a/ Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.[r]
(1)HỆ THỨC VI-ET ( Phần 1)
Công thức hệ thức Vi-Et Ghi chú
Cho phương trình :
ax2 + bx + c = ( a ≠ )
Nếu x x1, nghiệm phương trình
Thì
1 2
b x x a c x x a Hoặc đặt 2
b
S x x
a c P x x
a
Ví dụ Giải
VD1 : Cho phương trình : x2 – 6x + = 0
a/ Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt
b/ Khơng giải phương trình, tính :
2 2 * x 3 * x x x
a/ x2 – 6x + = 0
( a = 1; b = -6; c = ) ∆ = b2 – 4ac
= (-6)2 – 4.1.8
= >
Phương trình có nghiệm phân biệt.
b/ Áp dụng hệ thức Vi-Ét, ta có :
2 ( 6) b
S x x
a c P x x
a
Tính : x12x22
2 2
1 1 2 2
1 2
2
x 2
= =S
=(6) 2.8 =20
x x x x x x x
x x x x
P
Tính :
3
x x
2
1 2 1
3 3( )
3 3 3.6
8
x x x x S x x x x x x x x P
(2)VD2 : Cho phương trình:
x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn:
2 2 x x
a/ x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
( a = ; b = -(2m-3) ; c = m2 – 3m )
∆ = b2 – 4ac
=
2 2
2m 4.1.(m )m
= (2m – 3)2 – 4(m2 – 3m)
= 4m2 – 12m + – 4m2 + 12m
= >
Phương trình có nghiệm phân biệt với
mọi m
Áp dụng hệ thức Vi-Ét, ta có :
1
2
2
2
2
3
1
b m
S x x m
a
c m m
P x x m m
a
b/ Ta có :
2 2 9
x x
2 2 9
S P
2
(2m 3) 2(m ) 9m
2
2m 6m
2 (m m 3)
m = m = 3
Vậy Khi m = 0; m = x12x22 9
VD3: Cho phương trình
x2 2mx m 2 0 (x ẩn số)
a/ Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b/ Tính tổng tích theo m
c/Gọi x1, x2 nghiệm phương
trình Tìm m thỏa : x12x22 x x1 7
2 2 2 0
x mx m
( a = 1; b = -2m ; c = m – ) ∆ = b2 – 4ac
= (-2m)2 – 4.1.(m – 2)
= 4m2 - 4m + 8
= 4m2 – 4m +1 + 7
= ( 2m – 1)2 + > với m
Phương trình có nghiệm phân biệt với
mọi m
b/ Áp dụng hệ thức Vi-Ét, ta có :
1 2
2
b
S x x m
a c
P x x m
a
(3)c/ Ta có : x12x22 x x1 7
S2 2P P 7
S2 3P7
2 2
(2 ) 3(m 2) m
4
m m m m
m = m =
1
Vậy m = ; m =
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1 : Cho phương trình :
x2 – 5x + = 0
a/ Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt b/ Khơng giải phương trình, tính :
2 2
1 2
* x 5 *
x x x x x
x x
Bài 2 : Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = 0
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa :2(x12 + x22) – 5x1x2 = 27
c) Tìm m cho phương trình có nghiệm lần nghiệm Bài 3: Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) C/m phương trình ln có nghiệm x1, x2 với m
b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
Bài 4: Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x).
a/ Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với
mọi giá trị m
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện :
2 2
(4)Bài 5: Cho phương trình x2 2mx m 2 0 (x ẩn số)
a/ Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1, x2 nghiệm phương trình
Tính theo m giá trị biểu thức A = 12 22
24
x x x x
Bài : Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
a/ Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với
giá trị m
b/ Tìm giá trị m để biểu thức A = x12x22 đạt giá trị nhỏ
Bài 7: Cho phương trình (ẩn số x):
2 4 3 *
x x m
a/ Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m b/ Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1, thỏa x2 5x1
Bài 8: Cho phương trình : x2 – 2(m – 3)x – = 0
a) Giải phương trình m = b) CM pt có nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ
Bài : Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - =
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào a
c) Tìm m để : x12 + x22 =
Bài 10: Cho phương trình: x2 2(m1)x 2m 0 (1) (với ẩn x) a/ Giải phương trình (1) m=1
b/ Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m
c/ Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1; x2 Tìm giá trị m để x1; x2là độ