA

OM  Điểm N trung điểm OB nên

N nằm O B,

2

OB ON Mặt khác điểm O nằm A B

(đề cho) nên O nằm M N (dấu hiệu 5) Suy

2 2

OA OB OA OB AB

MN OM ON     

b) Ta có

2

AB

MN  nên

2

AB

 , suy AB6 cm

C BÀI TẬP

1.42. Vẽ đoạn thẳng AB2a Gọi M trung điểm AB Lấy điểm N nằm A B

sao cho ANNB Hỏi điểm , ,A M N ,B M N, điểm nằm hai điểm lại?

1.43.Cho đoạn thẳng AB trung điểm O Lấy điểm M N thuộc đoạn thẳng

AB cho

2

AB

AM BN Hỏi điểm O có phải trung điểm MN khơng? Vì sao?

1.44. Cho đoạn thẳng AB7cm Lấy điểm I K nằm A B cho

 

3 ,

AI  cm BK a a cm a) Tính độ dài IK

b) Xác định giá trị a để K trung điểm IB

1.45. Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OAa OB, b với ab Gọi M trung điểm AB Chứng tỏ

2

a b OM  

1.46. Cho đoạn thẳng AB6cm Lấy hai điểm E F nằm A B cho

E

A BF cm Tính độ dài EF

1.47. Trên tia Ox lấy ba điểm , ,A B C cho OA1,5cm;OB3cm;OC4,5cm Hỏi hình vẽ có điểm trung điểm đoạn thẳng?

Hình 33

N

M B

1.48. Cho đoạn thẳng AB4cm Trên tia đối tia AB lấy điểm O cho OA2cm Gọi M N trung điểm OA OB Hãy so sánh:

a) OA với MN

b) OM AN

1.49. Cho đoạn thẳng AB6cm Lấy điểm E nằm hai điểm A B cho

3

AE AB Gọi F trung điểm AE

a) Chứng tỏ E trung điểm BF

b) Gọi O trung điểm EF, giải thích O trung điểm AB

1.50.Cho đoạn thẳng AB trung điểm Ocủa Trên tia đối tia BA lấy điểm M (M khác B) Chứng tỏ

2

MA MB

OM  

1.51.Cho đoạn thẳng AB trung điểm O Gọi M điểm nằm A B

nhưng không trùng với O Chứng tỏ

2

MA MB

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

PHẦN SỐ HỌC

Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN Chuyên đề

1.1 Tập hợp A1; 2;3

Các cách viết là: a) I A d)  2;3 A

Các cách viết sai là: b)  I A c) 3A

Sửa lại là: b)  I  A c) 3A

1.2 A2;3;7;8 , B1;3;5;7;9

a) Tập hợp A có phần tử, tập hợp B có phần tử b) , 3;7 , , 7     

1.3. a) A 8  A có phần tử b) B  B khơng có phần tử

1.4. a) Số phần tử A là: 98 10 : 2   1 45 b) Số phần tử B là: 70 10 : 3   1 21

1.5. Xét dãy số 2;7;12;17;22;

a) Quy luật: Dãy số cách với khoảng cách b) 22; 27;32;37; 42

c) Gọi số hạng thứ 100 dãy x, ta có: x2 : 5  1 100 497

x

  Do tổng 100 số hạng đầu dãy là:

2497 100 : 2 24950

1.6 A31;33;35;37;39; 41; 43; 45; 47; 49

0;10; 20;30; 40;50;60;70;80

1.7. 660 chữ số

1.8. Viết liền số tự nhiên 123456… a) chữ số đầu tiên: 1, 2, …,

44 số có hai chữ số tiếp theo: 10, 11, …, 53

 Chữ số hàng đơn vị số 53 hàng số: 44.2 97 

Tương tự, chữ số hàng đơn vị số 328 hàng số 876; chữ số hàng đơn vị số 1587 hàng số 5241

b) Chữ số viết hàng thứ 427 chữ số (chữ số hàng trăm số 179)

1.9. Có 24 phần tử

Các số có chữ số a vị trí hàng nghìn là:

, , , , ,

abcd abdc acbd acdb adbc adcb (có số)

Vì vai trị , , ,a b c d nên đặt , ,b c d chữ số hàng nghìn ta kết tương tự Vậy số số tạo thành là: 6.4 24

1.10 a) 17 số Trong đó:

- Có 16 số với chữ số 5: 15;25;35;45;65;75;85;95 51;52;53;54;56;57;58;59

- Có số với hai chữ số: 55 b) 36 số

- Từ số 12 đến số 19: có số - Từ số 23 đến số 29: có số …

- Từ số 78 đến số 79: có số - Số 89: có số

Vậy có tất 1     2 1 8 : 2 36 số thoả mãn c) 45 số

Có 90 số có hai chữ số, số có hai chữ số 11, 22, ,99 , 36 s ố có chữ số hàng chục nhỏ hàng đơn vị Suy số số có chữ số hàng chục lớn hàng đơn vị là:

Chú ý: Có thể giải thích tương tự câu b

1.11. số: , , , , , ,I II III IV V VI VII VIII, - Số nhỏ số I (có giá trị 1) - Số lớn số VIII (có giá trị 8)

1.12 a) 81 phần tử

Có 90 số có hai chữ số, số có hai chữ số giống

 có 90 9 81 số thoả mãn b) 648 phần tử

1.13.106 điểm 10

• bạn điểm 10  có 5.420 (điểm 10)

• 15 5 10 bạn điểm 10  có 10.330 (điểm 10)

• 41 15 26 bạn điểm 10  có 26.252 (điểm 10)

• 45414 bạn điểm 10  có 4.14 (điểm 10)

Vậy tất có : 20 30 52 106    (điểm 10)

1.14. 4321

Gọi số cần tìm abc1 0 a b c, , 9;a0 Theo đề ta có: abc11abc2889

10 1000 2889

9 3888 432

abc abc

abc abc

    

   

Vậy số cần tìm 4321

1.15. 63

Gọi số trừ x x N* Theo đề ta có : 3x  x 57

10 57

9 54

x x

x x

   

   

1.16.Có 10 đáp số: 109; 119; 129; …; 199

Gọi số cần tìm abc0a c, 9;0 b 9 Theo đề ta có: cba792abc

100 10 792 100 10

8 9;

c b a a b c

c a c a

      

     

Vậy số cần tìm 9b với b0;1; 2; ;9

1.17. 77

Gọi số cần tìm ab0a b, 9;a0 Theo đề ta có: 1 23.ab  ab

1000 10 23

13 1001 77

ab ab

ab ab

   

   

Vậy số cần tìm 77

1.18. 14285

Gọi số cần tìm xabcde0a b c d e, , , , 9;a0 Theo đề ta có: 7abcde5.abcde7

 

700000 abcde 10.abcde

   

Hay 700000 x 10. x7

49.x 699965 x 14285

   

Vậy số cần tìm 14285

1.19 35

Gọi số cần tìm ab0a b, 9;a0 Theo đề ta có: 7abab7.221

 

700 10 21

700 20 14 21

19 665 35

ab ab

ab ab

ab ab

    

    

Vậy số cần tìm 35

1.20 a) 9000 số b) 3000 số

Chú ý : Trong ba số tự nhiên có chữ số tận liên tiếp (chẳng hạn: 14, 24, 34), có số chia hết cho

-

Chuyên đề

1.21 a) 30000 b) 303

1.22. a) b) 21011

Đặt 99 100

1 2 2 2

A       

2 99 100 101

101

2 2 2 2

2

A A A

        

   

Vậy A21011

c)  101 

5 5 : 24

Đặt 97 99

5 5 5

B     

2 97 99 101

101

5 5 5

25 5

B B B

      

   

Vậy  101 

5 : 24

B 

1.23 154

1.24. a) 24353.278 b) 151281 1253

c) 7812781178117810

1.25. A  1 32  33 34 35  319983199932000

3 1998

1.13 13 13 13

    

1.26. a) x10 b) x79

1.28. a) x4 b) x 

1.29. a) x 5;6 b) x 0;1

1.30. x 2;3

1.31. 4662

Chú ý: Mỗi chữ số xuất hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị hai lần, nên tổng số tạo thành là: 666 7778884662

1.32. 23 12

Thêm 19 đơn vị vào số thứ tích tăng thêm 19 lần số thứ hai, ứng với 713 276 437 

Số thứ hai 437 :19 23  số thứ 276 : 23 12

Chú ý: Có thể giải cách gọi hai số a b

1.33. Số bị trừ 16; số trừ 10

1.34. Số bị chia 377; số chia 13

1.35.Có đáp số

Số chia 54 27 18

Thương

Chú ý: Số chia lớn số dư

1.36. 85; 28;

1.37.Thương lần thương cũ cộng

Gọi số bị chia x thương phép chia x cho 48 q

Theo đề ta có: x48.q4116 3 q 16.2 9 16 3 q 2

x

 chia cho 16 thương 3q2 dư

1.38. Số bị chia nhỏ 413, số chia nhỏ 46

1.39 29158 9412

1.40. 12

Chuyên đề

1.41. A chia hết cho 3, cho 6, cho 13 A không chia hết cho

1.42. Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp ;a a1;a2;a3 Tổng bốn số 4a6, khơng chia hết cho 4a 4

1.43. a chia hết cho không chia hết cho

1.44. aaaa.1113.37 37a

1.45. a) 2012  2010

1 4   4 21 1  4 21

b) 101  100

1 7 7   8 17 7   8

c) 222  23 2100 2 1  2 22 23 242 16  2 22 23 24

   

96 96

2 2 31 2 31

          

Mặt khác 222  23 2100 223  2224  297 299  2982100

 97 98 

2.5 5 5

       

1.46. a) Vì abcdeg 13 abcdeg13kabcdeg13k (với kN ) Do vậy: abcdeg1000.abcdeg1000 deg 13kdeg

1001.deg 1000.13.k13

  

b) abc100a10b c 98a7b2a3bc

Vậy abc7 2a3bc7

1.47. a3

20 20 20a a a20 1000000a 20 1000a 20a20 1001001 7a 

20a

  (vì 1001001 7 )

200 a 196 a 7 a 7

          , 196 7

3

a

 

b) n 1;3 c) n 3;9

1.49. a) n6;7;8;11;14; 23 b) n0 c) n2

1.50. 13 a8b13 5 a3bb2012 Tương tự: 5 a3b3 13 a8ba2012

-

Chuyên đề

1.51. a) 650 b) 305 c) 306 d) 630

1.52. 324; 234; 342; 432

1.53. a) 10338 2 10332 2

Mặt khác 1033 10 00 có tổng chữ số

33

10 100 08

   có tổng chữ số  33 

10

  

Vậy 10338 số chẵn chia hết chia hết cho 18

b) Tương tự câu a), ta có:  10 

10 14 2

1.54. Dù n số chẵn hay số lẻ hai số tự nhiên liên tiếp n7 n8 ln có số số chẵn nên tích n7n8 số chẵn

n 7n 8

   chia hết cho

1.55. Gọi ba số chẵn liên tiếp 2a2; ; 2a a2 (với aN*) Tích ba số: 2a2 2 a a 2 8a1 a a1

Vì a1 a a1 3! a1 a a1 6 nên

2a2 2 a a 2 8a1 a a1 8.6

Vậy 2a2 2 a a2 48

a) Nếu n1 5n có hai chữ số tận 25 5n có hai chữ số tận 24, chia hết cho Vậy 5n1 4

b) Ta có: 10n 1 99 (n chữ số 9)

 

10n 18n 99 18n 11 2n

       (n chữ số 1)

Ta có: 11 12n3 (vì 11 12n có tổng chữ số 3n )

10n 18n 9.3

    hay 10n18n1 27

1.57. 66666

1.58. a) 85x y chia hết cho nên y=0

Vì 85x y3 nên (1+ + +x 3) hay (x+14 3) ⇒ =x Vậy x=4; y=0

b) có 11 đáp số:

x 3

y

c) x=7 y=0

1.59. a) 52ab chia cho dư ⇒ ∈b {4; } Lại 52ab2 nên b=4

Vì 52ab9 nên a+11 9 ⇒ =a Vậy a=7;b=4

b) a=8 b=2

1.60. 24

1.61. a=6

Vì aaaaa96 8 nên a96 8 (5a+15 3.)

{3;6;9}

3

6

96 96

a a

a

a a

 ∈

 

⇒ ⇒ ⇒ =

 

 



 

Vì 1aaa1 11 nên  +(a a) (− + + 1 a 1)11 hay (a−2 11) ⇒ =a

1.63. Ta có: (1978a+2012b) (− 78a+10b) (= 1900a+2002b)11 Mà 2002 11 nên 2002 11b ⇒1900 11a ⇒a11

Vì 78a+10 11b 78 11a ⇒10 11b ⇒b11

1.64. 1089

Gọi số cần tìm abcd, ta có: 9.abcd =dcba

Suy ra:

9

a d

=   =

 (b+ +c 9) ⇒ + ∈b c {8; 17 }

Vì 9.1 9bc =9 1cb nên 9b<10⇒ ∈b { }0;

• Nếu b=1 c=7 Thử lại ta thấy 9.1179≠9711: loại

• Nếu b=0 c=8 Thử lại ta thấy 9.1089=9801: thỏa mãn Vậy số cần tìm 1089

1.65. 675

Ta có: abc−cba =(n2− −1) (n−2)2

( )

99 a c 4n

⇔ − = −

(4n : 99)

⇒ − ( )1

Vì n2 =abc+ ⇒1 101<n2<1000⇒10< <n 32

35 4n 123

⇒ < − < ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy ra: 4n− =5 99⇒4n=104⇒ =n 26

Do vậy: abc=675 Thử lại, ta có cba=567=(26 2− )2 Vậy abc=675

1.66. n=83

( ) ( ) 11 94

n+s n =ab+ a+b = a+ b=

{ }

2

8 7; 8;

76 11 94

a a

a a

a



 

⇒ ⇒ ∈ ⇒ =

≤ ≤ 

 

 

Từ đó: 11.8 2+ b=94⇒ =b Vậy n=83

-

Chuyên đề 1.67. {4; 12; 20; 60 }

1.68 Vì (2x−1 ) (y+3)=12 nên 2x−1; y+ ∈3 Ư( )12 Lại 2x−1 số lẻ nên ta có:

2x−1

3

y+ 12

x

y

1.69

- Vì ba số tự nhiên liên tiếp p−1; p; p+1 ln có số chia hết cho 3, mà p

là số nguyên tố lớn nên hai số p−1; p+1 có số chia hết cho

(p 1)(p 3)

⇒ − +  ( )1

- Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ ⇒ −p p+1 hai số chẵn liên

tiếp ⇒(p−1)(p+1 8) ( )2

Từ ( )1 ,( )2 ( )3,8 =1 nên (p−1)(p+1 3.8) hay (p−1)(p+1 24.)

1.70. a∈{ }3;

Vì 23a≤239 152 <239 16< nên để 23a số ngun tố phải khơng chia hết cho số nguyên tố 2; 3; 5; 7; 11;13

Vì 23a2 nên a∈{1; 3; 5; 7; } Vì 23a5 nên a∈{1; 3; 7; }

Thử lại ta có 233 239 thỏa mãn

1.71. 60

Ta có: 12=12.1=6.2=4.3=3.2.2

Do vậy, ta cần tìm số nhỏ số: ;11 3;5 ;3 2 3.5

Đáp số:

2 3.5=60

1.72. Số có ba chữ số tần 104 chia hết cho 8, 104 8

⇒ Số có ước 23⇒ có ước 1; 2; 4;8

1.73. 307

Vì tổng hai số 309 nên hai số có số chẵn, số lẻ Vì hai số số nguyên tố nên số chẵn 2, suy số lẻ 307 Kiểm tra lại ta có 307 số nguyên tố

1.74. p=3

1.75. p=5

1.76. Vì p số nguyên tố lớn nên p chia dư dư

• Nếu p=3k+2 p+ =4 3k+6 3 ⇒ loại

• Nếu p=3k+1 p+ =7 3k+8 3

( )

2 p

⇒ +  hay 2p+14 3.

Trong ba số tự nhiên liên tiếp 2p+14;2p+15;2p+16 ln có số chia hết cho 3,

mà 2p+14 3 2p+15 3 nên (2p+16 3) hay 2(p+8 3)

(p 3,)

⇒ +  ( )2,3 = ⇒ +1 p hợp số

1.77. Số 32+ + + +34 36 32012 hợp số, lớn chia hết cho

1.78. Giả sử a số tự nhiên lớn nằm hai số nguyên tố sinh đôi ⇒a số chẵn

a

⇒ 

Mặt khác, ba số tự nhiên liên tiếp ln có số chia hết 3a (vì số liền trước liền sau số nguyên tố lớn nên không chia hết cho 3) Vậy 2.3a hay a6

1.79. 3; 5;7

Giả sử ba số lẻ liên tiếp số nguyên tố ;p p+2; p+4

- Nếu p>3 p chia dư dư

• Nếu p=3k+1( *)

k∈ p+ =2 3k+3 3 ⇒ loại

• Nếu p=3k+2(k∈*) p+ =4 3k+6 3 ⇒ loại

Vậy có ba số nguyên tố lẻ liên tiếp 3; 5;7

1.80. n=11

1.81. Theo đề ra: abc chia hết cho

( ) ( )

100 10 99 19

abc= a+ b c+ =  a− b− c + a+ b+ c  (a 19b 4c)

⇒ + + 

( ) ( )

100 10 98 28 19

abc= a+ b c+ =  a− b− c + a+ b+ c  (a 19b 4c)

⇒ + + 

1.82. a=6

Ta có: ( 1) 3.37 ( 1) 2.3 .37

2

n n

n aaa + a n n a

+ + + = ⇔ = ⇔ + =

Vì 6≤2.3.a≤54 nên để 2.3 .37a tích hai số tự nhiên liên tiếp 2.3.a=38 (loại) 2.3.a=36⇒ =a Khi n=36

Thử lại, ta có: 36 666+ + + = Vậy a=6

-

Chuyên đề 1.83. ƯC(48, 120, 150)= ƯC( 3)

2 3, 3.5, 2.3.5 = ƯC( ) {6 = 1; 2; 3; } BC(26, 78)= BC(2.13, 2.3.13)=B 78( ) {= 0; 78; 156; }={78k k∈}

1.84. Gọi d =(a b, )⇒a d b d ⇒(5a−4b d)

( ) ( ) ( ) ( )

5 4n 5n 20n 15 20n 11 d

⇔ + − + = + − + =  11

d

⇒ = (vì d ≠1)

Vì ( )a b, =45 nên 45 , 45 a m b n =   =

 với (m n, )=1

Thay vào 7a=11 ,b ta có: 7.45m=11.45n⇔7m=11 n Vì ( )m n, =1 nên m=11 n=7

Vậy a=45.11=495 b=45.7=315

b) Vì [ ]a b, =300 [ ]a b, ( )a b, =ab⇒( )a b, =15 15 , 15 a m b n =  ⇒  =

 với (m n, )=1

Thay vào ab=4500, ta được: 152mn=4500⇒mn=20 Vì ( )m n, =1 nên ta có:

m 20

n 20

a 300 15 75 60

b 15 300 60 75

c) Gọi d ( )a b, a dm,

b dn

= 

= ⇒ 

=

 với (m n, )=1 Khi [ ],

ab

a b mnd

d

= =

Vì [ ]a b, =6( )a b, a+ =b 30 nên

( ) 6 30 30 mn mnd d

d m n md nd =  =  ⇒  + =  + =   

Vì ( )m n, =1 m n+ ∈Ư( )30 , nên ta có:

m

n

d 6

a 18 12

b 12 18

1.86. Gọi d ( )a b, a dm,

b dn

= 

= ⇒ 

=

 với (m n, )=1 Khi [ ],

ab

a b mnd

d = = Ta có: ( ) [ ] (( )) 48 48

, , 114 114

d m n

a b

a b a b d mn

 + = + =  ⇔  + =  + =    

• Nếu d =1 48 48:

3 114 113

m n m n

mn mn

+ = + =

 

⇒

 + =  =

  loại

• Nếu d =2 24 24:

3 57 56

m n m n

mn mn

+ = + =

 

⇒

 + =  =

  loại

• Nếu d =3 16 16:

3 38 37

m n m n

mn mn

+ = + =

 

⇒

 + =  =

  loại

• Nếu d =6 8

3 19

m n m n

mn mn + = + =   ⇒  + =  =  

Vì ( )m n, =1 nên ta có:

m

n

a 36 12

b 18

1.87. đáp số

Gọi d ( )a b, a dm,

b dn

= 

= ⇒ 

=

 với (m n, )=1 Khi [ ],

ab

a b mnd

d

= =

Ta có: ƯCLN( )a b, + BCNN( )a b, =15⇔ +d mnd =15

( 1) 15

d mn d

⇔ + = ⇒ ∈Ư( ) {15 = 1; 3; 5; 15 }

• Nếu d =1 mn=14 Vì (m n, )=1 nên ta có:

m 14

n 14

a 14

b 14

• Nếu d =3 mn=4 Vì (m n, )=1 nên ta có:

m

n

a 12

b 12

• Nếu d =5 mn=2 Vì (m n, )=1 nên ta có:

m

n

a 10

• Nếu d =15 mn=0 : loại

1.88. 65

Gọi số cho a Vì a chia cho 21 dư nên (a+19 21) ( )1

Vì a chia cho 12 dư nên (a+19 12) ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy ra: (a+19)[21,12] hay (a+19 84.) Vậy a chia cho 84 dư 84 19 65.− =

1.89. a∈{49; 133; 217; 301; 385 }

1.90 959

Gọi số cần tìm a (5≤ <a 1000 ) Theo đề ta có: a+1 chia hết cho 2; 3; 4; 5;6

1 60 ,

a k

⇒ + = với k∈

60

a k

⇒ = −

Vì a<1000 nên 60k− <1 1000⇒60k<1001⇒k lớn 16

⇒ Giá trị lớn a 60.16 1− =959

1.91. a) Gọi d =(a a, −b)⇒a d (a−b d) ⇒b d

( )a b d,

⇒  hay 1d ⇒ =d

b) Chứng minh tương tự câu a

1.92. a) Gọi d =(2n+1, 2n+3) (⇒ 2n+1)d (2n+3)d

(2n 3) (2n 1) d

⇒  + − +  hay 2d ⇒ ∈d { }1; Mà 2n+1 số lẻ nên d lẻ Vậy d =1

b) Gọi ( ) ( )

( )

2

2 5,3

3

n d

d n n

n d  +  = + + ⇒  +    ( ) ( )

3 2n 3n d d d

⇒  + − +  ⇒  ⇒ =

1.93. Gọi (11 ,18 ) 11

18

a b d

d a b a b

a b d

+  = + + ⇒  +    ( ) ( )

11 18a 5b 18 11a 2b d

và 5 11( a+2b) (−2 18a+5b)d hay 19a d

(19 ,19a b d)

⇒  hay 19( )a b d,  ⇒19d

Vậy d =1 d =19, tương ứng hai số 11a+2b 18a+5b nguyên tố có ước chung 19

1.94. Có cách chia lớp thành 2;3 tổ 1.95. 615 người

1.96. 239 học sinh

1.97 275

Gọi số học sinh trường tham quan a(200< <a 300 )

Theo đề ta có: Nếu thêm học sinh xếp vừa đủ 35 40 học sinh lên xe, tức a+5 chia hết cho 35 40

5

a

⇒ + ∈ BC(35, 40) (⇒ a+5 BCNN 35, 40) ( )

Ta có: BCNN 35, 40( )=BCNN 5.7, 5.8( )=5.7.8=280 Do đó: (a+5 280) hay a+ =5 280 ,k với k∈*

280

a k

⇒ = −

Vì 200< <a 300 nên 200<280k− <5 300⇔205<280k<305

1 k k

⇒ ≤ < ⇒ = Do a=275

1 98. (a b, 9.)= Đặt d =(a b, .)

Vì a b chia hết 9d ( )1

Ta có:

10

10

10 10

1111111110 9 10 10

9

a+ =b = − ⇒ a+ b= −

Mặt khác: 10b+ =a 9999999999 10= 10 −1

Suy ra: ( ) ( ) ( 10 ) ( 10 )

10b+a − 9a+9b = 10 − −1 10 −10

8 9

b a d

Từ ( )1 ( )2 suy d =9

1.99. Vì a số phương khác nên a∈{1; 4; }

Vì 9b khơng số phương, với b nên a∈{ }1;

Mặt khác, ad số phương nên ad∈{16; 49}⇒ ∈d { }6; Vì cd số phương d∈{ }6; nên cd∈{16; 36; 49}

{1; 3; }

c

⇒ ∈

- Nếu a=1 d =6 ⇒ ∈c { }1; Khi abcd 16b 36,b nên abcd

2

4

x x6 Thử lại ta thấy 1936=442 thỏa mãn

- Nếu a=4 d = ⇒ =9 c Khi abcd =4 49b x32 x7 Thử lại ta thấy số thỏa mãn

Vậy chữ số cần tìm là: a=1,b=9,c=3,d =6

-

Chuyên đề nâng cao 1.100.a) Giả sử abab số phương, tức là:

101 n =abab= ab

=> ab101:vơ lí Vậy abab khơng số phương b) Giả sử abcabclà số phương, tức là:

n =abcabc

=>

1001 7.143 1001: n = abc= abc=>abc vơ lí

1.101 Ta có 20

2 2

A= + + + +

Nên 21

2A=2 +2 + + +2

=> 21

2A− =A −2

Do 21 21 10

4 2 (2 )

A+ = − + = = khơng số phương khơng phải số

phương

1.102 S =abc bca cab+ + =111a+111b+111c=3.37(a b c+ + )

Để S số phương

3.37 ( )

Vậy S khơng số phương

1.103

2304=48

1.104 a) Khơng phải số phương số tạo thành chia hết cho không chia hết cho

b) Không phải số phương số tạo thành chia hết cho không chia

hết cho

1.105 a) Tổng chữa số A 903 nên A:3, hợp số

b) A chia hết cho không chia hết A khơng số phương (

Hoặc A có số gốc nên khơng phải số phương)

c) A khơng số phương nến số ước khơng thể lẻ Vì A khơng thể có

35 ước

1.106. Tổng chữ số số lập 15 chia hết cho không chia hết số lập số phương:

1.107 Vì n có hai chữ số nên 10≤ ≤n 99⇒21≤2n+ ≤1 199 Các số phương lẻ khoảng là: 25, 49, 81, 121, 169

2n+1 25 49 81 121 169

n 12 24 40 60 84

3n+1 37 73 121 181 253

Ta thấy có trường hợp 3n+1 =121 số phương Vậy n=40

1.108 20;45;80

1.109 Ta có

(10 ) (10 ) 9 9( ) ( )

ab ba− = a b+ − b a+ = a− b= a b− = a b−

=> Để ab ba− số phương a-b phải số phương Ta thấy 1≤ − ≤a b nên a b− ∈{ }1:

1 Nếu a b− =1 ab∈{21;32; 43;54; 65; 76;87;98}

Loại hợp số 21;32;54;65;76;87;98, lại 43 số nguyên tố

2 Nếu a b− =4 ab∈{51; 62; 73;84;95} Loại hợp số 51;62;84;95, lại 73 số nguyên tố

1.110 a) Gọi tổng chữ số n số 2n k => ta có (n−k) 9 (2n−k) 9 ;

(2n k) (n k)

 − − 

 −  hay n9

b) Số phương phải tìm 5 ; 9 có ba chữ số nên có đáp số 225 900

1.111.

;

n =ab ba+ có đáp số 29; 38;47;56;65;74;83;92 1.112

  



50 50 50

50

11 00 11

11 A

C

= +

= chữ số tận số phương a+3 4;5;6;9

Tương ứng ta có

n 2134;3245;4356;7689

Chỉ có

4356=66 cịn trường hợp lại loại

1.113, Số 5n+4 tận Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Số 5n+4 tận

(5n+4) tận Cần tìm số có dạng **6

là bình phương số tận Khơng có số thỏa mãn

2

74 =5476<6 **6<7056=84

Trường hợp 2: Số 5n+4 tận

(5n+4) tận Cần tìm số dạng 1**1 bình phương số tận

Ta thấy 2

29 =841 1**1< <2401=49 392 =1521

Vậy số cần tìm 1521

1.114 Ta có =   + 

50 ch÷ sè 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè

A 11 00 11

Đặt C= 

50 ch÷ sè

11 B=2C

Suy A=C.1050+C

Do 50 50

.10 (10 1)

A B− =C + −C C=C −

Ta có 50 

50

10 − =1 99 9=9C

Vậy 2 

50

.9 (3 ) 99

A B− =C C= C = C = số phương

1.115 Giả sử  1995

Tổng chữ số A bằng:

50

1 0 1995+ + + + + + + = số chia hết cho không chia hết A khơng số phương

1.116 Với n=1 1! 1= =

Với n=2 1! 2! 3+ = khơng số phương Với n=3 1! 2! 3! 9+ + = =32 số phương

Với n≥4 1! 2! + + +n! tận nên không số phương ( Thật

1! 2! 3! 4! 33+ + + = , 5! 6! + tận

Vậy n=1 hay n=3

-

Chuyên đề nâng cao 1.117 Xét 2014 có dạng 1,11,111,…., 

2014sè1

11 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có

cùng số dư chia cho 2013 Giả sử hai số =

nsè1

a 11 1, =

k sè1

b 11 với n>k

Khi 

−

− = k

n k sè1

a b 11 1.10 2013

Vì (2007,10 )k =1 nên số



−

=

n k sè1

c 11 chia hết cho 2013

1.118 Ta có

288=3

1 Chứng minh

3 P

Xét số a a a a1, 2, 3, 4,: Ta thấy tồn hai số có số dư chia cho 3, giả sử a1 a2 =>

1

(a −a ) 3

Lại xét a a a a2, 3, 4, 5trong số lại tồn số có số dư chia cho 3, giả sử a4 a5

=> (a4−a5) 3

Do P9 (1)

2 Chứng minh

2 P

Trong số cho có số tính chẵn lẻ

• Nếu có số chẵn, số lẻ, chẳng hạn : a1 =2k1, a2 =2k2, a3 =2k3, a4 =2k4+1,

2

Khi đó: P=16(k1−k2)(k1−k3)(k2−k3)(k4−k5).M

Trong số k k k1, 2, có số tính chẵn lẻ, chẳng hạn k1 k2, (k1−k2) 2 Vậy P32

• Nếu có số lẻ, số chẵn chứng minh tương tự ta có P32

Vậy trường hợp ta có P32 (2)

Từ (1), (2) (9,32)=1 suy P9, 32 hay P288 (đpcm) 1.119 Viết n+1 số lấy dạng

1

1

1 1, 2 2, ,

n k

k k

n n

a b a b a + b

+ +

= = = trong b b1, 2, ,bn+1 số lẻ,

Ta có: 1≤b b1, 2, ,bn+1≤2n−1 Mặt khác khoảng từ đến 2n-1 có n số lẻ nên tồn hai số m, n cho bn =bm Khi đó, hai số an am có số bội số (đpcm)

1.120

1 Nếu a1=a2 = = a100 =2 ta chọn 50 số có tổng 100 Nếu a1≠a2 ta lập dãy sau

1, 2, 2, 99

a a a +a a +a + + + +a a a + +a ( số hạng có giá trị từ đến 199)

• Nếu tồn số hang dãy chia hết cho 100 số hạng 100

• Nếu khơng có số hạng chia hết cho 100 100 số chia cho 100 có

hai số hạng có số dư Hiệu chúng cho ta tổng cần tìm

1.121 Giả sử 69 số cho 1≤ +a1 a3 < +a1 a4 < < + a1 a69 ≤100 Khi a1≤32 Xét hai dãy sau:

1 3 69

1< +a a < +a a < < + a a ≤132(1)

3 69

1≤a −a <a −a < < a −a ≤132(2)

Từ (1) (2) ta có 134 số hạng có giá trị từ đến 132, suy có số số thuộc dãy, chẳng hạn: a1+am =an−a2 (với 3≤ < ≤m n 69)tức ta tìm số a a a a1; 2; n; m

với a1<a2 <ammà a1+a2+am =an(đpcm)

1.122 Giả sử 39 số tự nhiên liên tiếp a1<a2 < < a39

Trong 20 số hạng dãy có hai số tận có số (trong hai số

( ) ( )

S N+ =i S N +i với i=1, 2, ,9 S N( +19)=S N( ) 10+ (kí hiệu S(a) tổng chữ số a)

Trong 11 số tự nhiên liên tiếp S N S N( ), ( ) 1, , ( ) 9, ( ) 10+ S N + S N + ln có số chia hết cho 11, chẳng hạn: S N( +m) 11 với m∈{1; 2; ;9;19}

Vậy N+m số thỏa mãn

1.123 Gọi 15 số tự nhiên xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : a a1, 2, ,a15

Xét dãy số: b1 =a2−a b1, 2 =a3−a1, ,b14 =a15 −a1 Các số hạng dãy số có giá trị từ đến 27 đôi khác

⇒Dãy số a a1, 2, ,a15; ,b b1 2, ,b14có 29 số hạng nhận 28 giá trị khác (từ đến

28) Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số nhau, chẳng hạn:

(1 14,1 15)

m n

b =a ≤ ≤m ≤ ≤n

Hay am+1− =a1 an ⇔am+1= +a1 an - Nếu n = am+1 =2a1

- Nếu n≠1thì số a a a1, n, m+1 phân biệt am+1= +a1 an

Vậy ta việc chọn số a a a1, n, m+1hoặc số a a1, m+1 thỏa mãn yêu cầu đề 1.124. Là tổng quát 1.123

1.125 Mỗi người số người có khả số người quen (từ đến 4) Ta xét hai trường hợp sau:

1 Nếu có người khơng quen số người cịn lại rõ ràng khơng có

quen người Như vậy, người mà có khả số người quen (từ đến 3) nên

theo nguyên lí Dirichlet có hai người có số người quen

2 Nếu người có người quen Khi người mà có khả

về số người quen (từ đến 4), theo ngun lí Dirichlet có hai người có số người quen

1.126 Là tốn tổng quát 1.125

1.127 Giả sử đội bóng đá A, B, C, D, E, F Xét đội A, Vì A phải đấu từ đến trận nên

theo nguyên lí Dirichlet ta suy Hoặc A đấu A chưa đấu với đội khác

Không tính tổng quát, giả sử A đấu với B, C, D

- Nếu B, C, D cặp chưa đấu với tốn chứng minh

Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận

-

Chương II SỐ NGUYÊN Chuyên đề

2.1. a)

b) ' *

Z ∩N =N

2.2 Khẳng định: “Nếu a∈Z a∈Z*” sai Sửa lại là: “Nếu a∈Zthì a ∈Nhoặc “Nếu *

a∈Z a∈N*”

2.3 a) a = b) a∈∅ c) a =

Chú ý: − < − ⇔ >a b a b

2.4 a) – b) -1 c) – 9876543210 d) -1023456789

Chú ý: Với a∈N, a lớn –a nhỏ, a nhỏ –a lớn

2.5 Ta xét hai trường hợp:

- Nếu a≥0thì a =a, đó: a ≥a

- Nếu a<0thì a = − >a 0, đó: a > >0 a

Vậy a ≥a, với a∈Zvà a = ⇔ ≥a a 2.6.Ta xét hai trường hợp:

- Nếu x≥0thì x =x, nên từ x =asuy x=a

- Nếu x<0thì x = −x, nên từ x =asuy − =x ahay x= −a

Vậy x = ⇔ = ±a x a

Chú ý: Vì x ≥0nên a<0thì khơng tồn x thỏa mãn x =a

2.7.Ta xét trường hợp sau:

- Nếu

0

x a

≥   ≥



x x a a

 =  

=

- Nếu 0 x a ≤   ≤  x x a a  = −   = −

 Do đó: x = a ⇔ − = − ⇔ =x a x a

- Nếu

0 x a ≥   ≤  x x a a  =   = −

 Do đó: x = a ⇔ = − ⇔ = −x a x a

- Nếu

0 x a ≤   ≥  x x a a  = −   =

 Do đó: x = a ⇔ − = ⇔ = −x a x a

Vậy x = a ⇔ = ±x a

2.8 a) x + −23 = +17 ⇔ +x 23 17= ⇔ x = −6: vô nghiệm b) −5 x = −20 ⇔5.x =20⇔ x = ⇔ = ±4 x

2.9. a) x = −14 ⇔ x =14⇔ = ±x 14

Vì x>0 nên x=14

b) x = 23 ⇔ x =23⇔ = ±x 23

Vì x<0nên x= −23

2.10 a) x < − ⇔ ∈∅5 x ,vì x ≥0với x

b) 12 15 12 15

15 12 x x x ≤ < 

≤ < ⇔ 

− < ≤ − 

Vì x∈Znên x∈{12;13;14; 14; 13; 12− − − }

2.11 A={x∈ − < ≤ = − −Z x { 2; 1;0;1; 2;3; 4;5;6;7 }

{ { 6; 5; 4; 3;3; 4;5;6 }

B= x∈Z ≤ x < = − − − −

{ } { 6; 7; 8; }

C = x∈Z x > = ± ± ±

Do vậy: A∩ =B {3; 4;5;6 ,} B∩ = −C { 6;6 ,} C∩ =A { }6;7 2.12 a) Vì x ≥0 y ≥0nên x + y ≥0và

b) x + y =2 Ta có trường hợp sau:

x

y

x ±2 ±1

y ±2 ±1

2.13. Ta có: x ≥ ⇒ + ≥0 x 7hay P≥7, với x∈Z

Vậy giá trị nhỏ P ( kí hiệu: Pmin =7) x=0

2.14 Ta có: x ≥ ⇒ − ≤ ⇒ − + ≤ +0 x x 9hay Q≤9, với x∈Z Vậy giá trị lớn Q (kí hiệu: Qmax =9)khi x=0

-

Chuyên đề 2.15. a) b) -2012

2.16. a) -50 b)

2.17. Vì x =20⇔ = ±x 20 y =12⇔ = ±y 12 nên ta có trường hợp sau: • x=20 y=12⇒ − =x y 20 12− =8

• x=20và y= − ⇒ − =12 x y 20 ( 12)− − =20 12+ =32 • x= −20 y=12⇒ − = − −x y 20 12= −32

• x= −20và y= − ⇒ − = − − −12 x y 20 ( 12)= − +20 12= −8 2.18. a) 16 b)

2.19 a) 37+ −( )5a = −20⇔37 5− a= −20⇔5a=37+20=57

a

⇒ =

b) 10≤ ≤n 99⇒21≤2n+ ≤1 199 ( )−a9 +45=26⇔a9=45 26− =19⇒ =a

2.20. a) x=0 b) x= −29

2.21. a) x        2 x   3 khơng có số x thỏa mãn

b) 5  x 29   x 29  24 khơng có số x thỏa mãn

2.23 a) x1199

Ta có         1  5  x 600

            1 3   5 7   x 2 x 600 (*)

 2    600

Suy vế trái có 300 số hạng 2, tương ứng vế trái (*) có 300 dấu ngoặc [ ] Mặt khác, số dấu ngoặc [ ] x3 1: 

x 300: x 299 x 1199

        

b) x4000

Ngoài cách giải câu a), ta giải sau

Vì x số tự nhiên chia hết giả sử x4n n  Khi

      x

2         4 2000

 2 6   4n2    4  4n 2000

 4n 2.n 4n.n 2000

2

  

  

 n1000 Vậy x4 1000 4000 

2.24 x   12 13; ; ; 

Vì x nên x 3  Từ 9  x 11  x 9 10;  + Nếu x       3 x x 12 x 6

+ Nếu x 3 10   x 10 x 13 x 7 Vậy x   12 13; ; ; 

2.25 Ta có x x x

x x

1986 2012 1984 2010

1986 2012

2012 1986 2014 1988

      

 

 

    

      

 

 

Từ suy giá trị nguyên lớn x 2009 giá trị nguyên nhỏ x 2013

2.26 Gọi S tổng 31 số nguyên cho

a) Chọn số Vì tổng số số nguyên âm nên số phải có số ngun âm, kí hiệu số a

Chia 30 số cịn lại thành 10 nhóm, nhóm có số Vì tổng số nhóm số âm

nên tổng tất 20 số (kí hiệu )b số âm

Vì S a b nên S số âm b) S số nguyên dương

* Kết thay số 31 số 32

2.27 Thật vậy:

Chọn số chia thành nhóm, nhóm số, từ chọn hai số âm a c, Tổng 30 số lại số âm b Vậy S  a b c số âm

Tổng số bảng

 

 2013 2013

1 2012 2013 2027091

2 

      số lẻ

Mỗi lần xóa hai số ,a b (giả sử ab) viết thay vào giá trị tuyệt đối hai số

a  b a b làm tổng số bảng giảm a   b a b 2b, số chẵn Do đó, tổng số cịn lại bảng số lẻ Lặp lại bảng lại số số số lẻ, số

-

Chuyên đề

2.28 a) 400 b) 500 c) 2012

2.29 a) 55 b) 810

2.30 a) M  x 60 b) N   x 26 c) P10

2.31 x  y 100

2.32 a) Với x3, x         3 x x 3 x b) Với x 2 2,        x x 1 x 2 x 1 c) Với   1 x 2, x       1 x x 1 x 2

S        a b c c b a a b S  a b

 

S  a b

Với a  b 1, ta có S 1

2.34 a) a                b c d a c a b c d a c b d b d

b) a  b c d          b c a b c d b c a d

2.35 Chứng tỏ P Q

2.36 Các số nguyên tố có giá trị tuyệt đối nhỏ 100 gồm 199 số

; ;; ; ; ; ;;

99 98 1 99

  

Suy số thứ tự số nguyên ; ; ; ;1 3 199 Chi tổng S cần tìm thành hai nhóm

• Nhóm số ngun từ 99 đến 99, có tổng

• Nhóm số thứ tự số nguyên có tổng

  :



1 3   199 1 199 199 19900 Vậy S19900

2.37 a) x 31 b) x9 c) x 11

2.38 a)            7 x x 4 x 4 Vậy x 0 8;

b) 13  x 13        x x x c) x10  12  4 x 10     8 x

2.39 a) x                2 5 x 5 x x Vì x nên x    5; ; ;; ; ;1 3

b)

x x

x

x x

1

1

1

    

 

    

  

 

Vậy x1 3; ; ; hay x*

b) 2              x x x x 2 x x x Vậy x2 4; ; ;

c) x       7 x x x 9

• x   7 x 0.x  16 khơng có giá trị x thỏa mãn

• x         7 x 9 x x 2x  2 x Vậy x 1

2.41 a)

x x

x y

y y

25 25

25

5

5

  

   

 

       

   



b)

x x x

x x y

x y y

x y

40 40 40

40 10

10 50

10

  

     

  

       

   

    



2.42 a) A1001  x 1001, với x Vậy Amax 1001 x 9 hay x 9 b) B  y 34 34 , với x Vậy Bmin 34 y 2 hay y2

-

Chuyên đề 2.43 a) 1000000 b) 16733

2.44 a) A 5 b) B 36

2.45 a) Với a  b 3;x y 17, ta có

        

axaybxbya xy b xy  ab xy 17   3 51 b) a  b 7;x  y 18, ta ln có

          

x

axayb bya x y b xy  x y a  b 18 126

2.47 a) x 37; b) x  8; 

2.48 a) x  x  x x

2

2

1

1 49

49             

Vì x20, với x nên x2 1 Từ khơng có x để x2 1 Ta có 49x2 0 x272   x

Vậy x  7;  b) x  3; 

2.49 a) x2 7    x x 2x  7 x2 x7 trái dấu Mặt khác, x  2 x nên suy x   2 x Khi

x x

x

x x

2

2

7

                      

Vì x nên x3 6; ; ; 

b) x213x217 0 x213 x217 trái dấu

Mặt khác, x2 13 x217 nên x2  13 x217 Khi

x x

x

x x

2

2

13 13

13 17

17 17

                      

Vì x2 số phương nên x216 4   x Vậy x  4; 

2.50 a) 6x 3 156x  3 152x  1

• 2x   1 x

• 2x     1 x Vậy x  3; 

b) 7x 2 19  19 7x 2 19 17 7 x21 17  x

7

2.51 a) x y 28

Có 12 trường hợp sau:

x 28 14 7 4 2 1 14 28 y 1 2 4 7 14 28 28 14 7 4 2 1

b) 2x1 4 y  2 422x1 2 y  1 21 Có trường hợp:

x

2 21 7 3 1 21

y

2 1 3 21 21 7 3 1

x 10 3 1 0 1 2 4 11 y 1 2 4 11 10 3 1 0

2.52 P  x 12  3 y 35 35 , với ,x y

Vậy Pmax 35 x  x

y y

     

 

 

    



2

1

3

3

2.53 Chọn số Vì tích số số âm nên số thừa số âm số lẻ, ln tồn số số âm, kì hiệu a

Chia 78 số lại (trừ số a) thành 13 nhóm, nhóm có số Vì tích số nhóm số âm nên tích tất 78 số số âm (vì tích 13 số âm), kí hiệu b

Vậy tích tất 79 số (là a b) số dương

2.54 a) xxy  y x1y  y x1y    y 1

x  y

 1 1 10 Ta có trường hợp sau:

x1 10 5 2 1 10

y1 1 2 5 10 10 5 2 1

y 2 3 6 11 9 4 1 0

b) xy2x3y 5 x y  2 3y  6

   

x y y

  2  2 11

x y 

 3  2 11

Ta có trường hợp sau

x3 11 1 11

y2 1 11 11 1

x 8 14

y 1 9 13 3

-

Chuyên đề

2.55 BC12 30, B  60  60 120; ; ;  60k k| 

2.56 ÖC60 45 105, , Ö  15     1 15; ; ; 

2.57 a) 3n4 3 n19 số chẵn, hiệu 3n19  3n 4 23 nên hai số

n

3 3n19 có số chẵn, số lẻ

b) n2  n n n  1 số lẻ, n n 1 số chẵn

2.58 a) a    5; ; ;  b) a   1 5; ; ;  c) a   1; ; ; 

2.59 a) Pa a  2 a a   5 7a1 7

b) Q a 2a  3 a 3a 2 2a số chẵn

x

2 1 13 1 13

y4 1 13 13 1

x 6

y 5 17 9 3

b) x 1;y0 x0;y5

c) 5xy5x  y 5x1y  1 tương tự câu b)

2.61 Vì 5x47y5x6y17 17y nên 5x47y bội 17 x6y

là bội 17

2.62 a) x  2 4; ; ; ; b) x  4; ; ; 

2.63 a) x2 2 x22x   2x x x  2 2 x 2 6x2

 

x 2 Ö

Vậy x      1 4; ; ; ; ; ; ;  b) x  3; ; ; 

2.64 Đặt N  a 1a 2 12

• Nếu a3k N3k1 3 k 2 12 N

 3k1 3 k2 N



3 12

 





• Nếu a3k1 N 3 3k k 3 12 9 k k  1 12 N9 k k 



9

12   



• Nếu a3k2 N 3k1 3 k 4 12 N

 3k1 3 k4 N



3 12

 





Vậy trường hợp N không bội b) Chứng minh tương tự câu a)

Chuyên đề nâng cao

2.65 Ta có 2532 1 mod mod 31 25 400 1 31 hay 22000 1mod 31

Mặt khác, 22000.221 mod 31 hay 220024mod mod 3122002 4 0 31 hay

220024 31

2.66 Ta có 521mod mod 12 52 35 1 12 hay 570 1mod 12 (1)

mod mod     

  35 

2

7 12 12 hay 750 1mod 12 (2)

Từ (1) (2) suy 5707502mod 12 Vậy 570750 chia cho 12 dư

2.67 + Ta có 35243 1 mod mod 11 35 4011 11 hay 32005 1mod 11 (1) Mặt khác, 451024 1 mod mod 11 45 4011 11 hay 42005 1mod 11 (2) Từ (1) (2) suy A chia cho 11 dư

+ Lại có 33 27 1 mod mod 13 33 6681 13 hay 32004 1mod 13

mod 

320053 13

(3)

Mặt khác 4364 1mod mod 13 43 6681 13 hay 42004 1mod 13

mod 

420054 13

(4)

Từ (3) (4) suy A chia cho 13 dư

2.68 Ta có hai trường hợp:

• Nếu x1mod 3 x21mod 3

• Nếu x2mod 3 x222mod 3 hay x21mod 3 Vậy ta ln có x2 1mod 3

2.70 Chứng minh tương tự 2.68

mod mod   

x21  y22

Điều khơng xảy y3 y20mod 3; cịn y3 y21mod 3 Vậy x3 Chứng minh tương tự ta có y3

2.71 Đặt

n

A192420032004 1920 Ta có 1244 31 Dễ thấy A chia hết cho Để chứng minh A chia hết cho 124, ta chứng minh A chia hết cho 31 Thật vậy, 1924 2 mod 31 1920 2mod 31 nên

mod 

n

A220032004 2 31 (1)

Lại có 25 32 1 mod 31 Ta cần tìm số dư 20032004n chia cho Vì 2004 4n nên 2004n 4k20032004n 20034k

Vì 2003 3 mod mod 520034k 34k 81k 1 5

Vậy A20032004n 1mod 520032004n 5m1

Suy   mod 

n m

m

  

2004

2003 5

2 2 2 31

Thay vào (1) ta suy A0mod 31 hay A31

2.72 a) 1991 1 mod 10 nên 199119971mod 10;

mod 10 mod 10

   2

1997 1997 hay 19972 1mod 10

Suy 199719961mod 1019911997199719960mod 10 Vậy 199119971997199610

b) Ta có: 292994 (1)

Mặt khác, 29512 12 mod 25 210 1024 1mod 25

  mod 25

 210 9 1

hay 290  1mod 252 290 9 1 12 mod 25 hay

 

  mod 25

90

2 12

Từ (1), (2) ƯCLN4 25; 1 suy 29299100

2.73 a) Ta có 2532 1mod 11

Vì 24n12 16 n mà 16 1 mod 5 nên 24n12mod 524n15k2 (với k

, k chẵn) Khi đó, 224n1 25k24 2. 5 k 4mod 11

mod 11

n

 24 1 

2 hay 224n1 7 11

b) Ta có n1mod n1, với n1

mod 

k

n n

 1 1 , với n1

Do nn1nn2        n2 1  1mod n1 (vế phải có n1 số 1)

mod 

n n

n  n  n n

 1 2    1 0 1

Vậy nn1nn2  n21n1(đpcm)

2.74 a) Ta có 5n226 n82n125 n26 n8 64 n Vì 645mod 59 nên 64n 5nmod 59

Do 5n226 n82n151 n8 nmod 59

 

mod 59

n n n n

5 226 5 82 159 5

 

mod 59

n n n

5 226 5 82 10

Vậy 5n226 n82n159

b) Ta có

168=2 3.7

Vì 32n+ =7 9n+ ≡ +7 mod 8( ) hay 32n+ ≡7 mod 8( ) (1)

( )

3 n

⇒ +  Mặt khác

4 n =16 8n nên ( 2 )

4 n−3 n −7 8

Vì 42n ≡1 mod ; mod 3( ) ≡ ( )⇒42n − ≡7 mod 3( )

Do ( 2 )

4 n−3 n−7 3 (2)

Vì 42n−32n ≡0 mod ;3( ) 2n =9n ≡2 mod 7n( )

nên 42n−32n ≡0 mod 7( ) Do ( 2 )

4 n−3 n−7 7 (3)

Từ (1),(2),(3) (8.3.7) = nên ( 2 ) ( )

2.75 Rõ ràng với n = n = (9n+1 100)

Với n≥2, ta xét hai trường hợp

( ) ( )

2 * k 81k mod10

n= k k∈ ⇒ + = + ≡

(9n 10) (9n 100)

⇒ +  ⇒ + 

( ) ( )

2 * 9n k 9.81k mod

n= k k∈ ⇒ + = + + = + ≡

(9n 1) (9n 100)

⇒ +  ⇒ + 

Vậy (9n +1 100) , với n∈

2.76 a) Ta có

2 n+ +3 n+ =16.8n+3.9n

Vì 16≡ −3 mod19( )⇒16.8n ≡ −3.8 mod19n( )

nên (16.8n+3.9n)19⇔ −( )3 8n+3.9n ≡0 mod19( )

( ) ( )

9n 8n mod19 9n mod19n

⇔ − ≡ ⇔ ≡

0 n

⇒ = , trái lại, từ 9n ≡8 mod19n( )⇒ ≡9 mod19( ): vô lý! Vậy n =

b) Ta xét trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu n=3k(với k∈N) n.2 3n ⇒n.2n+1

Trường hợp 2: Nếu n=3k+1(với k∈N)

3 3

.2n (3 1).2k k 2k 2k 2.8k

n +  ⇒ k+ + + = k + + + = k + + +

Do đó:n.2n+1 3 ⇔(2.8k+1) 3

Vì 8≡ −1(mod 3)⇔8k ≡ −( 1) (mod 3)k

suy ra2.8k +1 3 ⇔2.( 1)− k + ≡1 0(mod 3)⇔kchẵn⇔ =k (m m∈N)

Do đó: n=6m+1với m∈N

Trường hợp 3: Nếu n=3k+2(với k∈N)

3 3

.2n (3 2).2 k 2k 2.2 k k 8k

n + = k+ + + = k + + + + = k + + + +

Do đó: ( ) ( )

.2n 8k n +  ⇔ + + 

Vì 8≡ −1(mod 3)nên 1

8k+ ≡ −( 1)k+(mod 3)

suy ra: ( )

8k+ +1 3 ⇔ −( 1)k+ + ≡1 0(mod 3)⇔ +k 1lẻ ⇔kchẵn⇔ =k (m m∈N)

Do đó: n=6m+2(với m∈N)

Vậy điều kiện cần tìm mlà m≡1(mod 6)hoặc m≡2(mod 6) 2.77

a) Vì 74 ≡01(mod100)nên ta tìm số dư chia 974cho4

Ta có: 1(mod 4)≡ nên

4

7

9 ≡1(mod 4)

Do đó: 74

9 =4k+1(k∈N)

4

7

9 4

7 k 7.(7 )k 7.01(mod100) 07(mod100)

A +

⇒ = = = ≡ ⇒ ≡

b) Vì 10

29 ≡01(mod100)nên ta tìm số dư chia 2012

9 cho 10

Ta có: 9≡ −1(mod10)nên 2012 2012

9 ≡1(mod10)⇒9 ≡10k+1với k∈N

Do đó: 10 10

29 k 29.(29 )k 29.01(mod100)

B= + = ≡

Hay B≡29(mod100)

Vậy Bcó hai chữ số tận 29 2.78

1986

1978 C=

a) Vì 1978≡8(mod10)⇒19784 ≡6(mod10)

Mặt khác

1986 ≡0(mod 4)nên

1986 =4 (k k∈N)⇒ =C 1986 k ≡6(mod10)

Vậy chữ số tận C

b) VìC ≡8(mod10)nên C20 ≡76(mod100)⇒C20m ≡76(mod100)

Mặt khác 1986≡6(mod 20)⇒19868 ≡16(mod 20)

Do đó:

20 16 16 20 16

1986 20 16( )

1978 k 1978 (1978 )k 1986 76(mod100)

k k N

C +

= + ∈

⇒ = = ≡

Lại có:

( )

4

4 16

1978 22(mod100) 1978 56(mod100)

1978 56 (mod100)hay1978 96(mod100)

≡ − ⇒ ≡

⇒ ≡ ≡

Từ ta có: C≡96.76(mod100)⇒ ≡C 76(mod100)

PHẦN HÌNH HỌC

Chuyên đề

1.1 (h.6) Có nhóm ba điểm thẳng hàng gồm: ba hàng ngang, ba hàng dọc hai hàng chéo

1.2 Xem hình 34

1.3 Gọi số điểm phải có để vẽ 36 đường thẳng x

Ta có x(x 1) 36

2

− =

Suy x(x 1)− =72=9.8

Vì x x 1− hai số tự nhiên liên tiếp nên x=9 Vậy số điểm lúc ban đầu 12.+ =

Số đường thẳng vẽ lúc ban đầu 12.11 66

2 =

1.4 a) Trong điểm phải có điều kiện khơng có ba điểm thẳng hàng

b) Trong số điểm phải có điều kiện điểm thẳng hàng (h.35) c) Phải có điều kiện có hai nhóm ba điểm thẳng hàng (h.36)

1.5 Số đường thẳng vẽ qua cặp điểm lúc ban đầu n(n 1)

−

Nếu bớt điểm số đường thẳng vẽ qua cặp điểm sau là: (n 1)(n 2)

2

− −

Theo đề ta có

[ ]

n(n 1) (n 1)(n 2)

0

2

(n 1) n (n 2) 20

(n 1).2 20

n 10

n 11

− − − − =

− − − =

− =

− = =

Vậy số điểm lúc đầu 11

Cách khác: Nếu bớt điểm qua điểm điểm số n 1− điểm lại bớt

đi đường thẳng Vì tổng số đường thẳng giảm 10 nên n 10− = hay n =11

1.6 Hướng dẫn: Áp dụng công thức n(n 1)

− để tính số giao điểm đường thẳng

Hình 35 D C A B

E

Hình 36 E

D C

B A

Đáp số: 120 giao điểm

1.7 Gọi n số đường thẳng Ta có n(n 1) 190

− =

, suy n(n 1)− =380=20.19 Vậy n =20

1.8 Nếu 12 điểm cho khơng có điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ 12.11

66

2 = (đường thẳng)

Bây xét đến điểm thẳng hàng, qua chúng vẽ đường thẳng Nếu điểm

không thẳng hàng vẽ 4.3

2 = (đường thẳng)

Số đường thẳng giảm 5− = (đường thẳng)

Vậy vẽ tất 66 5− =61 (đường thẳng) 1.9 Số giao điểm là:

• (h.37)

• (h.38)

• (h.39)

• (h.40)

1.10 Hướng dẫn: Bạn vẽ đường thẳng cắt tạo thành cánh (h 41)

1.11 a) m n hai đường thẳng phân biệt ngồi điểm chung O, chúng khơng cịn điểm

chung khác (h.42)

b) m n hai đường thẳng trùng nên chúng điểm chung khác điểm O (h.43)

Hình 41 Hình 37

Hình 38

Hình 39

Hình 43

1.12 (h.44)

• Vì điểm M nằm hai điểm

A B nên ba điểm M, A, B

thẳng hàng, điểm M nằm

trên đường thẳng AB Hình 44

• Vì điểm B nằm hai điểm M N nên ba điểm B, M, N thẳng hàng điểm B

nằm đường thẳng MN Hai đường thẳng AB MN có hai điểm chung B N

nên chúng trùng

1.13 Vẽ đường thẳng qua P Q cắt đường

thẳng a cắt đường thẳng b M Khi ba điểm M, P, Q thẳng hàng (h.45)

Hình 45

-

Chuyên đề 1.14 Trong hình 13 có tia, gồm:

- Ba tia gốc A Ax, Ay, Am;

- Ba tia gốc B Bx, By, Bn;

- Hai tia gốc O Om, On

1.15. Trong hình14 có 18 tia, gồm:

Bốn tia gốc C, bốn tia gốc D, bốn tia gốc E tia gốc O

1.16 (h.46)

Tại điểm A , A , , A1 2 n có tia

Do để hình có 100 tia n=100 : 4=25 (điểm) 1.17. (h.47)

a) Điểm O nằm hai điểm M N nên hai tia OM, ON đối (1)

Điểm E thuộc tia OM, điểm F thuộc tia ON nên tia OE trùng với tia OM; tia OF trùng với

tia ON (2)

m n

Hình 42

O

N B

M A

a b

O

P

M' Q M P

O m

n

Hình 46

An A2

Từ (1) (2) suy hai tia OE OF đối

b) Vì hai tia OE OF đối nên gốc O nằm hai điểm E F

1.18 (h.48)

a) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia BA, BO

trùng (1)

Điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia BA, BC

đối (2)

Từ (1) (2) suy hai tia BO BC đối

b) Vì hai tia BO BC đối nên gốc B nằm hai điểm O C

1.19 (h.49)

a) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia

BA, BC đối (1)

Vì điểm C nằm hai điểm B D nên hai tia BC

và BD trùng (2)

Từ (1) (2) suy hai tia BA, BD đối

b) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia CA, CB trùng (3)

Vì điểm C nằm hai điểm B D nên hai tia CD, CB đối (4)

Từ (3) (4) suy hai tia CA, CD đối

Chuyên đề

1.20 (h.21) Đường thẳng xy tia Am cắt đoạn thẳng PQ

1.21 (h.50 a,b) Vẽ tất đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD CD

1.22 Ta có n.(n 1) 36 n.(n 1) 72 9.8

− = ⇒ − = =

Vì n n 1− hai số tự nhiên liên tiếp nên

n =9

1.23 (h.51) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên AB BC+ =AC Vì điểm C nằm hai điểm B D nên BC CD+ =BD

Mặt khác AC>BD nên AB BC+ >BC CD+ hay

AB>CD

1.24.(h.52) Vì điểm A nằm M B nên MA+AB=MB

Suy MB AB= + (1) Vì điểm B nằm A N nên

AB BN+ =AN

Suy AN=AB 2+ (2)

Từ (1) (2) suy MB<AN

1.25 (h.53) Vì điểm M nằm A B nên AM+MB=AB Do AB= + =3 (cm)

Vì điểm B nằm A C nên AB BC+ =AC

Do AC= + =5 (cm)

1.26 (h.54) Vì M nằm A B nên

MA+MB=AB=7cm

Mặt khácMA−MB=3cm

nên MA=(7+3) : 2=5(cm)

MB= − =7 (cm)

1.27 Xét ba trường hợp:

• Trường hợp M nằm A B (h.55)

Ta có

AM MB AB

2MB MB

3MB

MB (cm)

+ =

+ =

= =

• Trường hợp B nằm A M (h.56)

Ta có

AB BM AM

6 BM 2MB

BM (cm)

+ =

+ =

=

• Trường hợp điểm A nằm hai điểm B M Ta có BA + AM = BM

6 + 2BM = BM 6+ BM = (vơ lí)

Vậy trường hợp khơng xảy

Đáp số: MB = 2cm MB = 6cm

1.28 Ta có AC + CB = AB (vì + = 5) Vậy điểm C nằm hai điểm A B Do hai tia CA, CB đối

1.29 Điểm O gốc tia nên không nằm A B

* Xét trường hợp điểm A nằm O B (h 57)

Ta có OB = OA + AB = + = (cm) * Xét trường hợp điểm B nằm O A (h 58)

Ta có OB + BA = OA

⇒ OB = OA –BA = – = 2(cm)

1 2

3

Hình 53 M

A B C

7

Hình 54

A M B

6 Hình 55 B A M 6 Hình 56

A B M

2 4

x

Hình 57

O A B

2 4

x

1.30 Điểm O gốc tia nên không nằm hai điểm M N

* Xét trường hợp M nằm O N (h 59) Ta có: ON = OM + MN = + = 8(cm)

* Xét trường hợp điểm N nằm hai điểm O M

Ta có: ON + NM = OM ON + = (vơ lí)

Vậy trường hợp khơng xảy

Do tốn có đáp số 8cm

1.31 (h 60)

* Trên tia Ox có OB < OC (3 < 5) nên điểm B nằm O C Ta có OB +BC = BC

Suy BC = OC – OB = – = 2(cm) Đo OA = BC (=2cm)

* Trên tia Ox có OA < OC (2 < 5) nên điểm A nằm O C Hình 60

Ta có: OA + AC = OC ⇒AC = OC – OA = – = (cm)

Do OB = AC (=3cm)

1.32 (h 61) Trên tia Ox có OM < ON (m < m +n) nên điểm M nằm hai điểm O N Do đó: OM + MN = ON

Suy MN = ON – OM = m + n – m = n Vậy OM > MN (vì m > n)

Hình 61

5 3

x

Hình 59

O M N

5 3

2 x

O A B C

m+n m

x

Chuyên đề

1.33 (h 62) Vì điểm O nằm hai điểm A B nên AO + OB = AB (1)

Suy OB = AB – AO = AB -

2 AB = AB

Do OA = OB (= )

2 AB (2) Hình 62

Từ (1) (2) suy O trung điểm đoạn thẳng AB

Lưu ý: Bài toán cho ta dấu ấn nhận biết trung điểm đoạn thẳng

1.34 Trong điểm M, O, N thẳng hàng có điểm nằm hai điểm khác

* Giả sử M nằm O N, ta có:

OM + MN = ON ⇒MN = ON – OM = (vì OM = ON) Điều vơ lí MN > Vậy

trường hợp không xảy Do đó, điểm O nằm M N

Mặt khác OM = ON nên O trung điểm MN

1.35 (h.63)

* N trung điểm đoạn thẳng MO

* O trung điểm đoạn NP MQ Hình 63

* P trung điểm OQ

1.36 (h.64) Vì M trung điểm OA nên OM = 2( ) = cm

Vì N trung điểm OB nên ( )

3

ON = = cm Trên tia Ox có OM < ON (2 < 3)

nên điểm M nằm hai điểm O N Hình 64

Do OM + MN = ON ⇒ MN = ON – OM = – = 1(cm)

1.37 Ta có OP OQ+ ≠PQ(2 2+ ≠3) nên điểm O không nằm P Q O khơng phải

là trung điểm PQ

1.38 (h 65)

a) Vì M trung điểm OA nên 2( )

2 OA

OM =MA= = cm Trên tua Ox có OM < OB (2 < 6)

nên M nằm O B

Do OM + MB = OB Hình 65

Suy MB = OB – OM = – = 4(cm)

b) Trên tia Ox có OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm hai điểm O B

Do OA + AB = OB⇒ AB = OB – OA = – = 2(cm)

Trên tia BO có BA < BM (2< 4) nên điểm A nằm hai điểm B M

Mặt khác 1.4

2

BA= BM = 

  nên điểm A trung điểm MB

1.39 (h 66) Điểm M nằm A B nên AM + MB = AB

⇒ MB = AB – AM = – = (cm)

Trên tia BA có BN < BM (2 < 4)

O

A B

x M N O P Q y

6 4 x B A O M N 6 4 x B A O M 7

nên điểm N nằm hai điểm B M (1)

Ta có BN + NM = BM ⇒ MN = BM – BN = – = (cm) Hình 66

Vậy BN = MN (=2cm) (2)

Từ (1) (2) suy N trung điểm đoạn thẳng MB

1.40 Vì M trung điểm OA nên OA = 2OM = 2cm

Vì N trung điểm OB nên OB = ON = 5cm

* Xét trường hợp M N thuộc tia gốc O (h 67) Khi A B thuộc tia gốc O

Vì OA < OB (2 < 5) nên điểm A nằm hai điểm O B Hình 67

Suy OA + AB = OB⇒ AB = OB – OA = – = (cm)

* Xét trường hợp M N thuộc hai tia đối gốc O (h 68) Điểm A điểm B nằm hai tia đối gốc O

nên điểm O nằm A B

⇒AB = AO + OB = + = (cm) Hình 68

1.41 (h 69) Vì M1là trung điểm AB nên ( ) 10 2 2 AB

M B= = = cm

Vì M2 trung điểm M1B nên ( )

9 2 2 M B

M B= = = cm ………

Vì M10là trung điểm đoạn thẳng M9B nên

( ) 10 2 M B

M B= = = cm Hình 69

Trên tia BA có ( 9)

10 1

BM <BM < nên điểm M10 nằm hai điểm B M1

Do ( )

10 10 1 10 1 10 511

BM +M M =BM ⇒M M =BM −BM = − = cm

2,5 1

x y

O M A N B

2,5 ?

1

x y

M O

A N B

A B

Chuyên đề nâng cao 1.42 (h 70) Điểm M trung điểm AB nên AM = MB

2 AB

a = Điểm N nằm hai điểm A B nên AN + NB = AB = 2a

Vì AN < AM nên 2AN < 2a, AN < a

Trên tia AB có AN < AM nên điểm N nằm hai điểm Hình 70

A M (dấu hiệu 3)

Trên tia AB có AN < AM < AB nên điểm M nằm hai điểm N B (dấu hiệu 4)

1.43 (h.71) Điểm O trung điểm AB nên O nằm A B Trên tia AB có

AM < AO

2 AB

= nên điểm M nằm hai điểm A O

Trên tia BA có BN < BO

2 AB =

nên điểm N nằm hai điểm B O Hình 71

Suy điểm O nằm hai điểm M N (dấu hiệu 5) (1)

Ta có OM = OA – AM; ON = OB – BN Mặt khác OA = OB AM = BN nên OM = ON (2)

Từ (1) (2) suy O trung điểm MN

1.44 (h 72)

a) Điểm I nằm A B nên

AI + IB = AB ⇒ IB = AB – AI = – = 4(cm)

Trên tia BA có BK < BI (vì a < 4) nên điểm K nằm hai điểm B I Hình 72

Do BK + KI = BI ⇒ IK = BI – BK = – a (cm)

b) Ta có K nằm B I nên muốn K trung điểm BI phải có

( )

1

4

2

BK = BI ⇔ =a = cm

1.45 (h 73) Trên tia Ox có OA < OB (vì a < b) nên điểm A nằm hai điểm O B

Suy OA + AB = OB ⇒ AB = OB – OA = b – a Hình 73

Vì M trung điểm AB nên

2

AB b a BM = = − Ta có:

2

b a b b

− < <

Trên tia BO có BM < BO (vì

2

b a b b

− < < ) nên điểm M nằm hai

điểm B O Suy BM + MO = BO Do ( )

2 2

b b a

b a a b

OM =OB−BM = −b − = − − = +

1.46 (h 74) Điểm E nằm hai điểm A B nên AE + BE= AB = 6cm mà AE + BF = 7cm

nên BE < BF Trên tia BA có BE < BF nên điểm E nằm hai điểm B F Suy BE + FE = BF

Ta có: AE + BF = 7cm

Do đó: AE + (BE + FE) = 7cm AB + FE = 7cm

⇒ FE = – AB = – = (cm) Hình 74

1.47 (h 75)

• Trên tia Ox có OA < OB (1,5 < 3) nên điểm A nằm hai điểm O B

Ta có OA + AB = AB ⇒ AB = OB – OA = – 1,5 = 1,5 (cm)

Vậy OA = AB (=1,5cm)

Suy A trung điểm OB

• Trên tia Ox có OB < OC ( < 4,5) nên điểm B nằm O C

Ta có: OB + BC = OC ⇒ BC = OC – OB = 4,5 – = 1,5 (cm)

Vậy AB = BC (1)

Trên tia Ox có OA < OB < OC (1,5 < 3< 4,5)

nên điểm B nằm hai điểm A C (dấu hiệu 4) (2)

Từ (1) (2) suy B trung điểm AC Hình 75

Tóm lại, hình có điểm A trung điểm OB; điểm B trung điểm AC

1.48 (h 76)

a) Hai tia OA, AB đối nên điểm A nằm hai điểm O B, OB = AO + AB = + = 6(cm)

Vì điểm M trung điểm AO nên OM = (cm) Hình 76

Vì N trung điểm OB nên ON = (cm)

Trên tia OB có OM < ON nên điểm M nằm hai điểm O N Suy OM + MN = ON Do MN = ON – OM = – = 2(cm)

Vậy OA = MN (=2cm)

b) Trên tia OB có OA < ON (2 < 3) nên điểm A nằm hai điểm O N

Suy OA + AN = ON ⇒ AN = ON – OA = – = (cm)

Vậy AN = OM (= 1cm)

1.49 (h 77)

a) Ta có E 4( )

3

A = AB= cm

Điểm F trung điểm AE nên AF = FE = :2 = 2(cm) Điểm E nằm hai điểm A B nên AE + BE = AB Suy BE = AB – AB = – = (cm)

Do BE = FE(=2cm) (1)

Trên tia AB có AF < AE < AB (2 < < 6) nên điểm E nằm F B (dấu hiệu 4) (2) Từ (1) (2) suy E trung điểm BF

b) Điểm F nằm hai điểm A E (vì F trung điểm AE) Suy hai tia FA FE đối (1)

Điểm O nằm hai điểm E F (vì O trung điểm FE)

Suy hai tia FO FE trùng (2) Hình 77

Từ (1) (2) suy hai tia FA, FO đối

Do điểm F nằm hai điểm A O dẫn tới OF, OA trùng (3) Lập luận tương tự có hai tia OE, OB trùng (4)

Mặt khác hai tia OF , OE đối (vì O trung điểm FE) (5)

Từ (3); (4); (5) suy hai tia OA, OB đối nhau, dẫn tới điểm O nằm hai điểm A B (6)

Ta có: OA = OF + AF (vì F nằm A O)

OA = + = (cm)

OB = OE + BE (vì E nằm B O)

1,5

4,5

3 x

C B

O

A

4

O M A N B

6

OB = + = (cm) Do OA = OB (7)

Từ (6) (7) suy O trung điểm AB

1.50 (h 78) Vì O trung điểm AB nên OA = OB O nằm A B

Suy hai tia BO, BA trùng

Mặt khác hai tia BM, BA đối nên hai tia BO, BM đối nhau,

do điểm B nằm hai điểm O M Suy OM = OB + BM (1) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA, OB đối xứng Điểm B nằm hai điểm O M nên hai tia OM, OB trùng

Suy hai tia OA, OM đối Do điểm O nằm hai điểm A M

Vậy AO + OM = AM ⇒ OM = MA – AO (2)

Từ (1) (2) ta có 2OM = OB + BM + MA – AO

2OM = MA + MB (vì OA = OB) Hình 78

2 MA MB OM = +

Nhận xét:

1 Muốn chứng minh

2 MA MB

OM = + ta chứng tỏ 2OM = MA + MB

Muốn có 2OM ta tính OM, theo hai cách khác cộng lại Sau muốn OM ta

chia kết cho

2 Bài toán M nằm tia đối tia AB

1.51 Xét hai trường hợp:

* M nằm O B (h 79)

Ta có hai tia OM OB trùng (1)

Điểm O trung điểm AB nên OA = OB O nằm A B Suy hai tia OA, OB đối (2)

Từ (1) (2) suy hai tia OA, OM đối điểm O nằm hai điểm A M

Ta có AO + OM = AM ⇒ OM = MA – OA (3) Hình 79

Mặt khác: OM + MB = OM ⇒ OM = OB – MB (4)

Từ (3) (4) ta có 2MO = MA – AO + OB – MB

2MO = MA – MB (vì OA = OB) (5) * M nằm O A (h 80)

Cũng giải tương tự ta

2 MB MA

OM = − (6)

Từ (5) (6) suy

2 MA MB

OM = − Hình 80

Lưu ý: Nếu điểm M trùng với O kết

x M

B

A O

A

B O M

A

B O

MỤC LỤC

PHẦN SỐ HỌC 1

Chương I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN 1

Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN

Chuyên đề PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN 10

Chuyên đề TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG, HIỆU, TÍCH 18

Chuyên đề DẤU HIỆU CHIA HẾT 21

Chuyên đề 5. SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ 28

Chuyên đề 6.ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT 33

Chuyên đề nâng cao SỐCHÍNH PHƯƠNG 40

Chuyên đề nâng cao 2. NGUYÊN LÍ DIRICHLET 50

Chương II SỐ NGUYÊN 55

Chuyên đề 1. TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN 55

Chuyên đề 2. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC SỐ NGUYÊN 61

CHUYÊN ĐỀ 3. QUY TẮC DẤU NGOẶC VÀ QUY TẮC CHUYỂN VẾ 67

Chuyên đề 4. PHÉP NHÂN HAI SỐ NGUYÊN 73

Chuyên đề 5. BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN 78

Chuyên đề nâng cao.ĐỒNG DƯ 82

PHẦN HÌNH HỌC 89

Chương I ĐOẠN THẲNG .89

Chuyên đề 1.ĐIỂM ĐƯỜNG THẲNG 89

Chuyên đề TIA 93

Chuyên đề 3.ĐOẠN THA�NG 96

Chuyên đề TRUNG ĐIE�M CU�A ĐOẠN THA�NG 99

Chuyên đề nâng cao 102

CA�C DA�U HIE�̣U NHA�̣N BIE�TMO�̣T ĐIE�M NA�M GIƯ�A HAI ĐIE�M KHA�C 102

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ ….106

PHẦN SỐ HỌC 106

Chương I ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN 106

Chương II SỐ NGUYÊN 129