Kỹ thuật phễu tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh tới tất cả các đỉnh trên bề mặt khối đa diện lồi trong ba chiều

Kỹ thuật phễu tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh tới tất cả các đỉnh trên bề mặt khối đa diện lồi trong ba chiều Kỹ thuật phễu tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh tới tất cả các đỉnh trên bề mặt khối đa diện lồi trong ba chiều luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM QUANG KHẢI CÔNG THỨC BLACK – SCHOLES TRONG TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà nội – Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM QUANG KHẢI CƠNG THỨC BLACK – SCHOLES TRONG TỐN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 604615 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN HÙNG THAO Hà nội – Năm 2013 LỜI MỞ ĐẦU Trong việc định giá gói tài sản tài thị trƣờng chứng khốn mơ hình Black – Sholes đời vào năm 1973 đƣợc đánh dấu nhƣ bƣớc ngoặt có tính chất cách mạng, làm thay đổi hẳn q trình tính tốn đầu tƣ thị trƣờng tài Mỹ Châu Âu kể từ Mơ hình định giá quyền chọn đƣợc gắn liền với tên tuổi Fischer Black, Myron Scholes Merton Miller sở cho giải thƣởng Nobel kinh tế năm 1986 Để tới phƣơng trình giá cơng thức định giá, tác giả mơ hình giả thiết biến đổi giá chứng khoán sở S  t  theo thời gian t trình chuyển động Brown hình học:   2  S  t   S   exp     t   dWt  ,    (0.1) hay dƣới dạng vi phân dS  t    S t  dt   S t  dWt , (0.2) hệ số   đƣợc định giả thiết số,  biểu thị tốc độ biến đổi trung bình giá chứng khốn S  t   đƣợc gọi độ biến động, thể mức độ tham gia nhiễu ngẫu nhiên dWt Trong q trình ứng dụng sau, mơ hình Black – Sholes cổ điển tỏ có nhiều hạn chế, chƣa phản ánh tốt phát triển thực tế việc định giá hợp đồng quyền chọn Các nhà nghiên cứu tốn học kinh tế tài mở rộng mơ hình cho phù hợp với thực tế Sự mở rộng đƣợc phát triển theo hai hƣớng chính: Hƣớng thứ nhằm thay trình điều khiển Wiener (chuyển động Brown) Wt trình khác, chẳng hạn trình khuếch tán có bƣớc nhảy hay q trình Lévy, hay trình tổng hợp nhiều loại chuyển động ngẫu nhiên hay trình phân thứ Đã có nhiều thành cơng theo hƣớng này, phải kể đến cơng trình E.Eberlein, T.Bjork, D.Nualart… Một khuynh hƣớng tự nhiên thứ hai không xem tốc độ biến đổi  tốc độ biến động  chứng khoán số mà phải xem chúng biến đổi theo thời gian t :     t  ,     t  , biến ngẫu nhiên hàm ngẫu nhiên Theo hƣớng này, gần xuất cơng trình đặc biệt hai tác giả Richard J.Criego Anatoly V.Swishchuk, nghiên cứu mơ hình Black – Scholes với hệ số   phụ thuộc vào xích Markov: trạng thái xích Markov xem giá chứng khốn tn theo mơ hình Black – Scholes cổ điển, nhƣng theo thời gian với chuyển trạng thái xích Markov giá chứng khốn lại ứng với mơ hình Black – Scholes cổ điển khác Ta nói cách sơ lƣợc ta có mơ hình Black – Scholes đƣợc “nhúng” mơi trƣờng ngẫu nhiên tạo xích Markov Luận văn tổng hợp cách có hệ thống kết cơng trình Luận văn gồm chƣơng: Chương I gồm kiến thức mở đầu, trình bày số khái niệm Tốn Tài Chính Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài luận văn nhƣ Quyền chọn, Trái phiếu lãi suất, Toán tử sinh cực vi, cơng thức Feynman – Kac … Chương II trình bày chung phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên mà hệ số dịch chuyển (drift)  hệ số khuếch tán (diffusion)  phụ thuộc vào xích Markov Chương III trình bày mơ hình Black – Scholes với hệ số   phụ thuộc vào xích Markov, dẫn giải cách tìm cơng thức định giá Black – Scholes cho mơ hình quyền chọn thông qua phƣơng pháp Feynman – Kac Phần cuối luận văn, ngồi Kết luận cịn có Phụ lục liên quan tới kĩ thuật tính tốn nội dung luận văn, Phụ lục gồm Phương pháp độ đo xác suất rủi ro trung tính Phụ lục gồm Các định lý Girsanov biến đổi độ đo Luận văn đƣợc hoàn thành sau thời gian dài nỗ lực tác giả với hƣớng dẫn nhiệt tình động viên liên tục thầy hƣớng dẫn PGS – TS Trần Hùng Thao Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Hùng Thao, ngƣời hết lòng bảo, động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên nơi tác giả đƣợc học tập, nghiên cứu suốt trình học Cao học trình làm luận văn, cảm ơn trƣờng Đại học Hàng hải Việt Nam nơi tác giả công tác tạo điều kiện tốt để tác giả tập trung học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, động nghiệp giúp đỡ động viên tác giả suốt thời gian qua Tuy có nhiều cố gắng nhƣng khả hạn chế, thời gian không dài nên luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đƣợc góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp Hy vọng sau luận văn tác giả có hội phát triển thêm nội dung khoa học thú vị luân văn Ngày 30 tháng 10 năm 2013 Học viên Phạm Quang Khải MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU MỤC LỤC CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất 1.1.1 Trái phiếu 1.1.2 Cổ phiếu 1.1.3 Lãi suất 1.2 Thị trƣờng đầy đủ không đầy đủ 11 1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá 11 1.2.2 Nguyên lý đáp ứng khái niệm thị trƣờng đầy đủ 15 1.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu 16 1.4 Quá trình Markov, xích Markov tốn tử sinh cực vi 18 1.4.1 Quá trình Markov 18 1.4.2 Xích Markov 18 1.4.3 Toán tử sinh cực vi 21 1.5 Quá trình Poisson chuyển động Brown 25 1.5.1 Quá trình Poisson 25 1.5.2 Quá trình Poisson phức hợp 27 1.5.3 Chuyển động Brown ( hay trình Wiener ) 28 1.6 Công thức Feynman – Kac 30 CHƢƠNG II QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐIỀU KHIỂN BẰNG XÍCH MARKOV……………………………………………………………… 30 2.1 Q trình ngẫu nhiên đƣợc điều khiển xích Markov 32 2.2 Các kết 35 CHƢƠNG III MƠ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỐI VỚI THỊ TRƢỜNG KHƠNG ĐẦY ĐỦ (B,S,X) 39 3.1 Công thức Feynman-Kac cho trình tiến hóa ngẫu nhiên Z 39 3.2 Phƣơng trình Black – Scholes cho thị trƣờng chứng khốn khơng đầy đủ  B, S , X  42 3.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu thị trƣờng  B, S , X  44 3.4 Công thức Black – Sholes cho thị trƣờng  B, S , X  45 Kết luận 48 PHỤ LỤC 49 Tài liệu tham khảo 56 CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm Tốn Tài Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài luận văn Trƣớc tiên, ta nêu khái niệm tài sản sở trái phiếu cổ phiếu sở tạo gói tài sản mà nhà đầu tƣ muốn thiết lập.Các gói tài sản gọi tài sản phái sinh Tài sản phái sinh đặc biệt mà ta đề cập tới loại hợp đồng tài mà ta gọi quyền chọn, gồm quyền chọn mua quyền chọn bán Và mơ hình Black-Scholes mơ hình cho phép định giá quyền chọn mua (hoặc bán) mà ta nói chƣơng đƣợc phát triển chƣơng sau với tham gia xích Markov Phần sau chƣơng nói xích Markov vấn đề liên quan đến luận án, 1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất 1.1.1 Trái phiếu Khái niệm Trái phiếu loại chứng khoán quy định nghĩa vụ ngƣời phát hành (ngƣời vay tiền) phải trả cho ngƣời nắm giữ chứng khoán (ngƣời cho vay) khoản tiền xác định, thƣờng khoảng thời gian cụ thể, phải hoàn trả khoản cho vay ban đầu đáo hạn Đặc điểm a Một trái phiếu thơng thƣờng có ba đặc trƣng chính, - Mệnh giá - Lãi suất định kỳ (coupon) - Thời hạn b Trái phiếu thể quan hệ chủ nợ – nợ ngƣời phát hành ngƣời đầu tƣ Phát hành trái phiếu vay vốn Mua trái phiếu cho ngƣời phát hành vay vốn nhƣ vậy, trái chủ chủ nợ ngƣời phát hành Là chủ nợ, ngƣời nắm giữ trái phiếu (trái chủ) có quyền địi khoản tốn theo cam kết khối lƣợng thời hạn, song quyền tham gia vào vấn đề bên phát hành c Lãi suất trái phiếu khác nhau, đƣợc quy định yếu tố: Cung cầu vốn thị trƣờng tín dụng Lƣợng cung cầu vốn lại tuỳ thuộc vào chu kỳ kinh tế, động thái sách ngân hàng trung ƣơng, mức độ thâm hụt ngân sách phủ phƣơng thức tài trợ thâm hụt Mức rủi ro nhà phát hành đợt phát hành Cấu trúc rủi ro lãi suất quy định lãi suất trái phiếu Rủi ro lớn, lãi suất cao Thời gian đáo hạn trái phiếu Nếu trái phiếu có mức rủi ro nhƣ nhau, nhìn chung thời gian đáo hạn dài lãi suất cao 1.1.2 Cổ phiếu Cổ phiếu chứng công ty cổ phần phát hành bút toán ghi sổ xác nhận quyền sở hữu cổ phần cơng ty Cổ phiếu ghi tên khơng ghi tên Cổ phiếu phải có nội dung chủ yếu sau đây: Tên, địa trụ sở cơng ty; Số ngày cấp Giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh; Số lƣợng cổ phần loại cổ phần; Mệnh giá cổ phần tổng mệnh giá số cổ phần ghi cổ phiếu; Họ, tên, địa thƣờng trú, quốc tịch, số Giấy chứng minh nhân dân, Hộ chiếu chứng thực cá nhân hợp pháp khác cổ đông cá nhân; tên, địa thƣờng trú, quốc tịch, số định thành lập số đăng ký kinh doanh cổ đông tổ chức cổ phiếu có ghi tên; Tóm tắt thủ tục chuyển nhƣợng cổ phần; Chữ ký mẫu ngƣời đại diện theo pháp luật dấu công ty; Số đăng ký sổ đăng ký cổ đông công ty ngày phát hành cổ phiếu; Các nội dung khác theo quy định dƣới cổ phiếu cổ phần ƣu đãi 1.1.3 Lãi suất Lãi suất tỷ lệ tổng số tiền phải trả so với tổng số tiền vay khoảng thời gian định Lãi suất ngƣời vay phải trả để đƣợc sử dụng tiền không thuộc sở hữu họ lợi tức ngƣời cho vay có đƣợc việc trì hỗn chi tiêu Có nhiều loại lãi suất nhƣ: lãi suất tiền vay; lãi suất tiền gửi; lãi suất tái cấp vốn; lãi suất liên ngân hàng, v.v Theo John Maynard Keynes lãi suất tƣợng tiền tệ phản ánh mối quan hệ cung cầu tiền Cung tiền đƣợc xác định cách ngoại sinh, cầu tiền phản ánh nhu cầu đầu cơ, phòng ngừa giao dịch tiền Trái với Keynes, nhà kinh tế học cổ điển trƣớc coi lãi suất tƣợng thực tế, đƣợc xác định áp lực suất - cầu vốn cho mục đích đầu tƣ - tiết kiệm Tác động tới kinh tế Thông qua vay nợ 10 ... ta lấy s  (thời đi? ??m ban đầu) t  T (thời đi? ??m đáo hạn), hệ thức cho ta:   EQ VT F  V0 , Nhƣng F  ,  nên EQ  F   EQ  , tức kỳ vọng có đi? ??u kiện F nhƣ khơng đi? ??u kiện Vậy ta... sản từ thời đi? ??m đáo hạn T giá thời đi? ??m trƣớc Trong trƣờng hợp tổng qt, k  t  cịn q trình ngẫu nhiên Khi giá tính lùi Vt cho cơng thức:  k T ,    Vt  EQ  XT Ft   k  t ,   Trên. .. Định nghĩa Tại thời đi? ??m t, phƣơng án đầu tƣ đƣợc cân đối lại, tức đi? ??u chỉnh lại việc mua bán chứng khoán X i   i  n  Đi? ??u có nghĩa thay đổi trọng số phƣơng án đầu tƣ từ i  t  sang 