Để xét sự hội tụ của chuỗi số chúng ta có thể sử dụng hai cách1. Cách 1: Tính tổng của chuỗi số, nếu tổng là một số thực thì kết luận chuỗi số hội tụ.[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TỐN-TIN
BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VỪA LÀM VỪA HỌC
(2)Lời nói đầu 3
1 Đạo hàm 4
1.1 Tính đạo hàm định nghĩa
1.2 Tính đạo hàm quy tắc
1.3 Tính giới hạn cách ứng dụng đạo hàm
1.4 Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát tính chất hàm số
1.5 Ứng dụng đạo hàm xấp xỉ hàm số đa thức 10
2 Nguyên hàm tích phân 12 2.1 Tính nguyên hàm định nghĩa 12
2.2 Tính nguyên hàm quy tắc 12
2.3 Tính tích phân xác định định nghĩa 14
2.4 Tính tích phân xác định quy tắc 14
2.5 Ứng dụng tích phân 16
3 Lí thuyết chuỗi 18 3.1 Tính tổng chuỗi định nghĩa 18
3.2 Xét hội tụ chuỗi số 20
3.3 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm 23
3.4 Xét tính chất tổng chuỗi hàm 26
4 Đề thi 29
(3)CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM
Trong chương này, ôn tập lại số dạng tập liên quan đến đạo hàm
1.1 Tính đạo hàm định nghĩa
1.1.1 Định nghĩa(Đạo hàm) (1) Giả sử hàm sốy= f(x)xác định trên(a,b) Vớix0∈(a,b), giá trị f0(x0) = lim
x→x0
f(x)−f(x0) x−x0
được gọi làđạo hàmcủa f(x) tạix0
Nếu f(x) có đạo hàm x0 ∈(a,b)thì f(x)được gọi có đạo hàm
(a,b)
(2) Giả sử hàm số y = f(x) xác định [x0,b) Khi giá trị f0(x+0) = lim
x→x+0
f(x)− f(x0)
x−x0 gọi làđạo hàm bên phảicủa f(x)tại x0
(3) Giả sử hàm số y = f(x) xác định (a,x0] Khi giá trị f0(x−0) =
lim x→x−0
f(x)− f(x0) x−x0
được gọi làđạo hàm bên tráicủa f(x)tại x0
1.1.2 Định nghĩa(Đạo hàm cấp cao) Các khái niệm đạo hàm định nghĩa cịn gọi làđạo hàm cấp 1
Khi đó, quy nạp, ta gọi đạo hàm cấp đạo hàm cấpn−1làđạo hàm cấpn, nghĩa
f(n)(x) = (f(n−1))0(x)
(4)Giải. f0(1) =lim x→1
x2−1
x−1 =xlim→1(x+1) =2 Vậy f
0(1) =2.
1.1.4 Mệnh đề. Giả sửy= f(x)xác định trên(a,b)vàx0 ∈(a,b) Khi đó f(x)có đạo hàm tạix0 khi khi f(x)có đạo hàm bên phải đạo hàm bên trái tạix0 đồng thời hai đạo hàm nhau.
1.1.5 Ví dụ. Cho hàm số
f(x) = (
x2 nếux≥0
−x2 nếux<0 Tìm đạo hàm f(x)tạix0 =0
Giải. Ta có f0(0+) = lim x→0+
x2−0
x−0 =xlim→0+x=0
f0(0−) = lim x→0−
−x2−0
x−0 =xlim→0−(−x) =0 Vậy f0(0+) = f0(0−) =0 Do f0(0) =0 1.1.6 Ví dụ. Tính đạo hàm f0(0)của hàm số
f(x) =
x2sin1
x nếux6=0
0 nếux=0
1.1.7 Ví dụ. Tính đạo hàm f0(1)của hàm số f(x) =
(
x nếux≤1
−x2+2x nếux>1
1.1.8 Ví dụ. Chứng tỏ hàm số f(x) =|x|23 khơng có đạo hàm tạix=0
1.1.9 Ví dụ. Tính đạo hàm hàm sốy=|x+1|3 tạix=−1.
1.2 Tính đạo hàm quy tắc
1.2.1 Mệnh đề(Phép toán số học đạo hàm) Giả sử f(x),g(x)có đạo hàm tại
x0 Khi đó f(x)±g(x), f(x)g(x),
f(x)
(5)6 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH
1. (f ±g)0(x0) = f0(x0)±g0(x0).
2. (f g)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0).
3.
f g
0
(x0) = f
0(x
0)g(x0)− f(x0)g0(x0)
g2(x0) .
Thơng thường, tính đạo hàm định nghĩa mà thường tính quy tắc Ba mệnh đề đóng vai trị lớn việc tính đạo hàm
1.2.2 Mệnh đề(Đạo hàm hàm hợp) Giả sửu(x)có đạo hàm tạix0 và f(u)có đạo hàm tạiu0=u(x0) Khi hàm số hợp f ◦ucó đạo hàm tạix0 và(f ◦u)0(x0) =
f0(u0)u0(x0), viết gọn là
fx0= fu0u0x
1.2.3 Mệnh đề(Đạo hàm hàm ngược) Giả sửy= f(x)đơn điệu trên(a,b)và
f0(x0)6=0 Khi hàm ngược x=ϕ0(y)của y= f(x)có đạo hàm tại y0 = f(x0) và
ϕ0(y0) =
1 f0(x0)
1.2.4 Mệnh đề(Đạo hàm hàm sơ cấp bản) 1 Hàm có đạo hàm trênRvàc0=0.
2 Hàm luỹ thừa có đạo hàm trên (0,+∞)và(xα)0=αxα−1.
3 Hàm số mũ có đạo hàm trênRvà(ax)0=axlna,(ex)0=ex
4 Hàm số lơgarit có đạo hàm trên(0,+∞)và(logax)0=
xlna,(lnx)
0=
x.
5 Hàm số lượng giác có đạo hàm miền xác định và
(sinx)0=cosx,(cosx)0=−sinx,(tgx)0=
cos2x,(cotgx)
0=−
sin2x
6 Hàm số lượng giác ngượcarcsinxcó đạo hàm trên(−1,1)và
(arcsinx)0= √
(6)Hàm số lượng giác ngượcarccosxcó đạo hàm trên(−1,1)và
(arccosx)0=−√
1−x2 Hàm số lượng giác ngượcarctgxcó đạo hàm trênRvà
(arctgx)0= 1+x2
Hàm số lượng giác ngượcarccotgxcó đạo hàm trênRvà
(arccotgx)0=−
1+x2 1.2.5 Ví dụ. Tính đạo hàm hàm số
f(x) =
x2sin1
x nếux6=0
0 nếux=0
1.2.6 Nhận xét. Hàm số sơ cấp có đạo hàm (và liên tục) tập xác định
2 Nếu hàm số f(x)được xác định Dbởi công thức sơ cấpA(x)vàA(x)có đạo hàm (liên tục) điểmx0∈(a,b)⊂Dthì f(x)có đạo hàm (liên tục)
x0
1.2.7 Ví dụ. Tính đạo hàm hàm số f(x) =
(
x nếux≤1
−x2+2x nếux>1 1.2.8 Ví dụ. Tính đạo hàm hàm sốy=|x+1|3.
1.2.9 Ví dụ. Cho hàm số
f(x) = (
xe−
1
x2 nếux6=0
0 nếux=0
(7)8 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH
2 Tính đạo hàm cấp hàm số
1.2.10 Ví dụ. Xét tính liên tục đạo hàm hàm số f(x) =
xsin1
x nếux6=0
0 nếux=0
1.2.11 Ví dụ. Xét tính liên tục đạo hàm hàm số f(x) =
x2sin1
x nếux6=0
0 nếux=0
1.2.12 Ví dụ. Tính đạo hàm f(6)(x)của hàm số f(x) =sinx 1.2.13 Ví dụ. Tính đạo hàm f(n)(x)của hàm số f(x) =
x2−3x+2
1.2.14 Ví dụ. Tính đạo hàm f(100)(x)của hàm số f(x) =x2sinx 1.2.15 Ví dụ. Tính đạo hàm f(n)(x)của hàm số f(x) = x
1−x
1.3 Tính giới hạn cách ứng dụng đạo hàm
1.3.1 Mệnh đề(Quy tắc L’hopistal) Nếu giới hạn lim x→x0
f(x)
gx có dạng
0hoặc
∞ ∞và lim
x→x0 f0(x)
g0(x)=l thìxlim→x0 f(x)
gx =l
Chúng ta thayx→x0 bởix→∞,x→x+0,x→x−0.
1.3.2 Ví dụ. Tính giới hạn sau: lim
x→0
sinx x lim
x→0
ln(x+1)
x lim
x→0
(8)1.3.3 Ví dụ. Tính giới hạn sau: lim
x→0
1 sin2x−
1 x2
lim
x→1x 1−x.
1.3.4 Ví dụ. Tính giới hạn sau: lim
x→0
tanx−x
x−sinx lim
x→+∞
lnx x lim
x→1
arcsinx
x
x2
1.4 Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát tính chất của hàm số
1.4.1 Mệnh đề(Fermat) Nếu f(x)đạt cực trị tạix0 và tồn đạo hàm f0(x0)thì
f0(x0) =0.
1.4.2 Mệnh đề (Rolle) Nếu f(x)liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a) = f(b)thì tồn tạic∈(a,b)sao cho f0(c) =0.
1.4.3 Mệnh đề (Lagrange) Nếu f(x)liên tục trên [a,b], khả vi trên(a,b)thì tồn tạic∈(a,b)sao cho f0(c) = f(b)− f(a)
b−a .
1.4.4 Mệnh đề (Cauchy) Nếu f(x),g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và
g0(x)6=0trên(a,b)thì tồn tạic∈(a,b)sao cho f 0(c)
g0(c)=
f(b)− f(a) g(b)−g(a).
(9)10 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH
1.4.6 Ví dụ. Chứng tỏ phương trình x3−3x+c=0 khơng thể có nghiệm phân biệt trong(0,1)
1.4.7 Ví dụ. Chứng tỏ đa thức f(x) =xn+px+qkhơng thể có nghiệm thực nchẵn khơng thể có 3nghiệm thực nếunlẻ
1.4.8 Ví dụ. Chứng minh bất đẳng thức sau: ex ≥1+xvới mọix∈R
2 x−x
2
2 <ln(1+x)<xvới mọix>0 x−x
3
3 <sinx<xvới mọi0<x< π
2
1.5 Ứng dụng đạo hàm xấp xỉ hàm số đa thức
1.5.1 Mệnh đề(Công thức Taylor) Giả sử f(x)là hàm liên tục trên [a,b] và có đạo hàm đến cấpn+1trên(a,b),x0∈(a,b) Khi với mọix∈[a,b]ta có
f(x) = n
∑
k=0
f(k)(x0)
k! (x−x0) k+R
n(x)
trong đó Rn(x) = f
(n+1)(c)
(n+1)!(x−x0)
n+1 được gọi phần dư, với c là số nằm
giữax0 vàx, vô bé so với (x−x0)n khix−→x0. Nếux0 =0thì ta có cơng thức Mac Laurin:
f(x) = n
∑
k=0
f(k)(0) k! x
k
+Rn(x)
trong đóRn(x) =
f(n+1)(c) (n+1)! x
n+1.
1.5.2 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin hàm số sau: f(x) =
(10)2 f(x) =√1+x f(x) = √
1+x
1.5.3 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin hàm số sau f(x) =ex
2 f(x) =sinx f(x) =cosx f(x) = (1+x)α.
5 x=ln(1+x) f(x) =arctanx
1.5.4 Ví dụ. Tính gần giá trị sau:
1 √10001
2 √328 √417 arctan 0,51
1.5.5 Ví dụ. Viết cơng thức Mac Laurin cho y= ln(1+x)
1+x đến số hạngx
4.
1.5.6 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin cho hàm f(x) =ln(cosx)đến cấp Từ tính(5)(0)
1.5.7 Ví dụ. Viết cơng thức Taylor choy= (x3−x+1)3 đến số hạng bậc 12 (x−1)
(11)CHƯƠNG 2
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
2.1 Tính nguyên hàm định nghĩa
2.1.1 Định nghĩa(Nguyên hàm) HàmF(x)được gọi mộtnguyên hàmcủa hàm f(x)trênX nếuF0(x) = f(x)với mọix∈X
2.1.2 Ví dụ. HàmF(x) =x2là nguyên hàm f(x) =2xtrênRvì(x2)0=2x với mọix∈R
2.1.3 Mệnh đề. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì nguyên hàm của
f(x)đều có dạngF(x) +CvớiClà số.
2.1.4 Định nghĩa (Tích phân bất định) Họ tất nguyên hàm f(x)trên (a,b)được gọi làtích phân bất địnhcủa f(x), kí hiệu
Z
f(x)dx
2.1.5 Ví dụ. Tích phân bất định f(x) =2xtrênRlà
Z
2xdx=x2+C
2.2 Tính nguyên hàm quy tắc
Tiếp theo trình bày số tính chất nguyên hàm 2.2.1 Mệnh đề. 1.
Z
f(x)dx0= f(x); d Z
f(x)dx= f(x)dx.
2.
Z
dF(x) =F(x) +C.
3.
Z
(f(x)±g(x))dx=
Z
f(x)dx±
Z
g(x)dx.
(12)4 Vớiα 6=0,
Z
αf(x)dx=α
Z
f(x)dx.
2.2.2 Mệnh đề(Công thức đổi biến số) Nếuu=u(x)là hàm khả vi thì
Z
f[u(x)]u0(x)dx=
Z
f(u)du
2.2.3 Mệnh đề(Công thức nguyên hàm phần) Nếuu,vlà hàm khả vi thì
Z
udv=uv−
Z
vdu
Tiếp theo bảng nguyên hàm số thường gặp 2.2.4 Mệnh đề. 1.
Z
αdx=αx+C.
2.
Z dx
x =ln|x|+C.
3 Với p6=−1,
Z
xpdx= x p+1
p+1+C.
4.
Z
axdx= a x lna+C.
5.
Z
exdx=ex+C.
6.
Z
cosxdx=sinx+C.
7.
Z
sinxdx=−cosx+C.
8.
Z dx
cos2x=tgx+C.
9.
Z dx
sin2x=−cotgx+C.
10.
Z dx
√
1−x2=arcsinx+C.
11.
Z dx
√
1+x2=arctgx+C.
2.2.5 Ví dụ. Tính I=
Z xdx
x4+2x2+5
2.2.6 Ví dụ. Tính I=
Z
p
a2−x2dx 2.2.7 Ví dụ. Tính I=
Z
xsinxdx
2.2.8 Ví dụ. Tính I=
Z
lnxdx
2.2.9 Ví dụ. Tính I=
Z
exsinxdx
2.2.10 Ví dụ. TínhI =
Z dx
(13)14 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH
2.3 Tính tích phân xác định định nghĩa
2.3.1 Định nghĩa(Tích phân xác định) Cho hàm sốy= f(x)xác định trên[a,b] Xét phân hoạch P gồm điểm chia x)= a< x1 < <xn = b Với i = 1, ,n, chọn điểm tuỳ ý ci ∈[xi−1,xi], lập tổng σP =
n ∑ i=1
f(ci)(xi−xi−1) đặt
|P|=max{xi−xi−1:i=1, ,n} Khi đó, giới hạn lim
|P|→0σP, tồn tại, gọi
làtích phân xác địnhcủa f(x)trên[a,b], kí hiệu
Z b
a
f(x)dx Như
Z b
a
f(x)dx= lim
|P|→0
n
∑
i=1
f(ci)(xi−xi−1)
Khia=b, ta định nghĩa
Z a
a
f(x)dx=0
Khiaa>b, ta định nghĩa
Z b
a
f(x)dx=−
Z a
b
f(x)dx
Nếu tồn tích phân
Z b
a
f(x)dxthì hàm f(x)được gọi làkhả tíchtrên[a,b] 2.3.2 Mệnh đề(Điều kiện cần để hàm khả tích) Nếu hàm f(x)khả tích trên[a,b]
thì f(x)bị chặn trên[a,b].
2.3.3 Mệnh đề (Điều kiện đủ để hàm khả tích) Nếu hàm f(x)liên tục trên [a,b]
thì f(x)khả tích trên[a,b].
2.3.4 Ví dụ. Tính I=
Z b
a cdx
2.4 Tính tích phân xác định quy tắc
2.4.1 Mệnh đề. Giả sử f(x),g(x) là hai hàm số liên tục đoạn K nào và
a,b,c∈K. 1.
Z b
a
(αf(x) +βg(x))dx=α
Z b
a
f(x) +β
Z b
a
g(x)dx.
2.
Z c
a
f(x)dx=
Z b
a
f(x)dx+
Z c
b
(14)3 Nếu f(x)≥g(x)với mọix∈[a,b]thì
Z b
a
f(x)dx≥
Z b
a
g(x)dx.
2.4.2 Mệnh đề. Nếu f(t) liên tục trên [a,b] và x∈[a,b] thì F(x) =
Z x
a
f(t)dt là một nguyên hàm của f(x)trên[a,b].
2.4.3 Mệnh đề(Newton-Leibnitz) Nếu f(x) liên tục vàF(x)là nguyên hàm của f(x)trên[a,b] thì
Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a).
2.4.4 Mệnh đề(Công thức đổi biến số) Giả sử f(x)liên tục trên[a,b]vàx=ϕ(t)
là hàm thoả mãnϕ(t)khả vi liên tục trên[α,β],ϕ(t)∈[a,b]với mọit ∈[α,β]
vàϕ(β) =a,ϕ(β) =b Khi đó
Z b
a
f(x)dx=
Z β
α
f(ϕ(t))ϕ0(t)dt
2.4.5 Ví dụ. Tính tích phân
Z
0
|x2−x|dx 2.4.6 Ví dụ. Tính tích phân
Z e
1
x2+1
x lnxdx
2.4.7 Ví dụ. Tính tích phân
Z e
1
√
1+3 lnxlnx
x dx
2.4.8 Ví dụ. Tính tích phân
Z
1
x
1+√x−1dx
2.4.9 Ví dụ. Tính tích phân
Z e
1
x2ln2xdx
2.4.10 Ví dụ. Tính tích phân
Z
1
x3+1
x lnxdx
2.4.11 Ví dụ. Tính tích phân
Z
1
x√3 1−xdx 2.4.12 Ví dụ. Tính tích phân
Z
1
|x2−2x+m|dxvới m=1
2 m<−3
2.4.13 Ví dụ. Tính tích phân
Z π2
0
(15)16 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH
2.4.14 Ví dụ. Tính tích phân
Z
0
x
(2x+1)3dx
2.4.15 Ví dụ. Tính tích phân
Z π2
0
sinx cos2x+3dx
2.5 Ứng dụng tích phân
Tích phân có nhiều ứng dụng lí thuyết thực tế Trong mục đề cập đến ứng dụng tích phân vào tính diện tích thể tích 2.5.1 Mệnh đề (Diện tích hình phẳng) Giả sử f(x),g(x) liên tục trên [a,b]. Khi diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị của f(x), g(x)trên
[a,b]và hai đường thẳng x=a,x=blà
S=
Z b
a
|f(x)−g(x)|dx
2.5.2 Mệnh đề(Thể tích vật thể trịn xoay quanhOx) Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục y= f(x)
trên[a,b], trụcOxvà hai đường thẳngx=a,x=bquanh trụcOxlà
V =π
Z b
a
f2(x)dx
2.5.3 Mệnh đề(Thể tích vật thể trịn xoay quanhOy) Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục x=g(y)
trên[c,d], trụcOyvà hai đường thẳngy=c,y=dquanh trụcOylà
V =π
Z d
c
g2(y)dy
2.5.4 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đườngy=|x2−4x+3|
vày=x+3
2.5.5 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đườngxy=1,xy=2, y=x,y=3xvớix,y>0
(16)1 Tính diện tích miềnD
2 Tính thể tích vật thể tròn xoay nhận quay miền D quanh trục Ox
3 Tính thể tích vật thể trịn xoay nhận quay miềnDquanh trụcOy 2.5.7 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y=2−x2, y3 =x2
2.5.8 Ví dụ. Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đườngy=√x,x=3,y=0quanh trụcOx
2.5.9 Ví dụ. Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đườngy=sin2x,x=3,y=4quanh
1 trụcOx
2 đường thẳngx=2
2.5.10 Ví dụ. Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng xác định x2−2x≤y≤3,1≤x≤3
(17)CHƯƠNG 3 LÍ THUYẾT CHUỖI
3.1 Tính tổng chuỗi định nghĩa
Dạng tập đòi hỏi người học phải nắm vững khái niệm tổng chuỗi 3.1.1 Định nghĩa(Chuỗi số) Giả sử {un}n dãy số Khi tổng hình thức u1+u2+ .+un+ hay
∞
∑ n=1
un gọi mộtchuỗi số
Với n∈N, un gọi số hạng tổng quát chuỗi giá trị Sn = n
∑ i=1
ui=u1+ .+un gọi làtổng riêng thứncủa chuỗi
Nếu tồn tạilimSn=S∈Rthì chuỗi ∑∞ n=1
un gọi làhội tụvà ta viết
∞
∑
n=1
un=S
Giá trịSđược gọi làtổng chuỗi Chuỗi khơng hội tụ gọi làphân kì Chuỗi ∑∞
i=n+1
ui gọi làphần dư thứncủa chuỗi 3.1.2 Ví dụ(Chuỗi cấp số nhân) Với q∈R, chuỗi ∑∞
n=1
qn gọi làchuỗi cấp số nhân
Tổng riêng thứncủa chuỗi cấp số nhân
Sn=q+ .+qn=
n nếuq=1, qq
n−1
q−1 nếuq6=1
Chuỗi hội tụ nếu|q|<1, phân kì nếu|q| ≥1 Hơn nữa, nếu|q|<1thì ∑∞ n=1
qn=
(18)q
1−qvà nếuq≥1thì
∞
∑ n=1
qn= +∞
3.1.3 Định nghĩa. Giả sử{un(x)}n dãy hàm xác định trênX (a) u1(x) +u2(x) + .+un(x) + hay
∞
∑ n=1
un(x) gọi chuỗi hàm
xác định trênX, đây, với mỗix∈X, ∑∞ n=1
un(x)là chuỗi số (b) Nếu tạix0∈X, chuỗi số ∑∞
n=1
un(x0)hội tụ chuỗi hàm
∞
∑ n=1
un(x)được gọi làhội tụtại x0; ngược lại, chuỗi hàm
∞
∑ n=1
un(x)được gọi làphân kìtại x0
(c) Với mỗin∈N, hàmSn(x) = n ∑ i=1
un(x)được gọi tổng riêng thứncủa chuỗi hàm ∑∞
n=1
un(x) Với mỗix∈X, giới hạn hữu hạn dãy tổng riêng{Sn(x)}n (nếu có) gọi làtổngcủa chuỗi hàm ∑∞
n=1
un(x)và ta viết
∞
∑
n=1
un(x) =limSn(x)
(d) Nếu dãy hàm{Sn(x)}nhội tụ trênX chuỗi hàm
∞
∑ n=1
un(x)được gọi
hội tụ đềutrênX (e) Chuỗi hàm ∑∞
n=1
un(x)được gọi làhội tụ tuyệt đốitrênX chuỗi ∑∞ n=1
|un(x)|
hội tụ trênX
3.1.4 Ví dụ. Xét dãy hàm{xn}nvớix∈R Khi ta có chuỗi hàm
∞
∑ n=1
xn Tổng riêng thứn:Sn(x) =
n ∑ i=1
xn=x1
−xn
1−x
Nếu |x| <1 limSn(x) = x
1−x, chuỗi hàm
∞
∑ n=1
xn hội tụ ∑∞ n=1
xn = x
1−x
Nếu|x| ≥1thì khơng tồn giới hạn hữu hạnlimSn(x), chuỗi hàm ∑∞ n=1
xn phân kì
3.1.5 Ví dụ. Tính tổng chuỗi số ∑∞ n=1
(19)20 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH
3.2 Xét hội tụ chuỗi số
Để xét hội tụ chuỗi số sử dụng hai cách
Cách 1: Tính tổng chuỗi số, tổng số thực kết luận chuỗi số hội tụ Cách trở tốn tính tổng chuỗi số
Cách 2: Xét chuỗi số cho thuộc loại (chuỗi dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kì, ) sử dụng dấu hiệu phù hợp
3.2.1 Mệnh đề. Chuỗi ∑∞ n=1
unhội tụ với mọiε>0, tồn tạin0sao cho với mọin≥n0, với mọi p∈Nta có |un+1+ .+un+p|<ε.
3.2.2 Hệ quả(Điều kiện cần chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi
∞
∑ n=1
unhội tụ thìlimun= 0.
Một cách tương đương, nếulimun6=0thì chuỗi
∞
∑ n=1
un phân kì.
3.2.3 Ví dụ. Xét chuỗi cấp số nhân, với|q| ≥1ta cólimqn6=0, suy chuỗi phân kì
3.2.4 Mệnh đề(Tính chất số học chuỗi) Giả sử ∑∞ n=1
un, ∑∞ n=1
vn là hai chuỗi hội
tụ Khi đó, vớia,b∈R, chuỗi
∞
∑ n=1
(aun+bvn)là chuỗi hội tụ và
∞
∑
n=1
(aun+bvn) =a
∞
∑
n=1
un+b
∞
∑
n=1
vn
3.2.5 Định nghĩa (Chuỗi số dương) Chuỗi số ∑∞ n=1
un gọi chuỗi số dương
nếuun ≥0với mọin∈N 3.2.6 Ví dụ. Chuỗi ∑∞
n=1
2n chuỗi số dương
3.2.7 Mệnh đề. Chuỗi số dương hội tụ dãy tổng riêng bị chặn trên (bị chặn).
3.2.8 Ví dụ. Chứng minh chuỗi số ∑∞ n=1
1
n2hội tụ Giải. Tổng riêng thứncủa chuỗi cho
Sn= n
∑
i=1
1
i2 <1+
1 1.2+
1
2.3+ .+
n(n+1)=2−
(20)3.2.9 Mệnh đề(Dấu hiệu so sánh) Giả sử ∑∞ n=1
an,
∞
∑ n=1
bnlà hai chuỗi số dương Khi
đó
(1) Nếu tồn tạic>0vàn0 sao cho an ≤cbn với mọi n≥n0 thì chuỗi
∞
∑ n=1
bn hội tụ
kéo theo chuỗi
∞
∑ n=1
anhội tụ, chuỗi
∞
∑ n=1
an phân kì kéo theo chuỗi
∞
∑ n=1
bnphân kì.
Đặc biệt vớic=1ta cóan≤cbn trở thànhan ≤bn.
(2) Nếuliman
bn =k∈[0,+∞)thì chuỗi
∞
∑ n=1
bnhội tụ kéo theo chuỗi
∞
∑ n=1
an hội tụ.
(3) Nếuliman bn
=k∈(0,+∞]thì chuỗi ∑∞ n=1
bn phân kì kéo theo chuỗi ∑∞ n=1
anphân kì.
(4) Nếuliman
bn=k∈(0,+∞)thì chuỗi
∞
∑ n=1
bnvà chuỗi
∞
∑ n=1
ancùng hội tụ phân
kì.
3.2.10 Ví dụ. Xét hội tụ chuỗi ∑∞ n=1
ntg π 2n+1 Giải. Vớix∈[0,π
4], ta cótgx≤2x Do với mọin∈Nta có ntg π
2n+1≤n
2π
2n+1 =π
n 2n
Ta có lim n
2n
1
n2
=limn
3
2n =0 chuỗi
∞
∑ n=1
1
n2 hội tụ nên chuỗi
∞
∑ n=1
n
2n hội tụ Vậy chuỗi ∑∞
n=1
π n
2n hội tụ, suy chuỗi cho hội tụ 3.2.11 Mệnh đề (Dấu hiệu Cauchy) Giả sử
∞
∑ n=1
an là chuỗi số dương tồn tại
lim√n a
n=C Khi đó
(1) NếuC<1thì chuỗi hội tụ.
(2) NếuC>1thì chuỗi phân kì.
(21)22 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH
3.2.12 Ví dụ. Xét hội tụ chuỗi ∑∞ n=1
2n−1
3n−2
n
Giải. Vìlim n s
2n−1
3n−2
n =
3<1nên chuỗi cho hội tụ 3.2.13 Mệnh đề(Dấu hiệu D’lambert) Giả sử ∑∞
n=1
an là chuỗi số dương tồn tại
liman+1
an =D Khi đó
(1) NếuD<1thì chuỗi hội tụ.
(2) NếuD>1thì chuỗi phân kì.
(3) NếuD=1thì chưa có kết luận hội tụ chuỗi.
3.2.14 Mệnh đề(Dấu hiệu tích phân) Giả sử f(x)là hàm dương giảm trên
[1,+∞) Khi chuỗi +∞
∑ n=1
f(n)và tích phân suy rộng
Z +∞
1
f(x)dxcùng hội tụ hoặc phân kì.
3.2.15 Ví dụ. Xét hội tụ chuỗi số
+∞
∑ n=1
1 nlnn
Giải. Xét f(x) =
xlnxtrên[1,+∞), ta có f(x)dương, giảm
Z +∞
1
f(x)dx= lim b→+∞
ln(lnx)
b
1= +∞
Vậy chuỗi cho phân kì
3.2.16 Định nghĩa(Chuỗi đan dấu) Chuỗi ∑∞ n=1
(−1)nunđược gọi làchuỗi đan dấu 3.2.17 Ví dụ. Chuỗi ∑∞
n=1
(−1)n chuỗi đan dấu 3.2.18 Mệnh đề(Dấu hiệu Leibnitz) Giả sử ∑∞
n=1
(−1)nanlà chuỗi đan dấu và{an}n
là dãy số dương giảm Khi chuỗi ∑∞ n=1
(−1)nan hội tụ.
3.2.19 Ví dụ. Xét hội tụ chuỗi ∑∞ n=1
(22)Giải. Chuỗi cho chuỗi đan dấu và{1
n}nlà dãy số dương giảm Vậy chuỗi cho chuỗi hội tụ
3.2.20 Định nghĩa (Chuỗi hội tụ tuyệt đối) Chuỗi ∑∞ n=1
an gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi ∑∞
n=1
|an|hội tụ
3.2.21 Mệnh đề. Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối chuỗi hội tụ.
3.2.22 Ví dụ. Xét hội tụ chuỗi ∑∞ n=1
cosn
n2 Giải. Ta có
cosn
n2
≤
1
n2 với mọin∈N Kết hợp với chuỗi
∞
∑ n=1
1
n2 hội tụ nên ta có
chuỗi cho hội tụ tuyệt đối Vậy chuỗi cho hội tụ 3.2.23 Ví dụ. Khảo sát hội tụ chuỗi số ∑∞
n=1
an vớian sau an = 2n
2
n2+n+1
2 an = nn! nn
3 an= (n!)
2
(2n)!
4 an=ln(1+tg1 n2)
5 an= n
√
n n2
6 an= n2
n+1 n
2 3.2.24 Ví dụ. Xét hội tụ chuỗi số sau
1 ∑∞ n=1
1 nln(1+n) ∑∞
n=1
(−1)n
3
√
n+ (−1)n
3 ∑∞ n=1
1 nlnn ∑∞
n=1
1 lnn!
5 ∑∞ n=1
enn1 nn ∑∞
n=1
1+1
n n2
e−n
3.3 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
Để tìm miền hội tụ chuỗi hàm sử dụng hai cách
Cách 1: Tính tổng chuỗi hàm, miền X tổng hàm số kết luận chuỗi hàm hội tụ trênX Cách trở tốn tính tổng chuỗi hàm
(23)24 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH
Trong trường hợp chuỗi luỹ thừa tìm bán kính hội tụRrồi xét thêm hội tụ chuỗi tại±R
3.3.1 Mệnh đề(Weierstrass) Nếu |un(x)| ≤cn với mọi n∈N, x∈X và chuỗi số
∞
∑ n=1
cn hội tụ chuỗi hàm ∑∞ n=1
un(x)hội tụ tuyệt đối trênX.
3.3.2 Ví dụ. Chứng minh chuỗi hàm ∑∞ n=1
sinnx
n3 hội tụ tuyệt đối trênR Giải. Ta có
sinnx n3
≤
1
n3 với x∈R n∈N Vì chuỗi số
∞
∑ n=1
1
n3 hội tụ nên
chuỗi hàm cho hội tụ tuyệt đối
3.3.3 Định nghĩa. Chuỗi luỹ thừalà chuỗi hàm có dạng
∞
∑
n=0
an(x−x0)n,
vớian số với mọin=0,1,2, ,x0 số vàx∈X
Khix0=0thì chuỗi luỹ thừa có dạng
∞
∑ n=0
anxn
Khi x0 6= 0, đặt X = x−x0 chuỗi luỹ thừa ∑∞
n=0
an(x−x0)n trở thành
∞
∑ n=0
anXn
Chúng ta thayn=0trong ∑∞ n=0
anxn bởin=n0 vớin0 thuộcZ 3.3.4 Mệnh đề(Abel) Nếu chuỗi lũy thừa ∑∞
n=0
anxn hội tụ tạix06=0thì hội tụ tuyệt đối tạixmà|x|<|x0|.
3.3.5 Định nghĩa. Giá trị R=sup{|x|: ∑∞ n=0
anxn hội tụ} gọi làbán kính hội
tụcủa chuỗi lũy thừa ∑∞ n=0
anxn
3.3.6 Nhận xét. Giả sử Rlà bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa ∑∞ n=0
anxn Khi Rlà giá trị thoả mãn chuỗi lũy thừa ∑∞
n=0
anxn hội tụ với mọi|x|<Rvà phân kì với mọi|x|>R
(24)3 Nếu R= +∞thì chuỗi hội tụ mọix∈R
Như để tìm miền hội tụ chuỗi luỹ thừa tìm bán kính hội tụ
3.3.7 Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa ∑∞ n=0
anxn thoả mãn lim
|an+1|
|an| = r hoặc
limpn
|an|=r Khi bán kính hội tụ
R=
r nếur6=0,
0 nếur= +∞,
+∞ nếur=0
Bài toán xét hội tụ chuỗi hàm có nghĩa tìm miền hội tụ chuỗi hàm Để tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa tìm bán kính hội tụRvà xét hội tụ hai giá trị cụ thểx=±RnếuR∈(0,+∞)
3.3.8 Ví dụ. Xét hội tụ chuỗi luỹ thừa
1 ∑∞ n=0
xn n! ∑∞
n=0
nnxn
3 ∑∞ n=1
(x+2)n n3n ∑∞
n=1
xn n
Giải. (1) Ta có an+1 an =
n+1→0 khin→∞ Do bán kính hội tụ chuỗi cho làR= +∞ Vậy chuỗi hội tụ trênR
(2) Ta có limpn |an| =limn = +∞ nên R =0 Vậy chuỗi lũy thừa hội tụ tại điểm nhấtx=0
(3) Đặt X =x+2 ta có chuỗi ∑∞ n=1
Xn
n3n Vì lim
|an+1|
|an|
=lim n
3(n+1)=
1 Vậy bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa ∑∞
n=1
Xn
n3nlàR=3
TạiX =3, ta có chuỗi ∑∞
n=1
1
nphân kì TạiX =−3ta có chuỗi ∑∞
n=1
(−1)n
(25)26 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH
Vậy miền hội tụ làX ∈[−3,3)hay x∈[−5,1) 3.3.9 Ví dụ. Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau
1 ∑∞ n=1
xn
np với p∈R ∑∞
n=1
(n!)2 (2n!)2x
n.
3 ∑∞ n=1
1
2n+1
1−x
1+x
n
4 ∑∞ n=1
xn n2
5 ∑∞ n=1
1+1
n n2
xn
6 ∑∞ n=1
3n+ (−2)n
n (x+1) n.
3.4 Xét tính chất tổng chuỗi hàm Khi ∑∞
n=1
un(x) hội tụ X, ta có hàm biến số u(x) = ∑∞ n=1
un(x) xác định trênX Vấn đề đặt nghiên cứu tính liên tục, khả vi khả tích củau(x)trênX
Cách Tính tổng u(x)cụ thể chuỗi hàm ∑∞ n=0
un(x)đã cho xét trực tiếp tính chất củau(x) Cách dẫn đến tốn tính tổng chuỗi hàm
Cách Sử dụng dấu hiệu tương ứng với tính chất cần xét
3.4.1 Mệnh đề (Tính liên tục tổng chuỗi hàm) Giả sử un(x) liên tục trên X
với mọin∈N, ∑∞ n−1
un(x)hội tụ và
∞
∑ n=1
un(x) =u(x)trênX Khi đóu(x)liên tục
trênX.
3.4.2 Mệnh đề(Tính khả tích tổng chuỗi hàm) Giả sửun(x)liên tục trên[a,b]
với mọin∈N, ∑∞ n−1
un(x)hội tụ và ∑∞ n=1
un(x) =u(x)trên[a,b] Khi đóu(x)khả tích trên[a,b]và
∞
∑
n=1
Z b
a
un(x)dx=
Z b
a
∞
∑
n−1
un(x)dx=
Z b
a
u(x)dx
3.4.3 Mệnh đề(Tính khả vi tổng chuỗi hàm) Giả sửu0n(x)liên tục trên[a,b]
với mọin∈N, chuỗi ∑∞ n=1
un(x)hội tụ, ∑∞ n=1
u0n(x)hội tụ và ∑∞ n=1
un(x) =u(x)trên
[a,b] Khi đóu(x)khả vi trên[a,b] và
∞
∑
n=1
un(x)0=u0(x) =
∞
∑
n=1
(26)Những tính chất cụ thể vào chuỗi lũy thừa sau 3.4.4 Mệnh đề. Nếu chuỗi lũy thừa
∞
∑ n=0
anxn có bán kính hội tụ Rthì chuỗi hội tụ
tuyệt đối trên[−r,r] với mọi0<r<R.
3.4.5 Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa ∑∞ n=0
anxn có bán kính hội tụ làR Khi đó
1 Hàmu(x) = ∑∞ n=0
un(x)liên tục trên(−R,R). 2 Với mọix∈(−R,R)ta có
Z x
0
u(t)dt=
∞
∑
n=0
Z x
0
antndt=
∞
∑
n=0
an n+1x
n+1.
3 Với mọix∈(−R,R)ta cóu0(x) = ∑∞ n=0
nanxn−1.
3.4.6 Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa u(x) = ∑∞ n=0
anxn có bán kính hội tụ R ∈
(0,+∞) Khi đó
1 Nếu chuỗi số
∞
∑ n=0
anRn hội tụ thì lim x→R−
u(x) = ∑∞ n=0
anRn.
2 Nếu chuỗi số ∑∞ n=0
an(−R)n hội tụ thì lim x→−R+
u(x) = ∑∞ n=0
an(−R)n. 3.4.7 Ví dụ. Chứng minh chuỗi hàm ∑∞
n=1
sinnx
n3 liên tục trênR
Giải. Ta có sinnx n3 ≤
n3 với x∈R n∈N Vì chuỗi số
∞
∑ n=1
1
n3 hội tụ nên
chuỗi hàm cho hội tụ tuyệt đối Mặt khác,un(x) = sinnx
n3 liên tục trênRnên chuỗi hàm cho liên tục trênR
3.4.8 Ví dụ. Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi hàm ∑∞ n=1
(−1)n−1(x−2) n
3n
3.4.9 Ví dụ. Tính tổng chuỗi luỹ thừa ∑∞ n=1
n(n+1)xn−2
3.4.10 Ví dụ. Cho chuỗi hàm ∑∞ n=1
(−1)n
3n (2x−1)
(27)28 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH
(a) Tìm miền hội tụ chuỗi cho
(b) Tính tổng chuỗi cho miền hội tụ 3.4.11 Ví dụ. Tính tổng chuỗi hàm ∑∞
n=1
n(n+1)xn−2 miền hội tụ
3.4.12 Ví dụ. Cho chuỗi hàm ∑∞ n=1
1
2n(x+2) n.
(a) Tìm miền hội tụ hội tụ chuỗi cho (b) Tính tổng chuỗi cho miền hội tụ
3.4.13 Ví dụ. Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi hàm ∑∞ n=1
(2n+3n)xn
3.4.14 Ví dụ. Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi hàm ∑∞ n=1
(−1)nn x−1 x+1
(28)ĐỀ THI
Trong chương chúng tơi trình bày số đề thi để học viên tham khảo
TRƯỜNG ĐHSP ĐỒNG THÁP Đề thi tuyển sinh đại học lt năm 2008
ĐỀ SỐ Mơn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (2 điểm)
1 Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =
x2008sin1
x nếux6=0,
0 nếux=0
2 Tìm đạo hàm f(2008)(x)của hàm số f(x) = 2x+3
x2+3x+2vớix=6 −1,x6=−2 Câu 2. (2 điểm)
1 Chứng minh rằngex ≥x+1với mọix∈R
2 Áp dụng cơng thức f(x)' f(x0) + f0(x0)∆xtính gần đúng√101 Câu 3. (2 điểm)
1 Tính tích phânI =
Z π2
0
sinxcosx
sin2x+2dx
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn elip x
2
a2+
y2
b2=1vớia,b>0
Câu 4. (2 điểm)
(29)30 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH
1 Tính tổng
∞
∑
n=1
2−n
2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
n=1
xn n2+1 Câu 5. (2 điểm)
1 Chứng minh rằng0≤
Z
0
x2008ex2dx≤e
2 Khai triển Taylor hàm số f(x) =x4+1tạix=1 Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm
TRƯỜNG ĐHSP ĐỒNG THÁP Đề thi tuyển sinh đại học lt năm 2008
ĐỀ SỐ Mơn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (2 điểm)
1 Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =|x−2008| Tìm đạo hàm f(2008)(x)của hàm số f(x) = 2x+4
x2+4x+3vớix=6 −1,x6=−3
Câu 2. (2 điểm)
1 Chứng minh rằngx≥sinxvới mọix≥0
2 Áp dụng công thức f(x)' f(x0) + f0(x0)∆xtính gần
√
99 Câu 3. (2 điểm)
1 Tính tích phânI =
Z π2
0
sinx
cosx+2dx
2 Tính thể tích của vật thể trịn xoay quay elip x
2
a2+ y2
b2=1vớia,b>0 quanh trụcOx
(30)1 Tính tổng
∞
∑
n=1
3−n
2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
n=1
xn n+2 Câu 5. (2 điểm)
1 Chứng minh rằng0≤
Z
0
x2008sinx2dx≤1 Khai triển Taylor hàm số f(x) =x3+1tạix=2
Đề thi tuyển sinh đại học liên thông năm 2010 Môn thi: Giải tích
Đề số Câu 1. (2 điểm)
1 Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =
x2010cos1
x nếux6=0,
0 nếux=0
2 Tìm đạo hàm f(2010)(x)của hàm số f(x) =
x2+3x+2vớix=6 −1,x6=−2
Câu 2. (2 điểm)
1 Chứng minh rằngex ≥exvới mọix≥1 Tính giới hạn lim
x→0
tgx−x
sinx−x Câu 3. (2 điểm)
1 Tính tích phânI =
Z ln
0
√
ex−1dx
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y= x2 đường thẳngx+y=2
Câu 4. (2 điểm)
1 Xét hội tụ chuỗi số
∞
∑
n=1
(31)32 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH
2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
n=1
xn n2010+1 Câu 5. (2 điểm) nguyên hàm
1 Chứng minh rằng0≤
Z
0
x2010cosπx
2dx≤1
2 Khai triển Taylor hàm số f(x) =x4+x3+x2+1tạix0=1
Đề thi tuyển sinh đại học liên thông năm 2010 Môn thi: Giải tích
Đề số Câu 1. (2 điểm)
1 Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) = (
x2010 nếux≥0,
−x2010 nếux<0 Tìm đạo hàm f(2010)(x)của hàm số f(x) =lnxvớix>0 Câu 2. (2 điểm)
1 Chứng minh rằngsinx≤xvới mọix≥0 Tính giới hạn lim
x→+∞
x2 2x Câu 3. (2 điểm)
1 Tính tích phânI =
Z π2
0
(x+2010)cosxdx
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai parabol y=x2 y= 2−x2
Câu 4. (2 điểm)
1 Xét hội tụ chuỗi số
∞
∑
n=1
n (2n)!
2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
n=1
(32)Câu 5. (2 điểm)
1 Chứng minh rằng0≤
Z
0
x2010sinxdx≤1
2 Khai triển Taylor hàm số f(x) =x4−x3+x2−1tạix0=1
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2011
ĐỀ SỐ1 Mơn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (2 điểm)
1 Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =
2011xcos2011
x nếux6=0,
0 nếux=0
2 Tìm đạo hàm f(2011)(x)của hàm số f(x) = x
1+xvớix6=−1
Câu 2. (2 điểm)
1 Chứng minh rằnglnx<x+1với mọix≥1 Tính giới hạn lim
x→0
2011x−1
sinx
Câu 3. (2 điểm)
1 Tính tích phânI =
Z π
2
0
sinx cos2x+3dx
2 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đườngy=√x,y=0vàx=2011quay quanh trụcOx
Câu 4. (2 điểm)
1 Xét hội tụ chuỗi số
∞
∑
n=1
cos 2011n n2011
2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
n=1
(33)1 Chứng minh rằng0≤
Z
0
x2011ex2011dx≤e
2 Biểu diễn hàm số f(x) =x4−x3+x2−1dưới dạng tổng lũy thừa (x−2)
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2011
ĐỀ SỐ2 Mơn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (2 điểm)
1 Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) = (
x2011 nếux≥0,
−x2011 nếux<0 Tìm đạo hàm f(2011)(x)của hàm số f(x) =lnxvớix>0 Câu 2. (2 điểm)
1 Chứng minh rằngsinx≤xvới mọix≥0 Tính giới hạn lim
x→+∞
x2 2011x Câu 3. (2 điểm)
1 Tính tích phânI =
Z π
2
0
(x+2011)sinxdx
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y= x2 y= 8−x2
Câu 4. (2 điểm)
1 Xét hội tụ chuỗi số
∞
∑
n=1
sin 2011n
2011n2
2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
n=1
xn 2011n+1 Câu 5. (2 điểm)
1 Chứng minh rằng0≤
Z
0
(34)(x−1)
TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHLT NĂM 2012
ĐỀ SỐ1 Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian phát đề Câu 1. (2 điểm)
1 Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =
x.cos2012
x nếux6=0,
0 nếux=0
2 Tìm đạo hàm f(2012)(x)của hàm số f(x) =ln(x+2012)vớix>−2012 Câu 2. (2 điểm)
1 Chứng minh rằnglnx≤x−1với mọix>0 Tính giới hạn lim
x→+∞
2012x 2012x Câu 3. (2 điểm)
1 Tính tích phânI =
Z π
2
0
cosx
sinx+3dx
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đườngy=x2 vày−3x+
2=0
Câu 4. (2 điểm)
1 Xét hội tụ chuỗi số
∞
∑
n=1
sinn
n2012
2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
n=1
xn n+2012 Câu 5. (2 điểm)
1 Chứng minh rằng0≤
Z
0
(35)36 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH
2 Biểu diễn hàm số f(x) =x5−x3+1 dạng tổng lũy thừa (x−1)
———— Hết ————
Cán coi thi khơng giải thích thêm
TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHLT NĂM 2012
ĐỀ SỐ2 Mơn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (2 điểm)
1 Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) = (
x2012 nếux≥0,
−x2012 nếux<0 Tìm đạo hàm f(2012)(x)của hàm số f(x) =lnxvớix>0 Câu 2. (2 điểm)
1 Chứng minh rằngex ≥1+xvới mọix∈R Tính giới hạn lim
x→+∞
x2 2012x Câu 3. (2 điểm)
1 Tính tích phânI =
Z π2
0
(x+2012)cosxdx
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đườngy=x2vày−5x+
6=0
Câu 4. (2 điểm)
1 Xét hội tụ chuỗi số
∞
∑
n=1
cos(2012n)
2012n3
2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
n=1
xn 2012n+3 Câu 5. (2 điểm)
1 Chứng minh rằng0≤
Z
0
(36)———— Hết ————
Cán coi thi khơng giải thích thêm
TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THƠNG NĂM 2013
ĐỀ SỐ1 Mơn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (2 điểm)
1 Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =
2014
x nếux6=0,
0 nếux=0
2 Tìm đạo hàm f(2014)(x)của hàm số f(x) = 2x+5
x2+5x+4vớix=6 −1,x6=−4
Câu 2. (2 điểm)
1 Chứng minh rằngex ≥x+1với mọix∈R Tính giới hạn lim
x→+∞
ln(2013+x)
2013x
Câu 3. (2 điểm)
1 Tính tích phânI =
Z π2
0
(x+2013).cosxdx
2 Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn y=x2,x=1,y=0quanh trụcOx
Câu 4. (2 điểm)
1 Xét hội tụ chuỗi số
∞
∑
n=1
3n−1
4n+2
n
2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
n=1
(37)1 Chứng minh rằng0≤
Z
1
cos2x
x2 dx≤1
2 Áp dụng cơng thức f(x)' f(x0) + f0(x0)(x−x0)tính gần
√
10002
———— Hết ————
Cán coi thi khơng giải thích thêm
TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2013
ĐỀ SỐ2 Mơn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (2 điểm)
1 Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =
2013
x nếux6=0,
0 nếux=0
2 Tìm đạo hàm f(2013)(x)của hàm số f(x) = 2x+5
x2+5x+4vớix=6 −1,x6=−4
Câu 2. (2 điểm)
1 Chứng minh rằngex ≥x+1với mọix∈R Tính giới hạn lim
x→+∞
ln(2013+x)
2013x
Câu 3. (2 điểm)
1 Tính tích phânI =
Z π
2
0
(x+2013).cosxdx
2 Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn y=x2,x=1,y=0quanh trụcOx
Câu 4. (2 điểm)
1 Xét hội tụ chuỗi số
∞
∑
n=1
3n−1
4n+2
(38)2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞
∑
n=1
xn 2013n+1 Câu 5. (2 điểm)
1 Chứng minh rằng0≤
Z
1
cos2x
x2 dx≤1
2 Áp dụng công thức f(x)' f(x0) + f0(x0)(x−x0)tính gần
√
10002
———— Hết ————
(39)TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đậu Thế Cấp, Nguyễn Huỳnh Phán, Nguyễn Thái Sơn Trần Đình Thanh
Giải tích tốn học, NXB Giáo dục, 2007
[2] Nguyễn Dương Hoàng,Đề cương ơn tập giải tích đại học hóa tốn, Khoa Tốn học, Trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp, 2006