Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi VMO năm 2020 - Sở Giáo dục và Đạo tạo Bắc Ninh

a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.. Chứng minh rằng tứ giác IJHK nội tiếp. Ta nối các đỉnh với nhau. a) Gọi a là[r]

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: Tốn

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 24/9/2019

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Câu (5,0 điểm)

Cho hai dãy số (un), ( )vn xác định sau u0 a v; 0 b với số thực a b, cho trước thỏa mãn 0 a b 1 ,

2 n n n

u v

u    vn1  un1.vn với số tự nhiên n a) Chứng tỏ hai dãy cho hội tụ có giới hạn b) Tìm giới hạn theo a b,

Câu 2(5,0 điểm)

Cho số nguyên tố p Chứng minh tồn vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện

2019

2020n  n 2018 (mod )p Câu (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọnABC không cân Gọi H O, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D E, chân đường cao hạ từ đỉnh A B, tam giác ABC.Các đường thẳng OD BE cắt K, đường thẳng OE AD cắt L Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ba điểm K L M, , thẳng hàng bốn điểm C D O H, , , nằm đường tròn

Câu (5,0 điểm)

Tìm tất đa thức f x

 

có hệ số thực bậc số tự nhiên lẻ cho:





2

 

1 1,

f x   f x   x - Hết -

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: Tốn

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 25/9/2019

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Câu (7,0 điểm)

Tìm tất hàm f :  thỏa mãn điều kiện:



1



   

f xy  f x f y  xy với x y, 

Câu (7,0 điểm)

Cho tam giác nhọnABC, D điểm cạnhBC Trên cạnh AC AB, lấy điểm E F, choEDEC FD, FB Gọi I J K, , tâm đường tròn nội tiếp tam giác

, ,

ABC BDF CDE

a) Gọi H trực tâm tam giácJDK Chứng minh tứ giác IJHK nội tiếp

b) Chứng minh D chuyển động trênBC, đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK qua điểm cố định khác điểm I

Câu (6,0 điểm)

Cho đa giác A A1 2 A20 có 10 đỉnh đa giác tô màu xanh, 10 đỉnh cịn lại tơ màu đỏ Ta nối đỉnh với

a) Gọi a số đoạn thẳng nối hai đỉnh màu đỏ liên tiếp, b số đoạn thẳng nối hai đỉnh màu xanh liên tiếp Chứng minh ab

b) Xét tập hợp S gồm đường chéo A A1 4 tất đường chéo khác đa giác mà có độ dài với Chứng minh tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu màu đỏ với số đường chéo có hai đầu màu xanh Gọi k số đường chéo có hai đầu màu xanh , tìm tất giá trị có

- Hết -

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Môn thi: Tốn

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu Đáp án Điểm

1.a

Cho dãy số (un), ( )vn xác định sau:

0 ;

u a v b với số thực a b, cho trước thỏa mãn 0 a b 1 n n n

u v

u    ,

1

n n n

v   u  v với số tự nhiên n

a) Chứng tỏ hai dãy cho hội tụ có giới hạn

2,0

Ta chứng minh quy nạp un un1vn un1 vn1 vn với n

Do đó, dãy cho đơn điệu bị chặn u0 a v; 0 b nên hội tụ 1,0 Từ 1

2 n n n

u v

u    , cho qua giới hạn ta lim 1 lim lim

n n

n

u v

u    hay limun limvn

(đpcm)

1,0

1.b b) Tìm giới hạn theo a b, 3,0

Do 0 a b nên đặt a cos

b   với (0; )2 

  Ta chứng minh

2

1

cos cos cos cos

2 2

n n n

u b    

1,0

Và cos 1.cos 2 cos

2 2

n n

v b    với số nguyên dương n

1,0

Từ rút gọn biểu thức ta sin sin sin n n n n b b

v    

  Vậy 2 lim lim arccos n n b a u v a b          1,0 2

Cho số nguyên tố p Chứng minh rằng, tồn vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện

2019

2020n  n 2018(mod )p 5,0

Ta xét trường hợp

Trường hợp Nếu p ước nguyên tố 2020, đó, cần chọn n2018 p thỏa mãn

Việc chứng tỏ tìm vơ số n

1,0

Trường hợp Nếu p không ước nguyên tố 2020, ( , 2020)p 1

Chọn 2019 0(mod 1)

2018 1(mod )

x Q P M O L K H E D C B A

Theo định lí Fecma

1(mod ) p

a   p ta

1 2019

2020p 1(mod )p 2020n 1(mod )p

nên 2020n2019 n 2018(mod )p (thỏa mãn đề bài)

1,0 Lại có, theo định lí Trung Hoa dư hệ phương trình đồng dư ln có nghiệm n



p p,  1



nên có vơ số tự nhiên n thỏa mãn (đpcm) 1,0

3

Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H O, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D E, chân đường cao hạ từ đỉnh A B, tam giác

ABC Các đường thẳng OD BE cắt K , đường thẳng OE AD cắt L Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ba điểm K L M, , thẳng hàng bốn điểm C D O H, , , nằm đường tròn

5,0

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác HAB ba điểm

, ,

K L M ta có: K L M, , thẳng hàng

KB LH MA KH LA MB 

KB LA

KH LH

   (1)

0,5

Ta lại có BOD HOD

S KB

KH S (cùng cạnh đáy OD),

AOE HOE

S LA

LH S (cùng cạnh đáy OE) gọi R

bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC cAB

1

( , ) cos cos

2

AOE

S  AE d O AE  c A R B cos cos

2R c A B

 Tương tự cos cos

2 BOD

S  R c A B

Nên SAOE SBOD

1,0

Từ kết ta có (1)SHOD SHOE OH||DE (nếu H O phía DE) OH qua trung điểm ED (nếu H O khác phía DE) 0,5 Trước hết, vẽ tiếp tuyến C x đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C, dễ dàng chứng minh CED ABC ACx suy DE Cx|| từ dẫn đếnCO vng góc với

DE (2)

0,5 Ta chứng minh (1) xảy khi OH||DE

Thật vậy, xảy trường hợp lại, tức OH qua trung điểm ED

Khi đó, gọi P Q, trung điểm ED, HC Dễ thấy tứ giác CEHDnội tiếp đường trịn tâm Q, suy QP vng góc với ED Kết hợp (2) suy QP CO||

Xét tam giác CHOcó Q trung điểm HC QP CO|| suy P trung điểm OH nên

EHDO hình bình hành, suy OD EH|| Điều trái với giả thiết OD cắtBE Vậy (1) xảy OH||DE, mà (1) nên điều COOH

khi C D O H, , , nằm đường tròn 0,5

4

Tìm tất đa thức f x

 

hệ số thực, có bậc số tự nhiên lẻ cho





2

 

1 1,

f x   f x   x 5,0

Thay x x ta có f2

 

  x f



 

x 2 1



f x



2 1



f2

 

x 1 Suy f2

 

 x f2

 

x

Nên ( ) ( )

( ) ( )

f x f x x A

f x f x x B

   



     

 A B

0,5

Nếu tập A vô hạn hay phương trình f

 

 x f x

 

0 có vơ số nghiệm mà bậc f hữu hạn nên f( x) f x( )0  f

 

 x f x

 

, x (1)

Lại có deg f lẻ nên hai giới hạn lim ( )

x f x xlim f(x) có giới hạn  , tồn x0 (đủ lớn) cho f x

 

f

 

x trái dấu (suy không nhau) xx0 điều mâu thuẫn với (1) nên tập A vô hạn Suy tập B vơ hạn hay phương trình f x

 

 f

 

 x có vơ số nghiệm mà bậc

f hữu hạn nên f

 

  x f x

 

, x

1,0

Chọn

 

 

 

 

 

 

2

0 0

0

1

1

f f f

x

f

f f

 

  

 

  

  

   

 

 f

 

1 1 0,5

Xét dãy số a0 1;an1  an1 Dễ thấy an   1, n

Ta chứng minh an1an, n 1

 

Thật n 0 a1 2 1 a0 toán với n1

Giả sử (1) đến n, suy an2  an1 1 an 1 an1 Vậy (1) chứng minh

1,5

Bây ta chứng minh f a

 

n an , n  2

 

quy nạp Với n 0 f a

 

0  f

 

1 a0 suy (2) với n0 Giả sử f a

 

n an ta chứng minh f a



n1



an1, ta có









 

2 2

1 1 1 1

n n n n n

f a    f a     f a  a a 



n 1



n

f a  a 

  f a



n1



 an1

Nếu f a



n1



 an1 f2



an1



 1 f a



2n2  1



f a



n1



 1 an10 (vơ lí)



n 1



n

f a  a 

Vậy (2) chứng minh, phương trình f x

 

x có vơ số nghiệm nên f x

 

x

với xR

Thử lại ta thấy f x

 

x thỏa mãn yêu cầu toán

0,5

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

(Đề thi có 04 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: Tốn

Ngày thi thứ hai: 25/9/2019

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Câu Đáp án Điểm

5 Tìm tất hàm f :  thảo mãn điều kiện:

( 1) ( ) ( )

f xy  f x f y  xy với x y,  (1) 7,0

Thay x0 vào (1), ta có f( 1)  f x f( ) (0) 1 với x

Nếu f(0)0 f hàm Thay vào (1) dễ thấy không thỏa mãn Vì f(0)0

Thay x y vào phương trình (1) ta thu



f(1)



2 1 Nghĩa f(1)1 (1)

f  

1,0

Trường hợp 1: f(1)1

Thay x xy y1 vào phương trình (1) ta thu

( 1) ( )

f xy  f xy  xy với x y,  Kết hợp (1) ta thu được:

( ) ( ) ( )

f xy  f x f y với x y,  (2)

1,0

Tiếp theo ta thay y1 vào phương trình (1) ta nhận

( 1) ( )

f x  f x  x hay f x(  1) 2x 1 f x( ) với x (3) Lại thay xbởi x1 y1 vào phương trình (1) ta nhận

( 1) ( )

f x  f x  x hay f x(  1) 2x 1 f x( ) với x (4) Cho y x vào phương trình (1) sử dụng (2) (3) (4) ta nhận

2 2

2x  1 f x(  1) f ( )x  f x( 1) (f x 1) f2( )x

2

(2x f x( )).(2x f x( )) f ( )x

      2

 

 

2f x 4xf x 4x

   

Suy 2



f x( )x



2 0 dẫn đến f x( )x với x

2,0

Trường hợp 2: f

 

1  1

Bằng cách thay tương tự trường hợp 1, ta có:

 

   

f xy  f x f y với x y,  (5)



1



( )

f x  x  f x với x (6)

( 1) ( )

f x    x f x với x (7)

Tiếp theo, thay y x vào phương trình (1) sử dụng (5) (6) (7) ta nhận

2 2

2x  1 f x(  1) f ( )x  f x( 1) (f x 1) f2( )x

2

(2x f x( )).( 2x f x( )) f ( )x

       

 

2f x 4x

  

Suy f x( ) x2 với x

2,0

Vậy có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu toán ( )

f x x với x f x( ) x2 với mọix

6

Cho tam giác nhọnABC, D điểm cạnhBC Trên cạnh AC AB, lấy điểm E F, choEDEC FD, FB Gọi I J K, , tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC BDF CDE, ,

a) Gọi H trực tâm tam giácJDK Chứng minh IJHK nội tiếp

b) Chứng minh D chuyển động trênBC, đường tròn ngoại tiếp tam giác

IJK qua điểm cố định khác I

7,0

6.a

Do tam giác FBD EDC, cân F E, nên JDJB KD, KC Ta có JDK1800 JDB KDC1800 IBC ICB BIC JIK Lại có H trực tâm tam giác JDK nên JHK 1800 JDK,

suy raJHK JIK1800 Vậy tứ giác IJHK nội tiếp

2,0

6.b

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau (bài toán Simson đảo)

Cho tam giác MJK Từ điểm L nằm tam giác Gọi B C D, , điểm đối xứng L quaMJ MK JK, , Giả sử B C D, , thẳng hàng Chứng minh MJLK tứ giác nội

Chứng minh bổ đề: Gọi giao BL DL CL, , với MJ JK KM, , làE G H, , Do , ,

B C D thẳng hàng  E G H, , thẳng hàng Tứ giác JGLE GHKL nội tiếp JLK ELH (g.g) JLK  ELH mà ELH  EMH 1800



180

JLK EMH

    MJLK nội tiếp (đpcm)

1,0

Quay trở lại toán:

Gọi M điểm cung BC đường trịn ( )O ngoại tiếp tam giácABC, L

điểm đối xứng với D quaJK

Ta có JIK  JDK JLK suy L(IJK)

1,0

Mặt khác, JLJDJB KL, KDKC nên LJB 2 LDB LKC , suy

BLJ CLK

   1,0

Ta thu

BLC JLK BIC JIK

       , suy L(BIC) hayMLMBMC Suy JM KM, trung trực củaLB LC,

1,0

Vậy điểm đối xứng với L qua cạnh tam giác JMK B C D, , Mà B C D, , thẳng hàng,

theo bổ đề suy LJMK nội tiếp Vậy (IJK) qua điểm M cố định (đpcm) 1,0

7

Cho đa giác A A1 2 A20 có 10 đỉnh đa giác tô màu xanh, 10 đỉnh cịn lại tơ màu đỏ Ta nối đỉnh với

a) Gọi a số đoạn thẳng nối hai đỉnh đỏ liên tiếp, b số đoạn thẳng nối hai đỉnh xanh liên tiếp Chứng minh ab

b) Xét tập hợp S gồm đường chéo A A1 tất đường chéo khác đa giác

mà có độ dài với Chứng minh tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu màu đỏ với số đường chéo có hai đầu màu xanh Gọi k số đường chéo có hai đầu màu xanh S, tìm tất giá trị có 𝑘

6,0

7.a

Ta chia dãy đỉnhA A1, 2, ,A20 thành cụm đỏ cụm xanh, đó:

 Cụm đỏ cụm đỉnh gồm đỉnh đỏ liên tiếp

 Cụm xanh cụm đỉnh gồm đỉnh xanh liên tiếp Giả sử ta có n cụm đỉnh xanh : X X1, 2, ,Xn (1 n 10 )

và x x1, 2, ,xn tương ứng số đỉnh xanh cụm (xi   1 i 1,n )

Nếu n1 , tức có cụm xanh hay 10 đỉnh xanh cạnh nhau, 10 đỉnh đỏ phải cạnh nhau, tức có cụm đỏ

Nếu n2 cụm điểm xanh nằm hai cụm đỉnh đỏ ngược lại cụm đỉnh đỏ

lại nằm hai cụm màu xanh nên số cụm đỉnh xanh số cụm đỉnh đỏ n Giả sử n cụm đỉnh đỏ là: D D1, 2, ,Dn d d1, 2, ,dn tương ứng số đỉnh đỏ cụm (di   1 i 1,n )

Do cụm Xi có xi đỉnh xanh cạnh nên có xi1 cặp đỉnh xanh liên tiếp Nên

1

( 1) ( 1) ( n 1) n 10

a x   x    x    x x  n n Tương tự b(d1  1) (dn 1) d1  dn n 10n Vậy ab (đpcm)

1,0

7.b

Trước hết, ta xét dãy đỉnh ( gồm tất 20 đỉnh):

1 10 13 16 19

2 11 14 17 20

3 12 15 18

A A A A A A A

A A A A A A A

A A A A A A A

     

      

      

(*)

Các đường chéo nối đỉnh liên tiếp dãy có độ dài với A A1 nên tất

đều thuộc S Ngoài ra, dễ thấy tất đường chéo thuộc Scũng tạo thành đỉnh

liên tiếp dãy

2,0

Tương tự câu a) ta chia dãy đỉnh (*) thành cụm đỏ cụm xanh, đó:

 Cụm đỏ cụm đỉnh gồm đỉnh đỏ liên tiếp dãy đỉnh (*)

 Cụm xanh cụm đỉnh gồm đỉnh xanh liên tiếp dãy đỉnh (*)

Và ta thu số cụm đỉnh xanh số cụm đỉnh đỏ, giả sử

(1 10)

m  m

1,0

Ta có số đường chéo có hai đầu màu đỏ tập S số đoạn thẳng nối hai đỉnh đỏ liên tiếp dãy (*) số đường chéo có hai đầu màu xanh tập S số đoạn thẳng nối hai đỉnh xanh liên tiếp dãy (*) Nên theo câu a) số đường chéo có hai đầu màu đỏ tập S số đường chéo có hai đầu màu xanh tập

Svà k10m , 1 m 10 nên k{0,1, , 9}