Phương pháp 2: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà tìm một kỹ thuật tách hợp lý để rút gọn dẫn đến tìm. được công thức của số hạng tổng quát u n.[r]
(1)Chương 3: Dãy số Biên soạn: Thầy Lê Đức Thuận Gv: THPT chuyên HN-Ams
Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page
VẤN ĐỀ 3.2 DÃY SỐ VÀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Dạng Xác định số hạng tổng quát dãy số dựa vào hệ thức truy hồi
Khi giải toán xác định số hạng tổng quát un dãy số dựa vào hệ thức truy hồi, ta
làm theo hai phương pháp sau:
Phương pháp 1: Tiến hành theo bước sau
Tính số vài hạng cụ thể u , u , u , 1 2 3 dãy số un
Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un
Chứng minh công thức dự đoán bước phương pháp quy nạp
Phương pháp 2: Tuỳ tập cụ thể mà tìm kỹ thuật tách hợp lý để rút gọn dẫn đến tìm
được cơng thức số hạng tổng quát un
1 Tìm số hạng tổng quát dãy cho công thức truy hồi sau đây:
a)
2
n n
u
u u 1, n
b)
1
n n
n u
u
u , n
u
2 Tìm số hạng tổng quát dãy cho công thức truy hồi sau đây:
a) n n u
u u 2n 1, n
b)
1
n n
u 11
u 10u 9n 1, n
3 * Cho dãy số an xác định an 2 n 4n
dãy số un xác định hệ thức truy hồi
1
n n n u a
u u a , n
Xác định công thức tính un theo n
Dạng Xét tính đơn điệu dãy số
Để xét tính đơn điệu (tăng giảm) dãy số un ta làm sau:
Phương pháp 1: Xét hiệu Hun 1 un
Nếu H0 với số tự nhiên n 1 dãy số un tăng
Nếu H0 với số tự nhiên n 1 dãy số un giảm
Phương pháp 2: Nếu un dương với số tự nhiên n 1 lập tỷ số
n
n u T
u
Nếu T 1 với số tự nhiên n 1 dãy số un tăng
Nếu T 1 với số tự nhiên n 1 dãy số un giảm
(2)Chương 3: Dãy số Biên soạn: Thầy Lê Đức Thuận Gv: THPT chuyên HN-Ams
Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page
a)
n
n n
2
u , n 1, n
b) n n
n
u , n 1, n
5 Xét tính đơn điệu dãy số un cho công thức sau:
a)
2
n
3n 2n u
n
b)
2 n
u n n 1
6 Xét tính đơn điệu dãy số un cho công thức sau:
a)
n
n
3
u , n 1, n n
b)
n
n n
3n ( 1)
u , n 1, n
4n ( 1)
7 Xét tính đơn điệu dãy số un cho công thức truy hồi sau
a)
2
n n
u
u u 1, n
b)
1
n n
n u
u
u , n
u
8 * Với giá trị a dãy số un cho công thức
2
n
an u
2n
là:
a) Một dãy tăng b) Một dãy giảm
Dạng Xét tính bị chặn dãy số
Để chứng minh dãy số un bị chặn M ta chứng tỏ un M với số tự nhiên n 1
Để chứng minh dãy số un bị chặn m ta chứng tỏ un m với số tự nhiên n 1
Để chứng minh dãy số un bị chặn M m ta chứng tỏ mun M với số tự nhiên n 1
Nếu dãy số un tăng ln bị chặn u 1
Nếu dãy số un giảm ln bị chặn u
9 Xét tính bị chặn dãy số un cho công thức
a) un 1 1.3 2.4 n(n 2)
b)
1
n n
u
u u , n
10 Cho dãy số un cho công thức truy hồi
n n
n u
u
u , n
u
Chứng minh un
(3)Chương 3: Dãy số Biên soạn: Thầy Lê Đức Thuận Gv: THPT chuyên HN-Ams
Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page
2a) un n 2b) un n
3a) un n2 3b) un 10nn
4) Ta có un a1a2 an an 1 n n
nên n
5 1
u
6 n n
5a)
n
n
n n
2
H u
2
5b) n
n
T u
3 n
6a) un 3n H 3n(n 3) un n (n 1)(n 2)
6b) n n n
2
u u u
n n
7a) Không tăng không giảm 7b) Không tăng không giảm
8a) Chứng tỏ un 1 un quy nạp 8b) Chứng tỏ un 1 un quy nạp
9) Ta có
n 2 2 2
0
a 3a 3a 1
u H
2 2n 2 2(n 1) 2n
Do
a) un a
b) un a
10a) Ta ln có un 0 1 1 un 1 k(k 2) k k n n
10b) 0un 2