Một giao điểm được gọi là "tốt" nếu như về hai phía của mỗi đường thẳng đi qua nó, còn ít nhất một giao điểm khác.. Tìm giá trị nhỏ nhất của số điểm tốt...[r]
(1)Bài tập tổng hợp ôn thi TST Thầy giáo Trọng Tuấn
Lời giải thực INFINITI TEAM
Đề đăng diễn đàn "Hướng tới Olympic tốn học" [1] Bài Tìm tất hàm số f :R→R thỏa mãn f(0) =
f(2x+y+f(x+y)) +f(xy) = yf(x) với x, y ∈R Lời giải
Với cặp số thực (u, v), gọi P(u, v) phép x =u, y =v vào phương trình ban đầu XétP(−1,1)ta có f(−1) = nên xétP(1,−1)thì f(1) = Sau đó, xét P(1,2x−3 +f(x−1)) ta có
f(2x−1 +f(x−1) +f(2x−3 +f(x−1))) +f(2x−3 +f(x−1))
Kết hợp vớiP(x−1,0)vàP(x−2,1)để có f(2x−2 +f(x−1)) =f(2x−3 +f(x−1)) =
thì = f(2x−1 +f(x−1)) = −f(x)−f(−x) hay f(−x) = f(x) hay f hàm lẻ Từ đó, xét P(1, x) P(−1,−x) ta đưa
(x+ 1)f(x) = (−x+ 1)f(x)
nên f(x) = với x6= f(0) = 0nên f(x) ≡ nghiệm hàm toán
Bài Với số nguyên dương n, xét đa thức nhị phân P(x) = n
X
i=0
aixi, ∈ {0,1} ≡ Cni (mod 2) Hỏi có số n ≤2020 cho đa thức P(x) phân tích thành tích đa thức hệ số nguyên bất khả quy?
Lời giải
Bổ đề (Định lý Lucas [2]) Với số nguyên không âm m n số nguyên tố p, ta có quan hệ đồng dư sau
Cmn ≡
k
Y
i=0
Cni
mi (mod p),
trong
m=mkpk+mk−1pk−1+ +m1p+m0,
và
n=nkpk+nk−1pk−1+ +n1p+n0
lần lượt khai triển theo số p m n Ở quy ước Cmn = m < n
(2)Với số nguyên dương n, xét khai triển hệ nhị phân củan là2s1+ 2s2+ + 2sk thì
gọi Sn ={2s1,2s2, ,2sk} Theo bổ đề trên, = S(i)⊂S(n) Do đó, ta có
rằng
P(x) = X i|Si⊂Sn
xi = Y j=1,k
(xj + 1)
Ta thấy xj + đa thức hệ số nguyên bất khả quy nên toán tương đương với |Sn| = hay hệ nhị phân, n có chữ số Mà (2020)10 = (11111100100)2 >
(11111000000)2, có 11 chữ số nên ta có số số n ≤2020 cần tìm C115
Bài
a Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn a!b!|c! Chứng minh 2a+b−c−2 ≤c2
b Với k số nguyên dương, gọi x tổng ước số 2k
! Chứng minh x có ước nguyên tố lớn 2k.
Lời giải (thầy Lê Phúc Lữ)
a Đánh giá số mũ 2ở hai vế điều kiện, ta cóv2(a!) +v2(b!)≤v2(c!) Theo cơng thức
Legendre thìv2(n!) =n−s2(n), với s2(n) tổng chữ số củan hệ nhị phân
Ngoài ra, ta có số lượng khơng vượt qk chữ số nviết hệ nhị phân, tức làs2(n)≤k ≤log2(n) + Từ suy
a−s2(a) +b−s2(b)≤c−s2(c)
hay
a+b−c−2≤s2(a) +s2(b)−s2(c)−2≤log2(a) + log2(b)≤log2(c2)
Do ta có 2a+b−c−2 ≤c2.
b theo cơng thức Legendre v2 2k
!
= 2k−s
2 2k
= 2k−1.
Ta biết pa | n thì pa+1−1
p−1 |σ(n) Áp dụng với p = 2, a=
k−1, n = 2k
! ta có
22k −1|σ 2k!
Suy 22k−1 + 1|x Ta có bổ đề quen thuộc sau lý thuyết cấp: Số Fermat Fn = 22
n
+ có ước ngun tố pthì p≡1 (mod 2n+1).[3]
Áp dụng vào bài, suy số 22k−1 có ước nguyên tố p≡1 (mod 2k) nên p >2k, ước nguyên tố x
(3)Lời giải
Ta có định nghĩa sau
Một giao điểm gọi "xấu" khơng "tốt"
Hai giao điểm gọi liền kề đường thẳnglnếu chúng khơng có giao điểm khác
Một giao điểm gọi "mút" đường thẳng l liền kề với giao điểm l
Xét đồ thị G(V, E) gồm đỉnh giao điểm nối với đoạn thẳng chúng liền kề đường thẳng ban đầu Khi đó, G có |V| = Cn2
|E|=n(n−2) Ta dễ thấy rằng, bậc đỉnh 2,3,4 (đỉnh giao điểm tốt có bậc 4) Gọi si số đỉnh có bậci Ta có bổ đề sau
Bổ đề (Bổ đề bắt tay [4]) Cho đồ thị vơ hướng G(V, E) ta có
X
v∈V
degv = 2|E|
Từ bổ đề trên, ta có mối quan hệ sau
s2+s3+s4 =Cn2
và
2s2+ 3s3+ 4s4 = 2n(n−2)
Từ đó, ta dễ có
s4−s2 =
n2−5n
Tiếp đến, ta thấy rằng, tồn đồ thị đa giác lồi P có đỉnh giao điểm mút cho phủ lấy giao điểm lại Dễ thấy bậc chúng nên s2 ≥ Do
s4 ≥ n
2−5n+6
2 Ta chứng minh giá trị nhỏ toán
Tài liệu
[1] Bài tập tổng hợp ôn thi TST dành cho đội Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh thầy Trọng Tuấn, 2020
https://www.facebook.com/groups/vmo.tst/?post_id=591766828204118
[2] Định lý Lucas, Fran¸cois Édouard Anatole Lucas, 1878
https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27s_theorem
[3] 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Krizek, Florian Luca, Lawrence Somer, 2001
[4] Định lý bắt tay, Leonhard Euler, 1736