ĐỀ THI HSG THÁNG 2 năm 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO Tháng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2019-2020 MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 180 phút) Câu 1( 4,0 điểm) 1) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (P1) hàm số y  x  x  có đồ thị (P2) Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (P1) hai điểm phân biệt A, B cắt (P2) hai điểm C, D Tìm m để AB  2CD 2) Giải bất phương trình  x  x  3x  1  x2  x   Câu 2( 4,0 điểm) x 1) Giải phương trình 4cos3 x cos x  2cos x  4cos x  tan tan x   � y   y  3  y  x   xy  x � 2) Giải hệ phương trình � 2 � � x  25 y  19  x  x  35  y  Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho số thực dương x, y, z Chứng minh  x2  y2  z2   � 3   y  3z   z  3x   x  y 2) Cho dãy số  un  � u1  � � , xác định sau � un1 � un   2n  1 un1  � � n �2 Tính tổng 2019 số hạng dãy số  un  Câu 4( 4,0 điểm) 1) Xung quanh bờ ao gia đình bác Nam trồng 20 chuối Do khơng cịn phù hợp bác muốn thay để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên Tính xác suất để bác Nam chặt khơng có hai gần 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm I Gọi K hình chiếu vng góc B đường thẳng AC, H hình chiếu vng góc C đường thẳng BI Các đường thẳng AC KH có phương trình x + y + = x + 2y - = Biết điểm B thuộc đường thẳng y - = 0và điểm I thuộc đường thẳng x + = Tìm tọa độ điểm C Câu 5( 4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = 3a AD = a Cạnh bên SA = 2a SA vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Gọi H , K hình chiếu vng góc ( ) đỉnh A lên cạnh SB SD Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng AHK Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đơi vng góc với O Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ( ABC ) P điểm tam giác ABC Chứng minh PA PB PC PH + + = + OA OB OC OH HẾT Hướng dẫn Câu : Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (P1) hàm số y  x  x  có đồ thị (P2) Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (P1) hai điểm phân biệt A, B cắt (P2) hai điểm C, D Tìm m để AB  2CD Xét phương trình: x  x   m  (1) x  x   m  (2) �1  m   �m2 ĐK: � �  m   AB  2CD � AB  2CD � ( x1  x2 )  2( x3  x4 ) � ( x1  x2 )  x1 x2  2[( x3  x4 )  x3 x4 ] � 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] � m = ĐS: m = Giải bất phương trình  x  x  3x  1  x2  x   + Điều kiện x �0 1� + Ta có x  x   � �x  � �  nên  x  x   � 2� Do bất phương trình �  x  x  x    x  x  � x  x  x   x  3x  + Nếu x  bất phương trình trở thành  (vơ lý) 1 + Nếu x  bất phương trình �  x    x   x x + Đặt x   t với t �2 , bất phương trình trở thành  t   t  x 13 13 13 13  105 13  105 + Với t  x   � x  12 x   � x x 8 13  105 13  105 + Vậy bất phương trình có nghiệm x 8 Câu � x cos x �1 cos �0 � � �� + Điều kiện � �cos x �0 � �cos x �0 x sin sin x 20 + Phương trình tương đương với cos x cos x  cos x  cos x  x cos cos x � t 1  � t  x x sin sin x  cos cos x 2 �  cos x  cos x   cos x  cos x  1  x cos cos x � cos x  cos x  1  cos x � cos x cos x  cos x  cos x   � cos x cos x  cos x   cos x  1  � cos x cos x  cos x   cos x  1  �  cos x  1  cos x  1  � cos x   � � � cos x  �  � x  �  k � � � x  k 2 �  � x  �  k �  k �� + So sánh với điều kiện ta � x  k 2 � � y   y  3  y  x   xy  x � � 2 � � x  25 y  19  x  x  35  y  � y   y    y  x  �0 � � x  25 y  19 �0 ĐKXĐ: � �xy ‫ڳ‬0; � y �� 2; x x � Từ PT đầu hệ kết hợp với điều kiện xác định suy x �7, y �0 Do (1) � y   y  3  y  x   3x  xy  x  � y   y  3  y  x   x y   y  3  y  x   x   xy  x xy  x � 9 x  y  2y  �  y  x �  � y   y    y  x   3x � �x y + Thế vào (2), ta được: 4x � � xy  x � � x  25 x  19  x  x  35  x  � x  11x  22    0   x  2  x  5  x   � x  x  14   x     x    x  x 14  Đặt a  x  x  14 ;b  x   a �0, b   Khi phương trình trở thành 3a  4b  ab � a  b �3a  4b Với a  b � x   (thỏa mãn) x   (loại) 61  11137 61  11137 (thỏa mãn) x  (loại) 18 18 Kết luận: Hệ có nghiệm hệ là: �61  11137 61  11137 �  7;3  � ; � � � 18 18 � � Với 3a  4b � x    Câu Cho số thực dương x, y, z Chứng minh  x2  y2  z2   � 3   y  3z   z  3x   x  y Hướng dẫn + Đặt P   x2   y  3z   y2   z3  3x2   z2   x3  y  x  a,  y  b,  z  c với a, b, c  + Ta có  y    y 1  y  y2   y2  y2 � �  y3 � 2 2 1 x 1 x a �  + Suy 2 2   y     z  2b  3c   y  3z + Hoàn toàn tương tự ta có  y2  y2 b �   2 2 2   z     x  2c  3a   z  3x + Theo cô-si   y    y  y2   z2  z2 c �  2 2   x     y  2a  3b   x  3y  1  3 + Cộng bất đẳng thức  1 ,   ,  3 theo vế ta a b c P�   2b  3c 2c  3a 2a  3b a2 b2 c2 ۳ P   2ab  3ca 2bc  3ab 2ca  3bc a  b  c   P  ab  bc  ca  � P  ab  bc  ca   ab  bc  ca  đpcm + Dấu “=” xảy x  y  z  Câu 4 + n() C 20 4845 Trường hợp 1: Cả chặt gần có 20 cách + Trường hợp 2: Trong chặt có gần - Chặt gần có 20 cách - Mỗi gần có 15 khơng gần Vậy trường hợp có: 20 X 15 = 300 cách Trường hợp 3: Trong chặt có gần nhau: - Chặt gần có 20 cách - Với gần có 16 không gần hai Trong 16 lại có 15 cặp gần Chọn hai khơng gần 16 có: C16  15 105 Vậy trường hợp có: 20.105 = 2100 cách + Trường hợp 4: Trong chặt có hai cặp gần - Chọn cặp gần có 20 cách - Mỗi cách chọn cặp gần lại có 15 cặp gần chọn từ 16 Vậy trường hợp 20.15 150 cách có Vậy n( A) 4845  (20  300  2100  150) 2275 2275 455  Suy ra: P ( A)  4845 969 Câu 1.A uuu r r uuu r r uuur r Đặt OA  a, OB  b, OC  c uuuu r r r r Ta có OM  x.a  yb  zc, x  y  z  uuuu r uuuu r uuu r r r r r r r 2 AM  OM  OA   x  1 a  yb  zc � AM   x  1 a  y b  z c Suy       2 AM 2 b c   x  1  y  z a2 a a Tương tự 2 2 BM CM 2 2 a c a b   y  1  x  z ,   z  1  x  y b2 b b c2 c c Cộng lại ta 2 2 2 AM BM CM 2 2 b c a c a b     x  1  y  z   y  1  x  z   z  1  x  y a2 b c a a b b c c Suy AM BM CM �1 1 � 2    �2   � x a  y 2b  z 2c   2( x  y  z )   a b c �a b c � Xét tứ diện OABC, gọi H hình �1 1 � 2  �2   � ,  x a  y 2b  z 2c   OM 2 OH a b c � � Suy chiếu O (ABC), ta có AM BM CM OM    1 OA2 OB OC OH ...  y 1  y  y2   y2  y2 � �  y3 � 2 2 1 x 1 x a �  + Suy 2 2   y     z  2b  3c   y  3z + Hồn tồn tương tự ta có  y2  y2 b �   2? ?? 2 2   z     x  2c  3a   z ...  y2   z2  z2 c �  2 2   x     y  2a  3b   x  3y  1  3 + Cộng bất đẳng thức  1 ,   ,  3 theo vế ta a b c P�   2b  3c 2c  3a 2a  3b a2 b2 c2 ۳ P   2ab  3ca 2bc... b2 b b c2 c c Cộng lại ta 2 2 2 AM BM CM 2 2 b c a c a b     x  1  y  z   y  1  x  z   z  1  x  y a2 b c a a b b c c Suy AM BM CM �1 1 � 2    ? ?2   � x a  y 2b  z 2c