[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013 Mơn thi : TỐN (ĐỀ 28)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số:
3 3 1 9 2
y x m x x m
(1) có đồ thị (Cm)
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) với m =1.
2) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng
1 y x
.
Câu II: (2,5 điểm)
1) Giải phương trình:
sin cosx x3 2 osc x 3 os2c x8 3 cosx s inx 3 0
.
2) Giải bất phương trình :
2
2
2
1
log log
2 x x x
.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x.sin2x, y=2x, x=
.
Câu III: (2 điểm)
1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên hợp
với đáy góc 450 Gọi P trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống
(ABC) H cho
1 2
AP AH
gọi K trung điểm AA’, mặt phẳng chứa HK và
song song với BC cắt BB’ CC’ M, N Tính tỉ số thể tích ' ' '
ABCKMN A B C KMN
V
V .
2) Giải hệ phương trình sau tập số phức:
2
2
2 2
6
6
a a
a a
a b ab b a a
Câu IV: (2,5 điểm)
1) Cho m hồng trắng n hồng nhung khác Tính xác suất để lấy được 5 bơng hồng có bơng hồng nhung? Biết m, n nghiệm hệ sau:
2
3
9 19
2
720
m
m n m
n
C C A
P
2 ) Cho Elip có phương trình tắc
2
1
25
x y
(E), viết phương trình đường thẳng song song Oy cắt (E) hai điểm A, B cho AB=4.
(2)1
2
:
3
x t
d y t
z t
1
:
2
x y z
d
Viết phương trình mặt phẳng cách hai đường thẳng d1 d2? Câu V: Cho a, b, c0 a2b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
3 3
2 2
1 1
a b c
P
b c a
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 28
Câu NỘI DUNG Điểm
Câu I.
b) y '=3 x2− 6(m+1)x +9
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
m+1¿2−3 9>0
Δ'=9¿
m+1¿2−3>0 ¿ ¿
⇔m ∈(−∞ ;−1 −√3)∪(−1+√3 ;+∞)
Ta có y=(1 x −
m+1 )(3 x
2− 6(m+1)x +9
)−2(m2
+2 m− 2) x +4 m+1
Gọi tọa độ điểm cực đại cực tiểu (x1; y1) (x2; y2)
⇒ y1=− 2(m
2
+2m −2)x1+4 m+1
y2=−2 (m
+2 m− 2) x2+4 m+1
Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu là
y=− 2(m2+2m −2)x +4 m+1
Vì hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đt y=1
2x ta có điều kiện
cần là
[−2(m2
+2 m− 2)].1 2=−1 ⇔m2
+2 m−2=1 ⇔m2
+2 m−3=0⇔ m=1
¿
m=− 3
¿ ¿ ¿ ¿
0,25đ
0,25đ
(3)Câu II.
Theo định lí Viet ta có:
¿
x1+x2=2(m+1) x1 x2=3
¿{
¿
Khi m = ⇒ ptđt qua hai điểm CĐ CT là:
y = - 2x + Tọa độ trung điểm CĐ CT là:
¿
x1+x
2 = 2=2
y1+y2 =
−2(x1+x2)+10
2 =1 ¿{
¿
Tọa độ trung điểm CĐ CT (2; 1) thuộc đường thẳng y=1
2x
⇒m=1 thỏa mãn.
Khi m = -3 ⇒ ptđt qua hai điểm CĐ CT là: y = -2x – 11 Tọa độ
trung điểm CĐ CT là:
¿
x1+x
2 =−2 y1+y2
2 =
−2(x1+x2)+10
2 =9
¿{
¿
Tọa độ trung điểm CĐ CT (-2; 9) không thuộc đường thẳng
y=1
2x ⇒m=− 3 không thỏa mãn
Vậy m = thỏa mãn điều kiện đề bài. 1) Giải phương trình:
sin x (cos x+3)−2√3 cos3x − 3√3 cos x+8(√3 cos x −sin x)−3√3=0 ⇔2 sin x cos2
x+6 sin x cos x − 2√3 cos3x −6√3 cos2x+3√3+8(√3 cos x −sin x)−3√3=0 ⇔− 2cos2
x (√3 cos x − sin x)−6 cos x (√3 cos x − sin x )+8(√3 cos x − sin x)=0
0,25đ
0,25đ
0,25đ
(4)√3 cos x −sin x=0
¿
cos2x+3 cos x − 4=0
¿
tan x=√3
¿
cos x=1
¿
cos x=4(loai)
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿⇔(√3 cos x −sin x )(−2 cos
2
x − cos x+8)=0
⇔ ¿
⇔ x=π
3+kπ
¿
x=k π
¿
, k∈ Ζ
¿ ¿ ¿
2) Giải bất phương trình:
1
2log2(x
+4 x −5)>log1
2
(
x+7) (1)
Đk:
¿
x2+4 x −5 >0 x+7 >0
⇔
¿x∈(− ∞;−5)∪(1 ;+∞)
x >−7
¿{
¿
⇒ x∈(− ;−5)∪(1+∞)
Từ (1) ⇒log2(x
+4 x −5)>− log2 x+7
x+7¿2 ¿
⇔ x2
+4 x −5>x2+14 x +49
¿ ¿
⇔ log2(x2+4 x −5)>log2¿
Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm: x∈(−7 ;−27)
0,5đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ
(5)Câu III.
3) Ta có: x.sin2x = 2x
⇔ x.sin2x – 2x = ⇔ x(sin2x – 2) =0 ⇔ x = 0
Diện tích hình phẳng là:
S=|∫(x sin x −2 x)dx|=|∫x (sin x − 2)dx|
Đặt
¿
u=x
dv=(sin x −2)dx ⇒
¿du=dx
v=− cos2 x − x
¿{
¿
−x cos x −2 x
2
¿ ¿ ¿
S=¿
⇔ S=|π 4−
π2 +(
sin2 x +x
2
)¿0
π
2
|
⇔ S=|π 4−
π2
2 + π2
4|= π2
4 − π
4 (đvdt)
Gọi Q, I, J trung điểm B’C’, BB’, CC’ ta có:
AP=a√3 ⇒ AH=a√3
Vì Δ' AHA ' vuông cân H. Vậy A ' H=a√3
⇒VABCA ' B ' C '=SABC A ' H
Ta có SABC=1
2a a√3
2 = a2
√3
4 (đvdt)
⇒VABCA ' B ' C '=a√3 a
√3 =
3 a3
4 (đvtt) (1)
Vì Δ' AHA ' vng cân ⇒HK ⊥ AA ' ⇒ HK ⊥(BB' C ' C)
G ọi E = MN KH BM = PE = CN (2)
mà AA’ = √A ' H2
+AH2 = √3 a2+3 a2=a√6 ⇒ AK= a√6
2 ⇒BM=PE=CN= a
√6
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,2 5đ
0,25đ
45
E K
J I
A
B
C
C' B'
A'
P
H Q
(6)Ta tích K.MNJI là:
1
1
'
2 4
MNJI
V S KE
a
KE KH AA
2
6
( )
4
MNJI
a a
S MN MI a dvdt
2
1 6
( )
3 4
KMNJI
a a a
V dvtt
3
2
' ' '
3
1 8
3
8
ABCKMN A B C KMN
a a V
a a V
2) Giải hệ phương trình sau tập số phức:
¿
a2+a − a2+a=5 (a2+a)b2+b (a2+a)−6=0
¿{
¿
ĐK: a2+a ≠ 0
Từ (1) a2+a¿2−5 (a2+a)−6=0
⇔¿
⇔ a2+a=−1
¿
a2
+a=6
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Khi a2+a=−1 thay vào (2)
0,25đ
0,25đ
(7)Câu IV:
b=− 1−√23 i
¿
b=−1+√23 i
¿ ¿ ¿ ¿
¿
⇒−b2− b −6=0
⇒b2
+b+6=0 ⇔
¿
a2+a+1=0⇔ a=−1 −√3 i
2
¿
a=− 1+√3 i
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Khi a2
+a=6
⇔ a=−3
¿
a=2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Thay vào (2)
b=− 1+√5
¿
b=−1 −√5
¿ ¿ ¿ ¿
¿
⇒6 b2
+6 b − 6=0 ⇔b2
+b −1=0 ⇔
¿
Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là:
(−1−√23i
2 ;
−1 −√3 i ),(
−1−√23i
2 ;
−1+√3 i )
0,25đ
0,25đ
0,25đ
(8)Câu V:
(−1+√23i
2 ;
−1 −√3 i ),(
−1+√23i
2 ;
−1 −√3 i )
(−3 ;−1+√5
2 ),(− ;
−1 −√5 ),(2;
−1+√5 ),(2 ;
−1−√5 )
¿
Cmm − 2+cn+32 +9 2<
19 Am
1
Pn −1=720
¿{
¿
Từ (2): (n −1)!=720=6 !⇔n −1=6 ⇔n=7 (3)
Thay n = vào (1)
⇒ m! 2!(m− 2)!+
10 ! 2 !8 !+9<
19
m ! (m −1)! ⇔m(m− 1)
2 +45+ 2<
19 m ⇔m2
− m+90+9<19 m ⇔ m2
−20 m+99<0
⇔9<m<11 m∈ Ζ ⇒m=10
Vậy m = 10, n = Vậy ta có 10 bơng hồng trắng bơng hồng nhung, để lấy bơng hồng nhung bơng hồng ta có TH sau: TH1: hồng nhung, hồng trắng có:
C73 C102 =1575 cách
TH2: hồng nhung, hồng trắng có: C7
4
C10
=350 cách TH3: bơng hồng nhung có: C7
5
=21 cách
⇒ có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách
Số cách lấy hồng thường
C175 =6188
⇒ P=1946
6188≈31 , 45 %
2) Gọi ptđt // Oy là: x = a (d) tung độ giao điểm (d) Elip là:
a2 25+
y2 =1 ⇔ y2
9 =1− a2 25=
25 − a2 25 ⇒ y2
=9.25 −a
2
25 ⇒ y=±
5√25 − a
2
Vậy A(a;3√25 − a2), B(a ;−3√25 − a2)
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ
(9)⃗AB=(0 ;6
5√25 − a
2
)
⇒∨⃗AB∨¿6
5√25− a
2=4
⇔√25 −a2
=10
3 ⇔25 − a
2
=100 ⇔ a
2=25 −100
9 = 125
9 ⇒a=±5√5
3
Vậy phương trình đường thẳng: x=−5√5
3 , x= 5√5
3
3)đường thẳng d2 có PTTS là:
¿
x=1+2 t ' y=2+t ' z=1+5 t '
¿{ {
¿
⇒ vectơ CP d
1 d2 là: ud1 (1;1; 1), ud2 (2;1;5)
⃗
⇒ VTPT mp( α ) n u ud1 d2 (6; 7; 1)
⃗ ⃗ ⃗
⇒ pt mp( α ) có dạng 6x – 7y – z + D = 0
Đường thẳng d1 d2 qua 2đ’ M(2; 2; 3) N(1; 2; 1)
( ,( )) ( ,( )) |12 14 | | 14 |
| | | |
d M d N
D D
D D D
Vậy PT mp( α ) là: 3x – y – 4z +7 0
Ta có: P + = a
3
√1+b2+b
2
+ b
3
√1+c2+c
2
+ c
3
√1+a2+a
2
⇔ P+
4√2=
a3
2√1+b2+
a2
2√1+b2+
1+b2
4√2
+b
3
2√1+c2+
b2 2√1+c2+
1+c2 4√2
+c
3
2√1+a2+
c2
2√1+ a2+
1+a2 4√2 33
√ a6
16√2+3
3
√ b6
16√2+3
3
√ c6
16√2 ⇒ P+
2√2≥ 2√32√2(a
2
+b2+c2)= 2√68 ⇒ P ≥
2√623−
3 2√2=
9 2√2−
3 2√2=
3
(10)