De toan vao lop 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TIN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ MÔN THI: TOÁN – NĂM HỌC: 2009-2010 ĐỀ ĐỀ XUẤT Thời gian làm bài: 150 phút -------- ------------------ Bài 1: ( 2 điểm) Cho biểu thức A = yxxyyx xyx yx x −−+ + + + a) Tìm điều kiện của x; y để biểu thức A có nghĩa. b) Rút gọn A. c) Tìm các giá trị nguyên của x; y để A có giá trị nguyên. Bài 2: ( 1,5 điểm) Giải phương trình: x x x x x =−+− 22 2 496496 Bài 3: (1,5 điểm) Cho hàm số (P): y = x 2 và (d): y = (2m – 1) x + 2 – m 2 a) Trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đồ thị hàm số (P) và (d) khi m = 2. Xác định toạ độ giao điểm. b) Xác định m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x 1 ; x 2 thoả mãn 2 1 x + 4 2 2 = x . Bài 4: (2,5 điểm) Trên đường thẳng a không cắt đường tròn (O) lấy điểm M. Từ M lần lượt kẻ các tiếp tuyến MA; MB (A; B là tiếp điểm) và cát tuyến cắt (O) tại C và D (C nằm giữa M; D). a) Khi M cố định trên đường thẳng a, chứng minh MC.MD không đổi. b) AC cắt BD tại E. Tìm điều kiện của cát tuyến sao cho tứ giác AMED nội tiếp. c) Tìm quỹ tích trung điểm của MO khi M di động trên a. Bài 5: (1,5 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O ′ ) cắt nhau tại A và B và O thuộc ( O ′ ). Dãy OC của ( O ′ ) cắt ( O ) tại D. Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài 6: ( 1 điểm) Một học sinh viết các phân số thành các nhóm theo một quy luật như sau: . 2 6 ; 3 5 ; 4 4 ; 5 3 ; 6 2 ; 7 1 ; 2 5 ; 3 4 ; 4 3 ; 5 2 ; 6 1 ; 2 4 ; 3 3 ; 4 2 ; ;5 1 ; 2 3 ; 3 2 ; 4 1 ; 2 2 ; 3 1 ; 2 1                                     Hãy phát biểu quy luật đó và phân số 2011 2010 thuộc nhóm có số thứ tự là bao nhiêu và nhóm đó có bao nhiêu phân số? SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TIN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ MÔN THI: TOÁN – NĂM HỌC: 2009-2010 ĐỀ ĐỀ XUẤT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ------- ------------------ Bài Câu Nội dung Điểm 1 2 điểm 1a ( )( ) 1xyyxyxxyyx −+=−−+ Điều kiện: x 0 ≥ ; y 0 ≥ ; x, y không đồng thời bằng 0 x.y 1 ≠ 0,25 điểm 0,25 điểm 1b A = ( )( ) 1xyyx xyx yx x −+ + + + = ( ) ( )( ) 1xyyx xyx1xyx −+ ++− = ( )( ) ( ) ( )( ) 1xy xy 1xyyx yxxy 1xyyx xyyx − = −+ + = −+ + 0,5 điểm 1c A = 1xy 1 1 1xy xy − += − Để A ∈ Z thì 1xy 1 − ∈ Z ⇔ 1 ( ) 1xy −  ⇔ [ 11xy 11xy −=− =− ⇔ [ 0xy 2xy = = Vì x; y ∈ Z nên x = 1 thì y = 2 ; x = 2 thì y = 1 x = -1 thì y = -2 ; x = -2 thì y = -1 hoặc x = 0 hoặc y = 0 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 2 1,5 điểm TXĐ = {x/x 622 ≥ } Biến đổi phương trình đã cho thành 2 2 x 496 x − = x - 2 x 496 x − ⇔ x 2 - 2 x 496 = x 2 – 2x 2 x 496 x − + x - 2 x 496 ⇔ 2 x 496 x − = 2 1 ⇔ 4x 3 – x 2 – 1984 = 0 ⇔ (y – 8) (4x 2 + 31x + 248) = 0 ⇔ [ 0248x31x4 08x 2 =++ =− ⇔ x = 8 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 3 1,5 điểm 3a Vẽ chính xác đồ thị hàm số (P): y = x 2 và (d): y = 3x – 2 Xác định đúng toạ độ giao điểm (1 ; 1) ; (2 ; 4) 0,5 điểm 0,25 điểm 3b Ta có: x 2 – (2m – 1) x + m 2 – 2 = 0  = (2m – 1) 2 – 4 (m 2 – 2) = - 4m + 9 Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì:  > 0 ⇔ m < 4 9 Theo hệ thức Viet ta có: x 1 + x 2 = 2m – 1 ; x 1 .x 2 = m 2 – 2 2 2 2 1 xx + = 4 ⇔ (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = 4 ⇔ (2m – 1) 2 – 2 (m 2 – 2) = 4 ⇔ 2m 2 – 4m + 1 = 0 ⇔ 4 224 m + = ; m = 4 224 − Vì 4 224 + < 4 9 và 4 224 − < 4 9 . Vậy với m = 4 224 + hoặc m= 4 224 − thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x 1 ; x 2 thoả mãn 2 2 2 1 xx + = 4 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 4 2,5 điểm 4a Do M thuộc a và M cố định; (O) cố định nên: MA = MB không đổi Xét ∆ MAC và ∆ MDA Có M ˆ chung MD ˆ A = CA ˆ M (cùng chắn cung AC) Do đó: ∆ MAC ~ ∆ MDA ⇒ MD MA MA MC = ⇒ MC.MD = MA 2 không đổi 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 4b Giả sử tứ giác AMED nội tiếp. Khi đó DM ˆ A = DE ˆ A (cùng chắn cung AD) K I A M D O C H B E a A O O ′ B D C Mà đối với đường tròn (O): sđ DM ˆ A = 2 1 (sđ A D – sđ AC) (góc có đỉnh bên ngoài (O)) sđ DE ˆ A = 2 1 (sđ AD – sđ CB) (góc có đỉnh bên ngoài(O)) Nên AC = CB hay C là điểm chính giữa cung AB. Do đó cát tuyến MCD qua O. Vậy để tứ giác AMED nội tiếp thì cát tuyến MCD đi qua O. 0,5 điểm 0,25 điểm 4c Gọi I là trung điểm của MO. Từ O kẻ OH ⊥ a ( H ∈ a ) Gọi K là trung điểm của OH. Khi đó CK // a Do O cố định; a cố định nên OH cố định, suy ra K cố định và đường thẳng CK cố định Vậy khi M di động trên a thì quỹ tích trung điểm I của MO là đường thẳng song song với a và đi qua trung điểm K của OH ⊥ a 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 5 1,5 điểm Đối với (O): DO ˆ A = 2 . DB ˆ A (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AD) Đối với ( O ′ ): CO ˆ A = CB ˆ A ( cùng chắn cung AC) Nên CB ˆ A = 2. DB ˆ A Hay BD là phân giác của CB ˆ A . Tương tự: DO ˆ B = 2. DA ˆ B (góc ở tâm và góc nội tiếp chắn cung BD) CO ˆ B = CA ˆ B (cùng chắn cung BC) Do đó CA ˆ B = 2. DA ˆ B nên AD là phân giác của CA ˆ B Vậy D là giao điểm hai đường phân giác của ∆ ABC Hay D là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 6 1 điểm *Số phân só ở mỗi nhóm bằng số thứ tự của nhóm đó *Ở mỗi nhóm có tổng tử và mẫu các phân số bằng nhau *Ở mỗi nhóm, phân số cuối cùng có mẫu luôn bằng 2 và tử số là số phân số của nhóm đó. Do đó phân số 2011 2010 sẽ thuộc nhóm có các phân số tổng tử và mẫu là : 2010 + 2011 = 4021 nên các phân số tận cùng của nhóm này là: 2 4019 và nhóm này có 4019 phân số. 0,5 điểm 0,5 điểm . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TIN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ MÔN THI: TOÁN – NĂM HỌC: 2009-2 010 ĐỀ ĐỀ XUẤT Thời gian làm bài: 150 phút. và phân số 2011 2 010 thuộc nhóm có số thứ tự là bao nhiêu và nhóm đó có bao nhiêu phân số? SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TIN QUỐC