0,25 dethivn.com. dethivn.com.[r]
(1)1 Bộ giáo dục đào tạo Đáp án - Thang điểm
đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004
§Ị chÝnh thøc Môn: Toán, Khối B (Đáp án - thang điểm có trang)
Câu ý Néi dung §iĨm
I 2,0
1 Khảo sát hàm số (1,0 ®iĨm) y 1x3 2x2 3x
3
= − + (1) a) Tập xác định: R
b) Sù biÕn thiªn:
y' = x2 − 4x + 3; y'=0⇔ x=1, x=3 0,25 yC§ = y(1) =
3, yCT = y(3) = 0; y" = 2x − 4, y'' = ( ) x 2, y
3
= = Đồ thị hàm số lồi khoảng (; 2), lõm khoảng ( 2; + ) có điểm uốn
2 U 2;
3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠.
0,25
Bảng biến thiên:
x −∞ + ∞
y' + − +
y
3 + ∞
−∞ 0,25
c) §å thÞ:
Giao điểm đồ thị với trục Ox, Oy điểm ( ) ( )0;0 , 3;0
(2)2 2 Viết phơng trình tiếp tuyến (C) điểm uốn, (1,0 điểm)
Tại ®iÓm uèn U 2;2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠, tiếp tuyến (C) có hệ số góc y'(2)=−1 0,25 Tiếp tuyến ∆ điểm uốn đồ thị (C) có ph−ơng trình:
y 1.(x 2) y x
3
= − − + ⇔ = − + 0,25
Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x bằng:
y'(x) = x2 − x4 +3 = (x−2)2 −1 ≥ −1⇒ y' (x) ≥ y' (2), ∀ x 0,25 Dấu " =" xảy x = ( hồnh độ điểm uốn)
Do tiếp tuyến đồ thị (C) điểm uốn có hệ số góc nhỏ 0,25
II 2,0
1 Giải phơng trình (1,0 điểm)
5sinx − = tg2 2x ( − sinx) (1) §iỊu kiƯn: cosx ≠ ⇔ x ≠ k , k Z
2
π + π ∈ (*) 0,25
Khi (1) ⇔
2 3sin x
5sin x (1 sin x)
1 sin x
− = −
− 2sin 3sin
2 + − =
⇔ x x 0,25
2 sin =
x sinx=2 (vô nghiệm)
0,25
π + π = ⇔
=
6
1
sinx x k hc = π+ 2π
5 k
x , k∈Z ( tho¶ m·n (*))
0,25 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số (1,0 điểm)
y = ln x
x
⇒ y ' ln x(2 ln x)2 x
−
= ⋅ 0,25
y'=
3
2
ln x x [1; e ] ln x x e [1; e ]
⎡
= = ∈
⎡
⇔⎢ ⇔ ⎢
= ⎢ = ∈
⎣ ⎣ 0.25
Khi đó: y(1) = 0, y(e )2 42, y(e )3 93
e e
= = ⋅
0,25 So sánh giá trị trên, ta có:
3
2
2 [1; e ]
[1; e ]
max y x e , y x e
= = = =
0,25
III 3,0
1 Tìm điểm C (1,0 điểm)
Phơng trình đờng thẳng AB:
4
1 −
− =
− y
x
⇔ 4x + 3y – = 0,25 Gi¶ sư C(x;y) Theo gi¶ thiÕt ta cã: x− y2 −1=0 (1)
d(C, (AB)) =
2
4x 3y 37 (2a) 4x 3y
6
4x 3y 23 (2b)
+ − =
+ − ⎡
⇔ = ⇔ ⎢
+ + =
+ ⎣ 0,25
Gi¶i hƯ (1), (2a) ta đợc: C1( ; 3) 0,25
Giải hệ (1), (2b) ta đợc: C2 43; 27 11 11 − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 0,25
(3)3 Gäi giao ®iĨm cđa AC BD
O SO(ABCD), suy
n
SAO= ϕ
Gäi trung ®iĨm AB M
OMAB SM ABGóc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) nSMO
0,25
Tam giác OAB vuông cân O, nªn OM =a OA= a ⇒SO= a tgϕ
2 2
2 ,
2
Do đó: tgSMOn SO tg OM
= = ϕ
0,25
2
S.ABCD ABCD
1 a 2
V S SO a tg a tg
3
= = ϕ = ϕ 0,50
3 Viết phơng trình đờng thẳng (1,0 điểm)
Đ−ờng thẳng d có vectơ ph−ơng v=(2;−1;4) 0,25 B ∈ d ⇔ B(−3+2t;1−t;−1+4t) (với số thực t )
( )
AB 2t;3 t; 4t
⇒ JJJG= + − − + 0,25
AB ⊥ d ⇔ AB.v=0 ⇔2(1 2t) (3 t) 4( 4t) 0+ − − + − + = ⇔ t = 0,25 AB (3; 2; 1)
JJJG= Phơng trình cña
1
2
4 :
− − = + = +
∆ x y z 0,25
IV 2,0
1 Tính tích phân (1,0 điểm)
dx x
x x I= ∫e +
1
ln ln
Đặt: t 3ln x t2 3ln x 2tdt 3dx x
= + ⇒ = + ⇒ =
x 1= ⇒ =t , x e= ⇒ =t 2 0,25
Ta cã: ( )
2 2
2
1
2 t
I t dt t t dt
3
−
= ∫ = ∫ −
0,25
2
5
1
2 1
I t t
9
⎛ ⎞
= ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ 0,25
I =
135 116
(4)
4 2 Xác định số đề kiểm tra lập đ−ợc (1,0 điểm)
Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ 3, nên có trng hp sau:
ã Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chän lµ:
23625
102 15
2
15 C C =
C 0,25
ã Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chọn là:
C152 C110.C25 =10500 0,25
• Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chọn là:
22750
110 15
3
15 C C =
C 0,25
Vì cách chọn đôi khác nhau, nên số đề kiểm tra lập đ−ợc là:
23625+10500+22750=56875 0,25
V Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm 1,0
§iỊu kiƯn: − x 1.Đặt t = x+ − x− Ta cã: x+ ≥ x− ⇒ ≥ , t = x = t
t2 = −2 x− ≤2 ⇒ ≤t 2, t = x = ±
⇒ Tập giá trị t [0; 2] ( t liên tục đoạn [−1; 1]) 0,25 Ph−ơng trình cho trở thành: m(t 2+ = − + +) t2 t
2 t t
m t
− + +
⇔ =
+ (*) XÐt f(t) =
2 t t
t − + +
+ với ≤ t ≤ Ta có f(t) liên tục đoạn [0; 2] Ph−ơng trình cho có nghiệm x ⇔ Ph−ơng trình (*) có nghiệm t ∈ [0; 2] ⇔
] ; [ ]
2 ; [
) ( max )
(
minf t ≤m≤ f t
0,25
Ta cã: f '(t) =
( )
2 t 4t
0, t 0; t
− − ≤ ⎡ ⎤
∀ ∈ ⎣ ⎦
+ ⇒ f(t) nghịch biến [0; 2] 0,25 Suy ra:
[0; ] [0; ]
min f (t) f ( 2)= = ;− max f (t) f (0) 1= =
Vậy giá trị m cần tìm m 0,25 dethivn.com