Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6.. Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳn[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013 Đề Số 2
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Tìm điểm M thuộc đường thẳng y =3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình cos2x 2sin x 2sin x cos 2x 0
2 Giải bất phương trình
4x 3 x 3x 8x 6
Câu III ( 1điểm)Tính tích phân
6
cotx
I dx
s inx.sin x
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy (ABC) tam giác cạnh a Chân đường vng góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) điểm thuộc BC Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA biết SA=a SA tạo với mặt phẳng đáy góc 300.
Câu V (1 điểm) Cho a,b, c dương a2+b2+c2=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
3 3
2 3 3 3
a b c
P
b c a
PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2y22x 8y 0 Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 cắt đường tròn theo dây cung có độ dài
2 Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ
Câu VII.a (1 điểm)
Tìm số phức z thoả mãn : z i 2 Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
(2)1
2
:
3
x z
d y
2
3
:
1
x t
d y t
z t
Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm M(3;10;1) Câu VII.b (1 điểm)
(3)-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu Nội dung Điểm
I
1
Tập xác định: D=R
lim lim
x x x x x x
y’=3x2-6x=0
0
x x
Bảng biến thiên:
x - + y’ + - +
+ y
- -2 Hàm số đồng biến
khoảng: (-;0) (2; + ) Hàm số nghịch biến khoảng (0;2)
fCĐ=f(0)=2; fCT=f(2)=-2 y’’=6x-6=0<=>x=1 x=1=>y=0 x=3=>y=2 x=-1=>y=-2
Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) tâm đối xứng
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
2
Gọi tọa độ điểm cực đại A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P=3x-y-2
Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0 Vậy điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ => điểm A, M, B thẳng hàng
Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ:
4
3 5
2 2
5
x
y x
y x
y
=>
4 ; 5
M
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
II Giải phương trình: cos2x 2sin x 2sin x cos 2x 0 (1)
1 os2 2sin 2sin
os2 1 2sin
c x x x
c x x
(4)Khi cos2x=1<=>x k , k Z Khi sinx
x k2
x k
,k Z
0,5 đ
2
Giải bất phương trình: 4x 3 x2 3x 8x 6 (1) (1)
2
4x x 3x
Ta có: 4x-3=0<=>x=3/4
x2 3x 4 2=0<=>x=0;x=3 Bảng xét dấu:
x - ¾ + 4x-3 - - + +
2 3 4 2
x x + - - +
Vế trái - + - + Vậy bất phương trình có nghiệm:
3
0; 3;
4
x
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ III Tính 3 6 cot cot
sinx sinx cos sin x sin
4 cot
sin x cot
x x
I dx dx
x x x dx x
Đặt 1+cotx=t
1
sin xdx dt
Khi
3
1 3;
6 3
x t x t
Vậy
3 3 1
3 3
3
1
2 ln ln
3
t
I dt t t
t 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
IV Gọi chân đường vng góc hạ từ S xuống BC H
Xét SHA(vuông H)
0
cos30
a
AH SA
Mà ABC cạnh a, mà cạnh
(5)3
a
AH
=> H trung điểm cạnh BC
=> AH BC, mà SH BC => BC(SAH) Từ H hạ đường vuông góc xuống SA K => HK khoảng cách BC SA =>
0
AH sin 30
2
AH a
HK
Vậy khoảng cách hai đường thẳng BC SA
3
a
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
V
Ta có:
3
3
2
3
3
16 64
2 3
a a b a a
b b
(1)
3
3
2
3
3
16 64
2 3
b b c c c
c c
(2)
3
3
2
3
3
16 64
2 3
c c a c c
a a
(3)
Lấy (1)+(2)+(3) ta được:
2
2 2
9
16
a b c
P a b c
(4) Vì a2+b2+c2=3
Từ (4)
3
P
giá trị nhỏ
3
P
khi a=b=c=1
0,5 đ
0,25 đ 0,25 đ
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn VI.a
1
Đường trịn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 Gọi phương trình đường thẳng cần tìm ,
=> : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0)
Vì đường thẳng cắt đường trịn theo dây cung có độ dài 6=> khoảng cách từ tâm I đến 52 32 4
, 42 4 10
3 10
c c
d I
c
(thỏa mãn c≠2)
Vậy phương trình đường trịn cần tìm là: 3x y 4 10 0
3x y 10 0 .
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
2
Ta có AB 1; 4; 3
(6)Phương trình đường thẳng AB: 4 x t y t z t
Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D hình chiếu vng góc C cạnh AB, gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a) DC( ; 4a a 3;3a 3)
Vì AB DC=>-a-16a+12-9a+9=0<=>
21 26
a
Tọa độ điểm
5 49 41
; ;
26 26 26
D
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ VII.a
Gọi số phức z=a+bi
Theo ta có:
2 2
2 2
3
a b i a b
b a b a
2 2
1 2
a a hoac b b
Vậy số phức cần tìm là: z=2 2+( 1 2)i; z= z=2 2+( 1
)i
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ A Theo chương trình nâng cao
VI.b
1
Ta có:
100 0 1 2 2 100 100 100 100 100 100
1x C C x C x C x
(1)
100 0 1 2 2 3 3 100 100 100 100 100 100 100
1 x C C x C x C x C x
(2) Lấy (1)+(2) ta được:
1x1001 x1002C1000 2C x1002 22C x1004 4 2 C x100100 100 Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta
99 99 100 99
100 100 100
100 1x 100 1 x 4C x8C x 200 C x
Thay x=1 vào
=>A100.299 4C1002 8C1004 200 C100100
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Gọi đường thẳng cần tìm d đường thẳng d cắt hai đường thẳng
d1 d2 điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) B(3+b;7-2b;1-b) Do đường thẳng d qua M(3;10;1)=> MA k MB
MA3a1;a11; , a MB b; 2 b 3;b
3 1
11 3 11
4 2
a kb a kb a
a kb k a k kb k
a kb a kb b
=> MA2; 10; 2
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
(7)Phương trình đường thẳng AB là:
3 10 10
x t
y t
z t
VII.b
=24+70i, 5i
7 5i
2
z i
z i
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ