Giám thị không giải thích gì thêm... Chứng minh rằng:.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đê ĐỀ THI CHÍNH THỨC
1
5
x x
P
x x x x
-
-= - +
- + - - Câu 1.(5,0 điểm) Cho biểu thức. a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P
b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P c) Tìm số nguyên x để P có giá trị nguyên Câu 2.(3,0 điểm)
0
x+ + =y z x3+y3+ =z3 3xyz
a) Cho x, y, z số thực thỏa: Chứng minh
( )3 ( )3 ( )3
1005- x +1007- x + - 2012x =0b) Giải phương trình:
2 2
2
2
x y m
x y y x m m
ì + = +
ïï
íï + = -
-ïỵ Câu 3.(5,0 điểm) Cho hệ phương trình: , với m tham số.
a) Giải hệ phương trình với m =2
b) Chứng minh hệ ln có nghiệm với m
· 600
EDF= Câu 4.(4,0 điểm) Cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh AB, BC, CA
lần lượt lấy điểm D, E, F cho D không trùng với A, B a) Chứng minh AF.BE = AD.DB
2
4 a AF BE
b) Chứng minh Điểm D vị trí dấu đẳng thức xảy ra?
DA K ACâu 5.(3,0 điểm) Cho đường trịn (O;R), đường kính AB Gọi C trung điểm OB, O’ tâm đường trịn đường kính AC Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) D () cắt đường tròn (O’) K () BK cắt CD H
HC
CD a) Tính tỷ số
b) Khi d quay quanh A, điểm H chạy đường nào? -Hết
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi : TOÁN (chuyên)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Gồm có 04 trang)
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi
3- Điểm tồn thi khơng làm trịn số
II- Đáp án thang điểm:
Câu Đáp án Điểm
1
5
x x
P
x x x x
-
-= - +
- + - - Cho biểu thức 5,00 đ
a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P
0
5
2 x
x x
x x
ì ³ ïï
ïï - + ¹
ïï Û íï
- ¹
ïï
ïï - ¹
ïỵ P xác định
0 x
x x
ì ³ ïï ïï
Û ớù -
ùù - ạ
ùợ x³ 0,x¹ 4,x¹ 9
0, 4,
x³ x¹ x¹ Vậy với (*) biểu thức P xác định.
1,50 đ
0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ
b) Rút gọn P
( 2)(1 3) 23 23
x x
P
x x
x x
-
-= - +
-
-( ) ( )
( )( ) ( ( )() ( ) )
2
1 4
2 3
x x x x x x
x x x x
- - + - - - + + - +
= =
- - -
( ) ( )( )
2 2
3
2
x
x
x x
-= =
1,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
c) Tìm số nguyên x để P nguyên:
2 P
x =
-2
x Theo b) Do đó, ngun P ngun
(3)2
x x 2 x 3 1; 2nguyên.
3 16;
x x Với
3
x x Với ;
3 25;
x x Với
3
x x Với 1;16;25
x Kết hợp với điều kiện (*) suy
0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
2 3,00 đ
0
x+ + =y z x3+y3+ =z3 3xyz
a) Cho Chứng minh rằng:
x+ + =y z x+ =-y zVì suy Do đó: 3 ( )3 3xy(x+y)+z3
x +y + = +z x y
-3
( z) 3xy(-z)+z
= - - = 3xyz (đpcm).
1,00 đ
0,50 đ 0,50 đ
( )3 ( )3 ( )3
1005- x + 1007- x + - 2012x =0b) Giải phương trình: 1005 ; 1007 ; - 2012
X = - x Y= - x Z= x Đặt Ta có: X + Y + Z =
3 3 3
X +Y +Z = XYZÁp dụng câu a) suy ra:
Phương trình cho trở thành:
1005 3(1005 )(1007 )(2 - 2012)=0 1006 1007 x
x x x x
x
é = ê ê
- - Û ê =
ê =
ë .
Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1005, x = 1006, x = 1007
2,00 đ
0,50 đ 0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ
3 2
2
2
x y m
x y y x m m
ì + = +
ïï
íï + = -
-ïỵ Cho hệ phương trình: , với m tham số 5,00 đ
a) Giải hệ phương trình với m =2
Với m = 2, hệ phương trình là:
2
5 5
( )
5
x y x y x y
xy x y xy
x y y x
ì + = ì + = ì + =
ï ï ï
ï Û ï Û ï
í í í
ï + = ïïỵ + = ïïỵ =
ïỵ .
Do đó, x, y nghiệm phương trình X2-5X +1= 0
1
5 21 21
,
2
X = + X =
-Giải ra 21 21 21 21
; , ;
2 2
ỉ+ - ỉ÷ - + ửữ
ỗ ữỗ ữ
ỗ ữỗ ữ
ỗ ữữỗ ữữ
ỗ ỗ
ố ứ è øVậy hpt có hai nghiệm:.
2,50 đ
1,00 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
b) Chứng minh hệ ln có nghiệm với m
2
( ) (2 1)( 1)
x y m
xy x y m m
ì + = +
ïï
íï + = +
-ïỵ Hệ cho viết lại là:
2,50 đ
(4)1 m
=-(1) Nếu hệ trở thành:
0
( )
x y x R
x y
xy x y y x
ì + = ì Ỵ
ï ï
ï Û + = Û ï
í í
ï + = ï
=-ï ï
ỵ ỵ .
Hệ có vơ số nghiệm
2
m¹ - ì + =ïïíïxxy y = -2mm+11
ïỵ (2) Nếu hệ trở thành:
2 (2 1) 1 0
X - m+ X+ - =m Nên x,y nghiệm phương trình: (*).
2
=(2m+1) 4(m 1) 4m 0, m
D - - = + > " P/t (*) có nên ln có nghiệm
Vậy hệ phương trình ln có nghiệm với m
0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
4 4,00 đ
a) Chứng minh AF.BE = AD.DB
Ta có:
· · µ
· ·
0
0 180
120 (1) AFD FDA A
AFD FDA
+ + =
Û + =
· · ·
· ·
0 180
120 (2) EDB FDA EDF
EDB FDA
+ + =
Û + =
· ·
AFD=EDBTừ (1) (2) suy ra:.
µ µ 600
A= =B Hơn
AFD BDE
D @D Suy ra
AF AD
BD BE
Þ =
AF BE AD BD
Û = (đpcm).
2,00 đ
0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
4 a AF BE
b) Chứng minh ; ( ,1 0)
x AD x DB x x x x1 2 AD DB b b ( 0)Đặt
x x AB a Ta có: (khơng đổi).
1
x ,x x2 ax b 0
Nên nghiệm phương trình bậc hai: (*).
1
x ,x Do tồn nên phương trình (*) ln có nghiệm
2 4 0
4 a
a b b
Hay:
4 a AF BEAD BD
Vậy
x
2 a x
Dấu “=” xảy , tức D trung điểm AB
2,00 đ
0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
5 3,00 đ
A B
C
D F
(5)a)Tính tỷ số: HC CD
, / /
CK AD BD AD CK BDTa có: Áp dụng Talet:
3
CH CK AC
HD BD AB
3
3
CH CH
CD CH HD Suy ra:
7 HC
CD Vậy tỷ số
1,50 đ
0,50 đ 0,50 đ
0,50 đ
b) Điểm H chạy đường d quay quanh A?
Qua H kẻ đường thẳng song song với OD cắt OC I Khi đó:
3 3
7 7
IH CH
IH OD R
OD CD (không đổi).
3 3
7 14
R
IC OC R OI R
Từ ta có:
7
OI R
7R Do OC cố định nên I cố định Vì thế, d quay quanh A thì
H chạy đường tròn tâm I (I nằm đoạn OC, cách O khoảng ),
bán kính
1,50 đ
0,50 đ 0,50 đ
0,50 đ
O
D
A B
C O'
K
H