[r]
(1)Môn toán, khối b
Câu ý Nội dung ĐH CĐ
I 1 Với m=1 ta có y =x4 −8x2 +10 hàm chẵn ⇒ đồ thị đối xứng qua Oy Tập xác định ∀ x∈R, y'=4x3 −16x=4x(x2 −4), y'=0
± =
= ⇔
2
x x
,
3 12
16 12
" 2
−
= −
= x x
y
3
"= ⇔x=±
y
Bảng biến thiên:
+ −
− ∞
−
3
3 2
x
− '
y + − +
"
y + − +
+∞ 10 +∞
y lâm U C§ U lâm
CT låi CT Hai điểm cực tiểu : A1(2;6) A2(2;−6)
Một điểm cực đại: B(0;10)
Hai ®iĨm uèn:
−
9 10 ;
2
U vµ
9 10 ; 2
U
Giao điểm đồ thị với trục tung B(0;10) Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ:
6 4+ ± =
x vµ x=± 4−
(ThÝ sinh cã thÓ lËp bảng biến thiên)
1,0đ 0,25 đ
0,5 ®
0,25 ®
∑1,5® 0,5 ®
0,5 ®
0,5 ®
x
10
y
-6
-2
A2 A1
B
U1 U2
(2)I 2 y'=4mx3 +2(m2 −9)x=2x(2mx2 +m2 −9),
= − +
= ⇔
=
0
0
' 2 2
m mx
x y
Hàm số có ba điểm cực trị ⇔ ph−ơng trình y'=0 có nghiệm phân biệt (khi 'y đổi dấu qua nghiệm) ⇔ ph−ơng trình 2mx2 + m2 −9=0 có nghiệm phân biệt khác
2mx2 + m2 −9=0
− =
≠ ⇔
m m x
m
2
2 Phơng trình 2mx2 + m2 −9=0
cã nghiƯm kh¸c
< <
− < ⇔
3
m m
Vậy hàm số có ba điểm cực trÞ
< <
− < ⇔
3
m m
∑1,0® 0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑1,0® 0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
II 1
sin23x−cos24x=sin25x−cos26x
2 12 cos
10 cos
8 cos
6 cos
1− x − + x = − x− + x
⇔
⇔(cos12x+cos10x) (− cos8x+cos6x)=0 ⇔cosx(cos11x−cos7x)=0
⇔cosxsin9xsin2x=0
2
2 sin
sin k k Z
x k x x
x ∈
= = ⇔ =
⇔ π
π
Chó ý:
Thí sinh sử dụng cách biến đổi khác để đ−a ph−ơng trình tích
∑1,0® 0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®
∑1,0® 0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®
2
logx(log3(9x −72))≤1 (1)
§iỊu kiÖn: 72 log 73
0 ) 72 ( log
0 72
1 ,
9
> ⇔ > − ⇔
> −
> −
≠ >
x x
x
x x
x
(2)
Do x>log973>1 nªn (1)⇔log3(9x−72)≤ x
⇔9x−72≤3x ( )3x 3x 720 (3) Đặt t 3= x (3) trở thành
t2 t7208t983x x2
Kết hợp với điều kiện (2) ta đợc nghiệm bất phơng trình là: log973< x≤2
∑1,0® 0,25 ®
0,25 ®
0,25 ® 0,25 ®
∑1,0® 0,25 ®
0,25 ®
0,25 ® 0,25 ®
(3)3 + + = + − = − ) ( ) ( y x y x y x y x
§iỊu kiƯn: (3)
0 ≥ + ≥ − y x y x ( ) + = = ⇔ = − − − ⇔ 1 )
(
y x y x y x y x
Thay x= vào (2), giải ta đợc y x= y =1 Thay x= y+1 vào (2), giải ta cã:
2 , = = y x
Kết hợp với điều kiện (3) hệ phơng trình có nghiệm: x= y1, =1 vµ
2 , = = y x Chó ý:
Thí sinh nâng hai vế (1) lên luỹ thừa bậc để di đến kết quả: + = = y x y x
∑1,0® 0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑1,0® 0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
III
Tìm giao điểm hai đờng cong
4 x2
y = − vµ
2
2 x y = :
4 x − = x 8 4 32 2 ± = ⇔ = ⇔ = − +
⇔ x x x x
Trªn [− 8; 8] ta cã x 4 x −
≤ hình đối xứng qua trục tung
nªn S ∫ x x dx
− − = 2 4
2 1 2
8 2
16−x dx− x dx=S −S
= ∫ ∫
Để tính S1 ta dùng phép đổi biến x=4sint,
4
0≤ t≤π 0 x
dx=4costdt > ∀ ∈ ; 0
cost t π Do
∑1,0®
0,25 ®
0,25 ®
∑1,5®
0,5 ® 0,25 ® x -4 y
-2 2
(4)(1 cos2 )
cos 16
16
0
0
0
2
1 = ∫ − = ∫ = ∫ + = π +
π π
dt t tdt
dx x
S
3
6
2
1
0
0
2 = ∫x dx= x =
S VËy
3 2
1 − = +
=S S π
S
Chó ý: ThÝ sinh cã thĨ tÝnh diƯn tÝch S ∫ x x dx
−
− − =
8
2
2 4
4
0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
IV 1
Khoảng cách từ I đến đ−ờng thẳngAB
5
5 =
⇒ AD vµ
2 = = IB
IA
Do A, giao điểm đ−ờng thẳng AB với đ−ờng tròn tâm I bán B kính
2 =
R Vậy tọa độ A, nghiệm hệ : B
= + −
= + −
2
2
2
1
0 2
y x
y x
Giải hệ ta đợc A(2;0) ( ),B 2;2 (vì xA <0) ( ) (3;0, −1;−2)
⇒C D
Chó ý:
Thí sinh tìm tọa độ điểm H hình chiếu I đ−ờng thẳng AB Sau tìm A, giao điểm đ−ờng trịn tâm H bán kính HA với đ−ờng B thẳng AB
∑1,0®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ® 0,25 ®
∑1,5®
0,25 ®
0,5 ®
0,5 ® 0,25 ® x
C I
O A
D
B H
y
(5)Cách I Chọn hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho
( ) (B a ) (D a ) (A a) C(a a ) (B a a) (C a a a) (D a a) A0;0;0, ;0;0, 0; ;0, 1 0;0; ⇒ ; ;0; 1 ;0; ; 1 ; ; , 1 0; ;
( ;0; ), 1 ( ; ; ), 1 1 ( ;0;0) 1B a a BD a a a AB a
A = − = − − =
⇒ vµ[A1B,B1D]=(a2;2a2;a2)
VËy ( ) [ ]
[ , ] 6
,
, 2
3
1
1 1 1
1
a a
a D
B B A
B A D B B A D B B A
d = = =
C¸ch II AB (ABC D) AB B D AD
B A
AB B A
1 1
1
1
1 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥ ⊥
T−¬ng tù A1C1⊥B1D⇒B1D⊥(A1BC1)
Gäi G =B1D∩(A1BC1) Do B1A1 =B1B=B1C1=a nªn G
GC GB
GA1 = = 1 ⇒ tâm tam giác A1BC1 có cạnh a Gọi I trung điểm A1B IG đ−ờng vng góc chung A1B
D
B1 , nªn ( )
6
3
1
1
, 1 1 1
1
a B
A I C IG D B B A
d = = = =
Chó ý:
ThÝ sinh cã thể viết phơng trình mặt phẳng ( )P chứa A1B vµ song song víi D
B1 lµ:x+2y+z−a=0 vµ tÝnh khoảng cách từ B1(hoặc từ D ) tới ( )P , viết phơng trình mặt phẳng ( )Q chứa B1D vµ song song víi A1B lµ:
0
2 + − =
+ y z a
x tính khoảng cách từ A1(hoặc từ B) tíi ( )Q
0,25 ®
0,25 ® 0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,5 ® 0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,5 ® x
D1
D C1 B1
A1 z
y
x
A
C B
I
(6)2b) C¸ch I
Tõ C¸ch I cđa 2a) ta tìm đợc
a a
P a a N a a
M ;
2 ; , ; ; , ; ;
0
; ; ,
2 ;
; 1 ⇒ 1 =
=
− =
⇒MP a a a NC a a MPNC
VËy MP⊥C1N
Cách II
Gọi E trung điểm CC1 ME(CDD1C1)hình chiếu vuông góc
MP (CDD1C1) ED1 Ta có
N C E D N C D N
CC E D C E C D CN
C 1 1 1 1
1
1
1
1 =∆ ⇒ = =90 − ⇒ ⊥
Từ
theo nh lý ba ng vng góc ta có MP⊥C1N
∑1,0® 0,25 ®
0,5 ® 0,25 ®
0,25 ®
0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® V
Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1,A2,L,A2n C 2n3
Gọi đ−ờng chéo đa giác A1A2LA2n qua tâm đ−ờng tròn ( )O đ−ờng chéo lớn đa giác cho có n đ−ờng chéo lớn
Mỗi hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1,A2,L,A2n có đ−ờng chéo hai đ−ờng chéo lớn Ng−ợc lại, với cặp đ−ờng chéo lớn ta có đầu mút chúng đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói số cặp đ−ờng chéo lớn đa giác A1A2LA2n tức C n2
Theo giả thiết thì:
1,0đ 0,25 ®
0,25 ®
D1
A1
B1 C1
C B
A
M E
N P
y
x
z
(7)(2 3)! 2!( 2)! !
3 n− n−
8 15
1
2 − = ⇔ =
⇔ n n
Chó ý:
Thí sinh tìm số hình chữ nhật cách khác Nếu lý luận để đến kết số hình chữ nhật
2 ) (n−
n
cho điểm tối đa phần
0,5 ®
dethivn.com