BÀI GIẢNG GIÁO TRÌNH MATLAB

BÀI GIẢNG GIÁO TRÌNH MATLAB

CuuDuongThanCong.com (SAMI-HUST) Chương 1: Matlab Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2015 https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Nội dung Giới thiệu Matlab Biểu thức Matlab Biến Số Các toán tử Các hàm Vector Đa thức Ma trận Nhập ma trận Ghép nối Xóa hàng cột Một số lệnh xử lý ma trận Cấu trúc (Structures) Mảng tế bào (Cell Arrays) Vẽ đồ thị Vẽ đồ thị 2-D Vẽ đồ thị 3-D CuuDuongThanCong.com (SAMI-HUST) https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab (MATrix LABoratory) mơi trường phần mềm (problem-solving environment - PSE) tốn học tính toán MatLab phát triển vào cuối năm 70 Cleve Moler (Stanford) với mục đích giúp sinh viên thực tính tốn số mà khơng cần phải học ngơn ngữ lập trình bậc thấp, ví dụ Fortran Được thiết kế công ty MathWorks ngơn ngữ lập trình bậc cao chun sử dụng cho tính tốn kỹ thuật, đặc biệt tốn có dạng ma trận vector MatLab tích hợp tính tốn, đồ họa lập trình môi trường thân thiện, cho phép thể toán nghiệm dạng ký hiệu toán học quen thuộc MatLab hệ tương tác, có thành phần liệu mảng mà không cần khai báo trước số chiều MatLab trải qua nhiều năm phát triển với đóng góp nhiều chuyên gia Trong trường đại học, cơng cụ chuẩn cho khóa học tốn, kỹ thuật khoa học từ mở đầu đến nâng cao Trong cơng nghiệp, MatLab cơng cụ hữu ích cho việc nghiên cứu, phát triển phân tích sản phẩm chất lượng cao CuuDuongThanCong.com (SAMI-HUST) https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab (MATrix LABoratory) môi trường phần mềm (problem-solving environment - PSE) tốn học tính tốn MatLab phát triển vào cuối năm 70 Cleve Moler (Stanford) với mục đích giúp sinh viên thực tính tốn số mà khơng cần phải học ngơn ngữ lập trình bậc thấp, ví dụ Fortran Được thiết kế cơng ty MathWorks ngơn ngữ lập trình bậc cao chun sử dụng cho tính tốn kỹ thuật, đặc biệt tốn có dạng ma trận vector MatLab tích hợp tính tốn, đồ họa lập trình mơi trường thân thiện, cho phép thể toán nghiệm dạng ký hiệu toán học quen thuộc MatLab hệ tương tác, có thành phần liệu mảng mà không cần khai báo trước số chiều MatLab trải qua nhiều năm phát triển với đóng góp nhiều chuyên gia Trong trường đại học, cơng cụ chuẩn cho khóa học toán, kỹ thuật khoa học từ mở đầu đến nâng cao Trong công nghiệp, MatLab công cụ hữu ích cho việc nghiên cứu, phát triển phân tích sản phẩm chất lượng cao CuuDuongThanCong.com (SAMI-HUST) https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab (MATrix LABoratory) môi trường phần mềm (problem-solving environment - PSE) tốn học tính tốn MatLab phát triển vào cuối năm 70 Cleve Moler (Stanford) với mục đích giúp sinh viên thực tính tốn số mà khơng cần phải học ngơn ngữ lập trình bậc thấp, ví dụ Fortran Được thiết kế cơng ty MathWorks ngơn ngữ lập trình bậc cao chun sử dụng cho tính tốn kỹ thuật, đặc biệt tốn có dạng ma trận vector MatLab tích hợp tính tốn, đồ họa lập trình mơi trường thân thiện, cho phép thể toán nghiệm dạng ký hiệu toán học quen thuộc MatLab hệ tương tác, có thành phần liệu mảng mà không cần khai báo trước số chiều MatLab trải qua nhiều năm phát triển với đóng góp nhiều chuyên gia Trong trường đại học, cơng cụ chuẩn cho khóa học tốn, kỹ thuật khoa học từ mở đầu đến nâng cao Trong công nghiệp, MatLab cơng cụ hữu ích cho việc nghiên cứu, phát triển phân tích sản phẩm chất lượng cao CuuDuongThanCong.com (SAMI-HUST) https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab (MATrix LABoratory) mơi trường phần mềm (problem-solving environment - PSE) tốn học tính tốn MatLab phát triển vào cuối năm 70 Cleve Moler (Stanford) với mục đích giúp sinh viên thực tính tốn số mà khơng cần phải học ngơn ngữ lập trình bậc thấp, ví dụ Fortran Được thiết kế công ty MathWorks ngôn ngữ lập trình bậc cao chuyên sử dụng cho tính tốn kỹ thuật, đặc biệt tốn có dạng ma trận vector MatLab tích hợp tính tốn, đồ họa lập trình mơi trường thân thiện, cho phép thể toán nghiệm dạng ký hiệu toán học quen thuộc MatLab hệ tương tác, có thành phần liệu mảng mà không cần khai báo trước số chiều MatLab trải qua nhiều năm phát triển với đóng góp nhiều chun gia Trong trường đại học, cơng cụ chuẩn cho khóa học tốn, kỹ thuật khoa học từ mở đầu đến nâng cao Trong cơng nghiệp, MatLab cơng cụ hữu ích cho việc nghiên cứu, phát triển phân tích sản phẩm chất lượng cao CuuDuongThanCong.com (SAMI-HUST) https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab (MATrix LABoratory) mơi trường phần mềm (problem-solving environment - PSE) tốn học tính tốn MatLab phát triển vào cuối năm 70 Cleve Moler (Stanford) với mục đích giúp sinh viên thực tính tốn số mà khơng cần phải học ngơn ngữ lập trình bậc thấp, ví dụ Fortran Được thiết kế cơng ty MathWorks ngơn ngữ lập trình bậc cao chun sử dụng cho tính tốn kỹ thuật, đặc biệt tốn có dạng ma trận vector MatLab tích hợp tính tốn, đồ họa lập trình môi trường thân thiện, cho phép thể toán nghiệm dạng ký hiệu toán học quen thuộc MatLab hệ tương tác, có thành phần liệu mảng mà không cần khai báo trước số chiều MatLab trải qua nhiều năm phát triển với đóng góp nhiều chuyên gia Trong trường đại học, cơng cụ chuẩn cho khóa học toán, kỹ thuật khoa học từ mở đầu đến nâng cao Trong công nghiệp, MatLab công cụ hữu ích cho việc nghiên cứu, phát triển phân tích sản phẩm chất lượng cao CuuDuongThanCong.com (SAMI-HUST) https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab ứng dụng Tốn học tính tốn Phát triển thuật tốn Thu thập liệu Mơ hình hóa, mơ Phân tích liệu, thăm dị trực quan hóa Đồ họa khoa học kỹ thuật Phát triển ứng dụng, xây dựng giao diện người dùng CuuDuongThanCong.com (SAMI-HUST) https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab ứng dụng Tốn học tính tốn Phát triển thuật tốn Thu thập liệu Mơ hình hóa, mơ Phân tích liệu, thăm dị trực quan hóa Đồ họa khoa học kỹ thuật Phát triển ứng dụng, xây dựng giao diện người dùng CuuDuongThanCong.com (SAMI-HUST) https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab ứng dụng Tốn học tính tốn Phát triển thuật tốn Thu thập liệu Mơ hình hóa, mơ Phân tích liệu, thăm dị trực quan hóa Đồ họa khoa học kỹ thuật Phát triển ứng dụng, xây dựng giao diện người dùng CuuDuongThanCong.com (SAMI-HUST) https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Matlab Giải tích số 46/57 Giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta Họ phương pháp Runge-Kutta (RK) hiển s-nấc xác định công thức 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑠 ∑︁ 𝑏 𝑖 𝑘𝑖 , 𝑖=1 CuuDuongThanCong.com 𝑘1 = 𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) 𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑛 + 𝑐2 ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ𝑎21 𝑘1 ) 𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑛 + 𝑐3 ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ (𝑎31 𝑘1 + 𝑎32 𝑘2 )) https://fb.com/tailieudientucntt (4.4) Matlab Giải tích số 46/57 Giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta Họ phương pháp Runge-Kutta (RK) hiển s-nấc xác định công thức 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑠 ∑︁ (4.4) 𝑏 𝑖 𝑘𝑖 , 𝑖=1 CuuDuongThanCong.com 𝑘1 = 𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) 𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑛 + 𝑐2 ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ𝑎21 𝑘1 ) 𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑛 + 𝑐3 ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ (𝑎31 𝑘1 + 𝑎32 𝑘2 )) (︃ 𝑘𝑠 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑐𝑠 ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ 𝑠−1 ∑︁ 𝑖=1 https://fb.com/tailieudientucntt )︃ 𝑎𝑠𝑖 𝑘𝑖 Matlab Giải tích số 47/57 Giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta Bảng Butcher 𝑐2 𝑐3 𝑐𝑠 𝑎21 𝑎31 𝑎𝑠1 𝑏1 CuuDuongThanCong.com 𝑎32 𝑎𝑠2 𝑏2 ··· ··· ··· ··· 𝑎𝑠,𝑠−1 𝑏𝑠−1 𝑏𝑠 https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Giải tích số 47/57 Giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta Bảng Butcher 𝑐2 𝑐3 𝑐𝑠 𝑎21 𝑎31 𝑎𝑠1 𝑏1 CuuDuongThanCong.com 𝐴 𝑏𝑇 = với 𝑗 ≥ 𝑖 dạng gọn hơn: 𝑎32 𝑎𝑠2 𝑏2 với 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) 𝑎𝑖𝑗 ··· ··· ··· ··· 𝑎𝑠,𝑠−1 𝑏𝑠−1 𝑏𝑠 https://fb.com/tailieudientucntt 𝑐 Matlab Giải tích số 48/57 Giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta Các ví dụ Ví dụ Xét trường hợp 𝑠 = Khi 𝑘1 = 𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑏1 𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) Mặt khác, áp dụng công thức khai triển Taylor: 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑦| ˙ 𝑥𝑛 + · · · = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) + 𝒪(ℎ2 ) =⇒ 𝑏1 = Do đó, phương pháp Runge - Kutta nấc (RK 1) tương đương với phương pháp Euler hiển CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Giải tích số 49/57 Giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta Các ví dụ Ví dụ Với 𝑠 = 2, phương trình (4.4) tương đương với hệ 𝑘1 = 𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) 𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑛 + 𝑐2 ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ𝑎21 𝑘1 ) , 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ (𝑏1 𝑘1 + 𝑏2 𝑘2 ) Áp dụng khai triển Taylor lân cận 𝑥𝑛 ta có 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ (︀ )︀ 𝑑𝑦 ℎ2 𝑑 𝑦 |𝑥 𝑛 + |𝑥 + 𝒪 ℎ3 𝑑𝑥 𝑑𝑥2 𝑛 Mặt khác, ta biết 𝑦˙ = 𝑓 (𝑥, 𝑦), CuuDuongThanCong.com 𝑑𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑2 𝑦 := = + 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥2 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 https://fb.com/tailieudientucntt (4.5) Matlab Giải tích số 50/57 Giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta Các ví dụ Ví dụ (tiếp) Do đó, cơng thức khai triển Taylor viết lại sau (︂ )︂ (︀ )︀ 𝜕𝑓 ℎ2 𝜕𝑓 |(𝑥𝑛 ,𝑦𝑛 ) + 𝒪 ℎ3 +𝑓 𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛 = ℎ𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (4.6) (︀ )︀ Mặt khác, số hạng 𝑘2 cơng thức RK khai triển tới 𝒪 ℎ3 𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑛 + 𝑐2 ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ𝑎21 𝑘1 ) = ℎ𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) + ℎ𝑐2 (︀ )︀ 𝜕𝑓 𝜕𝑓 |(𝑥 ,𝑦 ) + +ℎ𝑎21 𝑓 |(𝑥 ,𝑦 ) + 𝒪 ℎ3 𝜕𝑥 𝑛 𝑛 𝜕𝑦 𝑛 𝑛 Thay vào phương trình cuối hệ (4.5) ta thu 𝑦𝑛+1 −𝑦𝑛 = ℎ (𝑏1 + 𝑏2 ) 𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )+ℎ2 𝑏2 𝑐2 Thay vào CuuDuongThanCong.com (︀ )︀ 𝜕𝑓 𝜕𝑓 |(𝑥𝑛 ,𝑦𝑛 ) +ℎ2 𝑏2 𝑎21 𝑓 |(𝑥𝑛 ,𝑦𝑛 ) +𝒪 ℎ3 𝜕𝑥 𝜕𝑥 (4.6) ta thu hệ https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Giải tích số 51/57 Giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta Các ví dụ Ví dụ (tiếp) Cho 𝑐2 = Khi 𝑏2 = 𝑏1 + 𝑏2 = 𝑏2 𝑐2 = 𝑏2 𝑎21 = 1, , 1 , 𝑏1 = , 𝑎21 = Bảng Butcher tương ứng 2 1 Do đó, cơng thức Runge-Kutta 2-nấc trường hợp có 1/2 1/2 dạng cơng thức Heun: CuuDuongThanCong.com 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ (𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) + 𝑓 (𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ))) , https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Giải tích số 52/57 Giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp RK4 Công thức RK4 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = 𝑘4 = 𝑦 = ℎ𝑓 (𝑥, 𝑦); )︂ (︂ ℎ 𝑘1 ; ℎ𝑓 𝑥 + , 𝑦 + 2 (︂ )︂ ℎ 𝑘2 ℎ𝑓 𝑥 + , 𝑦 + ; 2 ℎ𝑓 (𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘3 ) ; 𝑦(𝑥) + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 ) Bảng Butcher tương ứng CuuDuongThanCong.com 1/2 1/2 1/2 0 1/6 1/2 1/3 1/3 https://fb.com/tailieudientucntt 1/6 (4.7) Matlab Giải tích số 53/57 Giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp RK4 Công thức lặp Với 𝑖 = 1, : CuuDuongThanCong.com 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = 𝑘4 = 𝑦𝑖 = ℎ𝑓 (𝑥𝑖−1 , 𝑦𝑖−1 ) ; (︂ )︂ 𝑘1 ℎ ℎ𝑓 𝑥𝑖−1 + , 𝑦𝑖−1 + ; 2 (︂ )︂ ℎ 𝑘2 ℎ𝑓 𝑥𝑖−1 + , 𝑦𝑖−1 + ; 2 ℎ𝑓 (𝑥𝑖−1 + ℎ, 𝑦𝑖−1 + 𝑘3 ) ; 𝑦𝑖−1 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 ) https://fb.com/tailieudientucntt (4.8) Matlab Giải tích số 54/57 Giải gần phương trình vi phân thường Hệ phương trình vi phân thường phương trình vi phân cấp cao Bài tốn Bài tốn 4.2 Tìm 𝑦 = 𝑦(𝑥) 𝑧 = 𝑧(𝑥) nghiệm toán Cauchy 𝑦˙ = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑦(𝑥0 ) = 𝛼 𝑧˙ = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑧(𝑥0 ) = 𝛽 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥] (4.9) Bài tốn 4.3 Tìm 𝑦 = 𝑦(𝑥) nghim ca bi toỏn Cauchy cp hai: CuuDuongThanCong.com ă = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑦 (𝑥0 ) = 𝛼; 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥] 𝑦(𝑥 ˙ ) = 𝛽 https://fb.com/tailieudientucntt (4.10) Matlab Giải tích số 54/57 Giải gần phương trình vi phân thường Hệ phương trình vi phân thường phương trình vi phân cấp cao Bài tốn Bài tốn 4.2 Tìm 𝑦 = 𝑦(𝑥) 𝑧 = 𝑧(𝑥) nghiệm toán Cauchy 𝑦˙ = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑦(𝑥0 ) = 𝛼 𝑧˙ = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑧(𝑥0 ) = 𝛽 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥] (4.9) Bài tốn 4.3 Tìm 𝑦 = 𝑦(𝑥) nghiệm toán Cauchy cấp hai: CuuDuongThanCong.com ă = (, , ) (0 ) = 𝛼; 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥] 𝑦(𝑥 ˙ ) = 𝛽 https://fb.com/tailieudientucntt (4.10) Matlab Giải tích số 55/57 Giải gần phương trình vi phân thường Hệ phương trình vi phân thường phương trình vi phân cấp cao Bài tốn Ta thấy tốn (4.3) đưa toán (4.2) cách đặt 𝑦˙ = 𝑧(𝑥) 𝑦(𝑥0 ) = 𝛼 𝑧˙ = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑧(𝑥0 ) = 𝛽 (4.11) Vậy ta xét phương pháp tìm nghiệm hệ hai phương trình vi phân cấp (4.9) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Giải tích số 56/57 Giải gần phương trình vi phân thường Hệ phương trình vi phân thường phương trình vi phân cấp cao Phương pháp Runge - Kutta giải hệ (4.9) Chia đoạn [𝑥0 , 𝑥] thành 𝑛 đoạn điểm chia 𝑥0 < 𝑥1 < · · · < 𝑥𝑛 Độ dài đoạn ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 Giả sử giá trị nghiệm 𝑥𝑖−1 𝑦𝑖−1 𝑧𝑖−1 biết, ta tìm 𝑦𝑖 ≈ 𝑦 (𝑥𝑖 ) 𝑧𝑖 ≈ 𝑧 (𝑥𝑖 ) theo công thức phương pháp RK4: 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑙2 = 𝑘3 = 𝑙3 = 𝑘4 = 𝑦𝑖 = CuuDuongThanCong.com ℎ𝑓 (𝑥𝑖−1 , 𝑦𝑖−1 , 𝑧𝑖−1 ) ; 𝑙1 = ℎ𝑔 (𝑥𝑖−1 , 𝑦𝑖−1 , 𝑧𝑖−1 ) )︂ (︂ 𝑘1 𝑙1 ℎ ; ℎ𝑓 𝑥𝑖−1 + , 𝑦𝑖−1 + , 𝑧𝑖−1 + 2 (︂ )︂ ℎ 𝑘1 𝑙1 ℎ𝑔 𝑥𝑖−1 + , 𝑦𝑖−1 + , 𝑧𝑖−1 + 2 (︂ )︂ ℎ 𝑘2 𝑙2 ; ℎ𝑓 𝑥𝑖−1 + , 𝑦𝑖−1 + , 𝑧𝑖−1 + 2 (︂ )︂ ℎ 𝑘2 𝑙2 ℎ𝑔 𝑥𝑖−1 + , 𝑦𝑖−1 + , 𝑧𝑖−1 + 2 ℎ𝑓 (𝑥𝑖−1 + ℎ, 𝑦𝑖−1 + 𝑘3 , 𝑧𝑖−1 + 𝑙3 ) ; 𝑙4 = ℎ𝑔 (𝑥𝑖−1 + ℎ, 𝑦𝑖−1 + 𝑘3 , 𝑧𝑖−1 + 𝑙3 ) 1 𝑦𝑖−1 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 ) ; 𝑧𝑖 = 𝑧𝑖−1 + (𝑙1 + 2𝑙2 + 2𝑙3 + 𝑙4 )(4.12) 6 https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Giải tích số 57/57 Giải gần phương trình vi phân thường Hệ phương trình vi phân thường phương trình vi phân cấp cao Bài tập thực hành Tìm nghim ca bi toỏn Cauchy cp hai: ă + + 𝑦 = 0 ≤ 𝑥 ≤ 0.5 𝑦(0) = 𝑦(0) ˙ = (4.13) Bài toán cho tương đương với hệ hai phương trình vi phân cấp CuuDuongThanCong.com 𝑦˙ = 𝑧, 𝑦(0) = 𝑧˙ = −𝑥𝑧 − 𝑦, 𝑧(0) = https://fb.com/tailieudientucntt (4.14) ... https://fb.com/tailieudientucntt Matlab Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab (MATrix LABoratory) môi trường phần mềm (problem-solving environment - PSE) tốn học tính tốn MatLab phát triển... Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab (MATrix LABoratory) môi trường phần mềm (problem-solving environment - PSE) tốn học tính tốn MatLab phát triển vào cuối năm 70 Cleve... Hà Nội, tháng năm 2015 / 66 Giới thiệu Matlab Matlab MatLab (MATrix LABoratory) mơi trường phần mềm (problem-solving environment - PSE) tốn học tính toán MatLab phát triển vào cuối năm 70 Cleve