Lý thuyết và công thức biến đổi lượng giác.. Đường tròn lượng giác[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A Lý thuyết công thức biến đổi lượng giác
1 Đường tròn lượng giác
2
Bảng giá trị lượng giác cung liên quan đặ biệt
Cung GTLG (0 )
( 30 ) ( 45 ) ( 60 ) ( 90 )
sin
cos
tan =
cot =
Các đẳng thức lượng giác ( Góc bất biến )
a/ (*)sinx + cosx = x b/ + tanx = c/ + cotx =
d/ tanx cotx = e/ tanx = f/ cotx =
Chú ý :trong công thức (*) ta ý đến hệ : sinx = - cosx hay cosx = - sinx Các công thức biến đổi lượng giác ( Góc thay đổi dùng )
a/ Công thức cộng
sin ( a b ) = sina cosb cosa sinb ( Sin dấu khác lồi Sin sin cos ; cos sin ) cos ( a b ) = cosa cosb sina sinb ( Cos lồi khác dấu Cos cos cos ;sin sin ) tan ( a b )
tana tanb 1- tana.tanb
( tan thượng tầng tan cộng tang hạ tầng số ngang tàn trừ tích hai tan
b/ Công thức nhân đôi ( Được xây dựng cách thay b a công thức cộng ) sin2a = 2sina.cosa = ( sina + cosa ) -1 = - ( sina - cosa )
cos2a = cosa - sina = - 2.sina = 2.cosa - tan2a =
2 tan tan
a a
Chú ý : cơng thức nhân đơi góc giảm nửa )
c/ Cơng thức hạ bậc ( Được xây dựng từ công thức nhân đôi cos2a ) sina
1 os2a
c
cosa
1 os2a
c
tana
1 os2a os2a
c c
Chú ý : Chỉ hạ bậc lũy thừa bậc chẵn hạ bậc góc tăng gấp đơi bậc giảm nửa
d/ Công thức nhân ba
sin3a = 3sina - 4sina = sina.( 2cosa - 1).( 2cosa + 1) cos3a = 4cosa - 3cosa = cosa.( - 2sina ).( + 2sina )
e/ Cơng thức biến đổi tích thành tổng ( Được áp dụng với loại lẫn khác loại xây dựng từ công thức cộng )
cosa.cosb
1
os (a +b ) + cos (a - b)
2
c
(2) sina.sinb
1
os (a -b ) - cos (a + b)
2
c
sina cosb
1
sin (a +b ) + sin (a - b)
2
f/ Công thức biến đổi tổng thành tích ( Được áp dụng cho loại xây dựng từ công thức e/ ) cosu + cosv = cos cos
cosu - cosv = -2 sin sin sinu + sinv = sin cos sinu - sinv = cos sin
Đặc biệt : sinx + cosx = sin (x + ) = cos(x - ) sinx - cosx = sin (x - ) = - cos (x + ) Các phương trình lượng giác biết cách giải a/ Phương trình : sinx = m ( m R)
+Nếu > ( 1) vơ nghiệm
+ Nếu ( 1) có nghiệm xác định sau : - Nếu m đặt m = sin ( với xác định )
Khi pt có dạng sinx = sin
2 (k ) x k x k
- Nếu m nghiệm (1)
arcsin m
(k ) arcsinm x k x k
- Tổng quát sin f(x) = sin g(x)
( ) ( )
(k )
( ) ( )
f x g x k
f x g x k
b/ Phương trình : cosx = m ( m R) +Nếu > ( 1) vơ nghiệm
+ Nếu ( 1) có nghiệm xác định sau : - Nếu m đặt m = cos ( với xác định )
Khi pt có dạng cosx = cos
2 (k ) x k x k
- Nếu m nghiệm (1)
arccos m
(k ) arccosm x k x k
- Tổng quát cos f(x) = cos g(x)
( ) ( )
(k )
( ) ( )
f x g x k
f x g x k
c/ Phương trình : tanx = m ( m R)
+ Điều kiện xác định phương trình x≠ +k (k)
+ m phương trình ln có nghiệm Khi phương trình có nghiệm xác định + Nếu m đặt m = tan ( với xác định )
Khi phương trình có dạng tanx = tan x = + k (k)
+ Nếu m nghiệm (3) x = arctanm + k (k)
+Tổng quát tan f(x) = tan g(x) f(x) = g(x)+ k (k)
c/ Phương trình : cotx = m ( m R)
+ Điều kiện xác định phương trình x≠ k (k)
+ m phương trình ln có nghiệm Khi phương trình có nghiệm xác định + Nếu m đặt m = cot ( với xác định )
Khi phương trình có dạng cotx = cot x = + k (k)
+ Nếu m nghiệm (4) x = arccotm + k (k)
+Tổng quát cot f(x) = cot g(x) f(x) = g(x)+ k (k)
(3)*Chú ý: Khi đặt ẩn phụ phải để ý đến điều kiện t (nếu có) VD: Nếu t = sinx hoạc cosx
e/ Phương trình bậc sinx cosx : a.sinx + b.cosx = c Cách giải:
+ Nếu c > a + b phương trình vơ nghiệm
+ Nếu c a + b phương trình có nghiệm giải cách : Chia hai vế cho a2b2 ta .sinx + cosx =
Đặt cos = ; sin = Khi pt trở thành sin ( x + ) =
Chú ý ; rơi vào giá trị đặc biệt sin cos mục a, b xác định f/ Phương trình đẳng cấp sinx cosx : a (sinx cosx) + b.sinx.cosx = c
Cách giải : Đặt t = sinx cosx ( đk ) sau bình phương hai vế rút sinx.cosx theo t g/ Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx : a.sin x + b.sinx.cosx + c.cos x = d
Cách giải : Ktra cosx = có phải nghiệm khơng ? Nếu không chia hai vế cho cos x để đưa vê fph]ơng trình bậc hai tanx
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I.Phương pháp 1: Biến đổi phương trình phương trình biết cách giải thông thường hay rút gọn biến đổi
Bài tập :
1.sinx + cosx = (3 - cos6x ) HD: Đưa phương trình phương trình bậc ba cos2x 2.cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) HD: Đưa phương trình sin f(x) = sin g(x)
3.sinx + cosx + sin2x - = HD: Đưa phương trình bậc hai đới với sin2x sin ( x + 45 ) = sinx HD: Đưa phương trình bậc ba tanx sin + cos = HD: Đưa phương trình cos = m
II.Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình phương trình đại số với ẩn phụ Chú ý :Đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)
Bài tập :
1 sinx + sinx.cosx + cosx = HD: Đặt t = sinx + cosx sin2x - 12 (sinx - cosx) + 12 = HD: Đặt t = sinx - cosx 4.cos(2 - 6x) + 16.cos(1 - 3x) = 13 HD: Đặt t = cos(1 - 3x) 3tanx + tanx + 4cotx + 3cotx + = HD : Đặt t = tanx + cotx
III Phương pháp phân tích thành tích nhân tử sử dụng A.B = Bài tập :
cosx + sinx = cos2x HD: Phân tích có nhân tử chung sinx (cos5x - cos7x) = cos2x - cos3x HD: Phân tích có nhân tử chung sin
sin9x + sin5x +2.sinx - = HD: Phân tích có nhân tử chung cos2x sinx + cosx = - sin2x HD: Phân tích có nhân tử chung - sinx.cosx tan3x - tanx = 4sinx HD: Phân tích có nhân tử chung sinx
(sinx - sin2x ).( sinx + sin2x ) = sin3x HD: Phân tích có nhân tử chung (sinx - sin2x ) sinx + cosx + sin2x + cos2x = -1 HD: Phân tích có nhân tử chung ( 2cosx + 1) cosx - cos3x = cos( - x) - cos( +x) HD: Phân tích có nhân tử chung sinx
cosx - cos2x = sin3x HD: Phân tích có nhân tử chung sin 10 (cosx) - cos2x = + sinx( - ) HD: Phân tích có nhân tử chung ( - )
11 = HD: Phân tích có nhân tử chung sinx
12 sinx + cos2x = HD: Phân tích có nhân tử chung cosx
12 sinx - sinx +4( sinx + 1) = HD: Phân tích có nhân tử chung ( sinx + 1) 13