Đang tải... (xem toàn văn)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC. Chứng minh AEHF là hình chữ nhật. Cho tứ giác ABCD có hai đườ[r]
(1)
Võ Tiến Trình
1.Định nghĩa. Hình chữ nhật t Nhận xét Hình chữ nhật l
2.Tính chất
+ Hình chữ nhật có tất tính ch + Trong hình chữ nhật, hai đườ
3 Dấu hiệu nhận biết hình ch
+ Tứ giác có góc vng hình ch + Hình thang cân có góc vng hình + Hình bình hành có mộ
+ Hình bình hành có hai
4.Một số ví dụ
a) Ví dụ 1. Chứng minh đư điểm đỉnh c hiệu hai cạnh liên tiếp củ
toanth.net HÌNH CHỮ NHẬT
t tứ giác có góc vng
ũng hình bình hành, hình thang cân
các tính chất hình bình hành, hình thang cân ờng chéo cắt trung điể
t hình chữ nhật
giác có góc vng hình chữ nhật
+ Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật ột góc vng hình chữ nhật
+ Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật
ng đường phân giác hình bình hành giao nh hình chữ nhật, hình chữ nhật có đư
ủa hình bình hành
Giải
toanth.net
t hình thang cân
a hình bình hành, hình thang cân
ểm đường
(2)toanth.net
Võ Tiến Trình
Gọi MNPQ điểm giao đường phân giác hình bình hành ABCD
E la giao điểm phân giác góc B với AD F giao điểm phân giác góc D với BC
+ Xét tam giác ABE ta có : AEBEBC (so le trong)
EBC ABE (BE phân giác góc B)
AEB ABE
ABE
cân A
Mà AM phân giác góc A nên AM BE (1) Chứng minh tương tự ta có CPDF (2)
+ Xét hai đương thẳng BE DF ta có
1 2
EBC ABC (BE phân giác góc B)
1 2
DFC FDC ADC
Mà ABC ADC (hai góc đối hình binh hành)
/ /
EBC DFC BE DF
Mà AM BE AM DF (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy tứ giác MNPQ có góc vng nên hình chữ nhật
+ Tam giác ABE cân A có AM phân giác nên AM đương trung tuyến, M trung điểm BE
Tương tự ta có P trung điểm DF
(3)
Võ Tiến Trình
tứ giác BMPF hình bình hành Tam giác CDF cân C nên
Do : MP BF CBCF CBCD
b)Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD K trung điểm BH, F trung điểm CD Ch
Gọi P trung điểm AH
Xét tam giác HAB ta có BE đư Vì AB ADPE AD
Xét tam giác ADE có AH EP hai đư
DP AE
Ta lại có : / / ; 1 / / ,
2
PE AB PE ABPE DF PEDF
tứ giác PEFD hình bình hành
/ /
DP FE
FE AE
(điều phả
toanth.net
giác BMPF hình bình hành MPBF
i C nên CDCF
MP BF CBCF CBCD (điều phải chứng minh)
t ABCD Kẻ AH vng góc với BD (H thuộc BD) G m CD Chứng minh AE vng góc EF
Giải
Xét tam giác HAB ta có BE đường trung bình nên / / , 1 2
EP AB EP AB
AB ADPE AD
Xét tam giác ADE có AH EP hai đường cao nên P trực tâm
1
/ / ; / / ,
2
PE AB PE ABPE DF PEDF
giác PEFD hình bình hành
ải chứng minh)
toanth.net
c BD) Gọi E
1 2
(4)toanth.net
Võ Tiến Trình
5 Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Gọi E, F hình chiếu vng góc H lên AB, AC Chứng minh AEHF hình chữ nhật
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh MNPQ hình chữ nhật
Bài 3. Chứng minh hình thang vng có hai cạnh bên hình chữ nhật
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F chân đường vng góc kẻ từ H lên AB, AC
a) Chứng minh EAFH hình chữ nhật
b) Qua A kẻ đường thẳng vng góc với EF, cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC
Bài Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh huyền BC Gọi D, E chân đường vng góc kẻ từ M lên AB, AC
a) Chứng minh AM = DE
b) Gọi I trung điểm DE, chứng minh I thuộc đường thẳng cố định c) Tìm vi trí M BC để DE nhỏ
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC Gọi M, N, P , Q theo thứ tự trunng điểm DE, BE, BC, CD Chứng minh MQ = NP
Bài 7. Cho tam giác ABC Lấy D, E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho
.
BDCEBC Gọi O giao điểm BE CD Qua O kẻ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh ABCK
(5)toanth.net
Võ Tiến Trình
Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với điểm E đường chéo BD, tia đối EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vng góc với AB
AD Chứng minh rằng:
a)Tứ giác AHFK hình chữ nhật
b)AF song song với BD KH song song với AC
c)Ba điểm E, H, K thẳng hàng
Bài 10. Cho tam giác ABC nhọn, BD, CE đường cao, H, K hình chiếu B, C lên DE
a) Chứng minh EH = DK
b) Tam giác ABC cần điều kiện để tứ giác BCKH hình chữ nhật
Bài 11. Cho tam giác ABC H trực tâm Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC CA Gọi D, E, F trung điểm đoạn HA, HB HC
a) Chứng minh tứ giác MNFD MEFP hình chữ nhật
b) Để đoạn MD, ME DP tam giác ABC phải tam giác gì?
Bài 12. Cho tam giác ABC Gọi P, Q theo thứ tự hình chiếu A lên tia phân giác ngồi góc B R, S theo thứ tự hình chiếu A lên tia phân giác ngồi góc C
a) Chứng minh tứ giác APQB, ARCS hình chữ nhật b) Chứng minh P, Q, R, S thẳng hàng
c) So sánh QS với chu vi tam giác ABC
Bài 13. Cho tam giác ABC, trung tuyến BM CN cắt G Gọi P điểm đối xứng M qua G, gọi Q điểm đối xứng N qua G
a) Tứ giác MNPQ hình ? sao?
b) Nếu tam giác ABC cân A tứ giác MNPQ hình ?
(6)toanth.net
Võ Tiến Trình
lấy HD = HA, đường vuông góc BC D cắt AC E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M trung điểm BE Tính số đo góc AHM ?
Bài 15. Cho hình thang ABCD (AB // CD AB < CD) M điểm cạnh đáy AB Gọi E, F trung điểm AC BD Vẽ H điểm đối xứng với M qua E K điểm đối xứng với M qua F Chứng minh
a) H, K, C, D thẳng hàng
b) M di động HK có độ dài khơng đổi
Bài 16. Cho tam giác ABC điểm M tùy ý tam giác Gọi D, E, F trung điểm BC, CA, AB Gọi H, I, K điểm đối xứng M qua D, E, F Chứng minh
a) AH, BI, CK đồng qui
b) M di động AB đường thẳng OM ln qua điểm cố định
Bài 17. Cho tam giác ABC vuông A AC = 3AB Trên cạnh góc vng AC lấy điểm D và E cho AD = DE = EC Tính ACB AEB
Bài 18. Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH BD Trung điểm DH I Nối AI Kẻ đường thẳng vng góc với AI I cắt cạnh BC K Chứng minh K trung điểm cạnh