Đang tải... (xem toàn văn)
a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt BC tại E.. b) Tì[r]
(1)Giải tập Toán 11 chương 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bài (trang 53 SGK Hình học 11): Cho điểm A không nằm mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD Lấy E F điểm nằm trên cạnh AB, AC.
a) Chứng minh đường thẳng EF nằm mặt phẳng (ABC)
b) Giả sử EF BC cắt I, chứng minh I điểm chung hai mặt phẳng (BCD) (DEF)
Lời giải:
a) E AB mà AB (ABC)∈ ⊂ => E (ABC)∈
F AC mà AC (ABC)∈ ⊂ =>F (ABC)∈
Đường thẳng EF có hai điểm E, F thuộc mp(ABC) nên theo tính chất EF (ABC).⊂
b) I BC mà BC (BCD) nên I (BCD) (1)∈ ⊂ ∈ I EF mà EF (DEF) nên I (DEF) (2)∈ ⊂ ∈
(2)Bài (trang 53 SGK Hình học 11): Gọi M giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (α) Chứng minh M điểm chung (α) với bất kì mặt phẳng chứa d.
Lời giải:
M điểm chung d (α) nên: M (α) (1)∈
Một mặt phẳng (P) chứa d M d mà d (P) nên:∈ ⊂ M (P) (2)∈
Từ (1) (2) suy M điểm chung (α) (P)
Bài (trang 53 SGK Hình học 11): Cho ba đường thẳng d1, d2,
d3 không nằm mặt phẳng cắt đôi một. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
Lời giải:
Gọi I = d1 ∩ d2
Giả sử d3 khơng qua I:
Khi phải cắt d1, d2 M, N khác I
=> d3 đồng phẳng với d1, d2: điều mâu thuẫn!
(3)Bài (trang 53 SGK Hình học 11): Cho bốn điểm A, B, C D không đồng phẳng Gọi GA, GB, GC, GD trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB, ACB Chứng minh AGA, BGB, CGC, DGD đồng qui.
Lời giải:
Gọi M, N, P trung điểm CD, DB, BA Trong mp(MAB): AGA ∩ BGB = I Ta có:
Vậy ΔIAB đồng dạng với ΔIGAGB
Lại có ΔMAB đồng dạng với ΔMGBGA
Từ (1) (2), ta có:
(4)Vậy đường đồng qui điểm xác định I
Bài (trang 53 SGK Hình học 11): Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB CD khơng song song với S là điểm nằm mặt phẳng (α) M trung điểm đoạn SC. a) Tìm giao điểm N đường thẳng SD mặt phẳng (MAB)
b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh ba đường thẳng SO, AM BN đồng quy
Cần nhớ
A d mp(α) => A mp(α)∈ ⊂ ∈ Lời giải:
a) Tìm N SD ∩ mp(MAB)∈
Trong mp(ABCD), AB cắt CD E Trong mp(SCD), EM cắt SD N Ta có:
N SD∈
N EM mp(MAB)∈ ⊂ Vậy N = SD ∩ mp(MAB)
(5)*SO, MA, BN không mặt phẳng * SO MA cắt (trong mp (SAC))
MA BN cắt (trong mp(BEN)) BN SO cắt (trong mp(SBD)) Vậy SO, MA, BN đồng quy
Bài (trang 54 SGK Hình học 11): Cho bốn điểm A, B, C D không đồng phẳng Gọi M N trung điểm đoạn thẳng AC BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP = 2PD.
a) Tìm giao điểm đường thẳng CD mặt phẳng (MNP) b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) (ACD) Lời giải:
a) Ta có:
=> NP CD không song song với => NP CD cắt I
(6)J AD => J (ACD)∈ ∈ J MI => J (MNP)∈ ∈
Vậy J điểm chung hai mặt phẳng (ACD) (MNP) Ta có M điểm chung hai mặt phẳng (ACD) (MNP) Vậy MJ = (ACD) ∩ (MNP)
Bài (trang 54 SGK Hình học 11): Cho bốn điểm A, B, C D không đồng phẳng Gọi I, K trung điểm AD BC. a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD)
b) Gọi M N hai điểm lấy hai đoạn thẳng AB AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (DMN)
Lời giải:
a) Tìm giao tuyến mp(IBC) mp(KAD) Ta có :
K BC => K (IBC)∈ ∈ I AD => I (KAD)∈ ∈ Vậy KI = (IBC) ∩ (KAD)
(7)Vậy (IBC) ∩ (DMN) = FE
Bài (trang 54 SGK Hình học 11): Cho tứ diện ABCD Gọi M N lần lượt trung điểm cạnh AB CD, cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm AD.
a) Gọi E giao điểm đường thẳng MP đường thẳng BD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (PMN) (BCD)
b) Tìm giao điểm hia mặt phẳng (PMN) BC
Lời giải:
a) Trong mp(ABD): MP không song song với BD nên MP ∩ BD = E E MP => E (PMN)∈ ∈
E BD => E (BCD)∈ ∈ Nên E (PMN) ∩ (BCD)∈ Nên EN = (PMN) ∩ (BCD)
b) Trong mp(BCD) : EN ∩ BC = Q Mà (PMN) ≡ (MEN) ≡ (MEQ) Q (MEQ) ≡ ( PMN)∈
Mặt khác Q BC nên Q = BC ∩ (PMN).∈
Bài (trang 54 SGK Hình học 11): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A không song song với cạnh hình bình hành, d cắt BC tại E Gọi C’ điểm nằm cạnh SC.
(8)b) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (C’AE) Lời giải:
a) Giao điểm M CD mp(C’AE) Trong mp(ABCD), d cắt CD M, ta có: * M CD∈
* M d (C’AE)∈ ⊂ M (C’AE)∈
Vậy M giao điểm CD mp(C’AE) b) Thiết diện hình chóp cắt mp(C’AE) Trong mp(SCD), MC’ cắt SD F
Vậy thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp(C’AE) tứ giác AFC’E
Bài 10 (trang 54 SGK Hình học 11): Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD khơng song song Gọi M điểm thuộc miền của tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mp(SBM) b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBM) (SAC)
c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mặt phẳng (SAC)
(9)Lời giải:
a) Gọi N giao điểm SM CD, N = CD ∩ (SBM) b) Trong mp (ABCD), BN AC cắt điểm O O BN =>∈ O (SBM)∈
O AC=> O (SAC)∈ ∈
=> O điểm chung (SBM) (SAC)
Dễ thấy S điểm chung (SBM) (SAC) Vậy SO = (SBM) ∩ (SAC)
c) Trong mp(SBM) BM SO cắt điểm I, ta có: I BM I SO I (SAC) Vậy I = BM ∩ (SAC).∈ ∈ ∈
d) Trong mp(SAC), AI cắt SC O, ta có P SC P AI.∈ ∈
=> P (ABM) hay P giao điểm mp(ABM) với cạnh SC hình∈ chóp
Trong mp (SCD), PM cắt SD điểm Q, ta có Q SD; Q PM nên PM∈ ∈ (ABM)
(10)=> Q (BM) hay Q giao điểm mp(ABM) với cạnh SD hình∈ chóp
