Kỹ thuật số mũ đúng và định lý LTE - Lê Phúc Lữ

Điều này đúng với mọi ước nguyên tố của abc nên từ đó suy ra abc phải là một lập phương đúng.. x Ta xét các trường hợp sau:..[r]

PHẦN KỸ THUẬT SỐ MŨ ĐÚNG VÀ ĐỊNH LÝ LTE

Cho số nguyên n p số nguyên tố, ký hiệu k v np( ) số mũ p n n chia hết cho k

p không chia hết cho k

p 

Quy ước vp(0) 

Các tính chất quan trọng:

 v abp( )v ap( )v bp( ), (v ap n) n v ap( )  v ap( )v bp( ),p b a|

 v ap( ) chẵn với p n số phương  v ap( b)minv a v bp( ), p( ), đẳng thức xảy v ap( )v bp( )  (Legendre) v np( !) n n2

p p

      

   



 v ap( nbn)v ap( b) p a| b a b n, , không chia hết cho p (đây phiên dễ định lý LTE) Nếu n lẻ đổi b b có v ap( nbn)v ap( b)

(Định lý LTE cho số p2) Cho hai số nguyên lẻ x, y thỏa mãn xy n số nguyên dương chẵn Khi đó:

       

2 2

n n

v x y v xy v xy v n 

(Định lý LTE cho số p lẻ) Cho hai số nguyên x, y; n số nguyên dương p số nguyên tố lẻ thỏa mãn:

| - ; | ; |

p x y px p y Ta có  n n    

p p p

v a b v a b v n Nếu n lẻ ta có v ap( nbn)v ap( b)v np( )

Bài 6.1 (Vĩnh Long) Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n để n| 2n1.

Lời giải

Ta cần chọn n3k với k theo định lý LTE

3(2 1) 3(2 1) 3( )

n

v  v  v n k

Suy n3 | 2k n 1

Bài 6.2 (Hà Nam) Cho q số nguyên tố lẻ đặt

2

(2 ) q (2 )! ((2 )!) q

A q  q  q

Chứng minh A có ước nguyên tố p2 q

Giả sử ngược lại ước nguyên tố p Q không vượt q Khi đó, rõ ràng

 2 | (2 )!, | (2 )! q

p q p q nên p| q

Từ suy p2 pq

Số Q có dạng 2m n

q với m n,  Theo định lý Legendre

2 2

2 1

((2 )!) 2

2 2 2

q q

v q     q     q

 

  vq((2 )!)q 2 q2 Từ suy 2

2 q (2 ) ,q

Q q  q vô lý

Vậy nên Q có ước nguyên tố lớn q

Bài 6.3 (Olympic Gặp gỡ Toán học) Cho a b c, , số nguyên dương mà a b c

b c a

    Chứng minh abc lập phương

Lời giải

Theo giả thiết, ta có 2

|

abc a cb ac b

Do tốn khơng thay đổi thay ( , , )a b c (ka kb kc, , ) nên khơng tính tổng qt, giả sử gcd( , , )a b c 1

Xét số p abc| đặt v ap( )x v b, ( )p  y v c, ( )p z ba số phải Ta giả sử x0 y z Khi v abcp( ) yz

2 2

( ) , ( ) , ( )

p p p

v a c z v b a  y v c b  zy

Nếu z2y 2yminz, , 2y zy nên y z 2y z y, mâu thuẫn Nếu z2y zminz, , 2y zy nên y z z, vơ lý

Do z2y vàa v abcp( )3 ,y chia hết cho Điều với ước nguyên tố abc nên từ suy abc phải lập phương

Bài 6.4 (Thanh Hóa) Tìm ba số ngun dương p n k, ,  thỏa mãn p số nguyên tố Fermat

    1 k

n

p n n (1) (Số nguyên tố Fermat số nguyên tố có dạng

2 x 1 với x số tự nhiên)

Lời giải

Nếu n1 (1) viết lại p2k 1 2  1 k 2;  1 p Nếu n2 Ta gọi r ước nguyên tố n

Từ phương trình ta suy pn1 mod n pn1 mod r Do  b r, 1 Đặt kord ( )p r k r| 1,n nên k| gcd(r1, )n   1 k Vì r p|  1 r| 2  r 2 | n

Ta có (1) pn 1 n1  n1k1 1 v2pn 1 v2n1k11 Nếu k1 lẻ

 

     2     

2 1 2 2

k n

v n   v n v p  v n  v p  mâu thuẫn, k1 chẵn Áp dụng định lý LTE, ta có

            

2 1 2 2

k n

v p  v n   v p v p v n v k

Nếu v k2  1 v2p  1 p |kn1k  n mod p (theo định lí Fermat nhỏ) Tuy nhiên theo (1) nn1k  n mod p, vơ lý Do

           

2 1 2 2 2 mod

v k v p  v p v  v n  n

Nếu p5  

2 x      1 x p mod nên 4(mod 5)

n

p  4n(n1) (mod 5).k

Mà 4 n n1 mod 5  k 1 mod 4  nên k3 mod 4   4 n n1 3 mod 

Với n0 mod 5    4 n n 133 mod 5  mâu thuẫn, tương tự với trường hợp:

       

1 mod ; mod ; mod ; mod

n n n n dẫn đến mâu thuẫn

Vì nên n 4 n1 3 mod  Ta loại trường hợp p5 Tiếp theo, Nếu p5 2 Khi 3v n2  2 v k2 1  Do

     

2 2 2 2; 1

v n  v n  v k 

Ta có 5n n n1k Với n  2 k Còn với n3, gọi q ước nguyên tố lẻ n  1

| 5n q 24 | 3

q      q  q  n mod 6  Kết hợp với

       

2 mod 5n mod13 1 k mod13

n      n n Lại áp dụng định lý LTE, ta có

        

3 1 3 3 |

2 k

n n

Ta có k3 mod 4  k mod 12   Theo định lí Fermat nhỏ suy ra:

   7       

1k 1 mod 13 1 mod 13 mod 13 ,

n  n   n     n n  n vô lí (vì với 13 |n5n1 mod 13 , mâu thuẫn 5n 5 mod 13 )

Vậy nên tất số cần tìm p n k, ,   3,1, ; p n k, ,   5, 2, 

Bài 6.5 (Kiểm tra đội tuyển Vĩnh Phúc) Tìm tất số nguyên dương n cho  n! n chia hết  

1 !

n 

Lời giải Với số nguyên tố p số nguyên dương q ký hiệu p q số mũ p phân tích tiêu chuẩn thừa số nguyên tố q!

Đầu tiên ta chứng minh n4 n p số nguyên tố    

!n | !

n  n 

Thật vậy,

 Nếu n4  4    

2 4! 24 4.3 12 11 !

        ,    

!n | !

n  n 

 Nếu n p      

2

! n ! 1 !

n n n n n n n n

           

!n | !

n  n 

Tiếp theo, ta chứng minh n4 n p    

! |n !

n n 

Gọi p ước nguyên tố n Ta chứng minh    

p ! p !

n n  n  Gọi d

n p k với *  

, , ,

k dN k p  đưa

       2  2  2

p ! p ! p ! p ! p p !

n n  n   n n  n  n  n  d

* *

2

2

d d

d

j j

j N j N

p k p k

d p k

p p

 

   

     

   

 

Nhưng ta có

* * * *

2d d d d

d d d

j j j j

j N j N j N j N

p k p k p k p k

p k p k p k

p p p p

   

  

     

          

     

 

       

   

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2 d

d

j j N

p k

p k d

p



      

 

 

 

Hay cần chứng minh

2

1

2 d

d d

j j d

p k

p k d

p

 

      

 

 

 



1

2 d

d

j j

k

p k d

p



      

 

 

 

 Nhận xét: *

,

x yN x không chia hết cho ythì y

x x

       Từ đó, ta có

1

1

1

d d d

d d s

j j

j j s

k

p k p k p k

p p



  

    

         

     

   

 

    

1

2

0

1 d

s d

s

p k k p p p



 

     

Cuối cùng, dễ dàng chứng minh:  1

1 d

k p p p  d

    quy nạp  Nếu d 0 bất đẳng thức

 Nếu d 1, phải có k 2( ngược lại n số nguyên tố) BĐT

 Nếu d 2, ta cần chứng minh k1 p4 Nếu p2 k2 (ngược lại

n ) bất đẳng thức đúng, p3

 Nếu d 3,  1

1 d 2 2d 2d