Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng BE khi D di chuyển trên cung nhỏ AC.. = Hết =.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
TỈNH PHÚ N NĂM HỌC 2011-2012
Mơn: Tốn (Chun) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
-Câu 1 (3,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2
P
31 65 65 1
x Q x 312x2009b) Cho Tính
Câu 2 (3,5 điểm) Cho phương trình a(a+3)x2 - 2x - (a+1)(a+2) =
(a tham số, ngun) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm hữu tỷ
b) Xác định a để phương trình có nghiệm nguyên
Câu 3 (5,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau:
13x2 3x+2 x 3 42 0
a) ;
2
9
9
x y
y x
b)
Câu 4 (2,5 điểm)
2
2
x 2y 3xy y 1 a) Chứng minh với x, y > :
b) Cho số dương a,b,c với abc = Tìm giá trị lớn biểu thức:
2 2 2
1 1
2 3
M
a b b c c a
.
Câu 5 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn AB.AC = BC(AB+AC), có G trọng tâm BD, CE đường phân giác Chứng minh điểm D, E, G thẳng hàng
Câu 6 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O Một điểm D di động cung nhỏ AC Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng BE D di chuyển cung nhỏ AC
= Hết=
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm.
Họ tên thí sinh:……… ……… Số báo danh:………
(2)(3)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
TỈNH PHÚ N NĂM HỌC 2011-2012
Mơn: Tốn (chun)
-HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Gồm có 05 trang)
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi
3- Điểm tồn thi khơng làm trịn số
II- Đáp án thang điểm:
Câu Đáp án Điểm
1 3,00 đ
a) Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2
P
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2
4 2 2
Do đó:
2 2 2
P
2 3
4
2 (a b a b )( )a b
2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
P
Cách khác: Áp dụng đẳng thức , ta có:
2 2 2 3
2 2 3
= – = Vì P > nên P =
1,50 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
3 12 2009
Q x x x31 65 65 1 b) Tính , với : 1,50 đ
(4) 3
3 31 65 65 1
x
Ta có :
1 65 65 1 3 13 65 65 131 65 65 1
3
2 12 65 65 12x
Do đó: Q = 2-12x +12x + 2009 = 2011
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
2 Phương trình: a(a+3)x2 - 2x - (a+1)(a+2) = 3,50 đ a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm hữu tỷ:
- Với a(a+3) = 0 hay a = a = -3:
Phương trình trở thành: -2x -2 = có nghiệm x = -1
- Với a(a+3) hay a a -3 p/t cho phương trình bậc hai
2 2
( 3) ( 1)( 2) 3
a a a a a a a a Ta có:
Nên phương trình cho có nghiệm:
1
2
( 1)( 2)
1
( 3) ( 3)
x
a a
x
a a a a
Vì a nguyên nên suy phương trình cho ln có nghiệm hữu tỷ
-2
' (a 3a 1) 0, a
Ghi chú : Nếu thí sinh tính
' a 3a
Vì a nguyên nên số nguyên Vậy phương trình cho ln có nghiệm hữu tỷ
1,50 đ 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ -0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ
b) Xác định a để nghiệm phương trình nghiệm nguyên:
(1) Nếu a = a = -3: phương trình có nghiệm ngun x = -1
(2) Nếu a 0, a -3: Theo câu a), phương trình có nghiệm x1 = -1 ngun nên để
p/trình có nghiệm nguyên x2 phải nghiệm nguyên
( 3)
a a Nghĩa là: 2 phải chia hết cho
2
2
2
3 ( 3)
( 3)
( 3) 3 2 0
( 3) 3 1 0
a a
a a
a a a a
a a a a
a a a a
Khi ta có khả xảy :
2 3 2 0
a a Vì a ngun nên có phương trình có hai nghiệm ngun
a = -1 a = -2
3; 2; 1;0 a
Vậy: phương trình cho có nghiệm ngun
2,00 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ
(5)
13x2 3x+2 x 3 42 0
a) Giải phương trình:
3
x Điều kiện : (*). 3,
t x t x t2 3
Đặt , suy
Phương trình trở thành: 6t3 +13t2 -14t +3 = 0
1
; ;
2
t t t
Giải ta được: (loại)
1
t 11
2
x x
Với , ta có: ;
1
t 26
3
x x
Với , ta có: Cả hai nghiệm thỏa điều kiện (*)
11 26 ;
4
S
Vậy tập nghiệm phương trình cho là:
3,00 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 2 9 9 x y y x
b) Giải hệ phương trình:
, x y
2
2
9 (9 ) (1) (9 ) (2)
x y y x
Với điều kiện , hệ cho là:
( )( 9)
9 x y x y x y
y x
Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được:
4 x y
+ Với x = y, thế vào (1) ta được: 18x -72 = .
+ Với y = – x, vào (2) phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm : (x;y)= (4;4)
2,00 đ
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
4 2,50 đ
2
2
x 2y 3xy y 1 a) Chứng minh : (x, y > 0) 2
x 2y 3 0; xy y 0 Vì x, y > 0 nên
2
2
x 2y 3xy y 1 2xy 2y x 22y23Do :
2
(x y) (y 1)
Bất đẳng thức sau nên bất đẳng thức đầu Dấu xảy khi x = y = 1.
1,00 đ
(6)b) Tìm giá trị lớn biểu thức:
2 2 2
1 1
2 3
M
a b b c c a
(a,b,c >0; abc = 1)
Áp dung bất đẳng thức câu a) ta có:
2 2
1 1
2
2 3 ab b
a b a b
2 2
1 1
2
2 3 bc c
b c b c
2 2
1 1
2
2 3 ca a
c a c a
1 1
2 1
M
ab b bc c ca a
Do abc = nên:
1 1
1 1
ab b bc c ca a
1
ca a
abc ac a ca a
ca b abc ca =
1 1
ca a
ca a ca a ca a = =1.
2
M ax(M) =1 M
Do Dấu “=” xảy a = b = c =1 Vậy
1,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ
5 2,50 đ
Gọi M trung điểm BC (1) Nối GD, GE Gọi P, Q điểm tia GM cho:
BP //GE, CQ //GD (2)
Theo định lý Ta-lét tính chất đường phân giác:
;
GP EB CB
GAEA CA
GQ DC BC
GA DA BA
GP GQ CB BC
GA GA CA BA Suy ra:
( )
1
GP GQ BC AB AC
GA AB AC
().BCABACABAC (vì).
GP+GQ = GA = 2GM Do M trung điểm PQ (3)
Kết hợp (1) (3) suy tứ giác BPCQ hình bình hành BP//CQ (4) Từ (2) (4) suy G, D, E thẳng hàng
0,50 đ
0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
6 3,50 đ
a) Phần thuận:
(7)
ABCACB ADB ABC cân
ADEADC ABC (vì bù với ).
Xét ADC ADE có:
AD: chung ; DC = DE (giả thiết)
ADCADE (cmt)
Suy ADC = ADE (c.g.c)
Do AC=AE=AB ABE cân A
AMB900
Vì M là trung điểm BE nên
Hơn AB cố định nên M lưu động đường trịn đường kính AB
b) Giới hạn: Khi D A M A; D C M H (AH đ/cao ABC)
c) Phần đảo:
AHLấy điểm M Gọi D giao điểm thứ BM đường tròn
(O) Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Ta chứng minh M là trung điểm BE
Xét ADC ADE có:
AD: chung ; DC = DE (giả thiết)
ADCADE ABC (cùng bù với )
Suy ADC = ADE (c.g.c) AC=AE=AB (1) Lại có AM BE (M nằm đường trịn đường kính AB) (2) Từ (1) (2) suy M trung điểm BE
AC AHd) Kết luận: Khi D di động cung nhỏ quĩ tích M cung
nhỏ đường tròn đường kính AB
0,50 đ
0,50 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ
0,50 đ