0

26 3 0

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 19/01/2021, 09:41

đầu xây dựng được một lớp các biểu diễn của siêu nhóm tuyến tính lượng tử. GL q (3|1)[r] (1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG DUNG PHÂN LOẠI CÁC BIỂU DIỄN CỦA MỘT NHĨM MA TRẬN LƯỢNG TỬ Chuyªn ngμnh: Toán Học M∙ sè: 62 46 05 01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN TỐN HỌC (2)CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI VIỆN TỐN HỌC Ng−êi h−íng dÉn khoa häc Ph¶n biƯn 1: Ph¶n biƯn 2: Phản biên 3: Lun ỏn s bảo vệ Hội đồng chấm Luận án cấp Nhà nước Viện toán học Vào hồi … … phút, ngày … tháng … năm 2010 Có thể tìm hiểu Luận án tại: Viện tốn học (3)Mở đầu Nhóm lượng tử loại A hiểu đại số Hopf xây dựng từ nghiệm phương trình Yang-Baxter thỏa mãn hệ thức Hecke điều kiện đóng Vấn đề quan tâm luận án nghiên cứu biểu diễn nhóm lượng tử này, cụ thể phân loại biểu diễn bất khả quy trường hợp số chiều thấp ((2|1) (3|1)) Cố định không gian véc tơ V , với chiều d, trường đóng đại số k, đặc số Một toán tử khả nghịch R : V ⊗ V −→ V ⊗ V gọi đối xứng Hecke thỏa mãn phương trình Yang - Baxter, hệ thức Hecke tính chất đóng Từ đối xứng Hecke R, ta xây dựng đại số Hopf HR sau Cố định một sở x1, x2, , xd V, theo sở R biểu diễn ma trận, ký hiệu là (Rklij) Đại số HR thương đại số tự khơng giao hốn phần tử sinh (zji, tij)1≤i,j≤d theo hệ thức sau zmi znjRklmn = Rijpqzkpzlq zkitkj = tikzjk = δji HR đại số Hopf, với ánh xạ cấu trúc 4(zji) = zki ⊗ zjk, 4(tij) = tki ⊗ tkj, ε(zji) = ε(tij) = δji S(zji) = tij Phép đối xứng thông thường: R(x ⊗ y) = y ⊗ x đối xứng Hecke (với q = 1) Đại số HR tương ứng vành hàm quy nhóm GL(V ): k[zji][det(zji)−1 Tương tự, V siêu không gian véc tơ R phép siêu đối xứng, HR siêu đại số hàm quy siêu nhóm ma trận tồn phần Ví dụ quan trọng đối xứng Hecke nghiệm chuẩn loại A của phương trình Yang-Baxter tìm Drinfeld Jimbo Trong trường hợp (4)V có chiều 2, nghiệm cho ma trận sau:       q2 0 0 q 0 q q2 − 0 0 q2       Khi q = 1, toán tử phép đối xứng thông thường V ⊗ V nhắc tới Các nghiệm chuẩn ứng với siêu đối xứng đưa Manin Trên sở ví dụ người ta nói HR xác định nhóm ma trận lượng tử loại A Với đối xứng Hecke R, người ta xét đại số SR, ΛR: SR := khx1, x2, , xdi/(xkxlRklij = qxixj), ΛR := khx1, x2, , xdi/(xkxlRklij = −xixj) Các đại số SR ΛR coi xác định không gian tuyến tính lượng tử SR gọi đại số đối xứng lượng tử, ΛR gọi đại số phản đối xứng lượng tử ΛR, SR đại số toàn phương, nghĩa sinh phần tử bậc với hệ thức bậc hai, đại số phân bậc Chuỗi Poincaré tương ứng chúng PΛ(t) = ∞ X n=0 dimk(Λn)tn, PS(t) = ∞ X n=0 dimk(Sn)tn, với Λn Sn thành phần bậc n tương ứng ΛR SR Khi R phép đối xứng thơng thường, ta có PΛ(t) = (1 + t)d, PS(t) = 1 (1 − t)d Khi R phép siêu đối xứng siêu không gian véc tơ V, với siêu chiều (m|n) ta có PΛ(t) = (1 + t)m (1 − t)n, PS(t) = (1 + t)n (1 − t)m Các đại số ΛR, SR đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu phạm trù biểu diễn nhóm ma trận lượng tử liên kết với R Chúng ta có kết sau (5)3 thức, có tính chất thuận nghịch Gurevich mở rộng kết với q bất kỳ, không đơn vị P.H.Hai chứng minh chuỗi Poincaré đại số toàn phương ΛR một phân thức hữu tỷ, với tử thức đa thức bậc m, có m nghiệm âm, mẫu thức đa thức bậc n, có n nghiệm dương Một câu hỏi đặt với m, n khơng đồng thời 0, chuỗi Poincaré của đại số ΛR SR có cịn có tính chất thuận nghịch hay khơng? Nội dung Chương I đưa câu trả lời khẳng định cho câu hỏi tính thuận nghịch chuỗi Poincaré nhắc tới Cụ thể, chứng minh tử thức mẫu thức chuỗi Poincaré ln đa thức có tính chất thuận nghịch đối thuận nghịch, đa thức có hệ số ngun Các cơng cụ sử dụng công thức Littlewood-Richardson, tiêu chuẩn để đối mô đun đơn nội xạ xạ ảnh Cặp bậc (m, n) tử thức mẫu thức chuỗi Poincaré ΛR, gọi là song hạng đối xứng Hecke R Phùng Hồ Hải rằng: song hạng của đối xứng Hecke xác định phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử tương ứng Vì cần xét nghiệm chuẩn loại A phương trình Yang-Baxter ký hiệu nhóm lượng tử liên kết GLq(m|n) Với m = n = phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử nửa đơn Khi tốn phân loại biểu diễn nhóm lượng tử giải P.H.Hai Khi m n khác 0, toán phân loại biểu diễn bất khả qui của nhóm lượng tử nói chung chưa giải Một khó khăn chính phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử khơng nửa đơn nữa Năm 1986, Palev chứng minh lớp biểu diễn GLq(n|1) là bất khả qui, nhiên chưa phải tất biểu diễn bất khả qui nó Năm 2000, P.H.Hai giải tốn phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (1, 1) Trong Chương II, giải toán phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (2, 1) Cơng cụ phức Koszul K• Nhờ tính chất thuận nghịch chuỗi Poincaré chứng minh Chương I, chứng tỏ rằng phức K1 có đồng điều với chiều 1, từ tìm dãy hợp thành tất (6)hợp thành phức Koszul K• tất đối mô đun đơn HR, chúng đánh số tập số nguyên (m, n, p) thỏa mãn m ≥ n Để chứng minh tính đơn đối mơ đun xây dựng được, kỹ thuật dựa tính chất đại số Hopf có tích phân Trên đại số Hopf có tích phân tồn lớp đối mô đun đặc biệt mà người ta gọi đối mô đun "chẻ", trường hợp siêu đại số Lie nửa đơn, lớp Kac gọi biểu diễn điển hình Một đối mô đun đơn gọi đối mô đun chẻ nội xạ xạ ảnh Chúng đưa điều kiện để đối mô đun xây dựng đối mơ đun chẻ Ngồi chúng tơi cịn đưa cơng thức tính chiều cho đối mơ đun đơn GLq(2|1) Chương III đưa phương pháp xây dựng tường minh biểu diễn bất khả qui siêu nhóm GL(3|1) Chương phục vụ cho việc xây dựng biểu diễn bất khả quy của nhóm lượng tử trường hợp song hạng (3, 1) Chương IV Kac phân loại biểu diễn bất khả qui siêu đại số Lie gl(m|n) Các biểu diễn bất khả qui gl(m|n) chia thành hai loại: điển hình khơng điển hình Sau đó, Kac đưa cơng thức tính đặc trưng cho tất biểu diễn điển hình Nhờ việc sử dụng mô đun Verma, Kac đưa cách xây dựng chi tiết cho tất biểu diễn điển hình Năm 2007, Su Zhang đưa cơng thức tính đặc trưng cho tất biểu diễn Nhưng việc xây dựng cụ thể cho tất biểu diễn khơng điển hình toán chưa giải Bằng cách kết hợp phức Koszul K L để thu phức Koszul kép dựa vào kết Su-Zhang, đưa cách xây dựng tường minh biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Mục đích Chương IV phân loại biểu diễn bất khả qui GLq(3|1) Với phương pháp dùng Chương III, xây dựng lớp biểu diễn GLq(3|1) Chúng tơi dự đốn tập biểu diễn xây dựng được tập tất biểu diễn bất khả qui GLq(3|1) thu số kết ban đầu Chúng tơi hy vọng hồn thiện chứng minh (7)Chương 1 Biểu diễn nhóm lượng tử loại A và ứng dụng Trong chương này, trước hết giới thiệu nhóm lượng tử liên kết với một đối xứng Hecke Tiếp theo ứng dụng kết biết vào việc nghiên cứu chuỗi Poincaré đại số liên kết với đối xứng Hecke cho 1.1 Đối xứng Hecke k trường đóng đại số, đặc số Các khơng gian véc tơ hiểu không gian véc tơ k Định nghĩa 1.1.1 Cho V không gian véc tơ hữu hạn chiều, toán tử khả nghịch R : V ⊗ V −→ V ⊗ V gọi đối xứng Hecke điều kiện sau thỏa mãn: (i) R1R2R1 = R2R1R2, với R1 := R ⊗ IdV, R2 := IdV ⊗ R, (ii) (R + 1)(R − q) = với q ∈ k×, (iii) Tốn tử nửa liên hợp với R, R] : V∗ ⊗ V −→ V ⊗ V∗, đưa hR](ξ ⊗ v), wi = hξ, R(v ⊗ w)i, nghịch đảo q gọi tham số lượng tử Ta giả sử qn 6= với n ≥ Cố định sở x1, x2, , xd V, R biểu diễn dạng ma trận ký hiệu (Rijkl), tức R(xi ⊗ xj) = xk ⊗ xlRklij Để cho thuận tiện chúng qui ước số xuất phía phía biểu thức đó, hiểu biểu thức lấy tổng theo số (8)1.2 Các đại số toàn phương liên kết với đối xứng Hecke Cho R đối xứng Hecke Ta xét đại số sau: SR := khx1, x2, , xdi/(xkxlRijkl = qxixj), ΛR := khx1, x2, , xdi/(xkxlRijkl = −xixj), ER := khz11, z 2, , z d di/(z i mz j nR mn kl = R ij pqz p kz q l), HR := khz11, z 2, , z d d, t 1 1, t 1 2, , t d di , zmi znjRmnkl = Rijpqzkpzlq, zkitkj = tikzjk = δji ! với {zji} {ti j} tập sinh Các đại số ΛR, SR gọi đại số phản đối xứng lượng tử đại số đối xứng lượng tử Đại số ER song đại số, HR đại số Hopf Ánh xạ tự nhiên i : ER −→ HR đơn ánh Vì ER coi song đại số con HR Nên đối mô đun ER đối mô đun HR Các đại số SR, ΛR đại số toàn phương, chuỗi Poincaré tương ứng đại số PΛ(t) = ∞ X n=0 dimkΛntn, PS(t) = ∞ X n=0 dimkSntn 1.3 Đối mô đun ER Không gian véc tơ V đối mô đun ER Do ER song đại số, lũy thừa ten xơ V đối mô đun ER Phân loại đối mô đun ER được giải nhờ đại số Hecke 1.3.1 Đại số Hecke Định nghĩa 1.3.1 Đại số Hecke Hn = Hq,n đại số, có hệ sinh gồm phần tử Ti, ≤ i ≤ n − 1, thỏa mãn hệ thức sau: TiTj = TjTi : |i − j| ≥ 2; TiTi+1Ti = Ti+1TiTi+1; Ti2 = (q − 1)Ti + q Như khơng gian véc tơ, Hn có sở Tw, w ∈ Sn (Sn nhóm hốn vị n phần tử) xác định sau T(i,i+1) = Ti TwTv = (9)7 Với qn 6= : n ≥ 2, đại số Hn nửa đơn Một đối xứng Hecke R không gian véc tơ V cảm sinh tác động đại số Hecke Hn = Hq,n V⊗n: Ti 7−→ Ri = id⊗i−1V ⊗ R ⊗ id ⊗n−i−1 V Tác động giao hốn với tác động ER Vì phần tử Hn xác định tự đồng cấu V⊗n tự đồng cấu ER-đối mô đun Điều ngược lại đúng, ER- tự đồng cấu đối mô đun V⊗n biểu diễn tác động phần tử Hn Do V⊗n nửa đơn đối mơ đun con đơn đưa ảnh tự đồng cấu xác định phần tử lũy đẳng nguyên thủy Hn phần tử lũy đẳng liên hợp xác định đối mô đun đẳng cấu Vì lớp liên hợp phần tử lũy đẳng nguyên thủy Hn đánh số phân hoạch n, nên đối mô đun đơn V⊗n đánh số tập phân hoạch n 1.3.2 Thuật tốn Littlewood-Richardson Ta biết đối mơ đun đơn ER đánh số tập phân hoạch Cơng thức phân tích tích ten xơ hai đối mô đun đơn đưa ra nhờ hệ số Littlewood - Richardson Cho Iλ, Iµ ký hiệu đối mơ đun đơn tương ứng với phân hoạch λ, µ tương ứng Khi Iλ⊗ Iµ ∼= M γ Iγ⊕c γ λµ (1.3) trong cγλµ hệ số Littlewood-Richardson miêu tả phép nhân hàm Schur sγ tích hai hàm Schur sλ sµ Hệ số Littlewood-Richardson thuật tốn tổ hợp để tính tốn hệ số cγλµ, gọi thuật tốn Littlewood-Richardson, đẵ mô tả chi tiết luận án 1.4 Đối mô đun HR Ánh xạ tự nhiên i : ER −→ HR đơn ánh, nên ER-đối mô đun đơn là HR-đối mô đun đơn Vì HR đại số Hopf, nên đối mô đun hữu hạn (10)đối tác động M Trên HR có lớp mơ đun đặc biệt mà người ta thường quan tâm đến đối mơ đun chẻ Định nghĩa 1.4.1 Một đối mô đun đơn HR gọi chẻ nội xạ xạ ảnh Đối mô đun Iλ chẻ λm ≥ n, với (m, n) song hạng R 1.5 Phức Koszul liên kết với đối xứng Hecke Ký hiệu V∗ không gian véc tơ đối ngẫu V , Xn, Yn toán tử đối xứng lượng tử, phản đối xứng lượng tử, định nghĩa sau: Xn := 1 [n]q! X w∈Sn Rw, Yn := 1 [n]1/q! X w∈Sn (−q)−l(w)Rw Phức Koszul L với vi phân P xây dựng sau: Pp,r : Sp⊗ Λr  //V⊗p⊗ V⊗r = V⊗(p−1)⊗ V⊗(r+1) Xp−1⊗Yp+1 // Sp−1 ⊗ Λr+1 Ngồi ra, ta cịn có tốn tử vi phân Q sau đây: Qp,r : Sp−1⊗ Λr+1  //V⊗(p−1)⊗ V⊗(r+1) = V⊗p ⊗ V⊗r Xp⊗Yr // Sp⊗ Λr Phức (L, P ) khớp Trên Lp,r ta có: [r][p + 1]P Q + [p][r + 1]QP = [r + p]id (1.8) Người ta định nghĩa phức Koszul K sau: Phức Koszul K, với thành phần vị trí (k, l) Kk,l := Λk ⊗ Sl∗ Các toán tử vi phân dk,l : Λk ⊗ Sl∗ −→ Λk+1 ⊗ Sl+1∗ xây dựng sau: dk,l : Λk ⊗ Sl∗ ,→ V⊗k ⊗ V∗⊗l id⊗dbV⊗id −→ V⊗k+1⊗ V∗⊗l+1 Yk+1⊗Xl+1 ∗ → Λk+1 ⊗ Sl+1∗ Ta có tốn tử vi phân ∂k,l : Λk+1 ⊗ Sl+1∗ ,→ V⊗k+1⊗ V∗⊗l+1 id⊗evV τV,V ∗ ⊗id −→ V⊗k ⊗ V∗⊗l Yk⊗Xl→ Λ∗ k ⊗ Sl∗, với τV,V∗ bện V ⊗ V∗ Trên Kk,l ta có: (11)9 Nếu −[l − k]q 6= rankqR, đồng điều thành phần phức Cịn phức có k − l = m − n rankqR = −[m − n], với (m, n) song hạng của đối xứng Hecke, phức khớp nơi, trừ thành phần (m, n) có đồng điều chiều k, gọi siêu định thức Ta biết ER-đối mô đun HR-đối mô đun Trong số HR -đối mô đun không ER-đối mơ đun, siêu định thức đóng vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu xác định chúng Việc nghiên cứu tính chất chuỗi Poincaré đại số liên kết với đối xứng Hecke có vai trò quan trọng trong nghiên cứu phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử liên kết 1.6 Chuỗi Poincaré 1.6.1 Chuỗi Poincaré chiều ER-đối mô đun Định lý 1.6.2 Cho R đối xứng Hecke PΛ(t) phân thức có dạng PΛ(t) = Πmi=1(1 + xit) Πnj=1(1 − yjt) , xi, yj > Định nghĩa 1.6.3 Cặp (m, n) gọi song hạng đối xứng Hecke P.H.Hải chứng minh song hạng đối xứng Hecke có vai trị quyết định phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử tương ứng Vì PS(t), PΛ(t) thỏa mãn PΛ(t)PS(−t) = Nên chuỗi Poincaré SR có mơ tả tương tự Với phân hoạch λ ∈ Γm,n, nghĩa λm ≥ n, λ = ((nm) + α) ∪ β, trong α có nhiều m thành phần khác khơng, β có β1 ≤ n Khi ta có dimkIλ = Y 1≤i≤m 1≤n≤n (xi+ yj) · sα(x) · sβ0(y) (1.11) ở sα(x) (tương ứng sβ(y)) hàm Schur biến (x1, x2, , xm) (tương ứng (y1, y2, , yn)), β0 phân hoạch liên hợp β: βi0 := #{j|βj ≥ i} 1.6.2 Tính thuận nghịch chuỗi Poincaré Trong phần này, ta dùng công thức nhân ten xơ ER-đối mô đun (1.3), (12)đối mô đun đơn với Λ∗k, cho tích ten xơ nửa đơn So sánh chiều đối mơ đun đơn phân tích, thu kết sau: Định lý 1.6.4 Chuỗi Poincaré đại số toàn phương liên kết với đối xứng Hecke hàm hữu tỷ, với tử thức đa thức có tính chất thuận nghịch mẫu thức đa thức có tính chất đối thuận nghịch Sử dụng công thức (1.11), ta thu kết sau: Mệnh đề 1.6.5 Với giả thiết định lý 1.6.4 trên, hệ số ai, bj (13)Chương 2 Biểu diễn bất khả qui GLq(2|1) Mục đích chương phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử GLq(2|1), phân loại đối mô đun đơn đại số Hopf liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (2, 1) Công cụ để xây dựng biểu diễn bất khả qui của HR trường hợp chủ yếu sử dụng phức Koszul K 2.1 Một số tính chất phức Koszul K Cho R đối xứng Hecke có song hạng (m, n) : mn 6= Chúng thu một số tính chất phức K, nhờ xây dựng lớp đối mô đun đơn HR Mệnh đề 2.1.1 Với a 6= m − n, thành phần phức Ka thỏa mãn đẳng cấu sau: Kk,l = Λk ⊗ Sl∗ ∼= Imdk−1,l−1 ⊕ Im∂k,l : với l − k = a (2.1) Bổ đề 2.1.2 Các tốn tử vi phân dk,l phức K• khác với cặp (k, l) thỏa mãn k, l ≥ 2.2 Khai triển tích ten xơ ER-đối mô đun đơn Dùng thuật tốn Littlewood-Richardson, ta có phân tích tích ten xơ số lớp đối mô đun sau Im,n,p ⊗ I1,0,0 = " Im+1,n,p + Im,n+1,p + Im,n,p+1 m > n, Im+1,n,p + Im,n,p+1 m = n (2.3) (14)Im,m,1 ⊗ In,0,0 = Im+n,m,1+ Im+n−1,m,2 : m, n ≥ (2.4) Im,n,p ⊗ I1,1,k =       Im+1,n+1,p+k + Im+1,n,p+k+1 +Im,n+1,p+k+1 + Im,n,p+k+2 m > n, Im+1,m+1,p+k + Im+1,m,p+k+1 +Im,m,p+k+2 m = n (2.5) Ký hiệu (m)u := u m−u−m u−u−1 ∈ Z với m Hệ từ công thức PS(t) dimIm,0,0 = dimSn = (m)u+ (m + 1)u Với n ≥ 1, theo phương trình (1.11) ta có: dimIm,n,p = ((2)u+ 2)(m − n + 1)u (2.6) 2.3 Phân tích tích ten xơ với đối ngẫu ER-đối mô đun đơn Chúng đưa số công thức nhân ten xơ ER đối mô đun với V∗ Bổ đề 2.3.1 Với (m, n, p) mà m ≥ n ≥ 2, p ≥ 1, ta có cơng thức sau Im,n,p ⊗ I1,0,0∗ = " Im−1,n,p+ Im,n−1,p+ Im,n,p−1 m > n, Im,n−1,p+ Im,n,p−1 m = n (2.7) Từ (2.4) ta có Im,m,1 ⊗ In,0,0∗ = Im,m−n,1 + Im,m−n+1,0, m > n ≥ (2.8) Bổ đề 2.3.2 Phức Koszul K1 có đồng điều khác khơng Λ2 ⊗ S1∗ 2.4 Tích phân đối mơ đun chẻ Một tích phân phải đại số Hopf H đồng cấu H-đối mô đun: H −→ k, với H đối tác động đối tích đối tác động k đối đơn vị Tích phân trái định nghĩa cách tương tự Theo bổ đề trên, HR tồn tích phân trái tích phân phải Trên đại số Hopf có tích phân, một lớp đối mơ đun đặc biệt nghiên cứu, có vai trị quan trọng, (15)13 Bổ đề 2.4.1 Cho R đối xứng Hec ke với song hạng (2, 1) Khi với bất kỳ phân hoạch λ = (m, n, 1p) ∈ Γ2,1, đối mô đun tương ứng với phân hoạch Iλ, chẻ n ≥ Với n ≥ 2, Λn = I1,1,n−2 chẻ Sn = In,0,0 không đối mô đun chẻ với n, I0,0,0 := k không chẻ Bổ đề sau công cụ để kiểm tra tính chẻ đối mơ đun HR Bổ đề 2.4.2 Cho HR đại số Hopf với cấu trúc đối tựa tam giác, H tồn tích phân trái tích phân phải Cho M đối mô đun nội xạ xạ ảnh, với End(M ) ∼= k Thì M đối mơ đun chẻ Sử dụng bổ đề chứng minh kết sau: Hệ 2.4.3 Các đối mô đun Imdk,l đơn với cặp (k, l) thỏa mãn l, k ≥ 0, k − l 6= Tiếp theo xây dựng lớp đối mô đun đơn HR tính chiều của đối mơ đun Với l, k ≥ 0, ta ký hiệu I1,−l,k := " Imdk+1,l l > k ≥ 0, Imdk+2,l+1 k > l ≥ (2.9) Theo Hệ 2.4.3, I1,−l,k đối mô đun chẻ với k 6= l ≥ Ta có cơng thức tính chiều sau dimI1,−l,k = ((2)u+ 2)(l + 1)u, với l > k ≥ (2.11) dimI1,−l,k = ((2)u+ 2)(l + 2)u, với k > l ≥ (2.12) Chúng sử dụng phức Koszul Ki để xây dựng biểu diễn nhóm lượng tử Ta biết phức Ki : i 6= khớp, K1 không khớp Ta thu số kết phức Ki sau 2.5 Đồng điều phức Koszul K1 Trong phần trước, ta có phức Koszul K1 không khớp Λ2⊗ S1∗ Tiếp (16)Định lý 2.5.1 Cho R đối xứng Hecke có song hạng (2, 1), nhóm đồng điều phức liên kết K1 Λ2 ⊗ S1∗ có chiều k Ký hiệu đối mô đun I1,1,−1 Cho đối mô đun đơn Im,n,p : m ≥ n ≥ 1, p ≥ 1, thì Im,n,p ⊗ I1,1,−1 = Im+1,n+1,p−1 (2.13) Hệ 2.5.2 Đối mô đun thương Ker∂1/Kerd2 đẳng cấu với I1,−1,1 := I2,0,0⊗ I1,1,−1∗ Do dãy hợp thành K2,1 = I1,1,0⊗ I1,0,0 gồm I1,1,−1, I1,−1,1 hai bản I1,0,0 Bằng phương pháp chứng minh tương tự hai kết trên, chúng tơi tìm được dãy hợp thành tất thành phần phức K1 Định lý 2.5.3 Cho R đối xứng Kecke có song hạng (2, 1) Khi nhóm đồng điều phức Koszul K1 Λk+1 ⊗ Sk∗ : k ≥ triệt tiêu Ngoài ra, dãy hợp thành Λk+1 ⊗ Sk∗ : k ≥ gồm I1,2−k,k−2, I1,−k,k hai của I1,1−k,k−1 2.6 Phân loại đối mô đun đơn Trong mục trước, xây dựng lớp đối mô đun đơn ứng với phân hoạch, lớp đối mô đun đơn ứng với (1, −l, k); l 6= k ≥ (xem (2.9)), và (1, 1, −1) Với số nguyên (m, n, p) thỏa mãn m ≥ n ≥ 1, p ≥ 1, ta có Im,n,p⊗ I1,1,−1 = Im+1,n+1,p−1 Để định nghĩa đối mô đun khác, trước hết ta đặt Im,n,p := Im+p,n+p,0 ⊗ I1,1,−1∗⊗p Vì vậy, vấn đề cịn lại định nghĩa đối mô đun đơn ứng với số nguyên (m, n, 0) mà m ≥ n Với m ≥ n ≥ 0, Im,n,0 định nghĩa Với > m ≥ n, đặt Im,n,0 := I−n,−m,0∗ Với m > > n, đặt Im,n,0 := I1,n−m+1,m−1⊗ I1,1,−1⊗m−1 (17)15 thức tính chiều sau Im,n,p: dimIk,l,0 =    ((2)u+ 2)(k − l + 1)u k ≥ l ≥ (k)u+ (k + 1)u k > l = ((2)u+ 2)(k − lu k > > l (2.22) Mệnh đề 2.6.1 HR-đối mô đun đơn Im,n,p chẻ (m + p)(n + p) 6= Bổ đề 2.6.2 Cho (m, n, p), (x, y, z) tương ứng với phân hoạch Thì Im,n,p⊗ I1,1,−1⊗t ∼= Ix,y,z m + t = x, n + t = y, z + t = p Định lý 2.6.3 Cho số (m, n, p), (x, y, z) ∈ Z3, với m ≥ n, x ≥ y Nếu (m, n, p) 6= (x, y, z), đối mô đun đơn Im,n,p, Ix,y,z không đẳng cấu với nhau Định lý cho ta thấy rằng: ứng với số nguyên (m, n, p) khác nhau, chúng xây dựng đối mô đun Im,n,p thực khác Hệ 2.6.4 Luật đối ngẫu sau Im,n,p∗ = I−n,−m,−p (2.25) 2.7 Tính đầy đủ tập hợp {Im,n,p : m ≥ n; m, n, p ∈ Z} Như ta xây dựng tập đối mô đun đơn {Im,n,p : m, n, p ∈ Z, m ≥ n} Tiếp theo chúng tơi xác định cơng thức cho tích ten xơ đối mô đun đơn với I1,0,0∗ từ suy tập đối mô đun đơn tất đối mơ đun đơn HR Bổ đề 2.7.1 • Dãy hợp thành Im,1,0⊗I1,0,0∗: m ≥ gồm Im−1,1,0, Im,1,−1, Im,−1,1 hai Im,0,0 • Với n ≥ 2, dãy hợp thành I1,−n,0⊗ I1,0,0∗ gồm I1,−n−1,0, I−1,−n,1, I1,−n,−1 hai I0,−n,0 • Với m ≥ 2, n ≥ ta có phân tích ten xơ sau (18)Từ kết trên, chúng tơi thu dãy hợp thành tích ten xơ Im,n,0⊗ V∗ là chứa đối mơ đun đơn mà chúng tơi xây dựng Vì định lý sau được chứng minh Định lý 2.7.2 Tập hợp {Im,n,p : m ≥ n, m, n, p ∈ Z} tất đối mô đun (19)Chương 3 Phức Koszul kép xây dựng biểu diễn bất khả qui siêu nhóm tuyến tính GL(3|1) Để chuẩn bị cho việc xây dựng tường minh biểu diễn bất khả qui GLq(3|1) chương sau, đưa chương mô tả tường minh biểu diễn bất khả qui GL(3|1) 3.2 Phức Koszul kép Hai phức Koszul K, L giới thiệu Chương 1, kết hợp lại thành một phức kép với tất dòng cột, trừ cột khớp Sử dụng tính chất phức này, xây dựng tường minh tất biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Để đơn giản ta dùng dấu "·" để ký hiệu tích ten xơ Cố định số nguyên a ≥ Ta có có sơ đồ sau với tất hàng phức Koszul K• nhân ten xơ với S• cột phức Koszul L• nhân ten xơ với S•∗: 0 0 0 0 //Sa∗ OO d// Λ1· Sa+1∗ OO d // Λ2· Sa+2∗ OO d // Λ3· Sa+3∗ OO d // Λ4· Sa+4∗ OO 0 // OO Λ1· Sa+1∗ d // P OO S1· Λ1· Sa+2∗ d // P OO S1· Λ2· Sa+3∗ d // P OO S1· Λ3· Sa+4∗ P OO 0 // OO S2· Sa+2∗ d // P OO S2· Λ1· Sa+3∗ d // P OO S2· Λ2· Sa+4∗ P OO (3.1) (20)Các hình vng sơ đồ giao hốn Với siêu nhóm GL(3, 1), tất hàng sơ đồ phức Ka, phức khớp a 6= −2 Vì sơ đồ (3.1) phức kép với tất dòng cột (trừ cột đầu tiên) khớp Dùng tốn tử vi phân ∂ Q, ta có phức Koszul kép sau đây: 0                0oo ∂_ _ _ Sa∗ Q    oo_ _∂_ Λ1· Sa+1∗ Q    oo_ _∂_ _ Λ2· Sa+2∗ Q    oo_ _ ∂_ _ _ Λ3· Sa+3∗ oo ∂_ _ _ _ _ Q    Λ4· Sa+4∗ Q    0oo ∂_ _ _ S1· Sa+1∗ oo ∂_ _ _ Q    S1· Λ1· Sa+2∗ oo ∂ _ _ _ Q    S1· Λ2· Sa+3∗ oo ∂_ _ _ Q    S1· Λ3· Sa+4∗ Q    0oo ∂_ _ _ _ _ _ S2· Sa+2∗ oo ∂ _ _ _ _ S2· Λ1· Sa+3∗ oo ∂_ _ _ S2· Λ2· Sa+4∗ (3.3) 3.3 Một số tính chất phức Koszul kép Từ kết thu hai mệnh đề đây, đưa xây dựng tường minh lớp biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Kết hợp hai phức mà giới thiệu với vào sơ đồ, ta nhận sơ đồ sau: Si−1· Sa+i−1∗  d0,a+i−1// oooo ∂0,a+i−1 _ _ _ Si−1· Λ1· Sa+i∗ Q    d1,a+i// oo ∂1,a+i _ _ _ Si−1· Λ2· Sa+i+1∗ Q    d2,a+i+1 // oo ∂2,a+i+1 _ _ _ _ _ _ · · · Si.Sa+i∗ ? P OO   d0,a+i // oooo ∂0,a+i _ _ _ _ _ _ Si.Λ1.Sa+i+1∗ P OO d1,a+i+1// oo ∂1,a+i+1 _ _ _ _ _ Q    Si· Λ2· Sa+i+2∗ Q    Si+1.Sa+i+1∗ ? P OO   d0,a+i+1// oooo ∂0,a+i+1 _ _ _ _ P OO Si+1· Λ1· Sa+i+2∗ P OO (3.4) Sử dụng tính chất tốn tử vi phân hai phức kép trên, chúng (21)19 Mệnh đề 3.3.1 Ánh xạ hợp thành ∂P Qd : Si · Sa+i∗ −→ Si · Sa+i∗ sơ đồ (3.4) đẳng cấu với i ≥ Khi ta có Si · Sa+i∗ đẳng cấu với thành phần trực tiếp Si+1 · Sa+i+1∗ Phương pháp chứng minh: Chúng chứng minh ánh xạ cần chứng minh mệnh đề chéo hóa được, với tất giá trị riêng khác không Xét sơ đồ (3.4) dãy khớp phức chẻ thành dãy khớp ngắn //KerPi,k · Si+k+a∗ d0 k,i+k+a// Q  KerPi,k+1· Si+k+a+1∗ Q  d0 k+1,i+k+a+1// KerPi,k+2· Si+k+a+2∗ // Q  //Si+1· Λk−1· Si+k+a∗ Q  Pi+1,k−1 OOOO dk−1,i+k+a// Si+1· Λk· Si+k+a+1∗ Q  Pi+1,k OOOO dk,i+k+a+1// Si+1· Λk+1· Si+k+a+2∗ Pi+1,k+1 OOOO // Q  //KerPi+1,k−1· Si+k+a∗ d0k−1,i+k+a // ? i OO KerPi+1,k· Si+k+a+1∗ d0k,i+k+a+1 // ? i OO KerPi+1,k+1· Si+k+a+2∗ ? i OO // (3.6) Trong sơ đồ trên, thu kết sau: Mệnh đề 3.3.2 Ánh xạ hợp thành P ∂dQ : KerPi,k+1· Sa+i+k+1∗ −→ KerPi,k+1· Sa+i+k+1∗ (với i ≥ 0, k ≥ 0) sơ đồ (3.6) đẳng cấu Khi ta có KerPi,k+1 · Sa+i+k+1∗ đẳng cấu với thành phần trực tiếp Si+1· Imdk,a+i+k+1 Tương tự phương pháp chứng minh mệnh đề trên, chứng minh ánh xạ mệnh đề chéo hóa với trị riêng là khác không 3.4 Đặc trưng biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Ta biết biểu diễn GL(m|n) bất khả qui bất khả qui gl(m|n) với trọng cao với hệ số nguyên Vì kết sau mà giới thiệu siêu đại số Lie gl(m|n) 3.4.1 Đặc trưng biểu diễn điển hình Theo cơng thức tính đặc trưng Kac, với trọng trội nguyên điển hình λ, (22)3.4.2 Đặc trưng biểu diễn khơng điển hình Trong mục chúng tơi tính tốn chi tiết đặc trưng tất biểu diễn bất khả qui khơng điển hình GL(3|1).Các cơng thức đặc trưng cho trường hợp phức tạp Chi tiết mô tả luận án 3.5 Xây dựng biểu diễn bất khả qui GL(3|1) 3.5.1 Xây dựng biểu diễn phương pháp tổ hợp Siêu không gian V với siêu chiều (3|1) biểu diễn bất khả qui G := GL(3|1) Bằng phương pháp tổ hợp ta có V⊗k = ⊕λ∈Γ3,1I ⊕Cλ λ , với Iλ mô đun đơn, Γ3,1 tập tất phân hoạch thỏa mãn λ4 ≤ Với Iλ, λ ∈ Γ3,1, thì Iλ có trọng cao λ Từ ta xác định trọng cao Iλ∗ 3.5.2 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul K Từ phức Ka với a 6= khớp, ta có Λk.Sl∗ = Imdk−1,l−1 ⊕ Imdk,l Hệ của điều ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.5.1 Mô đun Imdk+1,l+1 đơn với (k, l) thỏa mãn l, k ≥ 1, k − l 6= Sử dụng mệnh đề này, thu được: với trọng trội nguyên λ = (m, m, −p|0), xây dựng biểu diễn có đặc trưng đặc trưng V (λ) 3.5.3 Xây dựng biểu diễn cách sử dụng phức Koszul kép Sử dụng Mệnh đề 3.3.1, với trọng cao có dạng λ = (n, 0, −p|0) ta xây dựng biểu diễn có đặc trưng với đặc trưng V (λ) Sử dụng Mệnh đề 3.3.2, với trọng cao λ = (m + a, m, −p|0), xây dựng các biểu diễn có đặc trưng đặc trưng V (λ) Tóm lại: với trọng cao (m, n, p|q) nào, xây dựng (23)21 với đặc trưng biểu diễn bất khả qui V (λ) Do tập biểu diễn xây dựng bất khả qui tất biểu diễn siêu nhóm tuyến tính (24)Biểu diễn bất khả qui GLq(3|1) Mục đích chương bước đầu giải toán phân loại biểu diễn bất khả qui đại số Hopf liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (3, 1) Với phương pháp sử dụng Chương 3, nhờ tính chất phức Koszul K, L phức Koszul kép, xây dựng biểu diễn của GLq(3|1), biểu diễn đánh số số nguyên (m, n, p, p) thỏa mãn điều kiện: m ≥ n ≥ p, m, n, p, q ∈ Z 4.1 Một số tính chất phức Koszul kép Tương tự Chương 3, Chương 4, phức Koszul K, L, xét đến phức Koszul trường hợp lượng tử Chúng thu một số kết sau Các kết đóng vai trò định việc xây dựng biểu diễn GLq(3|1) Mệnh đề 4.1.1 Ánh xạ hợp thành g := ∂P Qd : Sk · Sb∗ −→ Sk · Sb∗ sơ đồ (3.4) đẳng cấu với k ≥ Khi ta có Sk · Sb∗ đẳng cấu với thành phần trực tiếp Sk+1 · Sb+1∗ Mệnh đề 4.1.2 Ánh xạ hợp thành P ∂dQ : KerPi,k+1· Sa+i+k+1∗ −→ KerPi,k+1· Sa+i+k+1∗ trong sơ đồ (3.6) đẳng cấu Khi KerPi,k+1· Sa+i+k+1∗ đẳng cấu với thành phần trực tiếp Si+1 · Imdk,a+i+k+1 (25)23 4.2 Xây dựng biểu diễn GLq(3|1) 4.2.1 Xây dựng biểu diễn sử dụng phân hoạch Với m ≥ n ≥ p ≥ 0, Im,n,p,0 := Iλ, với λ = (m, n, p) Với ≥ m ≥ n ≥ p, Im,n,p,0 := I−p,−n,−m,0∗ Với n = p = 0, Im,0,0,0 := Sm Với m = n = 0, p < 0, đặt I0,0,p,0 := S−p∗ 4.2.2 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul K Sử dụng phức Koszul Ka với a 6= xây dựng tập biểu diễn được đánh số số nguyên (m, m, −p, 0):m, p ≥ Với p = 0, đặt Im,0,0,0 := Sm 4.2.3 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul kép Sử dụng phức Koszul kép Mệnh đề 4.1.1, xây dựng biểu diễn đánh số tập số nguyên có dạng (k, 0, −m, 0) : k, m ≥ Sử dụng phức Koszul kép K Mệnh đề 4.1.2, xây dựng biểu diễn đánh số tập số nguyên có dạng (m + a, m, −p, 0): (26)Kết luận luận án Trong luận án thu kết sau: 1 Chứng minh chuỗi Poincaré đại số toàn phương liên kết với đối xứng Hecke có tính chất thuận nghịch đối thuận nghịch (tử thức đa thức có tính chất thuận nghịch, mẫu thức đa thức có tính chất đối thuận nghịch), đa thức tử thức mẫu thức có hệ số nguyên 2 Phân loại tất biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (2, 1) 3 Chứng minh số tính chất phức Koszul kép, xây dựng tường minh tất biểu diễn bất khả qui siêu nhóm tuyến tính GL(3|1) Bước đầu xây dựng lớp biểu diễn siêu nhóm tuyến tính lượng tử GLq(3|1) Các cơng trình liên quan đến luận án 1 N P Dung and P.H.Hai On the Poincaré Series of Quadratic Algebras As-sociated to Hecke Symmetries, Int Math Res Noti 2003, No 40, 2193 - 2203 2 N P Dung and P.H.Hai Irreducible representations of Quantum Linear Groups of type A1|0 J Alg 2004, No 282, 809-830 3 N P Dung Double Koszul Complex and Construction of Irreducible
- Xem thêm -

Xem thêm: ,

Hình ảnh liên quan

Các hình vuông trong sơ đồ trên là giao hoán. -

c.

hình vuông trong sơ đồ trên là giao hoán Xem tại trang 20 của tài liệu.
3.4.1 Đặc trưng của biểu diễn điển hình -

3.4.1.

Đặc trưng của biểu diễn điển hình Xem tại trang 21 của tài liệu.