Đáp án chọn đội tuyển HSG Toán học lớp 12 Đắk Lắk 2015-2016 ngày 1 - Học Toàn Tập

2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 MƠN: TỐN

(Thời gian: 180 phút, không kể phát đề)

Ngày thi: 22/10/2014 ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

(gồm trang)

A ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

1 Giải phương trình: x515x3 45 27 1x    Đặt x2 3t, thay vào phương trình ta

5

288 3t 360 3t 90 27 0t 

1

 

2 16t 20t 5t

   

5

16 20

6 t t t cos

   

1

Đặt t cos 

Ta có 16 20 5

6 cos   cos  cos cos

1

Do cos5 16cos5 20cos3 5cos

Nên ta , {0,1,2,3,4}

6 5.6 k5

cos  cos  x cos     k

 

1

Do phương trình  1 có tối đa nghiệm nên phương trình  1 có

nghiệm là: , {0,1,2,3,4}

5.6 k5

x cos     k

 

1

2 Tìm hàm f(x) liên tục  thỏa mãn: 3f x    f x x x  , 

Ta có 3    ,   ,  1

3 x x f x  f x x x    f x  f     x

 

 

Đặt g x 3x Xét dãy số  xn với  

1

n n

x

x g x

 

 





Ta có       2 1 3 n n n x x g x

x x g x

x

x g x 

                

suy 1

3

n xn

x   nên lim xn n 

Do hàm f x  liên tục  nên lim f    xn f 0

n  

Lần lượt thay x x x1; ; ;2 xn vào  1 ta

      1 2 1 3 3 3 3 n n n x x

f x f

x x

f x f

x x

f x f  

                                            1

2

1 1 3 3 3

n n n

x f x f x

x f x f x

x f x f x 

                             

1 2

1

2 3

1 1 3 3 3

n n n

x

f x f x

x

f x f x

x f x f x

                 

Suy  1 31   13 13 13 2

n n

n

f x     f x x             

        

   

2 2

1

1

1

1

1 3

1

3 1

9

n n

n n

n n

f x x f x x

                            

Lấy giới hạn vế f x  hàm số liên tục nên ta được:

   

1 x8 8x

f x   f x 

1

Thử lại : f x 8x hàm liên tục     

3 3 ;

8x 8x 8x 8x

f x   f x x   x thỏa mãn điều kiện toán

1

3 Cho tam giác ABC, M điểm tam giác Gọi khoảng cách từ M đến cạnh BC, AC, AB ; ;d d da b c, khoảng cách từ M

đến đỉnh A, B, C ; ;x y z Chứng minh rằng:

a b c

x y z

d d d   

Gọi độ dài cạnh a b c; ;

Kẻ BH MA CK MA ,  , gọi D giao AM BC, suy BH CK BC 

1

Có 2SMABc d c BH x S ;2 MAC b d CK x b 

Do BH CK BC  x BH CK  x BC  xa bd cdb c 1

1

Gọi M’ đối xứng với M qua phân giác góc A, M’A=MA=x khoảng cách từ M’ đến AB khoảng cách từ M đến AC db

1 Áp dụng  1 cho điểm M’ ta xa bd cdc b x bdc cdb

a a

    

Tương tự ta có y adc cda;z adb bda

b b c c

   

1

Suy x y z d   ab cc b dba cc a dca cb a 2da2db2dc

     

2

a b c

x y z d d d 

 

 

Dấu xảy tam giác ABC M tâm tam giác

4

Giải hệ phương trình

   

   

4

2 15

2 2

1 10 8 22 3

3

x y z

x y z xyz

y z

x



    

    

 

   



5

Điều kiện: x0;y0;z0

Từ  2 suy ;2 2x 7y

z xy

xy

  



1

Khi

2x 7y x y z x y

xy

    

  x 211x y 27x  22xxy47y  2x

 

   

2 2

2

11 11 7 4

2 2

x

xy x

x x

x x x xy x x



 

      



Đẳng thức xảy 2 7 2

2

x

xy y x

x x xy x



     



1

Mặt khác     

2

2 7 7 5

4

x x

x      

Đẳng thức xảy 3x 

1

Do 11 15 6 

2 x4 2

x y z x x

x x   x

         

  , đẳng thức

xảy x3

1

Từ    1 ; suy dấu xảy nên suy 3; 5; 2

x y z Thử lại thấy thỏa mãn  3 nên 3; 5;

2

x y z nghiệm hệ

1

B HƯỚNG DẪN CHẤM

1/ Điểm làm theo thang điểm 20, tổng điểm thành phần khơng làm trịn số

2/ Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa phần