Nêu định hướng giúp học sinh giải bài toán sau bằng 2 cách: “ Chứng minh rằng trong hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéo ”.. Cho hình chóp S.AB[r]
(1)DAYHOCTOAN.VN
DAYHOCTOAN.VN
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT CHU KỲ 2011 – 2015
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm 180 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1.(4,0 điểm)
a Hãy trình bày đường dạy học định lí tốn học Nêu hoạt động củng cố định lý toán học
b Trong SGK lớp 12 (NXB Giáo dục) có định lí: “ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K Nếu f '(x) 0 , x K hàm số f(x) đồng biến K Nếu f '(x)0, x K hàm số f(x) nghịch biến K ”
Hãy nêu bốn ứng dụng định lí (khơng cần ví dụ) để giải số dạng tập toán Câu (4,0 điểm)
a Hãy nói rõ chức tập toán dạy học tốn bậc THPT
b Hãy nêu hai quy trình giải tốn: “ Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo không gian tọa độ Oxyz biết phương trình tham số hai đường thẳng ”
Câu (5,0 điểm)
a Cho hệ phương trình:
2 2
xy x 7y x y xy 13y
( x, y )
Giải hệ phương trình hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác
b Tính tích phân:
2 x
cosx +s inx
I dx
(e sinx +1)sinx
Câu 4: (4,0 điểm)
a Nêu định hướng giúp học sinh giải toán sau cách: “ Chứng minh hình bình hành, tổng bình phương cạnh tổng bình phương hai đường chéo ”
b Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M, N, P theo thứ tự tia SA, SB, SC cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c số thực) Chứng minh mặt phẳng (MNP) qua trọng tâm G tam giác ABC a + b + c =
Nêu mệnh đề đảo toán Mệnh đề hay sai, sao? Câu 5: (3,0 điểm)
a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x)x 5 x 3 đoạn 0;5 b Cho số thực a,b,c thỏa mãn a b c a2 b2 c2 5 Chứng minh rằng:
(ab)(b c)(c a)(ab bc ca) 4 -Hết
(2)DAYHOCTOAN.VN
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HƯỚNG DẪN CHẤM HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT CHU KỲ 2011 – 2015
Đáp án: MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
Câu Ý Nội dung Điểm a Các đường dạy học định lí tốn học
- Con đường suy diễn Gồm bước: Tạo động cơ, suy diễn để đến định lí, phát biểu định lí, củng cố vận dụng định lí 0,5 - Con đường có khâu suy đốn (quy nạp) Gồm bước: Tạo động cơ, phát định lí, phát biểu định lí, chứng minh định lí, củng cố vận dụng định lí
0,5
Các hoạt động củng cố định lí:
- Nhận dạng thể định lí 0,5 - Hoạt động ngơn ngữ: phát biểu định lí, phát biểu định lý theo dạng khác 0,25 - Khái quát hóa, đặc biệt, hệ thống hóa định lí 0,25
b Nêu bốn ứng dụng định lí cho
- Xét biến thiên hàm số 0,5
- Chứng minh hàm số đồng biến,nghịch biến 0,5
- Chứng minh bất đẳng thức 0,5
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 0,5
- Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
- Chứng minh phương trình có nghiệm
- Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình, hệ pt có nghiệm
( Thí sinh nêu đủ bốn ý cho điểm tối đa )
2 a Chức tập toán
- Chức dạy học: Hình thành, củng cố cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ
xảo giải toán 0,5
- Chức giáo dục: Rèn luyện tư biện chứng, lôgic, gây hứng thú
niềm tin, hình thành phẩm chất đạo đức người học 0,5 - Chức phát triển: Phát triển tư duy, lực, nhận thức 0,5
- Chức kiểm tra: Kiểm tra, đánh giá mức độ, kết dạy học, trình độ
của học sinh Hồn chỉnh bổ sung kiến thức học 0,5 b Nêu quy trình: Giả sử d1, d2 có phương trình theo tham số t, k
Quy trình 1:
+ Lấy A, B thuộc d1; d2, tính AB (theo t, k), tìm vtcp u u d2 1, d2 0,25
+ Điều kiện để AB đoạn vng góc chung d1, d2 là:
1
2
AB.u AB.u
(*) 0,25
+ Giải hệ (*) tìm t, k từ tìm A, B 0,25
+ Viết phương trình đường thẳng qua A, B 0,25
(3)DAYHOCTOAN.VN
DAYHOCTOAN.VN
+ Tìm vtcp u 1 u d2 1, d2 chọn vtcp đường vuông góc chung
của đường vng góc chung d u u ; u1 2
0,25
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 có vtpt n u ; u1 0,25
+ Tìm giao điểm M (P) d2 0,25
+ Viết phương trình đường thẳng d qua M có vtcp u 0,25
3 a
Giải hệ xy2 2x 7y 2 (1) x y xy 13y (2)
( x, y ) (*)
Giải cách 1: Xét y = 0, từ (2) suy = (vơ lí) Xét y 0: (*)
2
2
1 x
x
y y x x
13 y y y
Đặt u x 1, v x y y
0,5
(*)
2
u v u v 13
2
u u 20
u v
u v 12
0,5
+ Nếu u v
ta có hệ
1 x y x y y 3y 4y 1
y
Khi hệ có nghiệm: 3;1 ; 1;1
0,5
+ Nếu u v 12
, giải tương tự ta có hệ vơ nghiệm
Vậy hệ cho có nghiệm: 3;1 ; 1;1
0,5
Hướng dẫn cách 2: Từ (1) suy y 1 rút x theo y: x 7y y
0,25
- Thế vào (2) đưa pt: 36y4 33y35y2 y (3) 0,25
- Phân tích (3) thành nhân tử : (y - 1)(3y - 1)(12y2 + 5y + 1) =
0,25
- Suy pt có nghiệm: y 1, y
, tìm x, kết luận nghiệm hệ 0,25
b
x
x x
6
e (cosx +s inx)
I dx
e s inx.(e s inx +1)
Đặt x
e sinx = t x
dt e sinx +cosx dx
Đổi cận x t 1e ; x6 t e2
6 2
(4)DAYHOCTOAN.VN
2
6
e e
1
e e
2
1 1
I dt dt
t(t 1) t t
0,5
=
2
6 e
1 e
t ln
t
0,5
6
2
e ln
3
e
0,5
4 a Giả sử cho hình bình hành ABCD, chứng minh: AB2 + BC2 + CD2+ DA2 = AC2 + BD2 (*)
Cách 1: Sử dụng công thức đường trung tuyến 0,25
+ Gọi O tâm hình bình hành ABCD suy O trung điểm AC, BD 0,25
+ Áp dụng công thức đường trung tuyến tam giác ABC, ACD 0,25
+ Cộng đẳng thức ta có (*) 0,25
Cách 2: Sử dụng véctơ 0,25
+ Chuyển từ bình phương độ dài bình phương vơ hướng 0,25
+ Do ABCD hình bình hành nên có ABDC;ADBC 0,25
+ Biến đổi tương đương (*) 0,25
Cách 3: sử dụng định lý cosin
+ Áp dụng định lý cosin tam giác ABC + Áp dụng định lý cosin tam giác ABD
+ Do tính chất hình bình hành nên cosA +cosD = 0, cơng đẳng thức lại, từ suy (*)
( Thí sinh nêu đủ hai cách cho điểm tối đa )
b
Mệnh đề đảo: Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M, N, P theo thứ tự tia SA, SB, SC cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c số thực) Chứng minh a + b + c = mặt phẳng (MNP) qua trọng tâm G tam giác ABC
1,0
Chứng minh mệnh đề
Do G trọng tâm tam giác ABC nên SG 1SA SB SC
Mà SA SA.SM a.SM SM
, tương tự SB b.SN ; SCc.SP
0,25
Suy SG aSM bSN cSP
3 3
(1)
Từ giả thiết ta có : a b c a b c 3 3 3 3 (2) Từ (1) , (2) suy SG (1 b c)SM bSN cSP
3 3
0,25
b c
SG SM (SN SM) (SP SM)
3
MG bMN cMP
3
(3) 0,25
(5)DAYHOCTOAN.VN
DAYHOCTOAN.VN
suy mặt phẳng (MNP) qua trọng tâm G tam giác ABC 5 a f(x) =
x (5 x) hàm số liên tục đoạn [0; 5]
f(x)x(5 x) 3/ x (0;5) 0,5 f ’(x) = x (5 5x)
2
0,5
f ’(x) = x 5; x2 Ta có : f(2) = , f(0) = f(5) = 0,5
Vậy
x [0;5]
Max
f(x) = f(2) = , Minx [0;5] f(x) = f(0) = 0,5
b (ab)(b c)(c a)(ab bc ca) 4 (a b)(b c)(a c)(ab bc ca)
(*) Đặt vế trái (*) P
Nếu ab + bc + ca < P suy BĐT chứng minh 0,25 Nếu ab + bc + ca 0 , đặt ab + bc + ca = x0
(a-b)(b-c)
2 2
a b b c (a c)
2
(a - b)(b - c)(a - c)
3
(a c)
(1) 0,25
Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2
2(a - c)2 + [(a - b) + (b - c)]2 = 2(a - c)2 + (a - c)2 = 3(a - c)2
Suy 4(5 - x) 3(a - c)2 ,từ ta có x a c 4(5 x)
3
(2) 0,25 Từ (1) , (2) suy P
3
1
x (5 x)
=
3
2
x (5 x) (3) Theo câu a ta có: f(x) = x (5 x) 3 với x thuộc đoạn [0; 5] nên suy P 3.6 P
9
Vậy (*) chứng minh Dấu xảy a = 2; b = 1; c =
0,25
- Hết -