Nghiệm số cho dòng chảy trong ống có tiết diện ngang thay đổi

1 ðại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN HOÀNG QUÂN NGHIỆM SỐ CHO DỊNG CHẢY TRONG ỐNG CĨ TIẾT DIỆN NGANG THAY ðỔI Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG Mã ngành: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 10 năm 2007 CƠNG TRÌNH ðƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA ðẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: TS Mai ðức Thành ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Cán chấm nhận xét 1: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Cán chấm nhận xét 2: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Luận văn thạc sĩ ñược bảo vệ HỘI ðỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …… tháng ….năm 2007 ðẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM ðộc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc -oOo Tp HCM, ngày tháng năm 2007 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN HOÀNG QUÂN Ngày, tháng, năm sinh : 16-01-1979 Chun ngành : Tốn giải tích ứng dụng Khố (Năm trúng tuyển) : 2005 Giới tính : Nam Nơi sinh : TP.HCM MSHV : 02405541 1- TÊN ðỀ TÀI: NGHIỆM SỐ CHO DỊNG CHẢY TRONG ỐNG CĨ TIẾT DIỆN NGANG THAY ðỔI 2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: 3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 5- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS MAI ðỨC THÀNH CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH TS MAI ðỨC THÀNH Nội dung ñề cương Luận văn thạc sĩ ñã ñược Hội ðồng Chun Ngành thơng qua TRƯỞNG PHỊNG ðT-SðH Ngày … tháng … năm 2007 TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin gửi đến Thầy hướng dẫn tơi, TS MAI ðỨC THÀNH, lịng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy ñã tận tình hướng dẫn, động viên tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy ñã ñọc cho ý kiến nhận xét sâu sắc luận văn Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phịng ðào Tạo Sau ðại Học, đặc biệt Thầy Cơ mơn Tốn Ứng Dụng, trường ðại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến thành viên gia đình tơi động viên, giúp đỡ tơi nhiều để luận văn hồn thành TP.HCM, tháng 10 năm 2007 NGUYỄN HOÀNG QUÂN LỜI GIỚI THIỆU Hệ phương trình đạo hàm riêng hyperbolic phi tuyến bậc dạng divergence gọi Hệ hyperbolic luật bảo tồn Các phương trình nảy sinh từ nhiều lĩnh vực vật lý continuum luật cân ñược lập thành phương trình tốn học (đối với khối lượng, động lượng, tổng lượng,… chất vơ định hình vật liệu rắn) hệ với kích cỡ nhỏ bỏ qua (được sinh nhớt, mao dẫn, truyền nhiệt,…) Nghiệm hệ luật bảo tồn thường có kỳ dị sóng sốc Sóng sốc thường xuất sau quãng thời gian hữu hạn trường hợp kiện ban ñầu ñối với hệ trơn Bởi vậy, nghiệm hệ luật bảo tồn hiểu theo nghĩa suy rộng (phân bố) Những cơng trình khởi đầu nhà khoa học nghiên cứu hệ luật bảo tồn kể đến như: Dafermos, Kruzkov, Lax, Liu, Oleinik, etc Lý thuyết tốn học sóng sốc ñược xây dựng Lax vào quãng ñầu thập niên 1970 Sự tồn nghiệm ñược xây dựng Glimm, tiếp nối cơng trình Di Perna, Liu và nhiều tác giả khác Tính ñược thiết lập Kruzkov ñối với trường hợp vô hướng Bressan LeFloch ñối với trường hợp hệ Sự phụ thuộc liên tục ñược nghiên cứu Bressan, LeFloch, Liu, Yang, etc Dòng chảy ống dẫn xây dựng từ phương trình khí động học khơng gian chiều với điều kiện ban ñầu Do tiết diện ngang ống thay ñổi, hệ có dạng hệ luật bảo tồn với số hạng nguồn Như ñã ñược xét nhiều tác giả, luật bảo toàn với số hạng nguồn thường gây vấn đề tính tốn Chính xác sai số tăng lên mắt lưới làm nhỏ Hơn nữa, với sóng tĩnh (khơng phục thuộc thời gian), lược ñồ số cổ ñiển khơng thể xấp xỉ xác sóng Trong cơng trình nghiên cứu gần D Kröner M.D Thanh (Numerical solutions to compressive flows in a nozzle with variable cross-section, SIAM J Numer.Anal, Vol 43, No.2, 2005, pp 796-824) ñã xây dựng phương pháp số cân khắc phục vấn đề nêu Phương pháp cân xây dựng dạng sóng ngồi dạng sóng cổ điển biết sóng sốc sóng lan Sóng đặt tên sóng tĩnh dựa tính chất khơng phụ thuộc thời gian Việc nghiên cứu sóng tĩnh đưa đến kết luận quan trọng bảo tồn entropy sóng tĩnh Kết luận sở ñể xây dựng lược ñồ số ñược cân từ lược ñồ số cổ ñiển Lược ñồ số cân bảo tồn trạng thái cân bằng, đặt tên lược ñồ số cân Lược ñồ số cân khắc phục điểm bất lợi cố hữu lược ñồ số cổ ñiển sai số lớn mắt lưới nhỏ, lược ñồ số cân cho hội tụ nghiệm xác trội so với lược đồ số cổ ñiển Các tác giả cho phương pháp áp dụng cho lược đồ chuẩn Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, Engquist-Osher Tuy nhiên, tác giả dừng lại kiểm ñịnh ñối với lược ñồ Lax-Friedrichs Trong luận văn này, tiếp tục sử dụng phương pháp số ñã ñược tác giả D Krưner M.D Thanh đề xuất với lược ñồ Lax-Wendroff Chúng lược ñồ cân giải ñược vấn ñề vừa nêu Hơn nữa, số trường hợp nhận thấy kết thu ñược cách áp dụng lược ñồ cân cho lược ñồ Lax-Wendroff cịn cho kết tốt so với việc áp dụng lược ñồ cân cho lược ñồ Lax-Friedrichs Luận văn trình bày sau: - Chương 1: Trình bày kiến thức tổng quan hệ luật bảo tồn, số tốn hệ luật bảo toàn, lý thuyết cách xây dựng phương pháp số cho hệ luật bảo tồn Chương 2: Giới thiệu mơ hình tốn học dịng chảy ống có tiết diện ngang thay đổi, khái niệm sóng tĩnh tính chất, phương pháp xây dựng lược ñồ số cân cho tốn Chương 3: Các kết tính tốn thực nghiệm, so sánh kết thu ñược với nghiệm xác rút kết luận tương ứng MỤC LỤC Chương KIẾN THỨC TỔNG QUAN 1.1 GIỚI THIỆU VỀ HỆ LUẬT BẢO TOÀN 1.2 PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO HỆ LUẬT BẢO TOÀN 16 Chương .24 MƠ HÌNH TỐN HỌC VÀ CÁCH XÂY DỰNG LƯỢC ðỒ SỐ CÂN BẰNG 24 2.1 MƠ HÌNH TỐN HỌC 24 2.2 TÍNH HYPERBOLIC VÀ SĨNG TĨNH 27 2.3 TRẠNG THÁI CÂN BẰNG 32 2.4 XÂY DỰNG LƯỢC ðỒ SỐ CÂN BẰNG 35 2.4.1 Xây dựng lược ñồ số cân .35 2.4.2 Áp dụng lược ñồ số cân với hàm thông lượng Lax-Friedrichs .37 2.4.3 Áp dụng lược đồ số cân với hàm thơng lượng Lax-Wendroff 38 Chương .41 KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ KẾT LUẬN .41 3.1 SÓNG TĨNH 42 3.1.1 Thực nghiệm 42 3.1.2 Thực nghiệm 46 3.2 SĨNG KHƠNG TĨNH CHO KHÍ ðẲNG ENTROPY 50 3.2.1 Thực nghiệm 51 3.2.2 Thực nghiệm 55 3.2.3 Thực nghiệm 59 3.2.4 Thực nghiệm 63 3.2.5 Thực nghiệm 67 3.2.6 Thực nghiệm 71 3.2.7 Thực nghiệm 75 3.3 SÓNG KHƠNG TĨNH CHO KHÍ KHƠNG ðẲNG ENTROPY 79 3.3.1 Thực nghiệm 10 .79 3.3.2 Thực nghiệm 11 .84 3.4 KẾT LUẬN .87 PHỤ LỤC 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 Chương KIẾN THỨC TỔNG QUAN 1.1 GIỚI THIỆU VỀ HỆ LUẬT BẢO TỒN Hệ luật bảo tồn mơ hình tốn học quan trọng mạnh mẽ ñược ứng dụng nhiều lĩnh vực vật lý học, thiên văn học, dịng chảy nước ngầm, cơng nghệ bán dẫn, nhiều lĩnh vực khác Do hệ luật bảo tồn có nghiệm khơng liên tục, nên để tính tốn nghiệm ta cần phải ñưa lý thuyết phương pháp số, áp dụng phương pháp máy tính để xấp xỉ nghiệm Nhiều toán học, đặc biệt tốn khí động học dẫn ñến việc nghiên cứu hệ luật bảo tồn phí tuyến ðiểm thú vị hệ phương trình hyperbolic nghiệm gián đoạn cho dù điều kiện đầu tốn trơn ðiều giải thích lý thuyết tồn nghiệm cho hệ phương trình hyperbolic khơng gian nhiều chiều khơng xây dựng hồn hảo Phương trình hệ luật bảo tồn đơn giản (hay phuơng trình sai phân hyperbolic phi tuyến) phương trình Burger: u ( x, t ) = in RxR + (1.1) Chuyển ñộng vật lý ñơn giản mà phương trình biểu diễn xem ví dụ (1.1) Ngược lại với phương trình parabolic phương trình elliptic, luật bảo tồn đơn giản có nghiệm khơng liên tục cho dù có liệu ban đầu trơn ðiều thấy rõ ràng Giả sử (1.1) có nghiệm trơn u ∈ C (Rx[0, T ]) Gọi nghiệm γ ∈ C (]0, T [) I C (]0, T [) điều kiện đầu phương trình sai phân ban ñầu: ∂ t u ( x, t ) + ∂ x γ ' (t ) = u (γ (t ), t ) γ ' (0) = a in ]0, T [ (1.2) với a số cho trước a ∈ R Do ta có: d u (γ (t ), t ) = γ ' ∂ x u + ∂ t u = u (γ (t ), t )∂ x u (γ (t ), t ) + ∂ t u (γ (t ), t ) dt = ∂x u2 + ∂tu = với t ∈ ]0, T [ ðiều có nghĩa u (γ (t ), t ) số với t ∈ ]0, T [ , hay nói cách khác u số dọc theo ñường cong {(γ (t ), t ) t ∈ [0, T ]} Những ñường cong ñược gọi ñường ñặc trưng Từ (1.2) ta thu ñược: γ ' (t ) = u (γ (t ), t ) = const (1.3) với t ∈ ]0, T [ ðiều có nghĩa đường đặc trưng ñường thẳng Kết hợp tất lại, ta thấy nghiệm u số dọc theo ñường thẳng ñặc trưng ðộ cong ñường thẳng ñược cho bởi: γ ' (t ) = u (γ (t ), t ) = u (γ (0),0 ) Nghĩa với giá trị ban ñầu u Bây ta khảo sát tốn điều kiện đầu: u2 ∂tu + ∂ x =0 in RxR + u ( x,0 ) = u0 ( x) in R Trong u cho hình vẽ 1.1 u0 -1 Hình 1.1 x 10 Khi ta có u số dọc theo đường cong ñặc trưng (γ (t), t ) với: 1 0 γ ' (t ) = u (γ (0),0) = u0 (γ (0) ) =  γ (0) ≤ −1 γ (0 >= 1 u (γ (t ), t ) = u (γ (0),0) = u (γ (0) ) =  0 γ (0) ≤ −1 γ (0 >= Nghĩa là, T ñủ lớn, ñường đặc trưng cắt (xem hình 1.2) t u=1 u=0 -1 x Hình 1.2 u khơng thể nghiệm cổ điển truớc thời ñiểm Một ñịnh nghĩa hệ luật bảo tồn hệ (1.1) giới thiệu (nghiệm yếu) Loại nghiệm gián đoạn Bài tốn tuyến tính có dạng: ∂ t u + a∂ x u + b∂ y u = in u ( x, y ,0) = uo ( x, y ) in R RxR + (1.4) 95 ap = a(i+1); am = a(i-1); ax = a(i); %Solve the stationary equation to get %equiriblium states U(i+1,-) and U(i-1,+) rp = newton(r(i+1), u(i+1), ap, ax); rm = newton(r(i-1), u(i-1), am, ax); rx = r(i); up = sign(u(i+1))*sqrt(abs(u(i+1)^2 – (2*gamma/(gamma-1))*(rp^0.4 - r(i+1)^0.4))); um = sign(u(i-1))*sqrt(abs(u(i-1)^2 – (2*gamma/(gamma-1))*(rm^0.4 - r(i-1)^0.4))); ux = u(i); pp = (p(i+1)/(r(i+1)^gamma))*rp^gamma; pm = (p(i-1)/(r(i-1)^gamma))*rm^gamma; px = p(i); ep = pp/((gamma-1)*rp); em = pm/((gamma-1)*rm); ex = e(i); Ep = (up^2/2+ep); Em = (um^2/2+em); Ex = (ux^2/2+ex); Up = [rp, rp*up, rp*Ep]; Um = [rm, rm*um, rm*Em]; Ux = [rx, rx*ux, rx*Ex]; Fp = [rp*up, (rp*up^2+pp), up*(Ep*rp + pp)]; Fm = [rm*um, (rm*um^2+pm), um*(Em*rm + pm)]; Fx = [rx*ux, (rx*ux^2+px), ux*(Ex*rx + px)]; %Calculate U(i+1/2) umoy = (ux + up)/2; emoy = (ex + ep)/2; %Calculate Jacobian matrix A(i+1/2) a2 = [0.5*(gamma-3)*umoy^2, -(gamma-3)*umoy, (gamma-1)]; a3 = [(gamma-1)*umoy^3 - gamma*umoy*(emoy+0.5*umoy^2), gamma*(emoy+0.5*umoy^2) - 1.5*(gamma-1)*umoy^2, gamma*umoy]; dFp = Fp - Fx; %Calculate flux function G(i+1/2) Gp = (0.5)*(Fx+Fp) - (0.5*dt/dx)*[dFp(2), a2(1)*dFp(1) + a2(2)*dFp(2) + a2(3)*dFp(3), a3(1)*dFp(1) + a3(2)*dFp(2) + a3(3)*dFp(3)]; %Calculate U(i-1/2) umoy = (um + ux)/2; emoy = (em + ex)/2; 96 %Calculate Jacobian matrix A(i-1/2) a2 = [0.5*(gamma-3)*umoy^2, -(gamma-3)*umoy, (gamma-1)]; a3 = [(gamma-1)*umoy^3 - gamma*umoy*(emoy+0.5*umoy^2), gamma*(emoy+0.5*umoy^2) - 1.5*(gamma-1)*umoy^2, gamma*umoy]; dFm = Fx - Fm; %Calculate flux function G(i-1/2) Gm = (0.5)*(Fm+Fx) - (0.5*dt/dx)*[dFm(2), a2(1)*dFm(1) + a2(2)*dFm(2) + a2(3)*dFm(3), a3(1)*dFm(1) + a3(2)*dFm(2) + a3(3)*dFm(3)]; %Use equilibrium scheme to calculate values at the next time step Un = Ux - (dt/dx)*(Gp-Gm); rn(i) = Un(1); un(i) = Un(2)/(rn(i)); en(i) = Un(3)/(rn(i)) - un(i)^2/2; if (size(UL,2) == & size(UR,2) == 4) pn(i) = (gamma-1)*rn(i)*en(i); else pn(i) = rn(i)^gamma; end end %Assign values for the first and and the last rn(1) = r(1); rn(nx+1) = r(nx+1); un(1) = u(1); un(nx+1) = u(nx+1); en(1) = e(1); en(nx+1) = e(nx+1); pn(1) = p(1); pn(nx+1) = p(nx+1); %Prepare values for the next time step r = rn; u = un; e = en; p = pn; end etime = cputime-etime; %draw approximate solution subplot(2,2,1); plot(x,a);title('Cross-section'); subplot(2,2,2); plot(x,r);title('Density'); subplot(2,2,3); plot(x,u);title('Velocity'); subplot(2,2,4); plot(x,p);title('Pressure'); % write data into file to compare with the exact solution later % global variables % testcase: indicate which testcase is used, accept values as % 'testcase1' or 'testcase2' % location: where to store the data file, accept values as 'D:\data' 97 % output filename will be like this: testcase1.n.law.1000.out global testcase location datafile=strcat(location, testcase); datafile=strcat(datafile, '.n.laxw.'); datafile=strcat(datafile, num2str(N)); datafile=strcat(datafile, '.out'); dlmwrite(datafile,[a; r; u],';'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %This a sub-function to solve stationary equation function rho = newton(rho0,u0,a0,a); gam=1.4; hypbdr = u0^2 - gam*(rho0^(gam-1)); rhomax= abs((.4./(1.4*2.4))*u0^2 + (2./2.4)*rho0^.4)^2.5; rhobar=abs((1./7)*u0^2 + rho0^0.4)^2.5; amin = a0*rho0*abs(u0)./(sqrt(gam)*(rhomax^1.2)); if ((a < amin) | (a0 == a )) rho = rho0; else rho_inflection = ((1/(gam*(gam+1)))*(((gam-1)/gam)*u0^2 + 2*rho0^(gam-1)))^2.5; cc = 2*gam/(gam-1); if hypbdr >= %choose varphi_1 rho = rho_inflection/2; else %choose varphi_2 rho = rhobar; end phi = (u0^2 + cc*rho0^(gam-1))*rho^2 – cc*rho^(gam+1) - ((a0*u0*rho0)^2)/(a^2); while abs(phi) > 1e-12 gra_phi = 2*(u0^2 + cc*rho0^(gam-1))*rho - (gam+1)*cc*rho^gam; rho = rho - phi/gra_phi; phi = (u0^2 + cc*rho0^(gam-1))*rho^2 - cc*rho^(gam+1) ((a0*u0*rho0)^2)/(a^2); end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%End%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 98 Tên tập tin: c_laxf.m Nội dung: Lược ñồ cổ ñiển với hàm thông lượng Lax-Friedrichs % Function to calculate approximate solution by using classical scheme % with using standard flux function Lax-Friedrichs % Usage: % UL = [al, rl, ul]: left state % UR = [ar, rr, ur]: right state % CFL : CFL number % N : mesh-size % T : time when the calculation will be stopped at % Example : % UL=[1, 3.4718, -2.5923, 5.7118]; % UR=[1.5, 2, -3, 2.639]; % [t, x, a, r, u, p, etime]=c_laxf(UL, UR, 0.5, 1000, 0.2) % function [t, x, a, r, u, p, etime] = c_laxf(UL, UR, CFL, N, T) % Define some constant that used across all of the test cases % The root of the Riemann problem is % The boundary of Riemann problem is -1 and % Air constant is 1.4 root = 0; long = 2; gamma = 1.4; nx = N; dx = long/nx; xl=root-long/2; xr=root+long/2; al = UL(1); rl = UL(2); ul = UL(3); ar = UR(1); rr = UR(2); ur = UR(3); %If the system is a nonisentropic system if (size(UL,2) == & size(UR,2) == 4) pl = UL(4); pr = UR(4); end %Initialize arrays that used to store the result x=zeros(1,nx+1); a=zeros(1,nx+1); dp=zeros(1,nx+1); r=zeros(1,nx+1); 99 u=zeros(1,nx+1); e=zeros(1,nx+1); p=zeros(1,nx+1); rn=zeros(1,nx+1); un=zeros(1,nx+1); en=zeros(1,nx+1); pn=zeros(1,nx+1); %Assign the initial values to above arrays for i=1:nx+1 x(i) = xl + (i-1)*dx; if x(i) < root a(i) = al; r(i) = rl; u(i) = ul; if (size(UL,2) == 4) p(i) = pl; else p(i) = r(i)^gamma; end else a(i) = ar; r(i) = rr; u(i) = ur; if (size(UR,2) == 4) p(i) = pr; else p(i) = r(i)^gamma; end end e(i)=p(i)/((gamma-1)*r(i)); end t=0; etime = cputime; %Start the calculation while (t 1e-12 gra_phi = 2*(u0^2 + cc*rho0^(gam-1))*rho - (gam+1)*cc*rho^gam; rho = rho - phi/gra_phi; phi = (u0^2 + cc*rho0^(gam-1))*rho^2 - cc*rho^(gam+1) ((a0*u0*rho0)^2)/(a^2); end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%End%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D Kröner M.D Thanh, Numerical solutions to compressive flows in a nozzle with variable cross-section, SIAM J Numer.Anal, Vol 43, No.2, 2005, pp 796-824 [2] N Andrianov G Warnecke, On the solution to the Riemann problem for the compressible duct flow, SIAM J Appl Math., 64 (2004), pp 878–901 [3] E Audusse, F Bouchut, M.-O Bristeau, R Klein, B Perthame, A fast and stable well-balanced scheme with hydrostatic reconstruction for shallow water flows, SIAM J Sci.Comput., 25 (2004), pp 2050–2065 [4] M.R Baer J.W Nunziato, A two-phase mixture theory for the deflagration-todetonation transition (DDT) in reactive granular materials, Int J Multi-Phase Flow, 12 (1986), pp 861–889 824 [5] R Botchorishvili, B Perthame, A Vasseur, Equilibrium schemes for scalar conservation laws with stiff sources, Math Comp., 72 (2003), pp 131–157 [6] R Botchorishvili O Pironneau, Finite volume schemes with equilibrium type discretization of source terms for scalar conservation laws, J Comput Phys., 187 (2003), pp 391–427 [7] F Boutchut, Nonlinear Stability of Finite Volume Methods for Hyperbolic Conservation Laws, and Well-Balanced Schemes for Sources, Front Math., Birkhauser, Basel, 2004 [8] T.N Dinh, R.R Nourgaliev, T.G Theofanous, Understanding the ill-posed twofluid model, in The 10th International Topical Meeting on Nuclear Reactor Thermal Hydraulics (NERETH-10), 2003 [9] D.A Drew and S.L Passman, Theory of Multicomponent Fluids, Springer-Verlag, New York, 1999 [10] P Goatin P.G LeFloch, The Riemann problem for a class of resonant nonlinear systems of balance laws, Ann Inst H Poincar´e Anal Non Lin´eaire, 21 (2004), pp 881–902 108 [11] E Godlewski P.-A Raviart, Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Springer-Verlag, New York, 1996 [12] L Gosse, A well-balanced flux-vector splitting scheme designed for hyperbolic systems of conservation laws with source terms, Comput Math Appl., 39 (2000), pp 135–159 [13] J.M Greenberg A.Y Leroux, A well-balanced scheme for the numerical processing of source terms in hyperbolic equations, SIAM J Numer Anal., 33 (1996), pp 1–16 [14] J.M Greenberg, A.Y Leroux, R Baraille, A Noussair, Analysis and approximation of conservation laws with source terms, SIAM J Numer Anal., 34 (1997), pp 1980–2007 [15] E Isaacson B Temple, Nonlinear resonance in systems of conservation laws, SIAM J.Appl Math., 52 (1992), pp 1260–1278 [16] E Isaacson B Temple, Convergence of the 2×2 Godunov method for a general resonant nonlinear balance law, SIAM J Appl Math., 55 (1995), pp 625–640 [17] S Jin X Wen, An efficient method for computing hyperbolic systems with geometrical source terms having concentrations, J Comput Math., 22 (2004), pp 230– 249 [18] B.L Keyfitz, R Sander, M Sever, Lack of hyperbolicity in the two-fluid model for two-phase incompressible flow, Discrete Contin Dyn Syst Ser B, (2003), pp 541–563 [19] D Kröner, Numerical Schemes for Conservation Laws, John Wiley & Sons, Stuttgart, 1997 [20] D Kröner M.D Thanh, A Well-Balanced Scheme for the Baer–Nunziato Model of Two-Phase Fluids, in preparation [21] D Kröner, P.G LeFloch, M.D Thanh, The Model of Fluid Flows in a Nozzle with Variable Cross-Section: Stability, Numerics and Entropy, in preparation [22] P.G LeFloch, Sốc Waves for Nonlinear Hyperbolic Systems in Nonconservative Form, Preprint 593, Inst Math Appl., Minneapolis, 1989 109 [23] P.G LeFloch M.D Thanh, The Riemann problem for fluid flows in a nozzle with discontinuous cross-section, Commun Math Sci., (2003), pp 763–797 [24] R.J LeVeque, Balancing source terms and flux gradients in high-resolution Godunov methods: The quasi-steady wave-propagation algorithm, J Comput Phys., 146 (1998), pp 346–365 [25] D Marchesin P.J Paes-Leme, A Riemann problem in gas dynamics with bifurcation Hyperbolic partial differential equations III, Comput Math Appl (Part A), 12 (1986), pp 433–455 [26] R Menikoff B Plohr, The riemann problem for fluid flow of real materials, Rev.Modern Phys., 61 (1989), pp 75–130 [27] M.J Zucrow J.D Hoffman, Gas Dynamics, John Wiley & Sons, New York, 1977 ... phương pháp số cho hệ luật bảo toàn Chương 2: Giới thiệu mơ hình tốn học dịng chảy ống có tiết diện ngang thay đổi, khái niệm sóng tĩnh tính chất, phương pháp xây dựng lược ñồ số cân cho toán Chương... Liu, Yang, etc Dịng chảy ống dẫn xây dựng từ phương trình khí động học khơng gian chiều với ñiều kiện ban ñầu Do tiết diện ngang ống thay đổi, hệ có dạng hệ luật bảo tồn với số hạng nguồn Như xét... 2005 Giới tính : Nam Nơi sinh : TP.HCM MSHV : 02405541 1- TÊN ðỀ TÀI: NGHIỆM SỐ CHO DỊNG CHẢY TRONG ỐNG CĨ TIẾT DIỆN NGANG THAY ðỔI 2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: 3- NGÀY GIAO