Điều khiển ngẫu nhiên trong thị trường tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− HOÀNG VY THỤY LYNH ĐIỀU KHIỂN NGẪU NHIÊN TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng năm 2011 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Chí Long Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP HCM, ngày tháng năm Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Hoàng Vy Thụy Lynh MSHV: 09240485 Ngày, tháng, năm sinh: 05 – 06 – 1985 Nơi sinh: Biên Hịa – Đồng Nai Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 604636 I TÊN ĐỀ TÀI: ĐIỀU KHIỂN NGẪU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG : III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : Tiến sĩ Nguyễn Chí Long Tp HCM, ngày tháng năm 2011 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO (Họ tên chữ ký) (Họ tên chữ ký) TRƯỞNG KHOA (Họ tên chữ ký) Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin gửi lời tri ân chân thành đến gia đình, người thân u, ln khích lệ động viên tơi suốt trình học tập vừa qua, đến tất q thầy mơn Tốn Ứng Dụng−khoa Khoa học Ứng Dụng−trường Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ, truyền đạt kiến thức cho tơi suốt khóa học, đến tất người bạn học viên khóa K2009 lớp cao học Tốn ứng dụng bên tơi suốt hai năm cao học qua, người bạn đồng hành, giúp đỡ chia sẻ suốt trình học tập Và đặc biệt, để hồn thành luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy Nguyễn Chí Long, người thầy tận tình hướng dẫn, ln khuyến khích, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành tốt luận văn thạc sĩ Tóm tắt luận văn Đầu tiên luận văn xây dựng toán đầu tư, chi tiêu tối ưu cơng ty tài Sau nghiên cứu lớp tổng quát toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên Phương pháp dùng phương pháp quy hoạch động Từ đó, xây dựng phương trình Hamilton−Jacobi−Bellman cho hàm giá tối ưu, giải phương trình Hamilton−Jacobi−Bellman để thu nghiệm tối ưu toán Luận văn giải vấn đề tỷ lệ tương đối phân chia kinh phí dự án thông qua hai định lý Merton quỹ tương hỗ hai trường hợp có khơng có tài sản không rủi ro Cuối cùng, luận văn xây dựng hai ví dụ cụ thể cho tốn đầu tư tối ưu toán chi tiêu tối ưu Để thực nghiên cứu, luận văn đề cập đến số kiến thức tổng quan điều khiển tối ưu, phương trình vi phân ngẫu nhiên, điều khiển ngẫu nhiên hệ vi phân ngẫu nhiên Summary of Master Thesis First the thesis constructed the optimal investment and expenditure problem of a financial company Then we studied a general class of optimal random control problem The method used here is the Dynamic programing Since then, we constructed the Hamilton −Jacobi−Bellman equations for optimal price function, and solving equations Hamilton−Jacobi−Bellman to obtain optimal solution of the problem The thesis also solved the problem of the relative percentage distribution of funding project through the two theorems of Merton on mutual funds in two cases with and without risk assets Finally, the thesis built two concrete examples for the optimal investment problem and the optimal spending problem To undertake research, thesis also refers to some general knowledge about the optimal control, stochastic differential equations, random controlling of stochastic differential systems Danh sách kí hiệu A, Ai : biến cố ngẫu nhiên Ac : phần bù biến cố A ≈ : xấp xỉ x → ∞ B: tập Borel B : σ - đại số tập Borel E(X): kỳ vọng biến ngẫu nhiên X E(X|G): kỳ vọng có điều kiện σ -trường ∅: tập rỗng F : hàm phân phối Fe : hàm phân phối cân F n∗ (x): tích chập n-lần hàm phân phối chung F x F¯ : đuôi phân phối F F, Ft , F: σ -trường FtX : lọc tự nhiên trình ngẫu nhiên Xt Gt (x) : hàm phân phối xác suất S(t) Gt : σ - trường thông tin thời điểm t h(z): biến Laplace Stieltjes IA (ω): hàm số biến cố A N (t), Nt : trình đếm N: tập hợp số tự nhiên Ω : không gian mẫu P : độ đo xác suất (hay xác suất) Q : tập hợp số hữu tỉ R: tập hợp số thực ρ: trọng số an toàn ∼ : (biến ngẫu nhiên) có phân phối τ, τi : thời điểm dừng τ (T ) : thời điểm dừng ngẫu nhiên khoảng [0, T ] τ˜ : thời điểm Markov Ti : thời điểm ngẫu nhiên V ar(X) : phương sai biến ngẫu nhiên X X, Zk , Y˜i : biến ngẫu nhiên X(t), Xt , Y (t), Zt : trình ngẫu nhiên Yk : khoảng cách lần yêu cầu liên tiếp Tk Tk−1 Mục lục Giới thiệu 12 Tổng quan 16 1.1 Tối ưu hóa động phương pháp biến phân Euler Lagrange 16 1.1.1 Phép tính biến phân 16 1.1.2 Bài tốn tối ưu hóa động khơng ràng buộc 17 1.1.3 Bài tốn tối ưu hóa động có ràng buộc 19 1.1.4 Điều khiển tối ưu liên tục dùng phương pháp biến phân 1.2 22 Phương pháp quy hoạch động Bellman phương trình Hamilton−Jacobi−Bellman 1.2.1 Quy hoạch động giải toán điều khiển tối ưu rời rạc 1.2.2 25 26 Quy hoạch động giải toán điều khiển tối ưu liên tục 31 1.3 1.4 Nguyên lý cực trị Pontryagin mối liên hệ với Phương trình Hamilton−Jacobi−Bellman 33 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 36 1.4.1 Định nghĩa phương trình tính nghiệm 36 1.4.2 Một số ví dụ Điều khiển tối ưu hệ vi phân ngẫu nhiên 38 40 2.1 Q trình ngẫu nhiên Ito có điều khiển 40 2.2 Điều khiển chấp nhận mục tiêu điều khiển 42 2.3 Điều khiển ngẫu nhiên hệ quan sát đầy đủ 43 Các mơ hình quy hoạch động điều khiển ngẫu nhiên 46 3.1 Phát biểu toán 46 3.2 Phương trình Hamilton−Jacobi−Bellman 52 3.2.1 Thủ tục nhúng 53 3.2.2 Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman 57 3.2.3 Định lý kiểm chứng (điều kiện đủ cho toán điều khiển tối ưu): 58 Giải phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman 61 3.3 Bài toán chi tiêu tối ưu 62 3.4 Bài toán đầu tư tối ưu 67 3.2.4 10 H(t, x) = Φ(t, x), ∀(t, x) ∈ ∂D - Hàm g luật điều khiển chấp nhận - Với (t, x) ∈ D giá trị sup [F (t, x, u) + Au H(t, x)] u∈U phương trình HJB đạt u = g(t, x) Khi đó: Hàm giá tối ưu V toán điều khiển cho bởi: V (t, x) = H(t, x) Tồn luật điều khiển tối ưu v cho: v(t, x) = g(t, x) Bài toán chi tiêu tối ưu Xét toán: T F (t, ct )dt + Φ(XT ) → max E biết trước diễn biến tổng sở hữu Xt thỏa mãn phương trình: dXt = Xt (u0t r + u1t µ)dt − ct dt + ut1 σXt dWt với ràng buộc điều khiển là: ct ≥ 1, ∀t ≥ u0t + u1t = 1, ∀t ≥ 64 Chọn miền D = [0, T ] × {x : x > 0} Thời điểm dừng: τ = {inf {t > : Xt = 0}, T } Hàm mục tiêu: T E F (t, ct )dt với đảm bảo tự nhiên người chi tiêu khơng cịn tiền (tổng sở hữu 0) hoạt động tài chấm dứt Ta có diễn biến trạng thái (state dynamics) cho phương trình: dXt = wt (µ − r)Xt dt + (rXt − ct )dt + wXt dWt với wt = u1t Phương trình HJB tương ứng là: ∂V ∂V ∂ 2V ∂V + sup F (t, c) + wx(µ − r) + (rx − c) + x2 w2 σ 2 ∂t c>0,w∈R ∂x ∂x ∂x V (T, x) = V (t, 0) = Xét trường hợp đặc biệt: F (t, c) = e−δt cγ , < γ < Bài toán tối ưu tĩnh c w là: Cực đại hóa ∂V ∂V 2 ∂ 2V c + wx(µ − r) + (rx − c) + xw σ ∂x ∂x ∂x2 −δt γ e Với điều kiện: γeγ−1 = eδt Vx w= −Vx µ − r xVxx σ Để thực kế hoạch chi tiêu đầu tư tối ưu ta cần phải biết hàm giá tối ưu V Dự đốn hàm giá tối ưu có dạng: V (t, x) = e−δt h(t)xγ 65 =0 điều kiện biên nên h(T ) = Ta có: ∂V ˙ γ − δe−δt hxγ = e−δt hx ∂t ∂V = γe−δt hxγ−1 ∂x ∂V = γ(γ − 1)e−δt hxγ−2 ∂x (h˙ = dh dt ) Thay vào phương trình điều kiện ta được: w(t, ˆ x) = µ−r σ (1 − γ) γ cˆ(t, x) = xh(t)− 1−γ Giá phương án tối ưu dự kiến số luật chi tiêu tuyến tính biến tổng sở hữu Thay biểu thức vào phương trình HJB ta được: γ ˙ xγ h(t) + Ah(t) + Bh(t)− 1−γ = với: γ(µ − r)2 γ(µ − r)2 + rγ − −δ A= σ (1 − γ) 2σ (1 − γ) B =1−γ Phương trình ∀x, t, h thỏa: γ ˙ h(t) + Ah(t) + Bh(t)− 1−γ = h(T ) = (phương trình Bernouilli có lời giải dạng hiển) Vậy ta chứng minh V có dạng V (t, x) = e−δt h(t)xγ với 66 h nghiệm phương trình vi phân thường xác định wˆ cˆ V thỏa phương trình HJB, theo định lý kiểm chứng suy nghiệm tối ưu 3.4 Bài toán đầu tư tối ưu Ta xét toán đầu tư tối ưu đơn giản thị trường tài gồm tài sản tảng trái phiếu khơng rủi ro (hay tài khoản tín dụng) B, lãi suất r, với giá trị thời điểm t tuân theo luật dBt = Bt rdt, B0 = hay Bt = ert chứng khoán S, mà giá trị St chứng khoán thời điểm t tuân theo luật chuyển động Brown dSt = µSt dt + σSt dWt , S0 = s0 > (3.14) tham số µ (độ thay đổi giá chứng khoán tương ứng với độ dài thời gian dt) số, tham số σ số dương, độ biến động giá chứng khoán Nghiệm (3.14) σ2 St = s0 exp (µ − )t + σWt Nhà đầu tư (NĐT) đầu tư vào hai tài sản tảng với vốn ban đầu x0 > Tại thời điểm t, NĐT có Nt0 đơn vị trái phiếu Nt1 đơn vị cổ phiếu chứng khoán tổng tài sản Xt (hay giá phương án đầu tư) NĐT viết dạng vi phân là: dXt = Nt0 dBt + Nt1 dSt , X0 = x0 67 (3.15) Đặt u1t = Nt0 Bt Xt Nt1 St Xt : tỉ lệ vốn đầu tư chứng khoán u0t = − u1t = tỉ lệ vốn đầu tư vào trái phiếu, lúc (3.15) tương đương với dXt = Xt (u0t r + u1t µ)dt + u1t σXt dWt (3.16) Dạng tích phân (3.16) t Xt = x0 exp t gs ds + hs dWs gt + h2t = r + (µ − r)u1t ht = σu1t hay t r + (µ − Xt = x0 exp r)u1s − σ (u1s )2 ds + t σu1s dWs Đối với toán tối ưu với hàm mục tiêu T F (s, Xsu , us )dS + V (T, XTu )|Xtu = x J(t, x, u) := E (3.17) t Jt (u) ≡ V (t, x) = sup J(t, x, u) (hàm giá tốn điều khiển) u∈U U tập hợp trình điều khiển u = u(s, x) với s ∈ [t, T ], x ∈ Rn mà (3.11) (3.12) tồn nghiệm Mục đích tìm J0 = sup J(0, x0 , u) u∈U lúc u ∈ U thỏa J(0, x0 , u) = J0 gọi điều khiển tối ưu Bây ta xét trường hợp tâm lý e ngại rủi ro NĐT thể qua 68 hàm lợi ích hàm logarit ta muốn làm cực đại (3.17) với F ≡ V (T, x) = lnx lúc J(0, x0 , u) = E [ln(XTu )|X0 = x0 ] Xét tập hợp tất điều khiển T U := u≡ u1t |µu1t | + |σu1t |2 dt < ∞, Xtu > :E E (lnXT )−1 < ∞ σu1t dWt martingale Từ điều kiện suy T σu1t dWt = E Do đó, u ∈ U T J(0, x0 , u) = lnx0 + E r + (µ − r)u1t − σ (u1t )2 dt Lấy đạo hàm dấu tích phân ta ∂ r + (µ − r)u − σ u2 ∂u ∂2 ∂u2 = µ − r − σ2u r + (µ − r)u − σ u2 = −σ < Do cực đại xảy µ − r − σ u = ⇔ u = u1t = µ−r , ∀t ∈ [0, T ] σ2 J0 = sup J(0, x0 , u) = J(0, x0 , u) = lnx0 + r + u∈U (µ − r) T.(3.18) σ2 Chiến lược tối ưu u (3.18) gọi chiến lược Merton hàm lợi ích hàm logarit, hàm ut = π ∗ = µ−r , t ∈ [0, T ] σ2 69 gọi hàm Merton Chẳng hạn µ = 4.2 lãi xuất r = 1.2 σ = π ∗ = 0.4; điều có nghĩa là, theo chiến lược Merton, NĐT ln phải giữ 40% tiền đầu tư chứng khoán 3.5 Các định lý Merton quỹ hỗ tương 3.5.1 Trường hợp khơng có tài sản khơng rủi ro Xét thị trường tài với n giá tài sản S1 , , Sn Giả sử khơng có tài sản khơng rủi ro trình vector giá S(t) = (S1 (t), , Sn (t))T có diễn biến theo phương trình: dS = D(S)µdt + D(S)σdW (3.19) Với W trình Wiener tiêu chuẩn k−chiều, α vector n−chiều, σ ma trận n × k D(S) ma trận đường chéo D(S) = diag{S1 , , Sn } Hay ta có: dSi = Si µi dt + Si σi dWi , i = 1, , n σi hàng thứ i ma trận σ và: k T σi dW = (σi1 σik )(dW1 dWk ) = σij dWj j=1 Ký hiệu chiến lược đầu tư w kế hoạch chi tiêu c ta có: (1) Một cặp chiến lược đầu tư, chi tiêu (w, c) gọi tự tài trợ 70 hàm giá V w (t) = Σwi (t)Si (t) thỏa mãn điều kiện: dV w (t) = w(t)dS(t) − c(t)dt = Σwi (t)dSi (t) − c(t)dt (2) Điều kiện cần đủ để cặp chiến lược đầu tư, chi tiêu (w, c) tự tài trợ là: dV w (t) = V w (t)Σui (t) với ui = wi Si Vw dSi − c(t)dt Si (t) Σui = Từ điều kiện cần đủ cặp chiến lược đầu tư chi tiêu ta diễn biến trình tổng sở hữu X cho phương trình: dX = DwT µdt − cdt + XwT σdW (3.20) Cho trước hàm lợi ích F (t, c) muốn cực đại hóa: T E F (t, ct )dt với T mốc thời gian cho trước Với diễn biến (3.19) (3.20) ràng buộc: n wi = eT w = c ≥ 0, eT = (1, 1, , 1) ∈ Rn i=1 Phương trình HJB cho toán: ∂V (t, x, s) + sup [F (t, c) + Ac,w V (t, x, s)] = ∂t c>0,eT w=1 V (T, x, s) = V (t, 0, s) = Thời điểm dừng: τ = {inf {t > : Xt = 0}, T } Giả sử µ, σ khơng đổi ta có X đóng vai trị q trình 71 trạng thái hàm giá tối ưu V (t, x) không phụ thuộc vào S Từ biểu thức Ac,w V sau: Ac,w V = xwT µ ∂V ∂V ∂ 2V −c + x2 wT Σw ∂x ∂x ∂x ma trận Σ = σσ T xác định dương khả nghịch (thị trường đầy đủ) Phương trình HJB trở thành: Vt (t, x)+ sup c≥0,eT w=1 F (t, c) + (xwT µ − c)Vx (t, x) + x2 wT Vxx (t, x) = V (T, x) = V (t, 0) = Thêm vào điều kiện để tốn quy với lời giải (interior solution): ∂F (t, c) = Vx (t, x) ∂c xµT Vx + x2 Vxx wT Σ = λeT Ta được: wˆ = Σ−1 xVx λ e − µ x2 Vxx x2 Vxx Sử dụng hệ thức eT w = rút ra: λ= x2 Vxx + xVx eT Σ−1 µ eT Σ−1 e Và suy ra: wˆ = Vx −1 eT Σ−1 µ −1 Σ e + Σ −µ eT Σ−1 e xVxx eT Σ−1 e Viết wˆ dạng: wˆ = g + Y (t)h g h hai vector cố định cho bởi: g= eT Σ−1 e 72 Σ−1 e h=Σ eT Σ−1 µ −µ eT Σ−1 e Y (t) = Vx (t, X(t)) X(t)Vxx (t, X(t)) −1 Và Như phương án tối ưu di chuyển ngẫu nhiên dọc theo "đường thẳng phương án tối ưu" (optimal portfolio line) chiều w = g +sh "siêu phẳng phương án" ∆ n−1chiều, ∆ = w ∈ Rn : eT w = Nếu cố định hai điểm đường thẳng phương án tối ưu: wa = g + ah wb = g + bh điểm đường thẳng tổ hợp afin wa wb Nếu ws = g + sh thì: ws = αwa + (1 − α)wb đó: α = s−b a−b Như vậy: w(t) ˆ = α(t)wa + (1 − α(t))wb , α(t) = Y (t) − b a−b Do phương án tối ưu w tìm siêu phương án (hyper portfolio) ta phân bổ nguồn tài cho hai quỹ hỗ tương cố định Định lý Merton I quỹ hỗ tương: Giả sử toán tối ưu quy đủ đảm bảo tồn lời giải Khi tồn họ tham số quỹ hỗ tương cho bởi: ws = g + sh 73 với: T −1 −1 −1 e Σ µ g = T −1 Σ e h = Σ −µ e Σ e eT Σ−1 e thỏa: Với s phương án tương đối ws giữ cố định suốt khoảng thời gian Với cách chọn (a, b), a = b phương án tối ưu w(t), ˆ ∀t nhận cách phân bổ tồn nguồn kinh phí cho hai quỹ cố định wa wb , tức là: w(t) ˆ = αa (t)wa + αb (t))wb , αa (t) + αb (t) = Các tỷ lệ tương đối (αa , αb ) phân chia kinh phí phương án cho bởi: αa (t) = Y (t) − b −Y (t) + a αb (t) = a−b a−b với Y (t) = 3.5.2 Vx (t, X(t)) X(t)Vxx (t, X(t)) Trường hợp có tài sản khơng rủi ro Xét mơ hình: dS = D(S)µdt + D(S)σdW (t) với giả thiết mục Giả sử có tài sản khơng rủi ro tiêu chuẩn (standard risk free asset) S0 với diễn biến: dS0 = rS0 dt 74 Xét phương án mới: w = (w0 , w1 , , wn ), 1− n i=0 wi = 1, w0 = n i=1 wi Từ diễn biến phương án tự tài trợ cho bởi: n n wi )r dt − cdt + XwT σdW wi µi + (1 − dX = X i=1 i=1 Hay dX = XwT (µ − re)dt + (rX − c)dt + XwT σdW Phương trình HJB cho tốn: Vt (t, x) + sup [F (t, c) + Ac,w V (t, x)] = c≥0,w∈R V (T, x) = V (t, 0) = đó: AT V = xwT (µ − re)Vx (t, x) + (rx − c)Vx (t, x) + x2 wT ΣVxx (t, x) Các điều kiện: ∂F (t, c) = Vx (t, x) ∂c Vx −1 wˆ = − Σ (µ − re) xVxx Định lý Merton II quỹ hỗ tương Cho trước giả thiết phần trước Khi đó: Phương án tối ưu bao gồm phân bổ hai quỹ tài cố định w0 wf Quỹ w0 chứa tài sản không rủi ro Quỹ wf chứa tài sản có rủi ro cho bởi: wf = Σ−1 (µ − re) 75 Tại thời điểm t, phân bổ tối ưu tổng sở hữu cho hai quỹ cho bởi: αf (t) = Vx (t, X(t)) X(t)Vxx (t, X(t)) α0 (t) = − αf (t) 76 Kết luận Các công cụ điều khiển tối ưu có phát triển mạnh mẽ có ứng dụng thuyết phục kỹ thuật, công nghệ, gần kinh tế tài Các vấn đề trình bày luận văn nêu lên số kết mặt lý thuyết điều khiển ngẫu nhiên tài chính, cụ thể toán đầu tư chi tiêu tối ưu Với vốn kiến thức cịn hạn hẹp ban đầu, tơi mong muốn tiếp tục nghiên cứu thu kết khả quan hơn, có ý nghĩa thực tiễn Ngồi ra, tơi hy vọng kết luận văn phần bổ sung thêm vào đề tài nghiên cứu Toán ứng dụng nhằm đưa toán học vào ứng dụng đời sống, mà cụ thể đóng góp cơng nghệ, kinh tế, tài ngày tốt Tài liệu tham khảo [1] J.M.Schumacher, Control and financial Engineering, 1993 [2] Rick Durrett, Essentials of Stochastic Processes, 1999 [3] Huyen Pham, On some recent aspects of stochastic control and their applications, 2005 [4] Nguyễn Chí Long, Tốn học tài chính−thời gian rời rạc, 2010 [5] Nguyễn Chí Long, Xác suất thống kê Quá trình ngẫu nhiên , 2008 [6] Trần Hùng Thao, Nhập mơn Tốn học tài chính, 2009 [7] Trần Hùng Thao, Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, 2000 78 ... nhiên Ito có điều khiển 40 2.2 Điều khiển chấp nhận mục tiêu điều khiển 42 2.3 Điều khiển ngẫu nhiên hệ quan sát đầy đủ 43 Các mơ hình quy hoạch động điều khiển ngẫu nhiên 46 3.1 Phát... chủ đầu tư, Đây toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên Nghiên cứu điều khiển ngẫu nhiên tài chính, cụ thể chi tiêu đầu tư nội dung nghiên cứu mẻ có nhiều ứng dụng kinh tế Mục tiêu Trong khuôn khổ luận... Và u điều khiển tối ưu ta có 1 (u) Ct dt ≥ J ∗ = Eu∗ Eu 0 Vậy u∗ điều khiển tối ưu 45 (u∗ ) Ct dt Chương Các mơ hình quy hoạch động điều khiển ngẫu nhiên 3.1 Phát biểu tốn Xét thị trường tài mà