Đề thi đề xuất tuyển sinh L10 chuyên Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU Năm học 2010 - 2011 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN THI TOÁN Ngày thi:……tháng……năm 2010 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức K = 3 9 3 1 2 2 2 1 x x x x x x x x + − + − − + + − + − ( ) 0; 1x x≥ ≠ a/ Rút gọn K (1,5 điểm) b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên (1 điểm) Bài 2 : (2 điểm) a/ (0,5 điểm) Phân tích thành nhân tử: x 4 + 5x 2 + 4 b/ (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết: 4 2 2 5 8 1 x x A x + + = + Bài 3: (2 điểm) Xác định các hệ số a, b, c, d của đa thức: ( ) dcxbxaxxf +++= 23 biết rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) 13;42;121;100 ==== ffff Bài 4: (1,5 điểm) AB và CD là 2 dây cung vuông góc nhau tại E bên trong đường tròn (O, R) Gọi M là trung điểm của AC; chứng minh EM vuông góc với BD Bài 5: (2 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một đường thẳng d quay quanh A cắt (O) tại M và (O’) tại M’. a/ (1 điểm) Chứng tỏ rằng các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B b/ (1 điểm) Chứng tỏ rằng trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’) ….…………… ……………………………… HẾT………………………………………… (Đề chuyên Toán – GV ra đề: Nguyễn Văn Thế - THCS Trần Nguyên Hãn- Long Điền) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU Năm học 2010 - 2011 MÔN THI TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM (ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ) Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức K = 3 9 3 1 2 2 2 1 x x x x x x x x + − + − − + + − + − ( ) 0; 1x x≥ ≠ a/ Rút gọn K (1,5 điểm) b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên (1 điểm) Giải bài 1: a/ K = 3 9 3 1 2 2 2 1 x x x x x x x x + − + − − + + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 2 2 2 1 x x x x x x x x + − − + − − − + + − (0,5 điểm) = ( ) ( ) 3 2 2 1 x x x x + + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 x x x x + + + − = 1 1 x x + − (1 điểm) b/ K = 1 1 x x + − = 1 + 2 1x − (0,25 điểm) K nguyên khi 2 ( ) 1x −M 1x⇔ − ∈ Ư(2) = { } 1; 2± ± (0,25điểm) Giải ra x = 0; 4; 9 Vì x nguyên dương nên ta nhận x 1 = 4 và x 2 = 9 (0,5điểm) Bài 2 : (2 điểm) a/ (0,5 điểm) Phân tích thành nhân tử: x 4 + 5x 2 + 4 b/ (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết: 4 2 2 5 8 1 x x A x + + = + Giải bài 2: a/ x 4 + 5x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + (x 2 + 4) = x 2 (x 2 + 4) + (x 2 + 4) = (x 2 + 4) (x 2 + 1) (0,5 điểm) b/ Ta có: 4 2 2 2 2 2 2 2 5 8 ( 1)( 4) 4 4 1 3 1 1 1 x x x x A x x x x + + + + + = = = + + + + + + (0,25 điểm) Áp dụng Bất đẳng thức Cô –si cho hai biểu thức dương là 2 1x + và 2 4 1x + ta có 2 1x + + 2 4 1x + ≥4 => Giá trị bé nhất của A là 7 (0,5 điểm) Khi đó 2 1x + = 2 4 1x + <=> x 4 + 2x 2 – 3 = 0 . Giải phương trình trùng phương ra được 2 nghiệm x 1 = 1 và x 2 = -1 (0,5 điểm) Vậy A min = 7 khi 1x = ± . (0,25 điểm) Bài 3: (2 điểm) Xác định các hệ số a, b, c, d của đa thức: ( ) dcxbxaxxf +++= 23 biết rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) 13;42;121;100 ==== ffff Giải bài 3: Theo đề bài ta có ( ) ( ) ( ) ( )               =+++ =+++ =+++ = ⇔ = = = = 13927 4248 12 10 13 42 121 100 dcba dcba dcba d f f f f (0,5điểm) 5 10 10 10 2 2 2 2 25 (0,25 ) (0,25 ) (0,5 ) (0,5 ) 2 8 4 2 6 4 2 3 3 5 12 27 9 3 9 9 3 3 5 0 10 a d d d a b c a b c c a b b d d d d a b c a b c a b c a b c a b c a b d   =    = = =      + + = + + = = − − −     = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     + + = − + + = − + = −     =     + + = − + + = − + =     =   Bài 4: (1,5 điểm) AB và CD là 2 dây cung vuông góc nhau tại E bên trong đường tròn (O, R) Gọi M là trung điểm của AC; chứng minh EM vuông góc với BD Giải bài 4: Theo định lý trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AEC, ta có ∆AME cân tại E => ∠E 3 = ∠A ; mà ∠A = ∠D (cùng chắn cung BC) ⇒ ∠D = ∠E 3 (0,5 điểm) và ∠E 1 = ∠E 2 (đđ) => ∠D + ∠E 1 = ∠E 3 + ∠E 2 mà ∠E 3 + ∠E 2 = 1 vuông ⇒ ∠D + ∠E 1 = 1 vuông ⇒ ĐPCM (1 điểm) Bài 5: (2 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một đường thẳng d quay quanh A cắt (O) tại M và (O’) tại M’. a/ (1 điểm) Chứng tỏ rằng các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B b/ (1 điểm) Chứng tỏ rằng trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’) Giải bài 5 (2 điểm) a/ Chứng minh N, N’ cố định và N, B, N’ thẳng hàng Đường thẳng qua M vuông góc với d cắt (O) tại N . Vì ˆ NMA = 90 0 nên AN là đường kính của đường tròn (O) ⇒ N cố định (0,25điểm) Đường thẳng qua M’ vuông góc với d cắt (O’) tại N’ Vì ˆ ' 'N M A = 90 0 nên AN’ là đường kính của đường tròn (O’) ⇒ N’ cố định (0,25điểm) B thuộc đường tròn đường kính AN nên ˆ ABN = 90 0 B thuộc đường tròn đường kính AN’ nên ˆ 'ABN = 90 0 (0,25điểm) ⇒ ˆ 'NBN = ˆ ABN + ˆ 'ABN = 180 0 => N, B, N’ thẳng hàng (0,25điểm) b/ Chứng minh trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’) OI đi qua trung điểm của NA và NN’ nên OI là đường trung bình của ∆ ANN’ ⇒ OI = O’A = R’ (0,25điểm) Gọi r là bán kính của đường tròn (I) vẽ (I; r) và (O; R) tiếp xúc trong, nên OI = R – r Mà OI = R’ (cmt) nên R’ = R – r ⇔ R’ + r = R (0,25điểm) Lại có IO’ đi qua trung điểm của N’N và AN’ nên OI là đường trung bình của ∆ ANN’ ⇒ O’I = OA = R mà R’ + r = R nên O’I = R’ + r ⇒ (I; r) tiếp xúc ngoài với (O’; R’) (0,25điểm) Vậy trung điểm I của NN’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) (0,25điểm) O O' A M M' N N' I B Học sinh làm các cách khác; nếu đúng vẫn tròn điểm . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU Năm học 2010 - 2011 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN THI TOÁN Ngày thi: ……tháng……năm 2010 Thời. ….…………… ……………………………… HẾT………………………………………… (Đề chuyên Toán – GV ra đề: Nguyễn Văn Thế - THCS Trần Nguyên Hãn- Long Điền) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH