A.. PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN I.. Cho biểu thức:.. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và BC.. b) Kẻ từ A các đường thẳng AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài [r]
(1)ĐÁP ÁN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ I LỚP BÀI TẬP CƠ BẢN
A TRẮC NGHIỆM Câu B
Câu D Câu 3. C Câu 4 B Câu B Câu D Câu A Câu A Câu B
Giá trị 2 2
P=cos 30 +cos 40 +cos 50 +cos 60 Ta có: Cos300 =Sin60 ; Cos400 =Sin500
Thay vào ta có: 2 2
P=Sin 60 +Sin 50 +Cos 50 +Cos 60
2 2
P=(Sin 50 +Cos 50 ) (Sin 60+ +Cos 60 ) = + =
Câu 10 Một cột đèn có bóng dài mặt đất 8m Các tia sáng mặt trời tạo mặt đất góc xấp xỉ 45 độ Chiều cao cột đèn (làm tròn đến hàng phần mười) là:
A 7,5m B 8m C 6m D 9m
Hướng dẫn:
(2)
B PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN I ĐẠI SỐ
Bài So sánh
a) < b) < c) < d) 2> 17 Bài Tính giá trị biểu thức sau:
a) 81 16
3 −2 b)
1 25 9−5 16
c) 0, 0, 04+5 0, 36 d) 0,5 0, 09 0, 25
4
− +
Hướng dẫn :
a) 2.9 1.4
3 −2 = − = b)
1 2 1
2
−
− = − =
c) 0, 5.0, 5.0, 6+ =3,1 d) 0,5.0,3 2.0,5
2 20
−
− + =
Bài 3. Xác định giá trị x để thức sau có nghĩa:
a) x−2 b)
3x 1− c) x
x −
− d)
2
x −8x 9−
Hướng dẫn:
ĐKXĐ:
a) x− 2 x b)
2
0
3x x
3x
3
3x
− −
−
c)
x x
(x 6)(x 2) x
0
x x
x x
x x 2
−
− −
−
−
(3)d) x2 8x (x 9)(x 1) x
x
− − − +
−
Bài 4. Tìm x, biết:
a) 2x+ =5 b) 2018x+2019 1− =0 c) 2x
3
+ = d) x2 −4x 13+ =3
Hướng dẫn: Bình phương hai vế a) x
2
−
= b) x= −1
c) x 13
= d) x=2
Bài 5 Tìm số x không âm, biết :
a) x 3 b) x− 5
c) 2x
− d) 2x−20184
Hướng dẫn:
a) x9
b) Vì x khơng âm nên x− 1 5nên bpt x− 5 vô nghiệm
c)
13
9 x
2x 8
4
1
2x x
2
−
−
1 13
x
2
d) 2x 2018 1009 x 1017 2x 2018 16
−
−
Bài Rút gọn biểu thức:
a) A= (4− 15)2 + 15 b) B= (2− 3)2 + (1− 3)2
c) C= 49 12 5− − 49 12 5+ d) D= 29 12 5+ − 29 12 5−
Hướng dẫn: Thực khai phương
a) A =
(4)c) C= 5− −2 5+ = −2
d) D= 5+ −3 3− =2 5+ −3 5+ =3 Bài Thực phép tính:
a) ( 45+ 20− 5) b) (3 5+ 7)(3 5− 7)
c) 50 24
3
+ −
d)
1 16
7 :
7
− +
Hướng dẫn:
a) (3 5+2 5− 5) 5=4 5=20 b) (3 5)2−( )2 =38
c) 50 24 10 12
3 + − = + − =
d) : 16: 7 : 4
7 − + = − + =7 7
Bài Rút gọn biểu thức: a) A 5a 15a
3
= với a0 b) B= 3a.48a b3
c) C= 7a 112a−8a với a0 d) D a (a4 b)2 a b
= −
− với a < b
Hướng dẫn:
a) A 5a
=
b) 2
B=12a b c) C=20a
d) 2
D a a b a (b a) a
a b a b
= − = − = −
− −
Bài Thực phép tính: a) 10 15
8 12 −
− b)
6 15 35 14
−
(5)c) 5 10
+
+ d)
15 5
3
− + −
− −
Đáp án:
a)
2 b)
21 −
c) 10
2 d)
5.( 1) 5.( 2) 5
5
2
3 2.( 2)
− + − = + =
− −
Bài 10 Rút gọn biểu thức: a) 28y A 7y
= với y0 b) B= x4+ −4 x x4+ +4 x2
c) C 2t 3t
3
−
= − với t0 d)
2
x 2x 2 D
x
− +
=
− với x
Đáp án:
a) A= 4y2 =2 y = −2y
b) B= ( x4+4)2−x4 = x4+ −4 x4 = 4=2 c)
2 t
t t
C
4 2
−
= = =
d)
2
(x 2) x
D
(x 2)(x 2) x
− −
= =
− + +
Bài 11 Trục thức thực phép tính:
a) A 15 12 ( 11)
6 6
= + − +
+ − −
b) B 15
3 3 3
= + +
− − − +
Hướng dẫn:
a) Trục thức phân thức có dấu ngoặc, sau thực phép nhân với ( 11)+ Ta kết quả: A=( 11)( 11)− + = −115
b) Trục thức phân thức có dấu ngoặc, sau thực phép nhân với
(6)Ta kết quả: B 1
2
+
= = +
Bài 12 Cho biểu thức M x x : 2 x
x x
x x x x
−
= + −
−
− +
với x0 x1
a) Rút gọn M b) Tìm x để M
2
= −
Hướng dẫn:
a) Thực quy đồng tính giá trị ngoặc, ta được:
x x x x x x x( x 1) x
M :
x x( x 1) ( x 1)( x 1) x 2x x
+ + + +
= = =
− + − + + −
b) x 2x x
2
x 1− = − + − = ( x+1)(2 x 1)− =0
Do x+ 1 1, x x x
− = = (thỏa mãn điều kiện)
Bài 13 Cho biểu thức A 15 x : x
x 25 x x
− +
= +
− + −
với x0 x25
Hướng dẫn:
a) A 15 x 2( x 5) x
( x 5)( x 5) x
− + − −
=
− + + =
x x
( x 5)( x 5) x x
+ −
=
− + + +
b) Vì x nguyên nên A nhận giá trị nguyên
x+1 nhận giá trị nguyên
x
+ ước
Mà x+ 1 nên x+ = =1 x (thỏa mãn)
Bài 14 Cho biểu thức E x : x
x x x x
= − +
−
− − +
a) Tìm điều kiện x để E có nghĩa b) Rút gọn biểu thức E
c) Tìm x để E >
d) Tìm m để có giá trị x thỏa mãn E x = −m x
(7)a) ĐKXĐ: x0; x1
b) E x 1: x x x x x
x x x x
+ + + − −
= = =
− +
c) E x x x
x
−
−
d) E x = −m x − = −x m x
x x m
+ − =
2
1 5
x m m
2 4
−
+ = +
Bài 15 Với x0 x1, cho biểu thức: 15 x 11 x 2 x P
x x x x
− − +
= + −
+ − − +
a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x=9 c) Tìm x để P
2
= d) Tìm x để P nhận giá trị nguyên
Hướng dẫn:
a) Quy đồng mẫu thức với mẫu thức chung là: ( x+3)( x 1)− Ta rút gọn được: P x
x − =
+ b) P 5.3 13
3
9
− − −
= = =
+
+
c) x 11 x x
2 121
x −
= = =
+
d) P x 17 5( x 3) 17
x x x
− − +
= = = −
+ + +
Vậy P nguyên 17
x+3 nhận giá trị nguyên x+3 ước 17
(8)a a a a
M :
1 a a a a a
+ + +
= − + +
+ − − − +
Với a0, a 4và a9
a) Rút gọn M b) Tìm a để M <
c) Tìm a để M > d) Tìm giá trị nhỏ M
Hướng dẫn:
a) Thực quy đồng rút gọn biểu thức dấu ngoặc ta được:
1 a
M :
1 a a a
−
= =
+ − +
b) M 0 a − 2 a Kết hợp với điều kiện xác định (đề cho) ta có kết luận: 0 a
c) M a a a
a −
− +
+ − 2 (vơ lí)
Vậy khơng có giá trị a cần tìm
d) M a
a a
−
= = −
+ +
Ta có 3
0
a+1 + = nên M − = −1 Dấu “=” xảy a =
Bài 17 Với x0, x9 x25, cho biểu thức:
25 x x x
A
x x 15 x x
− + −
= − +
+ − + −
a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh A2
Hướng dẫn:
a) Quy đồng mẫu thức với mẫu thức chung là: x+2 x 15− =( x+5)( x−3) Ta rút gọn A x
x + = −
(9)b) Vì x+ 3 3, x+ 5 với x thuộc điều kiện cho Vậy thương x x +
+ mang dấu dương Vậy A x
x +
= −
+ với x thuộc tập xác định Bài 18
a) Tính x, y hình vẽ sau:
Hướng dẫn:
a) Hình 1:
Áp dụng định lí Py- ta- go, ta có: BC= AB2+AC2 = 62+82 = 100=10(cm)
2
2 AB
AB BH.BC x 3, 6(cm)
BC 10
= = = =
y=10 3, 6− =6, 4(cm)
Hình 2:
2 2
y=BC= AB +AC = +7 = 74
5.7 35
x (cm)
74 74
= =
b) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB = 3cm, AC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH BC
(10)Áp dụng Py-ta- go ta tính được: BC = 5cm
AB
BH 1,8(cm)
BC
= = =
CH= −5 1,8=3, 2(cm)
3.4
AH 2, 4(cm)
5
= =
Bài 19 Cho tam giác ABC vuông A, C=300, BC = 10cm a) Tính AB, AC
b) Kẻ từ A đường thẳng AM, AN vng góc với đường phân giác ngồi góc B Chứng minh MN BC, MN = AB
c) Chứng minh tam giác MAB ABC đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng
Hướng dẫn:
a) AB BC.Sin300 10.1 5(cm)
2
= = = ; AC BC.Cos300 10
2
= = = (cm)
b) BM⊥BN (tính chất tia phân giác hai góc kề bù)
MBN 90
(11)Từ suy BMAN có góc vngAMBN hình chữ nhật
AMB NBM(c.g.c)
=
ABM NMB
=
Mà ABM=MBC(gt) nên NMB=MBC Suy MN BC(hai cặp so le nhau) Vì AMBN hình chữ nhật nên AB = MN (hai đường chéo hình chữ nhật)
Bài 20 Cho tam giác ABC có đường cao CH, BC = 12cm, B=600 C=400 Tính: a) Độ dài đoạn thẳng CH AC
b) Diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn:
a) Xét tam giác BHC vuông H Áp dụng hệ thức lượng tam giác, ta có:
0
CH BC.SinB 12.Sin60 12 3(cm)
= = = =
Xét tam giác AHC vuông H Áp dụng hệ thức lượng tam giác, ta có:
0
CH
CH AC.Sin 80 AC 10,55cm
sin80 sin80
= = =
b)
BH BC.cos 60 12 6(cm)
2
= = =
Tính ( )
2
2
2
0
6
AH AC CH 1,83cm
sin 80
= − = −
Diện tích tam giác ABC bằng: 1.CH.AB 1.6 3.(6 1,83) 40, 69cm2
(12)Bài 21 Cho tam giác ABC nhọn có BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng:
a b c
sin A =SinB =SinC
Hướng dẫn:
Kẻ đường cao AH, ta có: sin B AH;SinC AH
AB AC
= =
sin B AH AH AC b
:
sin C AB AC AB c
= = =
b c
sin B sin C
=
Tương tự: a b
sin A =sin B
Từ ta có: a b c
sin A =sin B =sin C
Bài 22 Cho tam giác vuông ABC vuông A, có cạnh AB = 12cm, cạnh AC = 16cm Kẻ đường cao AM Kẻ ME vng góc với AB
a) Tính BC, góc B, góc C b) Tính độ dài AM, BM
(13)a) Áp dụng định lí Py-ta- go cho tam giác ABC vng A Ta tính BC = 20cm Từ đó: sinB AC 16 0,8 B
BC 20
= = = xấp xỉ 530 C
xấp xỉ 0
90 −53 =37
b) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng ABC, đường cao AM Ta có:
AB.AC 12.16
AM 9, 6(cm)
BC 20
= = =
2
AB 12
BM 7, 2(cm)
BC 20
= = =
c) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AMB vng M, đường cao ME có:
AE.AB=AM (1)
Áp dụng Py-ta- go cho tam giác vuông AMC vng M có:
2 2
AM =AC −MC (2)
Từ (1) (2) suy ra: điều phải chứng minh
Bài 23 Cho tam giác cân A Vẽ đường cao AH, BK Chứng minh rằng:
2 2
1 1
BK =BC +4AH
(14)Ta có ABC cân A, đường cao AH đồng thời đường trung tuyến HB HC BC
= = (1)
Kẻ HI⊥AC, ta có HI đường trung bình BKC HI BK
= (2)
Lại có: AHC vng có đường cao HI
2 2
1 1
HI HC AH
= + (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có:
2 2 2
1 1 1
AH BK BC 4AH
BK BC
2
= + = +
(đpcm)
Bài 24 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = 10cm, BH = 5cm Chứng minh rằng: tanB = 3tanC
Hướng dẫn:
(15)2
2 AB 10
AB BC.BH BC 20(cm)
BH
= = = =
Do HC=BC−BH=20 5− =15(cm) AHB
vng có tan B AH AH
BH
= =
Tương tự: tan C AH AH
CH 15
= =
Do tan B AH AH: tan B tan C
tan C = 15 = =
Bài 25 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH Gọi M, N hình chiếu H lên AB AC
a) Chứng minh AM.AB=AN.AC b) Chứng minh AMN 2
ABC S
sin B.sin C
S =
Hướng dẫn:
a) AHB vuông H (giả thiết) có HM đường cao, ta có:
AH =AM.AB (hệ thức lượng) (1) Tương tự với AHC có đường cao HN, ta có:
2
AH =AN.AC (2)
Từ (1) (2) AM.AB=AN.AC (3)
b) Xét AMN ABC có A chung AM AC
(16)AMN ACB(c.g.c) ∽ AMN ACB S AN S AB =
(4) Ta có: H1=C (cùng phụ với H ) Xét ANH vng N, ta có:
1
AN=AH.sin H =AH.sin C (Vì H1=C)
2 2
AN AH sin C
= (5)
Xét AHB, ta có: 2
AH=AB.sin BAH =AB sin B
2 2 AH AB sin B
= (6)
Thay (5), (6) vào (4) ta có:
2 2
2 AMN 2 ACB
S AN AH sin C
sin Bsin C AH
S AB
sin B
= = =
BÀI TẬP NÂNG CAO Bài
a) Cho tan =3 Tính A cos sin
cos sin + = − b) Tính 2 sin cos B sin cos − =
biết tan =
Hướng dẫn:
a) Chia tử mẫu A cho cos, ta có :
1 tan
A
1 tan
+ +
= = = = −
− − −
b) Chia tử mẫu B cho cos2, ta có :
2
tan ( 3) 2
A
tan 3 3
− − −
= = = = =
Bài 2 Thực phép tính: a)
0
2 0 0
0
tan 52
A cos 55 cot 58 cos 35 tan 32
cot 38
(17)b)
0
2 0
0
2 cos 49
B sin 15 sin 75 tan 26 tan 64
sin 41
= + − +
Hướng dẫn:
a) Ta có: 2
cos 35 =sin 55 ; 0
cot 58 =tan 32 ; 0
cot 38 =tan 52 Do
0
2 0 0
0
tan 52
A cos 55 tan 32 sin 55 tan 32
tan 52
= − + + +
=
0
2
0
tan 52
cos 55 sin 55 1
tan 52
+ + = + =
b)
0
2 0
0
2 cos 49
D sin 15 sin 75 tan 26 tan 64
sin 41
= + − +
=
0
2 0
0
2sin 41
sin 15 cos 15 tan 26 cot 26
sin 41
+ − + = − + =
Bài 3. Giải phương trình:
a) x2−2x 1+ + x2−4x+ =4 b) 2x− +2 2x− +3 2x 13 2x+ + − =3 Hướng dẫn:
a) x 1− + − =x Ta sử dụng phương pháp xét khoảng để tìm giá trị: Với x1 ta có: x− + − = −2 x 3 2x= =3 x (thỏa mãn) Với 1 x ta có: x x− + − = =3 (vơ lí)
Với x2 ta có: x x− + − = 2 2x= =6 x (thỏa mãn) Vậy giá trị x cần tìm là: x 0;3
b) ( 2x 1)− + + ( 2x 3− +4)2 =5 Điều kiện xác định là: 2x x
2
− 2x 2x
− + + − + =
2 2x
− =
2x
− =
3 x
2
= (thỏa mãn)
Vậy giá trị cần tìm là: x
(18)Bài 4. Tìm u, biết:
a) 4u 20 u 9u 45
9
−
− + − − = b) 9u 16u 16 27 u
3 81
−
− − − + =
Hướng dẫn:
a) Điều kiện xác định: u 5 Thực khai phương ta có:
2 u 5− + u 5− − u 5− =4 u
− =
u
− =
u
=
Vậy giá trị cần tìm là: u=9 b) Điều kiện xác định:u1
2 u 1− − u u 1− + − =4 u 1− =4
u 1
− =
u
= (thỏa mãn)
Bài 5 So sánh: A=3 20 14 2+ +320 14 2−
B=2
Hướng dẫn:
3
A =40 (20 14 2)(20 14 2).A+ + −
3
A =40 8.A+ Khi
A −6A−40=0 (A−4)(A2+4A 10)+ =0
Vì A2+4A 10+ =(A+2)2+ 6 , A Vậy A – = nên A = Khi
A =64, B3 =8.9=72 Vậy AB
Bài 6. Tìm số thực x, y, z thỏa mãn đẳng thức:
x+ + + =y z x y 2− + − +6 z 3−
Hướng dẫn:
(19)(x 1) x 1 − − − + + (y 2) y 2− − − +4 + (z 3) z 9− − − + =0
2 2
( x 1)− − +( y 2− −2) +( z 3)− − =0 (*)
Vì bình phương số luôn lớn nên phương trình (*) có nghiệm khi:
x 1 x 2
y 2 y
z 12 z 3
− − = =
− − = =
=
− − =
(thỏa mãn)
Vậy giá trị cần tìm là: x=2; y=6; z=12
Bài 7 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P= x 1− + x−
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: x 3 Ta có P0 nên:
2
P = +2 (x 1)(3 x)− − (*)
P = +2 (x 1)(3 x)− − + =2 P
Vậy giá trị nhỏ P Dấu xảy (x 1)(3 x)− − = 0 x
x = =
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:
x x
(x 1)(3 x)
2
− + −
− − =
Vậy (*) suy ra:
P + =2 3 P
Vậy giá trị lớn P Dấu xảy x x− = − =x Bài 8 Chứng minh
2
2
2018 2018 A 2018
2019 2019
= + + + có giá trị số tự nhiên
Hướng dẫn:
Ta có: 20192 =(2018 1)+ =20182+2.2018 1+ +1 20182 =20192−2.2018
2
2
2018 2018 2018 2018
P 2019 2.2018 2019
2019 2019 2019 2019
= − + + = − +
(20)= 2019 2018 2018 2019
2019 2019
− + = (điều phải chứng minh) Bài 9. Cho x0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
A x 3x 2018
x
= − + +
Hướng dẫn:
2
A (x 4x 4) x 2014
x
= − + + + +
2
A (x 2) x 2014
x
= − + + +
(*)
Ta có: (x−2)2 0 x Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm x
x, ta được:
4
x x
x x
+ =
(*)A + +0 2014=2018
Vậy giá trị nhỏ A 2018 Dấu xảy x =
Bài 10. Tìm giá trị lớn biểu thức: 2
P= + +x y x y− +y x−
Hướng dẫn:
2
P= + +x y x y− +y x−
2
3P= 3(x+y)+x 3y− +y 3x−
2 2
x 3y y 3x
3(x y)
2
+ − + −
+ + +
= − +x2 3x−y2+ 3y 3+ =
2
3 9
x y
2 2
− − − − +
3 maxP
2
= x y
= =
Bài 11. Chứng tỏ x=35 13+ +35 13− nghiệm phương trình x3+9x 10− =0
(21)( )
3 3
x 13 13 (5 13)(5 13) 13 13
= + + − + + − + + −
3
x 10 27.x
= + −
3
x 10 9x
= −
3
x 9x 10
+ − =
Vậy x= 35 13+ +35 13− nghiệm phương trìnhx3+9x 10− =0
Bài 12. Chứng minh 31 84 31 84
9
+ + −
số nguyên
Hướng dẫn:
Áp dụng đẳng thức: (A+B)3=A3+B3+3AB.(A+B) Đặt x 31 84 31 84
9
= + + −
3 3
3
84 84 84 84 84 84
x 1 1
9 9 9
= + + − + + + − + −
= 2−x
3
x x
+ − = Hay (x 1)(x− 2+ +x 2)=0 Vì x2+ + x x nên x 1− = =0 x
Lưu ý: Ta làm tập phương pháp khai triển tính giá trị cụ thể
x tính x Để vận dụng tập nên tập giải theo phương pháp
Bài 13 Giải phương trình x2 2x x 3x x
+ − = +
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định:x 0; x x
−
Phương trình tương đương với:
x 3x 2x x
x
− − + − =
Vì x = khơng nghiệm phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho x:
1
x x
x x
(22)Đặt a x x
= − (a0) Khi phương trình (*) trở thành:
2
a +2a− =3 a
a = − =
Do a0 nên ta suy ra: a = x 1 x
− =
2
x x x
2
− − = − =
1 5
x x
2 2
1 5
x x
2 2
+
− = =
− − +
− = =
Bài 14 Cho x1, tìm giá trị nhỏ biểu thức:
T=2 x 1− + 3x −10x 11+
Hướng dẫn:
Ta có BĐT: Với a,b khơng âm 2
a+ b a +b (Dễ dàng chứng minh) Ta có: x 1− 0; 3x2−10x 11+ 0 nên:
2 2
T=2 x 1− + 3x −10x 11+ (2 x 1)− +( 3x −10x 11)+ = 4x− +4 3x2−10x 11+ = 3x2−6x+7
3(x 1) 4
= − + =
Dấu xảy
2
(2 x 1) 3x 10x 11
x x
− − + =
=
=
Vậy giá trị nhỏ T = x = Bài 15 Tính giá trị x y để biểu thức:
2 2
A= x −6x+2y +4y 11+ + x +2x+3y +6y+4 đạt giá trị nhỏ
Hướng dẫn:
2 2
A= (x −6x+ +9) 2(y +2y 1)+ + (x +2x 1) 3(y+ + +2y 1)+
= 2 2
(x−3) +2(y 1)+ + (x 1)+ +3(y 1)+
2
(x 3) (x 1)
(23)x x x x x x
− + + = − + + − + + =
Vậy Amin =4
2
(y 1)
y
(3 x)(x 1)
1 x
+ =
= − −
+
−