Vấn đề 2: Dãy số đơn điệu và dãy số bị chặn lớp 11

Phương pháp 2: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà tìm một kỹ thuật tách hợp lý để rút gọn dẫn đến tìm. được công thức của số hạng tổng quát u n.[r]

(1)

Chương 3: Dãy số Biên soạn: Thầy Lê Đức Thuận Gv: THPT chuyên HN-Ams

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page

VẤN ĐỀ 3.2 DÃY SỐ VÀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Dạng Xác định số hạng tổng quát dãy số dựa vào hệ thức truy hồi

Khi giải toán xác định số hạng tổng quát un dãy số dựa vào hệ thức truy hồi, ta

làm theo hai phương pháp sau:

Phương pháp 1: Tiến hành theo bước sau

 Tính số vài hạng cụ thể u , u , u , 1 2 3 dãy số  un

 Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un

 Chứng minh công thức dự đoán bước phương pháp quy nạp

Phương pháp 2: Tuỳ tập cụ thể mà tìm kỹ thuật tách hợp lý để rút gọn dẫn đến tìm

được cơng thức số hạng tổng quát un

1 Tìm số hạng tổng quát dãy cho công thức truy hồi sau đây:

a)

2

n n

u

u  u 1, n 

 

   

 b)

1

n n

n u

u

u , n

u



  

   

 



2 Tìm số hạng tổng quát dãy cho công thức truy hồi sau đây:

a) n n u

u  u 2n 1, n 



     

 b)

1

n n

u 11

u  10u 9n 1, n 



     



3 * Cho dãy số  an xác định an 2 n 4n



  dãy số  un xác định hệ thức truy hồi

1

n n n u a

u  u a  , n 



    

 Xác định công thức tính un theo n

Dạng Xét tính đơn điệu dãy số

Để xét tính đơn điệu (tăng giảm) dãy số  un ta làm sau:

Phương pháp 1: Xét hiệu Hun 1 un

 Nếu H0 với số tự nhiên n 1 dãy số  un tăng

 Nếu H0 với số tự nhiên n 1 dãy số  un giảm

Phương pháp 2: Nếu un dương với số tự nhiên n 1 lập tỷ số

n

n u T

u





 Nếu T 1 với số tự nhiên n 1 dãy số  un tăng

 Nếu T 1 với số tự nhiên n 1 dãy số  un giảm

(2)

a)

n

n n

2

u , n 1, n



   

  b) n n

n

u , n 1, n

   

5 Xét tính đơn điệu dãy số  un cho công thức sau:

a)

2

n

3n 2n u

n

  

 b)

2 n

u  n n 1

6 Xét tính đơn điệu dãy số  un cho công thức sau:

a)

n

3

u , n 1, n n

    b)

n

n n

3n ( 1)

u , n 1, n

4n ( 1)   

   

  

7 Xét tính đơn điệu dãy số  un cho công thức truy hồi sau

a)

2

n n

u

u  u 1, n 

 

   

 b)

1

n n

n u

u

u , n

u



  

   

 



8 * Với giá trị a dãy số  un cho công thức

2

n

an u

2n

 

 là:

a) Một dãy tăng b) Một dãy giảm

Dạng Xét tính bị chặn dãy số

 Để chứng minh dãy số  un bị chặn M ta chứng tỏ un M với số tự nhiên n 1

 Để chứng minh dãy số  un bị chặn m ta chứng tỏ un m với số tự nhiên n 1

 Để chứng minh dãy số  un bị chặn M m ta chứng tỏ mun M với số tự nhiên n 1

 Nếu dãy số  un tăng ln bị chặn u 1

 Nếu dãy số  un giảm ln bị chặn u

9 Xét tính bị chặn dãy số  un cho công thức

a) un 1 1.3 2.4 n(n 2)

   

 b)

1

n n

u

u  u , n  

 

    

10 Cho dãy số  un cho công thức truy hồi

n n

n u

u

u , n

u



 

 

   

 



Chứng minh un

 

(3)

2a) un  n 2b) un n



3a) un n2 3b) un 10nn

4) Ta có un a1a2  an an 1 n n

 

  nên n

5 1

u

6 n n

  

 

5a)

    

n

n n

2

H u

2



   

  5b)  n

n

T u

3 n 

   

6a) un 3n H 3n(n 3)  un n (n 1)(n 2)



       

  

6b) n n  n

2

u u u

n n

   

 

7a) Không tăng không giảm 7b) Không tăng không giảm

8a) Chứng tỏ un 1 un quy nạp 8b) Chứng tỏ un 1 un quy nạp

9) Ta có

     

n 2 2 2

0

a 3a 3a 1

u H

2 2n 2 2(n 1) 2n



 

   

    

 

     



Do

a)  un a

  b)  un a

 

10a) Ta ln có un 0 1 1 un 1 k(k 2) k k n n

   

        

       

10b) 0un 2