N. Qua A vẽ đường .thẳng d vuông góc với AM cắt đường thẳng CB, CD lần lượt tại p và Q.. a) Chứng minh rằng các tam giác AMQ, ANP vuông cân. b) Gọi giao điểm của QM và NP là R. Gọi I; K [r]
(1)HÌNH THOI VÀ HÌNH VNG
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định nghĩa
• Hình thoi tứ giác có bốn cạnh (h.36)
• Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh (h.37)
Từ suy :
• Hình thoi hình bình hành
• Hình vng vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi
2 Tính chất
(2)- Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi b) Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi
3 Dấu hiệu nhận biết a) Nhận biết hình thoi
• Tứ giác có bốn cạnh hình thoi
• Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi • Hình bình hành có hai đường chéo vng góc hình thoi
• Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi
b) Nhận biết hình vng
• Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng • Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc hình vng
• Hình chữ rihật có đường chéo đường phân giác góc hình vng • Hình thoi có góc vng hình vng
• Hình thoi có hai đường chéo hình vng
4 Bổ sung
a) Trong hình thoi:
• Hai đường chéo hai trục đối xứng
• Giao điểm hai đường chéo tâm đối xứng b) Đường chéo hình vng cạnh a a
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 16 Cho hình thoi ABCD có
A = 60
(3)Giải (h.38)
Từ đề suy ABD CBD ;
AD = BD, AM = BN, CBD = BDA = BAD = 60°
Suy MAD = NBD (c.g.c) => DM = DN MDA = NDB Vậy MDN có MD = ND, MDN = 60° nên MDN
Suy đuờng trung trực đoạivthẳng MN ln qua điểm D cố định
Ví dụ 17 Trên cạnh BC, CD hình vng ABCD với AB = 1, ta lấy điểm M, N
tương ứng cho chu vi tam giác MCN a) Chứng minh MAN = 45°
b) Gọi P Q giao điểm đường chéo BD với đoạn thẳng AM AN Chứng minh đoạn thẳng BP, PQ, QD lập thành ba cạnh tam giác vuông
(4)a) Trên cạnh DC kéo dài phía D lấy điểm K cho DK = BM Ta có :
MN + MC + CN = MB + MC + CN + DN (= 2) MN = BM + DN
hay MN = DK + DN = KN (1) Mặt khác ADK = ABM (c.g.c) => AM = AK (2)
Từ (1) (2) suy KAN = MAN (c.c.c)
b) AKN = AMN => AKN = AMN = AMB; ANK = ANM Kẻ AH ⊥MN Dễ có AHM = ABM => HM = BM, AH = AB
Suy AM trung trực đoạn HB từ PH = PB, APH = APB => AHP = ABP = 45° Chứng minh tương tự : QH = QD, AHQ = 45° Vậy QHP = 90°
Suy 2 2
QP = HQ + HP = DQ + BP hay đoạn thẳng BP, PQ, QD lập thành ba cạnh tam giác vng
Nhận xét
• Ta giải câu sau : Chứng minh M thay đổi MN ln cách điểm A khoảng cách khơng đổi
• Ta thay giả thiết "chu vi tam giác MCN 2" " MAN = 45°" kết luận câu a : Chứng minh chu vi tam giác MCN
Ví dụ 18 Cho hình vng ABCD Lấy điểm M thuộc cạnh BC, tia AM cắt đường thẳng CD
(5)a) Chứng minh tam giác AMQ, ANP vuông cân
b) Gọi giao điểm QM NP R Gọi I; K trung điểm đoạn thẳng MQ, PN Hoi tứ giác AIRK hình ?
c) Chứng minh điểm K, B, I, D thẳng hàng
Giải (h.40)
a) ADQ = ABM => AQ = AM => AMQ vuông
ABP = ADN => AN = AP => ANP vuông cân
b) AMQ vuông cân, IM = IQ => AI đường trung tuyến => AI đường cao => AI⊥RQ hay AIR = 90° (1) - Tương tự ta có AKR = 90° (2)
- PQN có NA, PC đường cao nên M trực tâm, suy QR⊥NP hay IRK = 90° (3)
(6)a) Ta có AK = CK (=1
2PN); AI = CI (=
2QM); AD = CD; AB = CB
=> K ; B ; I; D thuộc đường trung trực AC Vậy K, B, I, D thẳng hàng
C BÀI TẬP
1 Cho tam giác ABC có AB < AC Trên cặnh AC tam giác lấy điểm D cho CD = AB
Gọi Q trung điểm AC, N trung điểm BD Vẽ đường phân giác AK góc BAC Chứng minh AK⊥NQ
2 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Chứng minh tam giác
AOB, BOC, COD DOA có chu vi tứ giác ABCD hình thoi
3 Cho tam giác ABC có AD đường cao, H trực tâm Từ điểm M cạnh
BC kẻ ME, MP theo thứ tự vng góc với AB, AC Gọi I trung điểm AM Chứng minh :
a) DEIP hình thoi;
b) Ba đường thẳng MH, ID, EP đồng quy
4 Cho hình thoi ABCD Kẻ BM⊥AD BN⊥CD Biết MN =
2BD Tính số đo góc
của hình thoi
5 Trên canh AB CD hình thoi ABCD lấy điểm P Q cho
AP =
3AB, CQ =
3CD Gọi I giao điểm PQ AD, K giao điểm DP BI
Chứng minh :
(7)6 Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD O Gọi E điểm đối xứng A qua B Gọi I, F
giao điểm ED với AC BC, gọi G H thứ tự giao điểm OE BC, OF CE Chứng minh : A, G, H thẳng hàng
7 Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vng góc với AE
cắt đường thẳng CD F Gọi I trung điểm EF Gọi M giao điểm AI CD Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N Chứng minh :
a) Tứ giác MENF hình thoi
b) Chu vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC
8 Cho hình vng ABCD Điểm E nằm hình vng cho tam giác ABE Gọi F
giao điểm AE BD O giao điểm DE FC Chứng minh OC = OF
9 Mọi điểm mặt phẳng đánh dấu hai dấu ( + ) (-) Chứng minh
rằng điểm mặt phẳng làm thành tam giác vuông cân mà ba đỉnh đánh dấu
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, năm học 2010-2011)
10 Cho hình vng ABCD điểm M nằm hình vng Tìm tất vị trí điểm M
sao cho MAB = MBC = MCD = MDA